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山东师范大学硕士学位论文 s i n c 相关随机表面光散射特性及其 标定的计算模拟研究 摘要 在自然界中粗糙表面随处可见，小到纸片大到山川丘陵，在现代精密仪器 中也是必不可少的组成部分，所以人们长期以来很关注对粗糙随机表面的研究。 目前研究随机表面的方法分为接触法和非接触法。接触法一般是利用精密仪器 来测量随机表面结构，非接触法一般是利用光学方法来研究随机表面。在非接 触法中，光散射法是被广泛采用的，相关的实验和理论研究已经证明散斑光强 与表面自相关函数特性有明显的关系，可以从散射光强轮廓中提取随机表面参 量，从而对表面结构性质进行深入研究。 最近有文献通过实验发现在随机表面散射轮廓中出现了环状亮斑的现象， 而这种现象利用普通表面模型是无法解释的，对此有人猜想散射轮廓中的亮环 是由于随机表面高度自相关函数的振荡引起的。本文提出了一种新型随机表面 模型，这种表面模型的高度自相关函数用数学上的s i n c 函数来表示，它具有明 显的振荡特性，可以定义为s 硫相关随机表面。本文提出了在一维情况下数值 模拟s i n c 相关随机表面样本及其光散射轮廓的方法。通过对随机表面光散射的 数值模拟，得出了部分不同入射角下的光散射轮廓，并对散射粗糙因子比较大 和比较小两种极限情况下散射轮廓的表达式进行了理论推导，进而证明了随机 表面高度自相关函数的振荡不会引起散射亮环。此外，本文还提出了从s 妇相 关随机表面的散射轮廓中提取表面参量的方法，全文共分五章。 第一章对随机表面的描述与测量标定方法、光散射的基本原理和随机表面 参量的提取进行了综述。 笫二章主要介绍了自仿射分形随机表面及其光散射特性。利用自仿射分形 随机表面自相关函数，模拟产生了随机表面样本及其光散射轮廓。 山东师范大学硕士学位论文 第三章首次提出s i n c 相关随机表面模型，模拟产生了一维情况下s i n c 相关 随机表面样本，应用光散射的基尔霍夫理论推导出此类新型随机表面的散射轮 廓在散射粗糙因子q = 足；w 2 很小和很大时近似表达式。采用计算模拟随机表面 光散射轮廓的方法，产生了s i n c 相关随机表面部分不同入射角下的散射轮廓， 发现模拟结果和理论近似吻合的很好。在入射角比较大和比较小的两种极限情 况下，散射轮廓都表现出与表面自相关函数明显不同的特性，从而证明了表面 高度自相关s i n c 函数的次极大不会引起散射亮环。 第四章提出在s i n c 相关随机表面的散射轮廓中测量表面粗糙度w 和横向相 关长度f 的方法。 第五章总结了本论文的主要内容。 关键词：随机表面，s i n c 函数，光散射 分类号：0 4 3 8 n 山东师范大学硕士学位论文 t h es i h m l a t i o n a ls m d i e so nt h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs i n cc o r r e l a t i o n r a n d o ms u r f a c e sa n dl i g h ts c a t t e r i n ga n dt h e m e a s u r e m e n to fr a n d o ms u i f a c e s a b s t r a c t r a l l d o ms u r f ：如e so 丘e nc a nb ef o u n d 靠o ms m a l lo b j e c t s 笛p 印e rs l i pt 0l a r g e 0 _ b je c t s 弱m o u n t a i n si n 也en a t u r e ，a n di t a l s 0n e c e s s a r i l ym a ：k e su po fm o d 锄 p r c c i s i o ni n s t 】锄e n t s s om 勰yp e o p l eh a v ep a y e da t t 训o nt 0s t u d 姐n ga b o u t r a n d o ms l l r f 犯e sf o ra1 0 n gt 油e a tp r e s e n t ，c o m a c t 锄dn o n c o n t a l c tm e 血o d sa r eu s e d t 0s t u d yr 卸 一2 w 2 【1 一r ( p ) 】( 1 9 ) 圈l 。