（运筹学与控制论专业论文）发展方程的周期能控性.pdf

发展方程的周期能控性 运筹学与控制论专业 研究生李洪恒指导教师张旭 在本文中，我们研究了在h i l b e r t 空间中的线性发展方程的周期能控性问 题我们得到周期能控性的等价条件，并将此结果应用到边界受控的波方程和板 方程中 关键词；周期能控，能观不等式，发展方程，无界算子，h i l b e r t 空间 p e r i o d i cc o n t r o l l a b i l i t yo fe v o l u t i o ne q u a t i o n s m a j o r ：o p e r a t i o n a lr e s e a r c ha n dc y b e r n e t i c s g r a d u a t es t u d e n t ：h o n g h e n gl i s u p e r v i s o r ：x uz h a n g i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ep e r i o d i cc o n t r o l l a b i l i t yo fl i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s i nh i l b e r ts p a c e e q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o rt h i sp r o p e r t yw ep r e s e n t e d m o r e o v e r a p p l i c a t i o n st ob o t ht h eb o u n d a r yc o n t r o l l e dw a v ee q u a t i o na n dp l a t ee q u a t i o na r e g i v e n k e yw o r d s ：p e r i o d i cc o n t r o l l a b i l i t y , o b s e r v a b l ei n e q u a l i t y , e v o l u t i o ne q u a - t i o n ，u n b o u n d e do p e r a t o r ，h i l b e r ts p a c e 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的 研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导 下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 导师盥 作者查送竖 二00 七年四月十八日 第一章引言 i 等三? 。+ 晚。l t 【0 州 c o ， 其中z ( ) 是系统的状态。它取值于某个h i l b e r t 空问x ，瓤= 害；一4 是x 上算 子；u ( t ) 表示控幸l ，它取值于另一个h i l b e r t 空间u ，8 是从u 到x 的一个映射 于是，x 和矿分别是系统( 1 0 1 ) 的状态空闻和控制空闻众所周知，诸如热方程， 波方程，s c h r s d i n g e r 方程以及板方程均可被写成( 1 0 1 ) 的形式 本文的主要目的是研究系统( 1 0 1 ) 周期能控性问题 我们给出周期能控的定义如下， 定义1 如果对任意初始状态x 0 x ，存在控制“( ) u 使得系统门d j ，在t 时劐 的状态值z ( r ) = x 0 ，则称系统一d 是周期能控的 显然，在a = 0 时，系统( 1 0 1 ) 是周期能控的。因此我们在本文中假设一4 o 我们容易得到系统( 1 2 1 ) 的精确能控性蕴含周期能控性，但是反之不成立也就是 说，系统( 1 0 1 ) 的周期能控性弱于精确能控性 据作者所知，尽管系统( 1 0 1 ) 的精确能控性已得到了大量的研究，例如f 1 】、【2 】， 【3 】、【4 和【5 等，但到目前为止，似乎还没有人对它的周期能控性进行过系统的研究 这篇文章主要给出了系统( 1 o 1 ) 的周期能控性等价性结论，并将此结论应用于波方程和板 方程中所采用的主要证明方法是应用值域比较原理 文章往后组织如下：在第二章中研究了在控制算子8 为有界算子的情况下，系统( 1 0 1 ) 周期能控性相应的等价性结论即定理1 在第三章中研究了控制算子b 为无界算子的情况 下。