（运筹学与控制论专业论文）时滞摄动切换系统的鲁棒控制.pdf

中文摘要关键词 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 摘要 本论文主要研究了时滞摄动切换系统的鲁棒控制问题。在系统运行中，由于 元件老化、灵敏度不够、信息传输延时等原因，经常导致时滞现象的产生。时滞 的出现时常导致稳定的系统不能稳定的工作。另外，几乎所有的实际控制系统都 受到外部扰动的影响，即外界扰动力作用产生的振动将导致控制系统的性能受到 一定程度的影响。那么如何设计控制器消除或减小外部扰动对系统性能的影响就 具有重要意义。本文针对时滞摄动切换系统的鲁棒稳定性进行了研究。利用凸组 合技术、完备性定理、李雅普诺夫函数等方法，探讨了具有变时滞摄动切换系统 的鲁棒状态反馈、风渐近稳定及也动态输出反馈控制问题，得到了时滞摄动 切换系统可镇定的充分条件，并将此条件归结为求解线性矩阵不等式问题，从而 设计出使系统镇定的控制器及切换策略。最后，都通过仿真实例，验证了所设计 方法的可行性和有效性。 本文的安排如下： 第一章简单介绍了切换系统的概念、研究现状、研究方法、应用领域及研究 意义和本文的研究内容、方法、理论与实际意义。 第二章主要探讨了具有变时滞摄动切换系统的鲁棒状态反馈镇定问题。利用 单l y a p u n o v 函数方法和多l y a p u n o v 函数方法，得到了此类切换系统鲁棒镇定的 充分条件。 第三章讨论了常时滞摄动切换系统玑渐近稳定问题。利用完备性定理及矩 阵可满秩分解来降低矩阵维数的特点，给出了时滞摄动切换系统镇定的充分条 件。 第四章研究了一类带有时滞摄动切换系统的巩动态输出反馈控制问题。利 用l y a p u n o v 函数方法及消元法，得到此类切换系统渐近稳定且具有鲁棒性能的 充分条件。最后给出控制器参数的求法。 第五章总结了全文，提出了未来的工作设想及努力方向。 关键词：切换系统，时滞摄动，状态反馈，仉渐近稳定，以动态输出反馈 a b s t r a c t r o b u s tc o n t r o - o fs w i t c h e ds y s t e m sw i t hd e i a y e d p e r t u r b a t i o n s a b s t r a c t i i l 也i sd i s s e 删。玛m ep m b l e mo fr 0 七嘁c o n t lo fs v 讨t c h e ds y s t e m sw i n l d e l ，e d 肼触a ：t i o 璐i sn l a ：i 1 1 l y 舢e d h lt i 坞c o u r o fs y s t 锄s 删n g ，t h ef k t 0 璐 i n c l u d i r 唱p o o r e rp a r t s ，i i l s 喵c i e n t 鸵l 塔i t i v i 够a n dn l ed e l a yo fs i 印a l l 仃缸l s i n i s s i o n b r i n ga _ b c u tt h e 印p e 甜a n o ft i m ed e l a y t h ep h 伽1 0 m e n o no ft i l n ed e l a yo r e nl e a d s t 0t l l ew o r k 、j i ：h i c hm es 组b l es y s t e mc 钺m o ts t a b i l i 鹋i i la d 蜥o n ，灿s t 廿l e 戤蜘甜 c o m m ls y s t 锄sa r es u 均tt 0t ：i 犯i 1 1 1 p a c to fe 疵e 加a ld i s t u r b 觚c e s ，n 跚i 地l y0 m s i d e p e r t i 曲撕o na 砸o no ff 0 赋、) i ，i ul e a dt 0t h ec o n n d ls y s t e m sp e d 0 姗锄c et 0 m e c e r t a i ne x t c i l t 碰l u e 眦e s oh o wt 0d e s i 印t l l ec o n 仃d l l 盯t 0e l i i l l 缸a t eo r 砌d l l c et 1 1 e e x t e r n a ld i s t u r b 龇l c e so nt h ei 1 1 1 p a c to ns y s t e i np e r f 0 皿响n i so fg r e a ts i g n i f i c 锄 1 kd i s s e r 眦i o ni sf o c u s e d0 n 圮s t a _ b i l i 哆o f 也er o b i l s tc 伽血0 lo fs 诵t c h e ds y s 咖s 、析t hd e l a y e dp e 巾曲a t i o n s o n 廿l eb 弱i so fc o n v e xc o m b i n a t i o nr 汹。