（教育学原理专业论文）数学教育中的数学建模方法.pdf

内容提要 挚9 7 5 3 2 新的教育形势引发了数学教育思想的改变，由此产生了新的数学 课程标准的制定及教材内容、教学方法的改革。充分体现出数学建模 方法在数学教育中的作用，对它进行深入的探索和研究具有重要的理 论价值和意义。 本文阐述数学的本质、数学教育的功能和数学教育的改革( 第l 章) ，探讨数学建模基本理论以及数学建模的意义、作用和教学策略( 第 2 、3 章) 。第4 、5 章分别探讨义务教育阶段和高中阶段数学建模的教 学方法。 关键词：数学教育，数学建模? 教学策略 a b s t r a c t n e we d u c a t i o n a l p o s i t i o nb r i n g sc h a n g e s t ot h et h i n k i n go f m a t h e m a t i c se d u c a t i o n ，t h i sr e s u l t si nt h ee s t a b l i s h m e n tf o rn e w s t a n d a r do fm a t h e m a t i c sc o u r s e ，a n dt h er e f o r m a t i o n so fb o t h t e a c h i n g m a t e r i a la n d t e a c h i n g m e t h o d t h i si n c a r n a t e s s u f f i c i e n t l yt h ee f f e c to f m a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g i nm a t h e m a t i c s e d u c a t i o n c a r r y i n go u td e e pe x p l o r a t i o na n dr e s e a r c hi n t ot h e m e t h o do fm a t h e m a t i c a lm o d e l l i n gi so f s i g n i f i c a n c e t h i st h e s i s e x p o u n d s t h ee s s e n c eo fm a t h e m a t i c s 、t h e f u n c t i o no fm a t h e m a t i c se d u c a t i o na n dt h er e f o r m a t i o no f m a t h e m a t i c se d u c a t i o n ( c h a p t e r1 ) ；d i s c u s s e st h eb a s i ct h e o r y o fm a t h e m a t i c a l m o d e l l i n g ，a n dt h es i g n i f i c a n c e 、e f f e c t a n d t e a c h i n gs t r a t e g yo f m a t h e m a t i c a lm o d e l l i n g ( c h a p t e r2 、3 ) ；i n c h a p t e r4 、5 ，i td i s c u s s e s t h e t e a c h i n g m e t h o d a p p l i e dd u r i n g t h e p e r i o d s o f c o m p u l s o r y e d u c a t i o na n ds e n i o r h i g h s c h o o l r e s p e c t i v e l y k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c se d u c a t i o n ；m a t h e m a t i c a lm o d e l l i n g ； t e a c h i n gs t r a t e g y 1 数学教育 数学和数学教育在新世纪占有特殊重要的地位。数学是信息技术 时代发展高新科技，促进国家繁荣和社会进步的带动因素。在新世纪 数学教育的发展和改革被世界各国视为经济和科技竞争中战胜对手的 一个极为重要的环节。数学教育思想的转变、教学内容的变革以及教 学手段的更新是时代的呼唤。 1 1 数学的本质 什么是数学? 数学的本质是什么? 这是数学哲学中一个最基本的 问题。古今中外有许多不同观点：数学是一种符号游戏；是一种锻炼 思维的体操；是- - , - j “盘算”的学问或者是一种有效的运算方法；是 由字母符号与推理规则所组成的、用来描述物质世界运动规律的语言 工具；是客观世界数量关系和空间形式在人脑中的反映。 1 1 ，1 数学是技术学科 数学科学由于结合计算机的应用将广泛和深入地向其他领域渗 透，成为整个科学和技术发展水平的带动因素。数学学科的发展是现 代社会发展的一个关键。数学既是基础学科，又属于技术学科，也属 于工程技术层次。 