（应用数学专业论文）一类半线性椭圆方程整体解的研究.pdf

摘要 本文讨论的是一类半线性椭圆方程 a u = p ( 茁) ，( t ) ， z t 在全空间上的解的存在性、唯一性和解在无穷远处的渐近性态本文讨论整体有界 解和整体爆破解两种情况对这类方程的整体有界解的研究一向很热门在有界区 域中，对此类方程的爆破解的研究已经得到了很多结果因为在这里讨论的整体爆 破解在无穷远处是爆破的，所以要对这样的解进行研究是很困难的，因而研究解在 无穷远处的渐近性态就显得十分重要这篇文章在阐述过程中，把近几十年来关于 这类方程的全空间的解的研究工作进行一些初步的分析总结，分析比较了各项工 作中给出的j d 和，的条件，总结了研究整体有界解和整体爆破解所采用的常用方 法，对几项比较有意思的工作进行了详细的阐述 在研究整体爆破解时，本文给出了一个关于，不需单调性而解存在的主要结 果假设p 是正的连续函数，且一a u = p ( z ) ，z r n 有基态解；定义在 0 ，+ o 。) 上 的函数，( u ) ， ( t ) ，2 ( t ) 满足 ( t ) 0 ，u ( 0 ，+ o o ) ，f ( 0 ) = 0 ，其中，( t ) 局部 l i p - 连续函数， ，厶为局部l i p - 连续非降函数，且 ，厶满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件，即： z 高出 o ，u ( 0 ，+ o 。) ，f ( 0 ) = 0 ，a n d ，i sal o c a l l yl i p s c h i t zf u n c t i o n ， ，厶 a r en o n d e c r e a s i n g ，l o c a u yl i p s c h i t zf u n c t i o n s ，s u c ht h a t d t 0 ，z m 这 个问题等价于寻找方程 警半t 一) t i + 脚) u - 2 ) - - 0 ( 1 2 ) 的正解其中七( z ) 为度量函数g 的数量曲率函数若m 紧，则该问题已被很多人 讨论过，见【1 2 】当m = r ，g 为一般度量函数时，七= 0 则方程( 1 2 ) 化为方程 生掣t + k ( z ) t ( 椰) _ - 2 ) ：0 ( 1 3 ) 1 2 主要内容 2 因为( 1 3 ) 中a u 和k ( z ) t ( n + 2 ) 似一2 ) 关于u 的次数不同，所以只需令t ，= c t ， 适当选取c 的值，就能将方程( 1 3 ) 化为方程 t + k ( 霉) t ( n + 2 ) 似一2 ) = 0 ，z r ，n 3 ( 1 4 ) 所以研究方程( 1 1 ) 的正解的存在性显得很重要 1 2 主要内容 本文讨论方程( 1 1 ) 在全空间上解的情况按解在全空间上是否有界，分两种 情况分别进行讨论 ( i ) 整体有界解，即方程( 1 1 ) 在全空间上的解有界 ( i i ) 整体爆破解，即： fa u = j 口( z ) ，( u ) ， z p ， ti 热心) 一 。与 我们总结近年来在全空间上有界解和爆破解的研究情况，并对重要的定理给 出证明或证明概要对一些重要定理进行比较分析，尤其是对其条件的比较分析 并对常用的上下解方法进行了详细介绍 在第二章研究整体爆破时给出我们的主要研究结果： 定理1 1 若p ( x ) 满足条件：p ( x ) 是正的连续函数，j - a u = p 0 ) ，z r 有基态解f ( u ) 满足条件： a ( u ) f ( u ) 厶( u ) ， 其中，( 让) ， ( t ) ，五( t ) 是定义在 o ，+ o o ) 上的函数满足a ( u ) 0 ，u ( 0 ，4 - o o ) ， ( o ) = 0 ，( t ) 为局部l i p - 连续函数， ( t ) ，厶( t ) 为局部l i p - 连续非降函数，且 ( t ) ，如( t ) 满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件，即： 斋出 o ，p ( x ) q 2p ，0 0 时若笪和瓦分别是方程( 1 5 ) 的下解和上 解使得笪瓦，。