（应用数学专业论文）某一类非线性偏微分方程的边界控制问题的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的 重视而得到不断深入的研究和发展。近几年来，人们越来越多地关注 k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k s 方程的边界控制问题。本文我们主 要研究了充分非线性k d v b 方程和扰动的k s 方程的边界控制问题。 在第三章中我们考虑了定义于闭区间 0 ，1 】上的充分非线性k d v b 方程 通过边界反馈条件的全局指数稳定性问题，我们采用控制 “( o ，f ) = “，( 1 ，) = 0 ，“。( 1 ，f ) = k l u ( 1 ，f ) 2 ”1 + k 2 u ( 1 ，f ) 证明了方程存在唯一 解，并证明了充分非线性k d v b 方程在工2 意义下是全局指数稳定的； 在h 3 意义下是半全局渐近稳定的：以及在日3 意义下是半全局指数稳 定的。在第四章中我们主要研究定义于一有限区域且带有扰动项厂的 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程，首先证明了它在给定的边界反馈条件下 解是存在且唯一的，并对此解的稳定性进行了估计；其次证明了如果 加强项厂是一时间周期函数，则方程在给定的边界反馈条件下有唯一 的时间周期解，其周期与厂的周期相同，并说明此时问周期解是空间 三2 中的全局吸引子。 关键词：充分非线性k d v b 方程，边界稳定性，扰动项，边界控制， k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程 n i 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t b o u n d a r yc o n t r o li so n ek i n do fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rc o n t r o l s ，w h i c hh a s b e e ne m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n d d e v e l o p e d r e c e n t l yp e o p l em o r ea n dm o r et a k en o t i c eo nt h eb o u n d a r yc o n t r o l o fb u r g e r se q u a t i o n ，k d ve q u a t i o n ，k d v be q u a t i o n ，a n dk se q u a t i o n i nt h i s p a p e rw em a i n l ys t u d yt h eb o u n d a r yc o n t r o lo ft h es u f f i c i e n t l yn o n l i n e a r k o r t e w e g - d ev r i e s - b u r g e r se q u a t i o na n dk u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o nw i t h a ne x t e r n a le x c i t a t i o n i nc h a p t e r3w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo fs t a b i l i z a t i o n b yb o u n d a r yf e e d b a c kc o n d i t i o n sf o rt h es u f f i c i e n t l yn o n l i n e a rk o r t e w e g - d e v r i e s b u r g e r se q u a t i o no nt h ed o m a i n 0 ，1 】w eu s e ac o n t r o ll a wo f t h ef o r m u ( o ，f ) = “，( 1 ，f ) = 0 ，”。( 1 ，r ) = 女z t ( 1 ，r y “+ ：“( 1 ，f ) t oa n a l y s i st h ep r o b l e mo fg l o b a lb o u n d a r ys t a b i l i z a t i o n w em a i n l yp r o v ei t e x i s t sa nu n i q u es o l u t i o n ，a n ds h o wi tg u a r a n t e e sl 2 一g l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y , h 3 一g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , a n dh 3 一s e m ig l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y i nc h a p t e r4w em a i n l ys t u d yad y n a m i cs y s t e md e s c r i b e db yt h e k u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o nw i t h a ne x t e m a le x c i t a t i o n fp o s e do n a f i n i t ed o m a i n ，f i r s t l ys h o w st h a tu n d e rt h eg i v e nb o u n d a r yf e e d b a c kc o n d i t i o n s i ta d m i t sa nu n i q u es o l u t i o na n dt h es o l u t i o ni ss t a b l e s e c o n d l yi tp r o v e st h a ti f t h ee x t e m a le x c i t a t i o n fi st i m ep e r i o d i cf u n c t i o n ，t h e nt h es y s t e mu n d e rt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n sa d m i t sau n i q u et i m ep e r i o d i cs o l u t i o na n di t sp e r i o di st h e s a m ea st h e f s ，a n ds h o wt h et i m ep e r i o d i cs o l u t i o ni st h eg l o b a la t t r a c t o ro f t h es p a c el2 k e yw o r d s ：s u f f i c i e n t l yn o n l i n e a rk o r t e w e g d ev r i e s b u r g e r se q u a t i o n ， b o u n d a r ys t a b i l i z a t i o n ，k u r a m o t o s i v a s h i n s k ye q u a t i o n ， e x t e r n a le x c i t a t i o n ，b o u n d a r yc o n t r o l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密日。 学位论文作者签名：澎诲玉 加年弓月多d 日 l 日 产缈 名 耷 签矿诉 教 夕 撒 乡 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：、寥渴葱 日期：碰年弓月吾口日 江苏大学硕士学位论文 第1 章绪论 本章将对边界控制的发展概况和背景作些简单介绍，同时阐明边界控制的 研究意义以及主要的研究内容。 1 1 本课题的研究背景 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描 述的演化系统，通过选取适当的控制装最作用于系统，则对给定的时间区间、初 始值和终点值，我们总可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点 值。