（计算数学专业论文）随机多尺度有限元法在复合材料液态成型模拟中的应用.pdf

分类号 u d c 学校代码! 丝坌2 学号! 鳢窆2 2 q 墨1 5 鱼2 武多萎理歹大浮 学位论 文 题目随扭垒尽廑直阻丞法在复金挝魁遗态盛型椹拟虫的座盟 英文t h ea p p l i c a t i o no fm u l t i s c a l es t o c h a s t i cf i n i t em e t h o d 题目i 垒l i g 堕i 鱼q 堡乜q 曼i ! 曼丛q ! 鱼i 塾gs 鱼卫【旦! 垦! i q n 墨 研究生姓名田 蕴 指导教师姓名潘塞蝰职称 数援学位埴 4 3 0 0 7 0 申请学位级别亟 学科专业名称让篡数堂 论文提交日期 2 0 1 1 - 4 3 0 一论文答辩日期 学位授予单位武这理王太堂学位授予日期 2 0 1 1 5 2 5 答辩委员会主席赵维锐 评阅人赵维邀 塞金麦 2 0 11 年4 月3 0 日 独创性声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 弘i lt i 、话 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权武汉理工大学可以将本学位论文的 全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制 手段保存或汇编本学位论文同时授权经武汉理工大学认可的国家有 关机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息 服务 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：回现导师( 签名) ：i 拈嗡日期阳i i 且订研究生( 签名) ：划剡导师( 签名) ：i 秘朔日期阳且订 l 摘要 本课题来源是国家自然科学基金“树脂在双尺度多孔纤维预制体中的非饱和 渗流机理与数值模拟研究”，项目编号：5 1 0 7 3 1 2 5 。 先进树脂基复合材料技术在航空和汽车工业中发挥着越来越重要的作用，世 界主要工业化国家为了解决高性能、低成本复合材料关键技术，都制定了相应的 中长期研究计划。l c m 工艺中树脂在增强体纤维间的流动被考虑为多孔介质的渗 流运动，一般只能采用数值方法求解，目前，大多数渗流分析都采用确定性分析 方法，其中多尺度有限元法是近几年来提出的非常有效的数值计算方法，通过满 足相应的定解问题来构建基函数，能够反映多孔介质渗流运动的物理实质，而且 可以有效的抓住大尺度解的特征而不需要在精细尺度上计算，克服了传统有限元 方法的缺点。然而树脂中每一点的渗透系数均可看成随机变量，那么将这种随机 性引入到多尺度有限元分析中，即形成随机多尺度有限元法。由于渗透系数的随 机性，因此对渗流场进行随机多尺度有限元分析是很有必要的。 本文的主要工作和成果如下： 1 本文分别介绍了随机有限元法和多尺度有限元法，将两种方法结合成一 种新的方法随机多尺度有限元法，然后介绍了随机多尺度有限元法的基本原理， 包括随机变分法、随机多尺度基函数的构建和随机多尺度有限元法的解三个方 面，给出了用随机多尺度有限元法解椭圆型方程的基本方法。 2 本文的主要工作是建立l c mi 艺中树脂充模过程的数学模型，然后运用 随机多尺度有限元法来求解该模型并编写相应的算法，最后利用计算机模拟技术 编写相应的程序对整个过程进行数值模拟。 3 分别用传统的有限元法和随机多尺度有限元法对树脂充模过程进行理论 分析并利用计算机进行数值模拟，并对两种算法的计算结果进行分析比较，验证 了该算法的可行性。通过对树脂流动的数值模拟，分析了树脂流动轨迹和充模时 间；模拟了不同压力作用下预制件内的压力分布情况。 本文的研究结果验证了算法的可行性，为l c m 这种复合材料成型技术奠定了 理论基础，为优化成型工艺参数，模具设计及产品质量控制提出了一种新的算法。 关键词：随机多尺度有限元法，l c m 工艺，树脂流动，数值模拟 a b s t r a c t t l l i si s s u ei st h es o u r o eo ft h en a t i o n a l u n s a t u r a t e ds e e p a g em e c h a n i s ma n dn u m e r i c a l t w o s c a l ep o r o u sf i b e rp r e f o r m ( n o 510 7 312 5 ) n a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f s i m u l a t i o nr e s e a r c ho fr e s i ni n a d v a n c e dr e s i n - b a s ec o m p o s