4 给出了图l 。2 中两个表亟样本的高度赢度相关瞒数。 4 山采师范大学硕士学使论文 o 1 5 o 1 0 0 0 5 o o o 遗奄5 0 1 5 0 1 0 o 0 5 o o o 0 5 0 厂 ：v o1 0 p 2 0 o 。l n o l 1 黏3 o 1 n 0 1 l 董3 1 ( a ) 矿 ? t j j p 图1 3 图1 2 所示袭面样本的自相关函数图1 4 图1 2 所示表面样本的高度高度相关函数 1 5 1 o o - 5 o o o 5 1 o l 。5 1 5 1 o o 5 覆o - 氇5 - 1 o 1 5 小m 朋 户 ；i 价 - 1 0 0一5 0 o 5 01 0 0 ， 圈l 。5 具有褶同的w 帮善的两个不圊的表面样零 图1 5 给出了均方偏差粗糙度w 和横向相关长度掌相同的具有高斯高度分 山东师范火学硕士学位论文 布的两个表面样本，但是表面的自相关函数尺。( p ) 的形式不同，表面( a ) 的尺。( p ) 是高斯相关的( 口= 1 0 ) ，而表面( b ) 的r 。( p ) 则是指数相关的( 口= o 5 ) 。所以仅有 均方偏差粗糙度w 和横向相关长度孝还不能完全描述表面的形貌，还需要引进 另一个表面参数，即分形指数口，它与表面的h o r s d o r f f 维数d ，的关系为 口= d d ，d 为表面所嵌入空间的维数，上述三个表面参量可以很好的描述随 机表面的形貌。由图1 5 我们可以看出凹( = 1 0 ) 大的表面局域比较平滑，而 口( = 0 5 ) 小的表面局域比较粗糙。从表面高度自相关的角度来区分随机表面可分 为高斯相关的，p 指数相关6 1 的，洛仑兹相关7 3 的和幂律相关8 1 的。为了简 单起见通常人们在数学处理上把表面看作是高斯相关的表面，但实际上高斯相 关所确定的是一种局域结构比较光滑的颗粒状表面。从七十年代开始， m a n d e l b r o t 9 j 提出分形的概念之后，人们认识到自然界中很多表面都是局域非 光滑的，并在一定的局域范围内具有自相似性，即分形结构，并且提出了幂律 相关函数，w e i e r s t r a s s m a n d e l b r o t 随机函数等来描述这种自相似分形结构。实 验表明表面的这种自相似结构对于许多实际表面来说是局限在短程范围之内 的。自仿射分形表面模型是对这些表面的最精确描述，它同时描述了在长程内 的颗粒状结构和短程内的自相似结构，因此自仿射分形表面模型能够更严格地 来描述实际存在的表面。 t i 门n 40 3 o “ 涮 1 6 高斯相关随机表面的a f m 图像 1 7 随机散射屏的a f 图像 图1 6 给出了用浮雕型散斑图制作的一幅具有高斯相关的随机表面的a f m 图像，可以看出这种表面在短程内比较光滑，长程内颗粒状明显，但实际中具 有这种特征的天然散射体是很少见的。图1 7 给出了用氧化铝粉末研磨玻璃片基 山东师范大学硕士学位论文 得到的随机散射屏的表面a f m 图像，与图1 6 给出的高斯表面相比，这种表面 除了有长程的颗粒状外，在短程范围内有明显的自相似结构。虽然表面的分形 结构在数学上可以有多种描述方法，但自仿射分形表面模型可以同时描述表面 的颗粒和自相似结构，是近年来被广泛采用的表面模型【l 捌。