1 1 2 数学是模式的科学 模式是指“某种事物的标准形式”。这种标准形式是通过抽象、概 括而产生的。数学的概念、理论、公式、定理和方法都可以看成是一 种模式。显然它们又是一种数学抽象思维活动的产物。这种抽象不同 于其它科学中的抽象。首先，在抽象的内容上，它仅仅保留了事物的 量的特征，而舍去了它的质的内容；其次，在抽象的度量上，数学中 的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽象的结果，而是在第一次 抽象的基础上，进行多次的再抽象。数学是概念引出概念，也就是说， 数学的对象是借助于明确的定义得到构造的，数学理论又是建立在逻 辑演绎之上来开展的。 1 1 3 数学是高新技术的核心部分 人类进入信息社会，高新技术不断涌现。这个时代由于广泛应用 计算饥使新技术的出现更多地依靠理论研究。而理论研究就要依靠数 学理论和方法。某些学科如计算机软件的理论基础算法则完全是 数学。由于数学是把抽象空间形式、数量关系和结构关系作为自己的 研究对象，因此它的理论和方法必然伸入其它学科理论的核心，成为 表达各种自然界和人类社会定量化规律性的关键工具。至于智能技术， 其核心也是数学。在许多高新技术中，数学模型和方法是解决问题的 关键因素。可以说，许多高新技术本质上是一种数学技术。在信息技 术时代，计算机技术是高新技术中的核心领域，而数学是应用计算机 的桥梁和媒介。因此，数学是发展高新技术所需要的一门关键学科。 1 1 4 数学是一种现代文化素养 数学是人类文化中最基本的一种文化，是人类文化发展的一个重 要标志。由于数学是从数量侧面反映着自然界与社会的一切关系，有 关数学的基础知识和基本方法必然成为其它科学文化知识的基础。数 学在培养人们语言表达的准确性和逻辑性方面有重要意义。数学语言 对任何人来说，既是最简单明了的语言又是最严格的语言。数学大大 有助于培养人认识和理解哲学。 数学同各种艺术形式一样，是人类一种创造性活动的结果，是人 类抽象思维的产物，从这个意义来讲，数学是一种文化，而且是更高 层次上的文化。数学文化作为人类文化体系中的一个重要组成部分， 由于具有自己独特的数学思想方法体系，数学语言体系和数学发展的 动力体系等，所以数学文化构成了不同于其它文化的种独特的体系。 1 2数学教育的功能 数学教育的功能，就是通过数学教育起着培养学生“认识宇宙， 也认识人类自己”的作用。而认识目的就在于对人类自身进行开发， 征服自然，改造自然，促进物质财富增长和社会的进步与发展。 1 2 1 数学教育的经济功能 社会经济发展，主要是社会生产力的发展，生产力的发展又主要 依靠科学技术进步和提高劳动者的素质。科学技术是第一生产力，但 它不是现实的生产力，是要通过“物化”的途径才能由间接的、潜在 的生产力转化为直接的、现实的生产力。而物化途径离不开数学研究 和数学教育。这是因为，数学是一切科学的基础，它不仅为科学、工 程技术提供语言、工具，而且还为科学的发展提供思想和方法：数学 教育是以数学文化知识为内容，进行培养人的一种活动。数学具有其他 科学不其有的高度抽象性和严谨的逻辑性，因此它在培养人的素质方 面具有特殊作用。 社会经济发展，方面依靠生产力发展，另一方面还依靠提高劳 动生产率。劳动生产率提高在很大程度上取决于一个国家、一个民族 的科学文化素质。而一个民族科学文化素质的提高，又往往离不开数 学。数学对于科学技术进步和提高劳动者的素质有着不可低估的作用。 1 2 2 数学教育调整社会人才结构的功能 现代社会需要的人才是多种类型、各种层次的，这主要通过学校 教育来培养，依靠教育的结构和质量来加以调整和控制。在这种调控 中，数学教育起到了杠杆的作用。每个合格的公民必须学习数学， 具有一定的数学文化素养，而现代社会所需要的各种类型、层次的人 才，所需要的数学知识水平和知识结构不尽相同，而且学生本身在接 受数学教育方面存在个体差异，很难要求每个学生都达到统一的、高 标准的数学水平。从而客观上就使得数学教育对社会人才结构起到了 调控作用。正因如此，实施分流区别化的数学教育，是当今世界数学 教育改革趋势。 1 2 3 数学教育的文化功能 数学文化的独特价值，一是体现在它的兼容性：即它支撑着科学 技术的各个领域。包容着人文精神的方方面面。二是体现在它的先进 性，这是由功利与非功利两个方面的先进性所决定的。当数学与科学 技术相结合时，就能转化为强大的物质力量，创造出新的、先进的社 会生产力，这是数学文化价值的功利方面；抽象而具有神秘魅力的数 学，同时还蕴涵了莫测的哲学、美学、语言学等人文精神。抽象数学 中许多没有直接“用处”的成果，可以提高人的文化修养和文化品格， 是人类文化中的无价瑰宝，这是数学文化价值的非功利方面。由于数 学学科独特的文化价值，决定了数学教育独特的文化功能。 1 2 4 数学教育的训练思维功能 在学校教育中，数学教育作为训练人的思维的功能是其他任何学 科所不能替代的。这是因为：第一，学习其它学科固然也要思维，但 数学思维具有自己的特点。首先，其它科学要依赖物质载体来进行抽 象思维，并以具体对象的具体性质作为研究内容。而数学在抽象思维 活动中，完全舍弃了事物的质。其次，数学抽象的程度远远超过其它 学科的一般抽象。再次，数学思维方法是一种逻辑建构活动。数学对 象是借助于明确的定义得到构造的。数学思维包含了逻辑思维，形象 思维和直觉思维三种基本形式，而以逻辑思维为核心。