（应用数学专业论文）多小波图像去噪算法研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 在图像获取、图像传输等过程中，都不可避免地含有噪声，因此，对含 噪图像进行去噪处理，提高图像的质量，就成为一个重要的研究课题。对于 图像的去噪问题，目前小波系数收缩法( w a v e s h r i n k ) 及其改进形式的研究成 了一个热点，并取得了较好的结果。由于单小波基不能同时拥有基于小波变换 图像去噪算法需要的所有性质，限制了单小波系数收缩算法去噪效果进一步 提高。因而人们开始关注具有良好性质的多小波，并得到了一些研究结果。 由于目前没有充分利用图像在多小波域内的性质，现有文献报道的图像去噪 效果并不理想。 本文以标准2 5 6 级狄度图像为研究对象，利用多小波变换将图像变换到 多小波域，在小波域内应用l a p l a c i a n 算子的一种特殊差分格式，并考虑小 波域内各个子带的分形维数，定义了一个新的自适应的小波系数阈值收缩函 数，并由此提出了一种自适应的多小波阈值去噪算法a m t ( a d a p t i r e m u l t i w a v e e t st h r e s h o l d i n ga l g o r i t h m ) 。与以往去噪算法的不同，本文算 + 只需要含噪图像本身，不需要去噪图像的任何其它先验知识( 如图像噪声 ! 的估计等) ，即可自动确定多小波域内的小波系数收缩阈值。 针对标准的2 5 6 灰度数图像，进行了去噪仿真实验研究。实验结果表明， 对于非平衡的多小波，a m t 算法不仅能具有良好的去噪效果，而且能有效的 保留图像的细节信息和纹理特征。尤其对于高度污染的图像，a m t 算法去噪 效果更加显著。 关键词：多小波变换；图像去噪；自适应阈值：l a p l a c i a n 算子；分形维数 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ew o c c s so ft h ei m a g ec a p t u r ea n di m a g et r a n s m i s s i o n , n o i s ew i l lb e p r o d u c e du n a v o i d a b l y t h u s ，i tb e c o m a sa l li m p o r t a n tr e s e a r c hp r o j e c tt od e n o i s e t h en o i s e di n l a g ea n de l t f l l a r l c 跫t h ei m a g eq u a l i t y f o ri m a g e sd e n o i s i n gp r o b l e m s ， t h er e s e a r c ho nt h ew a v e s h r i n km e t h o da n di t si m p r o v e dv e r s i o n sb e c o m e so n eo f h o tr e s e a r c ht o p i c sa tp r e s e n ta n di ta c h i e v e ss o m eg o o dr e s u l t s 1 1 1 es i n g l e w a v e l e tb a s i sd on o th a sa l lt h ep r o s p e r i t i e se s s e n t i a lt ot h ei m a g ed e n o i s i n g a l g o r i t h mb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r i l l ，w h i c hl i m i t sf u r t h e ri m p r o v e m e n to ft h e s i n g l ew a v e l e tw a v e s h r i n ka l g o r i t h mi nt h ei m a g ed e n o i s i n ge f f e c t h e n c e ，t h e m u l t i w a v e l e t sw h i c hh a v eb e t t e rp r o p e r t i e sa t t r a c tp e o p l e sc o n c e r na n ds o m e r e s e a r c hr e s u l t sh a v eb e e no b t a i 删t h ed e n o s i n ge f f e c t sr e p o r t e