（计算数学专业论文）带形状参数的αb样条插值曲线及曲面.pdf

带形状参数的a b 样条插值曲线及曲面 摘要 本文一共包含五章内容。 第一章简单介绍本文的研究背景以及主要研究内容。第二章介绍b 样条曲 线的定义、性质。第三章介绍b 样条曲线的扩展。首先韩旭里提出的单参数均 匀b 样条曲线的构造及其性质；其次介绍张莉与邬弘毅构造的多参数均匀b 样 条曲线及其性质；最后介绍l o e 提出的口b 样条：线性奇异混合b 样条曲线。 第四章介绍潘永娟，王国瑾构造的d b 样条插值曲线及其性质。 第五章介绍口b 样条插值曲线的扩展。通过引入新的形状参数，构造了几 种带形状参数的口b 样条插值曲线，并指出这些曲线整体能达到c 2 或c 3 连续， 且展示了形状参数对曲线形状的整体或局部调控作用。本章最后还给出了口b 样条插值曲线在曲面e 的推广。 关键词：形状参数：b 样条曲线；奇异混合函数i 口b 样条；整体或局部调控 1 7 - bs p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e sa n ds u r f a c ew i t hs h a p ep a r a m e t e r s a b s t r a e t t h et h e s i si sc o m p o s e do ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r t h ea u t h o rb r i e f l yi n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n dt h em a i n c o n t e n to ft h i st h e s i st h es e c o n dc h a p t e ri sf o c u s e do nt h eb s p l i n ec u r v e s d e f i n i t i o na n dp r o p e r t i e s t h et h i r dc h a p t e ri n t r o d u c e st h ee x t e n s i o no fb - s p l i n e c u r v e a tf i r s t t h ea u t h o ri n t r o d u c e su n i f o r mb - s p l i n ec u r v ew i t ho n es h a p e p a r a m e t e rp r e s e n t e db yh a r tx u l i ；a n dt h e n ，t h eu n i f o r mb - s p l i n e c u r v ew i t h m u l t i p l es h a p ep a r a m e t e r sa n d i t sp r o p e r t i e s ，w h i c hi sc o n s t r u c t e db yz h a n gl ia n d w uh o n g y i ，u r ep r e s e n t e d ；a tl a s t ，t h ea bs p l i n e ：l i n e a rs i n g u l a rb l e n d i n g b - s p l i n ec u r v ep r e s e n t e db ykf l o ei si n t r o d u c e d t h ef o u r t hc h a p t e ri n t r o d u c e s t h e 口- b s p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v ea n di t sp r o p e r t i e s ，w h i c hi sp r e s e n t e db yp a n y o n g j u a na n dw a n gg u o j i n i nt h el a s t c h a p t e r ，t h e a u t h o r p r e s e n t s t h ee x t e n s i o no f 1 7 - b s p l i n e i n t e r p o l a t i o nc u r v e s e v e r a l 口- bs