i t em a t e r i a l si na e r o s p a c ea n da u t o m o t i v ei n d u s t r y a r ep l y i n ga ni n c r e a s i n g l yi m p o r t a n tr o l e m o s t l yi n d u s t r i a l i z e dc o u n t r i e si nt h e w o r l dh a v ed e v e l o p e dac o r r e s p o n d i n gl o n g t e r mr e s e a r c hp r o j e c t si no r d e rt os o l v e t h ek e yt e c h n o l o g i e so fh i g h p r o f o r m a n c ea n dl o w c o s t i nl c mt e c h n o l o g y , t h e r e s i nf l o wb e t w e e nf i b r er e i n f o r c e m e n ti sc o n s i d e r e da st h em o v e m e n to fp o r o u s m e d i af l o w ,w h i c hc a no n l yb es o l v e db yn u m e r i c a lm e t h o d s m o s ts e e p a g e a n a l y s i si sd e t e r m i n i s t i c a t p r e s e n t m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dw h i c hi s p r o p o s e di nr e c e n ty e a r si so n eo ft h em o s te f f e c t i v en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm e t h o d s i t sb a s i cf u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db ys a t i s f y i n gc o r r e s p o n d i n gd e f i n i t ec o n d i t i o n s ， w h i c hc a nr e f l e c tt h ep h y s i c a le n t i t yo ft h es e e p a g ef l o wo fp o r o u sm e d i a t h i s m e t h o dc a ne f f i c i e n t l yc a p t u r e t h el a r g es c a l eb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nw i t h o u t r e s o l v i n ga l lt h es m a l ls c a l ef e a t u r e sa n dc a no v e r c o m et h es h o r t c o m i n g so f t r a d i t i o n a l m e t h o d s h o w e v e rt h ec o e f f i c i e n to fp e r m e a b i l i t yo fe a c hp o i n ti nr e s i ni sc o n s i d e r e d a sar a n d o mv a i l a b l e t h e nt h er a n d o m n e s si si n t r o d u c e di n t ot h ea n a l y s i so f m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n t ，w h i c hf o r m e dm u l t o s c a l es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h ec o e f f i c i e n to fp e r m e a b i l i t yi sr a n d o m ，s oi ti si m p o r t a n tt oa n a l y z et h es e e p a g e s t o c h a s t i c a l l y t h em a i nr e s e a r c hw o