（应用数学专业论文）推广的耗散碰撞boltzmann方程的cauchy问题.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 b o l t z m a n n 方程是微分积分方程：刻画了相对稀疏气体的统计演化规律为了描 述耗散碰撞的全同粒子气体的演化规律，在b o l t z m a n n 方程的基础上，e s t e b a n 和 p e r t h a n m e 1 】提出了一种新的模型方程：保持质量和动量守恒，但是能量耗散并且他 们把d i p e r n a 和l i o n s 2 1 对一般b o l t z m a n a 方程提出的分布解的存在理论推广到了该 方程 3 】中提出了描述混合气体的模型并且对该模型的流体动力极限作了研究，获得了 一类新的能量耗散的流体动力学方程n b e l l o m o 和j p o l e w c z a k 4 】在所谓的推广的 b o l t z m a n n 方程的框架下，通过在测试粒子的作用域内对场粒子的分布函数作平均而 对混合气体的模型作了改进 4 对弹性碰撞的单一分子气体模型的柯西问题作了研 究，获得了解的存在性，唯一性等一系列结果 5 】对推广了的描述整个空间上的单 一分子气体的耗散碰撞b o l t z m a n n 方程的柯西问题作了研究，在对位势作了适当假设 的条件下，对大初始值条件在任意大的有限时间段上得到了温和解的存在唯一性) ，厂 我们在对位势作了适当推广的条件下，对耗散碰撞b o l t z m a n n 方程的大初始值的 柯西问题作了研究f 在相同的条件下，我们对【5 】的结果作了改进溉是通过更加精细 的分析和计算，运用p o v z n e r 不等式等知识对六阶矩给出了一个精确的指数型估计， 并且类似的指数型估计可以对任意的高阶矩给出然后证明了 5 中的温和解就是分 布解最后，证得了损失项沿着特征线方向关于指标0 5 是h s l d e r 连续的，为以后讨 论【5 】中的温和解是否是古典解作了准备 f 关于由 5 】中的温和解能否证得就是原方程的古典解留待以后继续讨论，“ 关键词：耗散碰撞矩分布解古典解 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eb o l t z m a n n e q u a t i o ni sa ni n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t o nw h i c hp r o v i d e sam a t h e m a t i c a lm o d e lf o rt h es t a t i s t i c a le v o l u t i o no fam o d e r a t e l yr a r e f i e dg a s ，t h eb o l t z m a n n e q u a t i o n f o r8g a so fi d e n t i c a lp a r t i c a l su n d e r g o i n gd i s s i p a t i v ec o l l i s i o n sp r e s e r v i n gm a s sa n dm o m e n - t u r n ，b u td i s s i p a t i n ge n e r g yw a si n t r o d u c e db ye s t e b a na n dp e r t h a m e 【1 t h ea n a l y s i so f t h ec a u c h yp r o b l e mw a sd e v e l o p e di n 【1 】s h o w i n gt h a tt h ee x i s t e n c et h e o r yo fd i s t r i b u t i o n a l s o l u t i o np r o p o s e db yd i p e r n aa n d l i o n s 2 】c a nb eg e n e r a l i z e dt ot h e a b o v ec l a s so f e q u a t i o n s am o d e lf o rg a sm i x t u r e sw a sp r o p o s e di n 【3 1w h e r et h eh y d r o d y n a m i cl i m i