也t l l ec o n c e p t o fc o m p l e 蛔s s 缸l dl 1 ，a p i m o v 如n c t i o nm “h o d 也ep r o b l 锄o fr o b l l s ts t a ：t ef e e d b k s 讪i l i z 撕o no f 嘶t c h e ds y 呶髓s 丽t ht i m e 删n g d e l a y e dp e m 曲a t i o 璐i ss t l l d i e d 1 k p r o b l e m so f 日。勰) ，r i l p t o t i cs t a b i l 毋a n d 日。d y 舳r n i co u t p u tf e e d b kc 伽l t i 0 l o fs 毗c h e ds y s t e m s 、) l r i md e l a y e dp e m 曲a t i o 璐a 陀c 0 鹏i d e 他d 1 1 圮肌伍c i e m c o n d i t i o 璐f o r 嘲b i l i z a t i o no f 刚t c h e ds y s t e m s 、斑hd e l a y e dp e i t i 毗嘶。璐a 他西v 钮 a ut l l er e s u l t sa 聆e x p 托s s e db yl i i l e 缸m 撕xi n e q u a l i t i e sw i l i c ha r ee 勰yt 0c h e c ki n p m c t i c e 锄d 廿l e nt l 璩c o m r o l l e r 趾dt l l es w i t c l l i l l gl a wa d e s i g 田埘t 0m a l 【et h e s y s t 锄sb e 嘲b i l 渤l e f i n a l l y ，也es 叫撕0 n 托s u d t ss h o wm ee 腩c t i v e s so f 也e m e t h o d m a 册n g 鲫吲n to f “sd i s s e r t a t i i s 嬲f o l l o 、) i ，s i i lc h 印t e r1 ，c o n c e p t i o no fs 嘶t c h i 甜s y s t e m s ，r e c e n td e v e l o p m e n t ，s t u d ym e m o d s a l l d a p p l i c a t i o nf i e l d s o fs 谢t c h e ds y s t e m s 觚dt l l e ns t u d yc o m e n t s ，m “h o d s ， t l l e o r e t i c a l 觚dp 删i c a ls i g l l i f i c 觚c eo f t i 地d i s s e 眦i o na r ei m r o d l l c e db 而e n y i i lc h 印t e r2 ，m ep r o b l 锄o fr o b l l s ts t ；a t ef ；。e d b a c k 鼬i l l 锄i o fs 、) l ，i t c h e d s y s t e m s 谢t 1 1 缸e v a r y i i 培d e l a y e dp e m 曲a t i o 璐i sd i s c u s s e d b yu s i i l gs i n 酉e l y a p 珊o v 胁c t i o nt e c l 面q u e 锄dm u l t i - l y 印u n o v ，t h e 叽m c i e n tc o 础t i o 璐o fr o b u s t s t a b i l i z a t i o na i eo b t a i l 坨d i nc h a p t e r3 ，t h ep r o b l e mo f 日。船”n p t o t i cs 切b i l i 够f o r 鲥舭h e ds y s t 伽啮谢m i i a b s t r a c t d e l a y e d 雕肚u f b a t i o 璐i sc o 邯i d e 他d b 嬲e do nt h ec o n c e p to fc o m p l e t e 】s s 锄d 廿l e c h a r a c t e r i s t i c so fm 撕xf m lr a n i 【l o w 盯d e c o m p o s i t i o nm a 灯政d i n l e n s i o 玛t h e s 墒c i e n tc o n d i _ t i o no fr o b u s t 鼬i l i z a t i o ni so b 缸i i n e d i nc h 印t e r4 ，t h ep o b l e mo f 日。