（应用数学专业论文）一类带双井势函数的一维plaplace方程多层解的研究.pdf

硕士学位论文 摘要 本文是对一维a l l e n - c a h n 方程n 模解研究的一个推广将l a p l a c e 算子换成 p - l a p l a c e 算子后，同样可以得出许多相应的结论本文首先讨论了下列问题解的 存在唯一性，即 f ( m t ) i p 。2 让他) ) 7 一f n ) = 0 ，t r ， u ( o ) = 0 ， 【t 1 i 士m 。u ( t ) = 士1 ，7 其中，f ( u ) = ( 1 一u 2p ，且p 2 ，u w 1 p ( r ) ，并且满足( o ) o ( 或者u 7 ( o ) o ) 接下来，对下面问题的解本身及其导数做了一个估计，即 i 矿( i u 7 ( x ) l p 一2 乱7 ( z ) ) 7 一h p ( x ) f 7 ( 乱( z ) ) = 0 ，0 2 ，u w 1 ，p ( r ) ，a n da l s o 钆，( 0 ) o ( o ru ，( 0 ) o ) n e x t ，t ot h ef o l l o w i n gp r o b l e m ，w em a k ea ne s t i m a t eo ft h es o l u t i o na n do b t a i na l l e s t i m a t eo ft h ed e r i v a t i v eo ft h es o l u t i o n ig p ( i u 7 ( z ) l p 一2 钆( z ) ) 7 7 沪( z ) 上( 札( z ) ) = 0 ，0 0 i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ef o c u so nt h ep r o b l e mo f t h ed i s t r i b u t i o no ft h ez e r o s t h e r ei sao n e - o n ec o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nt h ez e r o s a n dt h el a y e r so ft h es o l u t i o n s b yt h ed i s c u s s i o nw ec a nc o n c l u d et h a tt h ez e r o so f t h es o l u t i o n sc a no n l ye x i s ti nas m a l ln e i g h b o r h o o do ft h ee x t r e m u mp o i n t so f 硕士学位论文 九( z ) a tm o s tas i n g l el a y e rc a na p p e a rn e a re a c hl o c a lm i n i m u mp o i n to f 危( z ) ， a n dt h em u l t i - l a y e r sc a na p p e a rn e a rt h el o c a lm a x i m u mp o i n to f 九( z ) k e yw o r d s ：p l a p l a c e ；d o u b l ew e l lp o t e n t i a le q u a t i o n ；y o u n g s i n e q u a l i t y ；n m o d es o l u t i o n ；l a y e r s i v 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体己 经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： f 可以 日期伊7 年，月彳日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：训7 年，月形日 