（管理科学与工程专业论文）极值统计的理论及其在风险管理中的应用.pdf

中文摘要 在高科技飞速发展的今天，人们一方面享受着信息社会带来的便利条件， 另一方面又不得不承受着极端事件发生所带来的各种各样的风险这些极端 事件不一定是完全相关的，但在某种程度上又几乎都有一定的相关性本文 主要研究极值统计的理论及其在风险管理中的应用 和谐性度量是刻画两个变量之问相关性的理想指标对于连续型随机变 量，和谐性度量仅仅与c o p u l a 有关，而与边缘分布无关；但对于离散型随机 变量，该结论不成立本文推导了计算任意两个离散型随机变量的和谐性度 量的一般公式，讨论了最小和最大次序统计量的和谐性度量的计算方法，还 分析了离散型随机变量的和谐性度量与边缘分布有关的原因 在金融风险管理中，经常会碰到损失与收益不对称的情况，因此在建模 时，要特别注意非对称性的度量本文提出了非径向对称的度量方法，给出 了最大非径向对称的概念；通过构造4 个奇异c o p u l a ，将最大非径向对称的 c o p u l a 分成4 类；并研究了最大非径向对称c o p u l a 的性质 在深入研究一元极值和c o p u l a 理论的基础上，本文建立了平稳序列阈 值模型、多元m e t a ，t 分布模型和多元阈值模型，分别探讨了它们在网络流量 控制、保险准备金的确定和外汇收益率风险管理中的应用首先，根据阂值模 型建立了网络流量的分布函数，由此可以了解网络流量的情况，进行实时监 测和控制，避免网络崩溃然后，将广义p a r e t o 分布和对数正态分布相结合 作为边缘分布，将t - c o p u l a 作为各项保险业务之间的相关结构，构造了各项 保险业务之间的联合分布根据该分布，计算了保险公式的准备金与传统方 法相比较，该方法至少可为保险公司减少1 0 的准备金，达到了既规避风险 又节约资金的目的最后，将一元超阈值分布与非对称l o g i s t i cc o p u l a 相结 合，构造了多元阈值模型，得到在超阈值情况下，两只汇率的收益率下降的联 合分布，从而对未来两只汇率的走向进行分析和预测 关键词：和谐性度量，非径向对称，v a r ，多元阂值模型，极值 c o p u l a a bs t r a c t i nt h et e c h n i ct i m e ，p e o p l eb e n e f i tf r o mt h ei n f o r m a t i o ns o c i e t y o nt h e o t h e rh a n d ，t h e yh a v et ot a k eo nv a x i o u sr i s k si n d u c e db ye x t r e m ee v e n t s t h e s ee x t r e m ee v e n t sa r en o tc o m p l e t e l yd e p e n d e n t ，b u ti naw a y , a l m o s ta l l e x t r e m ee v e n t sh a v es o m ed e p e n d e n c e t h i sp a p e rm a i n l yt a l k sa b o u tt h e t h e o r yo fs t a t i s t i c so fe x t r e m e sa n d i t sa p p l i c a t i o n si nr i s km a n a g e m e n t m e a s u r eo fc o n c o r d a n c ei sa ni d e a li n d e xt h a td e s c r i b e st h ed e p e n d e n c e b e t w e e nt w ov a r i a b l e s f o rc o n t i n u o u sr a n d o mv a r i a b l e ，m e a s u r eo fc o n c o r _ d a n c ei so n l yr e l a t e dt oc o p u l a ，w h i l ei t i si n d e p e n d e n to fm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n s ；f o rd i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e ，h o w e v e r ，t h i sc o n c l u s i o ni sn o tv a l i d t h i sp a p e ri n d u c e st h eg e n e r a lf o r m u l aw h i c hc o m p u t e sc o n c o r d