该模型的自相关 和高度一高度相关函数可分别用下面的唯象函数来表示： 尺 ( p ) = w 2 e x p 【( - p 俘) 2 a 】 ( 1 1 0 ) 日( p ) = 2 w 2 l - e x p ( p 铲】 ( 1 1 1 ) 其中口为表面的分形指数，它与表面的分形维数d ，之间的关系为口= d d ， d 为表面所嵌入空间的维数，且0 口1 。在相关距离p 孝的短程范围内， 自仿射分形随机表面的高度分布函数矗( ，o ) 在统计上满足下面的自仿射变换： ( x o ，y o ) = s 一2 口 ( 窃o ，砂o ) ( 1 1 2 ) 即如果某一坐标收缩1 占，则平均说来其高度差别变化g - 2 口。这一变化关系对应 于随机表面的高度一高度相关函数在短程范围内按幂率函数变化： 日( 户) “p 2 口 p 嚣2 c w 2 一r ( ，+ 矿) 】。 则s i n c 相关随机表面的高度。高度相关函数为： 日( p ) = 2 【w 2 w 2s i n ( 7 矽孝) 必巧伊孝) 】 1 3 随视表面的标定与测量 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 随机表面参数和统计函数的实验测量与标定是确定具体随机表面样品特性 的根本方法。随机表面的实验测量方法可以分为接触扫描法如轮廓术、原子力 显微镜、扫描隧道显微镜、近场光学显微镜等和非接触法如光学椭偏术、教斑 法、光散射法、x 射线衍射法、高能和低能电子衍射法等。接触法是基于扫描探 针技术发展起来的方法。当探针扫过随机表面时，扫描探针随表面的高度变化 而上下移动，从而由表面高度数据获得表面的真实像。一般说来，接触法扫描 成像范围较小，取样平均的代表性差，并且成本比较高。表蔺测量的非接触光 学方法如散射法、散斑法等具有设备简单，取样范围大，测量快捷方便，适用 于恶劣环境下的测量等优点，因丽成为随机表面测量中被广泛采用的方法。 1 3 1 接触法测量随机表面 扫描隧道显微镜( s t m ) 是二十世纪八十年代初期出现的一种新型表面分析 工具，其基本原理是基于量子力学的隧道效应和三维扫描。它是用一个极细的 尖针，针尖头部为单个原予去接近样品表面，当针尖和样品表面靠得很近，即 小于l 纳米时，针尖头部的原子和样品表面原子的电子云发生重叠。此时若在 针尖和样品之间加上一个偏压，电子便会穿过针尖和样品之间的势垒而形成纳 安级l o a 的隧道电流。通过控制针尖与样品表面闻距的恒定，并使针尖沿表面 进行精确的三维移动，就可将表面形貌和表面电子态等有关表面信息记录下来。 扫摇隧道显微镜可直接探测样品的表面结构，可绘嵩立体三维结构图像。 在s t m 出现以后，又陆续发展了一系列工作原理相似的新型显微技术， 包括原子力显微镜( a f m ) 、横向力显徽镜( l f m ) 、扫描力显微镜( s f m ) 等， 这类基于探针对被测样品进行扫描成像的显微镜统称为扫描探针显微镜 ( s p m ) 。原子力显微镜( 椭) 与扫攒隧道显微镜( s t m ) 最大的差别在于并 8 山东师范大学硕士学能论文 非利用电子隧道效应，菰是利用原予之闻的范德华力( p 封w 雒l s 翔瞄e ) 作 用来里现样品的表面特性，因此不要求测试样品具有良好的导电性。它可用来 研究包括绝缘体在内的固体材料表面结构的分析仪器。它通过检测待测样品表 面和一个微型力敏感元件之闯的极微弱的原子闻相互作用力来研究物质豹表面 结构及性质。利用针尖与样品表面原子间的微弱作用力来作为反馈信号，维持 针尖和样品间作用力恒定，同时针尖在样品表面扫描，从而得知样品表面的高 低起伏。 电子显微镜也是人们研究表面结构的有力工具。电予显微镜与光学显微镜 的成像原理基本一样，所不同的是前者用电予束作光源，用电磁场作透镜。另 外，毒手电子束的穿透力缀弱，因此用于电镜的标本须制成厚度约5 隗怒左右 的超薄切片。电予显微镜是使用电子来展示物件的内部或表面的显微镜。高速 的电子的波长比可见光的波长短( 波粒二象性) ，而显微镜的分辨率受其使用的 波长的限制，因此电子显微镜的分辨率( 约0 重纳米) 远高于光学显微镜的分 辨率( 约2 0 0 纳米) 。 