（计算数学专业论文）两类抛物型方程的全离散配置解法.pdf

山东大学硕士学位论文 两类抛物型方程的全离散配置方法 王宣欣 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文给出了两类抛物型方程一线性和拟线性抛物方程的全离散配置解法我 们对求解区域进行剖分。采用分片双三次h e r m i t e 插值对空间进行离散，对时间采 用一般的差分，在高斯节点上建立求解格式，并对格式进行分析，均得到最优阶的 日1 模估计 本文共分为两章 第一章处理了矩形域上的线性可变系数抛物方程的初边值问题在这一章，我 们构造了一种全离散格式来求解该问题通过分析我们证明了时间步长充分小的情 况下，梧式是稳定的，并且关于空间的h 1 模是最优的本章分为五节 第一节是引言给出r 方程 甓+ + 纠u = m ，刚) 7 ( 训，北q = q ( 啦】 “( z ，y ，t ) = 0 ，( z ，y ，t ) a qz ( 0 ，t ； 仳( z ，y ，0 ) = 7 2 0 ( z ，y ) ，( z ，y ) q n = ( 0 ，1 ) z ( 0 ，1 ) ，a q 表示q 的边界 三l u = 一n 1 0 ，可，) “。+ b l ( x y ，f ) 虬+ c ( x ，y t ) u ； 2 “= - a 2 ( x ，y ，t ) 让w + 6 2 0 y ，f ) “v 且 0 ：ocm o 满足 【 ? + ( 1 n 一 + l ：一j 1 ) 。n + ( ) ：叫n ( ) a 礼= 0 1 ，一，j l 那么当j 充分小时，有下式 m a x o n j 。 然后进一步得到误差估计的结论 定理5 2 ( h 1 一收敛性) 设u 是问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) 的解，且满足定理4 1 的假设 设 u ) ：ocm o 是全离散格式( 41 ) 一( 4 2 ) 的解，那么有如下估计： 。m 。a 。x 。i i “u ：i i h - ( n ) g ( ) 2 + 3 ) 第二章处理了拟线性抛物方程的初边值问题，我们采用一维问题的处理方式给 出了近似解的求解格式，并且分析得到近似解的存在唯一性，进而得到日1 一模估 计本章分为四节 i i i 2 a n 叫 “ + n2 日 r【 e 一 n2 日 n u 山东大学硕士学位论文 第一节是引言，给出抛物方程 f ( z ，“) 筹= “+ 6 ( z ，以乱) v u + ，忙，f ：让) ，。q ：te ( o ，刁 u ( 上) = 0 z a q t ( 0 ，丁】； u ( x ，0 ) = u o ( z ) ，z q q = ( o ，i ) x ( 0 ，1 ) ，o f 2 表示q 的边界，b = ( b l ，6 2 ) t 是一向量函数 第二节给出分析中用到的引理和结论，并给出了部分引理的证明 第三节给出了求解格式：寻找映射c ，：f o ，t 1 ，抽 m o 满足 ( c ( y “+ ) 觑矿“一jl “+ 一b ( u ”+ ；) v u 8 + 一l ( u “+ ；) ) 任) = 0 ，a 礼= 0 ，1 ，一1 ： 初值取为： u o ( f ) = 1 v ( ，0 ) ：f a 然后证明了时间步长充分小的情况下，格式的解是存在唯一的，进而有如下定理 定理3 1 当充分小时，矩阵e 非奇异 定理3 2 方程( 3 1 ) 与( 3 3 ) 等价，且t 充分小时有唯一解 最后一节给出了误差估计 定理4 1 设“是问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解，u 是全离散格式( 3 4 ) 一( 35 ) 的解假定系数c b ，关于u 连续可微， 1 1 “1 1 2 ，2 ，2 ，i i u l l o0 ，3 为( 4 5 ) 定义；如果 u l 。( o ，丁；日5 ( q ) ) ，岛u 三”( o ，t ；日4 ( q ) ) n 硪( q ) 那么对于充分小的a t u 存在唯一，且有误差估计式 。m 。a 。x “i ( 让一矿) 。l | 日- ( n ) 墨e ( t ) 2 + 3 关键词：线性，拟线性，抛物问题，分片双三次h e r m i t e 插值，截断误差。