（应用数学专业论文）非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制.pdf

摘要 众所周知，在实际应用的过程中，执行器的通道经常会出现一些故 障，因此，对于所研究的控制系统来说，可靠性就是一个非常重要的要 求，即所设计的控制器在可以容忍执行器故障的同时，还要保证系统的 稳定性和一些基本的性能要求也就是说，无论在系统正常运行还是执行 器发生故障的情况下，都可以保证系统的稳定性和对控制系统的性能要 求因此，研究可靠控制理论无论在理论上还是实际应用中都是非常有 意义的 本文的主要工作如下： ( 1 ) 介绍了可靠控制的理论意义和实用价值，并概括了国内外研究 现状 ( 2 ) 针对带有执行器故障的非线性离散时间系统，本文给出了其可 靠的区域保性能模糊控制器设计方法用t - s 模糊模型来表示该非线性 系统文中采用了一种更实际的执行器故障模型，可以用理想执行器的 函数来表示，它体现出执行器的平均执行程度和故障程度这种故障模 型使用范围更广，包含了执行器正常、部分故障、完全故障等情形当 初始状态已知时，以线性矩阵不等式的形式给出了可靠保性能模糊控制 器存在的充分判据以及控制器的参数化设计方法所设计的控制器不仅 保证闭环模糊系统是渐近稳定的，而且给出了系统的二次性能函数的可 保性能值当初始状态为不确定，但属于一个有界的闭区域时，针对两 类常见的有界闭区域：凸包区域和椭圆区域，分别给出了系统的可靠区 域可保性能的有效计算公式为了降低系统的区域可保性能的保守性，又 提出了最优可靠的区域可保性能控制问题，即最小化可靠区域可保性能 的上界，这一最小化过程通过l m l 的优化方法来实现，我们可以用任何 凸优化算法来解决这一问题最后，通过一个数值例子说明了本文所给设 计方法的有效性 ( 3 ) 总结本文的研究成果，提出今后的研究方向 关键词：t s 离散模糊系统；可靠模糊控制；区域可保性能；执行器故 障；线性矩阵不等式( l m i ) 方法 中图分类号：t 1 陀, 7 3 a si sw e l lk n o w n ，i np r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s ，s i n c ef a i l u r e s o fa c t u a t o r c o m p o n e n t so f t e no c c u ri nr e a lw o r l d ，a ni m p o r t a n tr e l i a b i l i t yr e q u i r e m e n t f o rt h ed e s i g no fc o n t r o ls y s t e m si st og u a r a n t e et h es t a b i l i t ya n db a s i c p e r f o r m a n c eo ft h ep l a n tb yt h ed e s i g n e d c o n t r o l l e rw h i c hc a nt o l e r a t e a c t u a t o rf a i l u r e s t h a ti s ，t h es t a b i l i t ya n dp e r f o r m a n c er e q u i r e m e n t sf o rt h e c l o s e d l o o pc o n t r o ls y s t e m sc a nb ee n s u r e d ，n o to n l yw h e nt h es y s t e m si s o p e r a t i n gp r o p e r l y ，b u ta l s oi n t h ep r e s e n c eo fa c t u a t o rf a i l u r e s s oi ti s s i g n i f i c a n tt or e s e a r c hr e l i a b l ec o n t r o lp r o b l e mi nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n s t h em a i nr e s u l t si nt h et h e s i sa r ea sf o l l o w s ( 1 ) t h es i g n i f i c a n c eo fr e l i a b l ec o n t r o li s s u ei si n t r o d u c e d ，b o t hi nt h e o r y a n di n a p p l i c a t i o n s a n dt h er e l a t e dd e v e