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数 学 开 放 性 习 题 解 法列举 数学开放性问题通常具有：条件不完备或结论不唯一或解题的方向不确定等特点.就其呈现形式而言，一般可分为：条件开放型、结论开放型和综合开放型等类型.1、条件开放型此类问题的基本特征是结论确定，但条件不够完备；解答此类问题要从给出的结论出发，执果索因，多方位、多角度地思考，寻找结论成立的条件.例1，如图11-1，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的三角形是（ ）.（A）（1）（2）（3） （B）（1）（2）（4） （C）（2）（3）（4） （D）（1）（3）（4）分析：除三角形（2）以外，其它三个三角形均可被一条直线所截而分成两个小的等腰三角形；如图11-2所示，应选（D）.例2，有一道习题，其一部分文字是这样的：已知二次函数y = ax2+bx+c的图象经过点A（c，0），；求证:这个二次函数的图象关于直线x =2对称.其中省略号部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字.（1）根据信息，你认为题中的二次函数可能具有哪些性质；（2）请你把这道题补充完整.解：（1）要使其图象对称轴为x =2，必须 ，b =4.由其图象过点A（c,0），则c2+bc+c=0,c=0或c =b1=3；因此这个二次函数解析式可能是y=x24x，或y=x24x+3.当y=x24x时，有如下性质：b=4；c = 0；函数图象经过原点；=160；与x轴的两交点坐标为（0，0）、（4，0）；顶点为（2，4）.当y =x24x+3时，有如下性质：b=4,c=3；图象与y轴相交于（0,3）；= 40；其图象与x轴两交点为（1，0）、（3，0）；顶点坐标为（2，1）.(2)在省略处可补上：与y轴相交于点（0，3）.注：省略处不能随便补上一个性质，必须注意补上的条件要保证“图象关于直线x=2对称”这一结论，同时注意条件也不要太多，以便画蛇添足.例如，若将“=16”这个条件补上，就不能证明其对称轴是直线x = 2；又如，如果将“b =4, c = 3”这个条件补上，那么原条件“图象过点A（c，0）”就可有可无.第（1）问中，还可以列出一些其它性质；第（2）问的答案也不唯一，如可以填写= 4，且c0.例3，如图11-3，在ABC中，ACB=90，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上.并且AF=CE，（1）求证：ACEF是平行四边形；（2）当B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？为什么？分析：本例（2）、（3）问是一条件开放性问题，（2）要在ACEF是菱形的条件下，找出 B的大小.（3）是在题设条件下对ACEF是否正方形作出判断.证明：（1）FD垂直平分BC，FEAC.CE是ABC斜边上中线,EC=AE=AF,AEC =EAF,AECEAF,AC=FE.ACEF是平行四边形.(2)要使平行四边形ACEF是菱形,只要AC=CE即可.这时,由EC=AE, ACE是等边三角形. B=30.(3)ACEF不可能为正方形,理由如下:由(1)知,E是AB中点, CE在ABC内部，ACEACB=90，ACEF不能成为正方形.2、结论开放型此类问题的基本特征是问题的条件较弱，而结论有待探求；解这类问题要从条件出发，由因导果，探索出符合条件的结论.例4，如图11-4，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须一组即可）.（1）连结 ；（2）猜想 = ；（3）证明.分析：本例要通过补充条件，猜想结论并作出证明.具有很好的开放性.答案为：连结BF，猜想BF=DE.只要证明ADECBF.(或连结DF，猜想DF=BE.证DFCBAE即可).例5，如图11-5，在平面直角坐标系中，已知ABC，点P（1，2）.（1） 求作PQR，使PQRABC（不要求写作法，但要求点P、Q、R三点均落在网格点上，即其横、纵坐标均为整数）；（2） 在第（1）题所作的图形中，求PQR与ABC的周长之比.分析：本题对应于数学课程标准要求：在同一直角坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化；第（1）问PQR的作法很多：最简单的满足PQRABC，则此时P0（1，2）、Q0（2，0）、R0（2，3）；此时第（2）问中的周长之比等于相似比k0 =1；若满足P1Q1R1ABC，P1、Q1、R1三点坐标也可以是P1（1，2）、Q1（0，1）、R1（3，2）；此时周长之比为；若满足P2Q2R2ABC，P2、Q2、R2三点坐标还可以是P2（1，2）、Q2（3，2）、R2（3，4）；此时周长之比为 ，此处仅例举三种解答可能，还有其他解法.例6，如图11-6，AB是的直径，C、E是圆周上关于AB对称的两个不同点，CDABEF，CB与AD交于M，AF与BE交于N.（1）在A、B、C、D、E、F六点中，请一一列出.（2）求证：四边形AMBN是菱形.分析：（1）能构成矩形的四个点有三组：A、F、B、C；A、E、B、D；C、E、F、D.（2）由于C、E两点关于直径AB对称，则弧AC=弧AE；又CDABEF，BD=AC=AE=BF，ABC=BAF，AFBC，同理ADBE，因而四边形ANBM是平行四边形；又可知DAB=FAB=CBA=EBA，便得MA=MB，故平行四边形ANBM又是菱形.