（计算数学专业论文）多进制小波在图像处理中的应用.pdf

内容摘要 八十年代初期，小波的出现最初是想用来替代传统的f o u r i e r 分析。它在简 化数值计算和对某些瞬间现象的分析方面开辟了一个新的领域。在随后的二十五 年中，小波分析及其应用得到了突飞猛进的发展，并取得了惊人的成果。 近十年来，受多分辨技术在工程上被广泛应用的启发，作者与恩师黄达人教 授、孙颀或博士直致力于多进制小波理论的研究。在这个出站报告中，本人将 延续多进制小波的工作，但其重点将在应用上，主要是多进制小波在数字图像水 印、掌纹识别和图像编码上的应用。 本文以构造一类特殊的多进制小波开始。在第一章中，我们首先构造了一类 带参数的紧支撑、对称的四进小波滤波器组，同时估计了它们的光滑性。第二章 描述了较一般的对称滤波器的构造。对给定的对称低通滤波器( 尺度滤波器) ， 我们提出了一种算法，用来构造相应的对称或反对称高通滤波器( 小波滤波器) 。 采用这种算法构造高通滤波器的好处在于，所构造的高通滤波器的长度不会超过 低通滤波器的长度，这种长度比较短的高通滤波器在后面的应用中是比较有用 的。 本文的重点在于多进制小波的各种应用，从第三章到第五章就是多进制小波 在不同领域的应用。在第i 章中，应用第一章所构造的多进制小波，我们考虑了 数字图像水印的隐藏和检测。与经典的二进小波，如h a a r 小波和9 7 小波相比 较，基于多进制小波的分解和重构在水印算法中更有优势，效果更好。我们的实 验也显示了：采用我们所提出的算法其抗j p e g 压缩和g a u s s i a n 噪声的鲁棒性 更强。 在第四章中，我们将多进制小波应用于掌纹识别。采用多进制小波变换，我 们提出了一种基于纹理特征的在线掌纹识别方法。基于纹理特征的识别方法有： 灰度共生矩阵( s p a t i a lg r a y l e v e ld e p e n d e n c em a t r i c e s ) 方法、l a w 的纹理 能量( l a w s t e x t u r ee n e r g y ) 方法、f o u r i e r 能量谱( f o u r i e r p o w e r s p e c t r u m ) 方法、g a b o r 滤波器( g a b o rf i l t e r ) 和二进小波变换( 2 - b a n d w a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n ) 方法。由于经过多进带j j 4 , 波变换能提供更多的纹理子带信息， 所以，与上述方法相比较，我们所采用的方法更适合在线掌纹识别，当然也适用 于离线掌纹和b r o d a t z 纹理图的识别。实验中我们选择了不同的参数，结果显 示：选择适当的参数后其有效性和精确度更佳。 第五章是关于图像的编码问题。同样采用多进制小波变换，我们提出了一种 自适应的基于四叉树分割算法的图像编码方法。实验结果也显示了：对于那些纹 理现象比较丰富的图像，比如b a r b a r a 图或g o l d h i l l 图。我们所提出的自适应 编码方法比e z w ( e m b e d d e dz e r o t r e ew a v e l e t ，这是目前被广泛采用的小 波编码方法) 方法更有效。我们的编码算法主要有以下四个优势：( i ) 由于多进 制小波变换分解图像是一次完成，它不同于传统的二进小波变换对图像的分解需 要经过多级分解。所以，对数据的处理没有堆积误差，对原图的回复效果也就更 佳； ( i i ) 信息的损失量小；( i i i ) 算法结构简单；( i v ) 山于其算法简单并且是 基于块的编码，所以容易实现感兴趣区域编码r o i ( r e g i o no fi n t e r e s t c o d i n g ) 和嵌入式编码。 关解词：多进制小波分解，带参数小波，滤波器组，水印，信息隐藏，信噪比 掌纹，自适应算法，编码 a b s t r a c t a tt h e b e g i n n i n g o ft h e 1 9 8 0 s ，w a v e l e t w a sf i r s tu s e da sa n a l t e r n a t i v eo ft r a d i t i o n a lf o u r i e r a n a l y s i s 。