r k sa n dp r o d u c t i o no ft h i sp a p e ra sf o l l o w s ： 1 ) t h i st e x tr e s p e c t i v e l ye x l a i nt h es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n ta n dm u l t i s c a l ef i n i t e e l e m e n tw h i c hw i l lb ec o m b i n e di n t oan e wm e t h o d m u l t i s c a l es t o c h a s t i cf i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h e nf u n d a m e n t a lp r i n c i p l eo fm u l t i s c a l es t o c h a s t i c a lf i n i t ee l e m e n t i si n t r o d u c e d ，i n c l u d i n gs t o c h a s t i cv a r i a t i o n a la p p r o a c h ，t h ec o n s t r u c t i o no fm u l t i s c a l e s t o c h a s t i cb a s i cf u n c t i o na n ds o l v i n gm e t h o do fm u l t i s c a l es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n t m e t h o d a n dt h eb a s i cm e t h o do fs o l v i n ge l l i p t i ce q u a t i o nb ym u l t i s c a l es t o c h a s t i c f i n i t ee l e m e n ti sg i v e n 2 ) t h em a i nw o r ko ft h i sp a p e ri st oe s t a b l i s ht h ef e s i l lf l o wm o d e li nl c m p r o c e s st os o l v et h em o d l ea n dw r i t et h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m ，a n df i n a l l yu s e c o m p u t e rs i m u l a t i o nt e c h n o l o g yt os i m u l a t et h ee n t i r ef i l l i n gp r o c e s s 3 1w es i m u l a t e dt h er e s i nf l o wb yt r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d m u l t i s c a l es t o c h a s t i cf i n i t ed e m e n tm e t h o dr e s p e c t i v e l ya n dc o m p a r e dt h er e s u l t s w i t ht w om e t h o d st ov e r i f yt h ef e a s i b i l i t yo ft h ea l g o r i t h m t h r o u g ht h en u m e r i c a l s i m u l a t i o no ft h er e s i nf l o w , a n a l y z et h el o c a t i o no ff l o wf r o n ta n dt h ef i l l i n gt i m ea n d t h ep r e s s u r ed i s t r i b u t i o nu n d e rt h ed i f f e r e n tp r e s s u r e t h er e s u l t so ft h i st e x tv e r f i e dt h ef e a s i b i l i t yo ft h ep r e s e n t e da l g o r i t h ma n dl a i d at h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o fl c mp r