日期：渊年j 月彩日 上碜7 1寺；o鼾；孙托 名名签签者师怍导 硕士学位论文 第1 章绪论 1 1a l l e n c a h n 方程的介绍 a l l e n - c a h n 方程为一个著名的两相过渡模型美国科学家j o h nw c a h n ，在 以往的四十年职业生涯中，他在材料研究以及数学研究领域里产生了深刻的影响 1 9 7 5 年，他和他的学生s a ma l l e n 在研究合金的相变时得到a l l e n - c a h n 方程从那 以后，a l l e n - c a h n 方程被广泛应用于一系列问题中，如相变，图像分析，平均曲率 流的运动，和晶体生长等等许多科学家对该方程作了大量的研究，见文献 1 7 】等 等 下面给出一个a l l e n - c a h n 方程的比较简单的形式它在全空间中的静态解若 满足 - a u ( z ) + f 7 ( u ( z ) ) = 0l u i 1 ，z 月：，1 ( 1 1 ) 其中，f ( u ) 为一个在u = l ，一l 处具有相同井深的双井势函数，标量函数u ( z ) 表示两 种材料混合物质的物理状态，在乱= 士1 时，表示两种纯净没有掺杂质的物理状态 ( 1 1 ) 在全空间的解则表示分界面或奇异点附近的局部相变结构 近些年来，许多科学家致力于对a l l e n - c a h n 方程的研究，得到了许多结果比如 说方程解的渐进性，径向解，鞍形解，梯度估计，d eg i o r g i 猜想，等等，见文献【8 - 3 1 当扩散系数非常小时，反应扩散系统会得出一些很突兀的层很早以前，这种现象 在物理，生物以及其他的一些科学领域里已经被认知在十九世纪八十年代中期， 许多科学家对这些课题已经做了许多数学研究，并且这些层的特性一它们的运动， 位置，以及稳定性，现在也己经被研究得很透彻了，见文献【3 2 3 8 】然而，大部分 研究都只是集中在分析单独一个层的特性，而层与层之间的关系则分析得比较少， 并且在一个相对很小的距离里，对多层出现的位置研究得也比较少此时，对上述 方程加了一个很小的参数，以及一个反应扩散媒介空间非齐性的项九( z ) 后，k i m i e n a k a s h i m a 得到了一些一维a l l e n - c a h n 方程多层解的结论 1 2预备知识的介绍 作为本文的预备知识，我们这里先介绍s o b o l e v 空间及偏微分方程理论中的一 些基本理论知识，见文献 3 9 4 3 】 定义1 1 设k 为非负整数，p 1 ，q 是舻中的开集我们称集合 u l ld q u ( q ) ，i q i 七) 一1 一 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 赋以范数 忆恬如= 旧i 口l k 跳) ； 后得到的线性赋范空间为s o b o l e v 空间w k , p ( q ) 可以证明，w k , p ( q ) 在上述范数下是一个b a n a c h 空间当p = 2 时，常将 w 七，p ( q ) 记作日七( q ) 定义1 2 晡p ( q ) 表示曙( q ) 在w 惫，p ( q ) 中的闭包 命题1 3当1 p + o 。时，w k ，p ( q ) 中的一集合为( 相对) 弱列紧的充要 条件为：范数有界 定理1 4 ( 嵌入定理) 设qc 口为一有界区域，1 p + ( i ) 若q 满足一致内锥条件，则当p = 佗时，有 w l , v ( q ) cl 9 ( q ) ，1 q + ， 而且对任意的u w 1 , p ( q ) ，有 l i u i i l a ( q ) c ( n ，q ，q ) l l u l l w , ，p ( q ) ， 1 q + o o ； 当p 礼时，有 功( q ) cc q ( q ) ，o 0 ，p 1 ，q 1 ，且；1 + 石1 = 1 则有 0 6 1 ，q l ，且；1 + ；1 = 1 若，驴( q ) ，g l q ( q ) ，则 厂9 l 1 ( q ) ，且 ， i f ( x ) g ( x ) l d x 忧z ) 怯( q ) i i g ( x ) i i l 。