t h i s a l t e r n a t i v e g a v e g r o u n d sf o rs i m p l e rn u m e r i c a la n a l y s i sa n dm o r er o b u s ts y n t h e s i so f c e r t a i nt r a n s i t o r yp h e n o m e n a t h e r ea r et r e m e n d o u s d e v e l o p m e n t o n w a v e l e ta n a l y s i sa n di t sa p p l i c a t i o ni nl a s t2 5y e a r s i nt h el a s tt e ny e a r s ，t o g e t h e rw i t hp r o f ld a r e nh u a n ga n dd r q i y u s u n ，is t u d i e dt h em u l t i b a n dw a v e l e tt h e o r y ，w h i c hi sm o t i v a t e db y t h em u l t i 。r a t e t e c h n i q u ew i d e l yu s e d i nt h ee n g i n e e r i n g s o c i e t y i c o n t i n u et h i sp r o j e c tw i t hm o r ee m p h a s i z eo nt h ea p p l i c a t i o n so ft h e m u l t i - b a n dw a v e l e t si nt h i sr e p o r t w es t a r tt h e r e p o r t f r o mt h ec o n s t r u c t i o no fs o m e p a r t i c u l a r m u l t i b a n dw a v e l e t s i n c h a p t e r1 ，o n e p a r a m e t e rc o m p a c t l y s u p p o r t e da n ds y m m e t r i c4 - b a n dw a v e l e t sa r ec o n s t r u c t e d ，a n dt h e i r s m o o t h n e s sa r ee s t i m a t e d i nc h a p t e r 2 ，w ep r o p o s ea na l g o r i t h mt o c o n s t r u c ts y m m e t r i co ra n t i s y m m e t r i cw a v e l e tf i l t e r sf r o ma g i v e n s y m m e t r i cs c a l i n gf i l t e r t h ea d v a n t a g eo ft h a ta l g o r i t h mi st h a tt h e l e n g t ho fw a v e l e tf i l t e r sa r el e s st h a nt h el e n g t ho ft h eg i v e ns c a l i n g f i l t e r t h i sf e a t u r ea b o u ts h o r tl e n g t h so fw a v e l e tf i l t e r si su s e f u ii nt h e l a t e ra p p l i c a t i o n s t h em a i nt o p i co ft h i sr e p o r ti sv a r i o u sa p p l i c a t i o n so fm u l t i b a n d w a v e l e t s ，w h i c ha r ec o v e r e di nc h a p t e r3 ，4 ，5 i nc h a p t e r3 ，w ea p p l y o u rm u l t i b a n dw a v e l e t st oe m b e d d i n ga n d d e t e c t i n gf o rd i g i t a li m a g e w a t e r m a r k i n g c o m p a r i n gw i t ht h ee x i s t i n gw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h m b a s e do nt h ec l a s s i c a l2 - b a n d w a v e l e t s ，s u c ha sh a a rw a v e l e ta n d9 7 w a v e l e t ，o u rw a t e r m a r k i n ga l g o r i t h mb a s e do nm u l t i - b a n dw a v e l e t s p e r f o r m sb e t t e r m o r e o v e r , o u re x p e r i m e n tr e s u l