l o p m e n ta b r o a da n da th o m ei s r e t r o s p e c t e db r i e f l y ( 2 ) t h ed e s i g nm e t h o do fa r e l i a b l e f u z z yc o n t r o l l e rw i t hd o m a i n g u a r a n t e e dc o s tf o rn o n l i n e a rd i s c r e t e t i m es y s t e m sw i t ha c t u a t o rf a i l u r e si s p r o p o s e d t h et a k a g ia n ds u g e n o ( t - s ) f u z z ym o d e li se m p l o y e dt o r e p r e s e n tt h en o n l i n e a rs y s t e m s am o r eg e n e r a lf a i l u r em o d e li sa d o p t e df o r s u c ha c t u a t o rf a i l u r e s ，w h i c hi saf u n c t i o no fi d e a la c t u a t o ra n dc o n s i s t so f t h e a v e r a g ef a c t o ra n dt h ef a i l u r ed e g r e eo fs u c ha c t u a t o r t h i sf a i l u r em o d e li s m o r ep r a c t i c a l ，w h i c hi n c l u d e st h ei d e a la c t u a t o r ，t h ep a r t i a lf a i l u r ec a s ea n d t h eo u t a g em o d e l ，r e s p e c t i v e l y w h e nt h ei n i t i a ls t a t eo fs u c hs y s t e m si s k n o w n ，as u f f i c i e n tc r i t e r i o nf o rt h ee x i s t e n c eo ft h er e l i a b l ef u z z y c o n t r o l l e r w i t hd o m a i ng u a r a n t e e dc o s ti sd e r i v e di nt h el i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( e n d ) f o r m ，a n dap a r a m e t e r i z e dd e s i g np r o c e d u r eo fs u c hc o n t r o l l e r si sp r e s e n t e d t h ed e s i g n e df u z z yc o n t r o l l e rn o to n l yg u a r a n t e e st h e s t a b i l i t yo ft h e c l o s e d l o o pf u z z ys y s t e m ，b u ta l s op r o v i d e sag u a r a n t e e dc o s ti nt h es e n s eo f q u a d r a t i cc o s tf u n c t i o n m o r e o v e r ，w h e nt h ei n i t i a l s t a t eo fs u c hs y s t e m si s u n k n o w n ，b u tb e l o n g st oak n o w nb o u n d e dc l o s e dd o m a i n ( c a l l e di n i t i a ls t a t e d o m a i n ) ，p o l y g o nd o m a i no re l l i p s o i dd o m a i na r ec o n s i d e r e dh e r e ，s o m e f o r m u l a sf o rt h er e l i a b l ed o m a i ng u a r a n t e e dc o s t sa r ep r e s e n t e d t od e c r e a s e t h ec