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快速l e g e n d r e 拟谱方法的理论及其应用 摘要 l 谱方法因具有所谓的谱精度，而得以被广泛的应用，现已同差分法和有限元方法 一棒：成为一种基本的偏微分方程数值解法拟谱方法作为谱方法的一种类型，它只 要求解在一些离散点上满足方程故其计算量较小，且具有与差分法一样的灵活性， 因而实际应用的更多f o u r i e r 和c h e b y s h e v 谱和拟谱方法由于有f f t 的支持，无论 在理论上，还是在计算方面都已经发展的相当完善但非线性非周期性的拟谱方法还 有待发展，尤其是l e g e n d r e 谱和拟谱方法，还缺少快速算法的支持，在数值计算和理 论分析方面还有大量的问题有待探讨# 文主要针对l e g e n d r e 拟谱方法做了一些相关 研究 在第一章，我们介绍了谱方法的发展历史及其基本思想，并比较了谱方法的三种 不同形式即g a l e r k i n 法，t a u 方法，拟谱方法 在第二章，我们讨论了配置点的选取，总结了求配置点的数值算法，并成功的给 出了一种求端点包含导数的g l 型积分节点的数值算法 在第三章，我们系统研究了l e g e n d r e 谱微分矩阵的性质，并给出了二阶微分矩阵 的显式表达式及相应的推导过程最后给出了计算微分矩阵的有效数值算法数值算 例也证实了算法的有效性 在第四章，我们充分利用谱微分矩阵的性质，设计了基于中心对称矩阵的一维和 二维问题的l e g e n d r e 谱配置陕速算法，并针对l e g e n d r e 拟谱格式离散后的线性系统， 引入了有限差分和有限元顼处理技巧数值算例也证实了算法的有效性 在第五六章，我们考虑了发展型方程的拟谱遏近，并以非稳态b u r g e r s 方程为模 型，设计了l e g e n d r e 拟谱格式和预估校正算子的l e g e n d r e 拟谱格式在s o b o l e v 空 间里建立了相应的逆不等式，然后运用能量方法，严格证明了格式的收敛阶一维和 二维的非线性方程的数值结果，也显示了格式的有效性 关键字g l l 配置点? 微分矩阵? l e g e 。d r e 拟谱逼近_ 非稳态b 。r g e r 。方程? 预估 一校正l e g e n d r e 拟谱逼近 e f f i c i e n tl e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o d t h e o r ya n da p p l i c a t l 0 n a b s t r a c t s p e c t r a lm e t h o d s h a v eh i g ha c c u r a c ys oc a l l e dt h ec o n v e r g e n c eo f ”i n f i n i t eo r d e r ”c o n - s e q u e n t l yi t h a sb e e nu s e de x t e n s i v e l yd u r i r 培t h el a s td e c a d e sf o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n o fp d e s ，e s p e c t i a l l yi nt h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d i so n eo ft h et h r e em o s tc o m m o n l yu s e ds p e c t r a ls c h e m e s ：n s d 2 1 e l yt h eg a l e r k i n ：t a na n d p s e u d o s p e c t r a lv e r s i o n s i nt h em e t h o dw o r ki so n l yd o n ei n t h ep h y s i c a ls p a c e - as e to f c o l l o c a t i o np o i n t s w h i c hm a k e si tv e r yf l e x i b l e 8 0i th a sg a i n e di n c r e a s i n gp o p u l a r i t y s o m e o ft h em e t h o d sc o m m o n l yu s e di nt h eh t e r a t u r ea t et h ef o u r i e rp s e u d o s p e e t r a lm e t h o d sf o r p e r i o d i cd o m a i n sa n dt h ej a c o