a n c em e a s u r e b e t w e e na n yt w od i s c r e t er a n d o mv a r i a b l e s ，i ta l s ot a l k sa b o u tt h ew a yt oc o m - p u r et h ec o n c o r d a n c em e a s u r eb e t w e e nm i n i m a lm a dm a x i m a lo r d e rs t a t i s t i c s i na d d i t i o n ，i ta n a l y s i sr e a s o n sw h yc o n c o r d a n c em e a s u r eb e t w e e nd i s c r e t e r a n d o mv a r i a b l e si sr e l a t e dt om a r g i n a ld i s t r i b u t i o n s d u r i n gt h ea n a l y s i so ff i n a n c er i s k ，p e o p l eu s u a l l yc o m eu pa g a i n s tt h e c a s et h a tl o s sa n di n c o m ea r ea s y m m e t r i c t h e r e f o r e ，t h e ys h o u l dp a ya t t e n - t i o nt om e a s u r e m e n to fa s y m m e t r y t h i sp a p e rp u t sf o r w a r dam e t h o dw h i c h m e a s u r e sr a d i a l l ya s y m m e t r y , p r o v i d e st h ec o n c e p to fm a x i m a lr a d i a l l ya s y m - m e t r i cc o p u l a t h r o u g hc o n s t r u c t i n gf o u rs i n g u l a rc o p u l a s ，i ta l s oc l a s s i f i e s m a x i m a lr a d i a l l ya s y m m e t r i c a lc o p u l at of o u rs o r t sa m o n gw h i c he a c hc l a s s c r o s s e st w og i v e np o i n t s i na d d i t i o n ，t h i sp a p e re x p l o r e st h ep r o p e r t i e so f m a x i m a lr a d i a l l ya s y m m e t r i cc o p u l a b a s e so nt h ef u r t h e rs t u d yo fu n i v a r i a t ee x t r e m ea n dc o p u l at h e o r y , t h i sp a p e rf o u n d st h et h r e s h o l dm o d e lo fs t a t i o n a r ys e q u e n c e 、m u l t i p l e m e t a - td i s t r i b u t i o na n dm u l t i p l et h r e s h o l dm o d e l ，s t u d i e st h e i ra p p l i c a t i o n s i nn e t w o r kf l o wc o n t r o l 、d e c i d i n gi n s u r a n c er e s e r v ea n da n a l y z i n gt h er i s ko f e x c h a n g er a t ey i e l d ，r e s p e c t i v e l y f i r s to fa l l ，i te s t a b l i s h e st h ed i s t r i b u t i o no f 英文摘要 n e t w o r kf l o wa c c o r d i n gt ot h r e s h o l dm o d e l s u b s e q u e n t l y , s i t u a t i o no fn e t w o r k f l o wc a nb er e s e a r c h e d ，i n s p e