o n s e r v a t i s mo ft h ev a l u eo ft h er e l i a b l ed o m a i ng u a r a n t e e dc o s t ，ad e s i g n p r o b l e mo ft h eo p t i m a lr e l i a b l ed o m a i ng u a r a n t e e dc o s tf u z z yc o n t r o l l e ri s a d d r e s s e di nt h es e n s eo fm i n i m i z i n gab o u n do nt h er e l i a b l ed o m a i n g u a r a n t e e dc o s tv i aa nl m io p t i m i z a t i o np r o c e d u r e ，w h i c hc a nb e s o l v e d e f f i c i e n t l yu s i n ga n yc o n v e xo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m s an u m e r i ce x a m p l ei s g i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dd e s i g nm e t h o d s ( 3 ) t h em a i nr e s u l t so ft h et h e s i sa r ec o n c l u d e d ，a n dt h es u b j e c t so ff u t u r e i n v e s t i g a t i o na r ep r o p o s e d k e y w o r d s ：t sd i s c r e t ef u z z ys y s t e m s ；r e l i a b l ef u z z yc o n t r o l ；r e l i a b l e d o m a i ng u a r a n t e e dc o s t ；a c t u a t o rf a i l u r e s ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m l ) a p p r o a c h 第1 章引言 1 1 研究现状 第1 章引言 基于模糊集和模糊推理，模糊系统可以用来描述复杂的、不确定非线性模型在 模糊控制发展的初期，人们通过专家的经验知识来设计的模糊控制器，已经在实际 应用中有较多成功的例子，但这种在推测的基础上建立模糊控制器的方法缺乏逻辑 性和系统性近年来，把线性系统引入模糊规则的后件部分的t a k a g i s u g e n o ( t s p ( 1 9 8 5 ) 模糊模型解决了这一问题，当非线性系统由t s 模糊模型表示时，就可以 在这个模型的基础上来设计模糊控制器t s 模糊模型理论为非线性系统的控制问题 提供了种简单而有效的解决方案，因此，模糊控制受到了广泛的关注“1 “ 众所周知，在实际应用中，执行器的某些通道经常会发生一些不同程度的故障， 因此，设计一个可以容忍这些故障并且可以保证闭环系统稳定以及一些系统性能的 控制器是具有实际意义的在过去二十年中，许多研究者已经对线性系统的可靠控 制问题进行了广泛的研究。2 。2 ，常用的方法有：代数r i c c a t i 方程方法“1 、极点区域 配最法“、线性矩阵不等式( l m i ) 方法“”7 1 等 v e i l l e t t ee ta 1 “”( 1 9 9 2 ) 针对带有 执行器故障的线性系统利用代数r i c c a t i 方程方法给出了可靠只。控制器的设计方法， 保证了闭环系统稳定且具有圮、性能，g ee ta 1 “”( 1 9 9 6 ) 考虑到信息的时间滞后现 象在实际工程系统的普遍性，研究了带有执行器故障的线性时滞系统的可靠三乙控制 问题大多数情况下，系统的时滞信息是不确定的，研究对象的数学模型也只是实 际对象的近似描述，s e o 和k i m “”( 1 9 9 6 ) 研究了带有参数不确定性和执行器故障的 线性系统的鲁棒可靠且控制问题w a n g 。”( 1 9 9 8 ) 研究了带有参数不确定性和执 行器故障的时滞系统的鲁棒可靠乒乙控制问题 以上所有的可靠控制设计方法均假设执行器通道的故障模型为完全故障模型， 即当莱个执行器通道出现故障时，就将该通道的控制作用视为零作用，这类模型只 描述了最简单的执行器故障行为，不具有普遍实际意义近年来，出现了一些新的 故障模型和新的研究方法，y a n ge ta 1 。”