董。3 。2 麓# 接触法测量随机表瑟 光散射法作为标定随机表面的有效方法，在随机表面的标定中受到极大的 重视并被深入研究【1 2 3 1 2 5 1 ，它是采用最为广泛和研究最为活跃的光学方法。光 散射测量的优点在予其测量装置比较简单、成本低廉，并置可进行实孵在线测 量监控等。通常情况下，对随机粗糙表面的光散射研究有透射和反射两种。 我们着重介绍下随机表面光散射的反射情况，如图1 8 。假设入射波矢量 为、波长为五的光波照明随机表面磊( 气，波矢量为露的散射光波为： u ( 露) = 舾【_ 溉磊( ，o ) 脚“露l | ，o ) d 2 ，o( 1 1 7 ) 9 山东师范大学硕士学位论文 o 1 8 随机表面光散射的反射不意图 其中露= 后，一，后，为散射波矢量，露上和庸1 1 分别为詹的垂直和平行分量，并且 有h = 2 万c o s 口( 1 + c o s ) 旯4 7 r c o s 9 允，氐= 2 万s i n 允，这里目为入射角， 为散射光波的方向与镜面反射方向之间的夹角。根据光散射的基尔霍夫理论可 知散射光强的轮廓函数为【1 2 6 】： 哩 ，( 后) = = i 唧 - 七i 日( p ) 2 】e x p ( 一f 詹 p ) d 2 p ( 1 1 8 ) 一 对于高度一高度相关由( 2 2 ) 式和( 2 1 ) 式决定的自仿射分形表面来说， 经过随机表面散射后，随机光场的平均强度是一个随空间位置缓慢变化的函数， 该函数通常称为散射光强轮廓。从本质上来说，该轮廓函数是随机表面统计结 构的倒空间再现，随机表面的微观结构对光波的衍射正是实现这一倒空间再现 的过程。因此对散射光强轮廓的理论研究和实验测量是光散射法标定随机表面 的核心问题。从散射光强轮廓中不仅可以获得随机表面的参数如粗糙度、横向 相关长度和粗糙度指数等，还可以获得随机表面的功率谱和高度概率函数等统 计函数。目前，从散射轮廓中提取表面统计信息的研究仍然是光散射研究中人 们所感兴趣的热点课题。由( 1 1 8 ) 式可以看出散射轮廓与随机表面的表面参 量有密切的联系，通过研究散射轮廓的特性我们可以对随机表面的表面参量进 行表征和测量。对于自仿射分形随机表面来说，( 1 1 8 ) 式中的轮廓函数，( 后) 的 严格解析解是无法给出的，一般只能采取近似的方法，在本论文的第二章给出 1 0 山东师范大学硕士学位论文 了详细的讨论。 散斑法是随机表面测量和实验标定的重要方法。由于散斑场几乎存在于与 波动传播有关的许多实际物理系统中，散斑场在物理测量和探测中的应用一童 是倍受关注的问题，如散斑法己成为表面微位移测量及应变应力分析中的重要 方法之，并已发展成为散斑应力应变分析的一门学科。它是剩用散斑场的某 些统计参量与随机表面参量的依赖关系，通过对散斑场统计量的测爨而提取表 面参量的。这一方法多年来的活跃的研究与发展，是由散斑场特性研究的自身 需要和对表面测量的实际要求共同决定的。利用散斑场的不同特性和不同的光 学系统，人们提出了多种不同的表面参量测量的散斑方法，其中通常用的且被 人们熟知的方法有散斑场照明法f 1 2 7 】【1 2 辨、散斑相关法【让9 】【1 3 0 】和散斑对比度法等 【i 3 l 】【1 3 2 1 。 1 4 表面参量的提取 目前，人们从理论和实验上获得了对随机表面参量提取的各种方法，我们 羞重来介绍下殛两种。根据光散射理论【1 3 3 1 ，利用多波长激光器的中心亮点可以 测量表面粗糙度f 1 3 4 】。图1 8 为粗糙表面的光散射示意，一平面光波照明位于坐 标面而蜘的粗糙样品s ，其散射区域为么，入射光波矢量为，且露。在而z o 平 面内，入射角为只。根据光散射的基尔霍夫理论，由方位角吼和岛所确定的散 射波矢隽露，相应的位置坐标为，处的远场( 或夫琅和费面上的) 光波为【1 3 鼙： 呻) = 塑粤盟如婺+ 6 婺一o e x p h b 托肼：r ( 1 1 9 ) 4 秽 ：积。 砂o ” 其中+ 礁= 等( 妇兜e 。s 岛一s 运最) 曼。