其它学科的思 维活动形式并不全部包括这三种类型。数学思维是不同于其它学科的 一种思维。第二，人的智力重要表现在思维能力。人人都需要思维， 数学作为训l 练一个人的思维是不可多得的工具。数学已渐渐地渗透到 人类生活每一个领域，只有通过数学训练才有利于提高众人们的组织 才能、敏感性、直观性和洞察力。第三，数学思维可以从多方面培养 人的思想和精神。数学思维方式的伟大变革对于人类思想解放，树立 一种勇往直前的理性探索精神是非常重要的。 1 2 5 数学教育的德育功能 中华民族的数学为世界数学发展创立了丰功伟绩。在数学教育中 有机地结合数学吏，将会激发爱国主义热情，树立民族自豪感，激励 学生学好数学的兴趣和信心。 数学教育的德育形式为精神价值道德。精神价值道德是指在数学 活动过程中，人的探索、进取、正义和执着的精神。主要指以下几个 方面：第一，勇敢、自信、勤奋、顽强的探索和学习精神。因为数学 依靠抽象思维来把握问题的解决途径，需要主观意志来支配，需要克 服重重困难去达到目的。第二，独立自主的追求、发现和创造精神。 因为只有自主追求，“重新发现”，才能理解数学概念，只有“创造性 的方法”才能解决各种问题，并在这一过程中发展自身能力和数学成 果。第三，严肃认真、踏实细致、一丝不苟的精神。因为在一定范围 内数学具有规范性，并有严格的逻辑约束。第四，诚实和正直的品质。 因为数学检验有客观标准，必须按照规定的思维规则进行推理和论证。 在数学教育中，处处展示着数学符号简练抽象美，数学图形和谐 对称美，数学结构协调完备美，数学方法多样奇妙美，等等。这些美 既可以诱发出学生非智力因素，又可以诱发学生的无限创造力。 1 3 数学教育改革是新世纪的呼唤 在国际上数学教育改革早在第二次世界大战之后即已开始。主要 有6 0 年代的“新数运动”：7 0 年代的“回到基础”：8 0 年代的“问 题解决”；9 0 年代的“大众数学”。面临新技术革命的挑战，世界 各国和各民族之间基于高科技的竞争愈演愈烈。一个国家要想在激烈 竞争中立于不败之地，关键在于掌握高新科学技术，而掌握高新科学 技术的关键在于高素质的人才的培养。数学学科在发展高新技术以及 在高科技人才和提高民族素质中占有特殊重要的地位。世界各国政府 也都把数学教育的发展和改革看成是新世纪能否在科技和经济的激烈 竞争中战胜对手的一个极为重要的环节。 1 3 1 数学教育思想由“应试教育”向“素质教育”的转变 随着我国经济、政治体制改革的深入以及科学观念和科学思想的 形成，人们越来越深刻地认识到2 1 世纪的竞争将是人才的竞争。单纯 的分析思维方式和应试选拔的教育观念已不适应时代的要求。教育界 通过自我反思，针对当前教育的现状，特别是对“应试教育”所暴露 出来的弊端，提出了“素质教育”。现代数学教育思想主张数学教育 目的应当着眼于整个人才素质的培养，即不但培养掌握现代数学理论 和方法的人，还要培养具有分析问题、解决问题能力以及思想品行和 心理素质等方面能够适应现代社会发展的人。 教学上有哪些观念需要转变，才能适应素质教育的要求呢? 首先 要转变的是教学的目的观。素质教育追求的学生素质的提高，注重的 是教育的发展功能，而不是单纯的为了应试和选拔的功能。数学教学， 要通过教学使学生获得数学意识，会合乎逻辑地思考、推理和判断： 要培养学生的意志、品格和科学的求实精神。数学教育的目的是要教 人以聪明、授人以才智，使他们对问题的认识有敏锐的洞察力，思维 敏捷，善于理解、抽象和概括；对问题的态度，刻苦认真，执着追求， 锲而不舍，具有独立工作的精神：对问题的处理和解决，善于想象、 富于幻想和创造。其次要转变的是教学观，素质教育追求的是人脑资 源的开发，是全体学生的发展。因此，教师的教学不但重视数学理论， 而且要努力提示理论的发生、发展直至应用的全过程。所以实施的是 数学活动的教学：问题是由学生提出的，结论是由学生探究的，方法 是由学生摸索的，结果是由学生自己得出的。因此，学生不仅仅是在 学数学，而且是在“做”数学，是在“用”数学，是在“做”、“用” 过程中掌握数学。 实旖数学素质教育的根本途径是改革课堂教学方法，立足于向4 5 分钟要“素质”。为实现向4 5 分钟要素质，在思想上要重视教授数学 既要教基础知识，又要教知识的思想和方法：既要教知识理论，又要 教知识的应用；既要教推理、论证，又要教语言以及猜想和迁移。教 学一定要有学生的积极参与，要有主体的积极性，要帮助学生学会思 考数学。在实践上应多采用探究讲授、探究讨论、自学讨论等教学方 式以提高学生的数学能力，增强学生的数学意识。 1 3 2 数学教育思想由由“精英教育”向“大众教育”的转变 数学教育思想另一个转变是从少数人数学到大众数学。过去数学 教育主要是为少数人升入高一级学校服务的。因此在教学内容安排上 由于应试的需要显得“窄而深”，比较追求解题技巧和形式上完整。但 由于数学应用普遍化和数学成为一种基本的现代文化素养，数学教育 内容和方法需要面向大众。 “大众数学”的基本观点是：人人需要学习数学，人人都能学好 数学。这就是说数学教育必须重视并作为一个合格的公民对数学的要 求，使每个人都能从数学教育中获得提高，同时又要重视学习数学过 程中的实际差异。 大众数学是教育目标，这个目标要求每个青少年都应掌握作为一 个公民所必须的数学。所以说大众数学是人人需要学习的基础的、起 6 码的数学，要达标的数学，是生存所需要的数学。