t ss h o wt h a tt h e w a t e r m a r kw i t ho u r a l g o r i t h mi sr o b u s tt ot h ec o m m o n t e s t i n ga t t a c k ， s u c ha sj p e gc o m p r e s s i o na n dg a u s s i a nn o i s ea t t a c k i n c h a p t e r4 ，w ea p p l y o u rm u l t i b a n dw a v e l e t st o p a l m p r i n t i d e n t i f i c a t i o n b a s e do nm u l t i b a n dw a v e l e t sc o n s t r u c t e di nc h a p t e r1 ， w ep r o p o s ean e wo n l i n e p a l m p r i n t i d e n t i f i c a t i o nm e t h o da n da t e x t u r e b a s e df e a t u r ee x t r a c t i o nm e t h o d o u rm e t h o di sm o t i v a t e d b yo u ro b s e r v a t i o nt h a tt h et e x t u r ef e a t u r e s b a s e do nm u l t i b a n d w a v e l e t sc a np r o v i d em o r es u b b a n d sw i t hr i c ht e x t u r ef e a t u r e s 0 u r e x p e r i m e n t a l r e s u l t ss h o wt h a tm u i t i - b a n dw a v e l e t sc a nb eu s e d a p p r o p r i a t e l yf o ro n l i n ep a l m p r i n ti d e n t i f i c a t i o n ，a sw e l la sb r o d a t z t e x t u r e i m a g e s ，a n d o u ro n l i n e p a l m p r i n t i d e n t i f i c a t i o nm e t h o d p e r f o r m s b e t t e rt h a n m a n y f e a t u r e s e t s ，s u c h a s s p a t i a l g r a y l e v e ld e p e n d e n c em a t r i c e s ，t h el a w st e x t u r ee n e r g y , t h ef o u r i e r p o w e rs p e c t r u m ，t h eg a b o r f i l t e ra n dt h e2 - b a n dw a v e l e t t r a n s f o r m a t i o n m o r e o v e rs o m ei m p r o v e m e n to nt h ee f f i c i e n c ya n d a c c u r a c y c a nb ea c h i e v e di fw eu s et h em u l t i b a n dw a v e l e t si n c h a p t e r1a n dt h ep a r a m e t e ri sa p p r o p r i a t e dc h o s e n i n c h a p t e r5 ，b a s e do nm u l t i - b a n dw a v e l e t s ，w ep u tf o r w a r da n a d a p t i v eq u a d t r e ep a r t i t i o ns c h e m et oi m a g ec o d i n g w es h o wt h a t f o rt h o s ei m a g e sh a v i n gr i c ht e x t u r e s ，s u c ha sb a r b a r ao rg o l d h i l l i m a g e s ，o u ra d a p t i v ee n c o d i n ga l g o r i t h mp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h e w i d e l y u s e de z wm e t h o d 。