（应用数学专业论文）非线性抛物方程解的quenching现象研究.pdf

摘要 非线性抛物方程解的q u e n c h i n g 现象研究 应用数学专业 研究生：支元洪指导教师：穆春来 本文主要研究二阶抛物方程解的q u e n c h i n g 现象。首先介绍了q u e n c h i n g 问题的提出( k a w a r a d a 7 8 ) 和应用背景。接着从以下六个方面简要介绍近 3 0 多年来该问题的研究进展：非线性奇异抛物方程解的q u e n c h i n g ；具有 集中源项的非线性抛物方程解的q u e n c h i n g 脉冲型抛物方程解的q u e n c h i n g ；b e y o n dq u e n c h i n g 问题；时滞抛物型方程解的q u e n c h i n g ：双曲型方程 q u e n c h i n g 问题。然后具体分析了三类抛物型初一边值问题解的q u e n c h i n g 现 象。 在第二章我们研究了带非线性边界流的非线性抛物方程解的q u e n c h i n g 行为，所考察的模型为一维半线性抛物方程，其中源项和左侧边界项都 是幂函数形式的非线性奇异项。我们主要讨论了通过适当控制初始条件， 使得只有边界的非线性项的奇性才会在有限时刻出现的可能性( 亦即边界 q u e n c h i n g ) 。我们得到的结果主要有以下两点：一、当初始条件满足一定 的单调性时，所研究问题的解必在有限时刻q u e n c h ，并且q u e n c h i n g 点就是 左侧边界。二、在初始条件满足一定条件时，有如下的q u e n c h i n g 速率估 计：u ( o ，1 一( t t ) 雨两。这些结果表明，尽管源项有可能出现奇性，但是 我们可以适当选取初值，使得非线性奇异源项的奇性不会出现，并且它对解 的q u e n c h i n g 性质的改变所起的作用不大。 第三章讨论非局部弱奇性吸收项对抛物方程解的q u e n c h i n g 行为的影 响，其中吸收项的弱奇性为比较典型的对数型弱奇性。首先，我们证明了 存在临界长度，使得当问题中的参数不小于此长度时，解必在有限时刻t q u e n c h 。然后通过r e s c a l i n g 技术和上下解方法得到了q u e n c h i n g 速率估计。 通过所得到的估计式我们发现，由于反应项是非局部的，所以解在q u e n c h i n 壁 时刻t 附近的渐近行为也与解在水平集 = t ) 上的取值有关。最后，通过 q u e n c h i n g 问题和b l o w u p 问题的对应关系，我们将所得结果应用到一类含有 指数型非局部项的爆破问题，得到了有限时刻爆破的充分条件、爆破点以及 爆破速率估计。 在第四章我们研究了带对数型弱奇性项弱耦合抛物方程组的q u e n c h i n g 现象，我们的目的是将s a l i n 1 1 2 】的工作推广到方程组的情形。我们只得到 了非同时q u e n c h i n g 的一些结果，对于同时q u e n c h i n g 情形，还有待研究。 我们首先证明了对于任何初始条件而言，解都在有限时刻t q u e n c h ，并且 在q u e n c h i n g 现象发生时，解对时间变量的偏导数必然爆破。其次，我们给 出了非同时q u e n c h i n g 的充分条件和必要条件。接着，对于非同时q u e n c h i n g 情形，给出了形如v ( 0 ，t ) 一( t t ) 的速率估计( 如果 是q u e n c h i n g 分量的 话) 。最后，通过函数变换和已有的q u e n c h i n g 问题的结果，我们得到了一类 含有梯度项的非线性抛物型方程组齐次n e w m a n n 边值问题解的爆破结果， 即：对于任何初始条件而言，解都在有限时刻t 爆破，并且给出了解在有限 时刻爆破的充分条件以及形如z ( 0 ，t ) l o g ( ( tt ) ) 的爆破速率估计( 如果 z ( x ，t ) 是爆破分量) 。 、 最后，就抛物方程和双曲方程q u e n c h i n g 问题的研究现状，提出了一些 亟待解决的问题并确定了以后研究的方向。 关键词 q u e n c h i n g 时间，q u e n c h i n g 集，q u e n c h i n g 点，q u e n c h i n g 速率，b e y o n d q u e n c h i n g ，弱奇性，非局部问题，爆破，时滞，集中源 一i l a b s t r a c t o nt h eq u e n c h i n gp h e n o m e n o nf o rt h es o l u t i o n so f n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s d o c t o r a t es t u d e n t ：y u a n h o n gz h i d i r e c t o r ：c h u n i a im u t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o t e dt ot h es t u d yo ft h eq u e n c h i n gp h e n o m e n o nf o rt