系统( 1 0 1 ) 周期能控性相应的等价性结论即定理2 最后，将定理2 分别应用到边 界受控的渡方程和板方程，并得到相应的结果即定理3 ，定理4 和定理5 1 第二章 控制算子b 为有界时系统( 1 0 1 ) 的周期能控性 在本文中，记x 和矿的范致分别为f k 和| f u 记x 为x 的对偶空间 在以后，我们将用g 来表示个逐行可变的正常数接下来，我们分别定义两个线性算子 y ：x x 和9 ：三2 ( o ，置u ) 一x 如下t ，= i 一 ( 2 0 1 ) 厅 9 u ( ) 一一( t - s ) 1 3 u ( s ) d s ，vu ( ) l 2 ( o ，t ；【，) ( 2 0 2 ) j 0 本节中的主要结果叙述如下： 。 定理1 设一4 是x 上某c o 半群 e m ) t ) o 的生成元；8 c ( u ；x ) r c ( u ；x ) 是从 u 到x 的有界算亍组成的全体j 则系统r j 0 川是周期能控的充要条件是：对任意的 y o x ，存在常敷g 。使得下面的不等式成立 ，t l ( 一一一) y o l 殳。sc i 矽e ”3 珈后d s ，( 2 0 3 ) j u 中a 和矿分别是一4 和目的共轭算子 在定理1 的情况下，系统( 1 0 1 ) 是周期能控的的等价定义是 存在控制t ( ) p ( o ，正u ) 使得 勒= e + e 川t - s ) l ；u ( s ) d s ，t j 0 即t 冗( ，) 冗( 蛋) ， 其中冠( ，) 和冗侈) 分剩表示，的值域和蛋的值域 因此，我们得到了系统( 1 0 1 ) 不是周期能控的一个充分条件： 对任意的o o x ( 2 0 4 ) ( 2 0 ，5 ) 命题1 设x 是无限维的h i l b e r t 空间，且 e a ) o 是紧半群，则系统一0 纠不是周 期能茬的 证明t 由 1 1 ，我们只需证以下不等式成立 2 第3 页 ，x ，x n 冗侮) ( 2 0 6 ) 如不然，我们有 似= u ( 硝n 9 ( 风) ) ， ( 2 o 7 ) 其中i k 是l 2 ( o ，t ；u ) 中的原点为圆心，n 为半径的闭球 记 r ( 一为，的核由于e r 是紧算子，故我们得到d i m ( 刁 叩。d s ! c l z o i x l 妒l z 。( o ，r ，u ) 由x o x 的任意性，则有 妒( t ) 一妒o l x c l 母t l 。( o ，丁；u r 注意到：妒( t ) = e - a t 妒o ，砂( ) = b + 妒( t ) ，t 0 ，t 】，我们易知能观不等式 ( 3 0 6 ) 成立 再证充分性假设不等式( 3 o 6 ) 成立即能观不等式( 3 0 7 ) 成立 令y = 驴e - * 4 * ( 妒o i妒o d ( a + ) ) 对任意z o x ，我们定义y 上的线性泛 ， 函p 如下： p ( b + e - a * ( 妒o ) = x + x 。 ( 30 8 ) 则由能观不等式( 3 o 6 ) ，我们得到： 第8 页 伊叫弋k 。| 2 虢辫葛冀d s 仕， c 1 z n 誊1 8 4 e 一 8 妒。陬 、 即：俐多+ c l x o 支 所以p 是y 上的有界线性泛函由泛函延拓定理，我们可以将p 延拓到l 2 ( o ，t ；u + ) 上也就是说存在l 2 ( o ，丁；u + ) 上的有界线性泛函q ，使得对任意的妒y ，有q ( 砂) = p ( 矽) 且iq i l z ( o ，t ，u ) = 1 p 1 ， 故由p d e s z 表示定理 6 】，对任意的妒o x + ，一定存在“l 2 ( o ，t ；u ) ，下列 等式成立： x ，x ，= 以u 。d s ， j 0 从上式和f 3 0 4 ) 可得： x x = x , x q - z 7 u u 。d s ( 3 o a o ) = 0 因此x ( t ) = z o 即系统( 1 0 1 ) 是周期能控的 口 第四章定理2 在边界受控的波方程中的应用 臣h 。 首先，我舸考虑( 4 0 1 ) 的对偶系统： 缸= f = 0 ( o ) = 岛 妒= 乱 吐= 0 i 、1 是n 的边界a q 的个非空开集 在n ( 0 ，乃中， 在r o 。