a l s oo u r e n c o d i n g s c h e m eh a se x t r a a d v a n t a g e s ，s u c h a sn oe r r o rs t a c k e d b y m u l t i - b a n dw a v e l e t t r a n s f o r m ，l e s si n f o r m a t i o nl o s t ，s i m p l es t r u c t u r eo ft h ea l g o r i t h m ， a n dr o i ( r e g i o no f i n t e r e s t ) c o d i n ga n de m b e d d e dc o d i n ga p p l i c a b l e k e y w o r d s ：m u l t i b a n dw a v e l e t s ，w a t e r m a r k i n g ，i n f o r m a t i o nh i d i n g ， p s n r ，p a l m p r i n t ，c o d i n gw i t ha d a p t i v ea l g o r i t h m 第一章：一类含参数的正交、对称多进 制小波构造 本章主要内容 本章首先阐述了多进制小波构造的一般理论。然后，特别考虑了四进制小 波，构造了一组带参数的系数长度为8 的对称( 反对称) 滤渡器纽。并进一步写出 了同一尺度函数下，对称点一致、系数长度不超过8 的所有对称( 反对称) 小波滤 波器组。它包含了【2 5 。e 的滤波器组，从而拓广了 2 5 中滤波器的选择。本章内 容已被( ( 计算数学接受。 1 1 引言 1 9 8 8 年，i d a u b e c h i e sf 1 4 证明了除h a a r 函数外，不存在紧支撑并同时是对 称、正交的二进细分函数。而正交性和对称性又恰恰在实际应用中起着至关重要 的作用。正交小波基保证了信号的分解并完全重构，对称性能使所处理信号的能 量节省一半，重要的是对称小波所对应的滤波器也是对称的，而对称滤波器具有 线性相位。如在纹理分析、遥感图像处理等【1 5 ，2 5 1 ，人们大多采用正交或双正 交的对称小波。为克服紧支撑的正交小波不能同时兼顾对称性这一问题( h a a r 小波 除外) ，人们常常采用降低正交性条件，构造双正交的二进对称( 反对称) 小波的办 法来解决这一问题。自从引入了多进制小波【9 ，1 0 ，1 9 ，5 1 】，不仅解决了正交性和 1 对称性同时兼顾的问题，更由于其多频段分频的特性，使得多进制小波在许多方 面取得了比二迸小波和- 迸小波包更佳的效果 2 5 ，5 2 l 。众所周知，滤波器系数长 度为m ( m 2 ) 的m 进正交、对称尺度函数，只能是h a a r 函数或h a a r 函数的平 移。虽然加长滤波器的长度能构造更加光滑的尺度函数，然而实验证明滤波器长 度过长将严重影响图像的边缘效果。所以，在构造滤波器组的时候光滑性和滤波 器长度还必须同时兼顾。本章我们仅考虑长度为8 的紧支撑四进正交、对称小波 滤波器的构造问题，滤波器长度更一般的问题将在下一章考虑。在这一章中，我 们的做法是首先构造一组系数长度为8 的四进正交、对称滤波器组，然后再给出 系数长度不超过8 的四进正交、对称滤波器组的一般表示，其滤波器系数带有参 数。当参数变化时，即得到能同时保持正交性和对称性的一族四进紧支撑小波滤 波器组。特别当参数取某一特定值时，我们所构造的滤波器组就是2 5 1 中所采用 的滤波器组，从而拓广了( 2 5 i 中滤波器组的选择。在本章的最后，我们还刻画了 所构造尺度函数以及小波的s o b o l e v 光滑性。 1 , 2 多进制小波的一些基本概念 设正整数m 2 。如果由紧支撑函数l 2 ( 爬) ，f r ( x ) d x = 1 ，所生成的空 间列 满足： k = 莓咖m 肌刊 1 对所有j z ，有：c 十1 ： 2 n j z k = o ) ，u j z v j = 上2 ( 武) 酬。 。l ，j z n j 3 ， ( 。一k ) ，kez ) ，构成k 的一组标准正交基； 2 那么，我们称 k b e z 是l 2 ( 酞) 的一个多分辨分析，毋为这一多分辨分析的尺度函 数。由1 以及的紧支撑性，显然是一个细分函数，即满足所谓的细分方程 咖( z ) = c ( n ) ( m z 一礼) f t 2 1 ) n z 其中，c ( n ) 0 ，n z ，的个数有限且。c ( n ) = m 。对( 1 2 1 ) 两边分别f o u r i e r 变换。那么细分方程( 1 2 1 ) 的另一等价形式是 妒( ) = 凰( m ) 曲( m )( 1 2 2 ) 其中岛( ) = 丽1 。