1 ( 2 0 0 0 ) 提出了一个更实际的执行器故障模型 ( 包含了执行器无故障、部分故障、完全故障等情形) ，研究了不确定非线性系统 的可靠保性能控制问题，给出了h a m i l t o n j a c o b i 不等式( h j i s ) 的可靠控制器设计 方法，然而至今没有合适的解析或数值方法来求解这类h j i s 问题贾新春等。7 ( 2 0 0 3 ) 采用新的故障模型利用l m i 的方法，研究了带有不确定性和执行器故障的 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 线性时滞系统的可靠保性能鲁棒控制问题 一般的l q ( 1 i n e a rq u a d r a t i c ) 控制器不能容忍执行器故障，所以在过去的二十年 中，许多人研究了可靠的l q 控制问题关于线性系统的可靠l o 控制问题已有很多 成果“12 v e i l l e t t e “( 1 9 9 5 ) 给出了可靠线性状态反馈的设计方法对于带有执行器 故障的离散系统，y a n g 。4 1 ( 2 0 0 0 ) 等研究了其可靠的控制器设计问题最近，非线性 系统的可靠l o 控制问题也有了一定的发展 i 6 , 2 5 2 6 ，l i a n g ”( 2 0 0 0 ) 给出了 h a m i l t o n j a c o b i 不等式( h j l s ) 的可靠控制器设计方法，然而至今没有合适的解析或 数值方法来求解这类h j i s 问题j i a “6 1 ( 2 0 0 4 ) 给出了带有执行器故障的连续系统的 l m i s 的可靠模糊控制器设计方法及其系统区域可保性能w u 。”( 2 0 0 4 ) 研究了离散 系统的可靠模糊控制器设计问题，其中采用了完全故障模型，不具有普遍实际意义 1 2 研究问题 本文主要研究带有执行器故障的非线性离散时问系统的可靠模糊控制器设计及 其区域可保性能问题，文中采用了更具实际意义的故障模型，即将执行器故障表示 为理想执行器的函数，由执行器的平均执行程度和故障程度来描述这种故障模型 适用范围更广，它包括了完全故障模型利用l m i s 的方法，通过求解一组l m i s 可 以判断状态反馈控制器的存在情况，并且给出模糊控制器的参数化设计方法及系统 的可保性能值此外，考虑当初始状态为不确定，但属于一个有界的闭区域时，针 对两类常见的有界闭区域：凸包区域和椭圆区域，分别给出了系统的区域可保性能 的计算公式，进一步，建立具有l m i s 约束的优化问题来降低系统的可保性能的保守 性最后，通过数值仿真例子验证所给方法的有效性 1 3 本文的组织 本文以后各章的具体组织结构如下：第2 章对所研究的问题进行了具体的描述， 并给出了相关的引理第3 章针对初始条件已知的情况，以l m i s 的形式给出了可靠 保性能模糊控制器存在的充分判据以及控制器的参数化设计方法，当l m i s 有可行解 时，无沦执行器正常运行还是某些通道发生故障，所设计的控制器都保证系统稳定 并且满足一定的可保性能在第4 章中，对初始状态所属的两类有界闭区域：凸包区 域和椭圆区域，给出了系统的可靠的区域可保性能的计算公式为了降低系统的可 保性能的保守性，提出了一些基于l m i s 约束的凸优化方法第5 章把研究的理论结 果应用于一个数值例子，通过数值仿真比较，说明了本文所给出的设计方法是有效 第1 章引言 的第6 章总结全文的研究成果，并提出新的研究课题，作为以后的研究方向 1 4 符号说明 对于给定的对称矩阵x 和y ，x 0 ( 或y x 0 ) ， 即y x 为正定矩阵( 或半正定矩阵) 4 表示矩阵a 的转置表示适当维数的实单 位矩阵d i a g j r , ，x 2 ，置 表示对角块矩阵表示7 维欧几里德空间，r 表示 ”川维实数矩阵的全体对称矩阵中+ 表示其对称位置上元素的转置t r a c e ( a ) 表 示矩阵a 的迹 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 第2 章问题提出和预备知识 t a k a g i 和s u g e n o “3 提出了用模糊i f t h e n 规则来描述动态模糊模型的方法，每 条规则代表了非线性系统的局部的输入输出线性化关系本文中，我们用以下的t s 模糊模型表示给定的带有执行器故障的非线性离散时间系统： r ，u t n h e n x ( k i 冀1 二三暑：b , u 譬葚”h 扣， c z ， + 1 ) = 4 x ( t ) +( 女) ，f = l ，2 ，一， 。 其中，r ，( f _ 1 ，2 ，r ) 是模糊系统( 2 1 ) 的第f 条规则，毛( 尼) ，z 。