p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v e sw i t hm u l t i p l es h a p e p a r a m e t e r sa r ec o n s t r u c t e db yi n t r o d u c i n gn e ws h a p ep a r a m e t e r s t h e nc 2o rc c o n t i n u i t yo ft h e s ec u r v e sa r ep r e s e n t e d ，a n dt h et o t a lo r1 0 c a lm o d i f i c a t i o no ft h e s e c u r v e s s h a p e si si l l u s t r a t e d i nt h ee n do ft h i sc h a p t e r ，t h ea u t h o rp o i n t so u tt h a tt h e 口- bs p l i n ei n t e r p o l a t i o nc u r v ec a nb ee x t e n d e dt os u r f a c e k e yw o r d s ：s h a p ep a r a m e t e r ；b - s p l i n ec u r v e ；s i n g u l a rb l e n d i n gf u n c t i o n ；a - b s p l i n e ；t o t a lo rl o c a lm o d i f i c a t i o n 图2 1 图2 2 图2 3 图2 4 图3 一i 图3 2 图3 3 图34 图3 - 5 图4 1 图5 1 图5 - 2 图53 图5 - 4 图5 - 5 图5 - 6 图5 - 7 图5 - 8 图5 - 9 图5 - 1 0 插图清单 b 样条基函数图形( 左k = 2 ，右k = 3 ) 5 b 样条的局部可调控性( t = 3 ) 6 三次b 样条在只点有重节点的情况 6 二、三次b 样条曲线段 7 带不同参数的单参数b 样条曲线 9 多参数b 样条基函数 1 2 带不同形状参数的多形状参数三次b 一样条曲线段 1 2 四次b 样条曲线与4 5 5 4 次交错b 型样条曲线的比较 1 4 取不同参数值的口一b 样条曲线 1 6 口取不同值时的曲线段( 4 1 8 ) 2 0 式( 5 1 3 ) 构成的插值曲线 2 3 式( 5 2 4 ) 插值曲线段只p + 2 6 式( 5 2 4 ) 构造的封闭插值曲线2 6 式( 5 2 ，4 ) 构造的插值曲线的单调性 2 6 口取不同值时的插值曲线( 5 3 7 ) 2 9 螺线用c 3 连续插值曲线( 5 3 7 ) 作插值2 9 插值曲线虿( “，口) 包含直线段p 只+ ， 3 0 插值曲线互( “，口) 包含尖点只 3 l 五取不同值时的插值曲线段( 5 3 1 3 ) 3 2 奇异混合插值曲面( 左口= o 0 5 ，右a = o 8 ) 3 4 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导f 进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除了文中特别加毗标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表域撰写过的 研究成果，也不包含为获得盘a 巴王些左堂 或其他教百机构的学位或证书而使用过的材 料。与我一同i 一作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的慌明并表示谢 意。 学位论文作者签字：彳毛巧参签字日期多卅莎年歹月；日 f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒胆王：些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权金 8 巴王些占堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文布解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 和争 签字日期：彤年移月；日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名鲫；“诞 签字8 庐占月3 b 电话： 邮编： 致谢 三年的时问稍纵即逝，在台肥工业大学三年的研究生学习生活虽然短暂， 但却会影响着我的一生。 