（概率论与数理统计专业论文）二阶正规变化函数及其在极值收敛速度中的应用.pdf

独创性声明 y9 0 1 7 53 学位论文题目：三险正趣变丝函麴丛墓在拯值蝗筮速度主的廑用 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：瓦习荔n 词签字日期：卵侔乒月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作 签字日期： 学位论文作 工作单位： 通讯地址： 者签名：雨荔w n导师签名：前c ( f i 沙d 年为3 日签字日期：z 叩e 年中月i3 日 电话：( 盟。1 2 型：量j 厂 邮编：6 垒；竺竺 摘要 设 置，i = 1 ，2 ，) ，是独立同分布的随机变量，共同的分布函数为 f ( z ) ，螈= m a x x l ，x 2 ，矗) ，n = 1 ，2 ，由文献【1 】1 知，若存在正 规化常数a n 0 ，b 。r ，使得p ( d 二1 ( m 。一h ) sz ) 与g ( 。) ，g ( # ) 是非 退化分布，则g ( z ) 同类于g ( z ) = 唧( 一( 1 + 7 z ) “一) ，7 r ，l + t x 0 记v = ( 一l o g - 1 f ) + 。，不妨设 p 【n 二1 ( 。k ) z ) 冬g ，( z ) 而上式成立的充要条件为存在定义在且+ 的函数o ( t ) ，使得z 0 时 。1 + i r a 。a - * ( t 】f y ( z ) 一y ( t ) 】= x 丁7 - - 1 由于极值理论在应用中的需要，最大值分布收敛到对应极值分布的速度 得到了越来越多的研究 本文主要由三部分构成第二部分研究正规变化函数、二阶正规变 化函数以及广义二阶正规变化函数的有关性质，我们研究可导函数，的 导数，定义在r + 上，且满足下面的要求：存在a ( t ) 0 ，t 0 ， a ( t ) 最终为定号。i a ( t ) i r v p ( p s0 ) ，存在o ( t ) 0 ，使得 蹋一扩1 a ( t ) 叮= 0 = p p = 0 1 p 0 即，( t ) 为二阶正规变化函数在这个条件下，分别得到了o ( t ) ，a ( t ) 的 等价类矿( t ) ，a 【t ) 合适的选取，并最终得到了性质2 6 本文第三部分得到一些证明主要定理所需的引理。在证明过程中选 取a n = 矿( n ) ，a 。= a ( n ) ，主要结论为引理3 3 本文第四部分主要给出了用一致距离描述的极值分布的一致收敛 速度，作为一个推论得到了最大值分布函数的e d g e w o r t h 展式，以及用 完全不变距离描述的收敛速度即 ，s u p a 6 日( 固i p f d i l ( 螈一k ) a 】一g 7 ( a ) j 摄面丽一 1r = ；【- ( 1 + 7 ) z 一( 2 + 1 ) g o ( 1 0 9 x ) + z - ( 2 竹岛( 1 0 9 z ) 】皿p ( z ) + z ( 1 + 7 ) g o ( 1 0 9 x ) q ，p ( z ) 出 麓一 1 这里 三- ，( z ) = z t + p 一1 1 7 + p。1 + p 芝虹一一1 尘土 哗， 兰= 生蜓一一1 至二 z 十p 一1 4 - p 1 0 ，p 0 ， 。1 + i m 。口一1 ( t ) 【y o z ) 一vc t ) l 2z 1 1 l o t s0 fa u t h o r sc o n s i d e r e dt h er a t eo fc o n v e r g e n c ei ne x t r e m e v a l u eb e c a u s eo f t h ed e m a n do fe x t r e m ev a l u ea p p l i c a t i o n s t h r e ep a r t si sm a i n l yi n c l u d e di nt h i sp a p e r i nt h es e c o n dp a r to ft h i s a r t i c l e ，r e g u l a rv a r y i n gf u n c t i o