b ip o l y n o m i a l sw i t hc h e b y s h e va n dl e g e n d r ep o l y n o m i a l s a ss p e c i a lc a s e sf o rn o n - p e r i o d i c a ld o m a i n s t os o m ee x t e n tt h a tf o u r i e ra n dc h e b y s h e v p s e u d o s p e c t r a lm e t h o d sh a v eb e e nv e r ym a t u r e ；b e c a u s et h e yc a ne m p l o yf f t b u tp s e u - d 0 6 p e c t r a la p p r o x i m a t i o n sf o rt h en o n l i n e a ra n dn o n - p e r i o d i c a le q a t i o n sa r es t i l la no p e n p r o b l e m i np a r t i c u l a r ，h o wt oe n s u r ea n da n a l y z et h eh i g ha z c u r a c yl e g e n d r ep s e u d o s p e c - t r a la p p r o a c hf o rt h e s ep r o b l e m si sa l s on o tc l e a r t h e r e f o r ：w ea r em a i n l yi n t e r e s t i n gi nt h e l e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a lm e t h o di nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r ；w ew i l lf i r s t l yi n t r o d u c et h eh i s t o r yo fs p e c t r a lm e t h o d s a n da l s o c o m p a r et h et h r e ed i j r e n tv e r s i o n so fs p e c t r a lm e t h o d s i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ew i l lc o n c e r nw i t hh o wt oo b t a i nt h ec o l l o c a t i o np o i n t se f f i 。 c i e n t l y w ew i l lp o i n to u th o w t og e tt h en o d e sa n dw e i g h t so fg l d q u a d r a t u r ef o r m u l a i nt h et h i r dc h a p t e r ：w ew i l ls t u d yt h e p r o p e r t i e so f p s e u d o s p e c t r a l d i f f e r e n t i a t i o nm a t r i x w ew i l ls h o wh o wt od e d u c et h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft w o - o r d e rd i f f e r e n t i a t i o nm a t r i xa n d h o wt oc o m p u t et h e s em a t r i x s e 盘c i e n t l y n u m e r i c a le x a m p l e sd e m o n s t r a t et h ea d v a n t a g e i nt h ef o u r t hc h a p t e r ：w ew i l ls t u d yt h ea l g e b r a i cl i n e a rs y s t e m st h a ta r i s ef r o m l e g e n d r e p s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n sa n dd e v e l o ps o m ee l b c i e n ta l g o r i t h m sb a s e do nt h ep r o p e r t i e s o fd i f f e r e n t i a