c ( ) e 一嗽为三角多项式并满足c q f ( c o n j u g a t eq u a d r a t u r e f i l t e r ) 条件 f 一1 i h 0 ( - t - 2 n l m ) 1 2 = 1 v r ( 1 2 3 ) f 篝0 本文对函数，的f o u r i e r 变换规定为：氕f ) = 矗，( z ) e 5 如。为书写方便， 我们记：f ，0 ( z ) = 击。c ( n ) 扩。那么，z ，0 ( z ) 为l a u r e n t 多项式，并称风f 。) 的 最高次数与最低次数的差加1 为凰( z ) 的长度，其多相位表示为 风( z ) = h o 。z m ) z j 0 j m 一1 通过矩阵扩张等方法 2 6 ，4 1 ，5 1 ，总能找到m 一1 个l a u r e n t 多项式 凰( z ) = 凰，( z m ) z j七= 1 ，2 ，m l 0 j m - l 使得m m 矩阵u ( z ) = ( 马，t ( z ) ) 。k 挺肘一。满足： u ( z ) ( u ( z 一1 ) ) 7 = 面1 ， ( 1 2 4 ) 这里( u ( z 一1 ) ) t 表示u ( z 一1 ) 的转置，即u ( z ) 的共轭转置。马，自( g ) ，0 七，j m 一1 ，均是l a u r e n t 多项式a 那么，通过磊( ) = h j ( e - 肛) 虱m ) ，j ： 3 l ，2 ，m 一1 所定义的妒，( z ) ，j = l ，2 ，m 一1 ，成为由西所导出的m 一1 个 小波。凰( 。) 称为尺度函数滤波器( 简称低通滤波器) ，而马( z ) ，1 j m 一1 ， 就是相应的小波滤波器( 简称高通滤波器) 。如果存在整数s ，使得滤波器玛( z ) 满足：h ，( z ) = z 如h j ( 2 。) ( 或玛( z ) = 一z 1 ，h j ( 。- 1 ) ) ，则称玛( 。) 为对称( 或 反对称) 滤波器。同样，如果存在a 爬，使得函数，满足：，( q ) = ，( q + ) ( 或，( q 一) = 一，( a + - ) ) ，则称函数，为对称( 或反对称) 函数，a 就是相应 的对称点。我们注意到1 2 6 所提供的矩阵扩张方法无法保证所构造小波滤波器的 对称性，而 4 1 所提供的方法又无法控制所构造小波滤波器的长度。本章限制在 考虑长度不超过8 的对称、反对称滤波器的构造。 1 3 带参数的长度为8 的正交、对称四进制小波滤波器构造 对一般的伸缩因子m 2 的情形，我们自然会问：是否对任意紧支撑的尺度 函数咖，都可以找到相应的对称或反对称小波呢? q s u n 在 4 1 中给出了如下的结 论。 定理1 3 1 【4 1 设 v j b e z 是一多分辨分析，妒为相应的尺度函数，如果砂不是一 个对称函数。那么，对任意j z ，k 中不存在紧支撑的对称或反对称函数。 所以，要从尺度函数构造对称或反对称小波，其尺度函数必须是对称的。 即，尺度函数滤波器必须是对称的。设对称尺度函数曲所对应的滤波器为 凰( z ) 2 o 。7n ( n ) 扩。记： h 0 ( 2 ) = o ( 礼) 扩= h o , o ( z 4 ) + h ( z 4 ) 。+ h o ，。( 。4 ) z 2 + 凰，3 ( z 4 ) z 3 0 n 7 由凰( = ) 系数的对称性。即，o ( j ) = 。( 7 一j ) ，0 j 7 ，我们知道 ，o ( z ) = n ( o ) + n ( 3 ) 2 ，h o ，2 ( z ) = a ( 2 ) + o ( 1 ) z ， ( 1 3 1 ) 凰，l ( z ) = z h o ，2 ( z 。) ，凰，3z ) = z h o o ( z 1 1 ) 4 因此：凰( z ) = h o o ( z 4 ) + h o ，2 ( 。一4 ) z 5 + h o ，o ( z 一4z 7 + h o ，2 ( z 4 ) z 2 。由正交性条件 ( 1 2 3 ) 以及( 1 3 1 ) 得到：i i o ，o ( z ) g o ，o ( z 一) + h o ，2 ( z ) 凰，2 ( z _ 1 ) = 1 2 。从而 ，也暑尝：，) 满足：a c z ，c a c z 一1 ，丁= ；，并有u c z ，= ( 三：i ；二：；，) 满足：c ，c z ，c u c 。一1 ，r g ( z 4 ) ( 1 ，。5 ，z 7 ，z 2 ) r = ( g o ( z ) ，h 1 ( z ) ，凰( z ) ，玛( z ) ) 7 并取h o ( i ) = 2 ，h i ( 1 ) = 0 ，这样就有了 凰，。( 。) = ( 1 + 以c 。s a + ( 1 以c 。