n ，s e c o n d o r d e rv a r y i n gf u n c t i o na n dg e n e r a l i z e d v a r y i n gf u n c t i o nw e r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d h e r et h ed i f f e r e n t i a b l ef u n c t i o nf w i t hp o s i t i v ed i f f e r e n c e ，a n di ft h e r ee x i s t ( t ) 0 ，a ( t ) ，a ( t ) - - 0 ，a st _ + 0 0 ， a ( t ) h a sc o s t a n ts i g nn e a ri n f i n i t ya n d1 a l r f o rp 0 ，s u c ht h a t 掣_ 慧以竺； l 岳1 押，p 0 t h e n ，( t ) s a t i s f i e sas e c o n d - o r d e rr e g u l a rv a r y i n gc o n d i t i o n a sf ( t ) h a st h i s p r o p e r t y , w ef i n dt h es u i t a b l eo ( t ) a n da ( ) o fn ( 0a n da ( t ) r e s p e c t i v e l y a n d t h em a i nr e s u l tw a so b t a i n e d ，i e p r o p o s i t i o n2 6 i nt h et h i r dp a r t ，s o m el e m m a sa r ep r o v e dw h e n = ( n ) ，a n = a ( n ) ， w h i c ha r et h eb a s i so ft h em a i nr e s u l t s ，s u c ha sl e m m a3 3 t h el a s tp a r t ，r a t eo fc o n v e r g e n c ei ne x t r e m e v a l u ed i s t r i b u t i o nw a se s t a b - l i s h e di nu n i f o r mm e t r i c a sac o r o l l a r y ，t h ee d g e w o r t he x p a n s i o no ft h ee x t r e m e v a l u ed i s t r i b u t i o nw a sg o t a l s o ，w eg e tt h ec o n v e r g e n c er a t ea b o u te x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o nb yt o t a lv a r i a t i o nm e t r i c ，i e s u p a e b ( r ) l p 【吒1 ( m n k ) a 】一g 1 ( | 4 ) i 恶1 硒丌一 = ；上。【_ ( 1 + 7 ) x - ( 2 + 7 ) g 0 ( 1 0 9 z ) + 一( 2 ”) g 扪o g z ) 】珥一z ) + ( 1 竹) g 。( 1 0 9 z ) q l p ( z ) 出 w n e r e 吼，( z ) = z 十p 一1 1 7 + p7 + p 生虹一l z 7 - - 1 一上 7111 。 址 2 苎旦旺一一1 兰兰 11 1 x t + a - - 1 + p ，y 0 ，p 0 时 t 1 1 l _ i m 。o a - 1 ( t ) y o z ) 一y ( t ) = 兰了二 ( 1 2 ) 。o吖 记为v ( t ) g r ( 7 ，( t ) ) ，a ( t ) 为辅助函数 由于极值理论在应用中的需要，许多文章研究了( 1 1 ) 式的收敛速度 d e h a a n 和r e s n i c k ( 1 9 9 7 ) 在二阶冯米斯条件下。