lm a t r i x sf o rs o l v i n gt h e s ed i s c r e t es y s t e mf i n a l l y lw ew i l ld i s c u s st h ef i n i t e e l e m e n t - b a s e da n df i n l t e _ d i f l o r e n c e - b a s e dp r e c o n d i t i o n e r sf o rt h e s ea b o r es y s t e m s n u m e r i c a l e x a m p l e sd e m o n s t r a t et h ea d v a n t a g e i nt h ef i f t ha n ds i x t hc h a p t e r s ，w ew i l lc o n s i d e rt h el e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a la p p r o x i m a t i o n sf o rt h ee v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s w ew i l lt a k et h eu n s t e a d yb u r g e r s e q u a t i o na sa n e x a m p l et oc o n s t r u c tar e a s o n a b l ep r e d i c t i o n - c o r r e c t i o no p e r a t o rl e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a l 1 s c h e m ea n dp r e s e n tt h ec o n v e r g e n c e t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h eh i g ha c c u r a c yo ft h e m e t h o d k e yw o r d sg l lc o l l o c a t i o np o i n t s ld i f f e r e n t i a t i o nm a t r i x jl e g e n d r ep s e u d o s p e c t r a i a p p r o x i m a t i o n ：u n s t e a d yb u r g e r se q u a t i o n ，p r e d i c t i o n - c o r r e c t i o nl e g e n d r ep s e d o s p e c - t r a la p p r o x i m a t i o n 2 l 工谱方法的历史 第一章绪论 谱方法是一种既古老又新兴的求解偏微分方程的数值方法，它来源于经典的r i t z g a l e r k i n 方法，很早就用于求解弹性力学中的一些问题。其基本思想是将问题的解按 谱函数展开，截断后根据方程确定展开系数，成为有限维问题但是，长期以来它一宣 没有被广泛使用，主要原因是运算量太大比如求一次导数，需要o ( n 2 的运算量，而 在差分法和有限元方法中，只需o ( i v ) 的运算量直到1 9 6 5 年，发现了快速f o r i e r 变 换( f f t ) ，借助于f f t ，可使原来o ( n 2 】的运算量，减少到o ( nl o gn ) ：这给谱方法 带来了生机它也重新引起了人们的重视7 0 年代初，出现了不少研究谱方法计算， 应用及算法稳定性方面的工作如k r e i s s ；o l i g e r 【1 1 1o r s z a g 2 】等人的结果这个时期的 工作由g o t t l i e b 和o r s z a g 总结在他们所写的专著 3 中这以后，q u a r t e r o n i ，c a n u o ， 郭本瑜，p a s c i a k ；f u n a r o ；m a d a y 等人 4 1 【1 0 ，对谱方法从理论上作了系统的研究，对 各种投影算子，插值算子等导出了在各种范数意义下的误差估计，并把这些理论运用 于一系列重要的线性租非线性偏微分方程上，特别在湍流的数值模拟，全球数值天气 预报等领域取得了成功的应用这也证明了谱方法确是一种十分有效的数值方法，谱 方法的主要优点是精度高，在差分法和有限元法中，一个算法的精度被格式本身所限 定而谱方法具有所谓的谱精度，即逼近解的精度会随着精确解的光滑性的提高而相 应的提高，若原问题的解充分光滑，那么谱方法的收敛阶将是无穷阶的现在，谱方 法已同差分法和有限元方法一样，成为一种基本的偏微分方程数值解法【1 1 1 1 4 】 1 2 谱方法的基本思想 谱方法作为一种加权残量法，与差分法和有限元方法的不同之处在于，其试探函 数被取为无穷可微地整体函数( 它们一般是奇异和非奇异s t u r m - l i o u v i l l e 问题的谱函 数) ，根据检验函数的不同选取，谱方法可分为g a l e r k i n 方法，t a u 方法和拟谱方法 ( 谱配置方法) 为了对谱方法有个具体的了解，我们考虑下面的初边值问题 1 5 r ll u ( z ，t ) = ，( 。