全 离散格式 山东大学硕士学位论文 d i s c r e t e t i m ec o l l o c a t i o nm e t h o d s f o rt w oc l a s s e s0 fp a r a b o l i c e q u a t l 0 n s w a n gx u a nx i n ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y ，j i n a n2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t d i s c r e t e - t i m ec o l l o c a t i o nm e t h o d sf o rt w oc l a s s e so fp a r a b o l i ce q u a t i o n s - l i n e a r a n dq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n sa r eg i v e n w eg i v eap a r t i t i o no ft h ea r e aa n d u s ep i e c e w i s eh e r m i t eb i c u b i c sf o rs p a t i a ld i s c r e t i z a t i o na n dag e n e r a ld i f f e r e n c ef o r t i m ed i s c r e t i z a t i o na n dp r e s e n tas c h e m eo nt h es e to fg a u s sp o i n t s b ya n a l y s i st h e o p t i m a le s t i m a t eo fh l _ n o r ma r ea t t a i n e d t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ef o r m u l a t ead i s c r e t e t i m ec o l l o c a t i o ns c h e m ef o rs o l v i n g ag e n e r a ll i n e a rv a r i a b l ec o e f f i c i e n tp a r a b o l i cp r o b l e m so nar e c t a n g l e b ya n a l y s i s o fc o n v e r g e n c ew es h o wt h a tf o rs u f f i c i e n t l ys m a l lt i m es t e p s i z et h es c h e m ei ss t a b l e a n ds e c o n d - o r d e ra c c u r a t ei nt i m ea n do fo p t i m a l - o r d e ra c c u r a c yi ns p a c ei nt h e 日l - n o r m t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni si n t r o d u c t i o n ，w h i c hg i v e se q u a t i o n s 瓦o u + ( l l + l 2 ) u = f i x , 删， ( 茁，川q = q ( o ，丁j ( z ，v ，t ) = 0 ，( z ，y t ) o f tx ( 0 ，卅； u ( x ，y ，0 ) = u o ( x ，们( x ，y ) q w h e r eq = ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 ) ，o f li st h eb o u n d a r yo f q l 1 “= 一a 1 ( x ，y ，t ) u 。：+ b 1 ( z ，y t ) u 。+ c ( x ，y ，t ) ； l 2 u = 一a 2 ( x ，y ，) 乱w + 6 2 ( z y ：乱y a n d 0 a m i 。l ( z y ) ，a 2 ( x ，y ，t ) a 。a ( z ，y t ) q v 山东大学硕士学位论文 i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w eg i v es o m en o t a t i o nd e f i n i t i o n si n c l u d i n gt h es e to f g a u s sp o i n t saa n dt h ed i s c r e t ei n n e rp r o d u c t aa n dt h en o r m i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r yl e m m a sa n dr e s u l t sa n dp r o v e l e m m a 3 2a n dl e m m a 3 4 ，w h i c ha r et w oo ft h ed i f f i c u l t i e s l e m m a 3 2 i fu m o ，t h e n c 1 叫l as 恻k i n ) sc l b , l l _ , g 曼，( s a c 2 jj , jj 5 ， l e m m a 3 4 a s s u m et h a t l u = 一( n 1 ( z ，y ，t ) u ；) ：一( a 2 ( z ，y ，t ) “f ) + 6 i ( y ，t ) u z + b d z y ，o ) “+ c ( x 口) “，( z ，y ，t ) 国 1 h e n a = 4 ( 茁，) + a p 扣，讲) ，甜甜矗，。