r n 劓方程( 1 5 ) 有c2 一解t 满足笪t i 瓦，z r n 证明( i ) 对任意整数n 1 考虑方程 a u = p ( z ) ，( t ) ，z b n ；t = 笪，z o b ( 2 2 ) 其中晶cr ，风是中心在原点，以o b 为边界的球以下以瓦和笪表示上下解 在风上的限制令屿) ：= m a x z b p ( x ) 取r ：= m a x 瓦面，入：= 入n 0 使得 ( n ) ，( t ) 一入 0 ，0 t 考虑方程 a u a u = p ( z ) ，( 笪) 一a _ u ，z b ，1 ( 2 3 ) 该方程只有一个解t 1 2 c 2 ( 占k ) nc ( 瓦) 因为 u ? 一入u z = p ( 。) ，( 笪) 一入墅， 且 一面一p ( z ) ，( - ) ， 所以 ( u 一动一a ( u ? 一u ) p ( z ) ，( 笪) 一p ( z ) ，( - ) ( 嵋一面) 一入( t ? 一_ ) p ( z ) ，( 笪) 一，( 面) 】+ a ( - 一笪) = p ( 。) ，7 ) ( 笪一面) 一入( 型一_ ) 0 又因为在a 风上嵋= 笪，所以由极大值原理得u 西，茁瓦所以 “ 一a t a u a _ u ，z b k ， 且 u = 墅，z a j e i k 再次用极大值原理得笪u ? ，。瓦所以有笪u 西，。一b n 重复上述步骤，我们得到函数t 呈俨( 既) nc ( k ) 满足方程 a u a u = p ( z ) ，( u ) 一a ? ，z b k ；牡= 乱? ，z o b n ， 以及笪t t 呈面，z 瓦 用这种方法得到序列 u ：i ) 篷。，嵋：= 笪满足 u ：l a 计= p ( x ) f ( u l l ) 一入。7 1 一, l ，z b n ；u r = u 卫1 ，z o b ， ( 2 4 ) 和 笪t i ? 让：i t l 孙1 西，z 玩， 所以在c ( 一) 中，有 矸竺- 矿 又因为墅，瓦三( b n ) ，所以由l e b e s q u e 控制收敛定理知，在汐( 风) ，p 1 中，有 t ：i 巴心n 对( 2 3 ) 用椭圆估计知，存在常数c 使得 l i 玉。一略。1 1 2 沪，风 - c i p ( z ) 【，( u r ) 一，( u ) 】一入( 牡：l 一罅) l 鼽晶 所以在w 2 ，p ( 风) 中有 嵋巴矿 在( 2 3 ) 中令f _ 0 0 ，得 | u n = p ( z ) ，( u n ) ，z j e i ；矿= 笪，z o b 所以型矿西，z 瓦用s o b o l e v 嵌入定理和s c h a u d e r 理论，知方程( 1 5 ) 有 解t 仃，t n c 2 ( 风) nc ( 百回，满足笪t l n 面，。百： ( i i ) 由( i ) 知，存在序列 矿】cc 2 ( 晶) n c ( 瓦) ，满足 且 t n = p ( z ) ，( t 上n ) ，z b n ；t 住= u ，z o b ， 笪矿- z b n 取k 1 ，并且令n k + 1 ，我们有 u 竹= p ( z ) ，( u n ) ，z b k + l ； 笪t l n 面，z 瓦+ 1 ( 2 5 ) 由椭圆的正则性理论知，矿俨，p ( 瓦) ，0 2 ，则方程( 1 4 ) 有无穷多个有界正解，且这些解都大于一个正常数 事实上如果考虑以下稍微一般化的方程 a u + 妒( z ，u ) = 0 ， z r ( 2 6 ) 以下的结果来自d y e 和f z h o u 定理2 4 ( d y e ，f z h o u 【2 6 ) 若妒( z ，让) 满足i 妒( z ，u ) l p ( z ) ，( t i ) ，( z ，t 1 ) r ( 0 ，o o ) ，p l o 烈。一n ) ，使得一【厂= p ( z ) 在掣中存在有界解，假设，在 ( 0 ，o o ) 上连续且满足 l i m 型：o 或l i m 塑：0 则方程( 2 1 ) 在r 上有无穷多个有界正解，并且这些解均大于一个正常数 证明由已知条件可令v 是方程 一u = 州，z r ，l i m 1 u 彩= 。 2 2 整体有界解的研究 7 的有界解若v 是方程一a u = p ( z ) 的解，则u 年a ，口r ，也是该方程的解，所以 这里加条件 熙高上，- 0 ， 是为了保证解的唯一性因为p ( z ) 0 ，所以u 0 ，由平均值不等式 u x o ) 上w n r nk ，r ) u d 6 , v x o er n , 以及 1， ，l i m ，j b ( 霉。