，t ) ：z n ，t 0 ， i b “( 。，t ) = 0 ，e 勰，t 0 ： ( 1 2 1 ) l l “( z ，0 ) = “o ( z ) z q 其中，a n 为区域n 的边界，工为一微分算子，县为一线性有界算子用加权残量法 匕海交通大学硕士学位论文2 求解( 1 2 1 ) 为：找 u n ( z ，t ) = u b ( x ，t ) + a ( t ) 妒n 扛) ( 12 2 ) n = l 其中， ( z ) h s n s 为试探函数，适当选取u n ( x ，t ) 使u n ( z ，t ) 满足边界条件而a n ( t ) 由下列方程求得 ， 【l u n ( z ，t ) 一，( 。，t ) 巧。( x ) d z = 0 ，t 0 ，n = 1 ，2 ， ( 1 2 3 ) j 3 l 其中( 。) 为权函数初始条件的处理与此类似 谱方法( g a l e r k i n 方法) ：设( ) 满足边界条件，则有u s ( x ，t ) = 0 ，并取权函数 w n ( z ) = 妒。( 。) ，则由( 1 1 3 ) 可得 ( 工( 亡) ，妒。) = ( ，( 亡) ，妒n ) ，n = 1 ，2 ，：( 1 2 4 ) 其中，内积( u ，”) = u ( z ) v ( x ) d x 有时，用投影算子f 来描述此格式十分方便，为 j n 此需定义一个有限维线性空间 并定义耳川知，且满足 = s p a n a ：n = l ，2 ，( 1 2 5 ) ( p t 工，妒n ) = ( u ，妒n ) ：n = 1 ，2 ，一，( 1 2 6 ) 由( 。) 的线性无关性，易知p u 是唯一确定的由此可知( 1 2 4 ) 与下列格式等价 p j v l u l v ( x ，t ) = b r ，( 霉，t ) ( 1 2 7 ) t a u 方法：在此方法中，( ) 是正交的，但并不要求满足边界条件而这时( 1 2 2 ) 中的u s ( x ，t ) 取为 u b ( x ，t ) = n ( t ) ( 。) ： n = + 1 其中m 是独立边界条件的个数权函数仍取为p 。( 。) ，n = 1 ，2 ，在这种情况 下，格式( 1 2 3 ) 变为 ( 工u ( t ) ，妒。) = ( ，( t ) ，妒。) ，n = 1 ，2 ，( 1 2 8 ) 再加上边界条件补充的m 个方程，得到个封闭的方程组此格式相应的投影算子描 述可见 3 1 拟谱方法( 谱配置方法) ：在此方法中，妒。( z ) 的选取与谱方法中相同，但权函数取 为d i r a c6 函数： u n ( 王) = 6 扛一z 。)礼= 1 ，2 ，一，： 上海交通大学硕士学位论文3 其中，。孬称为配置点，且满足d e ( ( ) ) 。0 ，则由( 1 2 3 ) 得 l u ( z n ，t ) = ，( 。n ，t ) ；n = l ，2 ， 上述格式也可以用插值算子描述，为此定义n “，h “( 。) = ( 。) ：n = 1 ，2 ( 1 _ 2 9 ) 由d e t ( ( 。) ) 。0 ，易知_ r n u 是唯一确定的由此可知( 1 2 9 ) 与下列格式等价 n 工u ( z ，t ) = i n ，( 。，t ) ( 1 2 1 0 ) 综上，由( 1 2 ，3 ) 可知，它的未知函数对于谱方法和t a u 方法是解的”f o u r i e r ”系 数，而对于拟谱方法，则是解在配置点上的值可见拟谱方法计算量较小，且有与差 分法一样的灵活性因而在实际使用中，拟谱方法应用的较多事实上，f o u r i e r 和 c h e b y s h e v 谱和拟谱方法由于有f f t 的支持，无论在理论上，还是在计算方面都已经 发展的相当完善但对非线性非周期性的拟谱方法还有待发展，尤其是l e g e n d r e 谱和 拟谱方法，还缺少快速算法的支持，在数值计算方面还有大量的问题有待探讨 1 3 本文的工作 本文主要针对l e g e n d r e 拟谱方法做了如下相关研究： 考虑到配置点是拟谱方法的基石，直接影响着拟谱格式的精度而在l e g e n d r e 拟 谱法中，其选取的配置点为没有显式表示的g l 型积分节点为此，在第二章，对于 此类节点，我们总结了一个统一的数值算法框架，并应用此框架成功的给出了一种端 点包含导数的g l 型积分节点算法 在第三章，我们系统研究了l e g