首先，我要衷心地感谢我的导师尊敬的邬弘毅教授。在研究生学习期间， 无论在学习、思想还是生活上，导师都给予了我耐心细致的教导和无微不至 的关怀。在论文的选题、研究及攥写过程中，导师都倾注了大量的心血。导师 诲人不倦的高尚师德、认真严谨的治学态度和谦虚的为人将一直激励着我，鞭 策着我在今后的学习、工作和生活道路上不畏艰难、不断奋进。在此论文完成 之际，谨向我的导师邬弘毅教授致以最诚挚的谢意! 同时感谢在我研究生学习期间给予我悉心关怀和热心帮助的所有老师、同 学和朋友! 我还要感谢我的父母，正是他们的默默付出和全力支持，才使我能够顺利 完成学业，在此表示我由衷的感谢i 最后要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙中给予批评指正! 作者；杜炜 2 0 0 6 年5 月 1 1研究背景 第一章绪论 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) ，主 要研究的是曲线和曲面的表示、逼近、分析和综合等如何在计算机中实现的问 题，它足一门涉及数学与计算机科学的边缘学科。它以数学分支学科中的函数 逼近论、微分几何、代数几何、数值分析等作为理论基础。近五十年来，随着 计算机技术的发展与普及，c a g d 逐渐发展成为一门新兴的学科，其应用范围也 从最初的飞机、船舶、汽车的外形设计进一步扩展到包括建筑设计、生物工程、 医疗诊断、地质研究、军事等各个领域。 曲线和曲面造型是c a g d 的一项重要内容，其核心问题是计算机表示，即 要解决既适合计算机处理，能有效地满足形状表示与几何设计的要求，又便于 形状信息传递和产品数据交换的形状描述。基于这些要求，自由曲线曲面就成 了描述形状信息的主要工具。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样 工艺。2 0 世纪6 0 年代c o o n s 、b 6 z i e r 等大师奠定了其理论基础。1 9 6 4 年， s c h o e n b e r g 首先提出了样条函数的概念l lj 。1 9 6 3 年，美国波音飞机公司的 f e r g u s o n 提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数的方法，引入了三次参数样条。 样条方法在构造整体达到某种参数连续阶的曲线曲面时非常方便，但是它没有 局部形状调整的自由度，其形状难以预测。1 9 7 1 年，法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公 司的b 6 z i e r 提出了一种由控制多边形定义曲线的新方法1 2 j 。只要移动控制顶点 就可以方便地修改曲线的形状，而且形状的变化完全在预料之中。b 6 z i e r 方法 简单易行，又出色地解决了整体形状控制问题，在c a g d 中占有重要的地位，为 c a g d 的进一步发展奠定了坚实的基础。但b 6 z i e r 方法仍存在缺陷与不足，如连 接问题，局部修改问题等。而且当控制多边形的边数较多时，多边形对曲线的 控制力也会减弱。 在1 9 6 3 年f e r g u s o n 研究参数样条的同时，c d e b o o r 和g o r d o n 电在研究 这些曲线。1 9 7 2 年d e b o o r 给出了关于b 样条的一套标准算法j 。1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 将b 样条理论应用于形状描述，并将其与b 6 z i e r 曲线联系起来作 为其有力推广，提出了b 样条方法。b 样条方法也使用了b 特征多边形来控制 b 样条曲线。同b a z i e r 曲线相比较，除了共有的直观性和保凸性等一些优点外， 还具有下列优越之处【4 j ：局部修改只影响邻近的几段曲线，不会牵一而动百； 对特征多边形逼得更近，便于控制；多项式的次数低，计算简单。由于这些优 点，b 样条曲线在外形设计占有非常重要的地位。与控制多边形相联系，1 9 8 0 年分别由b o e h m 和c o h e n 等人提出的节点插入技术是b 样条方法中最重要的 配套技术，其次还有f o r r e s t ( 1 9 7 2 ) 和p r a u t z s c h ( 1 9 8 4 ) 等人提出的升阶技术等。 