( q ) ，i l 特别地，当p = q = 2 时，它变成护( q ) ，g l q ( a ) ，则- 厂g l 1 ( q ) ，且 ， - i f ( x ) g ( x ) l d x l i f ( x ) i i l 2 ( f 1 ) i l 夕( z ) 怯( o ) ， - ，s z 称之为s c h w a r z 不等式 g a g l i a r d o - n i r e n b e r g - s o b o l e v 不等式设1 p 仇，存在一个仅依赖于 p 和n 的常数c ，使得对所有的让雠( 形) ，有 i i “f | p ( 舻) c i i d u i i l , r n ) p o i n c a r 6 小等式设1 p + 0 0 ，s zcr n 为一硐界区域 ( i ) 若u 魄p ( q ) ，则 肌p d x _ c 上l d 卵出； ( i i ) 若a q 满足局部l i p s c h i t z 条件，乱w 1 , p ( q ) ，则 u - u q l p d x _ c l i d u i p 如， 其中c 是仅依赖于扎，p 和q 的常数， 仳q = 丽1 上u ( z ) 如， 这里我们用l q i 表示q 的测度 l a p l a c e 方程a u = 0 是下面d i r i c h l e t 积分的e u l e r l a g r a n g e 方程 。( 让) = y 乱1 2 如 如果将平方改成p 次方，则得到下列积分 。( 饥) = y u i p 如 其对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程为 d i v ( i v u l p 一2 v u ) = 0 一类带双并势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 这就是p - l a p l a c e 方程，并且p - l a p l a c e 算子定义为 p u = d i v ( 1 v u l p v u ) 通常p 1 方程的解就叫做p 调和函数 1 3本文的主要工作和结论 对于一维a l l e n c a h n 方程的多层稳定解，k i m i en a k a s h i m a 在文献 4 4 ，4 5 中 已经给出了详尽的讨论即考虑方程 e u u ，。 。+ ，l u h ，2 。( 1 x ，) f ：( u 。) = 。( 。 2 ，u w 1 , p ( r ) ，, t t i ( o ) o ( 或者u r ( o ) o ) 显然 f ( u ) 为一个具有相同井深的双井势函数对上述问题，我们可以得出它有唯一的 单调解，并且解介于( 一1 ，1 ) 之间 当我们将( 1 2 ) 中方程加入一个很小的扰动以及h p ( x ) 后，考虑下列问题 其中 p5 曼7 ( z 川：_ ，( z ) ) ，一7 沪( z ) f 7 ( 钍( z ) ) = o ， o 0 充分小时，我们得到 q 唧( 掣卜+ 坯岛唧( 一掣) ， 4 ， a e x p ( 一掣) 2 ，u w 1 , p ( r ) 显然f ( u ) 为一个双井势函数下 面先给出( 2 1 ) 解的存在唯一性定理 定理2 1 若f ( u ) 为双井势函数，当u 他) 0 ，( o ) o ( 或u i ( o ) 0 ，r u 俅) 0 若 u ( t ) 满足( 2 1 ) ，令 则 又因为 所以 p ( ) = p 了- 1 ) l p f ( 乱( 亡) ) ， 删= p - _ p _ a 1 ( 旷2 u ) u 一脚( 州( t ) = 一1 ) l u 他) i p _ 2 ( 亡) 一f 协( t ) ) - ( 亡) p u = ( i 钆，i p q u ，) ， = ( 1 u 1 2 ) 譬乱， ， = ( p 一2 ) l 让7 l p - - 2 u n + i u l p _ 2 u = 一1 ) ( 1 u 7p - 2 u ) ( 亡) = a p u ( t ) 一f 7 ( u ( 亡) ) 】u ”) = 0 ， 一6 一 硕士学位论文 因此 p ( t ) = c ，t r 又因为 。