d y 曲面co u q 斌f e e d b a c kc o n 呐lo fs w 沁h e d s y s t 锄s 、i t l l d e l a y e dp e 咖r b a t i o 璐 i sf u l 吐肼s n 成e d o n 廿：屺b 弱i so f i ，y a l p l l n o v - i 硫o v s l 【i i 丘m 洲o nt e c 雠q u e 锄de l i 删。玛仕屺跚伍c i e n tc o n d i t i o 衄o f b l l s t 嘲b i l i z a t i o n 跹d 日。p e r f 0 珊觚c ef - 0 rs y s t 即临a 代0 l 疵i i 皿e d f i n a l l y ，也e l u l 幻no fm ec o n 仃o l l e rp 猢e t e 墙i s 西v 钮 i nc h a p t e r5 ，t l l ew h o l ed i s 删i o ni ss u m m 缸i z e d w b r k 嬲鲫m p t i o ni n 血ef h ：t i l 他 孤dt 1 1 ed i r e 以o f 钮d e a v o r 眦p o i i l t e do u t 嘶、o r d s ： 鲫n ：c h e ds y s t e m s ，悄m ed e i a y e dp e r t u _ a t i o n s ， s t a t ef e e d b a c k ，月二a g y m p t o t i cs t a b j t 蜘月0d y n a m l co u t p u t f b e d b a c k 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在导师的指导下取得的研究成果。据我所知， 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了 明确说明并表示了谢意。 作者签名：盐盔日期：丝：皇：墨f 学位论文使用授权声明 本人授权沈阳师范大学研究生处，将本人硕士学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索；有权保留学位论文并向国家主管部门或其 指定机构送交论文的电子版和纸质版，允许论文被查阅和借阅；有权可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文 在解密后适用本规定。 作者签名：壅垒：莛 日期： 堕：支：主! 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 第一章绪论 一、切换系统综述 ( 一) 混杂系统简介 混杂动态系统( h y b r i dd y 衄m i c a ls y s t e m s ) 体现了计算机科学与控制理论 的交叉。“混杂 意味着连续与离散部分的结合。动态系统分为连续动态系统和 离散动态系统。连续动态和离散动态同时存在并相互作用的系统称为混杂动态系 统。 两个最早的混杂系统模型分别由h s 撇n h a u s e n 【1 1 在1 9 6 6 年和l t a v 锄i n i 嘲在1 9 8 7 年提出。d e c 砌。和ms b 砌c k y 【3 】在2 0 0 0 年综述了混杂系 统的稳定性和镇定问题。 混杂系统模型一般由下列动态方程描述： j ( f ) = 八颤f ) ，p ( f ) ，町) ) j ，o ) = g ( x ( ) ，p o ) ，1 ( f ) ) 烈f + ) = 似x ( f ) ，p ( ，) l l ( f ) ，盯( f ) ) 其中：工( f ) 尺”是连续状态，p ( f ) 1 ，2 ，埘 表示离散状态，顶f ) 是连续控制输入 或某一外部信号。厂，g 是向量场。甲是非连续变换函数。o ( f ) 是离散输入。 迄今，混杂系统已引起了国内外控制界学者的普遍关注卜13 1 。 ( 二) 切换系统描述 切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) 是混杂动态系统中颇具代表性的一类系统。 其连续动态是由若干子系统单独运行描述；离散动态是由切换策略来决定某一时 刻执行哪个子系统。