固v 彩= o ， 其中u 为r 中的单位球体积，b ( x o ，r ) 表示圆心在z o ，半径为r 的球所以 u ( x o ) 0 所以u 0 ) 0 取正常数c 满足魄= - 4 - u + c ，满足q k 亿q 0 ，q ，岛 0 下面我们分情况分别选取适当的a 使a u 分别为方程( 2 1 ) 的上下解 ( i ) 若 l i m 业：o u - - o + u 我们取口 0 z 够, j 、，使得对任意t 口q ，有华何1 ，所以 a ( a v + ) 4 - 妒( z ，口k ) - a p ( x ) - 4 - p ( x ) f ( a v + ) 加) 【1 一耳等】 0 所以a v + 是方程( 2 1 ) 的上解，类似的计算，当n 0 足够小时，a t _ 是方程( 2 1 ) 的下解因此由定理2 1 知，存在方程( 2 1 ) 的解t l 满足 口k u a v _ 口岛 0 因为我们能取口 0 任意地小，所以方程( 2 1 ) 有无穷多个有界正解 ( i i ) 若 l i m 业：0 ， 乜- u 我们取口 o 足够大，使得对任意t 口a ，有华c i - 1 ，所以 a ( a v + ) + 妒( z ，口u ) - a p ( x ) + p ( x ) f ( a v + ) = 一口刺【1 - v + ( a y v 。t ) 0 2 2 整体有界解的研究 8 所以a v + 是方程( 2 1 ) 的上解，类似的计算，当a 0 足够大时，a v _ 是方程( 2 1 ) 的下解因此由定理2 1 知，存在方程( 2 1 ) 的解u 满足 a v + u a v _ a c ： 0 因为我们能取a 0 任意地大，所以方程( 2 1 ) 有无穷多个有界正解 综上所述，定理得证 口 定义称方程 - a u = p ( z ) 在上存在基态解汐，是指该方程的解u 是有界的，且满足 l i mv ( z ) = 0 i = i - - , o o 。 注1 若一矿= p ( x ) 在r 中有基态解，则在我们的证明过程中有 l i m 巧= l i m 眨= c ， i = i - - o o i 霉l 所以方程存在有界整体正解t 满足 单mu ( z ) = c ，c o 有无穷多个 i z l + 注2 方程 一a u = p ( z ) z r ，j i m - 击u d 6 = o ， 存在有界正解配并不一定是基态解，即u 在无穷远处不一定趋于0 在定理2 1 1 中，如果降低，的条件而令v 小于一个由，确定的很小的常数， 则可得到相同的结果。 定理2 5 ( d y e ，f z h o u 2 6 ) 若妒( z ，u ) 满足i 妒( z ，t ) i p ( z ) ，( 牡) ，( z ，t 1 ) ( 0 ，。) ，p l l o 诎。瓜n ) ，其中，在( 0 ，o o ) 上是连续函数，存在由，决定的正常 数e o ，使得方程 ， 一矿= 刺一er n , ，l i m s 。u 彩= o 有有界解u 满足u g o ，则方程( 2 1 ) 在r 上有无穷多个有界正解，并且这些解 均大于一个正常数 2 3 整体爆破解的研究9 如果对印作更加精确的估计，即在上述定理的条件下，令解矿满足 0 使得对任意z 可q 有 ，( z ) 一f ( y ) 七( z y ) 则方程( 1 5 ) 至少存在一个正的连续有界整体解 2 3 整体爆破解的研究 以上所述的结果中，方程的解都是有界的情形下面我们将介绍解在无穷远处 爆破的相关研究结果，即我们考虑方程( 1 5 ) 对有界区域爆破解的研究已经有很多结论，j b k e u e r 1 1 和r o s s e r m a j l 2 4 在研究方程 a u = f ( u ) 时给出了该方程在有界区域内有爆破解的充要条件就是，满足条件 z 小删叫2 如 0 时，( s ) 0 且 s u p 塑 0 ，且 r 证l ( r ) d r 0 ，存在p 0 使得对任意 z ，可【c ，o 。) 有l f ( x ) 一，( y ) i p l 。