得到了 p ( ( m 一k ) nsz ) ) 的e d g e w o r t h 展式，并用此展式得到了一致收敛速度但二阶冯米斯条件要求 y 具有二阶导数程士宏和江长国( 2 0 0 0 ) 在y 不可导的条件下，同样得到了此 e d g e w o r t h 展式，本文受此启发，在y 具有一阶导数的条件下，研究了用一致距 离和完全不变距离表征的极端顺序统计量的分布收敛到对应极值分布的速度 随机变量最大值的分布函数收敛到对应极值分布时，正规化常数的选取起 着重要的作用，合适的正规化常数不仅可以使得最大值的分布函数收敛，而且 会在个很好的速度上收敛，如果随机变量的分布函数f 具有二阶导数，那么 口( 礼) ，6 ( n ) 可取为关于f 一阶导和二阶导的一个表达式，如果f 的可导性有所 限制，那么关于口( n ) ，b ( n ) 如何选取才能得到个好的极值分布的收敛速度。在 理论研究中有重要意义，本文即给出了n ( n ) ，6 ( n ) ，并得到了用一致距离和完全不 变距离表征的极值分布的收敛速度 6 1 2 文献综述 关于随机变量序列最大值分布函数收敛到相应极值分布的速度同题，许多文 献对其进行了研究h a l l ( 1 9 7 9 ) 得到了正态随机变量序列最大值分布函数收敛 到对应双指数分布的速度。此速度是与n 。，k 的选择有密切的关系，h a l l ( 1 9 7 9 ) 选取，6 丌使得下面两个式子成立 2 7 r 6 n 2c x p l p 2 n ) = n 2 ，o n = k 1 通过使用一些不等式细算得到下面的式子 c i l o g n s u pi 垂“( 口。z k ) 一a ( z ) i 0 定义l ( t ) = - t _ al o gf ( t ) ，如果上式成立，那么l ( t ) 是一个在0 0 处的慢变函 数假设关于此慢变函数的余项，满足 l ( t x ) l l ( t ) 一l = 0 ( 9 ( t ) ) ，o 0 ，t o 。 其中9 ( t ) 是描绘l ( t x ) l ( t ) _ + 1 的快慢的函数经过这样分析，就可以建立收 敛速度与9 ( t ) 的关系，s m i t h ( 1 9 8 2 ) 主要得到如下结论 定理a ( s m i t h ( 1 9 8 2 ) ) 如果对比 1 ，当z + 0 时，l c , ) l x ) l c x ) 一 1 = o c g ( ：o ) 在这里g 为正函数且满足 b x 一9 s9 ( z ) 9 ( t ) 1 ，t 如，0 o ，b 0 此时。满足l o g f ( a n ) n 一1 一l o g f ( a 。+ n ) ，b n = 0 令r n = g ( 。) 当礼_ o 。 有 s u pl p ( n t i z ) 一虬( z ) i = o ( r 。) 7 且从文中对这个定理的证明中看到这里。有一个选择的范围，在这个范围内取 值，不会影响收敛速度 定理b ( s m i t h ( 1 9 8 2 ) ) f ( z ) ，a n ，k 满足定理1 ，如果此时l ( t ) 满足 l ( t x ) l l ( t ) 一1 = 口( z ) g ( t )z 0 ，t + o o ( z ) 满足条件：j z 使 ( z ) 0 且v y ，u ( 。) 一u ( v ) o g r p ，v ( z ) = c h p ( z ) ，p 0 当r n = g c a ) ，有 ， f - ( a 。z ) 一垂。( z ) = 一c r n h p ( z ) z o 西。( z ) + o ( r 。) 在0 。 o o 上一致成立这里( z ) = f t t p - - 1 如 两个定理均用r 。= 9 ( ) 描述了s u pl p ( n 。z ) 一( z ) i _ + 0 的速度 b a l k e m a 和d eh a a n ( 1 9 9 0 ) 通过使用二阶正规变化函数，得到了当f 具有 有限上端点时，极值分布收敛到双指数分布的收敛速度结论如下， 定理c ( b a l k e m a 和d eh a a n ( 1 9 9 0 ) ) f 满足的二阶正规变化的条件为 ! = 坐：掣业一e ，2 ；詈簪= 等e 艇r 局部一致成立，这里z ：= s u p x f ( x ) 1 ) ，p ( t ) 0 且符号不变，当tt z + ，p ( t ) j0 那么 s u pi p m a x ( x l ，z 2 ，z 。) 