注：第（1）问中，应先考虑直径AB所对的圆周角是直角，再考虑三组平行弦：AFBC、ADBE，CDEF，且有CDEF直径AB.在解答开放性问题时，要养成把搜寻的结果进行归类的习惯，并逐步寻找有思维价值的结论.3、综合开放型综合开放型问题是指问题的条件、结论或解法等至少 两项同时呈开放形式的数学问题；解此类问题时要有开放的思维理念，既要注重思维的散射性和灵活性，也要注意思维的批判性与严谨性.例7，如图11-7，将一张等腰直角三角形ABC纸片沿其中位线DE剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两种不同的四边形的名称： 、 .分析：由等腰直角ABC，C =90，则A= 45，又DEBC，则AED =90，且有AE=ED=EC= AC，AD=BD.因而有以下不同的拼法，如图11-8：其中（1）为平行四边形，（2）为矩形，（3）为等腰梯形.不同的拼法可以得到不同的结论.例8，已知关于x的一元二次方程x2+3x+1m=0 （*）.（1）请选取一个你喜爱的m的值，使方程有两个不相等的实数根，并说明它的正确性；（2）设x1,x2是(1)中所得方程（*）的两个根，求x1x2+x1+x2的值.分析：这是一个条件和结论均开放的问题；所谓喜爱的m值，只要在满足判别式大于零的情况下任选一个都行.略解：=94（1m）0 , m .（1）取m =1，则x2+3x=0有两个不等实根.（2）当m=1时，x1x2+x1+x2=3. 注：m的取值不同，（2）中的值也不同.oy图（1）例9，下面照片上的拱门是美国密苏里州圣路易斯市的城市标志性建筑，这拱门的形状是一条抛物线，抛物线的高与宽均为190米，如图11-9：（1）按图（1）所建立的平面直角坐标系，求出这条抛物线的解析式，并求建筑物在100米高处的拱门宽（精确到0.01米）；（2）请你自己在图中，建立另一个适当的平面直角坐标系，求出这条抛物线的解析式.分析：第（1）问虽是一个封闭性问题，但确定抛物线以y轴为对称轴，顶点坐标为（0，190），与x轴相交于（95，0）与（95，0）两点等信息和条件是关键；可设此抛物线解析式为y =ax2+c，故，解析式为 .又令y =100，得,拱门宽为米.第（2）问，建立直角坐标系的方法多样，以考虑抛物线的对称轴为y轴最佳；如图11-10，则其解析式为（也可如图11-10，则其解析.）注：本问中建立不同直角坐标系所得的解析式也不一样；但确定开口方向、跨度等要求的是二次项系数a ，而b、c的值仅确定抛物线在坐标系中的位置.例10，如图11-11，已知ABC、DCE、FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=，BC=1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R . （1）求证：BFGFEG，并求出BF的长；（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答（根据提出问题的层次和解答过程评分）.证：（1）由题设易知AB=FG= ，EG=BC=1，EGFG=1，FGBG=3 = 1.EGFG = FGBG,且G公共，BFGFEG.BFG是等腰三角形，BF = BG = 3.（2）图11-11涵盖了多种几何关系，由（1）的证明，可以提出许多与点P有关的数学问题，例如线段间的平行或相等关系，如求证PCFG，如求证BP=PR；如线段间的比值，如求APPC的值；三角形的全等，如QPCQRD；三角形相似，如BPCABC等等；它们的解答也有层次的不同. 反馈练习1、如图11-12，D在AB上，E在AC，且B=C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定ABEACD的是（B）.（A）AD=AE （B）AEB=ADC （C）BE=CD （D）AB=AC2、在中国象棋棋盘上，建立如图11-13的平面直角坐标系，点A（0，2）是棋盘上“象”的第一跳后的位置（“象”的跳行规则是从“田”字的一个顶点，跳行到对角的另一个顶点）.则（1）“象”是从点（ ， ）处跳到A点的；（2）“象”从点A还可以跳到点（ ， ）处去.(2005年赣州市初三数学综合卷)（1）（2，0）或（2，0）；（2）（2，4）或（2，4）或（2，0）；第（1）（2）问答案均不唯一. C4 C1 BC5 A C3 C2B3、已知右边方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A、 B两点在小方格的格点上，位置如图11-14（1）所示，点C也在小方格的顶点上，且以A、B、C为顶点的ABC的面积为2平方单位，则点C的个数为 ，并以C1、C2、C3、的记法，在右图中标出C点位置. 点C的个数为5，如图11-14（2）标出.abcd4、如图，如果横行上两数字之和相等，竖列上两个数字之和也相等，那么，a、b、c、d依次可为 （只需填写一组你认为合适的数字即可）由题意知 ，解 . 因而任选一组数可以为a =5，b = 2006，c =2006，d =5.5、如图11-15，四边形ABCD是的内接四边形，A是BD的中点，过A点的切线与CB的延长线交于点E.(1)求证：ABDA=CDBE；（2）若点E在CB的延长线上运动，点A在BD上运动，使切线EA变为割线EFA，其他条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不