切换策略控制和协调整个系统的正常运行，通常是一个依赖 于时间或状态或其它信号的分段常值函数。 在数学模型中，由若干个子系统组成的切换系统通常用下列微分方程来描 述： 童= 兀( x ) 其中：对v f m = l ，2 ，m ) ，z 是尺”_ r ”的光滑函数，a ： o ，佃) 一m 是切换信 号。o 依赖于时间，或状态x 或其它信号。 特别的，若各个子系统均是线性的，则得到下面的线性切换系统： 文= 彳。x ( 三) 切换系统研究现状 近几十年来，切换系统的稳定性研究引起了许多研究系统控制理论学者们的 兴趣，相关切换系统稳定性的文章可以说是层出不穷，一些优秀的综述性文章 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 【悼1 纠对切换系统的稳定性问题的研究进行了总结和评价，并指出进一步的研究方 向。 与切换系统的稳定性所取得的研究成果相比，有关切换系统其它性质的研究 成果相对较少。文【2 0 - 2 3 】研究了切换系统的可控性和可达性。文【2 4 2 6 】讨论了切 换系统的最优控制问题。文【2 7 2 9 】研究了切换系统的输出调节和输出跟踪问题。 文 3 0 - 3 4 】研究了切换系统的鲁棒镇定问题。文【3 5 】研究了切换系统的自适应控制 问题。文【3 6 】研究了切换系统的儿控制问题。文【3 7 】提出了切换系统的鲁棒容错 控制问题。 ( 四) 切换系统研究方法 迄今，对切换系统的研究所使用的方法包括凸组合技术【1 4 1 、完备性条件【1 5 】、 停留时间口羽、平均停留时间【3 9 1 、s 蝴e l y a p 皿o v 【4 1 1 和m u l 廿i 归p u n o v 函数技 术f 4 2 】、i ，y a 脚m o v 坷【e 函数技术【4 3 】、寻找共同l y a p u v 函数附删、线性化技术m 、 l m i 【4 8 】等方法。 ( 五) 切换系统应用领域 切换系统在计算机磁盘驱动器、无线电通讯、受约束机器人、智能高速公路 控制和飞机多工作点控制等许多实际系统中有着十分广泛的应用【4 9 】。 二、鲁棒控制和风控制理论发展概况 由于建模中不可避免的简化和实际中难以排除的因素，使得系统模型总是包 含某种不准确性；此外，由于环境因素的原因，又可能导致系统参数的摄动。这 种将基于系统模型综合得到的控制器作用于实际受控系统的情形，有可能导致所 组成的控制系统达不到期望性能指标甚至出现不稳定。通常，称相应的理论性问 题为控制系统鲁棒性问题。如果控制系统对标称模型参数一个邻域内的系统误差 或参数摄动仍为渐近稳定或保持期望性能值，那么就称控制系统相对于系统误差 或参数摄动具有鲁棒性。 鲁棒控制理论包含两大类问题，即鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分 析是根据给定的标称系统和不确定性，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒 性综合( 鲁棒控制器设计) 问题就是根据给定的标称模型和不确定性的某一描述， 基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器“，使得构成的闭环系统都满足期 望的性能要求。任何一个系统或多或少都有一定的鲁棒稳定性。关键问题是一个 系统究竟能够允许多大范围的不确定性的存在，或者在已知不确定性的范围前提 下，如何设计控制器使闭环系统具有所期望的鲁棒性。 风控制理论啪1 具有以下几个特点：建立了在频域上进行回路整形的技术 2 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 和手段，克服了经典控制理论和现代控制理论各自的不足，使经典的设计理念与 状态空间方法融合在一起；系统地把控制系统设计问题转换成风控制问题， 因此更接近实际情况，且满足了实际需求；给出了构造鲁棒控制系统的设计方 法，充分地考虑到系统不确定性带来的影响，这样不仅能保证控制系统的鲁棒稳 定性，而且能优化一些性能指标；也控制时域内的最优控制理论，它比最优 调节器更加直接。因此，自从巩控制理论1 9 8 7 年获得广泛研究以来，现已逐步 应用于实际，特别是m a t l a b ，s i 舢l i n k 等实用软件的应用，使也控制理论在 实际中应用得更加广泛。 时滞摄动的研究意义 在实际控制系统中，时滞现象是极其普遍的。如通信系统、化工系统、电力 系统等。时滞的存在使得系统的分析和综合变得复杂和困难，同时时滞的存在也 往往是系统不稳定和系统性能变差的根源。另外，几乎所有的实际控制系统都受 到外部扰动的影响。外界扰动力作用产生的振动导致控制系统的性能受到一定的 影响。如何设计控制器消除或减小外部扰动对系统性能的影响具有重要意义。 四、本文主要工作 ( 一) 研究的内容 本文主要研究了时滞摄动切换系统的鲁棒控制问题。