di nt h ee x i s t i n g l i t e r a t u r er e l a t e da r en o ti d e a l d u et on o tm a k ef u l lu s eo ft h ec h a r a c t e r i s t i c p r o p e r t i e so f i m a g e si nm u l t i w a v e l e t sd o m a i n i nt h i sd i s s e r t a t i o nw es t u d yt h es t a n d a r d2 5 6l e v e lg r e yi m a g e s ，t r a n s f o r m t h ei m a g e st om u l t i w a v e l e t sd o m a i nb ym u l t i w a v e l e t st r a n s f o r m a t i o n , d e f i n ea n e wa d a p t i v ew a v e s h r i n kf u n c t i o n , u s i n gas p e c i a ld i f f e r e n c ef o r mo ft h e l a p l a c i a no p e r a t o ra n da n da l s oc o n s i d e r i n go ff r a c t a ld i m e n s i o no fe v e r y s u b b a n di nt h ew a v e l e td o m a i n a n db a s e do nt h i s , w ep r e s e n ta l la d a p t i v e m u l t i w a v e l e t st h r e s h o l d ( a m a 3a l g o r i t h m d i f f e r e n tf r o mt h ef o r m e ra l g o r i t h m s t od e n o i s i n g , t h ea m ta l g o r i t h mc a na u t o m a t i c a l l yd e t e r m i n et h ew a v e l e t c o n t r a c t i o nt h r e s h o l di nt h em u l t i w a v e l e t sd o m a i nw i t hn o n eo fe m p i r i c a l k n o w l e d g eo f i m a g e st 0d e n o i s e 。t h ev a r i a n c eo f t h ei m a g en o i s e ，f o ri n s t d 锄t c e a sf o rs o m es t a n d a r d2 5 6l e v e lg e yi m a g e s ，s e r i e so fs i m u l a t e de x p e r i m e n t s a r em a d e e x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o wt h a t , t ot h ei m b a l a n c a b l em u l t i w a v e l e t s ， a m ta l g o r i t h mn o th o l yh a sg o o dd e n o i s i n ge f f e c t , b a ta l s oc a ne f f e c t i v e l y r e m a i nt h ed e t a i l e di n f o r m a t i o nv e i n sc h a r a c t e r i s t i c so ft h ei m a g e s e s p e c i a l l yi t h a sar e m a r k a b l ee f f e c tf o rh i g h l yp o l l u t e di m a g e s 哈尔滨工程大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：m u l t i w a v e l e tt r a n s f o r m ；i m a g ed e n o s i n g ；a d a p t i v et h r e s h o l d ； l a p | a c i a no p e r a t o r ；f r a c t a