b 样条曲线是c a g d 的常用工具之一，但由于它是由其控制多边形确定的， 一旦给定了控制点，其形状无法灵活调控。b e t a 样条曲线、g a m m a 样条曲线均 是具有局部形状参数的g 2 三次样条曲线，只有当届= 1 ，反= 0 时，曲线是c 2 连 续的，而且只有适当选择形状参数值才具有较好的端点性质。有理b 样条曲线 通过改变权因子可局部调控曲线的形状。但有理陆线只适用于作局部调控，对 整体调控却较难把握，而且涉及微积分的计算较为复杂。叶正麟【5 1 针对三次b 样条曲线提出一类四阶月次b 样条曲线，利用n 的变化来修改曲线的形状，当 n _ 口。时曲线整体地逼近于控制多边形。 插值曲线也是c a g d 研究的一项重要内容。插值法是一种占老的数学方法， 它来自于生产实践。在计算机广泛使用之后，由于航空、造船、精密机械加工 等实际问题的需要，使插值法在实践或理论上显得更为重要，并得到进一步友 展。其中多项式插值在曲线造型中起着重要的作用。插值方法大致可分为两类： 整体插值与局部插值。整体插值能够较容易地构造满足给定连续阶的插值蓝线。 虽常见的就是c 2 连续的分段三次插值，它可以满足给定的端点条件燃而整体插 值有其局限性：作插值时需要解线性方程组，也= i 、= 便于曲线局部形状的修改或 调控。比如，虽然每段b 样条曲线只受到局部控制点位置的影响，但利用其作 插值得到的插值曲线却是整体的，不能进行局部形状调控。相比较而言，局部 插值方法能够进行局部形状控制，但往往只能达到低阶连续性。如三次多项式 样条作局部插值只能达到c 1 连续，除非加入新结点或引入新参数刁能达到g 2 或c 2 连续。 k f l o e 在b 样条曲线的基础上构造了所谓的口b 样条一一线性奇异混合 b 样条”j 。口一b 样条除了具有b 样条的绝大多数良好性质外，还能通过改变每 个控制点对应的参数口的值来分别调控曲线的形状。本文介绍了潘文娟、王国 瑾及t a ic h i e w - l a n 、w a n gg u o j i n 利用a b 样条构造的一类插值曲线【7 “】。这 类曲线无需解线性方程组即可直接插值给定的一组数据点，而且通过参数口的 变化可以调控其每段曲线的形状，使之具有良好的保单调性及保凸性。但在整 体c 2 连续的条件下，曲线不能作局部修改。而若相邻两段曲线的对应的参数 d ，d 川取不同值时，它们只能达到g 1 连续；对同一曲线段而言，a 的变化也只 能使该曲线段形状整体改变，不能作理想的灵活多样的形状调控。为了更好地 满足实际需求，希望构造整体能达到c 2 或c 3 连续，局部形状又能按照要求灵 活调控的插值曲线。 2 1 2 主要研究内容 本文主要研究一类基于b 样条的插值曲线及其扩展，这类插值曲线避免了 解线性方程组，且通过改变形状参数的值能局部或整体地调控曲线形状。 第二章简要介绍了b 样条曲线的定义、性质。第三章介绍韩旭里、刘圣军 提出一种带形状参数的三次均匀b 样条曲线的扩充【l ，施晓燕、汪国昭给出带 形状参数的六阶均匀b 样条j ，王文涛、汪国昭将这些结果推广到一般的高次 的情况【l “。针对带一个形状参数的单参数b 样条，张莉、邬弘毅构造了多形 状参数均匀b 样条曲线【”】。邬弘毅构造了基于四个控制点的c 3 连续4 - 5 - 5 4 次 交错b 型样条 1 4 1 。k f l o e 利用奇异混合思想构造的口b 样条。第四章介绍 了口一b 样条插值曲线1 7 4 】的定义、性质。 第五章介绍我们在本文中所作的工作。本文对口b 样条插值曲线作了进一 步地推广，构造了几种带有形状参数的插值曲线，这些插值曲线整体能够达到 c 2 或c 3 连续，且它们的形状能够根据需要进行整体或局部调控。最后，还指 出这些插值曲线的构造方法可以完全推广到矩形域上，用来构造张量积曲面。 本文以双三次张量积曲面为例，构造了口b 样条插值曲面。 第二章b 样条曲线 1 9 7 2 年d e b o o r 给出丁关于b 样条的一套标准算法【3 】。1 9 7 4 年g o r d o n 和 r i e s e n f e l d 将b 样条理论应用于形状描述，提出了b 样条方法。b 样条曲线是 多项式曲线，是b a z i e r 曲线的推广，具有许多优良性质。b 样条曲线是计算机 辅助几何设计中常用的造型工具。本章介绍了均匀b 样条曲线的定义、基本性 质、二、三次b 样条曲线的矩阵表示等内容。 