一y l ，且 t 酷) f ( t ) 2p 0 p ( x ) = p ( i x l ) 是连续函数则方程( 1 5 ) 有整体爆破解的充要条件是 t p ( r ) 打= 在上述结果中，给出的条件在坐标平移下是可变的，而方程解的存在是坐标平 移不变的，所以找到平移不变的条件显得很重要，这里介绍一个有平移不变条件的 结果对于条件的平移不变性，后面会有详细介绍 定理2 6 ( d y e ，f z h o u 2 6 ) 若p 是正的连续函数，且- a u = p ( z ) ，z r 有基态解，( 。) ，z 0 ，+ ) 是非降的局部l i p - 连续的函数，满足f ( x ) 0 ，z ( 0 ，o o ) 且满足k e u e r - o s s e r m a n 条件( 2 9 ) ，则方程( 1 5 ) 有正解 证明因为f 满足( 2 9 ) ，由c b a n d l e 和m m a r c u s 2 】的结果知v 七n + ，方 程 a u k2 刺m 詹) ，弛b k , 帅l i m 七u l , = 有正解 u k a ( u k - - u k + 1 ) = 户( z ) ( ，( “岛) 一，( u 詹+ - ) ) = p ( z ) 1 鼍掣( u 七一u 七+ - ) 2 3 整体爆破解的研塞 1 1 因为f 非降，所以 加，鼍甚岩。， 又因为( u k t 知+ 1 ) la 风0 所以由极值原理得t l 七一u k + l 0 ，z b k 所以 t = l i m t 七存在，于是有a u = p ( z ) ，( u ) ，$ 为估计t ，记 蛾( z ) 2l ) 而1 如z 凤，帆州 由( 2 9 ) 和f 的单调性，我们知道w k 是定义良好的 所以一a w k p ，z b k ，又因为w k a 取= 0 ，所以由极大值原理得w k ( x ) u ( 茁) ，z b k 所以 南d s 叭，v x er n 所以u ( z ) 0 ，zer ，且由l i m i 霉i _ 【，( z ) = 0 得 j v g o n c a l v e s 在研究方程( 1 5 ) 解的存在性时，分别对，和p 用指数函数去 控制，用直接构造上下解的方法证明了解的存在，并且给出解在无穷远处的渐近性 的估计 定理2 7 ( j v g o n c a l v e s 9 ) 假设半线性椭圆方程( 1 1 ) 满足 ( i ) 。引即i m i n fp 而( x ) l i 咖m s u pp 而( x ) o o ，y 0 ，pe 曜，0 0 ， 。妯r a i n f 譬o o ，。 哿等 o o ，1 0 且 r m ( r ) d r o o ，m ( r ) = m a x p ( r ) ， j o i x l = r 则方程( 2 1 0 ) 有爆破解 k e m a b r o u k 和w h a n s e n 【2 1 】假设p ( x ) = p ( i x l ) 是径向对称的p ( 。) 非负 且局部有界，则方程( 2 1 0 ) 有整体爆破解的充要条件是 r p ( r ) d r = ( 2 1 1 ) 他们还得出结论：假设0 ，y 1 ，n 3 ， z r ( p ( r ) 一p 。( r ) ) ( 1 + z rt p ( t ) 如) 7 7 1 7 办 2 则方程( 2 1 0 ) 的所 有可能的正解已完全分类讨论了见k s c h e n g 和w m n i 5 特别的，他们证 明了方程( 2 1 0 ) 在l 有唯一的整体爆破解在无穷远处以速率口爆破，其中 q = ( f 一2 ) ( ，y 一1 ) ( i i ) 若非负函数p ( 。) 在无穷远处的衰减比c l x l _ 2 慢时方程( 2 1 0 ) 不存在正 的爆破解见w m n i 2 3 ，f h l i n 1 9 ，k c h e n g 和j l i n 4 ( b ) 当0 ，y 1 时，称方程( 2 1 0 ) 为次线性方程到目前为止，所得到的结果 并不是很多a v l a i r 和a w w o o d 1 8 】假设p ( z ) = p ( 1 = 1 ) c ( r ) 非负非平凡， 则方程( 2 1 0 ) 在r 中有正的爆破解的充要条件是满足( 2 z z ) ( c ) 当7 0 ，1 口p o o ， ，厶因为 z 幽= o 斛幽= q 篙， 所以 赤出= 俘一，一t q + l 一 所以 = c l s q 满足k e u e r o o s s e r m a n 条件( 2 9 ) 同理，因为 z ，2 幽z 蚓幽= 仍筹螂， 丽c _ 幺_ + p 二+ 1c 2 t 出方出 = z 等滞出 。