( o 7 1 ) 上1 ( 4 舭) 在r 1 ( 0 ，t ) 上， 在n 中 在 在 靠( o ) = f l 在 在 在 qx ( 0 ，t ) 中， 舰( 0 ，t ) 上 q 中 r 1 r o 0 ，t ) 上 0 ，t ) 上 令妒= ( ，矗) ，咖= ( 如，6 ) 我们定义算子4 和b + 如下， d ( a + ) = d ( 局r ) = ( 日2 ( f 1 ) n 哪( n ) ) x 硪( f 1 ) 一4 ( 岛，矗) = 一( l ，如) ， 护( 岛，6 ) = 巩知l r ， 我们取x = 肼( n ) xl 2 ( n ) ，u + = l 2 ( r 1 ) 易见： u = l 2 ( r 1 ) ，x = h 一1 ( n ) xl 2 ( n ) 于是，系统( 4 0 2 ) 可被改写为 9 ( 4 0 2 ) 第1 0 页 f 妒i = 一一4 + p f， 妒( o ) = i p o ， l 砂：矿l p 我们定义算子a 和算于日如下： 4 白，玑) = ( 执，a y )b = ( b ) + ( 4 0 3 ) 令。= ( y ，玑) ，z o = ( y o ，y 1 ) ，则系统( 4 0 1 ) 可被改写为， ? 协。l 托【0 丁 他， 本节中的主要结果叙述如下 定理3 御系统似口j j 和似口剀是适定的； r 系统似0 j ，是周期能控的充分必要条件是s 对任意的( 如，1 ) ( h 2 ( n ) n 硪( n ) ) ( n ) ，下面能观不等式成立t i 一 ( 丁) 一6 ( t ) ) ( 。) 。以。) ez 7 z ，i 乱卯d a q 氓 ( 4 0 5 ) 其中是系统( 4 ，0 2 ) 对应初始状态( 岛，1 ) 的解 证明：首先证明( i ) ，即检验假设条件( h 1 ) 一( h 4 ) 成立 显然条件( h 1 ) 成立熟知，4 在嘲( n ) xl = ( f 1 ) 上生成群，即条件( h 2 ) 成立。 三兰2 。兰兰三： t t 。s ， 第1 1 页 3 则对任意的( 岛，f 1 ) d ( a ) ，且对每个t 皤( r 1 ) ，由( 4 0 6 ) 并注意到如i 舳= o 。我们得到： 驴，u = ”，x = x x = z ( 自) d “d z ( 4 o 7 ) 一上矗( 。u ) 如+ z 。 ( 巩o ) 。u 一0 ( 乱。u ) d a n = u u = u f 即： u - u = = u ，u 3 由于瑶稠于u = l 2 ( r 1 ) ，所以我们有：舀，= e 一4 因此，条件( h 3 ) 是满足的 而由1 9 】和 1 0 可知： z 7 厶，瞰1 2 d g f z d t _ 川狲础时 即( h 4 ) 成立 综上所述，系统( 4 0 3 ) 和( 4 0 4 ) 符合条件( h 1 ) 一( h 4 ) 其次证明( i i ) 根据定理2 ，系统( 4 0 1 ) 是周期能控的充要条件是 状态妒o d ( a + ) ，下面能观不等式成立 l ( j e 7 ) l p 0 1 支c i b * e 。咖1 0 d s ， ( 4 0 8 ) 对任意的初始 ( 4 0 9 ) 其中c 为常数， l p 为系统( 4 0 3 ) 的解显然，能观不等式( 4 0 9 ) 等同于：对任意的 l p o d ( a ) ， i 妒。一妒( 7 ) 1 支。c i z r 妒i d s ( 4 0 1 0 ) r j j 0 第1 2 页 注意到系统“0 2 ) 与系统( 4 0 3 ) 的等价性，不等式( 4 0 1 0 ) 即为能观不等式( 4 0 5 ) 下面我们以n = ( 0 ，1 ) 为例我们考虑如下系统 口 隧_ 群h 徊，x m ， if ( z ，0 ) = 珈轨扛，0 ) 一y lz ( 0 ，1 ) f6 t ( z ，t ) = 。( ，t )( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，丁) ， ( o ，t ) = f ( 1 ，t ) = 0 t ( 0 ，? ) ， 【扛，0 ) = 岛矗扛，0 ) = 6z ( 0 ，1 ) 垂。= ( 三 ) 一s z n c n ”z ，n z ( 4 0 1 2 ) ( 4 0 1 3 ) 第1 3 页 证明 以下设n + k 口，a 为复数 我们考虑 ，口。= r 妒；l p ( o ) = l p ( 1 ) = 0 ；妒c 2 【0 ，1 】( 4 0 1 4 ) 则( 4 0 1 4 ) 的解满足， ? t t 为复常数 所以( i ) 成立 现在证明( i i ) 事实上， k = n r i ，= m s i n ( n t r x ) ； n z 峨l ( 吣) 职) 2 赤詹( n 7 r c ( n ”z ) ) 2 如+ 詹( s n ( n 7 r z ) ) 2 如 ( 4 0 1 5 ) = 1 ( 圣。