2 1b 样条曲线的定义 为简单起见，除特别声明外，本文仅考虑均匀b 样条的情况。 定义2 1 给定 + 1 个控制点p ，r7 = 2 3f = o ，1 ，脚称参数曲线段 女 c i ( ) = 只+ 虬，( “) ( 2 1 1 ) j t o 为k 次( 女+ 1 阶) b 样条曲线的第i 段，这些曲线段的组合称为b 样条曲线。由 控制点p t 组成的多边形只俨j p n 称为特征多边形或控制多边形。其中( ) 足 均匀b 样条基函数： 1i i ， ( ) = 去( 一1 ) 7 c ：+ 。( “+ 一，一，) + o “1 ，( j = o , i ，一，t ) ( 2 1 2 ) 一n 图2 - 1 给出了k = 2 ，3 时的b 样条基函数图形 ”f ，一一7 + 一一 ：0 ：r j l 一：二二：。二1 1 _ 图2 - 1b 样条基函数图形 容易证明b 样条基函数具有如下性质 性质2 1 1 非负性 性质2 1 2 规范性 性质2 1 3 对称性 扩j | _ 一一 ：歪二：二二：?“ ：二二；二： n jk ( u ) 0 ，0 s “1 ( ”) 兰1 ，0 ”玉1 n j ( “) = n k j ， ( 1 一“) ，0 1 4 、， 一 j，。 一 。 百 性质2 1 4 连续性： n j + ( “) 是k - 1 阶连续可微的 性质2 1 5 递推公式： n s , k ( 炉号! + 旦二竽“( 0 s u 1 ) ( 2 1 3 ) r 10 “ 1 其中j 0 卜 0 其它 。 性质2 16 求导公式： ：，i ( “) = n h p l ( “) 一n “1 ( “) 2 2b 样条曲线性质 由b 样条基函数的性质，可以推出b 样条曲线具有下列几何性质： 性质2 2 1局部性质。k 次b 样条曲线段只被相应的t + 1 个顶点所控制，而与 其他顶点无关。当移动一个顶点时，只对其中的k + 1 段曲线有影响，并不对整 条曲线产生影响，如图2 - 2 。 ，i度 s l s | ，- 迄 一in 3 7、， ： j f ， z 1 i ! ! ! 一一 24 6 图2 - 2b 样条的局部性质( ：3 ) 图2 - 3 三次b 样条在丑点有重节点的情况 性质2 2 2凸包性。b 样条曲线的每一段都落在其对应的控制多边形构成的凸 包之中。 性质2 2 3连续性。k 次b 样条曲线相邻两曲线段之间达到k 一1 阶连续性。 性质2 2 4几何不变性。b 样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。 性质2 2 5变差缩减性。就平面b 样条曲线而言，平面内任意一条直线与其 交点的个数不多于该直线与控制多边形交点的个数。 性质2 2 6造型的灵活性。通过适当选择控制顶点的重数，可用b 样条曲线 构造直线、尖点、切线等特殊情况的曲线。图2 3 表示三次b 样条曲线在控制 点只处有二重顶点和三重顶点的情况。 2 3 二、三次b 样条曲线的矩阵表示 t 二次b 样条曲线的矩阵表示 设给定h + 1 个控制点只( f = 0 ，l ，帕 样条益线，其中第，段可用矩阵表示成： 1 2 ( 咖扣2 f 2 1l 则相邻的每三点可构造出一段二次b ， 阻 纠l 主，j 。5 “5 1 3 1 2 ，。”一1 二次b 样条曲线具有如下几何性质： ( 1 ) 端点位置矢量 11 c 啦( 0 ) = ( p 一】+ r ) ，c 啦( 1 ) = 寺( 卫+ 只+ 1 ) ； ( 2 ) 端点切矢量 ：( o ) = 只一只刈e ：( 1 ) = 只+ ，一只；且c j ：( 1 ) = c i 。：( o ) ；上式说明曲线段在 起、终点的一阶导数矢量分别和两条控制边矢量重合，且在节点处一阶导数连 续。 ( 3 ) 二阶导数矢量 q ：( 0 ) = p 一。一2 毋+ 只+ ；即曲线段的二阶导数矢量等于该曲线的两条控制边 矢量曩，一只和只+ 。一只所成的对角线矢量。 2 三次b 样条曲线的矩阵表示 设给定 + 1 个控制点p ( f = 0 ，1 ，”) ，则相邻的每四点可构造出一段三次b 样条曲线，其中第f 段可用矩阵表示成： 1 133 啪，= 护 j 二| 6 ； 【1 41 0 “1 ；i = 1 , 2 ，- ”一2 三次b 样条曲线具有如下几何性质： ( 1 ) 端点位置矢量 c 柚( 0 ) = 只。6 + 4 只6 + 只+ l 6 ，c j ( 1 ) = f 6 + 4 e , “6 + p + 2 6 ；曲线起点位 于p 一只p 。