：t ( o ，邪， w h e r e 4 ：i = 0 ，1 ，t ( o ，t ，a r eb i l i n e a rf o r m sf r o mm o m oi n t ors u c ht h a t a ( 口，w ) = a g ( 州 ) ，u w m o t ( o 丁】， o 二n a 矿( u ，u ) a m a x mu m o ，t ( o ，t ， l g 。 ，”) 一4 9 2 ( 移，v ) t g t t i 一2 l ， m o ，t ( o ，丁】， a i 扣，w ) tsg | 6 i1 1 w l l a ，可，w m o ，t ( o ，丁】， w h e r 9 扣。瑟川骞，1 1 鬻1 1 e ( 。) ) + 1 1 6 z i l c ( 审) + 1 1 如 l c ( 国) + 1 c 1 c ( 。) i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，w eg i v et h ed i s c r e t e - t i m es c h e m e l e tnb et h es o l u t i o n o f ( 1 】) ( 1 ，5 ) a n ds u f f i c i e n t l ys m o o t h f o rn = 0 ，1 ，1 e t “备3 1b et h e p i e c e w i s eh e r m i t eb i c u b i ci n t e r p o l a n to f 扩( - ) = 珏( - ，如) t h ed i s c r e t e - t i m es c h e m e i sd e s c r i b e da sf o l l o w s f i n d 扎 n ，n j ：ocm os u c ht h a tf o rn = 0 1 ，一，j 一1 ， ( u ) ? + ( r 十2 n + ) 面；j ( f ) ：，n + ( 、 山东大学硕士学( 立论文 w i t ht h ei n i t i a lv a l u ec o n d i t i o n ( u h ) o ( f ) = ：札h ( f 0 ) f a w h e r e 面r 5 = 邢l n 十l + “z ) ，t h e 。p e r a t o r 三? 一i = l ，2 ，a r et h ed i f f e r e n t i a l 。p e r a t 。r s g i v e nb y ( 1 。4 ) a n d ( 1 5 、w i t ht = 。+ ； t h e nf o rn = 0 ，1 ，一1 w ed e f i n et h et r u n c a t i o ne r r o ro f ( 4 1 ) b ) 冀+ ( f ) ：【( a ) n t i l 。野) ? + ( ：+ 十：+ i ) ( u n + 一霞了i ) 】( ) ， a w h e r e 面寸5 = ( “f 十啮) b ya n a l v s i sw ed e r i v e t h e o r e m 4 1a s 、u i i p ，轨i ，= i 2r b e l o n gt oc ( 口) 1 e t 露jb eg i v e n b v ( 4 3 ) i f ，ef f i ) 7h f q ，ni 、o2 旧- 、f 。o ，j ，2 ( 0 ) r 1c o o 3 ( 国) ，= 0 1 2 ，：i2 ，a l 1 f f 0 ，t 1 ，4 ：32 、t h e n j t 脚一：n j t 4 + h 6 t h ef i f t hs e c t l o ua ip l i p 、r h e r e o m4lt og e tt h es t a b i l i t yr e s u l t t h e o r e m 5 i ( h k s t a b i i i t v ) l e t y n ：o 二m os a t i s f y u ? tl l ? + 5 。