大众数学是一种教 育思想，这个思想体现在基础教育中的数学教育应为“一切人”，而不 只是为少数的数学英才。要相信人人都能学会为生存所需要的数学。 学习数学是为了教会人们如何思考，要授人以才智，是为素质的提高， 而不是为了考试。 1 3 3 教学内容的改革 教学内容的改革是数学教育改革中的一个核心问题。传统数学的 教学内容既不能反映培养高水平思维能力的要求，也不反映数学广泛 应用性的特点，而且对于未来社会的需要是盲目的，滞后的。为了适 应现代社会经济和文化科技发展的需要，数学教学内容的改革势在必 行。主要有：精简传统数学内容，增加现代数学知识，注重现代数学 思想方法的渗透；强调和重视数学知识和数学应用的结合：大力推广 现代化教学手段( 如计算机) 辅助数学教学。这是当前数学教学内容 改革的主旋律。 教学大纲指出：要使学生“能够运用所学知识解决简单的实际问 题”，并“在解决实际问题的过程中，要使学生受到把实际问题抽象成 数学问题的训练”，“形成用数学的意识”。并进而提出，要使学生“会 数学地提出问题，把实际问题抽象成数学问题，数学地分析问题和解 决问题；能够顺畅地使用数学语言、符号和图表，以口头或书面语言 表达数学问题；懂得数学的价值，形成用数学的意识”，这就使得改革 数学教学内容就要重视数学应用的倡导得到了充分的肯定。 2 数学建模的基本理论 数学建模是一种具有创新性的科学方法，它将问题简化、抽象为 一个数学问题或数学模型，然后采用恰当的数学方法求解，进而对现 实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题之目的。在科学 数学化的进程中，数学建模为组织和构建新知识提供方法，有力地推 进了各门科学的发展，数学建模又成为高新科技的一种“数学技术”， 起着关键性的作用，使高新科技不断取得丰硕成果，愈来愈深刻，现 在已发展成为一门独立的新学科。 2 1数学模型 模型是指为了某个特定目的将原型所具有本质属性的某一部分信 息经过简化、提练而构造的原型替代物。一个原型，为了不同的目的 可以有不同的模型。模型的重要作用就是加深人们对客观事物如何运 行的理解。为了使模型成为帮助人们合理进行思考的一种工具，因此 要用一种简化的方法来表现一个复杂的系统或现象。为了能协助人们 解决问题，模型必须具有所研究系统基本特征或要素，还应包括决定 其原因和效果的各个要素之间的相互关系。 数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个 近似的刻划，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。数学模型不是 对现实系统的简单的模拟，它是人们对现实对象进行分析、提练、归 纳、升华的结果，是以数学语言来精确地描述现实对象的内在特征， 以便于通过数学上的演绎推理和分析求解深化对所研究的实际现象的 认识。 利用数学方法求解实际问题时，首先要进行的工作是建立数学模 型，然后才能在此模型的基础上对实际问题进行理论求解、分析和研 究。数学模型的建立要符合实际情况，如果建立的模型本身与实际问 题相差甚远，那么，即使在理论分析中采用怎样巧妙的数学处理，所 得到的结果也会与实际情况不符。因此，建立一个好的数学模型乃是 解决实际问题的关键。 2 2数学建模 数学建模是解决各种实际问题的一种思考方法，它从量和型的侧 面去考查实际问题，尽可能通过抽象( 或简化) 确定出主要的参量、 参数，应用与各学科有关的定律、原理建立起它们的某种关系，这样 一个明确的数学问题就是某种简化了的数学模型。 2 2 1 数学建模的定义 数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简 化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个 明确的数学模型，然后求解该数学模型，并对结果进行解释和验证， 若通过就投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改造，数 学建模就是这样的一个多次循环的过程。 2 22 数学建模的一般步骤 1 建模准备要考虑实际问题的背景，明确建模的目的，掌握 必要的数据资料，分析问题所涉及的量的关系，弄清其对象的本质特 征。 2 模型假设根据实际问题的特征和建模的目的，对问题进行 必要的简化，并用精确的语言进行假设，选择有关键作用的变量和主 要因素。 3 建立建模根据模型假设，着手建立数学模型，将利用适当 的数学工具，建立各个量之间的定量或定性关系，初步形成数学模型， 要尽量采用简单的数学工具。 4 模型求解建立数学模型是为了解决实际问题，对建立的数 学模型进行数学上的求解，包括解方程、图解、定理证明、逻辑推理 等。 5 模型分析对模型求解得到的结果进行数学上的分析，有时 是根据问题的性质，分析各变量之间的依赖关系或稳定性态，有时则 根据所得的结果给出数学上的预测，有时则是给出数学上的最优决策 或控制。 6 模型检验模型分析的结果返回到实际问题中去检验，用实 际问题的数据和现象等来检验模型的真实性，合理性和适用性。模型 只有在被检验，评价，确认基本符合要求后，才能被接受，否则需要 修改模型。一个符合现实的数学模型，一个真正适用的数学模型其实是 需要不断改进的，要直至完善。 