tw a ss t u d i e d o b t a i n i n gan e wc l a s so fh y d r o d y n a m i ce q u a t i o n sw i t he n e r g yd i s s i p a t i o nc o r r e s p o n d i n gt o m i c r o s c o p i cd i s s i p a t i o n t h ea b o v em o d e lw a sd e v e l o p e di nt h ef r a m e w o r ko ft h es o - c a l l e d g e n e r a l i z e db o l t z m a n ne q u a t i o nw h i c h i so b t a i n e d ，a ss h o w n i n 【4 ，b ya v e r a g i n gt h e d i s t r i - b u t i o nf u n c t i o no ft h ef i e l dp a r t i c l e sw i t h i nt h ea c t i o nd o m a i no ft h et e s tp a r t i c l e s r e f e r e n c e 4 s t u d i e st h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h em o d e l o fo n e - c o m p o n e n tg a sw i t he l a s t i cc o l h s i o n s 【5 】d e a l sw i t ht h ea n a l y s i so ft h ec a u c h yp r o b l e m f o rt h eg e n e r a l i z e dd i s s i p a t i v ee q u a t i o nf o r ao n e - c o m p o n e n tg a si nt h ew h o l es p a c e ，t h em a i nr e s u l tr e f e r st oe x i s t e n c ea n du n i q u n e s s o ft h em i l ds o l u t i o nt ot h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o ra r b i t r a r i l yl a r g ea n df o rl a r g ei n i t i a l d a t a ，u n d e rs u i t a b l ea s s u m p t i o n so nt h ep a i ri n t e r a c t i o np o t e n t i a l u n d e rs u i t a b l eg e n e r a l i z e da s s u m p t i o n so nt h ep a i ri n t e r a c t i o np o t e n t i a l ，t h ei n i t i a l v a l u ep r o b l e mf o ra r b i t r a r i l yl a r g et i m ea n df o rl a r g ei n i t i a ld a t aw a sd i s c u s s e d u n d e rt h e s a _ l ea s s m p t i o n s ，t h er e s u l to f 【5 】w a si m p r o v e d f i r s t ，t h r o u g hm o r ed e t a i l e da n a l y s i sa n d c a l c u l a t i o n ，a na c c u r a t ee x p o n e n t i a le s t i m a t eo f s i x o r d e r e dm o m e n t sw a so b t a i n e d m o r e o v e r ， a c c u r a t ee x p o n e n t i a le s t i m a t eo fa r b i t r a r i l yh i g ho r d e r e dm o m