ld i m e n s i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导 下，由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文 献的引用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已 注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经公开发表的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ： 日期：沙年砷月日 哈尔滨_ t 程大学硕七学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 图像是人们获取信息的重要来源，据统计约有8 0 的信息是通过视觉系 统获取的。一幅图像所包含的信息量和直观性是其它途径如声音、文字所 无法比拟的。同时，图像在生物医学、遥感、工业生产，军事公安、视频多 媒体等领域有着广泛的不可替代的应用”1 。尤其近三十年来，图像信号处理 成为信号处理研究的熟点和难点。 图像处理是针对性很强的技术，根据不同应用、不同要求需要采取不同 的处理方法。采用的方法综合了各学科先进的成果，如数学、物理学、心理 学、生物学、医学、计算机科学、通信理论、信号分析学、控制论和系统工 程等等；各学科互相补充、互相渗透使得数字图像处理技术飞速发展。就目 前应用的方法而言，计算机图像处理主要采取两大类方法：一类是空域巾的 处理，即在图像空间中对图像进行各种处理；另一类是把空域中的图像经过 变换，如傅立叶变换、小波变换，变换到频域，在频域内进行各种处理，然 后再变换到图像的空间域，形成处理后的图像。 在现代生活中，随着多媒体技术的发展、计算机网络技术的广泛应用和 宽带信息网的建立，信息在人们的工作、学习和生活中发挥着越来越重要的 作用，其中最直接、最主要的信息就是图像信息，但由于在图像的生成、传 输与通讯的过程中，经常会伴有随机的脉冲干扰和其他的噪声，从而使图像 的质量变差，因此在图像的预处理阶段中，对噪声的滤除尤其重要。 1 2 图像噪声 1 2 1 图像噪声的来源及种类 哈尔滨r t 程大学硕士学位论文 图像实质是光电信息，图像噪声的主要来源有以下3 方面”： ( 1 ) 敏感元器件内部产生的高斯噪声这是由于器件中的电予随机热运 动而造成的电子噪声，这类噪声很早就被人们成功的建模并研究。一般用零 均值高斯白噪声来表征。 ( 2 ) 光电转换过程中的泊松噪声。这类噪声是由光的统计本质和图像传 感器中光电转换过程引起的，在弱光情况下，影响更为严重。常用具有泊松 密度分稚的随机变量作为这类噪声的模型。 ( 3 ) 感光过程中产生的颗粒噪声。在显微镜下检查可发现，照片上光滑 细致的影调，在微观上呈现的是随机的颗粒性质。对于多数应用，颗粒噪声 可用高斯过程( 白噪声) 作为有效模型。 1 2 2 图像去噪的研究现状 图像去噪是图像预处理中一项应用广泛的技术，其作用是为了提高图像 的信噪比、增强图像的视觉效果。图像去噪方法常用的有空域和频域两类方 法。空域方法主要采用各种平滑函数对图像进行卷积处理，以达到去噪目的， 如邻域平均( k - n n ) 、中值( m e d i a n ) 滤波”1 ，几何( g e o m e t r i c ) 滤波，s i g m a 滤波”，g r a d i e n t i n v e r s e 滤波”1 等都属于这一类方法。此外，还有在s p e c k l e 统计基础上的l e e 滤波嘲、k u a n 滤波等“”。频域方法主要是根据图像噪声频 率范围，选取适当的频域低通滤波器进行滤波处理，如采用理想低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器，指数低通滤波器进行去噪1 此外，图像去噪方法还包括基于秩一阶滤波( 排序量) 的方法“，基于马 尔可夫场模型“”和基于偏微分方程( p 枷a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ) 的方法“”和 三正则化方法“w 等。 由于小波变换具备良好的时频特性，在图像去噪中应用广泛 1 6 - 1 9 1o 其中 研究最多的一种方法是小波阈值去噪法。其基本思想是利用图像小波分解后， 各个子带图像的不同特性，选取不同的阅值，将低于阙值的小波系数置零， 同时保留其余的小波系数值，从而达到较好的去噪效果。由于小波变换本身 是一种线性变换，目静国内外的研究大多集中在如何选取一个合适的全局阈 值脚删，大多数方法对于类似于高斯噪声的效果较好。 