，c k ) = = i 1 ；：f l ( ( n t r c o s ( n ”z ) ) k ”c j s ( k 丌z ) ) d z + 露( s i n ( n 7 r z ) ) s i n ( m 7 r z ) d = k ， ( 4 0 1 6 ) 即( i i ) 成立 则定理3 的一个推论 = ： 彪= n ： k n ( 4 0 1 7 ) 口 推论系统心0 1 1 ) 是周期能控的充分必要条件是：对( h 2 ( o ，1 ) n 础( o 1 ) ) 础( o ，1 ) 中任意的( o ，矗) = 。口圣。，下面不等式成立： 。z 1 ( 1 一e ”7 ) | 2 c i 。z ( 一1 ) ”e “1 2 胁，( 4 0 1 8 ) j 0 第1 4 页 证明： 由定理3 ，我们容易得到系统【4 0 1 1 ) 的能观不等式t l ( 丁) ，f l 一已( t ) ) 嘞( 。1 ) x 胪( ”) g 上( 1 ，) i 2 d t , ，丁 其中f 是系统( 4 0 1 2 ) 中对应于初始状态( 如，1 ) 的解 但 f ( 如一f ( r ) ，6 一& ( r ) ) f ( 0 1 ) 。工：( ) = l n e z ( ( 1 一e m 4 丁) 8 n ) 圣n f 2 = n z i ( 1 一e m , r t ) a 。1 2 ( 4 0 1 9 ) ( 4 0 2 0 ) j ( r 磊( 1 ，) 2 出= z 7 i e 。z ( 一1 ) ”。e m j 2 j 出( 4 o 2 1 ) 由( 4 0 1 9 ) 、( 4 0 2 0 ) 和( 4 0 2 1 ) 可得推论成立 口 注当t 2 时，显然系统心0 j j ，是周期能控的事实上，g , l t t 岳 e l n l r ) 。e z 在 工2 ( o ，2 ) 上的规范正交性，我们得到 ，2 1 e 。z ( 一1 r a n e m r 1 2 l 出= 。z 1 1 2 j 0 所以，我们立即得到当t 2 时，不等式佴0 ，i s ) 成立当然，我们屯可取t 2 时系 统似d ，1 1 ) 是精确能控来导出它的周期能控性 第五章定理2 在边界受控的板方程中的应用 在本节中，我们将考虑两类边界受控的板方程 第一类：我们考虐如下系统； i 撇= 一a 2 v 在f tx ( o ，t ) 中， y 2 ”2 o 在r 。o t ) 上 ( 5 o 1 ) iy = 0 ，9 = u 在p i ( 0 ，t ) 上， iy ( o ) = y oy t ( 0 ) = y l 在n 中 系统( 5 0 1 ) 的对偶系统为 靠c = 一a 2 f f = f = 0 6 ( 0 ) = 如6 ( 0 ) = 1 廿= 乱f 曲= 0 在q ( 0 ，t ) 中， 在0 f 2 ( 0 ，t ) 上， 在q 中，( 5 0 2 ) 在r xx ( 0 ，t ) 上， 在1 ox ( 0 ，t ) 上 令妒= ( ，鳓，咖= ( 如，6 ) 我们定义算子一4 + 和b 为 d ( a + ) = d ( 矽) = ( 妇，即- ) 日3 ( n ) 日1 ( n ) i 在8 q 上岛= 岛= 6 = o ) 4 + ( 如，f 1 ) = ( 一l ，a 2 矗) ， 矽( o ，刚= 0 埏o f r ， 我们取x = 职( n ) h 1 ( n ) ，u = l 2 ( r 1 ) 则 u = l 2 ( f 1 ) ，x = h “( n ) x 础( n ) 1 5 第1 6 页 瞄i 我雷】定义算子一4 和算于b 如下 ( 5 0 3 ) ? 协。即用 c s ， i 一( 丁) 怎一6 ( r ) ) j ( n ) 盯- l ( n ) e z 2z ，i a p 1 2 d a q d c ，( 5 0 5 ) e a 2 d u = = 0 。鎏 c s ， 第1 7 页 我们再定义有界算子e ：u 一义如下 e u = ( o ，一d ) ， “u 剧对任意的( 矗，1 ) d ( 一4 ) ，对每个u h 2 ( f 1 ) ，由( 5 0 6 ) 以及如i 舶= a 6 0 l m = 0 ，我们得到， u ，u = ”，x = x x = 7 ( 2 o ) d u d z 2 j n 岛( 2 d u ) d 。 ( 5 0 7 ) n 、7 + 厶 ( 乱岛) d u 一( 岛) ( 巩d u ) d 棚 +(。