+ 等s 遗幺逝绣多。 丸：三三( c 。s 岛+ c 。s q )( 1 2 0 ) 球= ( 1 r o ) s i n q 十( 1 + r o ) s 遍幺s i n 岛 6 = ( 1 + 氏) s i i l 幺s 洫岛( 1 。2 1 ) c = ( 1 + 震o ) 一( 1 一尺o ) c o s 玩 并且霓一孕，一lr | ，磊为粗糙表睡的高度函数，足。为表面的反射率，叠。、丸 出来灏藏大学硕士学使论文 为单位坐标矢量，冀为光波波长。 在表面的高度函数为随机分布函数的情况下，光波c 厂( ，) 以散斑场的形式呈 随机分布，其分布形式十分复杂。下面我们仅考虑镜面反射方向上的光波u ，( ，) 。 壶图1 8 可知，此时最= 如= 移，岛= o 。根据( 王2 0 ) 式，可有：墨l o ， 后：= 4 硝c o s 锨。 由( 1 1 9 ) 式可得反射方向的光波为： 附) = 掣j ( 口若+ 6 嚣卅e x p 眦a 孙y o ) 】砒池2 2 ) 对表面采用小坡度近似，即忽略表面高度的导数对散射光波的影响，则上式可 简化为： u ，( ，) ：一堕掣f c x p 矗( r 0 ) 】氓 ( 1 2 3 ) 斗7 矿 ： 根据散斑理论f 1 3 6 1 ，上式给出的光波u ，( ，) 包括两部分：一是镜面反射成份乩。， 它是一个均匀背景；二是由散射在反射方向上形成的光波秽它以散斑的形式 存在，并且其均值为o 。因此，u ，( r ) 的均值即为镜面反射成份u 。( ，) ： 以。，) - 掣肛删e 卅州，0 ) 】讹) 饥( 1 2 4 ) 上式中夕辨( 气) 】为表筒高度分布的概率密度瑟数。对于具有高额高度分布的表 面，有： p ( 矗) = e x p 【一| | 1 2 ( 2 w 2 ) 】( 2 刀w )( 1 2 5 ) 其中w 黜 力袭面的方均根粗糙度。将( 差2 5 ) 式代入( 1 。2 式，著进毒亍积分 运算，可得： ：一塑掣哪( 一蠹：矿2 ) 碡刀y ( 1 。2 6 ) 其中名为散射区域的面积，从而可得镜面反射部分的光强为； 厶= 玑。( ，) ( ，) = 厶e x p ( 一危：2 w 2 ) ( 1 2 7 ) 其中矗= 么2 e 2 ( 4 秽) 2 ，在与反射方向垂壹的菜一观察面上，它可看佟常数。为 了能够根据上式给出的镜面反射光强来测量表面粗糙度w ，我们需要计算出反 1 2 山东师范大学硕士学位论文 射方向总的平均光强，。根据( 1 2 3 ) 、( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 式，可得： ，= = ( 杀) 2 纷e x p m m ( ，o ) _ - 删) 驴饥 ( 1 - 2 8 ) 对于许多随机表面样品，其相关特性可用高斯相关函数来描述，即： r 。( ，0 ，o + p ) = e x p 一晖) 2 】 ( 1 2 9 ) 其中孝为表面的横向相关长度，即表面散射颗粒的平均尺寸，经近似计算后可 得： t2 ( 啬) 2 4 e x p ( 越z 2 w 2 ) p x p 也2 w 2e x p 卜( 争2 】 印懈9 ( 1 3 。) 如果波矢后，和粗糙度w 满足如下条件： 七：2 w 2 1 ( 1 3 1 )七，w 2 1 ，鸳2 彳，( 1 3 2 ) 式右端的第二项与 第一项相比可以忽略。因此，在( 1 3 1 ) 式给定的条件下，反射方向的总光强近似 等于镜面反射的光强，即： j r j l o = le ) 【p ( 一七：2 w 2 ) ( 1 3 3 ) 对上式两端取对数，上式可重写为： 1 1 1 ，= h 厶一七；2 w 2 七：2 = ( 4 万c o s b 肌) 2 ( 1 3 4 ) 上式表明，在入射光束以b 角照明粗糙表面样品时，反射方向上光强的对 数随由波长五变化而引起的波矢平方七：2 的增加而线性减小，而线性变化的斜率 为一w 2 。由此可以测量出表面粗糙度。 