2 哈尔滨i 群人学硕十学位论文 但是单小波基不能同时拥有j 下交性、紧支撵、实对称，高阶消失矩等性 质，而基于小波变换图像去噪算法般需要小波基能够同时捌有以上性质， 这限制了单小波系数收缩算法在图像去噪效果上进一步提高，因而人们开始 关注能够同时满足以上性质的多小波矧，并得到了一些研究结果8 删。 1 3 本课题的目的与意义 对任一个图像处理系统，包括图像的获取、处理、发送、传输、接收、 输出( 显示) 等等，每个环节都存在不同程度的噪声，使图像质量降低。例如， 摄像时，由于光学系统失真、相对运动、大气湍流等都会使图像模糊；医学 上，由于受到人体的器官、组织、光照等各个方亟的影响，成像的图片存在 一定的模糊性。较难识别病变组织与j 下常组织，不利于早期诊断。因此，如 何对这些“降质”图像或受到噪声污染的图像进行处理，提取有用信号，抑 制噪声，提高信噪比，满足进一步图像处理的要求，一直是图像预处理的熟 点问题呷。 单小波变换目前在图像处理中已经得到了广泛的应用，但单小波就其本 身性质有一些无法克服的缺点，而多小波可同时满足对称性，短支撑性，商 阶消失矩和正交性，因此理论上比单小波具有更多优势。虽然多小波具有单 小波所不具备的良好性质，但现有文献的图像去噪效果并不十分理想此方 向的研究工作正处于丌始阶段。 1 4 论文的研究内容和组织结构 本文以标准2 5 6 级扶度图像为研究对象，利用多小波变换，将图像变换 到多小波域，利用l a p l a e i a n 算子和分形几何知识，在多小波域内定义了一个 新的自适应的小波系数阈值收缩函数，并由此提出了一种自适应的多小波阈 值去嗓算法a m t ( a d a p f i v em u l t i w a v e l e t st h r e s h o l d i n ga l g o r i t h m ) 。 本文的组织结构如下： 第1 章绪论。介绍了图象噪声的种类和目前图象去噪的研究现状及研究 意义，最后介绍了本论文的研究内容和组织结构 3 哈尔滨l ：程火学硕+ 学位论文 第2 章介绍小波变换、小波变换的性质、连续小波变换及离散小波变换， 并且详细介绍正交多分辨分析和正交小波的构造，最后简要介绍金子塔算法 和相关知识。 第3 章简述多小波变换包括，元多分辨分析、离散多小波交换及矩阵预 滤波器的基本理论。 第4 章简述传统图像去噪方法和基于小波变换图像去噪方法，并介绍传 统的滤波方法不足和小波变换的优点。 第5 章利用l a p l a c i a n 算子和分形几何知识，在多小波域内定义一个新的 自适应的小波系数阈值收缩函数，并由此提出了一种自适应的多小波阈值去 噪算法。 第6 章为仿真实验。以标准2 5 6 级灰度图像为研究对象，对第5 章提出 的自适应的多小波阈值去噪算法a m t 进行仿真实验。应用数种多小波比较去 噪算法效果，实验结果表明去噪效果总体良好，尤其是对于高度污染的图像， 效果更加显著。 4 哈尔滨 程大号拿硕+ 学位论文 2 1 引言 第2 章小波分析基础 众所周知，傅立叶分析是现代工程中应用最广泛的数学方法之一。特z u 是在信号和图象处理方面，利用傅立叶变换可以把信号分解成不同的频率成 分，使得对各种不同的实际问题可以采取统一的处理方法。然而，由于傅立 叶变换存在不能同时进行时间一频率分析的缺点，g a b o r 在1 9 4 6 年提出了信 号的时频局部化分析的方法，此方法以后在应用中不断完善，从而形成了一 种新的处理信号的方法一加窗傅立叶变换或称为短时傅立叶变换。虽然 g a b o r 变换能在不同程度上克服傅立叶变换的上述缺点，但提取精确信息， 要涉及时窗的选择问题。由h e i s e n b e r g 测不准原理知，在对信号作时一频分 析时，其时窗和频窗不能同时达到极小值。即：当选下一窗函数后，使其频 宽对应子菜一频段时，其时宽就不能太窄，从而更高频率的信号就不能精确 定位，如果要求更高的局部性质或更多的整体性质时，就必须更改窗口的大 小，从而使计算量大增，以致无法具体实现。但g a b o r 变换的时一频窗口足 不变的，窗口没有自适应性，不适于分析多尺度信号过程和突变过程，而且 其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法，这是g a b o r 变换的缺点闪 此也就限制了它的应用。 小波变换克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺陷，同时具有时一频 二维分辨率的特点其优于傅氏变换之处在于它具有时域和频域“变焦距” 特性，十分有利于信号的精细分析。第一个正交小波基是a h a a r 于1 9 1 0 年构造的。“，a h a a r 提出了构造正交小波基的伸缩和平移思想。然而h a a r 小波基不具有连续可导性。限制了它的应用。1 9 8 1 年。s t r o m b e r g 对h a a r 小波基进行了改进，证明了小波函数的存在性。