一b n a 。z ) 一e x p 一e 一。) l q ( k ) ( n 。) 这里 k = ( 1 0 9 n ) n 。= 1 一f l ( k ) ) 1 一f ( b 。) ) q ( b n ) i 鼍掣浠掣。l 厢= f ， 1 一只( t ) = m a x 。，。( 1 一目一z ( “) ) d u ) ， = 1 ，2 ， 且”x ”符号的意义为z 对于正序列 u 。) 和 ) ，。x - 9 o 。) 仁粤0 u 。 o n - 1 m ，其中m 为有限数 d eh a a n 和r e s n i c k ( 1 9 9 6 ) 通过使用- b t 正规变化，用一致距离和完全不变 距离给出了随机变量最大值分布函数收敛到对应极值分布函数的速度 设，二阶可导，且，的符号在无穷远的一个邻域内为正，如果此时 撕= 鬻 8 这里a ( t ) 在无穷远处的符号不变。且满足l i m i 。a ( t ) = 0 ，i a l 兄k 则 说，满足一阶参数为7 r ，二阶参数为p 0 的二阶冯米斯条件条件，记作 ，2 一v o nm i s e s ( ，p ) 下面是d eh a a n 和r e s n i c k ( 1 9 9 6 ) 的核心定理 定理d ( d eh a a n 和r e s n i c k ( 1 9 9 6 ) ) 如果，2 一v o nm i s e s ( 7 ，p ) ，那么 且7 0 时 鸳茅一1 等净啪， a ( t )_ f 。x ，t _ l , 下2 l ? - - 1 ) 如= ：，p ( z ) 7 0 ，使得 ( 1 - ) i n i n 【”，护一5 ) 0 ，使得 l 等产一竿卜m a x 矿5 ，一 狮独( 1 a ) 性质c ( 程士宏与江长国( 2 0 0 1 ) ) 若，g 飓( 1 ，p ，8 ， ) ，那么存在t o = 如( ，5 ) 0 可以寻找与n ，a 等价的a o ，, 4 0 ，使得对所有t ，t x t o ，有 i 志 鬯铲一竿卜卜m a x z + p + 5 ，一) s ， 程圭零与江长国( 2 0 0 1 ) 得到如下主要结论 定理g ( 程士宏与江长国( 2 0 0 1 ) ) 如果，g r 2 ( 7 ，p ，n ，a ) ，那么 p 肘n 。n 十6 。) = g ，( “) + a 。g 7 ( t ) ，( 一l o g 一1 g ，( “) ) l o g + 1 g 1 ( 札) + o ( a n ) ( 1 6 ) 在r 上一致成立 1 3 符号说明 下面给出全文通用的记号及条件； 1 f ( 。) 为分布函数。f + 。( ) = i n l s ：f ( s ) 三t ) ，o t 墨1 2 ”* ，”一”表示依分布收敛和等价 3 r 口( 7 ) ，c a ( 7 ，o ) ，c r y ( 7 ，p ；a ，a ) 分别表示正规变化函数，广义正规变化 函数。二阶广义正规变化函数 1 0 第二章正规变化与二阶广义正规变化函数的性质 定义在r + 上的可测函数，( z ) ，如果f ( x ) 在z _ 0 0 时，趋于正数，且满足 熙锵圳，比耐雕r 称，是具有指数为，y 的正规变化函数，记作f r ( 7 ) 一 性质2 1 如果f m ( ，y ) ，那么对任意，6 0 ，存在t o = t 0 ( e ，j ) 0 使得 等卅e m 雌”，邺z 南 证明：见文献【2j 定义在j 矿上的可测函数，( z ) ，存在辅助函数n ( t ) ，使得下式成立 l i 。塑导塑：型，r + ，y r t - - - c o 口( t )7 称，是具有指数为，y 的广义正规变化函数，记作f g r ( 7 ，。) 记 f y ，( t ) ，y o ( t ) = 一 7 f ( 0 0 ) 一，( t ) 】，7 0 ，存在t o = t o ( e ，6 ) 0 ， 当t t o 时，有 i 掣萨一竿陋m a x x 7 一1 沌t x _ t 0 证明：见文献( 4 】 性质2 3 定义在r + 上的函数，可测，( t ) 为正函数，如果对所有。 