e n t sw a ss i m i l a r yo b t a i n e d s e c o n d ，i tw a sp r o v e dt h a tt h em i l ds o l u t i o no f | 5 】i sad i s t r i b u t i o ns o l u t i o n f i n a l l y , a sf a r a sp r e p a r a t i o nf o rp r o o fo ft h em i l ds o l u t i o no f 【5 】b e i n go rn o tb e n gt h ec l a s s i c a ls o l u t i o ni s c o n c e r n e d ，i tw a sp r o v e dt h a tt h el o s st e r ma l o n gc h a r a c t e r i s t i c sw a s h s l d e rc o n t i n u o u sw i t h e x p o n e n t0 5 w er e m a r kt h a tt h ep r o b l e mo ft h em i l ds o l u t i o no f 【5 】b e i n go rn o tb e n gt h ec l a s s i c a l s o l u t i o ni ss t i l lo p e n k e yw o r d s ：d i s s i p a t i v ec o l l i s i o n m o m e n td i s t r i b u t i o ns o l u t i o nc l a s s i c a ls o l u t i o n i i 华中科技大学硕士学位论文 1 1 b o l t z m a n n 方程的来源 1 绪论 d a n i e lb e r n o u l l i ( 1 7 0 0 - 1 7 8 2 ) 让原子的思想渐渐地为大众所接受，并且用它解释了 气压现象，从而导致了气体动力学的诞生随后又有一些人各自独立的提出了原子构 成物质的理论思想，如j a m e sp r e s c o t tj o u l e ( 1 8 1 8 1 8 8 9 ) 在该理论思想的指导下估计了 氢分子的平均速度 气体动力学进入成熟阶段的一个标志性人物是r u d o l fc l a u s i u s ( 1 8 2 2 1 8 8 8 ) ，他于 1 8 5 8 年引入了“平均自由程”的概念同一年，在这一概念的基础上， j a m e sc l e r k m a x w e u ( 1 8 3 1 1 8 7 9 ) 详细叙述了迁移过程的初步理论，并且直观推导出了后人以他的 名字命名的速度分布函数：m a x w e u 分布然而，他几乎立即意识到了“平均自由程 方法”作为动力学的基础尚有不足之处，在1 8 6 6 年以迁移方程为基础给出了一个更加 精确的方法，同时发现了。m a x w e l l 分子模型”的特别简单的性质，并且对作为平衡 态气体速度分布函数的“m a x w e n 分布”给出了更好的证明 尽管m a x w e l l 的迁移方程已经很接近于稀疏气体分布的发展方程，然而这关键性 的一步还得归功于l u d w i gb o l t z m a n n ( 1 8 4 4 - 1 9 0 6 ) 6 ，他直观推导出了稀疏气体分布的发 展方程：b o l t z m a n n 方程，有时也叫m a x w e l l - b o l t z m a j a n 方程( 为了纪念m a x w e l l 所作出 的重要发现) b o l t z m a n n 由该方程推得了一个重要结果，即后来众所周知的熵定理：通 过展示分子碰撞如何易于增加熵来企图解释气体演化过程当中自然过程的不可逆性 1 9 世纪9 0 年代左右，熵定理引起了一些物理学家和数学家的异议，因为它似乎导致 了悖论性的结果悖论意昧着对b o l t z m a n n 方程的重新解释是必要的b o l t z m a m u 本 人曾提议熵定理应当在统计意义的层面上来理解，虽然以后有人又作了不少努力，然 而迄今为止，严谨的完整理论分析还没有 1 2 研究b o l t z m a n n 方程的意义 早在1 9 0 0 年左右，b o l t z m a n n 方程就已经成为了研究稀疏气体性质的实用工具 随后，气体动力学方法在其他领域找到了其用武之地，在诸如电离气体理论，中子迁 