1 9 8 1 年，法国地质物理学家 m o r l e t 在分析地质资料时创造性地提出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s is ) 这一 概念，但m o r l e t 最初提出的仅仅是形状不变的小波1 9 8 5 年，法国人数学 家m e y e r 首次提出光滑的小波正交基，被称为m e y e r 基，对小波理论的发展 5 哈尔滨警人学硕十学位论文 做出了重要贡献矧次年，m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思 想。1 9 8 8 年，法国年轻的女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集的光滑i 卜 交小波基一d a u b e c h i e s 基”1 。这样，小波分析的系统理论初步得到了建立。 与此同时，信号分析专家m a l l a t 等人在前人大量工作的基础上提出了多尺度 分析的概念和基于多尺度分析的小波基构造方法，将小波正交基的构造纳入 统一的框架之中，使小波分析成为种实用的信号分析工具。将多尺度分析 思想引入小波分析，提出了多分辨分析的概念，统一了在此之前所有具体小 波基的构造方法，并提出了相应的分解与重构快速算法( 称为m a l l a t 算 法) 脚，。有效的应用于图像分析与重构。 2 2 小波和小波变换 为了行文方便，约定，一般用小写字母如厂g ) 表示时删信号或函数，其 中括号里的小写英文字母x 表示时间域自变量，对应的大写字母即列) 表示 相应函数或信号的f o u r i e r 变换，其中的小写希腊字母表示频域自变量；尺 度函数总是写成( 时间域) 和嘶) ( 频率域) ：小波函数总是写成g ) ( 时间域) 和甲l ( 频率域) 。 下面考虑函数空间r 伍) ，它是定义在整个实数轴胄上的满足要求 2 l 。i 厂纠凼 o ，b e r 所记忆。这一 特点是f u r i e r 交换所不具备的。 2 4 离散小波和离散小波变换 对于小波变换而言，将它的参数对0 ，6 ) 离散化，分成两步实现，并采用 8 哈尔滨啊擎人学硕十学位论文 特殊的形式。即先将尺度参数a 按二进的方式离散化。得到二进小波和二进 小波变换，之后，再将时自j 中心参数b 按二进整倍数的方式离散化，最后得 到正交小波和函数的小波级数表达式，实现小波变换的连续形式和离散形式 在普通函数的形式上的完全统一。 2 4 1 二进小波和二进小波变换 如果小波函数g ) 满足稳定性条件 a s f 、王，( 】2s 口，i l e 彩r 则称妒g ) 为二进小波，对于任意的整数女，记 y ) g ) = 2 ；( 2 g 一6 ” ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 它是连续小波坝训g ) 的尺度参数口取二进离散数值吼= 2 一函数g ) 的- t 进离散小波变换记为；o ) ，定义如下： 形( 6 ) = 野( 2 一，6 ) ；j ：几瓣皿( 2 - 1 3 ) 这相当于尺度参数口取二进离散数值吼- - 2 。时，连续小波变换盯0 ，b ) 的取 值。这时，二进小波变换的反演公式是 g ) = 2 i 彬0 ) t ( 2 j ) g ) d 6 ( 2 1 4 ) 其中，函数f g ) 满足 艺、i ，( 2 彩) r ( 2 脚) = l ，乱e 出尼( 2 - 1 5 ) 称为二进小波y g ) 的重构小波。这里，如l j 述约定，记号v 0 ) ，1 如) 分别表 示函数和，0 ) 的f o u r i e r 变换。重构小波总是存在的，比如可取： t ) ：孓o ) 艺卜( 2 t 】2 ( 2 - 1 6 ) 重构小波一般是不唯一的，但容易证明，重构小波一定是二进小波 由上述这些分析可知，一i 进小波是连续小波之尺度参数a 按二进方式 9 哈尔滨丁程大学硕+ 学位论文 a 。= 2 量的离散化，函数或信号的二进小波变换就是连续小波变换在尺度参 数口只取二进离散数值a 。= 2 4 时的取值。 2 4 2 正交小波和小波级数 设小波为眇g ) ，如果函数族 妒u g ) = 2 ；( 2 工一_ ，) ；o ，_ ，) z z ( z 一- z ) 构成空间口 ) 的标准正交基，即满足下述条件的基： ( 妒，y 抽) = j ：妒g ) 万i g 妞= 占似一，p u 一胛) ( 2 - i s ) 则称g ) 是正交小波，其中符号万) 的定义是 驯= 亿：i ： 称为k r o n e c k e r 函数。这时，对任何函数或信号g ) ，有如下的小波级数展 开 g ) = z a 。x ) ( 2 1 9 ) 其中的系数a t a t 。= i ，g 眵i g 阻( 2 - 2 0 ) 被称为小波系数。 