( ) ，是模糊规则 的前件变量( 一般是状态变量的函数) ；m i ( i = l ，2 ，r ；，= 1 ，2 ，g ) 是模糊集；a i 和e ( i = 1 ，2 ，) 是具有适当维数的常数矩阵，x ( k ) r ”和“( t ) r 分别是系 统( 2 1 ) 的状态和实际输入，其中“j ( ) 是执行器第i 个通道的输出，通常是理想输 入“，( ) ( i = 1 ，2 ，m ) 的一个不确定函数，在本文的研究中，将采用如下的一类执行 器故障模型”： z f ( 七) = 口，哆( 七) + 弘l ( 毪( 七) ) ，衍( 吩) 球：“? ( 七) ， i = 1 ，2 ，- 一，m ， ( 2 2 ) 其中，y ，( “。) 是关于的未知的、勒贝格可测函数，口，和坼。是已知正常数，且 d 。q 。0 口。、q 。分别称为执行器的第i 个通道的平均执行程度参数和故障程度 参数，统称其为故障参数 为了方便起见，以下记d = d i a g a 一，口。) ，a o = d i a g a l o ，o ，“( 女) = 【“i ，“： 7 ，甲( “) = ( “。) ，v - t m ( , 。) r ，则执行器故障模型( 2 2 ) 可写为： “( 七) = 髓“( 七) + 甲( 甜( 尼) ) ，甲7 ( “) 甲( “) u t ( 后) 口；“( 尼) ，0 茎a o 口 ( 2 3 ) 当口，= 1 且1 2 ，。= 0 时，对应第i 个执行器通道无故障，即正常运行情况； 0 0 和n 3 ( x ) 0 ，喜# 中，n i ( x ) = h i t ( x ) ，n 3 ( x ) = n 3 7 ( x ) ， ：( x ) 仿射依赖于x 第3 章可靠保性能模糊控制器的设计方法 第3 章可靠保i 生能模糊控制器的设计方法 在本苹中将研究上一草中提出的第一个司越，对禺散模糊系统( 2 1 ) 和已知的 初始状态x ( 0 ) ，利用l m i 的方法，给出可靠模糊控制器存在的充分判据，并给出了 系统可保性能的计算方法之后，建立了一个优化问题，降低了系统的可保性能的 保守性 定理3 1 ：给定离散模糊系统( 2 1 ) ，故障模型( 2 2 ) 和二次性能函数( 2 9 ) 如果矩阵不等式( 3 1 ) ( 3 5 ) 有可行解：对称正定矩阵r ”，9 l r “”，对角正定 矩阵q r ，e r ，z i r ，z 2 r ，矩阵彬r ( i = 1 ，2 ，r ) ，则控制 器( 2 6 ) 是离散模糊系统( 2 1 ) 的一个可靠的保性能模糊控制器，其中 k = 彬肖- 1 ( i = 1 ，2 ，r ) ，可保性能为厶 ( o ) ) = x 7 ( 0 ) z x ( o ) - x 讣，名 b ， 苫即，“乩z ，叫哪r ， b z ， 乏绷她a ， b ， 耳- z 五2 跚玑丑， 4 ， r e 班， s ， 其中，v ，= 【m ，m i 彬彬x 口彬彬彬】1 ， u u = p + m m j + m j ja q n vo t o n o 2 xa n q n , j a o n o j l ， y = d i a g 一x ，一一五+ q l ，一z 1 ，一z 2 ，一矸1 ，一尺；，e ，巧1 ) ， m v = a i x + e 瑾，= 形+ ，f ，= 1 ，2 ， i i e 明：若矩阵不等式( 3 1 ) ( 3 5 ) 有可行解，选取l y a p u n o v 函数为v ( k ) = x 7 ( k ) p x ( k ) ，其中p = 丑，沿闭环系统( 2 8 ) 的任意非零轨线x ( k ) 的前向差分为： 5 v ( k ) = v ( x ( k + 1 1 ) 一矿0 ( 女) ) 立壁型塑塑塑墨堑! ! ! 堡堕垫堡些! ! 堕塑堡型 = x 7 ( 七+ i ) 尸_ r ( 七+ 1 ) 一x 7 ( 七) p x ( 七) = ( 一z ( 七) + 占甲( 硷c ( 七) ) ) 7 p ( a x ( k ) + b t ( s v ( k ) ) ) 一x 1 ( 七) 尸x ( 尼) x t ( ) ( 一1 剐一尸) x ( t ) + 2 x 7 ( 女) 肋甲( 凰( 女) ) + 甲( 缸( ) ) p b t ( k x ( k ) ) ， 对正定矩阵q l 0 有 2 z ( d a l 舢甲( 心( 七) ) x t ( 七) 彳7 p q i p a x ( k ) + 甲7 ( 觳( ) ) b 7 q r l 占甲( 缸( ) ) 由，易得随髫7 = 喜略慝鼍广 0 ，利用s c n u 阱性质有： z 】b 1 9 1 嵋z 】，取巨= z 1 得耳1 8 1 研1 b e , - 1 耳1 ，即b t q - 1 占兰e ，由此得： 2 x r ( 七) 爿1 朋甲( 肠( 七) ) - x 1 ( d a 7 p q t p a x ( k ) + w 7 ( 缸( 七) ) 巨甲( 缸 ) ) - x 7 ( 尼) ( 一1 p q l p a + k 7 9 0 e , a o k ) x ( k ) 们m ，易得慝b z 0 7 捧吩眨掣卜稠蜊性质 有z 2 8 1 p b z 2 蔓z 2 ，取墨= z ；得e - 、b 。