2 2 3 数学建模的要求和方法 数学模型因不同问题而异，建立数学模型也没有固定的格式和标 准，甚至对同一个问题，从不同角度、不同要求出发，可以建立起不 同的数学模型。因此建立数学模型一般有如下要求：( 1 ) 足够的精度， 即要求把本质的关系和规律反映进去，把非本质的去掉。( 2 ) 简单、 9 便于处理。( 3 ) 依据要充分，即要依据科学规律、经济规律来建立公 式和图表。( 4 ) 尽量借鉴标准形式。( 5 ) 模型所表示的系统要能操纵 和控制，便于检验和修改。 建立数学模型主要采用机理分析和数据分析两种方法。机理分析 是根据实际问题的特征，分析其内部的机理，弄清其因果关系，再在 适当的简化假设下，利用合适的数学工具得到描述事物特征的数学模 型。数据分析法是指人们一时得不到事物的特征机理，而通过测试得 到一组数据，再利用数理统计学等知识对这组数据进行处理，从而得 到最终的数学模型。 常用简化模型的方法有：( 1 ) 除去一些变量，在众变量中找出对 指标有显著影响的少量因素建立模型。( 2 ) 合并一些变量，在构造模 型时，把一些性质相同或相似的变量合并成少量有代表性的变量。( 3 ) 改变变量的性质，常把某些非主要的或暂时的变量看作常量。( 4 ) 改 变变量之间的函数关系。( 5 ) 改变约束关系，如增加一些约束，去掉 一些约束，对约束进行一些修改等等。( 6 ) 模型结构的转换。若某种 模型求解很困难，要求的数据不具备或不易得到，我们只有改用其他 形式的模型。 2 2 4 数学建模的例子 自围棋问世以来，围棋棋盘的设置经历了数次变化，现在的棋盘 是否还会变化? 方形棋盘每边设计多少道才是最佳的? 先手贴后手多 少目才最为合理呢? 围棋棋盘是由纵横交错的线组成的方形交叉点域，我们把四条边 界线称为一线，与边界相邻的四条线称为二线。这样，依次根据与边 界的距离而称各线为三线，四线各线上的点距离边界相同。 下围棋最先考虑的是棋块的死活问题。研究每一线棋子的作用时， 应首先考虑那一线棋子的成活速度，即用最少的点来活棋。一棋块虽 不是成活棋块，但为对方进行攻此棋块时，总可以通过正确应对而最 终成为活棋，我们就称为准活型棋块。现在摆出二线、三线、四线的 最快准活型。 1 0 二线形成准活型所用的最少子数为8 ，三线的为7 ，四线的为8 。由此 瑚圜 可以看出，三线较二线、四线的成活速度快，五线、六线等其它线型 准活型的速度显然要慢于三线。因此，就控制边的能力上看，三线具 有最快成活的特点，从而成为围棋枰上重要的线。围棋富于变化， 其内部一定存在着两种力量的抗衡，这两种力量抗争的最终目的与围 棋的目的应该是统一的，即多占地盘。我们把围棋棋盘按区域特点笼 统分地分为边部和中腹。从做活和占地两个角度看边部因空间受阻而 易受攻击，便可利用边部成活快的特点迅速做活，有根据地后再图发 展：中腹则由于四方都可以发展，不容易受到攻击，做活便退居其次， 而先去抢占空间，由此可见，边部和中腹将成为围棋中的两种对抗的 势力。还要保证两种势力所具有的价值相同，从而使二者能够真正地 进行抗衡。 对于一个成活型棋块，用它的棋子数去除这些棋子所包含的目 数，得到的商值称为此棋块的目效率，记为p e 。目效率表示单位棋子 所占的目数，即表示此棋块平均占有目数的能力，利用此概念对围棋 棋盘问题建立模型。由于三线有控制边的优势，那么控制中腹的重任 无疑落到了紧邻的四线上，这样，问题就可化为：怎样设计方形棋盘， 即每边选取多少道使三线围成的边部与四线围成的中腹具有相同同的 地位或最小的差异? 设三线点，四线点的组成的棋块的目效率分别为 p e 3 ，p e 。，根据三线与四线目效率相近的原则，方形棋盘每边置多少道 数，将把e = p 邑一p e 3 的绝对值最小。 假设棋盘每边为x 道，x 为自然数，为了实用的需要，围棋棋盘不 宜太大，也不宜太小，设为l l x 2 3 由于对x 的限制，三线围成 的边及四线围成的中腹己成为实空，对方无法从中做活。这样，所有 三线围成的目数8 x 一1 6 ，其目效率为p e 3 。等= 2 + 了 了 把x 看作连续变量，它是是关于x 的单调下降函数。 所有四线围成的中腹的目数为( x 一8 ) 2 ，目效率为 l 兰=12 ： 4 ( x 一7 ) - hh hkkh hh k k k - - 一 、- - -_-jl ljl -ljlj-j-_l_一、 ：r ： ：r ：_ ：+ r ：r ：r ：r ：r ：r ：r ：r 、，1 r 17 r71r1 r 1 r 1r 1 7 1r 17 、广 - - hhh hhh卜 由于设定x 的范围，可得p b 关于x 单调上升。这将导致e ( x ) = p e 。 - - p e 。也关于x 单调上升。因此，对以方程e ( x ) = p e 。一p e 。= 0 ，若有解， 其解只有一个。而e ( 1 8 ) = 一0 1 8 8 8 ，e ( z 9 ) = 0 0 9 2 ，由连续函数的 介值定理，e ( x ) = 0 的解在开区间( 1 8 ，1 9 ) ，显然其解非整数，而我们 寻求的是使 e ( x ) 7 最小整数解，由e ( x ) 的单调性及f e ( j 9 ) f f e q 8 ) f 即知 x - 1 9将使le ( x ) ；最小。因此，围棋棋盘选择1 9 1 9 个网 点是最佳的。 