小波系数a 正好是信号厂g ) 的连续小波变换缈r 0 ，6 ) 在尺度参数口的 二进离散点a 。= 2 。和时自j 中心参数i b 的二进整倍数的离散点6 ，= 2 - 1 所构 成的点【2 ，2 - 1 _ ，) 上的取值，因此，小波系数a u 实际上是信号厂g ) 的离散 小波变换。也就是说，在对小波添加一定的限制之下，连续小波变换和离散 小波变换在形式上简单明了地统一起来了，而且，连续小波变换和离散小波 变换都适合空间f 仅) 上的全体信号 正交小波的简单例子就是h a a r 小波 具体定义是： 哈尔滨工程大学硕十学位论文 f l g ) ： 一1 【0 这时，函数族 ，。g ) = 2 ； ( 2 ，善一七) ；【，七) z z ) ( z z - ) 构成函数空间r ) 的标准证交基，所以，h a a r 函数厅0 ) 是丁f 交小波，称为 h a a r 小波。 2 5 正交多分辨分析和正交小波 2 5 1 正交多分辨分析 定义1 设e ；，z j 是z o ) 上的一列闭子空间，妒g ) 是： ) 中的一个 函数，如果它们满足如下的5 个条件，即 单调性：巧c 巧。w z 唯一性：n 一= 1 0 ) , g z 稠密性： 陛_ 卜 ) 伸缩性：g ) e 匕厂( 2 工) “ w z 可构造性：移g 一疗) ；甩e z 构成子空间的标准正交基。 那么，称i 眈；，z j ；妒( x ) 是z o ) 上的一个证交多分辨分析，简记为 己a 由多分辨分析的定义，容易得到一个重要结果，即函数族 九，g ) ：2 ( 2 j x - n ) ；疗z ( 2 2 2 ) 九，g ) = 2 j ( 2疗z ( 2 2 2 lj 是矿空间的标准j 下交基。 瓣 哈尔滨l 拌火学硕十学何论文 下面将要讨论的是如何由这个j 下交m r a 去构造2 ) 的一个正交小波 g ) ，使 z 缈( 2 x 一七) ；( ，七) ez z ( 2 - 2 3 ) 构成r 伍) 的标准正交小波基。 2 5 2 正交小波的构造 对w z ，定义如f 的子空间： 上_ ，- = o 匕 容易验证，子空间序列渺；，ez j 具有下述性质： v j z ，矿，上形： r 积) = 旦彤； w z ，g g ) 仁g ( 2 工) e 矿+ l 因此，根据可知，为了得到空自j 伍) 的标准正交基，只需构造每一 个子空间彬的标准正交基；再由得到，这只需构造的标准正交基就足 够了。这样，关键的问题就是构造函数缈g ) ，使得函数族妒g 一七) ；七z 是 的标准正交基。 2 5 2 1 尺厦万程和构造方程 由于妒g ) e k 而且h 有标准正交基晒( 2 x - - n ) ；，e z ，所以。必存 在唯一的系数序列h n ；疗z ，2 ( z ) ，使得 巾g ) = 压以夺( 2 工一万) ( 2 2 4 ) n e z 通常称为尺度方程，实际上，系数序列的计算公式是 h n = ( 矿( ) ，动( 2 一玎) ) = 互g 雨( 2 x 一玎阻 ( 2 2 5 ) 另一方面，待构造的小波函数妒g ) k ，应该存在序列 g 。；行e z ， 使得 1 2 哈尔滨：r 程大学硕十学位论文 g ) = j 岛( 2 x 一一) ( 2 2 6 ) n , e z 称之为构造方程。这样，小波函数的构造就转化为寻找相应的序列 k 。；一z 。引入记号 = 1 。h 。e 一一 1 z “( 2 2 7 ) = 去即“ v z 艇z h 0 ) 和r 0 ) 分别称为低通和高通滤波器的频率响应，显然，它们都在空间 e ( o ，2 兀) 中。 这时，可以得到( 2 - 2 6 ) ( 2 2 7 ) 两式的频域形式 ( 2 - 2 8 ) 引理设函数s g ) r q ) ，那么矗g 一疗) ；行z 构成r 征) 的标准正交系， + 2 打万1 2 = l 口七埘露 ( 2 3 0 ) “嘞2 抄嘲。网缈 ( 2 3 1 ) = 去f 。乏i s o + z 蛔1 2 e 。i 川k d 缈 。 由于函数族k e - - 。；力ez j 是上2 ( 0 ，2 石) 的标准正交基，因此，式( 2 3 0 ) 、， 一2一2h h一2一2 ， h 门 = = 0 甲 与式( 2 - 3 1 ) 等价。 