上：+ 5 ) f “+ 1 ( f ) = w n ( f ) f a ，n = 0 ，1 一，j 一1 i fa ti ss u f l i c i e n t l vs m a l l ，t h e n o n m a 眇x i s 钟拙到训l i ) n e x tw eh a v et h ee s t i m a t er e s u l t t h e o r e m 5 2 ( h l c o n v e r g e n c e ) l e tub et h es o l u t i o no f ( 1 1 ) 一( 1 6 ) w i t ht h e a s s u m p t i o n so ft h e o r e m4 1 l e t 扯 ，：oc j j ob et h es o l u t i o no f ( 4 1 ) 一( 4 2 ) - t h e n 。m 。a x ji i “一“：| | h t ( n 1 sc ( t ) 2 + h 3 山东大学硕士学应论文 ：= ：= ：= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 一 t i l es e c o n dc h a p t e rc o n s i d e r sac l a s so fq u a s i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s n e u s et h em e t h 。ds i n f i l a rt oo n ed i m e n s i o np r o b l e mt og i v et h es c h e m et og e tt h e a p p r o x i m a t es o l u t i o na n dp r o v eu n i q ，l e n e s so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n a tl a s t w 。 g e t 日l - n o r me s t i m a t e i ti sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n s s i m i l a r i l y , t h ef i r s ts e c t i o ng i v e se q u a t i o n sa s c ( 。t ，u ) 瓦o u = t + 6 ( z ，t u ) v “+ ，( z ，t ，) ，z f l , t e ( 。，丁1 u ( z t ) = 0 z o f f ，t ( o ? 3 ； u ( x ，0 ) = 扎o ( z ) ，。q n = ( o 1j ( 0 ，1 ) o f fi st h eb o u n d a r yo fn b = ( 6 1 5 2 ) r i sav e c t o rf u n c t i o n t nt h es e r o n ds e c t i o n w eg i v es o i t i el e m m a sa n dr e s u l t sw h i c hw i l lb eu s e d l a t e rt h e nw ep r o v es o m eo ft h el e m m a s i nt h pt h i r ds e c t i o n t h es c h e m ei sd e f i n e da s ：f i n du t o ，t 1 t x 一_ ，o s u c ht h a t c ( 己n + ) d 。r n 一u n + 一b ( l i “+ ) v e ，“十 一i ( u “+ 告) ( s ) = 0 n = 0 1 - 一、- 一1 ： t h ei n i t i a lc o n d i t i o ni s u o ( f ) = t i ( ，o ) ，f a t h e nw es h o wt h a tf o rs u f f i c i e n t l ys m a l lt i m es t e p s i z et h e r ee x i s t sa u n i q u es o l u t i o n o ft h es e l l e m e 。 