(乱岛)(d“)一fo(乱du)doqj l a n = u - u = ( ，u 的 即 u - ，u = u - u 3 由于硪稠于u = l 2 ( 1 1 ) ，所以我们有矽= e a 因此，条件( h 3 ) 是满足 而我们鼠【1 1 可知t z 7z ，。i 乱铲n 出i ( 面点) i ( n ) 。日- 1 ( 研 ( 5 0 8 ) 即( h 4 ) 成立 综上所述，系统( 5 0 3 ) 和( 5 0 4 ) 符台条件( h 1 ) 一( h 4 ) 第1 8 页 再证明( i i ) 由定理2 知，系统( 5 0 1 ) 是周期能控的充要条件是t 对任意的初始状态幻d ( a ) ，l 下面能观不等式成立 ，t l ( j e 7 ) c p o i x c i z 尹一5 妒o l 各d s ，( 5 0 9 ) ，0 其中c 为常数， 妒为系统( 5 o 3 ) 的解显然，能观不等式( 5 o 9 ) 等丽于；对任意的 伽d ( a ) ， i 妒。一妒( r ) l 曼g f r l p l 各d s ( 5 0 1 0 ) j 0 注意到系统( 5 o 2 ) 与系统( 5 0 3 ) 的等价性，不等式( 5 o 1 0 ) 即为能观不等式( 5 0 5 ) 第二类：我们再考虑如下系统 口 隐地器0 s o & = 一a 2 f f = 以f = 0 f ( o ) = 如6 ( o ) = f l 妒= f 曲= 0 在q ( 0 ，t ) 中， 在a qx ( 0 ，t ) 上， 在q 中，( 5 0 1 2 ) 在r l ( 0 ，t ) 上， 在f o ( 0 ，t ) 上， 令妒= ( ，6 ) ，妒o = ( 岛，1 ) 我们定义算子a 。和b + 为： d ( 4 ) = d ( 8 ) = ( 可4 ( nn 瑶( n ) ) 瑶( n ) ( 如，矗) = ( 一- ，a 2 o ) ， b ( 岛， 1 ) = l x f o l r ， 第1 9 页 羲们取x = 琊( n ) xl 2 ( n ) ，u + = 工2 ( r 1 ) 则 u = l 2 ( f 1 ) ，x = h _ 2 ( n ) p ( n ) 于是，系统( 5 0 1 2 ) 可被改写为 我们定义算于4 和算子b 如下 一4 ( g ，y 。) = ( 玑，2 ) ，嚣= ( 伊) + 令z = ( y ，轨) ，z o = ( y o ，1 ) ，则系统( 4 0 2 1 ) 可被改写为 ( 5 0 1 3 ) 一砒。) + 层似幻， 托 0 ，卅， ( 5 0 1 4 ) 1z ( o ) = z 。 。“1 我们有如下结果； 定理5 ( ，) 系统佑0 1 1 ) 和0 1 2 ) 是适定的 ( i i ) 系统r 矗0 1 1 ，是周期能控的充分必要条件是t 砷任意的( 岛，1 ) ( 日2 ( n ) n 砩( q ) ) 明( q ) ，下面能观不等式成立， ( 如叫t ) ，卜卵川。n ) 焖c f z ，瞰1 2 锄出，( 5 o 1 5 ) 其中是系统( 5 0 ，“) 的解 证明t 首先证明( i ) ，即检验假设条件( h i ) ( h 4 ) 成立 显然条件( h i ) 成立易见一4 。在瑶( q ) l 2 ( n ) 上生成群，即条件( h 2 ) 成立 下面我们证明条件( h 3 ) 成立 妒 ， 伽 妒 一 = 矽 舻归 ，l_j(1-l_i、 第2 0 页 我们定义d m c h l e t 算于d ：l 2 ( r 1 ) 一工2 ( n ) 如下 我们从【8 l 得到d 为有界线性算子 我们再定义有界算子e ：u x 如下t 在q 中， 在r o 上，( 5 , 0 1 6 ) 在r l 上 e u = ( 0 ，d ) ， n u 5 则对任意的( 岛，1 ) d ( 4 ) ，对每个“皤( r 1 ) ，结合( 5 0 5 ) 以及如l 鲫= 巩岛i o = 0 。我们得到： u ，u = x x = x ，y 一上( 2 岛) 。础 = 一f ，自( 2 d u ) d 。 ( 5 0 1 7 ) j n 、7 + 厶 一( 巩岛) d “+ ( 岛) ( 以d “) d a qa nl j + 二 一( 巩岛) ( d u ) + 如( 乱d “) d a f 2 j 。 o = e ，1 u = u u 即： u ，u = u 。，u 5 由于皤稠于u = l 2 ( r 1 ) ，所以我们有b + = e + a + 因此，条件( h 3 ) 是满足的 0 = 。 