p b 酵曼e ，即b r p b 0 有 2 x r ( t ) 足7 口7 甲( 缸( 女) ) x r ( k ) k 7 a q c t k x ( k ) + t 7 ( 触( t j ) 甲( 投( 尼) ) - x 7 ( 尼) 世7 ( 。i 抛+ 甜o q 1 口o ) j _ ( 七) 由( 3 5 ) ，易得口9 口+ c z o q - e ，由此得 第3 章司靠保性能模糊控制器的设计方法 2 x 7 ( i ) 丘7 口7 甲( j & ( 女) ) x t ( 尼) k 1 e k x ( k ) 又甲1 ( 触( 七) ) r 甲( 0 ( 七”x t ( 女) k 1 c q r 2 a o k x ( k ) ，因此可得 x t ( 七) 曩( 七) + ( “( 七) ) 7 足 ( 七) ) s x 7 ( 七) ( 墨+ 世7 0 9 r 2 a k + k 7 e k + k 7 a o r _ 2 a o k ) x ( k ) ( 3 7 ) 由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可以得到 a v ( k ) + x 1 ( 女) r ，z ( ) + ( “( ) ) 1r 2 ( “( i ) ) x t ( ) ( 爿7 p a - p + a t p q l p a + k 1 c t o e ，z o k + k 7 c t j e 2 a o k + 月l + k 1 a r 2 a k + k 1 e k + k 7 r 口o k ) 茁( 七) ( 3 8 ) 在( 3 1 ) 和( 3 2 ) 中再取k i = 彬x 。1 ( i = 1 ，2 ，r ) ，即k i = 彬尸( i = 1 ，2 ，r ) ， 并在两边同乘d i a g 尸， 得： 一p ( l ) 7( z ，) 7( 瓯k ) 1 ( a o k , ) 7 ， ( a 墨) 1砰( k ) z ， 一p 10000000 z ，0 一p 一尸1 + q 1 000000 q n k j 00 一e _ 0 0000 q o x l 000 一e 0 000 ，0000一r j l000 口k 0 00 0 0 一巧1 00 足0 00000一e “0 k i 0 00000 0 一巧1 i = 1 ，2 ，r ， 一2 尸 弓+ 巧 弓+ 巧， 口o s o - s 2 。i s v s u ， ( 弓+ l ，) 一2 p 一1 o 0 o 0 o o 0 ( a o s , j ) 7 0 0 2 e , 0 0 0 0 o 9 0 ， ( 3 9 ) ”。碣。 厂 。 岛o o o e 。o o o o：。lj。 鸟 t 一 吗。一。 吗 一 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 岛) 1彤t 0o 00 0o o0 o0 2 r ；10 o一2 e o0 ( a o s q ) 7 0 0 0 0 0 0 0 2 垦 0 ，f ，j = 1 ，2 ，r ，i j r ，( 3 1 0 ) 其中乃= 4 + e d 巧，s , j = k + k j ，f ，= 1 ，2 ，r ，i r ，a = z z h , h j ( 4 + b , c t k j ) ，= 】j - 1 b = e 有 k ) 1k 7 ( o t o k ) 7 由( 尸一一岛) 7 q i l ( 尸一岛) 0 ，容易得到一( j dq l p ) _ 1 p 一p 。+ q ，则有 - pa 1a 7 ( 足) 1 ( a o k ) 7 ap 一1000 a0 一( j d q p ) 0 0 a q k 00 一e ；l 0 k 000 一巧1 ，oooo d k0000 k0o0o 口。k 00 00 在( 3 1 2 ) 两边分别乘以d i a g ，0 ，0 ，0 ，0 ，可得 1 0 ( a o k ) 7 0 0 0 0 0 0 0 一巧1 0 ， ( 3 1 1 ) 0 ，( 3 1 2 ) o o 0 o o o o 融。 0 o o 0 0 o e o o o o o o o o ，o 0 o o r o o 0 ) l 捧o o o 巧o o o o 心 一 啦。百。 9 + 0 尸o o o 0 0 o 廿 ，。 叩爿爿啦啦，枨足啦 矿。旷。 