s a ) 2 ) 4 a r 凰2 ( z ) = ( 1 + v 压s i n a + ( 1 v 侄s i n a ) z ) 4 即得到对称尺度函数所对应滤波器岛( z ) 和一组相应的小波妒1 ，也，妒2 所对应 的滤波器日( z ) ，上如( = ) ，h 3z ) 如下 风( z ) = ( 1 + z 7 ) + ( i 1 一口) ( z + z s ) + z ( z 2 + z 5 ) + ( j a ) ( z 3 + z 4 ) h 3 ( z ) = p ( 1 2 7 ) 其中，o = ( 1 + 以c o s a ) ，口= ( 1 + v 伍s i n a ) ，a 瓞为参数。 设咖1 ，西2 ，曲3 也是由所导出的一组小波，所对应的滤波器分别是d 。，d 2 ，d 3 。 即：而( f ) = 功( e 一4 ) 矗馐4 ) ，j ：l ，2 ，3 ，那么，在适当的限制下我们有 定理l ，3 2 设所对应的滤波器为( 1 3 2 ) ，d l ，d 2 ，d a 是由妒。所导出小波的滤波 器，具有形式：d a z ) = ：od y ( n ) z “，并满足如下的对称性： 5 铲 乎 护 + 一 一 r ，矿 ，手 (，l 聊 励 一 一 一 121212 ，； + 一 一 5 5 5 0 z z + 一 2 2 2 忙 心 口 。 一 一 十 、 垆 妒 十 一 一 z 0 z 、； 血 p 一 一 一 12l一2l一2 d 1 ( z ) = z 7 d | ( z 一1 ) ，d 2 ( z ) = 一z t d 2 ( z 1 ) 和d 3 ( 。) = 一z 7 d 3 ( z 一1 )( 1 3 3 ) 那么：d ，( 。) ，j = 1 ，2 ，3 ，满足 其中 1 2 3 4 珐( 。) ) t = g ( z 4 ) ( z 4 ) ( 1 ，。5 ，z 7 ，。2 ) t v ( z ) 只能是如下五种形式之一 其中：n 2 = 口i 1 = 1 4 ，s f + l ，一l l 口 a 1 2c o s e ( z z 一1 ) a 1 2 s i n 0 ( z a 2 1c o s a ( z + z 一1 ) a 2 1 s i n 0 ( z + s i n 目 一f n m 6 其中：n 2 = l = 1 4 ， + l ，一1 ) ，臼r a 1 2c o s o ( z z 一1 ) 1 2s i n e ( z 2 e l a 3 1i s i n 0 + a m c o s o ( z + z 1 ) 一2 ej 1jc o s0 + a 2 l 2 e l a n l is i n 0 + a 3 1c o s e ( z + z 1 ) 一2 9 l a 2 1 ic o s 0 + 0 3 1 其中：。 2 = 1 4 ， e a 2 1 a 3 1 0 ， ( 1 3 4 ) e + l ，- 1 ，口瓞 一2 e j a 3 1i c o s 0 + a 2 2 e l a 2 1 ic o s 0 + a 3 ls i n o ( z + z 卜 而 忙 ， 现) 。m d 1 0 ， 、 “ 一一 h ， 0 k g ：q，i一_v 扩 z o o g = + 0 一 z z 地 叽 ， v 豫 ：川， z 。 、，、， 一 一 z 0 + 一 0 # z ，l，( 2 l 叽 啦 ， 、， 2 z + + z z 0 田“ f - 丢| 量 幢 n ； ，m v z z 抖 卜 睫 e l l十 r t e 4l | | l磅 + 2 n 6 o s ( ie：兰：一；二0：。)其中：st+，一，。酞 证明：设d j 对应的小波为如( j = 1 ，2 ，3 ) ，由于 s p a n 西o ( z k o ) ，奶( 。一磅) ：砖z ，j = 1 ，2 ，3 s p a n 西o 一k d ) ，奶( z 一幻) ：码z ，j = 1 ，2 ，3 ) 懈三纂勰鬟川，。，。 不难得到：存在e ( 。) = ( c 。j ( 2 ) ) 。埘3 使得( 1 3 4 ) 成立。其中c 4 , j f z ) 为l a u r e n t 多 项式( o ，j 3 ) 。进步，由( 1 3 3 ) 以及d a z ) ，j = 1 ，2 ，3 ，的长度不超过8 得知 ge2，2!兰j耋三耋21兰i三三薹三i：；兰；三三篓i：3；) g ( z j ( g ( z 。) ) 7 = ， ( 1 35 ) 展开上式( 1 3 5 ) ，我们得到：。；3 + n i 4 = n i 2 ；孙+ n ；5 = ；。；。；3 + n ；5 ：n ；1 ；。1 2 + a 毛= l 一4 。；l ；8 ；2 + a 2 3 4 = l 4 a ；1 ；显然：0 l 。2 1 ：2 ，0 l 。