h es o l u t i o n so fs e c o n do r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s f i r s t l yw ep r e s e n th o wt h i sp r o b l e mw a s i n i t i a t e db yk a w a r a d a 7 8 a n ds o m ea p p l i c a t i o nb a c k g r o u n d s t h e nw eg i v eas u r v e y f r o mf o l l o w i n g6a s p e c t so nt h es t u a yo ft h i sp r o b l e md u r i n gt h ep a s t3 0y e a r s ，t h a ti s ， q u e n c h i n gf o rt h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rs i n g u l a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，q u e n c h i n gf o r t h es o l u t i o n so fn o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a 矗o n 8w i t hc o n c e n t r a t e ds o u r c e s q u e n c h i n g f o rt h es o l u t i o n so fi m p u l s i v ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ，b e y o n dq u e n c h i n g ，q u e n c h i n gf o r t h es o l u t i o n so f p a r a b o l i ce q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y , q u e n c h i n gp r o b l e mi nt h eh y p e r - b o l i ce q u a t i o n s a n dt h e nw ea n a l y z et h o r o u g h l yt h eq u e n c h i n gp h e n o m e n o nf o r3 t y p e so fp a r a b o l i ci n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i nc h a p t e r2w es t o d yt h eq u e n c h i n gb e h a v i o rf o rt h es o l u t i o n so fan o n l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hn o n l i n e a ro u t f l u x ，w h i c hi sa l lo n e d i m e n s i o n a ls e m i l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o nw i t hp o w e r - l a wl i k es o n r c et e r ma n d l e f tb o u n d a r yv a l u e w ec o n c e n t r a t em a i n l yo nt h ep o s s i b i l i t yo fc o n t r o l l i n gb ys u i t a b l ew a yt h ei n i t i a ld a t a ，s o a st ot h eo n l yo c c u r r e l i c eo ft h es i n g u l a r i t yo fb o u n d a r yn o n l i n e a r i t ya tf i n i t et i m e fi e b o u n d a r yq u e n c h i n g ) t h en l a i nr e s u l t sa r c ：1 t h es o l u t i o no ft h ep r o b l e m m u s tq u e n c ha tf i n i t et i m e ，a n dt h eo n l yq u e n c h i n gp o i n ti sj u s to nt h el e f tb o u n d a r y , p r o v i d e dt h ei n i t i a ld a t as a t i s f ys o m em o n o t o n i c i t ) rc d i t i o n s 2 w eh a v eq u e n c h - i n gr a t ee s t i m a t eo ft h et y p e ：u ( 0 ，t ) 一( t t ) 莉，i ft h