t h e r o e m 3 1 w h e n , x ti ss u f f i c i e n t l ys m a l l ，t h em a t r i xe i sn o n s i n g u l a r t h e r o e m 3 2 t h ee q u a t i o n ( 3 1 ) i se q u i v a l e n tt o ( 3 3 ) ，m o r e o v e r ，t h e r ee x i s t s au n i q u es o l u t i o no ft h e mi f ti ss u f f i c i e n t l ys m a l l a t1 a s tw es h o wt h ee r r o re s t i m a t eb e t w e e nt h er e a ls o l u t i o na n d t h en u m e r i c a l s o l u t i o ni nt h ef o u r t hs e c t i o n t h e r o e m 4 1 l e tui st h es o l u t i o no f ( 1 i ) 一( 1 3 ) ，ui st h es o l u t i o no ft h e d i s c r e t e t i m es c h e m e ( 3 4 ) 一( 3 5 ) a s s u m et h a tc ，6 ，a r e d i f f e r e n t i a b l ew i t hr e - s p e c tt o 札a n d ；i u l l 2 2 ，2 ，5 u j l 。，o ，3 i sd e f i n e da s ( 4 5 ) ；i f 珏l 2 ( o ，t ；h 5 ( q ) ) ，a 山东大学硕士学位论文 工。( o ，丁；h 4 ( q ) ) n 础( q ) ，t h e nf o r ts u f f i c i e n t b s m a l l t h e r ee x i s t sau n i q u eu a n dt h ee r r o rb e t w e e nua n dus a t i s f i e s 。m 。a 。x “1 1 ( 札一u ) 1 1 日- ( n ) sg ( f ) 2 + h 3 k e y w o r d s ：l i n e a r ，q u a s i l i n e a r ，p a r a b o l i cp r o b l e m s ，p i e c e 7 i s eh e r m i t eb i c u b i c s t h et r u n c a t i o ne r r o r ，t h ed i s c r e t e - t i m es c h e m e 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：墨壑丘塾日期：型：生塑 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：垂宣邀导师签名：夏隧垄盈日期：麴j ：k 丝 第一章全离散配置法求解一类线性抛物方程 本文构造了一种全离散格式来求解矩形域上的一类满足齐次d i r i c h l e t 边界条 件的线性可变系数抛物问题，该格式对空间和时间分别采用分片双三次h e r m i t e 正 交样条配置和有限差分进行离散误差估计中对椭圆算子作了有效的处理，从而证 明了时间步长充分小的情况下，格式是稳定的，且关于空间的日1 模是最优的 1 引言 我们考虑用全离散格式求解线性抛物方程的初边值问题 害+ ( 工。+ 纠让= m m 氓( 砌，t ) q = q ( o ，丁 u ( z y t ) = 0 ，( z ：y t ) o f t ( 0 ，丁 ； u ( x y ：0 ) = t t 0 ( 。，g ) ，( z y ) 壶 f 2 = ( 0 1 ) ( 0 ，1 ) ，a q 表示q 的边界 且 l 1 u = 一口l ( i r y t ) 札。+ b l ( x g ) u 。+ c ( 。y ，f ) u l e a = 一a 2 ( x y ，t ) + b 2 ( x y t ) “g ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 0 a m i 。sa l ( z y ，) ，a 2 ( x ，y t ) sa m “，扛，y ，t ) q( 1 6 ) 文中的格式采用了分片双三次h e r m i t e 正交样条配置进行空间离散，对时间采用 了一般的差分正交样条配置法对于近似求解一类较广泛的问题是很有效的( 参看 【1 2 】，【3 ，f 6 ，【8 】) 与有限差分法相比较，该方法可以求出问题所在区域中任一点处 的近似解和空间导数，而且具有较高的精确性；与g a l e r k i n 方法相比较，该方法在 形成关于近似解的线性方程组的系数矩阵时无须计算积分，从而可以较快的求解 对于问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) ，本文给出了一个两层格式，在进行收敛性分析时，主要利 用了引理3 4 将椭圆算子作为一个整体进行处理文中对引理3 4 给出了详细的证 明本文构造的格式便于计算，且具有较高的精度，即关于时间二阶精确，关于空 间的h 1 模最优 山东大学硕士学位论文 文章的大致结构为：5 2 定义了一些符号；5 3 给出了误差分析中所要用到的弓 理及部分证明；4 定义了全离散格式及其截断误差，并给出了截断误差的估计； 5 对格式进行了稳定性分析和误差估计 2 ，符号定义 令 z 。) 