围棋棋盘每边道数的确定( 1 9 1 9 ) ，使三线点占边部实空与四 线点占中腹实空的目效率近似相等。当一方抢占边角时，另一方可用 中腹相对抗。但由于四线点的目效率比三线点的目效率高约0 0 9 ，故 先手一方挑选四线而占之，比较有利，因此先手需贴后手一定目数方 可平衡这微小的差异。设四线需贴三线y 目，由双方目效率相等的原 则，有坠：! ! ! ： 4 85 6 解得y 一5 2 ( 目) 。先手需在终局时贴出5 2 目，与现在中国贴二 又四分之三子及日本贴5 目半的胜负贴目规则比较接近。 3 从数学教育的目的意义看数学建模的方法作用及教学策略 面向新世纪的中小学数学课程应为学生的终身发展奠定良好的 基础：使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的价 值，增进对数学的理解和应用数学的信心：学会运用数学的思维方式 去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的总是进而形成勇于探索、 勇于创新的科学精神：获得适应未来社会生活和进一步发展所必须的 重要数学事实( 包括数学知识、数学活动经验) 以及基本的思想方法 和必要应用技能。 数学可以帮助学生更好地认识自然和人类社会，更好地适应日常 生活、理解周围世界；数学可以促进学生有条理地思考、有效地进行 表达和交流，运用数学分析问题和解决问题；同时通过数学实践活动 还可以发展学生的主动性、责任感和自信心，培养他们实事求是的科 学态度和勇于创新的精神。 3 1 强化数学建模教学的意义 中学数学教育是基础教育的提高阶段，应着眼于未来，为培养高 素质的人才打好基础。根据数学建模的特点，不难看出，在中学数学 教学中，渗透建模思想，开展建模活动，具有重要意义。 3 11 促进理论与实践相结合，培养学生的应用意识 现在的学生，经过十来年的数学教育，他们懂得了不少数学知识， 但是接触到实际常常表现出束手无策。灵活地、创造性地运用数学知 识解决实际问题的能力较低。而数学建模的过程，正是实践理 论一一实践的过程，是理论与实践的有机结合。强化数学建模的教 学，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的思想、方法、 语言，也是为了学生树立正确的数学观，增强运用数学的意识，全面 认识数学及其与科学、技术、社会的关系，提高分析问题和解决实际 问题的能力。 3 1 2 培养学生的能力 数学建模教学体现了多方面的能力的培养：( 1 ) 翻译能力。能将 实际问题用数学语言表达出来，建立数学模型，并能把数学问题的解 用一般人所能理解的非数学语言表达出来；( 2 ) 应用数学的能力。表 现在能用数学工具对所建立的数学模型进行处理：( 3 ) 交流合作能力。 数学建模中常常是小组分工合作、密切配合、互相交流、集思广益， 这种互相合作的精神是社会生活中极为需要的；( 4 ) 创造能力。数学 建模没有现成的答案，也没有现成的模式或通式，建模的过程有较大 的灵活性。建模的结论一般说来只有参考模型，没有标准答案。相应 的评判法则也只有建模过程和结论的合理性。因此，数学建模本身就 给学生提供一个自我学习、独立思考、认真探索的实践过程，提供一 个发挥聪明才智、创新能力的条件和氛围。通过建模，学生要从貌似 不同的问题中窥探出本质特性，这样助于培养学生的想象力和洞察力。 3 1 3 发扬了学生的参与意识，体现了学生的主体性 强化数学建模的教学，可极大地改变传统的教学法。它一改过去 满堂灌模式为讨论班方式，教师扮演的是设计者和指导者，学生是学 习过程中的主体，师生处于平等的地位。由于要求学生对学习的内容 进行报告、答辩或争辩，因此极大地调动了学生自觉学习的积极性。 根据现代建构主义学习观，知识不能简单地由教师或其他人传授给学 生，而是由学生依据自身已有的知识和经验主动地加于建构。所以数 学建模教学，符合现代教学理论，必将有助于教学质量的提高和素质 1 4 教育的全面实施。 3 2 教学对策立足教材强化建模教学 3 2 1 打好基础，强化意识 对于一个复杂的实际问题，要能从中发现其本质，建立其数量关 系，转化成数学问题，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思 想、方法是不可能的。因此，进行建模教学首先必须抓好数学知识的 系统学习，打好基础。但是，解决常规问题的能力强，不见得解决实 际问题的能力强。教学中要注意从实际问题引入要领和规律，强化建 模意识，用数学模型的方法解决实际问题。 3 2 2 激发学生的学习兴趣 重视数学与生产、生活的联系，激发学生的建模兴趣。在数学的 教学活动中，我们若能挖掘出具有典型意义，能激发学生兴趣的问题 创设问题情景，充分展现数学的应用价值，就能激发学生的求知欲。 在学不等式的应用时，问学生饮料的包装是否合理，你有没有更好的 设计方案。这一问把学生的学习气氛调动起来，达到意想不到的效果。 3 2 3 重视课堂教学与课本习题的功能 数学素质教育的主战场是课堂。数学建模应结合正常的教学内容 切入，把培养学生的应用意识落实到平时的教学过程中。从课本内容 出发，联系实际，以教材为载体。拟编与课本相关的建模问题或把课 本的例题、习题改编成应用性问题，逐步提高学生的建模能力。