o c e s sa n dp r o p o s e d an e wa l g o r i t h mf o r o p t i m i z a t i o no fm o l d i n gp a r a m e t e r , m o l dd e s i g na n dc o n t r o l i n gt h ep r o d u c tq u a l i t y k e y w o r d s ：m u l t i s c a l es t o c h a s t i cf i n i t ee l e m e n t ，l i q u i dc o m p o s i t em o l d i n g , r e s i nf l o w , n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 目录 摘要i a b s t r a c t ：i i 目录 第l 章绪论1 1 1选题背景。l 1 2国内外研究现状4 1 2 1 多尺度计算方法的研究4 1 2 2 随机有限元法的研究5 1 3课题研究的意义与内容2 6 1 3 1 课题研究的意义6 1 3 2 课题研究的内容。7 第2 章随机有限元理论8 2 1概率空间和随机变量。8 2 2随机g a l e r k i n 方法8 2 3随机有限元逼近9 2 4 均匀化方法1 l 2 4 1 确定均匀化理论：1 l 2 4 2随机均匀化理论13 第3 章多尺度有限元理论15 3 1多尺度有限元法的基函数1 5 3 2 多尺度有限元法的超样本技术1 7 第4 章随机多尺度有限元法19 4 1随机变分原理1 9 4 2随机多尺度基函数2 0 4 2 1细尺度基函数2 2 4 2 2 粗尺度基函数2 2 4 3概率空间离散2 3 4 4 有限元空间离散2 4 第5 章树脂流动模拟算法设计2 5 5 1控制方程的建立2 5 5 1 1树脂流动模型2 5 5 1 2 连续性方程2 6 i v 5 2控制体有限元法2 7 5 3 算法的设计2 8 5 3 1模型求解2 8 5 3 2算法实现2 8 第6 章树脂充模过程的数值模拟3 0 6 1算法有效性验证，一3 0 6 2注射压力的影响3l 6 3本章小结3 4 第7 章总结与展望3 5 7 1 全文总结：3 5 7 2展望研究3 5 参考文献3 7 附录4 1 致谢4 2 v 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 选题背景 第1 章绪论 复合材料0 1 2 1 ( c o m p o s i t em a t e r i a l s ) ，是由两种或两种以上不同性质的材 料组成，通过化学或物理的方法可知其在宏观结构上具有新性能。在性能上各种 材料均不相同，因此将其复合可以互相取长补短，产生协同效应，使复合材料的 综合性能优于原材料而又能满足各行各业的需要。复合材料的基体材料分为金属 和非金属两大类。 复合材料是越来越受到人们欢迎的高性能产品( 尽管它们通常需要较 高的费用) ，其应用非常广泛，大到航空航天部件，小到同常用品，比如钓 鱼竿，棒球球棒等。如新型波音7 8 7 飞机的结构包括机翼和机身主要由复 合材料组成，此外，复合材料在矫形外科领域中的应用也越来越常见，在 近几年得到了飞速的发展。 复合材料是一种混合物。其在很多领域都能发挥巨大的作用，取代了 很多传统的材料。复合材料按其组成可以分为金属与金属复合材料、非金 属与金属复合材料。按其结构特点又可分为纤维复合材料、夹层复合材料、 细粒复合材料、混杂复合材料【3 1 。 复合材料中的纤维增强材料由于其比重小、比强度和比模量大的特点 使其应用最为广泛。这种材料的另外一个特点就是各向异性，因此其纤维的 排列可按照预制件不同部位的强度需求来设计。碳纤维复合材料是当今运 载火箭和航天器的关键材料，广泛应用于太阳能面板基板、天线反射器和 航天器的轭，还用于有效载荷适配器、级问结构和运载火箭的隔热板。另 外还有以碳纤维和碳化硅纤维增强的铝基复合材料、碳化硅纤维与钛复合 材料等，均有广泛的应用。 树脂基复合材料采用的增强材料主要有玻璃纤维、碳纤维、芳纶纤维、 超高分子量聚乙烯纤维等。2 1 世纪的高性能树脂基复合材料是集各种功能为 一体的智能化材料。先进树脂复合材料技术在航空、汽车工业、化工纺织、机 械制造以及医学领域中发挥着越来越重要的作用。我们要充分利用现存的技术和 物质资源以及各方面的优势，进一步推动复合材料的制造和发展。 复合材料成型有很多种方法，包括手工制造成型，喷附成型，缠绕成 型，压缩模塑成型( s m c ) ，b m c 注射成型以及复合材料液态成型( l c m ) 等。 这些方法均用于制造不同类型的复合材料并且每种都有其独有的特征，而 要选择制造复合材料的最佳方法一般遵循一下准则，其一，制造过程对坏 武汉理_ t 大学硕士学位论文 境不会造成污染；其二，制造出的复合材料要求低成本，高品质。