利用凸组合技术、完备 性定理、李雅普诺夫函数等方法，得到了时滞摄动切换系统可镇定的充分条件。 并将此条件归结为求解线性矩阵不等式问题，从而设计出使系统镇定的控制器及 切换策略。最后，都通过仿真实例，验证了所设计方法的可行性和有效性。 本文安排如下： 第二章主要探讨了具有变时滞摄动切换系统的鲁棒状态反馈镇定问题。利用 单l y a p u n o v 函数方法和多l y a p u n o v 函数方法，得到了此类切换系统鲁棒可稳的 充分条件。 第三章讨论了常时滞摄动切换系统仉渐近稳定问题。利用完备性定理及矩 阵可满秩分解来降低矩阵维数的特点，得到了时滞摄动切换系统镇定的充分条 件。 第四章研究了一类带有时滞摄动切换系统的日。动态输出反馈控制问题。利 用l y a p u n o v 函数方法及消元法，得到此类切换系统鲁棒可稳的充分条件。最后 给出控制器参数的求法。 第五章总结了全文，提出了未来的工作设想，以便更深入地对切换系统进行 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 研究。 ( 二) 采用的方法 运用凸组合技术、完备性条件、消元法、单l y a p u n o v 函数方法、多l y a p u n o v 函数方法、线性矩阵不等式技术。 ( 三) 理论与实际意义 本文研究的意义：在理论上，利用上述研究方法，得到了时滞摄动切换系统 鲁棒稳定的充分条件，设计出了鲁棒状态反馈控制器及相应的切换策略。在实际 中，解决“状态反馈的优越性刀和“状态反馈难于构成 的矛盾，采用动态输出 反馈控制方案使输出反馈达到状态反馈功能。同时解决某些特定系统不能由单一 静态状态或输出反馈控制器镇定，但可经由多个控制器之间进行切换来实现系统 渐近稳定的问题。 4 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 第二章具有变时滞摄动切换系统的鲁棒控制 _ - - 一 一、引吾 由于切换系统自身的复杂性，使得对于切换系统的鲁棒性研究变得相当复 杂。而对于系统模型中存在时滞摄动的切换系统的鲁棒控制问题还鲜有报道。本 文针对这类切换系统设计了状态反馈控制器和切换策略，使得闭环系统镇定。最 后仿真结果表明所设计的控制器及切换策略正确、有效。 二、系统描述与预备知识 考虑如下一类时滞切换系统 童( f ) = 4 口工( f ) + e c r ( f ) x ( f 一办( r ) ) + 丑0 “ ( 1 ) 其中，x ( r ) r ”为状态向量，e 。( f ) r 脓”为时滞摄动矩阵，办( r ) 是任一满足 再( f ) = 锄( f ) 西 1 的有界时变函数。仃：【0 ，) 专丝= l ，2 册) 是切换函数。 x ( r ) = ( f ) o 【一再( f ) ，0 】) 为向量连续函数。显然，系统( 1 ) 共有册个子系统。 即 童( ) = 彳。x ( f ) + e ( f ) x ( r j l l ( ，) ) + e 材 ( 2 ) 本文要求摄动矩阵e 是有界的，即存在m 个正常数，7 。，7 ：，7 ，使其满足 ， 慨( f ) i i o ，有下式成立 x t y + y txs 鼍) ( tx + 善一1 y t y 对于系统( 2 ) 要解决的问题是设计状态反馈控制律甜和切换律 仃：【o ，) j 丝，使得切换系统( 2 ) 鲁棒稳定。 三、变时滞摄动切换系统鲁棒控制 考虑单i ，y a p l m o v 函数方法 定理2 1 若存在正定矩阵尸和正实数y ，使得 孑r p + 尸万+ ，2 ，+ 尸2 一廊r p 2 的情形同理可证。 册 由j = 罗口，4 且册= 2 可得 j i i l 彳= 叫l + ( 1 一口) 彳2b = 伍b + ( 1 一口) 岛 否百r = 【a 马+ ( 1 一口) 岛】【值日+ ( 1 一口) 岛】r = 嗍马r + 口( 1 一口) 且岛r + 口( 1 一口) 垦置r + ( 1 一口) ( 1 一口) 易马r = 吗马r + ( 1 一口) 最岛r + 口位一1 ) ( 且一垦) ( 马一岛) r ( 5 ) 将( 5 ) 代入( 4 ) 中，有 口4 7 p + ( 1 一口) 鸣r p + 口p 4 + ( 1 一口) p 鸣+ 7 2 ，+ 尸2 一口p 墨且r p 即 ( 1 一口) 鹧岛r p 一口( 口一1 ) p ( 骂一马) ( 马一岛) r p o 口( 4 r 尸+ p 4 + 7 2 ，+ p 2 一p 蜀且r p ) + ( 1 一口) ( 4 r 尸+ 只乞+ y 2 j + p 2 一p 母2 垦r 尸) 一口( 口一1 ) p ( 骂一垦) ( 且一垦) r p o 所以 口( 4 r 尸+ 户4 + 厂2 ，+ p 