丝。和 肌) 兰为区间 o 1 的两种剖分，满足 0 = 。o z l - 。虬一1 z 虬= l ，0 = 弘 y l - 叫口 山东大学硕士学位论文 类似的有定义 n y e 口2 a ，= 等( ”w ) ( 铴) ，i i v 喉，= 如 ( 2 2 ) 1 = i “j = l 记m 和m o 为如下的分片双三次h e r m i t e 多项式空间： m = 地0 屿，m 。= 蠼。鸩 注意到m 是由v x ( z ) 泸( ) 的有限的线性组合构成的函数集合，旷a 厶，u ”屿 令a 表示区域q 的高斯节点构成的集合 a = ( f ，p ) ：f a 。p 对于a 上有定义的v ，叫，定义 由( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 很容易得到 岛) ，i = a ( 2 3 ) = 善n v 等y 妻 岫i = 釜t = l 等壹j = lm ，锡川毛l = 1 。 = 1 f 2 4 1 由 2 可知：任意 m o 可由其在a 上的值唯一确定 m o 可视为一个h i l b e r t 空间，内积定义为 ，队为范数，二者均是离散型的 文中，c p , q , r ( 国) 表示满足爵o i 弼+ j + k u 在国上连续( o i p 0 j q ，0 k r ) 的函数v ( x ，f ，t ) 构成的集合对于 c v m ( 国) 定义 i l v l l 。= 。垡，躐艇硷k m 鲥a 脚xi 茄嘉) j g ( o ，丁】，日1 ( q ) ) 表示满足f e ( 国) = c o 0 o ( 国) ，且口( 。，t ) h 1 ( q ) ，t o ，t 圳g ( 。，习，日z ( n ) ) 2 m a x 丁l l v ( ，洲日- ( n ) 删 o ( 3 1 ) 对于u g ( 晓) ，定义其分片双三次h e r m i t e 插值钍口m ，满足插值条件： 1 0 i + j ( 丽u n - 厂u ) ( 瓢，玑) = o ，i ，j = 0 , 1 ；0 茎茎飓，。墨2 啊； ( 3 2 ) 任意“c i , 1 ( q ) 有唯一的h e r m i t e 插值札h 下面给出误差分析重要用到的几个引 理及其相关的证明 引理3 1 设0 i ，j 茎2 ：u h m ( q ) ，m = m a x ( 4 i + j + 2 ) ，有钴论 | | o i + j 丽( u - - 厂u i t ) 1 l a c 丸4 一f 一l i u l i 曰m ( n ) ( 3 3 ) i i o i + 石( ；u i 西- ；i u l d i l l ：( n ) e 4 一p 一t l “l l m ( n ) ( 3 4 j 成立如果h 5 ( q ) ，则有 | j 掣c h 3 l l 札蛳i = 0 , 1 , 2 ( 3 5 ) 该引理的证明可参阅 3 】中的引理4 2 引理3 2 对于 m o ，成立 c 一1 删as 删l ：( n ) c a ( 3 6 ) e l l 【可i l 备。( ms a s c 鼍lj 口i l 备t ( n ) ( 3 7 ) 证明：( 3 6 ) 式是【2 中的推广下面简单的证明( 3 7 ) 式根据 7 1 中的引理1 3 有；对v v m 。 l | l 1 1 # , o l ( n 】墨 a 墨”( n ) 4 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = n 州n ) = h i l i ( 氨x ，j 2 + 慨( 如) 慨n ) ) k = l _ v + h n i i v 。( ，黜慨n ) + 她( ，z ) 慨n 疗 i = l 然后利用1 7 1 中的引理1 4 证明 川( n ) 与i ( n ) 的等价性，然后结合p 。i n 。8 。 不等式舾l i l 。( n ) sg 1 f h 0 ( n ) 即可得到( 3 - 7 ) 引理3 3 ( 离散的g r o m v a l l 引理) 假设a k ，& o ( k = o ，1 ，j ) 反卢+ 1 且有关系式 k 一1 a k s 声k + 1 d 。，= o ，1 ，一，j ；1 芝o ， n = o 那么成立 o 。e “风，扎= 0 ，1 ，r ， 除了( 1 6 ) ，我们还假定n t ，b ：( i = 1 ，2 ) ，和c 均属于c o o ( 国) ，g “( 国) 是满足对 任意的i ，j 0 ，器充分光滑的函数构成的集合显然此假设表明吼( i = 1 ，2 ) 关于t 满足l i p s c h i t z 条件，即存在常数k 0 ，对于i = 1 j 2 ，有 i 啦( z ，yt 1 ) 一a i ( z ，y t 2 ) 茎k i h t 2 l ，( z 口) q ，t l ，t 2 ( o ，t 】 引理3 4 假定 l “= 一( 。