3 l 1 2 ，记： 7 a 3 3 = a 3 1c o s o a a 3 5 = 0 3 1s i n 0 3 ，、li、 如如 瞄 哪 眈 毗 l | i | 3 5 ，、l 吼巩 瞄 呲 2 2 o b 1 1 | | 3 4 n a ，f-l_，、l 那么，( 1 3 5 ) 式等价于 a l l a l 2 = 0 ，n ；1 十4 n ；2 = 1 a t 2 a 2 1 ( 1 一c o s ( e 2 日1 ) = 0 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) a 1 2 a 3 1 1 c o s ( e 3 一日1 ) ) = 0f 1 3 8 ) n 2 l 、1 4 0 刍c o s ( 0 4 一如) = 0( 1 3 ，9 ) n 3 1 、1 4 以1c o s ( 0 5 一目3 ) = 0( 1 3 1 0 ) a l i a 2 1 一0 1 2 、l 一4 0 ；1c o s ( e 4 p 1 ) = 0( 1 3 1 1 ) a l i a 3 1 一血1 2 1 4 i lc o s ( 0 5 巩) = 0( 1 3 1 2 ) 0 3 l 、1 4 n 刍c o s ( 0 4 一口3 ) + 0 2 1 、1 4 a 2 1c o s ( 0 s 一日2 ) = 0( 1 3 1 3 ) a m a a t ( 1 一c o s ( 6 3 一目2 ) ) = 0f 1 3 1 4 ) 2 0 2 】a a l 1 + c o s ( e 3 如) ) + 1 4 。；l 1 4 碟ic o s ( e 5 一以) ) = 0 ( 1 3 1 5 ) 等式( 1 3 1 4 ) 与( 1 3 1 5 ) 告诉我们：a 2 1 a 3 - 0 与 r j 巧 f 面= 0 不 能同时成立。所以，a 2 1 a 3 1 = 0 或者f 研 f 丽0 至少有一成立。 由等式( 1 3 6 ) ，我们又知道 或 a l l = 0 a 2 = 士u 2 a 1 220 ，a 1 1 = 士1 ( 1 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) 成立a 下面我们分( 1 3 1 6 ) 或者( 2 3 1 5 ) 成立的情形分别讨论之。如果( 13 1 6 ) 成立，并且a 2 1 a 3 1 = 0 ， f 丽 r 丽0 同时成立。那么，( 1 3 ，1 1 ) ， 8 篇 瞄 吼篇 ( 1 3 z 2 ) ，( 1 3 1 5 ) 就不能同时成立。因此在( 1 3 1 6 ) 成立的情况下，只可能出现下 面两种情形： 情形一、a 2 1 0 3 ，= 0 并且、肛= 戈i r 丽= 0 如果a 2 l = 0 ，那么：1 0 3 。i = 1 2 。这时，v ( z ) 具有形式j 如果a 3 = 0 ，那么：f a 2 1 i = 1 2 。这时，y ( z ) 具有形式2 i $ i n - - - 、a 2 1 0 s 。0 并且川碥以碥0 这时，由( 1 3 6 ) ( 1 3 ，1 5 ) 得知：n ；l + o 刍= 1 4 如果a 2 1 a 3 1 0 ，那么：v ( z ) 具有形式4 如果( 2 3 1 5 ) 成立。那么，经计算不难得到v ( z ) 具有形式5 口 注记： 1 当取a = 3 ”4 时，凰、日l ，凰，上，3 为h a a r 滤波器组，h a a r 函数和相应滤 波器模见图l a 和图l b ，三个小波和他们相应的滤波器模见图2 a ，图2 b ，图 3 a ，图3 b ，图4 a 和图4 b ； 2 当取矿( z ) 为形式3 ，其中e = 一1 ，0 1 2 = 1 2 ， a 2 1 = 一孚( s i n a + c o s a ) 。3 1 _ 孚( s i n a c o s a ) c o s 0 = 孚( s i n a + c o s a ) s i n o = 警( s i n a c 0 8 ) 而a 满肚s i n a = 0 4 4 0 6 8 3 6 4 时，由( 1 34 ) 所定义的滤波器组h o ，d 1 ，d 2 ，d 3 即为 2 5 j 中所使用的滤波 器组。尺度函数妒。和相应滤波器模见图5 a 和图5 b ，小波咖l 和相应滤波器 9 1 4 模见图6 a 和图6 b ，小波咖2 和相应滤波器模见图7 a 和图7 b ，小波如和相应 滤波器模见图8 a 和图8 b 。 图l a h a a r 函数 一_ 1 、一一，、一 一一j 、 l j l l i fl】 、 ，、j 一一j 、7 一 ；一i 图l b h a a x 函数所对应的滤波器模 图2 ah a a r 小波l 图2 b h a a r 小波1 所对应的滤波器模 j 5l _ j 小波2 厂、厂、 ， 7 | i 1 j j l 1 7 ?、l 、i |。x ，t r 。 、 7 一；rj 一 一二叶1 图3 b h a a r 小波2 所对应的滤波器模 本小节我们主要利用【2 1 中的结果来刻画所构造尺度函数的光滑性指数与参 数a 的关系。引入通常的s o b o l e v 空间h 8 = ，l 2 ( r ) ：丘( 1 + 2 ) 3 l 冗) 1 2 武 l 时，有 ( n ) = 0 。