e n d r e 谱微分矩阵的性质，并给出了二阶微分矩阵 的显式表达式及相应的推导过程最后给出了计算微分矩阵的有效效数值算法数值 算例也证实了算法的有效性 在第四章，我们充分利用谱微分矩阵的性质，设计了基于中心对称矩阵的一维和 二维问题的l e g e n d r e 谱配置快速算法，并针对l e g e n d r e 拟谱格式离散后的线性系统， 引入了有限差分和有限元预处理技巧数值算例也证实了算法的有效性 在第五六章，我们考虑了发展型方程的拟谱遥近，并以非稳态b u r g e r s 方程为模 型，设计了l e g e n d r e 拟谱格式和预估校正算子的l e g e n d r e 拟谱格式在s o b o i e v 空 间里建立了相应的逆不等式，然后运用能量方法，严格证明了格式的收敛阶，一维和 二维的非线性方程的数值结果，也显示了拟谱方法的优越性 匕海交通大学硕士学位论文 第二章g a u s s l e g e n d r e 型配置点及其算法 2 1 配置点的选取 4 多项式逼近理论是数值分析中的一个重要内容，并广泛地应用于科学与工程计算 中就像有理数能逼近无理数一样，对适当光滑的任意复杂函数，( z ) 我们可以用简 单的多项式来逼近而获得任意高的精度大多数情况下，这种逼近是通过插值来实现 的，精度的高低与插值点，或者配置点的选取有关特别是在用多项式逼近理论来解 微分方程时，这点至关重要让我们用b u r g e r s 方程的谱逼近来做介绍，对于给定的已 知函数，( 。) ，稳态b u r g e r s 方程的解满足 r1 一“。z + i 1 ( u 2 k = ，。) 1 a = ( 一1 1 1 ) ：( 21 1 1 【u ( 一1 ) = 岬) = o ， 它的弱形式就是找“捌。( a ) 满足 u 出) ( 口) 如一百1 u 2 ( 。) v d x = m ) d z ， 同( a )( 2 1 2 ) 其中础( a ) 是通常的s o b o l e v 空间，即函数和其导数都平方可积，并在端点土1 处为零 的函数的全体设为给定的正整数，p n ( a ) 是a 上所有次数n 的多项式全体 p 殳r ( a ) = p n ( a ) n 嘲( a ) b u r g e r s 方程( 2 1 1 ) 的谱逼近就是找u p 0 ( a ) 使得 u 一) u 一( 。) 出一互1 a ( “) 2 ”一z ) 如= ，( z ) u ( z ) 出； 咖p ( a ) ( 2 1 3 ) 另一方面，设t q ) j o ，和 屿) j ：o ，n 是g a u s s - l e g e n d r e - l o b a t t o ( g l l ) 积分公式的 节点和权点，则 ，妒( 。) 出= 母( z j ) 崎，p 2 n l ( a ) 。 j = 0 定义如下的离散逼近，找讪p ( a ) 满足 n n 云，z ( ) 眦。( q ) 畸一百1 一厶“- 2 ( 町) 口声( 即) 畸 _ 0 0 ：o ( 2 1 4 ) = f ( m j v w ( m j ) “j ： v u r p ( a ) j = o 那么，当 = o 时，我们知道 = 砜永) 眦永) 出 ：一，j 矗，。( 。) 。_ v ，( 。) 如：一n 西肌。( 町) 。m 。( 巧) 。 = 一上l 矗，一( 。) 口_ v # ( 。) 如= 一j = o 西肌( 町) m ( 巧) “。 屿 一扛z扣 o _ u 伽 上海交通大学硕士学位论文5 因此，数值积分处理线性项十分有效类似地，记昂为c ( i ) 到p n ( a ) 上的插值算 子，插值点选为g l l 点，则 d 知( q ) ”，( q ) 畸= ( 如西斋) ( 唧) 口，。( q ) 岣= 如西耋，扛) u z ( x ) d z j = oi = o 。一1 1 = 一( f 面备k ( x ) v n ( z ) d x = ( k 面斋) z ( x j ) v a r ( z j ) w j 所以， s n 满足 ntnn 一豇1 。( z j ) v n ( z j ) w j + ；a 荫) ( q ) ”( 勺) 叫= ，( 勺) 口( q ) 屿 ( 2 1 5 ) j = o。j = oj = o 若选v j v ( x ) 为p oc a ) 上的l a g r a n g e 插值基函数，则 r1 j 一豇】z z ( ) + i 1 ( 如矗斋) 。