巧构造、妙解证.doc

巧构造、妙解证江西省万安县万安二中 肖华英 （邮编343800）构造是几何解题中常用的技巧，它是根据题设条件或结论将原图形构造为特殊的几何图形，以沟通题设条件与结论之间的联系，从而达到快速解题的目的，下面分别举例说明：一构造圆形E例1如图1，在四边形ABCD中，AB=AC=AD，BCD=140求BAD的度数ABCD图1分析：观察已知条件，由AB=AC=AD，联想圆的定义可知B、C、D三点是在以A为圆心，AB为半径的圆上因此作出辅助圆，问题就容易解决了简解：以A为圆心，AB为半径作圆，并在优弧上任取一点E，连接EB、ED四边形EBCD为A内接四边形，BCD=140E=40，BAD=2E=80二构造三角形例2某片绿地的形状如图2所示，其中A=60，ABBC，ADCD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长（精确到1m，）DECA分析：本题已出现特殊角，若能把它放在直角三角形中，问题就容易解决了，为此可B延长AD、BC交于E，这样就能把原图形构造图2成一个直角三角形简解：延长AD交BC的延长线于点E，则在RtABE中，易知BE=200m，AE=400m在RtCDE中，CE=200m，DE=100m则AD=400100227m BC=200200146m 故：AD227m BC146m三构造平行四边形 ADNECMBO图3例3如图3在梯形ABCD中，对角线AC与BD垂直相交于O，MN是梯形的中位线，DBC=30，求证：AC=MN分析：本题利用“三角形全等”和“等角对等边”等常用方法来证AC与MN相等是很困难的，根据30角和梯形中位线的性质，需要添加辅助线，构成 平行四边形简证：过D作DEAC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形，且BDE=90CE=AD， AC=DE在RtBDE中，DBE=30DE=（BC+CE）=（BC+AD）AC=（BC+AD）又MN=（BC+AD） AC=MN四构造菱形FAEBCD图4例4凸五边形ABCDE中，有A=B=120（如图4）EA=AB=BC=2，CD=DE=4，求凸五边形ABCDE的面积分析：此图形是不规则图形，直接求面积很困难，因此可通过添加辅助线把所求面积转化成规则图形（基本图形）的面积和（差）来计算，根据已知条件可知A=B=120可延长CB、EA交于F点，将原图形构造成菱形CDEF和等边ABF，所求面积就显而易见了简解：延长EA、CB交于F点EAB=CBA=120FAB为等边三角形 由EA=AB=BC=2 CD=DE=4易证四边形CDEF为菱形连接CA、CE，则CAEF，在RtCAE中，易求CA=S五边形ABCDE=S菱形CDEFSFAB=4五构造正方形CEGBFAD村庄村庄图5例5如图5所示：A、B为两个村庄，AB、BC、CD为公路，BD为田地，AD为河宽，且CD与AD互相垂直，现要从点E处开始铺设通往村庄A、村庄B的一条电缆，有如下两种铺设方案：方案一：EDAB；方案二：ECBA，经测量，AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，BDC=45，ABD=15，已知：地下电缆的修建费为2万元/千米，水下电缆的修建费为4万元/千米 （1）求河宽AD和公路CD的长（结果可保留根号） （2）哪种方案铺设电缆的费用低？请说明理由。分析：本题通过作垂线构造正方形，把所求线段放在直角三角形中，通过解直角三角形的方法，就容易求出未知线段的长简解：过B作BFAD，交DA延长线于F，过B作BGCD于G，则四边形BFDG为正方形在RtBFA中BAF=15+45=60BF=ABSin60=， AF=ABcos60=DF=BF=6 AD=DFAF=6即河宽AD长为（6）千米BG=BF=6 BC=10，在RtBCG中可求CG=8CD=CG+GD=8+6=14 即公路CD长为14千米（2）方案一的铺设费用低由（1）可知D