中线p 吖的1 3 处，终点位于只只+ ，c + ：中线只+ 。m 的l 3 处。 ( 2 ) 端点切矢量 q j ( o ) = ( 只+ 。一只一，) 2 ，c b ( 1 ) = ( p + ：一只) 2 ；曲线在起点处的切矢量平行于 a 只一，只只。的边只只其模长为该边长的i 2 ，终点处的切矢量平行于a 只只+ ，只： 的边p + ，p 其模长为该边长的1 2 。显然相邻两段曲线在节点处具有相同的 一阶导数矢量。 6 只气& l 0 0 0 ( 3 ) 端点的二阶导数矢量 3 ( o ) = # 。一2 p + 只。，c 品( 1 ) = 只一2 只+ 。+ 只+ 。；曲线段在端点处的二阶导数 矢量等于相邻两直线边所形成平行四边形的对角线。因为c 是( 1 ) = q 。，( o ) ，所 以三次b 样条曲线在节点处二阶导数连续。 图24 二、三次b 样条曲线段 第三章b 样条曲线的扩展 3 1 单参数均匀b 样条曲线 本节介绍单形状参数b 样条曲线i “1 ”。这种曲线是同次均匀b 样条曲线的 推广。女阶( 1 2 ) 单形状参数均匀b 样条曲线带有一个可调形状参数，并且c “2 连续，因而在控制多边形不变的情况下能生成不同位置的多项式曲线，同时具 有与均匀b 样条曲线相同的结构和几何性质。 】单形状参数均匀b 样条基函数 定义3 1 1 ：设一2 1 ，构造二阶基函数 n o2 0 ， ) = 昙五，2 + ( 1 一五弦 委 ( 2 一r ) 2 + ( 1 一且) ( 2 0 0 r 口二，口? * 1 ，蔽，“0 ：此时曲线在控制点只附近近似于b 样条曲线， 而在只“附近近似于直线。如图3 - 5 ( c ) ，口j = o 9 5 ，a t + 。= o 0 5 。 ( 4 ) 口? 口：，a 0 ，口：“l ：此时曲线在控制点p 附近近似于直线，而在 只“附近近似于b 样条曲线。如图3 - 5 ( d ) ，口j = 0 0 5 ，口二，= o 9 5 。 p 只 。二 ( c ) 小2 二 只一一= 3 只+ l 、：、 p p 。一一p h 图3 - 5 取不同参数值的口，b 样条曲线 6 ( d ) 第四章。- b 样条插值曲线 本章介绍三次口一b 样条插值曲线 7 - 9 ，这类曲线不用解线性方程组就可以 插值一组给定数据点，参数口可以对曲线形状进行调控，并且当它在一定范围 内曲线具有保单调性、整体c 2 连续性等一些良好性质。本章只讨论均匀节点的 情况。 41口b 样条插值曲线的导出 给定型值点列p r2 或r 3 ，i 首先构造三次b 样条曲线： 3 c ， ) = 一( “) p + 川 k - 0 0 , 1 ，n 扣3 ) ，取均匀节点“。= i ( i = 0 , 1 ，n ) ，s “，+ i ，i = 1 ， 一1 ( 4 1 i ) 其中n k , 4 ( “) 为三次b 样条基函数。 记r ( u ) 为奇异多边形，其待定顶点形) 冒将由己知型值点列和插值条件确定， 定义： 厶 ) = ( 1 一s 。啊) ) + j ，( “) k “0 蔓“l ，i = l ，n 一1( 4 1 2 ) 其中s ，( “) 为h i i 】上的奇异混合函数，它可以取 ；( “) = 1 一( 1 一 一“，) 3 ) 3 或 g ( u ) = 1 0 ( u 一) 3 1 5 ( u 一”，) 4 + 6 ( u 一”，) 5( 4 1 3 ) 这里取分段三次函数 s ( “) = ；( “一“，) 3“，s “c j 2 “，+ j 1 ”。 ； ( “一“，) 3 3 ( ( “”，) 一；) 3 ) ；”，+ j 1 “。，s “c j l “，+ ；“。+ 。( 4 1 t 4 ) 】一；( 1 ( “一“，) ) 3j 1 “。+ ；“。_ 4 圪1 一c ( “h 1 ) r 因此式( 4 1 7 ) 极限 为通过两点只，只。的曲线： l i n o l 2 ( “；口) = c ，0 ) + 1 一sr 0 ) 】 只一c ，0 ，) + j ， ) 只“一q 0 ) 原文【1 2 认为极限曲线是三次b 样条曲线c ，( “) 并不j 下确。 ( 3 ) 当0 口 1 ，曲线为位于( 1 ) 、( 2 ) 两种情况之间的插值只，p + ，两点的曲线，而且口 越接近于0 ，曲线的弯曲程度越大。 图4 - 1 表示口分别取0 ，0 3 ，0 7 ，l 时的插值曲线段( 41 8 ) ，为清楚起见，图中未画 出控制多边形。 。一a = o 1 7a ：。