ei n i t i a ld a t ai t r ec h o s e n p r o p e r l y t h e s er e s u i t si n d i c a t et h a tt h en o n l i n e a rs i n g u l a rs o u r c et e r mw i l ln o td e - v e l o ps i n g u l a r i t yw h e nq u e n c h i n go c c u r sa n di ti n d e e d h a sl i t t l ee f f e c to nt h ec h a n g e o fq u e n c h i n gp r o p e r t i e sf o r t h es o l u t i o ne v e ni ft h es o u l c em a yb c c o m es i n g u l a r , p r o - v i d e dw ec h o o s et h es u i t a b l ei n i t i a ld a t a c h a p t e r3i sc o n c e r n e dw i t ht h ee f f e c to fn o n i o c a lw e a k l ys i n g u l a ra b s o r p t i o n t e r m0 1 1t h eq u e n c h i n gb e h a v i o rf o rt h es o l u t i o n so fp a r a b o l i ce q u a t i o n , w h e r et h e 一一 四川大学博士学位论文 s i n g u l a rt e r mi st h et y p eo fl o g a r i t h m f k s f l y , w ep r o v et h a tt h e r ee x i s t sa c r i t i c a l l e n g t h ，s u c ht h a tt h es o l u t i o nw i l lq u e n c ha tf i n i t et i m et ，i ft h ec o e f f i c i e n to ft h e p r o b l e mu n d e rc o n s i d e r a t i o ni sg r e a t e rt h a no re q u a lt ot h i sl e n g t h s e c o n d l y , w e d 砸v et h eq u e n c h i n gr a t ee s t i m a t e ，b yu s i n gt h er e s c a l i n gt e c h n i q u ea n du p p a 7a n d l o w e rs o l u t i o n sm e t h o d t h r o u g ht h i se s t i m a t ew eu n d e r s t a n dt h a tt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro ft h es o l u t i o nn e a rt h eq u e n c h i n gt i m ei sd e p e n d e n tu p o ni t sw h o l ev a l u e sa t l e v e ls e t t = t f i n a l l y ，a c c o r d i n gt ot h ec o r r e s p o n d e n c eo f t h eq u e n c h i n gp r o b l e m a n dt h eb l o w u pp r o b l e m ，w ea p p l yo u rq u e n c h i n gr e s u l t st oab l o w 叩p r o b l e mw i t h e x p o n e n t i a lt y p eo f n o r d o c a lt e r m , a n dg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ef i n i t eb l o w u p ，b l o w u pp o i n ta n db l o w u p r a t ee s t i m a t e i nc h a p t e r4w ec o n s i d e rt h eq u e n c h i n gp h e n o m e n o nf o raw e a k l yc o u p l e d p a r a b o l i cs y s t e mw i t hl o g a r i t h m i c a lw e a ks i n g u l a r i t i e s ，w i t he x p e c t a t i o nt og e n e r - a l i z et h er e s u l t so fs a l i n 【1 1 2 】t os y s t e m s w eo n l yg e ts o m er e s u l t sf o rt h