酌o o o o o掣o o 陋 一一 ，o 0 o o 碍0 0 o 第3 章可靠保性能模糊控制器的设计方法 一7 p a p + a p q z p a + k 7 e k + k 1 t e 2 0 t o k 0( 3 1 3 ) 根据( 3 6 ) 有在x ( k ) 0 处，a v ( k ) 0 ，因此闭环系统( 2 8 ) 是渐近稳定的 此外，由s c h u r 补性质，( 3 1 2 ) 等价为 岔p a p + a t p q l p a + k 1a o e l a o k + k 10 【1 t e 2 口o k + 蜀+ k 1 口r 2 a k + k t e k + k o t o r c t o k 0 ，( 3 1 4 ) 代入( 3 8 ) ，得：a v ( k ) + x 1 ( ) 胄l x ( 女) + ( “5 ( 七) ) 7 r 2 ( “( ) ) 0(315) 注3 2 ：在利用优化问题( 3 1 5 ) 求得矩阵e 并将( 3 1 ) ( 3 2 ) 线性化后，若 l m i s ( 3 1 ) ( 3 4 ) 有可行解，则它有无穷多个可行解，为了降低系统可保性能 厶0 ( o ) ) 的保守性，引入辅助变量，原问题转化为：满足条件x 7 ( o ) x - 1 x ( o ) y 的y 最小化问题不等式x t ( o ) x 。x ( o ) ，可以改写为： f 一，x 7 ( o ) o 【石( o ) 一xj ( 3 1 6 ) 因此；我们给出下面的线性凸优化方法： m i n ： 7 ：s u b j e c t t o ：。l m l 0 s 潞1 麓4a n d 淼31 6 ) b 忉 i( 3 ) ( 3 )( 、 7 问题( 3 1 7 ) 的最优解y 印为离散模糊系统( 2 1 ) 的最优可保性能 总之，当初始条件为已知时，可靠的保性能模糊控制器( 2 6 ) 的设计及离散模 糊系统( 2 1 ) 的最优可保性能可以通过以下算法来实现 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 算法3 1 ： 利用优化问题( 3 1 5 ) 求得9 和e ； 计算e - 1 并代入( 3 1 ) 、( 3 2 ) ，使其化为l m i s ； 求解优化问题( 3 1 7 ) 得到其一组可行解* ，z r ，q r ， z 1 r ，z 2 r ”和彤r ( i = 1 ，2 ，r ) 则模糊控制器( 2 6 ) 的增益矩阵 为k = w , x 。( f = 1 ，2 ，r ) ，闭环系统的一个可保性能为j o ( x ( o ) ) = y + 注3 3 ：当执行器正常运行时，即故障模型( 2 2 ) 中甜= i 和o ；o = 0 ，此时，闭 环系统( 2 8 ) 改写为 x ( 女+ 1 ) = 曩_ ( 4 + e 巧) x ( ) = 爿x ( t ) i = 1j = l ( 3 1 8 ) ，r 其中a = h , g ( 4 + e ) 在( 3 1 ) ( 3 5 ) 中取a = i 和口。= 0 ，并令q 哼0 ， i = lj = l q 斗0 ，则容易得到如下推论 推论3 1 ：对离散模糊系统( 2 1 ) 及给定的二次性能函数( 2 9 ) ，当执行器正 常运行时，如果存在正定矩阵x r ”和矩阵彬r ( i = 1 ，2 ，r ) ，使得以下l m i s x a | x + b w j 形 一x a j x + b ? ， ( a i x + e 形) 1 i 一盖0 0一盯 00 t a | x 十b w j y i zo 0一尼 oo 成立，则闭环系统( 3 1 8 ) 渐近稳定， 糊控制器，其中k = 彬j 。( f = 1 ，2 ， 0 ，i = 1 ，2 ，r ，( 3 1 9 ) 0 ，i ，j = 1 ，2 ，i j ，( 3 2 0 ) 控制器( 2 6 ) 是系统( 2 1 ) 的一个保性能模 r ) ，可保性能为g o ( x ( o ) ) = x t ( o ) 肖。x ( o ) 中o o 掣町o o f 一 一 第4 章系统的区域可保性能 第4 章系统的区域可保性能 本章将研究第一章中提到的第二个问题一般地，任何系统的初始状态都很难 事先确定然而，在大多数情况下，可以根据对象的先验知识，来确定系统的初始 状态所属的范围，即初始状态区域 假设系统( 2 1 ) 的初始状态区域q 是有界的、闭区域，且包含原点称 i ，( q ) = m a x x ：r ( o ) x 。1 x ( o ) ：x ( o ) q ) 为闭环系统( 2 8 ) 的区域可保性能 下面，考虑系统( 2 1 ) 的初始状态区域为凸包区域、椭圆区域的区域可保性能 设计问题 4 1凸包区域的可保性能设计 考虑系统( 2 1 ) 的初始状态区域为个己知的有界的凸包区域，即： q l = c o 1 ，2 ，) ( 4 1 ) 易见，q 还可以表示为 ss q 。