( q ) = ，( 唧) ， 1 j n l l 面( 一1 ) = f i ( 1 ) = 0 可以证明由于 q b ：0 ，n 的选择，非线性项的逼近效果也十分理想从上面的讨论可 知，由于我们选取了g a u s s - l e g e n d r e 积分节点作为配置点，这使谱格式取得了满意的 效果下面我们讨论如何获得这些积分节点 2 , 2 g a u s s l e g e n d r e 型配置点公式 记a = ( - 1 ，1 ) ，a 是它的团包定义k 次l e g e n d _ r e 多项式为 酬= 丽1 掣，z “ 众所周知，它具有如下的正交性， ( 训础酬硼：j 丽2 沽_ f ： 【o ， 七z 对任意的正整数，a 上所有次数n 的多项式全体记为p n ( a ) ：则 p n ( a ) = s p a n l o ( x ) ，工l ( z ) ，- 一，三_ ( z ) ) 显然p n ( a ) 是上2 ( a ) 的子空间设节点 z j b ：0 ，五：一般求积公式为 l ( $ ) 血j - - - - o 畸，( 町) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) e 海交通大学硕士学位论文 6 或者 m 膨* 妻圳矧+ 硒掣惭掣 ( 2 z 2 ，) 若( 2 2 2 ) 对v f ( x ) p 2 + 1 ( a ) 精确成立，就称 ) ：o ，_ 为g 蛐s l e g e n d r e ( g l ) 型节 点；若，( 一1 ) = 0 ；且( 2 2 2 ) 对v ，( $ ) p 2 n ( a ) 精确成立，则称 x j j ：0 ，n 为g a u s s l e g e n d r e - r a d a u ( g l r ) 型节点；若f ( ：e 1 ) = 0 ，( 2 2 2 ) 对v f ( x ) p 2 n 一1 ( a ) 精确成立，我 们称 q ) j ：o 。，为g l l 型节点若，( 士1 ) = * ( 士1 ) = 0 ：( 2 2 2 ，) 对v f ( x ) p 2 n + t ( a ) 精确成立，我们称 q ) 卢o ，为g a u s s - l e g e n d r e - d e r i v a t i v e ( g l d ) 型节点 下面我们列出相关的表达式 1 1 f 1 2 】： ( i ) g l 型：。，0 = o ，n ) 为三+ l ( z ) 的零点， 旷f 番毒可j ：0 ，1 m ( i i ) g l r 型：q ( j = 0 ，n ) 为l n ( x ) + l n + i ( z ) 的零点， u o _ 万，畸= 丙斋瓣l - - z ，j = ”1 ，蛐2 丽畸2 丽面而掰一_ 上v ( i i i ) g l l 月2 i ：蜘= 一l ，。= 1 ，x j ( j = 1 ，2 ，n - 1 ) 为坐鍪盟的零点 9 1 q 2 而痢。0 ，k ，儿 ( i v ) g l d 型： 。= 一l ，茁= 1 ，( j = 1 ，2 ，一1 ) 为掣的零点 拮 “o2 一西n 2 j 亓j f ；1 了西j _ 丽，5 o ，； 蛐= 。= i 哥可等；丢；，j = 。，m 蛐2 “2 i 哥币了j 1 万石矿j i 玎石丽，j 2 “： u 2 兰尘丛尘i 掣i i 南j = 1 】2 。一1 2 3 g a u s s - l e g e n d r e 型配置点的有效算法 与g a u s s c h e b y s h e v 型求积公式不同的是，上述的节点 q ) j ：0 ，n 和对应的权点 ( 屿) j ：0 ，n 没有显式表示的公式，这给g a u 吕s - l e g e n d r e 型的数值积分的应用带来了极 大的不便，也严重制约了l e g e n d r e 拟谱方法的发展故求解节点和权点的高精度快速 算法已成为l e g e n d r e 拟谱方法的基石关于g l r 型和g l l 型的节点求法已有工作 上海交通大学硕士学位论文 7 1 6 1 1 7 】【1 8 】 19 然而，关于g l d 型的节点求法却没有文献可查，下面我们给出一种有 效的算法记 怕如川= 型字，凤= kl l 址( 圳( 砒硪z ) = 孺霹柄训乩 众所周知，l e g e n d r e 多项式满足如下的三项递推关式 ( + i ) l n + l ( z ) = ( 2 n + 1 ) z l n ( z ) 一n l n 1 0 ) ： n 1 对它求导便得 ( + 1 ) 骂字_ ( 2 + 1 ) 州卅( 2 v + 1 ) z 掣一喘掣 利用l e g e n d r e 多项式带导数的三项递推关式 ( 2 + 1 ) l 。) = d l i v + - i ( x ) 一d l n i - _ ：( x ) 便可推得 掣_ ( 2 + 1 ) z 掣- ( + 1 ) 等字qz q z 。百d l * n ( x ) ；- 而- t - - - - 卢“笔掣+ 笔筹帆学( 2 。- ) 另一方面，由于l n ( x ) 是奇异s t u r m - l i o w i l l e 问题 五d 。