2 5 2 3 尺度函数和低通滤波器 由于尺度函数妒g ) 的整数平移生成的函数族移g 一一) ；行z 构成子空间 的标准正交基，因此，f 唯+ 2 n z f 2 = 1 ，q 卫- o e r ，将式( 2 - 2 8 ) 代入等式 左边得 习中白+ 知刀】2 = 洮+ 吡+ 一玎 = 刭叱+ 叫啦+ 叫2 + 三，习啦叫2 c 2 刁2 ， = l 吲2 到叱+ 叫2 + + d 2 互叫2 = 蚓2 + + 刁2 于是，低通滤波器的频率响应h 0 ) 满足下述等式 | h 0 1 2 + | h 0 + 兀】2 = l ，a n c o e r ( 2 - 3 3 ) 2 5 2 4 小波函数和高通滤波器 因为小波函数的整数平移族g 一七) ；七z 蝴e w o 的标准币交基， 所以， 由式( 2 2 8 ) 1 勺第二式得 p 白+ 勉万1 2 = l ，a e r o r n e 2 l r 白1 2 + l r ( 甜+ 石1 2 = 1 ，口卫r ( 2 3 4 ) 1 4 2 5 2 5 低通滤波器和高通滤波器 由于子空白是在k 中的正交补空问，因此，函数族g 一七) ；七z j 和函数族移g 一疗) ；行e z 是相互正交的，即 ( k w ) ，l ，- 七= o ，v “k ) e z x z ( 2 - 3 5 ) 利用f o u r i e r 变换和式( 2 - 2 8 ) n - 得 必一玎) ，妒( = 西1 弘) e “网 = 去善r h ( 顼剀蚓2 e 嘶曲d m p s s ， = 去州i ( d 心- - c o 卜 = 去f 。 h ( 一a 2 。 f ( 0 2 j + h 曙+ ，r h 詈+ 万 一峋 因为函数族 去p “；打ez ) 是r ( o ，2 万) 的标准基，所以，式( 2 - 3 4 ) 等价 于 h ( c a f ( c a ) + h ( c o + 万f + 尼) ：0 ，伽凹r 佗3 7 ) 2 5 2 6 正交小波的构造 选取高通滤波器r 协) = p “西白+ 石) 这时，引入矩阵记号m ) m 皓( h 罂_ 嚣0 口瑚 构造定理如果函数缈形如式( 2 2 6 ) ，那么，函数族舻g 一七) ；七z 构 成的标准j 下交基即g ) 成为j 下交小波的充要条件是，矩阵m 0 ) 是酉矩阵， 即 m 如m 0 ) = i ，4 卫肪r( 2 3 9 ) 由式( 2 - 3 8 ) 定义的m 白) 必为酉矩阵，所以，可得小波函数妒g ) 的频域形 式： 1 5 哈尔滨： 程火学硕士学位论文 甲0 ) = p 。矾百g + 吖2 净( 叫2 ) ( 2 3 9 ) 由式( 2 - 2 7 ) 可知 g 。= ( - l r 。 1 w 撑z ( 2 - 4 0 ) 从而，小波函数缈( x ) 的时域形式为 v g ) = j ( - l 广。五m 牵( 2 工一行) ( 2 - 4 1 ) ，睫z 综合上述讨论，从工： ) 的一个正交多分辨分析 e ；，z ；( x ) 出发， 利用尺度方程式( 2 2 4 ) 给出的系数列玩；甩z 和式( 2 2 5 ) 给出的滤波器h 白) 及形如式( 2 - 2 6 ) 的滤波器r ) ，最后得到用式( 2 3 9 ) 或式( 2 4 1 ) 表示的币交 小波妒b ) ，完成正交小波的形式构造 2 6 正交多分辨分析的矩阵形式 沿用多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 方法的矩阵记号m b ) m 咖( h 罂0 器鞫 和构造正交小波的充要条件 m + 0 砷白) = i ，口卫埘r ( 2 - 4 3 ) 或者更详细地写成 其中 f| h p l 2 + j h ( + 石1 2 - - 1 扭旷0 ) + h 白+ 万旷0 + 万) = 0 口卫埘胄( 2 - 4 3 ) li r ( 1 2 + i r 如+ 万1 2 = l 利用系数序列 k ；拧e z g g 。；刀e z 可将式( 2 4 3 ) 改写为 伫 旷 耐m上压上压 = = 悯 哈尔滨1 = 程大学硕士学位论文 以砒= 8 ( m ) 吃；。= o搠z ( 2 - - 4 5 ) 岛；柚= 跏) 定义两个无穷维的方阵 f h = 阮，l 。 l f = ( g 。，l 。 其中厨= 厅m 幽，g 。，= g 。嘲分别是矩阵h 和r 的第玎行第朋列的元素， m ，n z 。为了清楚和直观，在这里详细写出这两个矩阵的形式 h = f = ，j i - 2 ， d ，h o ，h + l ，h + 2 ， 一，| j 1 2 ，j i 1 ，h o ，h + i ，h 2 ， ，l i l 2 ， - i ，h e ，h + i ，h 2 ， , g - 2 , g - 4 ，g o ，g + l ，g + 2 ， “, g - 2 , g - i , g o , g + l ，g + 2 ， g - 2 g 1 ，g o ，g + l ，g + 2 ， 引入无穷维单位矩阵 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) ( 2 - 4 8 ) z 辨 ， = i j w k 岛 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 e 0 ) = 和无穷维的分块方阵 ，o 0 ，l ，0 ，0 ， ，0 ，o ，1 ，0 ，0 ， ，o ，o ，1 ，o 0 ， m ：旧 f j ( 2 - 4 9 ) ( 2 5 0 ) m 。