l 啦牡( 亡) = 4 - 1 ， 故存在一序列 厶卜一0 0 ，使得1 i m ( k ) = 0 n - - - * i - 0 0 因此 。以扣字。i 札他) l p 一。m ) ) - 0 由此可得 p ( t ) 兰0 ，t r 所以 p - 。l l u , ( 卯三f ( u ( 观 ( 2 2 ) 下面我们可以证明i u ( 亡) i 1 时，不妨设u ( 亡1 ) 1 若u ( h ) 1 ，由介值定理知必存在t 2 r ， 使得1 u ( t 2 ) 0 可知，存在t 1 r ，使得u 俅1 ) 0 因为钆他) 0 ，由中值定理知， 必不会存在t ，使得u 他) 0 ，t r 所以由( 2 2 ) 有 以归( p 了- 1 黜) ) ) ；雕尼 因此有 z 茹淼出= o z ( 寿) ；出， j 厂o z 若= ( 寺) ；z ， ( 1 一u 2 ( t ) ) p ) ； p 一1 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 j广o赤1= ( 寿) ；z ，( 一乱) ( 1 + u )p 一1 ，“ 可得 1 n ( 1 州圳岫( 1 叫圳= ( 寿) 石2 z ， 生掣：e ( 6 ) 蠢 1 一u ( z ) 。 从而可得 巾，= 急一兄 这就证明了( 2 1 ) 解的存在性及其唯一性显然，当( o ) 0 时，同理可得 f 2 1 1 解的存在性及唯一性 8 一 硕士学位论文 第3 章带参数的一维p - l a p l a c e 方程解的性 芡弋 ，c 、 3 1n 模解的性态 其中 在这部分内容里，我们考虑下面问题 譬( i ( z p - ，2 ，u 7 ( z ) ) 7 7 沪( z ) f 7 ( u ( z ) ) = o ， o z 0 ( z ( 0 ，1 ) ) f ( u ) = ( 1 一u 2 ) p f 7u ) = 一2 p u ( 1 一u 2 ) p 一1 ， 并且有 f ( 让) = 一2 p ( 1 一u 2 ) p 一2 ( 1 一( 2 p 一1 ) u 2 ) 从而易知f ( o ) 0 ，且 i 盥t 0 ，使得对0 0 ( 或幽d x 0 ) 设( z ) = u 。( 福+ ) ，则魄( z ) 当一0 时一致收敛到( z ) ( 或( 一z ) ) 于r 一9 一 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 的每个紧子集上其中妒( z ) 是下面问题的唯一解 | ! 篙竺”7 揪_ 一 名 + o 。， ( 3 2 ) 该定理实际上告诉我们，在u 。( z ) 的零点附近出现一个交换层，将咖水平压缩 南可得层的形状 定理3 4 令k ： g ( 6 ) ；九m ；n ，露：2 ( 寿) ； m 觚，则存在常数o c 1 0 ，有下式成立 细( - 掣卜+ 1 ，_ 0 ，当m m o 时，下列边值问题有唯一正解z ) 和唯 一负解t ) n e g ( 名) ： 掣z 2 廿伽刈，埘q 洲， ( 3 6 ) 【u ( 一m ) = v ( m ) = 0 硕士学位论文 此外，存在常数0 g 0 ，下列不等式成立 g 唧( - 2 ( 寿) ；m ) 外删( 7 6e x p 1 ( 寿) ； 细( - 2 ( 寿) ；m 卜蝴h 叫ge x p ( 书1 ( 寺) ； 1 ( 3 7 ) ( 3 8 ) 定理3 3 的证明 因为( z ) = u 。( 稿+ 以) ，令亡= 褊+ ，由o 葫+ 1 ，故可得一型掣 名 o ( 3 1 0 ) 一= = 一 ) i ，1 1 l - i d z班 ( z ，)班 、。7 假设定理结论不成立，由于( z ) c i o 。( n ) ，因此存在一序列e 1 ，2 ，e 3 _ 0 ， 使得。