ec a s eo f n o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g ，a n df o rt h ec a s eo fs i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g ，i ts t i l ln e e d m u c hw o r k f i r s t ，w ep r o v et h a tt h es o l u t i o nm u s tq u e n c ha ts o m ef i n i t et i m e ，n om a t - t e l w h a tt h ei n i t i a ld a t aw o u l db e ，a n dt h a tt h ed e r i v a t i v e so ft h es o l u t i o nw i t hr e s p e c t t ot h et i m ev a r i a b l em u s t b l o wu pa tq u e n c h i n gt i m e t h e nw eg i v et h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h en o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g a n dt h e nf o rt h ec a s eo f n o n s i m u l t a n e o u sq u e n c h i n g ，w ep r o v et h eq u e n c h i n gr a t ee s t i m a t ev ( 0 ，t ) 一( t t ) ( i f 移i st h eq u e n c h i n gc o m p o u e m ) f i n a l l y , b yt h et r a n s f o r m a t i o na n dt h eq u e n c h i n g r e s u l t s ，w ea r r i v ea tt h eb l o w u pr e s u l t sf o rt h en e w m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f an o n l i n e a rp a r a b o l i cs y s t e m sw i mg r a d i e n tt e r m s ，i e ：f o ra l lt h ei n i t i a ld a t a ，t h e s o l u t i o nw i l lb l o wl l pa tf i n i t et i m et ，a n dw eh a v es u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rb l o w u pt o o e c a ra tf i n i t et i m e ，a n dw eh a v eb l o w u pr a t ee s t i m a t e ：z ( o ，t ) l o g ( ( t t ) ) ( i f z ( z ，t ) i st h eb l o w 一叩c o m p o n e n o ， f i n a l l y , a c c o r d i n gt ot h ep r e s e n ts t a t eo fs t u d y i n gp a r a b o l i ca n dh y p e r b o l i c q u e n c h i n gp r o b l e m ，w er a i s es o m ec r i t i c a lq u e s t i o n sa n dp a v et h ew a y f o ro u rf u t u r e s t u d y k e d v o r d sq u e n c h i n gt i m e ，q u e n c h i n gs e t , q u e n c h i n gp o i n t ，q u e n c h i n gl a t e ，b e y o n d q u e n c h i n g ，w e a ks i n g u l a r i t y , n o n l o c a lp r o b l e m , b l o w u p ，t u n ed e l a y , c o n c e n t r a t e ds o a r c e 一一 四川大学博士学位论文原创性声明 i ! i i 大学博士学位论文原创性声明 本人声明：此次所呈交的学位论文非线性抛物方程解的q u e n c h i n g 现 象研究是本人在导师穆春来教授指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四川大学或其他教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。本学位论文成果是本人在四川i 大学读书期间在导师指导下取得的，论文成果归四川大学所有，特此声明。 