慨 = 以仉 饥 一 一 d d 第2 l 页 而我们从 i i 】可知， z r 厶，阪f 2 删蚓渤f ( n ) x 川( n ) ( 5 0 1 8 ) 即( h 4 ) 成立 综上所述，系统( 5 0 1 3 ) 和( 5 , 0 1 4 ) 符合条件( h 1 ) 一( h a ) 其次证明( i i ) 由定理2 知，系统( 5 0 i i ) 是周期能控的充要条件是：对任意的初始状态妒o = ( 岛，f 1 ) d ( a ) ，下面能观不等式成立 l ( i e t ) 妒o 生，sg i b e 4 。3 妒o i 各。d s ，( 5 0 1 9 ) r t j o 其中e 为常数，妒为系统( 5 0 ，1 3 ) 对应于的解显然。能观不等式( 5 0 1 9 ) 等同于，对 任意的咖o ( a ) ， l 妒。一l p ( 丁) i 曼e z 7l b + 妒i 各。d s ( 5 0 2 0 ) 注意到系统( 5 0 1 2 ) 与系统( 5 0 1 3 ) 的等价性，不等式( 5 0 2 0 ) 即为能观不等式( 5 0 5 ) 参考文献 ( 1 1 1 x l ia n dj y o n g ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o r yf o ri n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls y s t e m s ， s y s t e m s & c o n t r o l ：f o u n d a t i o n s a p p l i c a t i o n s ，b r k h i a s e rs o 础o n ，i n c ，b t 0 丑， m a ，1 9 9 5 ， 1 2 】v k o m o m i k ，r a p i db o u n d a r ys t a b i z a t i o no fl i n e a rd i s t r i b u t e ds y s t e m s ，s a i m j c o n t r o lo p t i m ，v 0 1 3 5 ，n o 5 ，1 5 9 1 1 6 1 3 ，1 9 9 7 【3 】ez u a z u a ，e x a c tc o n t r o l l a i l i t yf o rt h es e m i n e a rw a v ee q u a t i o n j m a t h p u r e s a p p l ，v o i 6 9 ，i - 3 1 ，l9 9 0 【4 】e z u a z u a ，e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yf o rt h es e m i n e a rw a v ee q u a t i o n ，i n n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s ，c o l l d g ed ef r a n c e s e m i n a r mv 0 1 x ( p a r i s ，1 9 8 7 - 1 9 8 8 ) ，p i t m a nr e s n o t e sm a t h s e c ，2 2 0 ，l o n g r n a n s c i t e c h ，h a r l o w ，3 5 7 - 3 9 1 ，1 9 9 1 ( 5 张旭，半线性分布参数系统的精确能控性，高等教育出版社，北京，2 0 0 4 1 6 】j d i e s t e la n djj u h l ，j r ，v e c t o rm e a s u r e s ，m a t h e m a t i c a ls u r v e y s ，n o 1 5 ，a n 2 e r - i c a nm a t h e m 8 t i c a ls o c i e t y ，p r i ，1 9 7 7 1 7 j i l a s i e c k aa n drt r i g g i a n i ，d i f f e r e n t i a la n da l g e b r a i cr i e c a t ie q u a t i o nw i t ha p - p l i c a t i o n st ob o u n d a r yp o i n tc o n t r o lp r o b l e m s c o n t i n