0 ， 妒( z ) ：= 。1 + i m 。掣 的存在且不为常值，那么 悱) 一等( $ o ) 且当p 0 时，( o o ) ：= l i r a 。- + 。，( z ) 存在，且有f ( o o ) 一，扛) 只 尹 证明：详见文献【3 】 根据d eh a a n 和s t a d t m u l l e r ( 1 9 9 8 ) ，为定义在r + 可测函数，如果存在正 函数d ( t ) ，及函数a ( t ) ，a ( t ) 在无穷远处为定号，l i m t 。a ( t ) = 0 且j a j r ( p ) ， p s0 k 扛) 不是( 一一1 ) 7 的倍数，如果有下式成立 恕高 掣产一竿) 圳乩甜 称，为二阶广义正规变化函数，记作，g r 2 ( 仉“b ，a ) 如果选取适当的a ，a ， 上式的( o ) 有下面的形式 一隆7 = 0 雾 砖小卜四 f ：1 0 9 z ， 7 2 。p 我们所研究的函数，定义在f c + 且满足下面的要求：存在a ( t ) 斗o ，t _ o 。， 且a ( t ) 最终为定号，i a i r v ( p ) ( p o ) ，存在o ( ) 0 ，使得 掣a ( t 一剐z ) ( 2 1 ) 、1 7 护、”， 、 此时易知口( t ) 一t ，( t ) 我们首先看一个性质 性质2 4 对可测函数，如果存在正的函数n ( t ) m ( 1 ) ，a ( t ) 砌( p ) ， p 0 有 那么 恕鸟圳一 ( 2 4 1 ) c 。= l i 1 0 9 i ( o 一( 1 1 ) j o g t ( 2 4 2 ) c o 一【l o g y ( t ) 一( 7 1 ) l o g t r v ( p ) ( 2 - 4 3 ) 墨恶。1 n ( t ) 2 e 。 1 2 ( 2 2 ) 驾x 7 + p - i = ：，掣z 1 - i t - l o 萨( o w 注意到：当z 0 ，p 0 ，a ( ) _ 0 时，石墨笔丽一1 _ + 0 故 黑一1 。a ( t ) t _ 1 d ( t ) 一” 又因为对足够小的z 有l o g ( t + z ) 一士，所以我们有下面的结果 挚一+ 矿 ： l o g f ( t m ) - ( 7 - 1 ) l _ o i g 。+ i o g t - - l o g a ( $ ) _ 十z p1 a f t l 。“ ，! ! ! 韭! l ! ! ! 型：二垃二! ! ! ! ! 兰_ 三竺1 p a ( t )p 。 1 0 9 f ( t z ) 一( 7 1 ) l o g t x 一【l o g f ( t ) 一( ，y 一1 ) l o g t 】。z 9 1 pap 根据性质2 3 ，如果 地型二：型+ 兰竺 c a r t lp 那么，当p 0 时有c o = l i r a f - + 。fc t ) 存在。且( c o 一，( t ) ) r v ( p ) 相应在本命题 中就有c o = l i m t - + o o 1 0 9 f ( t ) 一( ，y 一1 ) l o g t 存在， c 0 一【l o g ，( t ) 一h 一1 ) l o g t r v ( p ) 这样( 2 4 1 ) ，( 2 4 2 ) 得证，再有粤- + e c o 证得( 2 4 3 ) 式 性质2 5 如果，满足( 2 1 ) 式则有 t l - t f ( ) g r ( o ，t 1 - 1 ，( t ) l a i ) ，p = 0 f f ( t ) 一c 一1 r v ( 7 + p 1 ) ，p 0 其中，当p 0 时，c ：= l i m - + 。t 1 - 1 ，( t ) 证明：p = 0 时，由( 2 1 ) 知， 等：丛并a i r a ( t ) t - 1 一+ 。 t - 1 a ( ) 1 一jl j 一 。“ a ( t )n ( t ) 1 3 厂( b )，一l 塑x 7 - | 1 0 9 z a f n 一 号掣群w 1 邺 辛掣辩刊o g 一。 ： _ = _ 了：= - + l 辛掣器铲吨z ：亭_ = 二_ - - 二二+ j o 匹z 辛蝼等黼产扎g z p 0 ，当t t o 时，有 ：也! 一t r - - 1 l 巫等币 一巧刷l e m 缸一”，一6 ) ( 2 5 ) 且当7 0 时， 号雨上一刷i m a x 州，z 1 妒6 ) ( 2 6 ) 当7 0 时，( o 。) ：= l i m c ，。，( t ) ，且 垃三! = ! f 竺l ! ：! ! ：唑一三二 j 赫一一酬z ) l e m a x x 7 + p + 6 , 一一卜( 2 7 ) 证明t 当p = 0 时，由性质2 2 知 。删_ _ x 7 - i 劬蚓：l 孳茅一s z ：。，一t i 攀一l 。g 。i ：。，一 = z 1 1 i 茅一1 0 9 z = z 一1 2z 1 1 t - 一，心) t ；而) 旷，俐一 譬蒜害产乩s z小( t ) t 1 - 1 ，( ) ” 一l o g z l ：扩- l 盟兰氅娑业_ l o g 茹 t - 1 ，( t ) 一一1 em a x x ，一，= m a x x 一1 1 ”，z 1 - l - & 当p 0 时，根据( 2 5 ) 式 出生= 丑- 一生4 i ( 0 - t a一一玛p ( ) l t ，ii y p “，l ，：j 堂鹫坐一。址。 a 吖幻1 7 ，p ” 一。f 黜一z 7 。1 慨 a ( t ) a ( t ) 1 5 ，。e 加) 慨 j 1 茎，x l 等趟 y - 1 一磁一训恤。 如上。叫。7 + p - l + 5z + p - - l - 6 出l e - m a x z r 。“出。，z 7 妒1 。6 d x 。) j 1 j i 邓“ 青岛( 埘t1 ) ，再b ( 一l 1 ) ) se m a x 扛7 + p + 6 ，z 7 + 一6 当7 0 时。根据( 2 5 ) 式 f 型a 而t 广工一，p ( z ) - i ( 1 儿7 ，p 、山j 2j 祭一，知) ：l 一( 三；l ? & 宅；辫一厂”e p ，( x 一1 ) a x 2 ) 、 4 吖， 儿7 ， = i c o 她擎7 - - 1 一z ”蟛，p ( x z ) d x z l i 不可丁一止k ， = f z ”等以肛。i 上鲎州- t ) z l - 。一z t ) l d x - ， l m “ z 7 + p - - l + 6 ，2 ：1 7 + p - - 1 - - 6 ) 出1 jz s tm a x z 7 仲“舢出，却。“出，) j - 。 1 m 缸再而( 卅埘4 ) ，再。b ( 掣协4 ) ) 】6 第三章引理及其证明 我们取n 。= o ( n ) ，a 。= a 。( n ) 这里的a ，a 由( 23 ) ，( 2 4 ) 中所给出在 本节的分析中，令，= v = ( j 击) 。 1 0 ( 7 + p ) 一1 0 。a 。，一y 0 ，p 0 7 - 2 n n a n ，7 0 ，p = 0 p n ，( z ) = v ( n 百x ) - 一b n 一下x 1 - - 1 比矿 矗。( z ) = _ n v - ( n x ) 一矿一1 比计 i ，p ( z ) + 南，y 0 ，p n o 证明t 当，y 0 ，p 0 ，整数礼o 0 ，使得n n 0 时，a ：c n 印当n - o 。时， 礼a 。兰一n ( 2 p 一1 ) l o g n + l o g e 一1 - + o o 对充分大的n ，n n o ，即n ，n z n o 由引理3 1 知，对6 ( 0 ，1 1 ，有 s u pz 一( 2 + 1 ) e x p ( 一。一1 ) l a ：1 p n ，1 ( 。) 一日；p ( z ) 1 n n s i 三风 es u p2 ；- ( 竹) e x p ( 一z 一1 ) m a x ，却”，矿+ p 一5 = es u pe x p ( 一z 一1 ) m a x x - k + p ”，z 一2 + p 一5 ) 由于 一 s u pe x p ( - x 一1 ) m a x x 一+ p + 5 ，x - k + p 一5 ) 0 0 即得( 3 2 1 ) 成立下面证明( 3 2 2 ) “s u 。