作者签名：- l 毛夏目期：泖f 月届日 作者签名： 夏目期：泖f 月届日 四川学博士学位论文使用授权书 非线性抛物方程解的q u e n c h i n g 现象研究系本人在四川大学攻读博 士学位期间在导师穆春来教授指导下完成的博士学位论文。本论文的研究成 果归四川大学所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完 全了解四川大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部 门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权四川大 学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或 部分内容。 作者签名： 导师签名： 支别芝 i 彳星岛聋 一9 1 日期：1 司年广月倍日 日期“、年，月p 日 第1 章绪论 偏微分方程理论无论是在基础研究还是在工程应用中都占有极其重 要的地位。从流体力学、量子力学、等离子物理到化学催化动力学、酶 动力学，再到生物学，乃至计算机图像处理 1 2 ，6 9 ，1 2 1 等等，几乎各个 学科都会遇到各种各样的偏微分方程，现代偏微分方程理论在这些学科 领域中起到了不可忽视的作用。现代偏微分方程理论；根据所研究的问 题类型来分，大体上可分为偏微分方程( 正) 理论和偏微分方程反问 题理论。前者首先要解决的是解的存在唯一性以及正则性，然后再考 察解的性质，诸如解的整体存在性、解的渐近行为、解的爆破、解的 q u e n c h i n g 、e x t i n c t i o n 8 6 , 1 2 0 】、s h r i n k i n g 5 6 ，9 3 、解的分歧等等：而偏微分 方程反问题理论的研究则相对而言起步较晚，大约始于上个世纪五六十年 代。但是由于这类问题具有强烈的应用背景，所以这方面的发展比较迅速。 即便如此，由于偏微分方程反问题本身往往是高度非线性的和严重不适定 ( i l l p o s c d n e s s ) 的，所以理论上的难题很多尽管目前已有较为成熟的数 值算法用诸实际。关于这方面的具体内容可参考【7 ，9 7 6 ，7 7 ，8 3 ，1 1 0 。 本文主要研究抛物型方程解的q u e n c h i n g 现象。该问题自从k a w a r a d a 7 8 1 于1 9 7 5 年提出以来，已有大量的研究文章和结果。然而这些结果主要针对 二阶抛物方程，面对于双曲方程则结果颇少。对于高阶发展方程，这方面 的结果( 就我了解) 还没有。抛物型方程的q u e n c h i n g 问题( 就我了解) 主 要来源于和应用于如下几个领域：( 1 ) 离子导体的极化现象 7 8 b ( 2 ) 弹性体 的断裂过程研究【2 6 】；( 3 ) 燃烧过程 2 3 1 ；( 4 ) 热爆炸理论中如何更好地逼近 a r r h e n i u s 定律问题【3 0 】；( 5 ) 粘度与温度有关的粘性流体( 可能有非线性源) 在边界层的明渠流( c h a n n e lf l o w ) 【3 2 】；( 6 ) 化学催化反应和酶反应的动力学 描述 1 0 5 ，1 1 l 】；( 7 ) 电磁学l 4 2 】等等。 本章主要介绍非线性发展方程q u e n c h i n g 闯题的研究进展，接下来的3 章将研究3 类抛物方程q u e n c h i n g 问题。 1 1 问题的提出 在1 9 7 5 年，k a w a r a d a 7 8 考虑了如下的非线性热方程，由此拉开了研究 四川大学博士学位论文 非线性发展方程q u e n c h i n g 现象的序幕： 舰：锄+ i 三， t 0 , x ( o ， ) ， 舰2 锄+ r 五， t ( o ， ) ， 让( 0 ，一钍( z ，t ) = 0 ， u ( z ，0 ) ；0 ， t 0 ，( 1 。1 ) o ( 0 ，z ) ， 其中，z 是给定的正常数。k a w a r a d a 得到了如下结论： 定理1 1 如果f 2 以，则牡在某有限时刻t 沿着直线z = 1 2 取到1 ，亦 即 m a x 乱( 茁，t ) ：0 zsj ) _ 1 一，当t _ t 一( 1 2 ) 根据这个结果，他进一步证明了 定理1 2 如果问题( 1 1 ) 的解在有限时刻取到1 ，则有 t 粤8 u p l u , ( z , t ) l2 。，( 1 3 ) 亦即“在有限时刻q u e n c h ( 按k a w a r a d a 的定义) 。 由于( 1 3 ) 成立的必要条件是( 1 2 ) ，所以定理1 2 表明“( 1 2 ) 铮( 1 3 ) ”。于是 在后来对q u e n c h i n g 问题的研究中，w a l t e r 1 2 2 、a c k e r 和w a l t c r 1 0 ，1 1 】等等 就用条件( 1 2 ) 作为q u e n c h i n g 的定义。 。 但是后来l _ z v i n e 和m o n t g o m e r y 9 2 】举出这样的反例撕= u x a ：+ ( 1 一 ) o 2 ，z = z o = 4 v 互3 来说明k a w a r a d a 的定理1 2 在一般情况下是不成立的， 因为尽管此时这个方程的解整体存在，但是当t o o 时。s u p 。i u ( z ，圳一 1 ；而且当t o o 时，是。