、_ x 2 ) 皇兰：竽) + ( + 1 ) 工( z ) = o ；z a 的解将上式关于z 从一1 到z 积分可得： ( 1 - z 2 ) d l - - 墨z ) 一n ( n + 1 ) 圳牡 利用l ( 士1 ) = ( 4 - 1 ) ，得 ( 扎1 ) t d l n ( x ) = 等导( l n + i ( 。) - - l n - ：( 圳 上式隐含着 。t d l n ( x ) = 等导( 等字一等掣) + ( i - x 2 ) 警 于是，我们有 z 掣一衙i - l f l 笔掣 + ! 笙2 巫觚氅字+ 牮掣 上海交通大学硕士学位论文8 结合( 2 3 1 ) 可得 这样 其中 于是 幽可d2l盖r(x)2= 坐之竽鼬垃d 型xd 0 22 ” + 与浮m t 笔学 ( 1 - z 2 ) 学= 。铮胤出) _ o 肌= 雩孕胁，掣一普鼬掣 。掣一普雾踟掣+ 肌 若取l 舭h 掣；掣，e 掣ne 2 = 筹；并记麻= 军踟 则容易发现 a n + i = 0 肌 _ 尻 o 扫 一1 b - n q 屉+ l ( z ) = 0 = = 争$ l 知+ l ( 。) = a l v + l l 南- + l ( x ) 这样，我们有 定理2 3 1 巧b ：o ，为g l d 型节点的充要条件是 b ：。，为a n + i 的特征 值 由于a n + - 是对称三对角阵，相应的权点很易求出 由此，我们也可以看出，关于这四种类型的节点和权点的数值算法本质上都可以 转化为求解对称三对角矩阵的特征问题由于前三种已较为成熟，这里省略考虑到 在l e g e n d r e 拟谱方法中，配置点常取为g l l 型节点为此，下面我们应用上述算法， 给出n = 1 6 时g l l 型节点及相应的权点，结果保留1 5 位有效数字 一 上海交通大学硕士学位论文9 表一n = 1 6 时g l l 型节点和权 k 窖u t 上海交通大学硕士学位论文1 0 第三章l e g e n d r e 谱微分矩阵 3 1 微分矩阵的显式表示 考虑下面的模型问题： 一象( 加m ) ，z e a lu ( - 1 ) = u ( 1 ) = 0 数值求解此类方程的关键是如何近似空间导数，直接差分法一般用中心差商代替空间 方向的二阶导数，即若记h = 嘉，z ，2 j h ，j = 1 ，2 ，一1 q2 “( q ) 可得下面的差 分格式 一素( 嘶一1 2 u j + q + 1 ) = 疗，j = 1 ，2 ，。一，一1 ( 3 - l _ 1 ) 引入向量u = ( t l ，“2 ，i n - 1 ) t ，f = ，2 ，一1 ) 则( 3 1 1 ) 可改写成矩阵的形 式： 一击a 矿= f ( 3 1 2 ) 其中 a = 一21 121 。 1 l一2 为空间导数的离散近似矩阵，矩阵a 结构简单，为( 31 _ 2 ) 的求解带来了方便，但众所 周知此格式的精度只是o ( h 2 ) 也就是说格式本身限制了数值解的精度自然而然，我 们会问那么如何提高格式的精度呢? 而影响格式精度的主要因素是对方程中导数的逼 近。在上面的差分格式中，实际上就是用“在相关等距节点上函数值的线性组合来表 示导数值的那么如果我们选用适当的非等距节点，构造u 在这些节点上函数值的某 种加权组合来表示导数值，是不是会提高解的精度呢? 事实上拟谱方法就是基于了这 种思想当然，这时的离教导数矩阵不再具有类似于矩阵a 那样良好的结构性质，但 却大大提高了格式的精度下面我们就具体讨论这种离散导数矩阵 设 q ，：o ，五是n + 1 个两两互不相等的节点我们用u w ( x ) 表示p n ( a ) 中 的元素记 = ( u ( 。) u ( 1 ) u o ) ) t 警= ( 昙“n ( x 0 ) 毫u ( 2 ：1 ) 乏t ( 。) ) t 上海交通大学硕士学位论文1 1 定义3 1 1 若存在一个( + 1 ) ( n + 1 ) 矩阵d ，使得 d u - n ：d u n + 1 则称d 为相应于节点 唧b ：o ，的一阶微分矩阵( 离散导数矩阵) 下面研究基于g l l 节点的一阶微分矩阵 设z o 1 。是g l l 节点，即方程( 1 一x 2 ) 些炉= 0 的根记u ( 。) = ( z x k ) 定义p n ( a ) 上基于这些节点的n + 1 个l a g r a n g e 插值基函数为 慨2 蒜，皓0 1 1 ，m ( 3 1 3 ) 显然，它满足下列的节点分辨性 妒k ( 。) = 5 k j ，0 k ，曼n 这样，任何u p n ( a ) 可表示为 从而 警( 小吾nu 蒯警埘锄”一， 上式隐含着g l l 节点的微分矩阵为 d = 其相应的显式是【1 1 1 3 d = 警( z o ) 警( 。1 ) 辔( z o ) 訾( z 1 ) 警( 。o ) 辔( z ) 号挚( z ) 名争( 。) - 4 挚( z ) - n ( _ n 一+ 1 ) ：j ：o d 。 掣 ： 4 。 0k = j 0 ，n _ l n ( z k ) lk j l n ( x j ) z k 一 。 