本课题 将对复合材料液态成型( l c m ) 工艺进行研究。 复合材料液体成型3 】【4 】【5 1 ( l i q u i dc o m p o s i t em o l d i n g ，l c m ) 工艺， 是最近几年发展起来的一种制造复合材料的技术，其主要特点是低成本、 高性能，主要过程是通过压力作用将液态聚合物注入到铺有增强纤维材料 的闭合模腔中，液态聚合物在浸渍纤维的同时完成流动充模，然后经固化 成型脱模后得到产品。 复合材料液态成型工艺越来越受到人们的重视主要由于其时间周期短，成本 低，高品质，并且能够制造出各种复杂几何形状的高性能复合材料。复合材料液 态成型过程包括f 6 】树脂传递成型( r t m ) 、结构反映注射成型( s r i m ) 、真空辅 助树脂传递模塑成型( v a r t m ) 、树脂浸渍模塑成型工艺( s c r i m p ) 、树脂膜熔 渗成型工艺( r f i ) 和树脂注射成型( r i p ) 。虽然l c m 工艺中每个过程的具体步 骤不同，但其基本原理都是将纤维预制件放入闭合模腔内，然后在压力作用下将 一种或多种液态树脂注入闭合模腔内，待树脂固化脱模后即得到产品。与其他的 纤维复合材料制造技术相比，l c m 技术具有其他技术所不具备的优势：其一， 可生产的构件范围广，纤维可根据结构的要求采取定向的方式铺放，l c m 与传 统的一系列成型相比，具有模具质量轻，成本低，性能高的特点。其二，l c m 工艺是在闭合模腔中成型，还可以控制诸如聚苯乙烯之类物质的挥发，为工作人 员的生产环境有了进一步的改善，并且节约了生产成本。尽管l c m 对于制造复 杂形状构件是一种非常行之有效工艺方法，但是获得高质量成型制品的关键还是 在于如何合理的，正确的选择工艺参数。而工艺参数主要包括成型时的温度，压 力，以及充模包压时间等，那么确定这些工艺参数的依据主要取决于l c mi 艺 过程中树脂的流变特性及其变化规律，因此树脂充模过程是最关键的一步。 复合材料液态成型( l c m ) 工艺过程【7 1 主要由以下几个方面构成： 预制件的制造：这个过程是按要求将增强纤维按要求或铺设、或编织、或缝 纫成一定形状的预制体。 充模：在模具中放入预制件闭合之后，在一定条件下将树脂注入模具( r f i 工艺是将树脂膜直接放置在模腔的预制件下面) ，树脂在浸渍纤维增强体的同时 将空气排出，直到树脂完全浸透预制件。 固化：在充模完成之后，通过加热使树脂发生交联反应，固化成型。 后处理：当树脂完全固化，即固化反应结束之后，打开模具取出制件，进行 最后的处理。 其中，树脂充模过程为整个l c m 工艺的关键过程。其实在所有的复合材料 成型的工艺中，树脂流动的整个过程影响着材料最终的内部微观结构，而复合材 2 武汉理工大学硕士学位论文 料的性能主要取决于其微观结构，所以树脂流动最终会影响到复合材料制件的性 能。在绝大多数连续纤维复合材料的加工成型过程中，增强纤维体最初是处于预 浸渍状态，那么要了解充模过程中树脂在预制件中的流动状态，就必须知道纤维 在小范围内体积分数和重新定位的变化【8 】。复合材料液态成型中的增强纤维网格 最初是处于非浸渍状态，将增强纤维网格完全浸渍即是该工艺的最终目的。由于 在树脂注射过程中充模( 宏观流动) 和纤维的浸渍( 微观流动) 是同时进行的， 所以复合材料液态成型工艺的主要问题便是应该如何控制这两个相互竞争的流 动。 一个合理的树脂充模的数学模型，必须准确描述树脂充模时浸渍纤维增强 材料的流动行为。描述复合材料液态成型工艺( l c m ) 中树脂的这种流动行为， 一般采用的是达西定律。达西( d a r c y ) 定律f 9 】【1 0 1 主要用于描述牛顿流体通过多 孔介质的流动行为，然而多孔介质复合材料的内部几何结构与其材料的微观分布 形态都非常的复杂，所以一般情况下只能采用数值方法对其流动行为进行求解， 数值方法一般采用有限差分法或者是有限元法，但如果直接利用这两种方法之一 求解，网格必须划分得非常细才能够达到实际工程所需的精度要求，这样一来势 必会造成巨大的计算量，普通的计算机难以承受，有时甚至无法求出结果。如果 网格划分得不那么细，即只在粗尺度上求解，则无法捕捉到细尺度上的信息，达 不到工程的精度要求。因此，要寻求一种新的方法来解决类似的问题，这种方法 既可以节省计算机资源，又能够保证计算结果的精度够高，从而就推动了多尺度 计算方法的发展 1 q 。 从纤维在复合材料中排列不规则的事实出发，数值模拟的方法初步研究了纤 维排列的随机性，并将结果初步应用在复合材料模量的细观力学计算中，发现纤 维随机排列对细观力学研究复合材料的力学性能有很大的影响【1 3 】【m 】，那么如何 在复合材料细观力学中恰当地考虑纤维随机排列是一个值得研究的问题。观察复 合材料横截面上纤维的排列可以看出呈现明显的随机性，然而现有的模型很少虑 及这种特性，或是考虑的不够直观，但是这种随机特性对复合材料性能会产生显 著的影响。 