o ，一半 乩 所以厶= 岛s p + 岛也满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件( 2 9 ) ，所以所选取的 ，2 满足 2 5定理条件的比较分析 正如前面提到的那样，因为方程解的存在性是不因坐标平移而发生变化，所以 寻找平移不变的条件很重要比较下面两个在前面很多定理中反复出现的条件 ( p 1 ) ( p 2 ) z 皿( 亡) 出 o o ，皿( z ) = m a ：x 。p ( z ) 一u = j d ( z ) 有基态解 记g 为r 的等距变换群条件( p 1 ) 在g 下不是不变的即jt g 使得 p ( z ) 满足条件( p 1 ) 而t op 不满足( j d l ) 条件( p 2 ) 在g 下是不变的即vt g 2 5 定理条件的比较分析 1 6 top 满足( p 2 ) 因为方程( 1 1 ) 的整体解的存在性显然是在g 下是不变的所以采 用条件( p 2 ) ，许多在g 下不变的充分条件会被建立起来 这里给出一个具体的例子说明即使在平移下，条件( p 1 ) 也不是不变的 记p o ( x ) = p o ( i x l ) 是正的，正则的且径向对称的函数，满足条件( p 1 ) ，并且对 任意f n 有p o ( 1 ) = 1 ，取x 0 r n ，i 。o i 1 2 ，记p 1 ( z ) = p o ( x + x o ) ，则对任意 ，i x o i ，有 霍1 ( r ) 2 蜀孥l p l ( z ) i = m i = l a x = rl 伽( z + 勋) l2 卜m 圳a x = ri p o ( s ) i2 【l r i 品髯i z o 口p o ( s ) l i 引= r1 0 一z o i = ri z o i 。r 十l i j 所以 t m l ( t ) d t = 。 所以p 1 不满足( p 1 ) 条件( p 1 ) 可以推出( p 2 ) ，反之( p 2 ) 不能推出( p 1 ) ( 2 6 1 ) ( p 1 ) 兮( p 2 ) ：令 m ，= o 南p 。1 吣删s 一广南f o $ 扩1 吣m 则y ( z ) 有意义，且- a v = 雪( r ) ，r = 蚓，zer n 因为l i r a i 零i - + v ( x ) = 0 ，所以 v ( x 1 是方程 i - a f t = p ( z ) ， ti ) = 0 ， j 4 的上解又因为0 是方程( 2 1 4 ) 的下解所以方程- a u = p ( z ) 有基态解 反之( p 2 ) 笋( p 1 ) ：假设p o ( x ) = p o ( 1 2 1 ) 满足 r p o ( i x l ) d r 0 ，p q ? ，0 u 1 ， 。 a 0 ，其中a 足够大 时有 g i z i p ( z ) q i z l7 则 z r 皿( r ) d r = - r o ( r ) 办+ z r 皿( r ) 打 因为7 皿( r ) 连续，所以 z a 州打 o o 又因为 厂r 霍( r ) 岛0 0r r r ：c 2 o or ldrd r 竹d r o o ， r 霍( r ) 岛 r r r =2 竹 o o ， ，a，口，口 所以 r l ( r ) d r o o 所以方程一a u = p ( x ) 有基态解 定理2 7 中f 的条件能满足定理2 6 中经典的k e l l e r - o s s e r m a n 条件 命题2 9 若f 满足 o u t m - - - , o i i l f o 簦t q 堕。o ，1 0 则f 满足k e l l e r - o s s e r m a n 每件，即 z 高出 0 满足当t a ( a 足够大) 时 辔犯 因为f c 1 ( o ，。) ) 所以在有限区域内的积分总是有界，所以不妨假设 f ( e ) c i 圮t 【0 ，o o ) ， 口 2 5 定理条件的比较分析 1 8 所以 耶，= o m 胁z g s 怔c 筹 所以 南出1 俘古疵 0 ，p 。c l l o , u ，0 0 则在下面两种情况下，方程 ( 1 5 ) 都没有径向对称的c 2 爆破解 情况一：，满足 。 l i t m - - o i o n f 辔o o 伊 。 。 群铬l i 蚓r a 。s 洲u pp ( z i ，) o 。，。7 2 情况二：f 满足 。 