3 、| 、 。，0 一一一一、 图4 - 1 口取不同值时的曲线段( 4 1 8 ) 滓 第五章a b 样条插值曲线的推广 口一b 样条插值曲线无需解线性方程组就能直接插值给定的一组数据点，而 且利用参数的变化整体调控其形状。但在c 2 连续的条件下，如果所有的曲线 段都取同个参数0 d 1 ，曲线无法作局部修改。而当相邻两段取不同的参数 值d 。，口。时，它们之问只能达到g 。连续。即使对同曲线段，口，的变化也只能 使该曲线段相对地作整体调控。本章的目的是构造能较灵活地进行整体或局部 调控的c 2 或c 3 连续的插值曲线。其中第一、二节分别构造了c 2 连续的五次和 四次插值曲线；第三节构造了c 3 连续的插值曲线；在第四节中将插值曲线推 广到曲面上，构造了口一b 样条插值曲面。 5 】c 2 连续的五次捅值曲线 给定型值点列只er2 拙3 ，i = l ，2 ，n 如4 ) ，若奇异混合函数采用五次 h e r m i t e 函数( 4 1 4 ) 时，a b - 样条插值曲线( 4 i 8 ) 经整理成为五次曲线： 必- ( f ；脚= = 1 ( 1 一o f ) 3 ，0 + 2 f ) + 【o 一1 03 + l 量4 一目5 ) + 主芸f 2 ( 2 + l l t 一1 5 。2 + 6 t 3 ) 】只+ 【o n 一1 5 t 4 十6 f 5 )( 5 1 1 ) 一与竽( 1 一0 2 ，( 一1 一，+ 6 t 2 ) 僻。一芝竺r ，( i t ) o 一2 ，) p 。 另一方面，在文 1 q 中曾构造c 2 一连续的带形状参数的五次曲线段： ( f ；q ，b ，c ，口“，6 。，c 。) = 瞎( f ) 日? ( ) b i ( f ) b ；o ) 鹾( r ) b ；辟) ) 4 f 1 - 2 a i b i1 - 2 a i c i1 - 4 ( a i h i ) 2 c i 0 4 ( a i + 1 一b i + 1 ) + c i + 1 0 2 日f + 1 一b i + l o a i + 1 a i 0 2 a i b i 0 4 ( a i b i ) + e i 0 1 - 4 ( “i + 1 一b i + 1 ) 一2 c i + 1c i + 1 1 - 2 a i + lb i + 1 1 - 2 a i + 1 a i + 1 ( 5 1 2 ) 其中毋，- ，k k ，一，- 为形状参数，0 t - - l , b j ( ，) = 5 “1 一r ) 5 一，l = o 1 ，5 为 五次b e r n s t e i n 多项式。 五次b e r n s t e i n 多项式。 2 1 曩只段气 ，。l 令q = 。= 。，q = 了b i ，气= b 丁i + l ，6 f 一1 l - 矿a i ，一兰挚，则有 。、1 a i 卜c t in 1 - a i + l 1 - g i + l 、 马( t ；a j ，“w ) 2 他o ，一矿，一万，o ，一一万一，一石一) = 一2 ( 1 - a , ) ( 1 一f ) 3 f ( 1 + 2 r ) 只一l + 【( 1 1 0 t 3 + 1 5 l4 _ 6 f 5 ) 一( 1 - c t i ) r 2 ( i r ) 3 + l - a i + l t 3 ( 1 一f ) ( 5 一耵) 圮“( 1 0 f3 1 5 ，4 + 6 ，5 ) + 1 - a i ( 1 一矿f ( 1 + 4 f ) 一( 1 - - 口i + 1 ) ( 卜r ) 2 t j 】只，1 一i - a i + lt 3 ( 1 一，) ( 3 2 f ) p + 2 ( 5 1 3 ) 容易验证：r ( 0 ；t z ；，口) = 只，置。( 1 ；口。，a ) = f 故曲线( 5 1 2 ) 为插值p 只+ t 两点的插值曲线段。不难看出，当口= 口= 盘时，( 5 1 3 ) 即成为曲线( 5 1 1 ) r , ( t ；c r ，a ) = 瓦( f ；口) 。 因此( 5 、t 3 ) n 以看作口- b 样条插值曲线( 5 1 1 ) 的推广。 曲线段( 5 1 3 ) 的各控制点的系数是次数分别为5 - 5 - 5 - 5 的多项式，它们还可 降低成4 5 5 - 4 次。为此只需在( 5 1 2 ) 式中取 铲一。，q = r b i 。= b i ：+ l ，且4 = 一鲁a 。= 一警， 则得曲线 如。