c t e da n dc o n t r o l l e dr e a lt i m e ，f u r t h e rt oa v o i d n e t w o r kb l o w i n gu p t h i sm o d e lp r o v i d e sc r e d i b l ee v i d e n c e sf o ra s s i g n i n g b a n d w i d t ho fn e t w o r kf l o w t h e n ，i tu s e sc o m b i n a t i o no fp a x e t od i s t r i b u t i o n a n dl o gn o r m a ld i s t r i b u t i o na s m a r g i n a ld i s t r i b u t i o n ，u s e st - c o p u l aa s t h ed e p e n d e n ts t r u c t u r ea m o n gi n s u r a n c eo p e r a t i o n s ，c o n s t r u c t st h ej o i n t d i s t r i b u t i o na m o n gi n s u r a n c eo p e r a t i o n s a c c o r d i n gt ot h i sd i s t r i b u t i o n ， r e s e r v eo fi n s u r a n c ef o r m u l ac a nb ec o m p u t e d c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a l m e t h o d ，t h i sm e t h o dc a nr e d u c ea tl e a s tt e np e r c e n t so fr e s e r v ef o ri n s u r a n c e c o m p a n ya n da t t a i n st h ep u r p o s e st h a ta v o i d sr i s ka n ds a v e sf u n d l a s t l y ， t h r o u g hc o m b i n i n gu n i v a x i a t ee x c e s st h r e s h o l dd i s t r i b u t i o na n dn o n s y m m e t r i c l o g i s t i cc o p u l a ，t h i sp a p e rc o n s t r u c t sm u l t i p l et h r e s h o l dm o d e l u n d e rt h e c a s eo fe x c e s st h r e s h o l d ，t h i sp a p e rg a i n st h ej o i n td i s t r i b u t i o no fy i e l d so f t w oe x c h a n g er a t e s a c c o r d i n gt ot h i s ，t h et r e n do ft w oe x c h a n g er a t e sc a n b ea n a l y z e da n dp r e d i c t e d k e yw or ds ：m e a s u r eo fc o n c o r d a n c e ；r a d i a l l y a s y m m e t r i c ；v a r ；m u l t i p l et h r e s h o l dm o d e l ；e x t r e m ev a l u ec o p u l a 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 一虢杀喀呵 签字日期：训7 年，肋日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学名：豁叮 签字日期：凇7 年，月，口日 导师签名：j 乏 了、i 、 签字日期：蚀卯年f 月弦日 第一章绪论 1 1 极值统计理论的演进 极值统计理论主要研究很少发生，然而一旦发生却产生极大影响的随机 事件的统计规律性这些随机事件( 称为极端事件) ，既包括自然界中百年不 遇的洪水、干旱、地震、飓风等，也包括突发战争、重大政治事件等特殊原因 导致股价的暴涨暴跌，重大自然灾害导致保险中的巨额索赔，计算机中的网 络拥塞造成的网络瘫痪等由于它们对人类社会经济生活具有重大的影响， 因此极值理论受到众多学者的关注 极值的近代理论开始于德国，1 9 2 2 