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 茁 k妒b u = o “ j 匕海交通大学硕士学位论文1 2 下面我们研究二阶微分矩阵d 的显式公式 ( i ) 先考虑 五女，j o ，n 对( 3 1 3 ) 求导得到 警= 丽南雨( 型竺掣一帮) ， 鲁= 丽击而c 删删c 罄一器，+ 等学s 工s ， 这样， 鲁( 引= 一而l n ( x t ) f 2 哥 ( i i ) 考虑k = j 我们有 貉c 咖避c 型岩端赢描笋，= 筹等 ( i i i ) 考虑端点的情况因为 鲁- _ ( z 警( 瑚_ l ( z 警( 卅( 川) 譬( 瑚， -故k = = 0 ，n 时， 磐) = 坠型等业幽 d 。2 。妒n ( 训= 坠型必 k = n ，j = 0 时，类似地有 鲁( 州- ( - 1 ) 坠掣地；辔( 训卟1 ) 坠掣型 ( i v ) 考虑j = 0 ，1sk n 一1 此时 警- - ( 2 警( _ 1 ) ) - l ( 一锵+ 掣掣酬硼： 誓_ ( 。警( 坩1 鼍掣= 一丽l n ( x k ) 再2 研 当j = ，1sk 曼n 一1 时，类似地有 鲁卜糕瓦 ( v ) 当1sj n 一1 时 咖) = 丽岛躺 上海交通大学硕士学位论文1 3 警) = 丽南雨( 掣) = 碉l n ( z o l 再i k = n 时， 跏= 丽编( 裂) = 丽l j v ( ：j v ) 再1 磐( 圳= l 州n ( 。n ) c 筹等一南) d ( 2 ) = ( n 一1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 ) m ( 一1 ) n 坠掣 k ( n ) ，n ( n + 1 ) 4、 2 l n ( x i ) 、1 + q( i + q ) 2 7 “( z o ) ，n ( n + 1 ) 4 、 2 l 。( q ) 、1 一町( 1 一句) 2 n ( n + 1 ) 3 ( 1 一考) 上n ( 。 ) 2 l 。( ) ( 一q ) 2 = j = 0 ，n ， = n ，j = 0 o r k = 0 ，j = n ： k = 0a n d j 0 ，n ， k = n a n d j 0 ，n ， k = j 0 ，n ， k 0 ，j ，n 现在类似于( 3 1 2 ) 式，模型问题有如下拟谱格式 d ( 2 ) u ：f 同理我们也可定义p 阶微分矩阵 箸卜k 妻= o 啦、幽d x pl = 三n 出 写成矩阵的形式： 盯妒= d ( p ) u n ； 其中 堙= ( 嘴( z o ) 岵( 。) ) t ，= ( ( 。) ) t d i p ) 为p 阶的n + 1 维的微分矩阵 ( d 扫) 女j = 妒 ( 。) ( 正j ) ，0s 七，js ( 3 1 7 ) 上海交通大学硕士学位论文1 4 这里，啼为u ( z ) 的_ p 阶导数在配置点的近似值 以上我们给出了微分矩阵的定义及低阶微分矩阵的显式表达式，下面我们就来讨 论这类矩阵的性质 3 2 微分矩阵的性质 由微分矩阵的定义及插值的全局性，易知微分矩阵不再具有类似于3 1 中矩阵a j 扮那种稀疏性，然而它却还保持某种对称性事实上，注意到配置点的对称性和3 1 中的( 3 1 5 ) 式，我们不难发现一阶微分矩阵中的元素满足下面的关系 ( d ) d = 一( d ) 一七，一j ，0 k ，j 定义3 2 1 2 0 j 若n 阶矩阵= ( r - n j ：1 满足 q ，= f k + 1 一l 一“j ，l ，j = i ，2 ，。一，礼 则称之为中心对称矩阵；若n 阶方阵w n = ( u b ) ：l 满足 ”玎= 一 n + 1 一i ，1 一j ，i ，j = 1 t 2 ，n 则称之为反中心对称矩阵 所以，一阶微分矩阵是反中心对称矩阵而且由定义3 2 1 我们可知， w 为中心对称矩阵或反中心对称矩阵的充要条件是 j r j = r 、j w j = 一w 其中j 是次单位矩阵可以验证j _ 1 = j ，j 2 = i 这里i 为单位矩阵故可得 性质3 2 1 一阶微分矩阵满足关系 j d j = 一d 矩阵r 或 利用( 3 22 ) ，我们又得 性质3 2 2 一阶奇数维微分矩阵的行列式为零即ldi = 0 对于此类微分矩阵，它还满足幂等性即有 性质3 2 3 2 1 p 阶微分矩阵满足幂等性：d = ( d ) p 当p = 2 时，有d ( 2 ) = ( d ) 2 ：再利用性质( 3 2 1 ) 和充要条件( 3 2 1 ) ，我们不难推出 再由上述充要条件可知 d ( 2 ) ：j d ) j ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) e 海交通大学硕士学位论文1 5 性质3 2 4 二阶微分矩阵是中心对称矩阵 进而我们可以得到 性质3 2 5 对于p 阶微分矩阵，当p 为偶数时，d 是中心