啪0 ，一鲁，一等 o ，一l - 矿a i + 1 ，一等b冠一( m i ) 2 ( f ；o ，一音，一暑，o ，一1 r ，一茅! ) ：一生2 ( 1 _ r ) ，嵋一。+ 【( 1 1 0 t3 + 1 5 f 一一。5 ) 3 0 一呸) f2 ( 1 一f ) 3 一掣( - 7 t 3 + 1 3 f4 6 ，s ) 】只+ ( 1 0 t 3 1 5 t4 + 6 f 5 ) 一旦三芸韭( 一r 一3 r ：+ 1 5 f 3 一1 7 ，一+ 6 i f ) 一3 0 ) f ，( 1 一f ) z h 一竺二：掣f ，( 1 - ，) 只。 ( 5 1 4 ) 此时量，( t 口。，口。) 两端的一、二阶导矢分别为 憎( 0 ；q ， i 耳( 1 ；q ，晖+ ， i 歙哦q ，q 。 l 戢b q ，嘶+ = ( 1 一口，) ( 只+ l 一霉一) 2 ， = ( 1 q + 】) ( 一e , ) t 2 ， = 3 ( 1 一q ) ( p 。一2 只十# + 。) ， = 3 ( i q 。) ( 只一2 e , + 1 + p + 2 ) ( 5 1 5 ) 由式( 5 1 5 ) 可知，只要0 盯， 1 ，即便d 川a ，或甜川a 。，相邻两曲线段 豆一。0 一i + l ；a 中口。) 与兵。扣一屯q ，口) 仍保持c 2 连续。 对于给定的控制点p r 3 , f = 1 , 2 ，”及参数口，r ，扛2 ，3 ，”一i ，由公式 ( 5 1 3 ) 或( 51 4 ) 得到的”一3 段曲线组合成的曲线插值于只，b ，只 对非封闭 控制多边形只只，为使曲线插值两端点只及只，可通过给出鼻及只处的一阶 或二阶导矢条件，然后利用( 5 1 5 ) 式确定只，只。a 。及。对封闭控制多边形 只= 只，则只要取咒= 只。只。= 只及给出适当的口。= 口，即可。 将曲线段( 5 1 4 ) 组合可得曲线 震( “；a 1 ，口2 ，一，口。) = u r i ( “一i ；酣，口)( 5 1 6 ) 其中“【1 ，h + 1 。 利用参数口的不同取值，可对曲线形状进行整体或局部调控。为了整体调 控曲线，可设所有口，相等，且使其在0 与l 之间变化( 见图5 1 a ) ；而每个参数口 本身能起局部调控作用，它的变化只影响两曲线段j i 。( “一i + 1 ；a 。，a ，) 与 茸0 一f ；t z ，口。) ，并不影响其它曲线段。具体来说，要使曲线在控制点只附近靠 近两条控制边，只要令对应的参数口，变大且接近于l ：若口，= 1 ，则在p 处出现 零导矢，即该点为曲线( 5 1 6 ) 的尖点；若口= 口。= 1 ，则曲线( 5 1 6 ) 包含直线段 只只 图5 - 1 表示用式( 5 1 3 ) 所作的插值曲线，其中点划线表示控制多边形，虚线 表示所有参数皆取f 口，= 0 。图5 - l a 中实线表示所有的参数皆取似= 1 2 。说 明所有的参数相等且变化时能对曲线作整体调控，图5 1 b 中实线对应的 口。 = 0 ，1 2 ，l ，1 ，1 6 ) 。说明参数a ，取不同值时，曲线能作局部调控。当a ，变大 且接近于1 时，曲线在控制点p 附近靠近两条控制边。特别当a ，= 1 时，曲线在 只处出现尖点；而髓，= 口川= 1 时，曲线包含直线段只只 a 曲线的整体调控 图5 1 式f 5 t ? ：l 。- ，。j j ，。 弋 b 曲线的局部调摔 3 1 构成的插值曲线 iiiili 5 2 c 2 连续的四次局部可调口b 样条插值曲线 本节利用四次局部可调控曲线段与奇异直线段作混合，构造一种c 2 连续 的四次局部可调口- b 样条插值曲线，是口- b 样条插值曲线的推广，它克服了 7 中提出的口b 样条插值曲线的每一段只能作整体调控的不足，其所带的参数对 曲线每一段的形状都能灵活地作整体或局部调控，并且其次数比上一节提出的 曲线又降低一次。 1 插值曲线的构造 给定型值点列只r2 或r 3 ，i = 0 ，l ，n 拙3 ) ，取均匀节点f ，= i ，i = 0 ，1 ，n ， 利用定义( 3 2 1 ) 构造带三个参数 + ， + ，的四次局部可调控曲线段： i ( f ；五川，五。，丑“) = b o ( t ；4 ，f ) p 【+ 岛( ，；丑小丑) p + b 2 ( r ；丑，几】) 只+ l + 6 3 ( f ； _ 】) p 钉r ，sr s f ，_ l ( 5 2 1 ) 其中调配函数为 则有 b a t 以。) = 去 ( 1 _ ，) 3 f 4 一钆( 1 拙) 】 6 1 ( f