年，l v o nb o r t k i e w i c z 研究了正态分 布的样本极差p 1 ，他告诉大家，来自正态分布的样本最大值是一个新的随机 变量，具有新的分布，因此b o r t k i e w i c z 是第一个明确提出极值问题的统计学 家1 9 2 3 年，德国的r v o nm i s e s 研究了样本最大值的期望瞄1 ，这是研究正 态样本极值的渐近分布的开始极值理论的真正发展是e l d o d d 在同年 的工作，他首先研究了一般分布的样本最大值吲最重要的结果是1 9 2 5 年 l h c t i p p e t 的正态总体各种样本量的最大值及相应概率表、样本平均极差 表一1 9 2 7 年，m f r 6 c h e t 发表了第一篇关于最大值的渐近分布的论文挎1 ，1 9 2 8 年，r a f i s h e r 与l h c t i p p e t 发表的文章睁1 ，被认为是极值分布渐近原理的 基础，他们不仅与f r 6 c h e t 独立地找到了f r 6 c h e t 分布，而且还构造了另外两 个渐近分布，即极值类型定理这篇文章大大简化了对极值极限性质的研究， 把多种多样的分布函数按尾部性质分成相当简单的三类，从而建立了这门学 科的基础1 9 3 6 年，r v o i im i s e s 提出了最大次序统计量收敛于极值分布的简 单有用的充分条件1 ，1 9 4 3 年b g n e d e n k o 给出了极值类型定理的严格证明 惮，建立了严格的极值理论，给出了极端次序统计量收敛的充要条件最后，d e h m u n 进一步研究了g n e d e n k o 的工作，将这些结果联系起来完全解决了吸 引场问题p ”1 9 5 5 年，a f j e n k i n s o n 将极值理论应用于风险研究，第一次 说明三种类型的极值分布可以写成一个参数形式一广义极值分布h ，从而 在建模之前不必选择分布的类型。 随着极值理论的发展，极值统计在处理气象、人类寿命、放射性、材料强 度、洪水分析、地震、雨量分析等问题中也得到了应用第一个将样品强度与 极值分布联系起来的是英国棉业协会的f t p e i r c e h 在应用方面，做出最大 第一章绪论 贡献的是著名的瑞典物理学家和工程师w w e i b u t l ，他第一次强调极值概念 对描述材料强度的重要性n3 1 4 1 e j g u m b e l 首先向统计学家与工程技术人 员提出，应该将极值理论应用于某些他们曾经用经验方法考虑过的分布，于 是用极值理论解释了工程界研究了很久的洪水统计分布，以后又用于其它气 象现象与异常观测值的统计问题他的著作反映了极值概率模型的统计应用 结果，系统的归纳了一元极值理论u 引，成为随机变量极端变异性的建模工具 文献f 1 6 】及 17 】讨论了次序统计量的渐近理论，文献 1 8 】对这个问题给出了 比较详尽的叙述，文献 1 9 】主要研究独立同分布随机变量，给出了极端次序 统计量的联合分布文献f 2 0 】发展了离散与连续随机过程的极值理论近5 0 年来，极值理论已发展成为应用科学中一种非常重要的统计方法，在许多领 域都有广泛的应用例如，金融市场的风险评估归1 2 2 1 ，气象变化的评估n 1 2 3 1 ， 海洋波浪模型口刮等文献【2 5 1 总结了到论文发表时的1 9 7 8 年的有关极值理 论与应用的几乎所有重要文献，具有重要的意义文献 2 6 】介绍了极值理论 在各个方面，特别在工程领域的应用有关极值分布及其应用的综合性文献 是 2 7 1 最新关于极值的渐近理论与统计应用的著作有 2 s 【3 1 】 一元极值理论在各个领域内的成功应用，一方面逐步完善了一元极值的 理论；另一方面也推动了多元极值理论的发展在研究多元极值时，首要的 问题是多元极值的分布具有什么样的结构? 文献f 3 2 】指出，多元最大值的极 限分布多元极值分布的边缘分布都是广义极值分布，而且多元极值分 布本身还必须满足一定的条件作为连接多元分布函数和边缘分布函数的桥 梁c o p u l a 自然该发挥作用了事实上，任何一个多元分布是极值分布的 充要条件是，该多元分布确定的c o p u l a 是极值c o p u l a ，且边缘分布是广义 极值分布因此在某种程度上，可以将多元极值的研究问题转化为多元极值 c o p u l a 的研究问题 c o p u l a 理论的提出可以追溯到1 9 5 9 年p ，s k l a r 定理将多元分布与 c o p u l a 连接起来，使得通过c o p u l a 和边缘分布很容易构造多元分布函数 烨一在大多数应用中，常假设联合分布服从多元正态分布或多元t 分布，但 这种假设在很多情况下是不成立的例如：研究表明，汇率的日收益率服从t 分布，而且不同汇率的分布函数具有不同的自由度，所以除非它们的自由度 非常接近，否则很难用一个现有的分布如二元t 分布来描述两个汇率的联合 第一章绪论 