散斑对比度法是人们最早开展研究和应用最为广泛的表面参量的散斑方 山东师范大学硕士学位论文 法。这归结于散斑对比度在弱散射体的条件下对表面特征敏感的依赖关系。但 是由于弱散射体的散斑对比度与表面参量之间的关系在数学上的复杂性和不明 确性，使得早期的研究中对粗糙度的测量必需采用预定标的方法，即在实验中 首先采用粗糙度已知的随机表面样本对粗糙度和散斑对比度之间的关系进行标 定，也就是说散斑对比度法必须借助于其它的表面测量方法，而不能独立完成 随机表面参量的测量，甚至这样的预定标方法在近期的一些散斑对比度和其它 散斑表面测量方法的研究中仍被采用【3 3 7 】【3 3 8 】【3 3 9 1 。h k a d o n 0 【3 删【3 4 1 】等人曾采用 象面和离焦象面散斑对比度的比值，提出了无需预定标的表面粗糙度测量的对 比度方法，可以独立的测量随机表面的粗糙度w ，但随机表面的横向相关长度f 的无预定标测量仍是散斑对比度和其它散斑方法没有很好的解决的问题。最近 一种可以同时无预定标地测量高斯相关的随机表面粗糙度w 和横向相关长度孝 的散斑对比度方法被提出来【l 4 2 1 ，该方法的实验在4 厂成象系统中进行，测量象 面散斑对比度随滤波孔径的半径的变化。象面散斑对比度在较大滤波孔径时的 饱和值决定了随机表面的粗糙度，而散斑对比度随孔径增大而增大的快慢程度 决定了随机表面的横向相关长度。 象面散斑对比度的平方为：俨= 1 一i 忑瓦f 未而 ( 1 3 5 其中口= 【等( 咒一1 ) w 】2 ( 1 3 6 ) 和6 = 矽( 蟛) ( 1 3 7 ) 如果利用口 1 的条件，( 1 3 5 ) 式可进一步简化为： c 2 = 2 口 1 一一c x p ( r 2 6 2 ) 】 ( 1 3 8 ) 这样，( 1 3 5 ) 或( 1 3 6 ) 式与( 1 3 6 ) 、( 1 3 7 ) 式中的常数口和6 给出了象面散斑 对比度与滤波孔r 和高斯相关的随机表面的粗糙度w 和横向相关长度f 之间 的关系，从而可以测量粗糙度和横向相关长度。 1 5 本论文的研究内容 首先对随机表面和标定测量方法进行了综述，详细介绍了自仿射分形表面 及其光散射轮廓的特性。本文首次提出了种新型随机表面模型，即s i n c 相关 1 4 山东师范大学硕士学位论文 随机表面。在一维情况下，利用随机表面自相关函数 毛( 户) 端w 2 s i l 矽f ) ( 矽孝) 傅立叶变换为非负数的实数，通过傅立叶变换方法 编写计算机程序，产生s 波相关随机表越随着位置变化的麓度数据，取不同的 随机数，从而得到多个随机表面样本。利用产生的表面高度数据，根据光散射 理论对光场彩 ，由此可以得 到j ( 兢) 在所有意。处的值，即散射光强轮廓。根据光散射的基尔霍夫理论，s i 嫩 相关随机表面的光散射轮廓函数，( 七。) 的严格解析解是无法给出的，通常需要在 一定的近似条件下对其进行进一步的简化。在散射粗糙因子比较小的近似下， 经理论分析得到散射轮廓主要有中心亮点和矩形函数的轮廓形式组成，通过中 心亮点盼强度与入射角之闻的关系，我翻可以提取表面的糨糙度，拳j 用散射轮 廓中矩形宽度与表面横向相关长度的反比关系，可以测量出横向相关长度。在 敖射粗糙因子比较大的近似下，得到高斯丞数形式分布的散射轮癣表达式，根 据光散射轮廓的半宽度，在两个表面参量中已知其中一个的条件下，我们可以 测量另一个表瑟参量。 山东师范大学硕士学位论文 第二章自仿射分形随机表面及光散射轮廓的数值模拟简介 2 。董引言 从七十年代开始，m 翘d e l b r o t 通过海岸线的长度的例子建立了分形几何的 概念【2 - 气并置提嵩了幂律相关螽数，将原来纯数学孛分数维的概念赋予? 真正 的物理内容，人们认识到自然界中很多表面都是局域非光滑的，并在一定的局 域范围内具有自相似性，即分形结构，用自仿射分形结构来表征随机粗糙表面 就成为种能够较为精确地描述方法，荠且成为被广泛接受和采用的表面模型， 诸如从材料生长表面【2 2 1 【2 3 1