现有的解决多尺度或者是随机偏微分方程的数值方法很多，然而解决随机多 尺度问题的方法微乎其微。随机多尺度有限元法的思想主要基于随机变分法和随 机多尺度基函数的构建，它可以有效地量化粗尺度的不确定性而不需要同时在细 尺度上进行计算，可以克服传统的有限元法的缺点。 3 武汉理工大学硕士学位论文 1 2 国内外研究现状 1 2 1 多尺度计算方法的研究 大量工程应用和自然科学的问题都具有多尺度特征，因此对于自然界中的 诸多问题，我们希望能够建立多尺度模型来解决这些问题，这样的模型要既能如 实的反映问题的自然属性、同时又具有较高的计算精度并且还有一定的理论支 持。随着多尺度建模的逐渐发展，那么处理多尺度问题的类型也会逐渐增多，进 而多尺度问题的求解引起了广大数学家们的关注，从而就推动了多尺度计算方法 的进一步发展 对于多尺度问题，传统的数值方法在细尺度上进行求解，需要对求解区域进 行非常精细的剖分，由此产生过多的节点数量，为了得到比较满意的结果往往需 要耗费巨大的计算量和很长的计算时间。若只在粗尺度上求解，则忽略了细尺度 的影响，得不到较高精度的结果，最终不能达到工程的要求，因此，科学家们一 直在寻求一种既可以节省计算资源，又能够保持较高计算精度的新的数值方法来 处理多尺度问题。特别是近年来提出的一些先进的理论方法和计算机技术的进 步，为大规模，高精度的多尺度模型计算的发展提供了强大的动力支持。 基于多尺度问题求解的复杂性，国内外学者提出了一些多尺度计算方法f l 引。 多尺度计算方法包括多重网格法( m u l t i g r i dm e t h o d ) 、自适应方法( a d a p t i v e m e t h o d ) 1 2 6 1 3 7 1 1 4 9 1 、区域分解法( d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ) 1 1 7 1 2 1 1 、多尺 度有限元法( m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 1 8 1 | 2 0 】【2 2 1 、均匀化方法 ( h 0 m o g e n i z a t i o n ) 、非均匀多尺度方法( h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ) 、 小波数值均匀化方法【2 3 l 【2 4 1 ( w a v e l e t - b a s e dn u m e r i c a lh o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 、 变分多尺度方法( v a r i a t i o n a lm u l t i s c a l em e t h o d ) 、单位分解法( p a r t i t i o no f u n i t ym e t h o d ) 以及多尺度有限体积法【3 6 l j ( m u l t i s c a l ef i n i t e v o l u m em e t h o d ) 等，下面将对以上方法进行简要介绍。 多重网格法通过对求解区域划分粗、细网格，形成相应的差分或有限元离散 方程。虽然利用粗网格校正和误差光滑技术可以适当减小工作量，但是仍然需要 在细尺度上求解原问题，这就使得它在解决大规模、跨尺度的实际问题时仍存在 很大的计算量，有时候甚至难以求解。 区域分解法根据研究区域划分时有无重叠，可分为重叠型和非重叠型。重叠 型区域分解法源于经典的s c h w a r z 交替法，将其与投影法结合可大大简化收敛性 分析。 多尺度有限元法在宏观尺度上进行剖分，然后通过在单元上求解局部微分方 程( 线性的或者振动的边界条件) 来构建多尺度基函数，这样构建的基函数可以 4 武汉理工大学硕士学位论文 反映微观尺度的信息，那么在粗尺度上的解包含了细尺度的信息，在粗网格上求 解原问题不仅可以节约时间和大量的计算机资源，而且可以保证较高的计算精 度。该方法继承了传统有限元方法的优点，是处理多尺度问题行之有效的数值方 法，该方法的关键是构造多尺度基函数。 均匀化方法通过对微结构呈周期性的单胞元系统进行研究，将细观尺度的信 息反映到宏观尺度上，从而导出宏观尺度的均匀化等式，这样便可在宏观尺度上 求解原问题。 小波数值均匀化方法基于多分辨分析，首先在细尺度上建立原方程的离散方 程，然后对离散方程进行小波变换，从而得到大尺度上的均匀化算子。该方法是 在大尺度上求解方程，这样可以大大地减少计算时间，节约计算机资源，但是不 足的是小波变化的过程相对比较复杂。 多尺度有限体积法通常在控制体单元对微分方程积分得到单元平衡方程，通 过不同的方法离散平衡方程便得到了不同的有限体格式，使得该方法能够进行灵 活的网格剖分，而且可以处理比较复杂的几何区域和边界条件，是一种介于有限 差分法和有限元法之间的数值方法。 