移理论，航天等方面具有理论上或应用上的价值以b o l t z m a u n 方程理论为基础的模 拟方法可以推广适用到相关的领域，如气体混合，化学反应等近年来，国际上涌起 华中科技大学硕士学位论文 了股研究动力学理论的热潮，尤其是欧洲还成立了跨国组成的研究小组，这将大大 推动动力学理论的发展 1 3 关于b o l t z m a n n 方程的研究进展和国内外概况 1 9 1 2 年，大数学家d a v i dh i l b e r t 提出 7 】：对与气体密度成反比的参数如何进行 级数展开以获得b o l t z m a n n 方程的近似解s i d n e yc h a p m a n n ( 1 8 8 8 1 9 7 0 ) 8 】和d a v i d e n s k o g ( 1 8 8 4 - 1 9 4 7 ) 9 1 大约在同一年( 1 9 1 6 1 9 1 7 ) 分别独立的获得了适用于足够稠气体 的b o l t z m a n n 方程的近似解他们的结果对于实际应用来说是一样的，但所采用的方 法无论在思想上还是细节上都截然不同e n s k o g 推广了h i l b e r t 的方法，而c h a p m a n n 推广了m a x w e l l 获得迁移系数时所采用的方法e n s k o g 的方法被s c h a p m a n n 和 t g c o w l i n g 的书“t h em a t h e m a t i c a lt h e o r y o fn o n - u n i f o r mg a s e s ”所采用，这就是后 来众所周知的“c h a p m a n n - e n s k o g 方法” 然后有许多年有关b o l t z m a a m 方程的数值近似求解没有实质性进展然而，几乎 不为人所注意的，b o l t z m a n n 方程解的严密理论分析随着t a g e g i l l i st o r s t e nc a r l e m a n 在1 9 3 3 年发表的一篇论文 1 0 j 而开始了：他在该论文中对空间齐次情形下的硬球模型 证得了整体解的存在性和唯性迄今为止，有关b o l t z m a n n 方程的柯西问题的研究 进展情况我们可以总结如下： ( 1 ) 空间齐次b o l t z m a n n 方程： f 甓( t ，”) = q ( i ，) ( t ，”) ， ( 1 1 ) 【i ( o ，”) = i o ( ”) 其中t ( 0 ，+ 。) ，”r a ( t ，u ) 是一个非负函数：描述了以速度口运动的粒子分布 随时问的演化规律q 是如下定义的碰撞算子： q ( f ，) ( ”) = 丘，正。( ，垅一，1 ) b ( 州”一川) 山妣 这里f = f ( t ， ) ， = ( t ，口1 ) ，和，一( t ，”，) ，爿= f ( t ， ) ，”7 和” 是碰撞前分别具 有速度”和”1 的粒子碰撞后的相应速度它们之间关系的一种表述如下： f = 半+ 掣u ， i ”i = 警一亨“ 这里u 是单位球面s 2 上的单位向量0 是向薰”一”t 和向量一”之间的夹角碰 撞核b 的精确形式依赖于所研究气体的物理性质 2 华中科技大学硕士学位论文 在该情形下，方程就相对而言简单的多，方程关于时间t 是整体可解的并且已 经建立了方程古典解的存在性，唯一性，渐近性态等理论有关空间齐次b o l t z m a n n 方程的理论已经发展的相当完善了进展过程可以见 u 2 6 在硬位势的情形下： b ( o ，l 一 1 1 ) = b ( 0 ) l v u 1j 9 这里参数卢( o ，2 ，6 ( 口) g ( 一，) 是偶函数，并且6 ( p ) 满足g r a d 的角切除条件，即 b ( o ) 三1 ( 一，) s m i s c h l e r 和b w e n n b e r g 2 4 给出了如下的结果： 命题1 1 如果 o ( v ) 三5 ( r 3 ) ， 则柯西问题( 1 1 ) 存在唯一一个满足质量，动量和能量守恒的解： ，c ( 【o ，+ o 。) ；l 5 ( r 3 ) ) 这个解也满足： i ) i l l ( t , ) n ，2 + 口华( 。1 + i r a 。5 ( ) = o ) ，l l f ( t , ) r l + 口工 0 。( 0 ，+ o 。) ) ， i i ) v s ，v f 0 ，f fc t ，) i | l ，。，l 。