l i 扣m i n f 伊t - - - - - e - ( o 。，。 嚣p 等 o o ，p + 1 2 口 口满足 。 。 l i 帅m i n fp 阿( z ) l i 卅r a s u pp 川( x ) 2 和前面的解的存在性定理比较知，解的不存在情形与t 的次数有关，下面专门 对次线性的情况进行研究 研究次线性方程 a u = p ( x ) u ，0 7 1 假设p ( z ) c ( r ) 是非负，非平凡且满足 r皿(r)drj0 0 使得对任意z 【0 ，a 】有f ( z ) 则方程( 1 5 ) 不存在非负非平凡整体有界解 k e m a b r o u k 和w h a n s e n 2 1 】假设p ( z ) l 盏( r ) ，p ( x ) 非负在下列任何 一种情况下方程 a u = p ( z ) u 7 ，0 o ) 在无穷远处是薄集 ( i i ) 存在x 0 r 使得 。，咎dy00x _ r lo y l - 2 、 ( i i ) 7 存在叩0 使得 上r m a ；x ，p ( z ) 打 。o 3 2 整体解的唯一性 2 1 3 2 整体解的唯一性 讨论解的唯一性一直是偏微分方程研究中的重要课题这里就关于方程 a u = p ( 正) ，( t 1 ) 的解的唯一性的几个结果进行总结分析其中一些唯一性的证明方法也是其他类 型偏微分方程解唯一性证明的常用方法 h b r e z i s 和s k a m i n 【3 】对次线性问题的全空间有界解的唯一性进行了讨论， 他们指出方程 一a u = p ( z ) 让a ，z 鼠_ ，n 3 ，0 a 0 ，z r ，( 3 2 ) 且 ， j ot c ! i ，( t ) d t 0 ，使得任意zeb ( x o ，r ) ，有j d ( z ) 0 成立 ( 3 3 ) 则上述结论依然成立 ( i ) 当p ( x ) 0 ，z r 时，假设t i ，u 是方程3 1 的两个解，则我们只需证 明t u ，因为我们可以用同样的方法证明口牡，然后得到牡= t ，假设在某点处 3 3 整体解的渐近性 2 2 有t 一t ， 0 因为当h _ o o 时，有t i t _ 0 则m 呱( t i 一秒) 存在且为正设 m a x r n ( t 一钐) 在点z 取到，则在点。，我们有u ( x ) u ( z ) ，所以 0 ( t 一u ) ( z ) = 一p ( z ) ( t 一7 一u 一) 0 ， 得到矛盾所以有u t ， ( i i ) 当p ( z ) 满足条件( 3 3 ) 时，假设t ，t ，是方程( 3 1 ) 的两个解，由( i ) 的证明方 法知只需证明t u 因为在( i ) 中，如果最大值在z o 点取到则p ( x o ) = 0 ，于是得不 出矛盾所以在这里令z = + e ( 1 + ，) ，e o ，f = 假设在某点处有t 一z 0 ， 因为当_ o o 时 t 一名= u u 一( 1 + r ) 一1 0 ， 所以i n a x r n ( u 一名) 存在，假设在点z 处取到则在点z 处有 u ( x ) z ( x ) v ( x ) 0 所以 0t a ( u - z ) = 一p ( z ) ( t - r _ v - - 1 ) 一e ( 1 + r ) 一3 【2 一1 ( n 一1 ) ( 1 + r ) 】 o ， 得到矛盾所以u z ，即：t t ，+ e ( 1 + r ) ，垤 0 ，所以仳 若加上条件 ，c 1 ( ( o ，o o ) ，( 0 ，o o ) ) ，1 i 罂，( s ) = o o f ( s ) o ，z r ( 3 5 ) 在r n 中的解在无穷远处的渐近性作了估计 3 3 整体解的渐近性 2 3 假设p 满足： p ( 。) o ，比；t 皿( t ) d t o o ，霍( t ) = 郴j d ( z ) ， ，0 i z l _ - 1 对某一e ( 0 ，1 ) 有l i mr 铲霍( r ) o o ， 则方程( 3 5 ) 有唯一正的整体解u ( x ) 嗽( r ) ，当例_ 。o 时，t l ( z ) 至少以速率 例( 一时2 + ) ( 1 + 们趋向于0 他们在证明方程解的存在性时，证明了方程 a u k + p ( z ) 牡i 7 = 0 ，l z i o 待定，令r o 。