1x y ，t ) u z ) 一a 2 ( x ，t ) u ，) ，+ b l ( z ：y ，t ) u z + 6 2 扛，y ，t ) “y + c 扛y ，t ) 札，( 茁，y ，t ) 国 ( 3 8 ) 那么有 = a g p ，枷) + 4 i 。( u ，叫) ，u ，叫吖o ，t ( o ，t 】 其中, 4 1 。( i = 0 ，1 t ( o ，明) ：m o m o r 的双线性形式，满足： 4 0 ( u ，叫) = a g ( 埘， ) ，廿，叫m o ，t ( o 丁】 。，m 。 a a g ( 封，口) 墨。：a x ，可m 0 t ( o ，t l - g - 扣， ) 一- 9 2 ( 口，口) i 曼k i t l t 2 i a ， m 。，t ( o - t i - l t ( n ) ise 6 i1 f 叫队f ，叫 ，。，t ( o ，丁 5 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) f 3 1 1 1 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 山东大学硕士学位论文 6 = 。m ：a ：x ( i i 娶 i c ( 审) ，c 8 a m a 。2 。c ( 。) ) + 1 1 6 - i i c ( o ) + 1 1 b l i e ( 。) + 】| c i i c ( 亩) 证明：由l u 的定义( 3 8 ) 可得 。： 。+ 。+ 。 + a + a ，口，叫o ，t ( o ，t 】 ( 3 1 4 ) d t ， 由( 2 4 ) ，可得 。：詈y 2 一掣，吟“形) 科用两点g a u s s - l e g e n d r e 积分余项的p e a n o 表示以及l e i b n i t z 公式， 其中 a 。( p ) o x 一 ： 一垫掣! 盟 d z 毛a ” f f 吼瓦o v 瓦o w p ) 出 口垆( h d 4 m = o 2 l j = 6 - m 0 5 i , j 5 3 k = l 厶e 鬻筹鼢怄c 警皿 类似的有 一塑o y ，= 叁等喜 一掣、一心， 同于( 3 i s ) 有 一昔o 7 a o ”：峨趣卜 时张沁 ( 3 1 5 ) ( 31 6 ) ( 3 。1 7 ) = r 1 ( a u ，w ，f ) + r 2 ( a ，w f )( 3 1 8 ) 6 山东大学硕士学位论文 r 1 ( a 2 u ，w f ) = r ( 0 2 ，v ，w ，。) = m = o t + j = 6 一m ，0 1 1 j 3 l = l 厶c 器等等k 。川c 等胁 常数a 。( m ，房与h 无关，积分核( t ) 为： o k ( ) = 去 ( 1 一) 4 2 一t ) 辜+ 一蝴 g t ( o 卅 令 a 5 f 】( ”，w ) = 掣( r 训) = ( 3 2 0 ) f 32 1 1 ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 那么( 3 9 ) 成立下面验证4 曩i = 0 ，1 ，满足( 3 1 0 ) 一( 3 1 3 ) 首先根据- 口，叫) 的定义，显然a i = 0 1 ，t ( o ，t 】是m o m o r 的双线性形式，且( 3 1 0 ) 成立。来看( 3 1 1 j 魄证明- 由( 3 1 6 ) ，( 1 6 ) 很容易得到 划i 孰驯2 ：( 0 ，。) 妯( 。- 咄佻l i 象洲2 。- ) 又【1 中的引理3 3 得 | | 飘 幢。( 0 1 。) 心。5t 伊0 。( 川2 郴，t ) 上两式结合( 3 1 6 ) 可以得到 帕h p 2 n ，m 。 a 等，( n ”，训，铴) s 。，m 。 n l = l j = i 同理 。，m ；。 、等r ta 2 , v , w ：。) n 二。 n 均 h 枘 锣 静 踟一曲 毗 己、如。 。加 争 7 小 小 一 凸三 r 伽。 螵一： 椎一o h 心蹦以脚d + 十 u 一v 勘黝喀 奶 ，l，l 如 叫 。博。m丝科 研i 笪0 “ h汹坼k 弘 弱 拍 盯 p 些变奎兰堡圭兰篁堡奎：；= n 二；。= i n 。，m 。：= a m a z e - 上两式相加即得( 3 - 1 1 ) 再来证明( 3 1 2 ) 利用。l ( t ) 的l i p s c h i t z 条件，( 3 1 6 ) ，以及【1 中的( 3 2 ) ，可得 陬m 灿，吣卜弛m 。小，哨驯z 1 旧) 卅m 。黟2 如 k i t l 一圳i 罴( ，洲：砌，1 ) k i t l 吨| 虬 同理有 帅。帆卜则叫蚴，叩，is 小：m 。