( z 2 ，t ) 而不是地( z 2 ，t ) 爆破。 再后来，1 9 8 8 年c h a r t 和k w o n g 在文【3 3 】中指出k a w a r a d a 在证明定理1 2 时存在漏洞，具体地讲，他所构造的函数w ( z ，t ) ，当t 足够靠近t 时，般 情况下并非按其所说的在曲线s ( ) ( t ) 上满足热方程；另一方面，k a w a r a d a 所 采用的证明思想很难推广到非线性强迫项不是( 1 一) 一1 的形式的情形。c h a n 和k w o n g 给出了正确的证明，并且把结果推广到了形如毗= + ，( 乱) 和 毗= f f , x - z + g ( u ，) 的方程。另外，文【2 4 】中也提到了k a w a r a d a 的证明过程中 的不足。 一2 一 鉴于上述原因，对于后面3 章研究的问题，本文采用与( 1 2 ) 类似的定义 来定义q u e n c h i n g ，该定义比k a w a r a d a 的定义( 1 3 ) 要弱一些。 1 2 非线性奇异抛物方程解的q u e n c h i n g 现对非线性奇异抛物方程q u e n c h i n g 现象的研究情况作一简要介绍。 在文【9 0 】中，l e v i n e 比较全面地分析了具有幂函数形式的奇异源项的一 维抛物方程： 毗= + e ( 1 一u ) 一卢，0 z 1 ，0 t 0 ，u o 0 这个问题对应的稳态问题为： ，”( z ) + e ( 1 一，( z ) ) 一p = 0 ，0 0 ，u o 光滑且u 0 0 使缛：如果0 e e ( 卢) ，则( 1 5 ) 没有解。当0 p 1 时，存在两个正数 e 0 ( p ) ，e ( 卢) 满足0 e 0 ( 卢) e ( p ) ，使得：如果0 e e o ( 卢) 或者 ( = e ( p ) ，则( 1 5 ) 恰有一个( 正的) 解；如果f o ( p ) e ( p ) ，那么( 1 4 ) 关于0 u o 0 ，存在0 u o 1 满足i l 咖( ) 一，( ；e ( 卢) ) i k * 6 ，使得解在有限时刻q u e n c h 。 ( i i i ) 如果e e ( 卢) ，那么有： ( a ) 如果u o ( x ) 0 ，存在0 伽 1 满足i | 咖( ) 一，+ ( ；e ) i t l 一 6 ， 使得解u 在有限时刻q u e n c h 。 ( 3 ) 假设0 e ( 卢) ，e = e ( p ) ，e 0 ) e e ) ，结果 ( 2 ) 中的( i ) 、伍) 和( f i i ) 同样成立。 ( i i ) 如果e = o ( 卢) ，则有： ( a ) 如果u o 厶( z ；e o 够) ) ，且u o c 1 ，其中 讹印c 占，卜 1 1 - ( 1 - 2 z ) 1 1 + a , 0 ， 。 x _ z 1 2 。 则u 整体存在，且l i m t 。o 。( 。，t ) = j - ( 。；e o ( 卢) ) ( b ) 存在光滑的初值u o 1 ，使得口在有限时刻q u e n c h 。 ( i i i ) 如果e e o ( p ) ，则有： 第1 章绪论 i m l l ( a ) 如果撕 0 ，l i 驰。c - f ( u ) = o o 。当b 0 时，因为对流项系数“ ；b l o o ，当z o + ， 所以算子a 一( + ! 如) 是奇异的。另外，此奇异对流项还会破坏解关于直 线。= 1 2 的对称性。所以此时研究起来要比b = 0 时的情形困难得多。 如果将函数变换u ( x ，t ) = ( z ，t ) ，；= x 2 4 作用到如下的退化椭圆抛物算 子 1 名也z + 互也一仇， ( 1 7 ) 则可得到算子一慨一( 良。+ 枭以) ) 。算子( 1 7 ) 来源于概率论，b m z i s 等( 1 7 】曾 对此在b - 1 时的情形作过研究。另外，算子岛一( 良。+ ；b 如) = 0 的共轭算 该 w t ：毗一( ，- 轨w ) x = k 一 这个方程在随机过程研究中很重要，比如， t o 可表示m a r k o v 过程的密度函 数，而这个m a r k o v 过程是某个随机行走( r a n d o m w a l k ) 序列的极限，b 表示 二阶条件矩( s e c o n dc o n d i t i o n a l m o m e n t ) 的极限【8 8 】。 c h a r t 和k a p u t 在【2 4 】中证明了如下结果：( 1 ) 如果存在t 0 ，当t t 一时，有 ( 1 一u ，t ) ) ( t t ) - m 1 + p ) ，( 1 + p ) 1 【1 + p ) 对a 一茹c r i 一致成立。如果将边界条件改为齐次d i r i c h l e t 边界，则 有：q u e n c h i n g 点只有一个，并且当b 芝0 ( b 0 ) 时，。= 0 ( 相应地，z = 0 ) 不是q u e n c h i n g 点；如果0 o ) ，y ( 0 ) 0 ，f 7 0 ， 0 ，l i 砜- 啼r ，( ) = o o 。当口= 0 时，c h a n 和k o n g 在1 3 0 中证明：在用a n - h e - n i u s 定律【1 5 】导出的热爆炸模型中，q u e n c h i n g 形式的模型比爆破形式的模型 的逼近程度更好。