( 【t + o o ) ) ， i i i ) 如果 如( ”) l ：( r 3 ) ( s 2 ) ， 那么 i l f ( t ，训l 。( 0 ，+ o 。) ) ， 和 i f ( t ，- ) j h ，+ 口三 o 。( 0 ，+ 。) ) 这里工j ( r 3 ) 指满足： i i ，扣) 1 1 - ，。= f r 3i ( 。) ( 1 + 川5 ) d r + 。 的所有函数( v ) 构成的函数空间 3 命题1 2 如果 ( ”) l ：( r 3 ) ( s 2 ) ， 那么由初始值条件 ( ”) 构造的隐式和显式欧拉叠代差分方程序列收敛到由命题1 1 给 出的b o l t z m a n n 方程的解 ( 2 ) m a x w e l l 平衡态或真空状态的扰动 如果解初始时充分接近m a x w e l l 分布，就能够构造出整体解，并且我们可以得到 唯一性和渐近行为这种途径基于线性b o l t z m a n n 算子的分析，可得到如下的微分不 等式： 婴一k + y 2 1 “b 这里y = g ( t ) 是解偏离m a x w e l l 分布的偏差的某一范数，k 是一正数可见，如果y ( 0 ) 充分小，对任一时间t ，我们都能控制解研究进展情况可见【2 7 4 0 ( 3 ) 流体动力极限： 研究进展过程可见【4 l ，4 2 1 等 ( 4 ) 一般b o l t z m a n n 方程： f 筹+ ”v 。i = q ( ，) ) ( 1 2 ) i ，i b 0 = f o ( z ， ) 其中时间变量t ( 0 ，o 。) ，空间位置变量$ r ，速度变量。r 。v 标志性的进展是r j d i p e r n a 和p l l i o n s 的工作 2 ，4 3 】等 r jd i p e r n a 和p l l i o n s 运用速度平均等方法在碰撞核满足弱角切除假设和温和 增长的条件下证得了 2 1 = 命题1 3 如果 f 0 20 ， r 。r ，0 ( 1 + 2 + 川2 + j l o g f o ) 如幽 o ) ， 于是对n 取极限后有： 0 s ，俅) ，( f ) 0 o ) e d e a n g e l i s 和c p g r u n f e l d 的证明思路是先对碰撞核做截断，通过构造与( 2 2 ) 类似的单调逐次逼近序列运用l e v i 性质得到了截断耗散碰撞b o l t z m a n n 方程非负古典 解的存在性和唯一性，然后用单调对方法得到了耗散碰撞b o l t z m a n n 方程温和解的存 在性和唯一睫 7 2 3 预备知识 考虑一类具有单位质量的相同粒子构成的气体：速度为”的测试粒子和速度为u 的场粒子进行耗散碰撞卢 o ， ) 是刻划能量耗散的参数碰撞后的粒子速度定义 为： 二三二二。1 ，- 一z 国) 二：二t ：三二翼 c z 渤 这里 是r 3 空间的内积，元是沿着平分碰撞前后相对速度的拱线方向的单 位向量： + 一。u 一邻+ 一 u u ”5 丽2 丽 如【1 中所述，系统是可逆的，速度为。和。的粒子通过耗散碰撞后的速度分别 变为”和u ，并且满足： 拈岛“渖河( 2 6 ) lo = ( i 一击丢 疗 注意到芦= o 时为完全弹性碰撞的情形，有： f 等冀 我们容易看到： 当卢【0 ， ) 时，碰撞前后的粒子满足质量守恒，动景守恒 ( 27 ) 和能量耗散： l 矿1 2 + l u 1 2 = l 1 2 + l 1 2 + 2 卢( p 一1 ) 1 1 2 ( 28 ) 当卢= 0 时能量显然是守恒的 命题2 3f 4 4 设a 与b 是同阶方阵，则有 f b aa b i = i a + b i i a b i 命题2 4 雅可比行列式 于是 这里 而 i 型 ：l i d ( v ，w ) l 1 2 卢 证明：( 2 6 ) 式可以写成向量形式： _ 1 a = l i b = a b i = + 上 l + 尚n l 整l 一口。) n 。 v 2 + 芒务n 2 墓l ( 蛳一v i ) n i 3 + 品n 3 ；31 ( w i v i ) n i l 一 岛n l 鍪l ( t 啦一陇) n 。 2 一昙名n 2 釜l ( 。一v i ) n i ”3 一亡碧n 3 鍪1 ( 。一仇) n ； 嬲i = | | ab d(v b aif ，t c ，) | |0 一尚n 一岛”。一尚哪s 、 鬣宅：蠹耄一1 凌豺离叩3 一尚n 2 n 3 一尚n ；， 尚n i 尚哪2 筠哪3 黼n - n z 岛n ；禹，。n 。