= p ，：p ，= 1 ，p ， o ，1 ，i = 1 ，2 ，j ) i = 1f = i 5 令a = p ：= ( a ，p 2 ，鼠) ：p i = l ，p ie o ，1 】，i = 1 ，2 ，j ) ，有 5j j ( n i ) = m a x j o = z ( o ) 7 x 。x ( o ) ：x ( o ) q l = m a x ( 只) 7 x 1 ( p x ；) ：p e f i l ) j = 1j = 1 由引理2 1 ，我们可以得到 jj j ( n ，) = m a x ( n ) 7 x 。( b x ；) ：p 西。) f ；l，= i m a x b ( 蜀) 7 “( ) ：p 五t ) 罂慧 ( 姑) 7 x - 1 商 于是可以得到以下的定理 定理4 1 ：对带有初始状态区域q ，的模糊离散系统( 2 1 ) ，故障模型( 2 2 ) 和 二次性能函数( 2 9 ) ，如果矩阵不等式( 3 1 ) ( 3 5 ) 有可行解：对称正定矩阵x r ， 岛r “”，对角正定矩阵q r ，e r ”，z i r ”“，z z r ，矩阵彬r 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 ( f ：1 ，2 ，r ) ，则控制器( 2 6 ) 是离散模糊系统( 2 1 ) 的一个可靠的区域保性能模 糊控制器，其中增益矩阵k = 彬x _ 1 ( i = 1 ，2 ，) ，区域可保性能为j ( q 。) = 懋 ( 扩x 。1 注4 1 ：在利用优化问题( 3 1 5 ) 求得矩阵e 后，离散模糊系统( 2 1 ) 的区域可 保性能的计算可以通过选择l m i s ( 3 1 ) ( 3 4 ) 的合适的可行解来降低其保守性为 了实现j ( q 。) m 。a ；x ， ( ) 7 。1 矗) 的最小化，可以通过选择满足( ) 7 x 。x o 0 ) ( 4 ，4 ) 记q 。= r ：x t p x p ，p 0 ，p = 。) ，则有 t ，( q 2 ) = m a x j o = j ( o ) 。x x ( o ) ：x ( o ) q 2 ) = r a i n p ：p 0 ，q 2 c q 。) = m i n p ：p 0 ，x 叫 o ，x 1 0 暑：0 笔i o p o ，(46)s lu b j e c t t o ：l m i s ( 3 1 ) ( 3 4 ) a n d ( 4 5 ) 7 因此，初始状态区域为椭球域( 4 4 ) 时具有最小保守性的系统( 2 1 ) 的区域可 保性能p 可由以下算法来实现 算法4 2 ： 同算法3 1 的 、 ： 求解优化问题( 4 6 ) 得到其一组可行解p + ，x r ，q r ，q r ， z l r ”“，z 2 r ，彬r ( i = l ，2 ，r ) ，则模糊控制器( 2 6 ) 的增益矩阵为 k j = 形x 。1 ( i = 1 ，2 ，r ) ，离散模糊系统( 2 1 ) 的晟优区域可保性能为，( q 2 ) = p + 非线性离散系统的可靠区域保性能模糊控制 第5 章仿真例子 在本章，考虑如下的动态方程描述的非线性离散系统“： 睽x 2 ( k + 1 + l ) 乩x 2 。，羔2s i n ( 也x j ( k 5 ) 列) + 苫瓣姒 仁， ljl ( 露) 一 o 5 吖- ( 七) + “z ( 后) j 、 为了建立t - s 模糊模型，这里假设五( 后) s - a ，d 】，其中a 为正常数非线性项为 s i n ( x j ( k ) ) 可以表示为 s i n ( x 1 ( ) ) ：f 1 ( ( ) ) 1 西( ) + e 2 ( _ ( t ) ) s i n a x i ( t ) ， 其中f ，e 2 o ，1 】，且鼻1 ( _ ( 女) ) + 巧2 ( 五( 女) ) = 1 ，通过求解以上两个等式可得 。、l百a-sinxl(k)-sinaxi(k),xi(k)o， 一1 ( 一( ) ) = 葺( k ) 一s i n a ) 、 。 1 1 ，x l ( k ) = o ， 鼻：。，：j!：ij篱，_ct，。， 1 0 ，x i ( k ) = 0 r 1 1 和f 2 可以看作是模糊集的隶属度函数，利用这些模糊集，非线性系统( 5 1 ) 可 以表示为如下的t s 模糊模型： r ：i f - ( 女) i s e l ( 而( i ) ) ，t h e nx ( 后+ 1 ) = a t x ( k ) + b j u ( t ) ， r ：i f 五( 女) i s e 2 ( _ ( a ) ) ，t h e nz ( 后+ 1 ) = a 2 x ( 女) + b 2 u ( 女) 其中，x ( ) = i x ，( 七) ，屯( 七) 】7 ，“( 女) = 瞳。(