用罗必达法则有 l i m 型：l i mc r p + 2 霍( r ) ， f - * o or - pi p - - * o o 、 其中c = 7 # t n 南， 仃以一p z j 。 所以假设l i m r r n 一皿( r ) 。，就足以让加( r ) 在o o 处以速率r n + 2 + c 趋 向于0 ，0 f 1 因此解( z ) 在处趋于0 的速率至少有t ，( z ) 那样大，即 t ( 一n + 2 + ) ( 1 + 1 ) 3 4 小结和亟待解决的问题 2 4 3 4小结和亟待解决的问题 半线性椭圆方程整体解的研究是目前方程领域内一个比较重要的问题本文对 一类半线性椭圆方程的整体解的研究工作分为整体有界解和整体爆破解两类对 方程中的p ( z ) ，( t ) 给出的条件进行了分析和比较，总结了研究整体解的一些常 用工具和方法，对几项比较重要的工作进行了详细的阐述和分析 亟待解决的问题： ( 1 ) 当p ( z ) 满足条件 ， t , 重c t ) d t = 0 0 ，皿( t ) = m i 马p ( z ) ，0i x l = 时方程( 1 5 ) 是否有整体爆破解? ( 2 ) 在定理1 1 中，如果函数 ，2 仅满足方程( 1 5 ) 存在正解，满足1 ，厶，则方程( 1 5 ) 是否存在正解? ( 3 ) 对次线性方程( 2 1 0 ) 的整体爆破解的研究，能否得到更多的结果? 参考文献 【1 】i b a c h a r ，n z e d f f m i ，o nt h ee z g s t e n c eo p o s i t i v es o l u t i o n s 加ra c 如8o ls e r a t - l i n e a re l 坳t i ce q u a t i o n s n o n l i n e a ra n a l 5 2 ( 2 0 0 3 ) 1 2 3 9 1 2 4 7 【2 】c b a n d l e ，m m a r c u s ，l a r g es o l u t i o n sd ，s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ：e x i s f e n c e ，u n i q u e n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o r j a n a l m a t h 5 8 ( 1 9 9 2 ) 9 2 4 【3 】h b r e z i s ，s k a m i n ，s u b l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s 饥r m a n u s c m a t h 7 4 ( 1 9 9 2 ) 8 7 - 1 0 6 【4 】k c h e n g ，j l i n ，o nt h ee u i p 抗ce q u a t i o n s u = k ( z ) 矿a n da u = k ( x ) e 缸 t r a n s a m e r m a t h s o c 3 0 4 ( 2 ) ( 1 9 8 7 ) 6 3 9 - 6 6 8 5 】k s c h e n g ，w m n i ，o n 统es t r u c t u r eo lt h ee o n f o r m a ls c a l a rc u r v a t u r ee q u a - l i o no n 舻i n d i a n au n i v m a t h j 4 1 ( 1 ) ( 1 9 9 2 ) 2 6 1 2 7 8 【6 】g s d r a g o n i ，1 7p r o b l e m ad e iv a l o r ia il i m i t is t u d i a t oi ng r a n d ep e r l ee q u a z i o n i d i f f e r e n z i a l id e ls e e o n d oo r d i n e m a t h a n n 1 0 5 ( 1 9 3 1 ) 1 3 3 - 1 4 3 7 jl c e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s g r a d u a t es t u d i e si nm a t h