分布然而在许多金融问题如期权定价、投资组合的v a r 计算等中，又需要 知道联合分布的密度函数，因此人们试图寻找一个能更好描述某些金融现象 的实用分布而c o p u l a 正好解决了这个问题c o p u l a 在实际建模中有许多优 点首先，由于不限制边缘分布的选择，可运用c o p u l a 理论构造灵活的多元 分布其次，运用c o p u l a 理论进行建模时，可将随机变量的边缘分布和它们 之间的相关结构分开来研究，这使建模问题大大简化，同时也有助于对很多 问题的分析和理解另外，如果对连续型随机变量作非线性的单调增变换，常 用的关联性度量线性相关系数的值会发生改变，而由c o p u l a 函数导出 的和谐性度量的值则不会改变，因此由c o p u l a 函数导出的和谐性度量应用 范围更广、实用性更强此外，通过c o p u l a 函数，可以捕捉到变量间非线性、 非对称的相关关系，特别是容易捕捉到分布尾部的相关关系p 6 叫c o p u l a 理 论的这些性质和特点使c o p u l a 理论在金融、保险等领域得到了广泛的应用， 参见文献【3 8 】一【4 2 】等在国内，一些学者如史道济、罗俊鹏、关静、张尧庭、 朱国庆、韦艳华、张世英、王春峰、张维、吴振翔、陈敏、叶五一、缪柏其、 杨振海、王玉林等介绍了c o p u l a 理论及其在相关性和金融风险分析上的一 些应用，参见文献【4 3 】一 5 s 】等 由于c o p u l a 和概率论的深入研究，多元极值理论有了较大的发展，并成 为目前极值理论研究的热点问题，在理论方面，已经形成了区组最大值模型 删、多元阈值模型6 川和点过程模型8 1 1 在统计推断和应用方面，主要针 对参数模型，文献【6 2 】给出了一些具体的参数模型，文献【6 3 】【7 2 1 给出了二元 和三元l o g i s t i c 模型的参数估计，文献【7 3 一【7 7 】讨论了二元和多元极值分布 的l o g i s t i c 模型的f i s h e r 信息阵，文献【7 8 ，7 9 】研究了多元极值分布的随机 抽样问题近年来，国内也有许多文献研究了多元极值问题，大多属于应用范 围，参见文献f 8 0 一【9 7 】等 本文将针对极值统计中存在的缺陷，研究离散型随机变量的和谐性度量 和非径向对称随机变量的性质，分析联合分布与边缘分布之间的关系，建立 平稳序列模型、多元m e t a ，t 分布模型和多元阈值模型然后根据这些模型， 分别探讨它们在网络流量控制、保险准备金的确定和汇率风险管理中的应用 3 第一章绪论 1 2 论文的主要内容与创新点 1 2 1 论文的主要内容 论文从第2 章开始，分别对一元极值理论、c o p u l a 理论、次序统计量的 和谐性度量、非径向对称c o p u l a 的性质、多元tc o p u l a 的性质和应用、多 元极值理论及其应用进行研究 第2 章主要讨论一元极值理论，包括广义极值分布和广义p a r e t o 分布的 定义与性质、极值分布的最大值吸引场、极值分布的参数估计与性质，并讨论 用广义p a r e t o 分布建模时，阈值的选取原则以及模型是否合理的检验方法 最后将平稳序列的阈值模型应用到网络流量控制中，得到比以往模型更简单 的描述流量分布的函数利用该函数，可以及时地了解网络流量的情况，进行 实时的监测和控制，避免网络拥塞 第3 章首先简要介绍c o p u l a 的基本概念与性质，列举常见c o p u l a 族的 表达式，给出比线性相关系数应用更广泛、更合理的和谐性度量与刻画尾部 相关性的尾部相关系数的概念，以及用非参数原理估计这些度量的方法此 外，还将讨论一个在概率论中容易产生疑问的问题：联合分布函数与边缘分 布函数的关系根据s k l a r 定理，联合分布函数完全确定边缘分布和c o p u l a ； 反过来，给定c o p u l a ，由不同的边缘分布可以构造出不同的联合分布如果给 定边缘分布，当随机变量是连续型时，c o p u l a 和联合分布函数之间存在一一 对应关系；当随机变量是离散型时，子c o p u l a 和联合分布函数之间也存在一 一对应关系 第4 章针对离散随机变量的特殊性，推导计算k e d a u7 和s p e a r m a np 的一般公式因为次序统计量是极值理论中的研究主体，因此，该章将具体讨 论最小和最大次序统计量的和谐性度量的计算方法，并分析和谐性度量与边 缘分布有关的原因 第5 章主要研究非径向对称c o p u l a 的性质在金融风险分析中，经常 碰到损失与收益不对称的情况，因此在建模时，要特别注意非对称性的度量 本章提出非径向对称的度量方法，通过构造4 个奇异c o p u l a ，将最大非径 向对称的c o p u l a 分成4 类，每一类c o p u l a 必通过两个定点研究表明，最 大非径向对称c o p u l a 的和谐性度量满足1 3 l p ( x ，y ) l 