2 一p 目马r 尸) + ( 1 一口) ( 4 r p + 只4 2 + y 2 ，+ 尸2 一p 岛垦r 尸) ，有 口x r ( 4 r p + 户4 + 7 2 ，+ 尸2 一竭尽r p ) x + ( 1 一口) x r ( 4 r 尸+ 户4 + y 2 ，+ 尸2 一尸岛岛r 尸) x o 令q l = z r ”i z r ( 彳l r 尸+ 刚l + 7 2 ，+ 尸2 一朋l 占1 r p ) x o q 2 = x r ”卜r ( 彳2 r 尸+ 刚2 + y 2 j + 尸2 一船2 口2 r 尸) x o 则r ” o = q luq 2 6 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 y ( x ( r ) ，) = x r a + 厂2l x r ( d x ( d d 口 设计切换策略 若x q l 删= 仨 ( x o ) q 1 ) ( x ( ) q 2 一q 1 ) 矿( x o ) ，r ) = 童r j 嗡+ x r 1 嗡+ 7 2 x o ) r x ( ，) 一厂2 ( 1 一五( ，) ) x ( f 一办( ，) ) r 工( ，一j i l ( r ) ) = 工r ( 4 r p + _ i 翟一娼且r p ) x + x r o 一| i l o ) ) 巨7 - i + x r p 置x o 一办o ) ) + 厂2 x o ) r x ( r ) 一厂2 ( 1 一再( r ) ) x o 一厅o ) ) r x o 一 o ” z r ( 4 r p + 尸4 + 7 2 ，一p 置且r 尸) x + z r 胁 + x r o 一办( ) ) 蜀r 局x 1 3 f 一向( f ”一，2 ( 1 一j ；o ”x o 一办( f ”r x ( f i l ( r ” ( 6 ) x r ( 4 r p + ，4 + y 2 ，+ p 2 一竭尽r p ) x 0 同理， 当x o ) q 2 一q l 时，有矿( x ( ) ，r ) 0 ( 9 ) 及( 3 ) 式成立。则存在切换函数盯：【0 ，哟专 1 ，2 ) ，使得由式( 7 ) 构成的切换系 统鲁棒稳定。其中咋= 墨x ，墨= 一丢e r p 。 证明：不失一般性，不妨设届和扇同正。由s p r o c e d u r e 引理5 2 1 知，式( 8 ) ， 7 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 ( 9 ) 同时成立司得到f 画结论： 当x r ( 丑一b 冷o 且x 0 时，有 舅r ( 4 r 丑+ 毋彳l + 毋2 + 厂2 j 一只马占l r 只) x 0 当x r ( 最一丑p 0 且x 0 时，有 z r ( 彳2 r b + 最彳2 + b 2 + 厂2 ，一b b 2 丑2 r 忍) x o 令q 。= k r ”卜r ( 乌一b 弦o 且x o q 2 = k r ”卜r ( b 一丑弦o 且x o 显然 q luq 2 = r 打 0 ) 构造b 叩眦0 v 函数 k ( x ) = x7 毋z + 厂2k x r ( x 枷 ( x ( r ) ，) = x r 最x + 厂2l x r ( d x ( 秒) 枷 选取切换策略 吼坤) ) = f _ a r g 陋形( x ( r ) ，r ) 扛1 ，2 考虑系统( 7 ) ，当x q 。时，q ，( ，) ) = 1 即切换到第一个子系统时，有 吃( x ( ，) ，r ) = 莺r 最x + x r 丑童+ y 2 z ( f ) r m ) 一厂2 ( 1 一五( ，) ) x ( ，一 ( ，) ) r x ( f j l ( r ) ) = x r ( 4 r 墨+ 丑4 一丑且骂7 毋) x + x r ( f 一厅o ) ) 巨r 丑x + x r 毋置x ( ，一办( ，) ) + 厂2 x ( ，) rx ( ，) 一广( 1 一再( r ) ) z o 一厅o ) ) r 石o 一 ( f ) ) x r ( 4 r 毋+ 日4 + ，2 j 一丑且且r 丑) x + x r 毋丑x + x r o 一办( r ) ) 互r 巨z ( r 一办o ) ) 一7 2 ( 1 一j ；o ) ) x o 一办o ) ) r x o 一厅o ) ) ，( 4 r 置+ 丑4 + 7 2 ，+ 丑2 一丑马马r 互) x 0 同理可证： 当x q 2 一q l 时，有攻( x ( r ) ，f ) o 故所设计的切换策略和状态反馈控制器使时滞摄动系统( 7 ) 鲁棒镇定。 当届和屈同负时，选取切换策略q 加) ) = f = a r g m i n 形o ( f ) ，f ) ) 扛l ，2 可得到相同的结论。 