z ) 收敛到v ( z ) 而非( z ) 在( 3 9 ) ，( 3 1 0 ) 中令“_ 0 ，则可得 i z x p ( u ( z ) ) 一f 伽( z ) ) = o ，一o o 0 ，使得 p ( 叫( z ) ) m w ( z ) f ( o ) 由s o b o l e v 嵌入定理知在r 的有界闭区域d 上， 妣l i l 一( d ) c l l w l l w , ，p ( d ) + o o 由弱紧性可知 i i 叫i i l 一( d ) c 1 1 w l l w ，p ( d ) ( o ) 叫7 ， ，0i ， 即 z l 字( 胪) ，d z 删。) z 工删啪 可得 ( 驯k 帅) i p 右与m f ，( o ) ( 叫2 ( l ) _ w 2 ( 0 ) ) 硕士学位论文 又因为_ d v ( o ) 0 ，从而 d z w 7 ( l ) i p l w 7 ( o ) l p l w 7 ( l ) i p c 得出矛盾! 如有必要可选取更大的常数c 因此v ( z ) 不为( 3 1 1 ) 的零解 综上所述可知定理得证 为了证明定理3 4 ，我们用到引理3 5 ，其证明将在本章最后给出 定理3 4 的证明先考虑z ，+ 1 ) ，其中& ，靠+ 1 为u 。( z ) 的任意两个相邻 零点，并且满足& 0 。下面我们证明( 3 3 ) 右端不等式在，】上成立，对于z 【r k ，靠+ l 】 时，我们可以作同样的处理 由( 3 5 ) 知哗_ o o _ o ) ，则对充分小的g ，有学 2 ( m 曲o + 1 ) 成立，即鱼2 鱼 ( m o 。+ 1 ) ，m o 如引理中所述任意固定矿+ ( 毪+ 1 ) ，r 七】，考虑下列边值向题 _ p ( u ? ) ) - - h p m i n f 7 ( u ( z ) ) 、= o ，& + g z 2 z 一& 一， ( 3 1 2 ) l 移( & + e ) = v ( 2 x + 一靠一s ) = 0 作变换z = _ h m i ( x - x ) ，由靠+ z 2 x + 一鼠一，我们可知一生丞掣 名 虹尘乏盘型从而( 3 1 2 ) 等价于 ja p ( 移( z ) ) 一f 铷( z ) ) = 0 ，一m z m ， 【 ( 一m ) = v ( m ) = 0 ， 其中m = k 血掣由引理3 5 可知( 3 1 2 ) 有唯一的正解口( z ) ，并且 1 - v ( x * ) g e x p ( 一譬( 寿) ；学) 下面我们要证明v ( x ) 为( 3 1 ) 在+ ，2 x + 一缸一】中的下解 因为 矿p ( u ( z ) ) 一九象；n ( z ) f 7 ( 口( z ) ) = 0 ， 所以有 矿a p ( 可( z ) ) 一，沪( z ) ，( 口( z ) ) 0 ，z 缸+ e ，2 x + 一氨一】 一13 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多屡解的研究 故v ( x ) 为( 3 1 ) 的在+ ，2 x + 一氨一 中的下解我f f 耻a 得r l v 也为( 3 1 ) 的 一族下解，其中叩 0 ，1 ) 由掣 f ( 口) 知 ( 掣) 7 = 掣竽地 从而鼍笋 i f , - 1 ( ( 护i u 7p q v ，) ，一九：i n ( z ) f 即) ) = 0 ( 3 1 4 ) 因此删为( 3 1 ) 的一族下解 由于( z ) 在+ ，2 x + 一靠一】上恒为正，则可找到充分小的回 0 ，使得 对叩 7 7 ( z ) ，z + ，2 x + 一& 一e 】( 3 1 5 ) 下面用反证法证明当7 7 = l 时，( 3 1 5 ) 也成立，即u 。( z ) ( z ) 否则我们假设存在 5 ：1 ( 靠+ ，2 x + 一靠一) ，使得u 。( 叠1 ) 口( 圣1 ) 由( 3 1 5 ) 知，存在面( 0 ，1 ) ，使得 u 。( z ) 亓u ( z ) ( 3 1 6 ) 且存在岔2 ( & + ，2 x + 一靠一g ) ，使得 u e ( 奶) = 厅钞( 而) ( 3 1 7 )t 正e 【z 2 j = 叩钞( z 2 ) ( 3 ) 因为v ( x ) 是( 3 1 ) 的下解，则莉( z ) 为( 3 1 ) 的一族下解，即和( 童2 ) 满足( 3 1 4 ) ， 但由( 3 1 7 ) 知神( 牙2 ) 满足( 3 1 ) ，矛盾! 