5 9 ，丁( x ，y ) 【- 1 9 ，5 9 ，或丁( x ，y ) 【- 5 9 ，1 9 第一章绪论 第6 章主要研究多元tc o p u l a 及其相关c o p u l a 的性质；讨论多元t c o p u l a 参数估计的若干方法：最大似然方法、伪似然方法、i f m 方法和半参 数方法；给出tc o p u l a 的随机模拟方法最后将这些方法应用到保险准备金 的确定上将p a r e t o 分布和对数正态分布相结合作为边缘分布，将tc o p u l a 作为各项业务之间的相关结构，构造各保险业务之间的联合分布，由此计算 保险公司的准备金计算结果表明，与传统方法相比较，用该方法估计v a r ， 至少可为保险公司减少1 0 的准备金 第7 章在研究多元c o p u l a 的基础上，主要讨论多元极值分布的性质、极 值c o p u l a 的吸引场、相关函数的非参数估计方法、相关函数与极值c o p u l a 的关系、特别指出若干经常使用并且效果较好的二元极值c o p u l a 的相关函 数及其特点根据多元分布与c o p u l a 的关系，把研究多元极值分布的问题转 化成研究多元极值c o p u l a 的问题根据一元极值理论，我们将超阈值分布与 极值c o p u l a 相结合，构造多元超阈值模型，并将该模型应用到汇率( 美元对 欧元和美元对e l 元) 的风险分析之中通过对多种极值c o p u l a 的拟合、比较 和分析，最终选择非对称的l o g i s t i cc o p u l a 作为汇率分析的极值c o p u l a ，边 缘分布为超阈值分布，得到在超阈值的情况下，两只汇率的回报率下降的联 合分布函数根据该分布函数，可以对未来两只汇率的走向进行分析和预测 1 2 2 论文的主要创新点 其一，和谐性度量是刻画两个变量之间关联性的理想指标对于连续型 随机变量，和谐性度量仅仅与c o p u l a 有关，而与边缘分布无关；但对于离散 型随机变量，该结论不成立本文推导了计算任意两个离散型随机变量的和 谐性度量的一般公式，具体讨论了最小和最大次序统计量的和谐性度量的计 算方法，分析了离散型随机变量的和谐性度量与边缘分布有关的原因详见 第四章 其二，在金融风险分析中，经常会碰到损失与收益不对称的情况，因此在 建模时，要特别注意非对称性的度量本文提出了非径向对称的度量方法，给 出了最大非径向对称c o p u l a 的概念；通过构造4 个奇异c o p u l a ，将最大非径 向对称的c o p u l a 分成4 类，每一类c o p u l a 必通过两个定点；并研究了最大 非径向对称c o p u l a 的性质详见第五章 其三，在深入研究一元极值和c o p u l a 理论的基础上，本文建立了平稳序 第一章绪论 列阈值模型、多元m e t a - t 分布模型和多元阈值模型，分别探讨了它们在网络 流量控制、保险准备金的确定和外汇收益率风险分析上的应用先根据阈值 模型建立了网络流量的分布函数，由此可以了解网络流量的情况，进行实时 监测和控制，避免网络崩溃，同时也为网络流量的带宽分配提供了可靠依据 再用p a r e t o 分布和对数正态分布相结合作为边缘分布，用tc o p u l a 作为各 项保险业务之间的相关结构，构造了各保险业务之问的联合分布根据该分 布，计算了保险公式的准备金与传统方法相比较，该方法至少可为保险公司 减少1 0 的准备金，达到了既规避风险又节约资金的目的最后，将一元超 阈值分布与非对称的l o g i s t i cc o p u l a 相结合，构造了多元闽值模型通过对 多种极值c o p u l a 的拟合、比较和分析，选择非对称的l o g i s t i cc o p u l a 作为 汇率分析的极值c o p u l a ，得到在超闽值的情况下，两只汇率的收益率下降的 联合分布函数，由此可以对未来两只汇率的走向进行分析和预测详见第二、 六、七章 第二章一元极值理论及其应用 极值理论作为统计学中所有领域的独特内容之一，主要是研究随机变量 的极端( 极值) 事件的统计规律性一般来说，极值的精确分布难以估计，因 此主要研究其渐近分布研究极值分布的理论称为极值理论( e x t r e m ev a l u e t h e o r y ) ，简称e v t 目前，极值理论的应用已经深入到许多领域，除了传统的 水文、气象、地震与工程，近年来在保险与金融中也得到了更广泛的应用本 章首先介绍一元极值的经典理论，然后利用极值方法建立网络流量控制模型 2 1 极值分布的类型及其性质 设x 1 ，恐，是独立同分布的随机变量，分布函数为f ) ，对自然数死， 令 地= m a x x 1 ，k ，m n = m i n x 1 ，k )( 2 1 ) 分别表示佗个随机变量的最大值与最小值，则 p r ( m n z ) = p r ( x a z ，) z ) = f 竹( z ) ， z 酞， p r ( m n z ) = 1 一p r ( 仃h z ) = 1 一【1 一f ( z ) 】n ，x r ， 这里r 表示所有实数集合如果已知分布函数f ( 2 7 ) ，就可以根据上式，精确 地求出最大值和最小值的分布函数但在应用中，f 往往是未知的，因此很 难直接用于统计分析所以，我们需要研究最小值m n 和最大值螈的极限 分布，它们有很重要的理论和实际意义又因为m n = m i n x 1 ，) = 一m a x 一墨，一) ，所以，在此仅仅讨论最大值的极限分布若记 a = z ：0 f ) 1 ) ， 2 7 * 2 翌a ， 2 7 , 21 n a fa ， 称集合a 为分布f 的支撑，茁+ 和x 。分别为分布f 支撑的上端点和下端点显 然对所有2 7 。x x + ，都有 p r ( m n x ) = f n ( 2 7 ) _ 0 ， 佗_ 。o 如果f 的上端点矿有限，即z + o ) 和_ ( k ) ，使得 l i mp rf ，m n - b n z 、) ：h ( z ) ，z 酞( 2 - 2 ) n - - - + o o a n 成立，其中h ( x ) 是非退化的分布函数，那么日必属于下列三种类型之一： i 型分布：日1 ) = e x p - e 川) ，一 _ o 其中i 型分布称为g u m b e l 分布，i i 型分布称为f r 6 c h e t 分布，i i i 型分布称为 w e i b u l l 分布，这三种分布统称为极值分布( e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ) 当 q = 1 时，分别称h 2 ( x ；1 ) ，h 3 ( x ；1 ) 为标准f r 6 c h e t 分布与标准w b i b u l l 分布 极值类型定理说明，如果经线性变换后，对应的规范化变量螺= ( 靠一k ) 依分布收敛于某一非退化分布，那么，不论分布f ( x ) 是何种形 式，这个极限分布必定属于极值分布的三种类型之一因此，极值类型定理提 供了类似于中心极限定理的极值收敛定理证明参见【2 0 】 从模型的角度来看，三种极值分布类型研( z ) ，凰( z ；o ) 和风( z ；q ) 完全 不同，但从数学的角度来看，它们之间却存在着非常密切的关系事实上，可 以直接验证下面的结论：设x 0 ，则 x h 2 错l o gx q h 1 错一x 一凰( 2 - 3 ) 因此在多元极值分布研究中，为方便起见，总是假定其中任意类型的极 值分布 定义2 1 对于给定的分布f ( z ) ，如果存在序列a 。 o ) ， 6 n ，使得 f n ( a n x + b n ) = f ( z ) ， 则称分布函数f ( x ) 是最大值稳定的( m a x s t a b l e ) 8 第二章一元极值理论及其应用 由定义2 1 及( 2 2 ) 式知，若f ( x ) 是最大值稳定的，则相应的的分布 仍然是f ( z ) 定理2 2 一个分布函数f ( x ) 是最大值稳定分布，当且仅当f ( x ) 是三 种极值分布之一 这三种分布代表了三种不同的极值行为，如果引进形状参数，位置参数 p 和尺度参数仃，则三种类型的极值分布函数可以用统一的形式 脚m 畎) = e x p 一( 1 + f 掣) 。压 ，1 州沙 0 ( 2 - 4 ) 来表示，其中p ，专r ，盯 0 称h 为广义极值分布( g e n e r a l i s e de x t r e m e v a l u ed i s t r i b u t i o n s ) ，简记为g e v 分布当 0 时，日( z ；p ，盯，) 表示极值 i i 型分布，其位置参数和尺度参数分别为p a 盯和a 盯当= 0 时，它表 示极值i 型分布当毒 0 ，当x _ + 。o 时，分布以x _ q 形式趋于0 ，因此分布的尾部较长；当 = 0 时，分布的尾部呈指数状e - x ；当 o ) 和 k ) ，使得( 2 - 2 ) 式成立，那么非退化分布h 就是定义在 z ：1 + ( z p ) 仃 o ) 上的g e v 分布( 2 - 4 ) 广义极值分布的密度函数为 九( x ；z , o r , 沪如m ) ( 1 + 等) 一1 + v 。