c h a r t 和k o n g 在【2 8 】中得到：( 1 8 ) 存在唯一( 古典) 解u 使得“，毗在f 中为正；存在临界长度矿；如果f o ，( u ) 如= ：m 矿， 则q u e n c h i n g 点在 ， ip 2 m a ，n 2 】， q 0 ， i 【0 2 ，o d 2 m o ，g 0 ，( 1 9 ) ( z ，0 ) = t 幻( z ) ，互( 0 ，n ) 其中( o ) = 0 = t 0 ( n ) ，0 u o c o 0 ， 0 ， ，o ，l i 瓯一，( 让) = o o ，石f ( u ) d u = ：m 矿( 其中矿是临界长度) ，则( 1 9 ) 的解牡的q u e n c h i n g 点位于 p 2 m a + k ，a c 2 2 m a + 团， 其中：= f o 。( 嵋( s ) ) 2 d s 。 ( 2 ) 如果uq u e n c h ，则( 1 9 ) 的q u e n c h i n g 点扩满足： 三一 臁譬 则有t s p c h a n 和l i u 3 6 】研究了( 1 8 ) 在第二、第三边界时的情形，结果表明：对于第 二边界条件而言，当q 0 时q u e n c h i n g 在z = 0 处发生；对于第三边界条 件，= 0 ，。= a 都不是q u e n c h i n g 点。另外，陈友朋 3 】将( 1 8 ) 推广到算子为 l u ：= x q v , t 一( ) 。的情形。 对于有界域上的q u e n c h i n g 问题，由前可知，一般的结论是存在临界尺 度，使得当考察的区域的尺度小于临界尺度时则古典解整体存在，而当考 察的区域的尺度大于临界尺度时古典解在有限时刻q u e n c h 。但是如果区域 一1 一 四川大学博七学舒论文 是无界的时，情况又会是怎样的呢? 是不是解一定会q u e n c h 呢? d a i 和g u 于1 9 9 7 年在【4 8 】中通过几个特例说明，对于无界区域情形，情况并非像有界 区域那么简单。他们的结果如下所述： 例1 1 对于c a u c h y 问题 撕= 钍+ 9 ( “) ， ，t ) r ( o ，t ) ， ( 1 1 0 ) u ( z ，0 ) = 妒( z ) ，z r ， 其中妒( z ) 芝0 ，s u p x 皿一妒( z ) 0 l i m 。- + 6 9 ) = o o ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 存在常数c 1 ，c 2 ，c l 0 使得当8 【0 ，b ) 时g ( s ) c 1 + c 2 8 ，( 1 1 3 ) c 2 + ( c 1 妨 0 则问题( 1 1 0 ) 的( 古典) 解在有限时刻q u e n c h 。 例1 2 设q 是顶角0 0 的无限锥，考虑问题 u c a u = 9 ( u ) ，( z ，t ) q ( o ，t ) ， u = 0 u ( z ，0 ) = ：( z ) ， ( 1 1 4 ) ( z ，t ) a qx ( 0 ，t ) ，( 1 1 5 ) g q 其中玑妒和例1 1 的相同则该问题的非负解必在有限时刻q u e n c h 。 例1 3 如果问题( 1 1 5 ) 中的 q = r 一1 ( 一n ，口) ，o 0 并且口满足( 1 1 1 ) 和( 1 a 2 ) ，则存在两个常数0 钆 0 ，使得- 当o ( 0 ，以) 时，问题( 1 1 5 ) 的解整体存在；当口 口时，问题( 1 1 5 ) 的解在有限 对刻q u e n c h 。 注1 1 对于a ( 戤，0 ) 的情形，他们没有得到结果，我猜想此时解可能整 体存在，也有可能在有限时刻q u e n c h i n g ，只要初始条件选得适当。 例1 4 如果问题( 1 1 5 ) 中的q = q oxr ，其中f 2 0 是r 一1 中的有界区域， 并且g 满足( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) ，那么：当足够小时，问题( 1 1 5 ) 的解整体存 在；而当q o 足够大时，问题( 1 1 5 ) 的解在有限时刻q u e n c h 。 2 0 0 1 年戴求亿等【2 】研究了c a u c h y 问题 毗：舭+ 掣，r ( o ，研， 工一乱 u ( o ，t ) _ 0 ， 珏( o ，o ) = 0 ， 当一o o ，( 1 1 6 ) 霉r 其中m r ，o t 0 是参数。其结果为： ( 1 ) 如果n 3 ，则：当m 0 ， 问题( 1 1 6 ) 的解均在有限时刻q u e n c h 。 ( 2 ) 如果n 2 ，则对于所有的m r ，a ( 0 ，c o ) ，问题( 1 1 6 ) 的解均在有 限时刻q u e n c h 。 更多的讨论非线性抛物方程c a u c h y 问题解的q u e n c h i n g 现象的研究论文 参见 1 0 5 ，1 1 8 ，1 2 3 。 。 1 3 具有集中源项的非线性抛物方程解的q u e n c h i n g c b a n 、d e n g 、r o b e r t s 等研究了带有集中源项的非线性抛物方程 x q u t t = a 2 6 ( x b ) f ( u ( x ，t ) ) ，( 茁，t ) ( 0 ，1 ) x (