从而 又由( 3 1 3 ) 知 ( z ) u ( z ) ，z 靠+ e ，2 x + 一一】 u e ( z ) v ( x ) l g e x p ( 一 g ( 寺) ；掣) = 1 一q e x p ( 一 岛( 南) ；掣) ， ( 3 1 8 ) 其中g = g e x p ( g ( 寺) ；危m ；n ) ，如有必要可将q 换成更大的常数从而 1 飞) 细p ( 一半) 毗a 1 4 硕士学位论文 因此( 3 4 ) 右端成立同理可证当z + ( r k ，靠+ 1 ) 时( 3 4 ) 右端也成立 要证( 3 4 ) 的左端不等式，只需将( 3 1 2 ) 中的h m i n 换成 m 麟，即可找到一组 上解删其中( 叼1 ) ，作相应变化，即可得结论 当x 位于0 及( z ) 最左端零点之间，或x 位于让( z ) 最右端零点与1 之间 时，则可通过作相应延拓，将( 3 1 ) 的定义域扩充到 一1 ，2 】= - 1 ，0 】u 0 ，1 】u 1 ，2 】 上，则上述情况可看作u e ( x ) 两相邻零点的情形 定理3 4 证毕 3 2佗模解的导数估计 在这部分里，我们将讨论( 3 1 ) 的n 模解导数的一些估计 定理3 6 存在常数0 0 ，并且厶仇= 业2 ，由( 3 5 ) 我们知曼坠号：尘_ + o 。，( e o ) 因此对任意小的6 1 0 ，存在m + 0 ，使得当e 足够小时有 1 6 1 钆。( z ) 1 ，x + m ，& + 1 一m + 】 由 f ，( 1 ) 一( u 。( z ) ) = f ( ) ( 1 一乱。( z ) ) ，( 乱e ( z ) ，1 ) ， 知 - f 7 ( 仳。( z ) ) = f w ( ) ( 1 一乱。( z ) ) ，( u e ( z ) ，1 ) ， 显然f ( ) 0 故存在饥 0 ，使得 一f 7 ( ( z ) ) v i ( 1 一u e ( z ) ) ( 3 2 0 ) 一1 5 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 又因为 1 扩 忡) f ，( 蜊) d s = ( ( i u 如妒一2 蜘) ) ，d s = i 乱：( z ) i p 一2 乱：( z ) 一i 乱：( 厶) j p 一2 钆：( 厶) 从而由定理3 4 可知 = i 乱：( z ) i p 一2 ( z ) 姒圳= 刍烀忡帅小) ) ) d s i 坛i n ( z ) 7 1 g p ( c 1 吆i n ( z ) 7 1 c 1 扩 让。( z ) ) 如 卜( _ 掣) d s 又因为当z ( & ，r k ) 时，d ( x ) = z 一靠，则由( 3 2 1 ) 知 姒圳州型磐 吆i n ( x ) y ic i e j 一 e p k ( q ) p - 1 = 一 扩一1 ( e x p ( 一掣) d s ( 3 2 1 ) e x p ( - 掣) _ e x p ( 一掣) 唧( 一掣卜p ( _ 其中( q ) p 一1 = 鱼掣从而 u 劁晕 。 唧r ( x - k ) ) 掣) e x p ( 掣) 唧( 掣) 一( - 掣) 1 p 一1 此时，z + m + ，】 又因为在，+ m + 】上，乱：( z ) 单调递减，且u ：( z ) 0 因此 乱：( z ) i k ( & + m + q 一 巴 唧c 珈卜唧( 一掣) 1 6 ( 3 2 2 ) q 了 硕士学位论文 又因为纽争一o 。