，1 + 融刊加0 ( 2 5 ) 特别当p = 0 ，盯= 1 时，称为标准广义极值分布，分布函数与密度函数分别为 h ( x ；) ：e x p - - ( 1 + 缸) i 0 ， 1 + 豇 0 ， ( 2 6 ) ( z ；) = ( 1 + z ) 一1 + 1 o e x p 一( 1 + z ) 一1 7 亭 ， l + z o ( 2 7 ) 对= 0 的g u m b e l 分布，我们有 h ( x ) = e x p 一e 一孚 ， ( 2 - 8 ) 第二章一元极值理论及其应用 ) = _ e x l p _ 字一孚 显然，如果x 日( z ；p ，盯，) ，则标准化变量( x 一肛) 仃一日( z ；) ( 2 - 9 ) 定义2 2 称分布函数f ( x ) 的广义反函数 f _ 1 p ) = i n f x 酞：f ( x ) p ) ，0 p 1 为它的分位数函数，而x p = f - 1 p ) 称为f 的p 分位数 下面给出分位数函数的一些性质【2 8 】 定理2 4 设随机变量x 的分布函数为f ( z ) ，f _ 1 是分布f 的分位数 函数，则 1 如果随机变量u 在区间【o ，1 】_ k n 从均匀分布，那么随机变量f - 1 ( u ) 的分布函数为f 2 如果分布函数f 是连续的，那么随机变量f ( x ) 在区间 0 ，1 】上服从 均匀分布 根据分位数的定义，得广义极值分布的p ( o o ) ， k ) ，当他_ 时，对所有的 z r ，有 n f ( a n x + b n ) _ 让( z ) ，( 2 1 2 ) 当且仅当 p r ( m n z + k ) 一e - u ( 引， ( 2 1 3 ) 其中f ( z ) = 1 一f ( z ) 为x 的生存函数，它表示分布f ( z ) 的尾部 证明见【9 8 】第三章根据定义2 3 和定理2 5 易推得下面的定理 定理2 6 如果存在常数列 o n o ) ， k ) ，使得 l i mn f f ( a n z + k ) = 一l o gh ( x ) ， ( 2 1 4 ) 当且仅当分布函数fe m d a ( h ) 当h ( x ) = 0 时，( 2 1 4 ) 的右边解释为o 。 要特别注意的是，上述数列 o n o ) ， 6 n 】- 的选择并不是惟一的这就是 说，如果选择不同的数列，就可能得到不同的极限分布，但这些分布之间具有 一定的关系，下面的定理陈述了这种关系 定理2 7 如果存在数列 o n o ) ， k ) 和 o ) ， 如) ，使得 l i mp r ( m n a n x + b n ) = 日( z ) ， l i m p r ( m n z + 如) = h + ( z ) ， 则存在常数a 0 ，b 使得 日+ ) = h ( a z + b ) 这时称分布函数h ( x ) 和日+ ( z ) 是同类型的 该定理说明，尽管数列 n n o ) ， k ) 有各种不同的选择，但极限分布必 定属于同一类型如果两个分布函数是同类型的，就认为这两个分布函数的 吸引场是等价的因此，只要找到一组数列，求得螈的极限分布，即可确定 底分布所属的吸引场 如果定义函数 u ( t ) = f - 1 ( 1 一亡- 1 ) ，t 0 ，( 2 1 5 ) 则有下面的结论： 第二章一元极值理论及其应用 ( b ) 存在一个正的( 可测) 函数o ( ) ，使得对1 + 豇 0 ， 粤产= 协缸广叫黧宝 江峋 l i m u ( s x 旷) - u ( s ，) 。= 譬篡 协忉 证明见【9 8 】第三章如果随机变量x 的分布函数f m d a ( 日( z ；) ) ， 缈( 筹刈) = 矿珧鬻： ( 2 一1 8 ) 这就是说，在条件z u 下，规范化随机变量( x u ) 口( 牡) 的分布极限为 ( 1 + 缸) _ 1 膳或e ，这个解释在许多应用中有重要的意义 常见分布所属的最大值吸引场以及规范化常数 o n ) ， 6 竹) 的确定，参见 文献【2 8 ，3 0 】 2 3 超阈值分布与广义p a r e t o 分布的性质 当用广义极值分布建立模型时，对区组个数n 的选择要恰当因为每次 只能从佗个数据中选取一个最大值进行建模，这样导致了对数据所包含信息 的巨大浪费又由于人们在实践中发现不只是数据的最大值才是极值，若有 两个或两个以上的大值处于同一个长度为n 的数据区间内，则只能选出一个 大值来，而浪费了另一个或更多的大值但如果选定一个较大的阈值，那么超 过这个阈值的所有数据都可以认为是极值，这样就可以充分利用极值数据所 提供的信息下面将介绍的广义p a r e t o 分布就是反映这些超过阈值的极值数 据统计特征的分布形式 定义2 4设x 。，k 是独立同分布的随机变量序列，分布函数 f ( x ) 支撑的上端点为z + ，选取一个阈值u ，称观测值大于阈值u 的为超阈值 1 2 第二章一元极值理论及其应用 咒( z ) = p r ( x u z i x u ) = ! 堑毛紫，z o ( 2 - 1 9 ) 称r ( z ) 为随机变量x ( 9 布函数f ) 的超过阈值u 的超出量的分布函数，简 称超出量分布对应的密度函数为 脚) = 帮，z 0 目叫( z ) = p r ( x z i x 札) = 墨搿，z 钍，( 2 - 2 0 ) 称为随机变量x ( 分布函数f ) 的超阈值分布函数，对应的密度函数为 抽( 班船，z 独 称 e f u l = e ( x 一札i x “) 为随机变量x 的平均超出量