e m a t i c s v 0 l u m e1 9 f 8 】d g i l b a r g ，n s t m d i n g e r ，用坳t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 巧s e c o n d o r d e r s p r i n g e r r e p r i n to ft h e1 9 9 8e d i t i o n 【9 1j v g o n c a l v e s ，a n g e l or o n c a l l i ，e x i s t e n c e ，n o n - e x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro b l o w - u pe n t i r es o l u t i o n so s e m i l i n e a re l 却t i ce q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 3 2 1 ( 2 0 0 6 ) 5 2 4 - 5 3 6 f 1 0 】p h e s s ，o nt h es o l v a b i l i t yo n o n , n e a re l 坳t i cb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i n d i a n a u n i v m a t h j 2 5 ( 5 ) ( 1 9 7 6 ) 4 6 1 - 4 6 6 参考文献 2 6 【1 1 】j b k e l l e r ，o ns o l u t i o n 巧a u = f ( u ) c o m m p u r ea p p l m a t h 1 0 ( 1 9 5 7 ) 5 0 3 - 5 1 0 【1 2 】j k a z d a n ，f w a r n e r ，s c a l a rc u r o a t u r ea n dc o n y o r m a ld e ，d r m a t i o nd ，r i e m a n - n i a ns t r u c t u r e j d i f f e r e n t i a lg e o m 1 0 ( 1 9 7 5 ) 1 1 3 - 1 3 4 1 3 】a v l a i r ，a w s h a k e r ，e n t i r es o l u t i o no f 口s i n g u l a rs e m i l i n e a re l f l p t i cp r d 6 e m j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s 2 0 0 ( 1 9 9 6 ) 4 9 8 - 5 0 5 【1 4 】a v l a i r ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o ni o re x i s t e n c e 吖l a r g es o l u t i o n s t os e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s j m a t h a n a l a p p l 2 4 0 ( 1 9 9 9 ) 2 0 5 - 2 1 8 【1 5 】a v l a i r ，n o n r a d i a ll a r g es o l u t i o n s 吖s u b , n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s a p p l a n a l 8 2 ( 2 0 0 3 ) 4 3 1 - 4 3 7 【1 6 】a v l a i r ，l a r g es o l u t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n su n d e r 纨ek e l l e r - o s s e r m a nc o n d i t i o n j m a t h a n a l a p p l 3 2 8 ( 2 0 0 7 ) 1 2 4 7 - 1 2 5 4 【17 】a v l a