1 2 2 随机有限元法的研究 在有限元计算中引入不确定因素，形成的随机有限元法( s e f m ) 与确定性有 限元法相比更符合实际，更具有合理性。在确定性有限元中引入变量的随机性， 从而建立了可用于渗流随机性分析的随机有限元法为渗流分析进一步发展提供 了依据。 7 随机有限元最初的思路是m o n t e - - c a r l o 方法f 3 7 j 与有限元相结合，严格来说， 这并不是真正的随机有限元，真正的随机有限元开始于2 0 世纪7 0 年代，根据随 机变量的展开形式不同，于是形成了不同的随机有限元法。 随机有限元法分为摄动随机有限元法、t y a l o r 展开随机有限元法和谱随机 有限元法。 、 1 t a y l o r 展开随机有限元法f 3 8 ( t s f e m ) 该方法的基本思路是将有限元格式中的控制量在随机变量的均值点处进行 t y a l o r 展开( 一次或二次) ，经过适当的数学处理得出所需要的计算表达式。 t s f e m 公式推导简洁明了，易于编程，是一种高效、实用性强的方法，尤其是一 次t s f e m 的效率是所有随机有限元法中效率最高的。 2 摄动随机有限元法【3 9 】( p s f m e ) 该方法是假定基本随机变量在均值点处产生微小摄动，利用t a yl o r 级数把 5 武汉理工大学硕士学位论文 随机变量表示为确定性部分和由摄动引起的随机部分，从而将有限元支配方程转 化为一组线性递推方程，从而对其求解，则可得基本随机变量的统计特征。 3 谱分析方法最初被用来求解偏微分方程的解析解，1 9 9 1 年g h a n e m 和 s p a n o s 弘l 把谱的概念与有限元相结合，用于求解不规则边界的随机偏微分方程， 形成随机有限元的一个新方法，其主要思想是用谱方法将随机过程用离散的、独 立的随机变量来表示，从而可对基本随机变量进行离散和数值求解。 1 3 课题研究的意义与内容 1 3 1 课题研究的意义 在l c m 工艺中，工艺参数的选择对于制品质量有显著的影响，一般而言，只 通过实验的方法来优化l c m 的工艺参数，往往成本高，耗费时间，而且不切实际， 因此我们用数值模拟来替代实验的方法。实际上，通过计算机的数值模拟l c m 工艺的充模过程可以有效地指导生产者选择合适的模具及工艺参数，从而解决生 产过程中出现的一些缺点，正是由于这些优点，所以对l c m 工艺开展数值模拟研 究工作具有重要意义。 本课题将着重针对l c m 工艺中树脂充模过程进行理论分析和数值模拟的研 究，建立l c m 工艺中相应的能反映充模过程的数学模型，并结合计算机模拟技术， 实现对l c m 工艺过程中树脂在预制件中的渗透流动行为、完成浸渍充模时间、以 及充模完成时预制件内压力分布的数值模拟，为这种液态复合材料成型工艺奠定 了坚实的理论基础，并且为优化工艺设计、降低工艺实验成本、模具设计以及产 品质量控制等方面提供了有效的技术手段。 在l c m 工艺中，树脂在纤维预制件内的流动通常被看作多孔介质的渗流运 动。传统的有限元法都属于确定性分析方法，即不考虑渗透系数的变异性，在计 算过程中，树脂中每一点的渗透参数值都取一个确定的值，但是，树脂流动模型 具有一定程度的不确定性，因此有必要在有限元方法中引入随机变量。而随机多 尺度有限元法通过在单元上求解简化的椭圆型边值问题来构造基函数，基函数能 反映单元内介质的特性，可以有效的量化粗尺度的不确定性而不需要同时在细尺 度上进行计算，克服了传统有限元法网格过密、计算量大的缺点【4 1 1 。 随着多尺度计算方法的不断发展，它在科学和工程领域中的应用也越来越广 泛。在过去的十年里，确定性多尺度模型在数学物理和工程学科上已取得了很大 的进步，但实际上所有的跨尺度信息包含有一定的不确定性，因此将随机过程合 并到多尺度模型中是很多应用中必不可少的一步，随机多尺度计算模型将会成为 6 武汉理工大学硕士学位论文 日后研究的前沿。 。1 3 2 课题研究的内容 针对复合材料液态成型的工艺特点，本文采用有限单元法作为基本数值模 拟工具，从以下几个方面展开研究工作： 1 随机有限元理论 分别从随机g a l e r k i n 方法，随机有限元逼近和均匀化方法三个方面介绍随 机有限元理论，主要为后面的方法做铺垫。 2 多尺度有限元理论 本章分别从基函数的构造、基函数的边界条件及多尺度有限元法的超样本技 术三个方面来介绍多尺度有限元法的相关原理。 3 随机多尺度有限元法的基本原理 随机多尺度有限元法可以有效地量化粗尺度的不确定性而不需要同时对细 尺度进行计算。本章分别从随机变分法、随机多尺度基函数的构建，以及随机多 尺度有限元的离散来介绍随机多尺度有限元法的相关原理。 ， 4 树脂流动模型算法设计 树脂流动主要包括两个部分：模型的构建和求解。首先，利用达西定律给出 树脂流动模型的控制方程。