综匕可知，定理2 成立。证毕。 8 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 四、仿真实例 考虑时滞摄动切换系统： 戈o ) = 彳i x ( ) + e ( ，) x o 一办o ) ) + e “ f = 1 ，2 ( 1 0 ) 式中，j i i o ) = o 5 ( 1 一c o s f ) 时， 4 = ( - ：产一：。5 ) ，4 = ( 竺；一；5 ) ，且= ( 三) ，岛= ( ： 置= ( 一：5 一三4 ) ，易= ( 一：。3 一：6 ) 对于系统( 1 0 ) ，当f = l ，2 时均不稳定，但若采取切换策略( 6 ) ，当口l = 口2 = o 5 孑= ( 茗二嗣m 彳= ii ，口= ll l 一0 5 2 2 5j io 5j 应用l 方法解不等式( 4 ) 有对称正定解p 啦剽蠲，且 ，2 = 0 0 2 5 9 从而q l = k ) i 一1 0 5 2 9 工1 2 一o 2 3 0 2 而x 2 + o 2 3 4 1 x 2 2 ，对于任意的x o ) 尺”，存 在f 1 ，2 ，所 使得x r z 。x 0 成立，则称 z 。，z 2 ，z 肘) 是完备的；如果对于任意 的x ( f ) 彤 ，存在f 1 ，2 ，m ) ，使得x r 互x o ，如果存在五 o 及正定矩阵p ，使矩阵集合 证t z t = a ：p + p a + 矿p m l m ：p + 九n ：n l + y qp b t b lp + c jc ( 5 ) 是严格完备的，那么系统( 2 ) 在给定切换策略仃( x ( r ”下是渐近稳定的。 其中： 仃( x ( f ) ) = f = a 玛 m i i l x r ( 彳尸+ 尸1 4 + 矿p m 。m j p + 九n ：n l 七y 五p b i b ：p + c 1 c ) 心 ( 6 、) 函数孵( ) 表示满足括号内的表达式条件的下标值。f 丝= 1 ，2 聊 证明：对于系统( 2 ) 选取切换策略( 6 ) 构造l y a p u n o v 函数 y ( x ) = x r + 兄，x r ( 秒) 胛i x ( 秒) d 口 当外部扰动p j = o 时，l y a p u n o v 函数沿系统( 2 ) 的导数为： i j r ( x ) = 姗+ 娥+ 触r 7 m x 一缸r ( ，一f ) ，x o f ) = x r ( 彩尸+ m 冷+ x r o f ) 胛m a + x r 删l m x ( ，一_ r ) 1 2 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 + 触r m x 一触r ( r f ) m x o f ) 由引理2 1 知 f q 一心n ：m ：p x + 0p m i n t x q 一砖 5 触r o f ) j x ( ，一f ) + f l x r 蹦m ， 于是 矿( d 石r ( 彳f p + p 4 + 卅l + 才1 肼。m _ 尸) x 由( 5 ) 易知，当切换到第f 个子系统时，矿( x ) o ，考虑，= f ( z r z 一7 2 矿奶西 在零初始条件( x ( 0 ) = 0 ) 下 ，= f 【z r z 一，2 国r 国+ 矿o o ) ) 】西一y o ( 丁) ) 似r z y 2 矿国+ 矿( x ( f ) ) 协 = n x r 口c i 一7 2 矿国+ x r ( 彳- p + 心 + 矧jn l + 妒p m t m l ：n x + 毋霹p x + x 1p b t 哦d l 由引理2 1 知 矿彰 + x r 鹧国厂2 矿国+ ，- 2 x r 魍彰 所以 js 鬈# 蛾c i + 墨p + p a l + 心j n l + 妒p mt m jp + y p b 。琰n x d l o 。此时，称满足、 的闭环系统具有鲁棒日。性能。 下面给出主要结果中用到的假设。 假设4 1 ( 4 ，研，c ? ) 是能稳能检测的。v f 丝= 1 ，2 册) 对于系统( 1 ) 中的定常矩阵e 总是可以分解为两个适当维数的矩阵之积， 即存在两个适当维数的定常矩阵m ，和m 使 e = m ，m ( 4 ) 三、时滞摄动切换系统风动态输出反馈控制 定理4 1 对于给定的常数y o ，若存在正实数力及正定矩阵尸，使得 j ；p + 而i + 感：丙i + 矿p 丽t 丽jp + y q p 嚼零：p + 己j 琶i o ( 酗 成立，则在控制器( 2 ) 的作用下，存在切换策略仃 ( f ”使得闭环系统( 3 ) 镇 定且具有日。鲁棒性能丫。 其中 仃( x o ) ) = f = a 唱 m m x r ( 刀p + p 互+ 允矸冠 + 旯- 1 尸e 厨7 p + 厂- 2 p 耳髟尸+ 曰e ) x ) ( 6 ) 函数a r g ( ) 表示满足括号内的表达式条件的下标值。