1 岛哪s 尚焉。n 。舄碡 i a + b = 1 ， 1 一掰忭 一掰n i n 2 一掰 3 一黼哪。1 一黼n 2 - 糊n 2 n s 一；墨i 争n t n 。一! 墨i 争n 。n s1 一! 墨云铲n i 10 0 一掰叩：l 一糊n 一错掣3 一糌叩s 一糊哪31 一帮n ； 一萼蛰厕一芈净n 他一萼夥n - n s 一糌n l n s 一獬哪s1 一黜镌 一而2 ( 1 - f 1 ) 1 2 一掰叩2 一背哪3 一卿哪。一掰镌一掰哪s 9 m屹搬虮忱蛳 + 一马；而铲嵋一! 瞿i 孕n 、他一! ! 写 n t n 。 一! 兰矛7 q i n 。一! 饕芝争n ；一! 墨云争n 。n 。 一掰。一掰哪s 一掰n ； = l + 糊( n + n ；+ n 劲 l 2 丽。 l 黜d ( v wl = l 矗1 卜南1 1，) l1 2 卢一f一2 卢 证毕 推论2 5 雅可比行列式 i 甓尝f ：- 一帮 i d ( o ，西) l 1 下面，在推广的b o l t z m a n n 方程的框架下研究描述单粒子分布函数f ( t ”) 随时 间演化规律的模型该模型是基于在测试粒子的作用域内对场粒子的分布函数作平均 化的思想而提出来的【4 】在不考虑外力的情况下，可归结为如下的方程： 筹枷v 。，= j ( 1 ，) - c ( f ，) 一l ( f ，) ( 2 9 ) 在点( t ，z ， ) 处的获得项a ( f ，f ) 和损失项l ( f ，) 分别是： g ( f ，) 2 矸南眄上r 3 彬i 1 7( 2 1 0 ) 1， 砌，) = 坤，刚) z r 五。舻f ( k , w - v 1 7 p ( 啊) 坤，。十珉u ) d 宄d w d r ( 2 1 1 ) 并且0s7 1 ，r 是气体粒子相互作用的半径s 2 是三维欧几里德空间r 3 中的 单位球面这里， p ：r + 铲一4 ， 是一适当的加权概率密度函数：对场粒子的分布函数作平均并且满足： p ( r ，再) = p ( r ，一齐) 如果 p ( r ，宄) = 占( r ) ， 1 0 华中科技大学硕士学位论文， 则( 2 9 ) 就变成了描述进行耗散碰撞的硬球气体模型的b o l t z m a n n 方程 在整个空间上考虑方程( 2 9 ) 的柯西问题： 甏+ ”。v 。f = j ( f ，) = a ( f ，) 一工( ，) ， 【，( o ，z ，”) ：o ( z ，口) 沿着特征线积分，问题( 2 1 2 ) 变为： f 群= j 。( ，) = g 4 ( ，) 一三4 ( ，) ， 【( o ，。，口) = i o 扛， ) 这里 p ( t ，。，”) = f ( t ，。+ v t ， ) ， 一( ，) ( t ，z ， ) = j ( f ，) ( t ，。+ 优，t ，) 而，弘可类似定义问题( 2 1 3 ) 在某一区间1 0 , t i 上可写成积分形式： ，4 0 ，。， ) ：，0 ( z ， ) + 。j 4 ( ，) ( s ，z ，口) d sv t o ，卅 j 0 下面我们给出温和解的定义 ( 2 1 2 ) f 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 定义2 6 ，如果f ( t ，。，口) l 1 并且在l 1 中对 0 ，列满足( 2 1 4 ) ，则我们说在 b a n a c h 空间l 1 中函数f ( t ，z ，”) 是柯西问题( 2 1 2 ) 在【0 ，t i 上的温和解 我们这里的b a n a c h 空间l 1 是指：三1 = 工1 ( r 3 r 3 ；d x d v ) 我们在整个空间上给出质量，动量和能量的定义表达式： m ( 。) 。r 3 。舻，( ，。，”) 出幽， p ( 。) 5 r s r s v f ( t , x , v ) 出幽， 即) = 厶。舻i 1 川2 m ，叩) d x d v 下面为了以后证明的需要，我们引进函数空间： j 0 = 9 扛， ) ：r 3 r 3 斗r ：( 1 + i 口2 ) g 和， ) 工1 ( r 3 r 3 ) ) 这里r 0 ，赋以范数： i i g ( 刚) i f ，= 厶( 1 + 譬川g ( 掣) i d x d v ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) f 2 1 9 1 墨中的序结构是由l 1 中的自然顺序诱导出来的 ed e a n g e l i s 和c p g r u n f e l d 在 5 】5 中得到了如下的结果 命题2 7 如果p 满足：j 一个正常数c o 0 使得 p ( r ，宄) c o r 2 ，r 0 ，元s 2 ， 成立，并且 0 ( 1 + 2 ) 3 向( 。