例如， 已知a ，b ，m 都为正数，则 卜詈- 这个数学结论可以很容易地从“溶液浓度”的角度得到解释。然而， 它在实际生活中却另有妙用： 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光 标准，窗户面积与地板面积的比应不小于1 0 ，并且这个比越大，住 宅的采光条件越好。问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的 采光条件是变好了还是变坏了? 请说明理由。 这是一个优化问题，欲知住宅的采光条件是变好了还是变坏了， 就是看同时增加相等的窗户面积和地板面积后，窗户面积与地板面积 的比是变大还是变小。设原来的窗户面积与地板面分别为a ，b ( 平方单 位) ，同时增加的面积为r l l ( 平方单位) ，则原实际问题转化为在约束条 件o a o 下，比较 旦竺与s的大小。由上述不等式的结论可知，采光条件变好了。 b + 。 3 24 循序渐进使学生觉得“数学建模”我也行 现在高中生社会阅历差，无法把实际问题与数学原理进行联系。 例如1 9 9 8 年高考中的“轧钢问题”很多学生连题目都看不懂，因而建 模无法取得成功，这也是部分学生放弃的原因。我们要让学生学会建 模，就必须从一些学生容易下手的实际问题出发，让他们有获得成功 的机会，享受成功的喜悦，从而培养学生发现问题，转化问题的能力。 逐步培养他们的建模能力。否则学生一见应用题就心慌意乱，不知所 措，久而久之，便把应用性问题扔到边不再问津。 3 2 5 通过课外兴趣小组的建模活动，带动、推进数学建模教学 进行课外兴趣小组活动是进行数学建模教学的重要方式。参加课 外兴趣小组的学生，一般都对数学有较大的兴趣，而成绩较好的同学， 他们对数学建模的学习有较好的潜力。若能在他们中间先进行建模教 学活动，就很容易在全班渗透建模意识，逐步使多数学生对数学建模 产生兴趣。通过课外兴趣小组活动使学生逐步学会应用数学知识来处 理身边的实际问题，激发出学生的求知欲，增强学生的应用意识，从 而提高学生的建模能力。 32 6 不断提高教师自身的水平 教师水平的高低，直接影响着对学生建模能力的培养。不少教师 的数学建模教学处于一种应付状态。不顾学生实际，用一些陈题，看 完之后，把其中的方法强加于学生，使学生产生厌学情绪。要知道如 何进行数学建模教学对教师也是一项新的课题。因而教师必须加强自 身修养，不断提高自身业务水平，才能适应新形势下培养学生数学素 质的要求。 6 4义务教育阶段中的数学建模方法 在数学教学过程中同一内容可以用不同的方法进行讲解。较为直 观的方法可以启发学生进行独立地思考，培养他们的逻辑推理能力， 特别是把握具体问题中数量之间的关系。数学是一门推理性很强的学 科，我们不能象语文或英语等课程那样要求学生去熟记这样的规则或 那样的公式，否则会使数学学习变得枯燥乏味。 在我国小学年龄段的女生的数学成绩往往高于男生，但随着年龄 的增长，特别是到了高中阶段她们的数学成绩却显得越来越差。究其 原因，其实不在于他们的年龄，而是在于小学时代女孩子通常较为顺 从，记忆力强，这就足于应付加减乘除等少量的规则和公式。然而到 了初中和高中阶段，数学知识对于逻辑推理能力的要求越来越高，光 靠记忆力已远远不够。要改变这种状况，首先要求不断更新我们的教 材，其次要改变过时的教育观念，作为教师更为重要的是在教学方法 上下功夫：教师应以学生为中心，采取直观的教学方法和手段，启发 学生，逐步开发每一个学生的潜力，帮助他们提高分析、推理和综合 能力。 例l ：小明和小刚共有苹果若干，小明的苹果数是小刚的5 倍。若 小明给小刚3 6 个苹果，他们两人的苹果就一样多，问他们共有多少苹 果? 这一问题可用列二元一次方程组求解。设小明和4 , n 原有的苹果 数为x 和y ，x = 5 y ： x 一3 6 = y + 3 6容易解得x = 9 0 ，y = 1 8 从而x + y = 1 0 8即小明和小刚共有苹果1 0 8 个。 这一问题也可用条形图求解，将小刚原有的苹果数视为一个单位， 那么小明原有的苹果数为5 个单位，由此得到模型 起先：后来： 小明 工 二 i 一 小明 工= 口= _ _ 一 ，j 、网0 r - - - - 1 。0 、网4 二二 ：口 b 厂 2 个单位一3 6 ，6 个单位一3 6 2 x6 = i 0 8 ， 1 7 所以小明和小刚共有1 0 8 个苹果。 可见条形图可使数量之间的关系变得一目了然，然后的求解过程 只涉及简单的加减乘除运算。 条形图方法具有：( 1 ) 简单直观，富有启发性：( 2 ) 易于反映量 与量之间的关系：( 3 )易于反映量的变化的过程；( 4 ) 易于教师讲 解，特别是进行多媒体教学；( 5 ) 易于学生提高逻辑推理能力，培养 他们的创造性思维能力。 例2 ：4 月份小王和小李在银行的储蓄额是3 ：5 ，到了6 月份小 王的储蓄额增加了2 8 元，而小李的储蓄额却减少了1 4 元，结果他们 两位的储蓄额正好相等，问小李4 月份的储蓄额是多少? 解：由题意，可将4 月份小王和小李的储蓄额分别视为3 个单位 和5 个单位，由此得到模型 4 月份6 月份 小e 匕工 口小王 二r 匿围 e = ： 型 小李 丁= 工二 二口小李血：! ：紊矗 2 个单位一( 2 8 + 1 4 ) 元= 4 2 元，5 个单位一4 2 元2 5 = 1 0 5 元所以小李4 月份的储蓄额是1 0 5 元。 