p 凡a - 1 x - 2 v - k p 2 ( z ) =supa 。z - 2 7 “( 冉1 p n ，1 ( z ) ) 2 = 挚a z _ 2 7 “【( 靠1 p n 。( z ) 一q ，( z ) ) + 马。，( z ) 】2 d ! z s 2 s u p a 。z 一2 1 一( a 二1 p n ，7 ( z ) 一马p ) ) 2 + 2 s u pa 。正一2 一l q ，p ( $ ) 1 2 4 o s 卢n口n ! o s 如 = ：2 + 2 厶 = a 。s u px - - 2 l - - k ( a ：1 p n 。1 ( ) 一q ，p ( 功) 2 q n s 2 s h a ns u pm a x z 2 沪 七+ 6 ) ，z 2 ( p 一扣毋一1 ) n n 9 s 风 = a 。s u pm a x x 2 ( p 一 + 6 一 ) ，矿( p 一 一5 一 l 口n 虫! 风 ! a 。m a x a ：村，( 一l o g 一1a ：) 2 ( p 一一6 叶0 易证 1 2 = a 。s u pz 一砷“i 以，p ( 圳2 一0 o n ! f 蔓风 故( 3 2 2 ) 成立下面证明( 3 2 3 ) ，在证之前先证明下式， l i m s u p 靠1 z - 2 7 “( 矗1 ( z ) ) 2 = 0 ( 3 1 ) ”- - + o oz e 恤。，风1 由于 s u p 钙1 z 。2 7 “( 矗1 ( 。) ) 2 z e a 如1 =supa 。z 一研一( a ：1 以，( z ) ) 2 = 【d n 风1 = s u p a 。z 一计一( a ：1 p - 。0 ) 一一，p 忙) + 日；，p 0 ) ) 2 2 a 。s u p 2 - 2 7 一( a ：1 疋，t ( z ) 一磁p 扛) ) 2 + 2 a 。s ，u p 。，z 一研一( q ，p 扛) ) 2 z e l a n ，卢n 1 z e i 口n ，卢nj = ：2 厶+ 2 4 取6 ( 0 ，1 4 ) ，有 b = a 。s u px - 2 3 , - k i a ；1 破。1 ( z ) 一峨，p ( z ) 1 2 ：t e a n ，风】 a 。s u pm a x x 2 ( p 一半) ”，x 2 ( p 一半) 一6 ) 【o ”，以】 sa 。m a x a ：”，( 一l o g 一1a ：) 2 ( p 一半一6 ) + o 易证当7 1 _ o o 时， 1 4 = a 。s u p x - 2 7 - k ( 日；，p ( z ) ) 2 - - + 0 z e a n n 】 再由引理3 2 知 1 i m u p a _ 1 z 一2 7 一2 ( z ) = 0 “- 9 0 04 陋。一。】 结合( 3 1 ) 式得知下式成立 s u pa ：2 一钾砘p 1 2 “( z ) h ( z ) ) 2 一+ 0 z e a n 风1 即 s u p 【辑1 z - 2 p ( z ) 以 ( z ) 】2 - 0 ( 3 2 ) z e a n ，风】 1 口 由( 3 2 ) 式易知 j j m s u p 靠1 z 曲“1 ( z ) 磊，1 ( z ) = 0 “- - 0 0 x e a 。，口n 1 1 。 根据引理3 2 的( 3 2 2 ) 式有 。；罂巳a “”4 p 。4 ，( $ ) 斗o z 【口。口。l “、7 。 辛5 1 1 p 斯9 z 嘶一3 p n 3 h ( z ) _ 0 z ( 口n 以l 易知( 3 2 4 ) 成立 下面给出一些记号 ( z ) = g o ( 7 1l o g 1 + ，y n ：1 ( 。( r 潍) 一6 。) ) ) 一g o ( 1 0 9 x ) ，v 嚣r + j ( 。) = z - ( 1 + ) g o ( 1 0 9 z ) h ，p ( z ) ，v 。r + m ) ：2 鲤坤) ，m ) ：= ：鸳s c t ) 易知 厶b ) = g o ( 1 0 9 z + 口n ( z ) ) 一g o ( 1 0 9 z ) = q n c oc l o g x + o q 。