m = m m = e ) ( 2 - 5 1 ) h h = h ：j 三二二：2 詈) c z - s z ， 2 6 1 小波变换金字塔( m a l l a t ) 算法 将r ) 上的多分辨分析记为眠；j e z j ，嘶) ) ，尺度方程和构造方程为 f 嘶) = x 2 z h k q “2 t 一i ) 1 l l c ，( f ) ：压芝钉舡一i ) ( 2 5 3 ) l k g z 其中系数关系是乳= ( - 1 ) 1 4 石。，七e z 对任意的整数用七，引入记号 和 ( 2 - 5 4 ) l , r j = ：c 铷l o s e s p a n 岛移j 删 p ， 1 蕊警盘k 粥 q 5 5 )l r ) = 0 = 删n p 似( ，i ) z z i j e z 4 d 一 一 0 0 妇吨 ，一2 ，一2 2 2 = = o、：；， 妒 v ，l 对于任意信号。m ) f 似) ，引入记号 雠揽瓷器 6 ， 称为，( f ) 的尺度变换系数和小波变换系数，同时，将，( f ) 在闭子空删矿，和， 上的正交投影分别记为( f ) 和g ，( f ) 。这样 f ( f ) = 币舻( f ) 1o)：篁川”(f)(2-579x d j ) 1o ) = 。v ”( f ) 可得 l = 匕o ( 2 5 s ) 1 i 黼= 嫡+ g 嫡 或者用信号的尺度变换系数和小波变换系数表示为 c 川，乃w o ) = c ( f ) + d 缈o ) i e z e 2 e z 这样，小波变换的m a l l a t 分解算法公式可写成： c j , n = 再神， 1 钆= ；一巳舢 l_托2 丽合成算法可以写成 c 1 + ，= 阮妇+ g 砌乳) 2 6 2 金字塔算法和矩阵 ( 2 - 5 9 ) ( 2 6 1 ) ( 2 - 6 2 ) 为了用矩阵和向量形式描述金字塔算法，把信号的尺度变换系数序列和 小波变换系数序列写成无穷维向量的形式 1 9 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 这样，小波变换的m u f l l , 1 分解算法变成 ! c j ，一l c j , o c j + i ： ； 吒_ l a i b 嘭+ l ： y 1 1 r ( 2 。6 3 ) ：i五-2五-l乏ji；：笺；=!，j：二+，一+jj：1icjil：,：-ih ih ohh 2h 2hh oh h2 i l “+ 。_ o 一一i+ i + l c ，1 + 1 合成算法的公式就变成 巳+ 1 , 0 c j + l + i ： = 一l 臻赫- 晨 +i岛鼍羔麓：芝蔓譬二誓i辟dj,-i( ( 2 “) ( 2 6 5 ) ( 2 - 6 6 ) 以以一如 一一一t掰 ；州枷： 卜h h 栉 ， 一乳一&一& 一g：i 璺豇一一岛一吼 瓦t 一9 钆 一乱 五 一苫 一 哈尔滨1 ：程大学硕+ 学位论文 2 7 小结 本章重点介绍了小波的基础知识，介绍了小波变换的性质。对连续小波 变换和离散小波变换进行了介绍，并且对币交多分辨分析部分和正交小波的 构造详细的进行了介绍，最后介绍了金子塔算法和相关知识。 哈尔滨+ 门鼙大学硕十学位论文 3 1 引言 第3 章多小波基础 多小波是传统小波理论的新发展。多小波又叫向量小波，它是指由两个 或两个以上函数作为尺度分量组成的尺度函数生成的小波。而传统意义下出 一个尺度函数生成的小波称之为纯量小波( s c a l a rw a v e l e t ) 或单小波。单 小波就其本身性质有一些无法克服的缺点，而多小波可同时满足对称性、短 支撑性、高阶消失矩和正交性，因此理论上比单小波具有更多优势。多小波 理论由于其自身优越性，从而在1 9 9 6 年以后迅速发展起来。 首先，a l p e r t 和r o k h l i n 啪1 最早构造出，个尺度函数，每个尺度函数都 是支集在i o ，l l 上的，- 1 次多项式。他们将这些尺度函数形成的多小波用于求 解积分方程，能够使得积分方程形成的矩阵有更大的稀疏性。 1 9 9 4 年，g o o d m a n 脚3 等人基于，重多分辨分析( m r a ) 建立了多小波的理 论框架，并给出了多小波的例子：同年，g e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s t 应用分形插值的方法成功的构造出具有短支撑、正交的、对称的和具有二阶 消失矩的两个尺度函数= 瓴g ) ，仍g ) ) r 的多小波系统。 1 9 9 6 年，o e r o n i m o ，h a r d i n 和m a s s o p u s