， _ o ) ，因此 u 劁罢e x p ( 一霞州 如有必要q 可用更小的常数来替换故当z ，r k 】时( 3 1 9 ) 左端不等式成立 现在考虑z 【r k ，& + 1 】的情形，此时d ( x ) = & + 1 一z 又由( 3 2 1 ) 我们知道， 当z r k ，氨+ 1 一m + g 】时 札i p - 1 h p m i n f ( x ) ，y l c 1 九三i n ( x ) 7 l c l ：_ 一 扩一1 k 佃 唧( 一亟等盟) 幽+ ( 唧( 一 k ( & + 1 一( - 掣) 一( _ 掣) l e x pl _ 因为靠一缸及靠+ 1 一z 皆小于一颤= 矗+ 1 一，因此 故 咄刮一掣挚 e x p ( _ 坛i n ( z ) ，y 1 c 1 一 护一1 k 乱劁譬 g l e x pi f k ( & + 1 一z k ( r k 一靠) l e x pl 一 + e x p k ( 矗+ 1 一z e x p ( 一掣) 唧( _ 掣) e x p e x p e x p ( 一掣) k ( 靠一 g 盟) l 唧l k ( 一靠) ( - r ( ( ：k - - k ) ) ( - 掣) 而当z + 1 一m + g ，靠+ 1 】时，u ： ) g 吲咖卜唧( 掣) 1 p - - 1 刁 ( 3 2 3 ) 一一 叭叫一叭叫 0 7 m 1 枷 一 一 “ 钗 q 万 一 一类带双井势函数的一维p - l a p l a c e 方程多层解的研究 如有必要a 可用更小的常数来替换 综上可知存在g 0 ，使得( 3 1 9 ) 左端不等式成立 对( 3 1 9 ) 右端不等式，我t f r 考虑x ，靠】的情形，而当z ，+ 1 】时， 用同样的方法可得结论 当z ，靠 时，由 矿( i u ：( z ) i p 一2 u ：( z ) ) 一h p ( x ) f 7 ( u 。( z ) ) = 0 可得 ( 等即劁p ) ，= h p ( 州即如) ) ， 从而 f 字e p i 姒驯p ) ，出= f 删酬啪 可得 字脚劁一 z “坝州_ f ( 删7 出 ，盔缸( z ) ( f ( 乱。( z ) ) 一f ( u e ( 靠) ) ) h p m 觚( x ) f ( u 。( z ) ) 量缸( z ) ( 1 一u 。( z ) ) p ( 1 + u 。( z ) p ) 2 p h p m 缸( x ) ( 1 一( z ) ) p 田( 3 4 j 石踊口j 知 p 了- 1 州i i p 0 ，有下式成立 去d ( 学) 剿娜d ( 学) ( 1 k n - 1 ， 其中k ，詹如定理3 4 中定义 证明 令= 华，显然有 d ( 厶) d ( r k ) ， 因此 唧掣) 鲫( - 掣) 将z = = 啦2 代入( 3 1 9 ) ，得 ( 3 2 5 ) 牛( _ 掣卜( _ 掣) 知( k d 筌j k ) ) ， 唧( _ 掣) ( 1 + 是) e x p ( 一k d ( r k ) ) e ， 了k d ( r k ) 岫( 1 + 爰) 掣 g，一e 由( 3 5 ) 则有 k d i ( r k ) 露d ( 靠) ， 2 一弋m 川 即 条d ( 学) 剑甜 ( 3 2 6 ， 结合( 3 2 5 ) 及( 3 2 6 ) ，从而可得 条d ( 挚) 剑邯d ( 学) c 1 脚叫 引理3 5 的i 3 1 n ( 3 6 ) 有唯一正解及唯一负解，对该结论，我们可参见文献 【4 7 】这里，记v m = 。( o ) 由极大值原理易知在( 一尬m ) i - ，有0 o 因此 m 而d v嘉m 南 1 ( 可m i ) 宁 2 万可一 一2 0 硕士学位论文 即( 3 2 9 ) 右端第二项有界 从而与m 一十o 。矛盾! 故u m 一1 ，( m _ + o 。) 接下来我们证明( 3 7 ) 因为 所以 m = ( 字) ；厂 m ( ( 1 一v 2 ) p 一( 1 一口) p ) ；1 ( 字) h o m ( 字) h o m ( ( 1 一 2 ) p ) ；i ( 1 - i - ) ( 1 一v ) 1 + v m 1 一u m 1 1 u m 由上面证明，我们可选择一个充分大的m ，对这个m ，存在一个正常数7 ，使 得u m 1 一吾因此 m = ( 孚) ；旷( ( 1 一v 2 ) p 一( 1 一口玉) p ) ；+ 仁瓦南) 易知上式第一项有界，考虑第二项因为在 1 一，y ，u m 】上