， ) 工1 ( r 3 r 3 ；d x d v ) ， 那么柯西问题( 2 1 2 ) 在时间区间 0 ，t 】上存在唯一一个非负温和解f ( t ，z ， ) 满足 ( 1 + l v l 2 ) 3 f ( t ，$ ， ) l 1 ( r 3 r 3 ；d x d v ) ， 和 m ( t ) = m ( o ) ， p ( t ) = p ( o ) ， 0 e ( t ) = e ( 0 ) 一r ( t ；，) ，v t 0 ，习 这里 。蚓吖) = 扣卅z 如上r 厶一。i i 州 p ( r 元) ，( s ，。，”) ，( s ，z + r 宄，u ) 航幽幽如d r 并且有仅依赖于，0 和t 的常数e 使得 j i f ( o ( x ，”) 0 3sg | | f o ( 。，v ) 1 1 3 成立 这里 这一章我们先给出命题2 7 中六阶矩估计的一个改进后的结果： 定理2 8 在满足命题2 7 的条件的前提下，( t ，。，”) 满足指数估计式 i f ( o ( x ，- ) 1 1 3 e a t ij f o l l 3 a = 9 c o r 2 | | 0 1 = 9 c o r 2 ( m ( o ) + e ( o ) ) 现在，我们对碰撞核做截断，对f - 1 ，2 ，定义： ( 22 0 ) 1 2 华中科技大学硕士学位论文 和 f i 1 7 b f ( u 一 ，元) = l ( 1 2 5 ) q ， ( 1 2 卢) f ， ( 22 1 ) f l 一2 f 1 ) fi 1 1 ，i f ， b z ( w 一 ，元) = ( 2 2 2 ) 【p ，i l f 则截断后的在点( t ”) 处的获得项g l ( f ，f ) 和损失项厶( ，) 分别是： g l ( ，) = 可靠z r 厶蜉献u 飞砌( 啊) 坤，印) 仲，z + 嗝白) d 矗d w d r ，( 2 _ 2 3 ) 厶( ，) = 坤，叩) 上j r a x s 2 b t 1 元) p ( r ，矗) 坤，蚪r 元，w ) d 再d w d r ( 22 4 ) 截断后的耗散碰撞b o l t z m a n n 方程的柯西问题我们记作： f 磐+ ”v 。，f = j l ( f ，) = g l ( ，) 一工l ( ，) ， ( 2 2 5 ) l 五( o ，口) = 如( z ，”) 沿着特征线的截断耗散碰撞b o l t z m a n n 方程的柯西问题我们记作： f 攀= 卅( ，l ，f ) = a t ( s , ，i ) 一l ( ，l ，i ) 0 仅与i i f o l l o ，f ，7 ，c o ，r 有关再结合命题2 4 和( 2 2 1 ) 式与( 2 2 2 ) 式可以证得解满 足质量守恒 1 3 我们看到：只要能证明解是非负的 全局解下面我们就来证明解是非负的 下柯西问题的解： 则我们可以对时间t 做等度延拓，从而得到 柯西问题( 2 2 6 ) 在空间j ，o 中的解恰好是如 譬+ g l l y o l l 。，f = 4 ( ，f ) = j ”( t ，f ) + k f r 。r 。，l ( z ，”) 如d ” = g ( ，f ，f ) 一工 ( ，f ) + k 局。r 。，i ( z ， ) d x d v f f ， ( 2 2 7 ) ，f ( o ，z ，口) = ，0 ( z ， ) 工1 ( r 3 r 3 ) + 既然对非负函数h ( t ) x o 有； ，)：h(t，。，)r。bl(w一，宄)p(r，宄)(t，。+r宄，w)d元dwdrlt(h， ) = ，训) 。厶。 飞宄) p ( ，m ( 。，。+ 7 瓦 sc o r 2 z y l i h ll o ， 则只要k c o r 2 1 1 即可得到4 是正单调递增算子而对于( 2 2 7 ) ，我们有下面类似于 ( 2 2 ) 的非负单调递增的迭代序列： 为了 k i i f o l l o f o ， r o i l 。t f o + 露e k i i o l l 。( ) g ( j ，f 批) ( 2 2 8 ) j ，l j ) ( s ) + j r 0 j ( s ) ，屯( s ) 】d s ( j 1 ) 对于( 2 2 9 ) 我们可以用数学归纳法证得 8 u po 儿 0 是一个常数 这一节我们来给出高阶矩估计我们有下面的命题： 推论2 1 0 ( 。