( z ) ) 这里口是0 口1 的常数， q n 。7 1 | o g 1 + ，y d ：1 ( ( n z ) 一6 。) ) 一l o g x = 7 - 1 ( z o g ( 1 + 7 a ；1 ( v c n = ) 一“) 一l o g 1 + ，y ，y “( ，一1 ) ) = p n ，( z ) 陋7 + o o t p n ，( z ) 】- 1 = x - t p , 1 ( z ) 【1 + 0 0 7 x l p n ，7 ( 圳 如是0 0 0 1 的常数 引理3 3 如果，= v 满足( 2 1 ) ，则有 撬。品埘厶( z ) 一j ( z ) i = o ( 3 3 ) j i m s u pl a ：1 以( z ) 一j ，( 。) i = 0 ( 3 4 ) ”- - x f ：o # 【a n ，以l ”。、。 证明； v 满足( 2 1 ) 式，则有引理3 2 的( 3 2 1 ) ，( 3 2 2 ) 式成立，在( 3 2 1 ) 中令= 1 就是文献【4 】中的( 2 2 ) 式，( 3 2 2 ) 式中令k = 0 就是文献【4 】中的 ( 2 1 ) 式。同文献 4 1 中类似的证明，可以证明( 3 3 ) 成立 而 令 下面主要证明( 3 4 ) 式 s u pi 4 二1 疋( z ) 一j ( z ) l z j a n 如1 = s u pl a 二1 吐 ) g ：( 1 0 9 z + o q 。( z ) ) + q ( z ) g ：( 1 0 9 z + o q 。( z ) ) 扛一1 + 口吐( z ) ) 】一j ( z ) z 【o n ，卢n 】 = s u pl a t , 1 靠扛) g ：( 1 0 9 9 + 口口n 扛) ) 卅：1 q n ( x ) g ( 1 0 9 z + 日鼽扛) ) 扛- 1 十口以( z ) ) 一j 扛) 2 f o n ，芦n j = s u p l a 二1 疋 b ) b 1 + o o t p 。，扛) l _ 1 g ：( i o g x + 口 ) ) z e 【o n ，“j + a ：1 一 t 扛) 【。7 + o o t p 7 扛) 】一2 ( 7 z 一1 + 碱一扛) ) g ；( 1 0 9 z + 口口。0 ) ) ) + a 9 1 p 。h ( z ) 【z 1 + 0 0 t p n ，( z ) 】_ 一1 g 髻( 1 0 9 x + 口口。( z ) ) ( z 一1 + 口醇( z ) ) ) 一j ( 茹) i = s u p i 靠1 能 ( z ) 【一十o o t p 1 ( z ) 】“a ：( 1 0 9 x + ( z ) ) ) e 【a ，芦n j + a ：1 ( 一m 1 扛) b 1 + 1 肌n 扛) 1 - 2 h z “+ o o t p ，( x ) ) g ；( 1 0 9 x4 - 口扛) ) ) + ：1 p 。h ( 功f z l + o o t p n ，扛) 】一1 g g ( 1 0 9 x 十口q 。扛) ) ( z 一1 + 口吐( z ) ) ) 一磁，p ( z ) z 1 g ；( 1 0 9 z ) + 7 珥，p ( z ) z 1 。g ：( 1 0 9 x ) + 日p ( z ) z - 7 - - 1 雠( 1 0 9 x ) i s 。器。 p l ”( z ) 。1 再丽诵1 ) g r o ( 1 0 9 x + o q ( z ) ) 卜晖，( z ) z 1 g 舢g 。) l + 州s 训u p 旧n ( z ) z 呐耳丽丢雨) 2 【矽。+ 0 0 碱一( z ) ) g ；( 1 0 9 刚( 堋) 一，y 日，p ( z ) z 一1 1 g ；( 1 0 9 z ) i + s u pi 4 二1 陬1 扛) 陋7 + o o t p 。h 扛) 】_ 1 础( 1 0 9 z + o q n ( x ) ) ( x _ 1 + 如吐( z ) ) ) z 陋n 月n 】 一h r p ( z ) 。1 - 1 a g ( 1 0 9 x ) l = ：a + b + c 我们有 从蚓s 。u p 川i a ；1 ( 咖1 ( 而杀与丽) g o ( 1 0 9