那么：t 在：= n ) = j i l l u j e 巧) 上的 限制为有限维空间上的有界线性算子，其表示矩阵为 珏) ，k ：h ( m j 一) 。 羞 r 7 图6 a 小波妒1 o 一 f、 j j r i： o fif 1 i lf ”f1 _l 一 f i f j f 。，ijj j， fi 牛 二 盲一； 图6 b 咖1 所对应的滤波器模 1 1 图8 a 小波加图8 b 曲3 所对应的滤波器模 如果矩阵珏的所有特征根为：，0 j 2 l ，那么，由算子的谱半径公式 得到，t 的谱半径p ( t ) = m a x h l ：0 j 2 l 。利用 2 1 的结果：如果 m a x h l ：0 j 2 l 1 2 ，那么： s ( 仆一精= 一些哗鼎笋塑 ( 1 “) 我们将计算转移算子矩阵的特征值，然后利用公式( 1 4 1 ) 计算所构造尺度函 数的s o b o l e v 光滑指数s ( 币o ) 。不难得到曲。所对应转移算子矩阵的非零特征值为： 饥( a ) = 1 1 6 郴) 1 4 ，硼卜害( 1 + s a ) ( s i n a + c o s a ) 讯( a ) = 击( 口( 卅厕)( a ) = 击( 口( a ) + 俪) 其中n ( a ) = 3 + 以c o s a 一以s i n a + 2s i n a c o s a + 4s i n 2 a ，卢( a ) = 3 5 + 2 以c o s a + 1 2c o s 2 a + 1 2 v 百c o s 3 a 一2 0 c o s 4 a 一1 0 以s i n a + 8 s i n a c o s a + 4 8 s i n 3 ac o s a + 1 6 以s i n 2 a c o s a 。 1 2 经计算，对所有的a r 有：m a x l 1 1 ，3 j 5 ，的变化情况。因此s ( 粕) ： 1 j 5 = 1 4 ，图9 一l l 显示了 一也竺竺i 4 匝1 n ! 1 2 1 鱼墨! ! = l 2 j _ ：1 一r r 可 ：广广rm f 八_ 了i 札n a 、椭川。“1 、 捌，逸h 牡圳一执i = 雌i ；l ；三一，l 图9 i 3 i图1 0 1 a 4 i图1 1 1 a 5 j 1 5 进一步有待做的工作 l 考虑m 进制小波滤波器组的构造问题，特别是m = 3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 时的情 形。当然要兼顾到滤波器的长度、对称性和光滑性：( 在下一章，我们已给 出了部分的结果) 2 ，对上述所构造的滤波器，必须考虑其带通性。即，所构造的m 进滤波器还 必须尽可能的接近m 带理想滤波器。这样的滤波器才能对各频带信号起到 分频的作用： 1 3 第二章：正交对称多进制小波的构造 本章主要内容 从对称尺度函数构造合适的对称或反对称小波，一直是人们所关心的一件 事。拳章从正交、对称的紧支撑尺度函数滤波器出发，构造一系列酉矩阵用来小 波滤波器的构造，使得所构造的小波保持对称或反对称性，同时也不增加小波函 数的支集长度。这为对称小波的构造提供了一种有效的方法。 2 1 引言 前一章，我们考虑了长度不超过8 的对称、反对称四进制小波滤波器的构 造。那么，更一般的情况又如何呢? 即，对任意给定的一个对称、正交、紧支撑 的m 进尺度函数，如何去构造相应的对称、反对称小波? 而且所构造小波的支撑 集又不能增大。本章采用类似于矩阵扩张的方法，在一定的前提条件下解决了这 个问题。在给出并证明我们的主要结果之前，先定义一些记号并给出几个重要引 理。 2 2 一些记号以及几个重要引理 定义2 2 1 对给定的正整数m 2 ，定义肘m 阶反置矩阵：r 2 ( 气，) 。乱，；。 其中，当i + j = m 一1 时，t l , j = l ；其余的t 均为0 。 那么，对任意m 维向量d = ( a o ，0 1 ，n m 一1 ) r ，有：t 矗= ( q m 一1 ，o m 一2 ，o ) t 例2 2 1m = 2 ，3 ，4 ，5 时，相应的m m 阶反置矩阵分别是 ooo 01 0 0 o10 0010o 0100 0 10 0 0 0 定义2 2 2 对任意两个m 维向量，矗= ( o o ，o z l ，o l m - 1 ) r 和厅= ( 岛，侥，砌一1 ) 丁 ( 矗，西表示其通常的内积。即：( 矗，历= 备1 岛。如果( 丘，西：0 ，则称矗，万 正交记i i d i | = 丽，如果i i 酬= 1 ，则称d 为单位向量。 定义z 2 3 对m m 矩阵。5 ( d 蚶) 。氨，；m 一。，如果满足反，m 一一，= d m 一。，v 。 t ，j m 一1 ，则称d a o 如果满足d l ，m 一1 一j = 一d m - l - i j , v o i ，j m 一1 ， 则称d a l 。 例2 2 2 当m = 2 时，a o 与1 分别是如下形式的矩阵 般d 0 1 ) 和d o o _ 当m = 3 时，