然后，结合控制体有限元法和随机多尺度有限元法来 求解控制方程，给出具体算法并画出流程图。 5 应用随机多尺度有限元法对复合材料液态成型工艺中的树脂流动行为进行数 值模拟 根据树脂流动的数学模型，采用随机多尺度有限元法对模型进行求解，并编 制相应的m a t l a b 语言程序进行数值模拟。通过对不同压力作用下树脂充模过程 的模拟，分析预测树脂流动轨迹，流动前沿位置和充模时间。 7 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章随机有限元理论 在l c m 工艺中，树脂在纤维预制件内的流动过程通常被看作不可压缩的牛顿 流体通过多孔介质的渗流运动，以往的分析方法均属于确定性分析方法，即不考 虑渗透系数的变异性，在计算过程中，树脂中每一点的渗透参数值都是取一个确 定的值，然而，树脂流动过程具有一定程度的不确定性1 3 7 1 。那么为了解决这一 相关问题，有必要将随机有限元法引入渗流计算中，让模拟过程更符合实际。本 章将详细地介绍随机有限元法的相关原理。 2 1 概率空间和随机变量 假设用q 代表样本空间，缈为基本事件，则功q ，p 代表概率测度，则概 率空间用( q ，f ，p ) 表示，x 表示随机变量，对于连续性随机变量，其概率密度函 数记为z ( 功，分布函数记为鼻( x ) 。 随机变量x 的均值： 咤 = ( x ) = lx f ( x ) a x ( 2 一1 ) 其中，( ) 表示求随机变量的均值。 方差： 盯2 = ( ( x 一) 2 ) = ，( x 一) 2 ( x ) d x ( 2 2 ) n 阶矩： ( x ”) = p 厶( x 胁 ( 2 3 ) 随机变量x 和y 的协方差： c o v x ，y 】= 0 。 假设= ( 矿，r i o ) ，r7 1 0 ( c o ) = 1 ，则得到以下定理 定理2 3 ( 弱收敛定理) 上述偏微分方程的解u e ( x ，缈) v 弱收敛于下面确定 性变分问题的解u ( x ) v o p v “( x ) v v ( x ) + 口i d x ”( 石) v ( x ) = j d x f ( x ) y ( x ) ( 2 4 5 ) d u d 所有的y ( 功，即当占专0 时( “5 ，y ) l 一( “， ，) l 定理2 3 是均匀化系数在椭圆随机系统里的求解方法。 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章多尺度有限元理论 多尺度有限元法的关键在于基函数的构建，它是通过满足简化的椭圆型方程 来构建基函数的，这样可以有效的抓住大尺度解的特征而不需要在精细尺度上计 算。应用传统的有限元法模拟l c m 工艺过程可能会有困难，因为采用的基函数不 反映充模的物理实质，而多尺度有限元法的基函数能够反映介质的特性，本章将 从多尺度基函数入手来介绍多尺度有限元法的基本原理。 多尺度有限元法的优势在于可以节约计算机资源，用较少的计算机资源即可 得到较高精度的结果。例如，用表示研究区域的单元剖分总数，用m 表示用 来求基函数的子单元数量，那么在细网格水平下总共有( m n ) ”( 胛是维数) 个单 元。用传统的有限元法在细网格水平下解决这样的问题，需要的计算机资源是 o ( m ”胪) 。对比之下，多尺度有限元法只需要o ( m ”+ n ”) 的资源，这样可以降 低对计算机的要求，普通的计算机是可以承受的。比如在二维情况下，m = 3 2 时，传统的有限元法需要的计算机资源大约是多尺度有限元法的1 0 0 0 倍。多尺 度有限元法在粗网格h = l 上求解方程，而传统的有限元法却要在细网格 五= h m 下求解，大量的数值实验证明，多尺度有限元法在粗网格下的解与传 统的有限元法在细网格下的解的精度相当，有时可能会更好。 3 1多尺度有限元法的基函数 假设求解二阶椭圆型方程，即 - v a ( x ) v u = f ( 3 1 ) 多尺度有限元的基函数和传统的有限元基函数不同。以任一单元k 为例，如 图3 1 所示，定义一组节点多尺度基函数 九，= l ，2 ，3 ，4 ，谚( 对于同一个单元， 可以省略下标k ) 满足： v 口( x ) v 垂= 0 x k ( 3 - 2 ) 设只的坐标为( 葺，咒) ，对于任意薯k ( i = 1 ，4 ) ，通常要求谚( 五) = 岛，其 中万是k r o n e c h e r 符号。接下来只要确定办在边界上的值，方程即可适定。接下 来将对基函数的边界条件进行分析。 由于基函数满足简化的椭网型方程( 3 2 ) 式，故基函数边界条件非常重 要。选择一个好的边界条件有助于提高多尺度方法的计算精度，下面将引入两科 边界条件并对其进行简单的分析。 1 5 武汉理工大学硕士学位论文 - + - - - 一一一- 一一一 i il ： 巴 上 ： o r i l - 一一- 一4 1 # m j - 一 l l l i l