f 丝= 1 ，2 朋 证明：对于系统( 3 ) 选取切换策略( 6 ) 构造l y a p u n o v 函数 y ( x ) = i r 既+ 旯l i r ( 印砰冠i ( 口) 硼 当外部扰动酬= 0 时，l y a p u n o v 函数沿系统( 3 ) 的导数为： 矿( 工) = j _ 厮+ 豆库+ 后r 丙冠孑一筋r o f ) 刃_ 冠i o f ) = 舅r ( 互r 尸+ ，互) i + 舅7 ( ，一f ) 天7 j c 形尸勇+ i r 嘎冠i ( f f ) + 肛r 刃_ 冠i 一筋7 o f ) 刃冠孑( r f ) 1 7 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 由引理2 1 知 i r ( f f ) j i 7 五酽厥+ i r p 磁冠孑o f ) 于是 詹r o f ) 为冠孑( ，一f ) + 刀1 i r p 盂瓦j 【玎尸舅 1 q 心s j tg 霹p + p i l + 尤嚼：丙t + 妒p 丽i 丽jp 疆 由( 5 ) 易知，当切换到第f 个子系统时，矿( x ) o ，考虑- 厂= c ( z r z y 2 矿妫西 在零初始条件( x ( o ) = o ) 下 - 厂= c 【z r z 一厂2 国7 国+ 矿( x o ) ) 】旃一矿o ( 聊 c 【z r z 一厂2 国，国+ 矿( x o ) ) 】西 = n i r 耳弓i y 2 国7 国+ i r ( 刀p + 甄 + 恁：丙t + 妒p 丽i 丽：蹰+ 矗置j 陬+ i t 两t 础 由引理2 1 知 国r 否_ 尸牙+ i r p 瓦国7 2 国r 国+ 7 - 2 i r 尸耳瓦r ，勇 所以 j 支1 ；i + 1 1p + 而l + 感：r i + 矿a 砀i 砺：p + ) ，- 两罩jp 霭d t o 从而，恍1 ， 综上，闭环系统( 3 ) 在控制器( 2 ) 及切换策略( 6 ) 下鲁棒镇定且具有日。 扰动衰减度丫。 下面给出控制器参数的求法： 首先，解满足如下条件的对称正定矩阵x ，】， 拇( o ：) 1 8 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 伊 筵x + x a + 烈jn i 删i m ：x 研r x a ，令形= ( c 匀 矿心毗 i ，e 一姐 0 o 刎q 1 ooi g o y 2 ， o i qi1 m l磷 一甜0 0 一y 2 ， 00 卅1 o i 形 o ol i 其中：。和。分别是以子空间k e 埘c ? q 】) 和k e 埘研1o 】) 中任意一组基向量作为 列向量所构成的矩阵。 其次，可通过矩阵的奇异值分解计算出满足鲫r = ，一灯的矩阵q 和r 。 最后，从线性方程( ；匀= 攻三多 算出对称正定矩阵p 。 定义动态输出反馈控制矩阵： k ，：f 研研1 ( 7 ) l b a ) 若令互= ( 舌匀，豆= ( 等 ，直= ( 髻0 ) ，e = ( c ? 。) ，e = ( 髻0 瓦= ( 等) ，面= ( 鼍，冠= ( 乞匀 所以闭环系统( 3 ) 的系统矩阵可以表示为 a i = a i + b i k s l ，b l = b l + b i k i d ，c t = c t 不等式( 5 ) 可表示为 v + r k 巨r + 量k r r r r 0( 8 ) 式中：= 历口g 尸，r ：协? o o l 1 9 时滞摄动切换系统的鲁棒控制 巨：p ，o 瓦o r f ，嘎陋口、1 咋i 雾一一蚓 l lc oo j j _ 一、￥= a p + p a l + 矧：nl 式( 8 ) 是关于矩阵变量足的一个线性矩阵不等式，因此，可通过m a t l a b 中的 l m i 工具箱求解出k 。即可得到控制器的参数彳。，e ，c 。，皿。 四、仿真实例 考虑由两个子系统组成的时滞切换系统 宕o ) = 4 m ) + e x o f ) + 剧烈f ) + 砰甜( d z ( r ) = q x ( r ) y ( r ) = c ? z ( r ) + q 彩( ，) 扛1 ，2 ( 9 ) 舯小( 二2 二势耻，研= - i 1 卜- ( 兰办 c ? = ( 三：) ，q = ( i l 呈 ，e 。= ( ：。) 彳：= ( j ：三) ，雹= ( 言：) ，研= ( 二：) ，c ：= ( 一三3 ：) ， c ；= ( 三： ，。：= ( 三二) ，e ：= ( 一：。5 。：。 由式( 4 ) 对置，e 2 进行满秩分解可得 毛= ( ：0 。 ，m = ( 三： ，m ：= ( 一：50 ：。 ，