例3 ：有三个正方形x 、y 、z 重叠在一起。它们的面积之比为 1 ：2 ：3 ， 正方形y 的4 0 被x 所覆盖形成阴影，问非阴影部分占多少 百分比? 。 xv - - nx 皿 = yr - - - r - - - ny 口 口口 z 二丁= 二 = z 口丁丁工工 口 丁工工口 解：由于y 被x 覆盖形成的阴影部分占整个图形的4 0 ，故可将 阴影部分视为4 个单位，再根据正方形x 、y 、z 的比例可列出模型。 可见整个图形被侵害为1 5 + 1 = 1 6 个单位，所以非阴影部分占整个图形 的= 1 0 0 = 7 5 例4 ：一商人有一台电视机，如果以原价的1 0 打折出售，他还 可赢利1 5 0 元，但如果打折3 0 出售，那么他要蒙受1 5 0 元的损失， 问电视机的成本价是多少? 解：商品的价格有三种：成本价、销售价和原价之分。我们在解 这类题目时经常将商品的原价视为一个单位或1 0 0 ，由此得到模型 笾堡笪 ， 成本_ 价_ 赢利1 5 0 元 1 0 成本价 销售价损失1 5 0 元 + 可丽_ 电视机的原价= ( 1 5 0 元+ 1 5 0 元) ( 3 0 一1 0 ) = 1 5 0 0 元，电视机 的成本价= 1 5 0 0 元x 9 0 一1 5 0 元= 1 2 0 0 元。 例5 ：某中学8 0 的学生是男生，新学期开始时，学校共增加3 2 0 名学生，男生增加了2 5 ，而女生正好翻一倍，问原来学校学校共有 多少学生? 解：按题意可学校学校的女生视为1 个单位，男生视为4 个单位， 由此得到模型 开学前：开学后： 男生 工丁卫 男生 工丁二口 女生口l _ 。女生 1 2 个单位一3 2 05 个单位一3 2 0 2 5 = 8 0 0 所以原来学校学校共有学生8 0 0 名。 例6 ：两城市a 和b 之间的距离为2 1 0 千米。上午8 点3 0 分有一 辆轿车以平均速度6 0 千米d , 时从a 出发驶向b ，同时另有一辆公共 汽车以平均速度4 5 千米d , 时从b 出发驶向a ，问当轿车与公共汽车 相遇时，公共汽车行驶了多少千米? 解：轿车与公共汽车所行驶的距离之比等于两者的速度之比， 即6 0 ：4 5 = 4 ：3 ，因此我们可将a 到b 的整个路程分7 个单位，由此得 到模型 2 1 0 千米 a + 丽军西甄矿b 7 个单位一2 1 0 千米3 个单位一2 1 0 千米7 3 = 9 0 千米 所以当轿车与公共汽车相遇时公共汽车行驶了9 0 千米。 5 高中阶段的数学建模方法 5 1 建模程序 近年高考应用题选材新颖脱俗，反映出生产中的实际问题，使学 生感到既邻近又陌生，既实在又偏僻，提高了能力考查的真实性，同 时突出了建模能力的考查，真正发挥了应用题特有的功能。但考生的 实际建模能力与考试要求相比仍存在较大的差距，尤其是对陌生的问 题，更难于抓住问题的关键使之转化为数学模型。将一个实际问题转 化转化为数学模型，必须通过读题、翻译、挖掘、转化等基本程序才 能完成。 5 11读题 读题是建模不可忽视的环节，要透彻地理解题意，才能从众多因 素中排除干扰抽象出事物的本质属性。尤其是那些叙述冗长，数据繁 多的问题，要克服烦躁、恐惧的心理，冷静阅读，分清主次，抓住要 害。可将文字叙述适当地删减、压缩，找到关键性语言，使问题变得 简单、明了。 5 1 2翻译 应用建模的关键在于语言的理解和转换，能否把通俗的语言、专 业术语等翻译成为数学符号语言，决定了建模是否成功和合理。完成 了翻译，再联系所给的数据( 字母) ，才能顺利地进行数学的思维， 为建模铺平道路。 5 1 3 挖掘 不少应用题建模条件具有隐蔽性，随着应用题考查建模力度的加 大，建模能力的考查会进一步加强。因而如何挖掘试题的隐蔽条件是 建模的重要一环。 5 1 4转化 将以上三个程序所得到的住处进行归类整理，并把它与数学知识联 系，最终归咎于某一数学问题，这就是数学模型。 5 1 5 求解 对建立的模型进行数学上的求解，包括解方程、画图形、证明定理 以及逻辑运算等，会用到传统的和近代的方法，特别是计算机技术。 5 1 6 检验 用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性，这一步是必不 可少的。如果检验结果不符合或部分不符合实际情况，就必须回到建 模之初，修改、补充假设，重新建模。 应用题的建模能力是一种综合能力，提高学生的建模能力，除了需 要引导学生实践，思考社会问题外，还需要摸索和探讨建模的方法和 途径，才能使得提高建模能力不至于成为一句空话。 5 2 数学建模例题的设计 数学建模问题的编拟，应使其具有以下几个特征： 1 导向性：选编的数学建模问题，应在思想内容上富于时代信息， 并注重真实性、科学性、趣味性，既有助于中学素质教育，又能考查 分析问题解决问题的能力。 2 隐蔽性：建模条件应具有适度的隐蔽性，这是考查和培养学生 建模能力的一个重要方面。 m 原始性：所给的材料应保持其原始性。来自广播电视、报刊杂 志的信息，政府机关、企事业单位的报告、计划、统计资料等等，都 是数学建模问题原始资料的重要来源。也可以引导学生亲自到一线调 查研究，注意积累找课题。 4 模拟性：由于中学生水平和年龄特征的限