+ 譬) 3 + ( - + 譬卜( t + 譬卜( - + 譬) 3 矗( + 譬) 2 ( + 譬) + ( 1 + 警) ( 1 + 譬) 2 ( z m ) 证明：由命题2 9 ( 。十学) 3 + ( + 譬) 3 ( 1 + 譬) + ( - + 譬) ) 3 ， 而由( 2 8 ) 式和命题2 9 可知： ( ( 1 十嘤) + ( 1 + 譬) ) 3 刈l + 譬) 十( 1 + 譬) 州- 1 ) l 。一，d 门3 o ，并且a + 卢 l 。, ig 咖州- + 譬九- + 譬尸d x d v d y d w + f m m g ( 椭州1 + 譬九，+ 譬p d x d v d y d w 2 1 g l l 口l l g l l k 证毕 推论2 1 3 如果g x 3 ，那么 i i g l l ；2 1 1 9 l l l 吲3 证明：只要在命题2 1 2 中令k = 3 ，a = p = l 即可得证 命题2 1 4 如果g 弱，那么 五。舻g 妇劫( 1 + 譬) 3 如如 = 并r 3 x r 3 x r s x s 2 b z ( u 吨确 ( 1 + 筚) 3 + ( 1 + 单) 3 d 元t h n d x d v d r 1 6 证明：根据( 2 2 3 ) 式有 r s (螂)(1+譬)3删”。r。gl ：南厶。r 。z r 厶。，。雪z c u u ，丽， p ( 啊) 酢，印) 卵，十隔洲1 + 譬) 3 d 元d w d r d x d v ， 由 与u 的对称任确： 赤厶。舻z r 厶拶鼬一晒，石二忑而r 3 。舻厶r 3 s ：川“w v x p ( 删) ，础) 卵，。+ 喊洲1 + 警) 3 d 元d w d r d x d v 一 ! ，托，雪l ( u 一 ，疗) p ( r 元) g ( t ，茁，o ) 。不了两而厶厶。冗3 埘x s 2 “p ”“”一。 砒。州删l + 譬) 3 + ( 1 + 譬) 3 l d c - “i m d x d v d r ， 由推论2 5 ，( 2 2 1 ) 式与( 2 2 2 ) 式有： 互i 南o r f r 3 x r 3 x r 3 x s 2 b | ( w 一 ，元) 尹( r ，疗) 9 ，z ，。 毗z 埘，啪+ 譬) 3 + ( 1 + 譬) 3 d 再d w d x d v d r = 搿厶肭嬲。踯棚问p g 。一， 啡z 州，蝴+ 譬) 3 ”+ 譬) 3 d f i d & d x d g d r 再根据( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式得： 搿厶。删脚剐扣蛳) p ( 啊) g 。 。g ( t , $ + v f i ，白) 【( 1 + 譬1 。+ ( 1 + 譬) 3 1 扰凼如幽d r ：j 1 ：r 上。r 3 。舻。f 。且一”，矗) p ( r ，再) 9 ( t ，矾 ) 毗删( 1 + 毕) 3 + ( 1 + 譬) 3 d g d w d x d v d r ， 于是 f r 3 x r 。g t g ) ( ，+ 警) 3 出如 一一 1 7 证毕 = ；z rr a x r a x r a x s 2 b t ( u 一”，矗， x p ( r ，a ) g ( t ，z ， ) 9 ( t ，。+ r f i ，o 1 ) 【( t + 譬) s + ( t + 譬) 3 】损幽如a ”打 命题2 1 5 如罘ge x 3 ，那么 厶删地酬- + 譬) 3 蛐 = ；z r f a b l ( w 一”，元) p ( r ，再) 【( 1 + 哔) 3 + ( 1 + 1 2 乒f ) 3 d h d w d x d v d r 证明：根据( 2 2 4 ) 式和口与u 的对称性即口j 得让 命题2 1 6 如果g 弱，那么 厶。r 3 帕枷+ 譬) 3 d x d v 9 c 0 r 2 1 1 9 i i 。i i g 队 证明：由命题2 1 4 和命题2 1 5 可知： ! 。正( 舢) ( 1 + 譬) 3 如咖 j 舻x 舻 = 搿厶脓r 3 x s ：b l ( w - v , a ) p 哪川 吲如+ 憾训( 1 + 嵝) 。”+ 毕) 。 一( 1 + i - - ) 3 一( 1 + 芝；) 3 d 元d w d a ：d v d r , 由( 2 1 8 ) 式有： ；z r 厶。舻。舻。：b l 一”，疗) p (