这是控制理论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书中可以初步了解到通过o d e 描述的有限维系统 3 1 ；r u s s e l 的调查 报告及l i o n s 的书中可以了解到由p d e 描述的无限维系统【4 1 ，【5 1 。 当处理控制问题时，一开始首先应该区分是由o d e 描述的有限维系统还是 由p d e 描述的无限维系统。在这里我们主要研究由非线性p d e 来描述的无限维 动力系统的边界控制问题。 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统。一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参 数系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e dp a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 i p s ( i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 。而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性。 工程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统。 随着控制理论和计算机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提 高，对分布参数过程的建模和控制也就提出了更高的要求。因而研究分布参数系 统及控制，具有重大的理论意义和实际应用价值。 而分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制。该方式的控制作用是分布式的，即为空间变量x 和时间 变量，的函数。分布式控制就是给定一个性能指标，在允许控制域u 内寻找 个最优分布控制作用“( x ，r ) ，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使 性能指标，达到极小。 江苏大学硕士学位论文 ( 2 ) 边界控制。对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分 布参数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡 胶工业中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属 于边界控制。因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义， 又具有实际应用的价值，引起了广泛的关注。对于实际过程的边界控制，一般采 用逼近方法处理。 ( 3 ) 点控制。许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一 般从实际角度来讲，适当选取几个点对系统实施控制，比实施分布式控制更具有 经济意义。这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法 等。 ( 4 ) 反馈控制。反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数。 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似 于l p s ，也可以导出r i c a t t i 方程。 由于物理和技术的原因，一些系统只能在区域的边界上设置控制装置来进行 研究。近二三十年来，边界控制问题一直受到控制理论界的重视而得到不断深入 地研究。最近，b a l o g h 和m k r e t i c 研究了具有非线性边界反馈条件的b u r g e r s 方 程。近几年来，人们越来越多关注的是b u r g e r s 方程、k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g d e v r i e s b u r g e r s ( k d v b ) 方程以及k u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( k s ) 方程的边界控制问题，并且在这一领域取得了丰硕成果。 k d v 方程首先是由k o r t e w e g 和d e v r i e s 于1 9 8 5 年研究浅水波运动时提出的， 它的原始形式是饥= i 3 弋f l 了- g - 、i 1r 2 + j 2 口翠+ ；仃吁。) ，人们经过研究知，当方程建立 在整个实数轴r 上或者是在一个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转 化为标准形式： “，+ 辫j + “址x = 0 。 k d v 方程不仅是描述水波运动的方程，也是描述电磁波和声波的方程。其实它 对任何包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统都是一个非常好的逼近模型。特 别地，现在k d v 方程普遍被看成是一个非线性色散系统中的微小振幅单向传播 长波的数学模型。 2 江苏大学硕士学位论文 k d v b 方程也是用来描述水波、电磁波及声波的方程。它的一般形式如下： “f 一删埘+ 面 肼+ “，= 0 其中占和d 是正参数。当s = 0 时，如上k d v b 方程变为k d v 方程： “，+ , 。+ 西。= 0 ，而当占= 0 时，如上k d v b 方程就变为b u r g e r s 方程： “一翻。+ “甜j = 0 a k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程( k s 方程) 则是由k u r a m o t oe ta l 研究在反应扩 散系统中的相湍流和s i v a s h i n s k y 研究飞机火焰传播时分别提出的。 1 2 本课题的国内外研究现状和水平 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展。近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k s 方程的边界控制问题。从2 0 世纪6 0 年代以来，k d v 方程在数学和物 理方面都得到了广泛研究。在研究k d v 方程时，大部分学者通过直接解方程或 者应用反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立叶变换) 来找到方程的解。 对通过边界控制的k d v 方程的稳定性研究已取得丰硕成果，如j a b u m s 、c i b y m e s 、h c h o i 等学者对b u r g e r s 方程的局部稳定性进行了研究一【2 3 1 ，b y r n e se t a l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性( 若初始条件在r 空间下非常小) ，v a n l ye ta l 将这一结果进一步完善( 把它延伸到r 空间) 但仍是局部的；b i n g y u z h a n g 研究了k d v 方程的确切边界控制并对它的全局稳定性做了研究j 。对 b u r g e r s 方程边界控制的研究成果累累，最近m i r o s l a vk r s t i c 【2 4 j 对b u r g e r s 方程的 全局稳定性进行了研究。k d v b 方程是同时表现了扩散和色散特点的最简单的非 线性数学模型之。b i l e r 、r u s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究3 3 1 ，【3 7 1 ，【3 8 1 ，b i l e r 、b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进行了研究 3 2 1 3 4 1 ，r o s i e r 【3 6 】对系统在一个闭域上的可控性进行了研究， z h a n g 7 1 对系统在一个闭域上的稳定性进行了研究，l i u 和k r s t i c ”1 研究了k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题，a n d r a sb a l o g h 和k r s t i c 研究了 k d v b 方程的稳定性和数学模型【3 9 】。对k s 方程的研究也已取得丰硕成果，f o i a s 江苏大学硕士学位论文 e ta l 和n i c o l a e n k oe ta l 对k s 方程全局吸引子和惯性流形进行了研究【1 6 】。在此 基础上，k s 方程的控制问题研究也得到很大的发展，h ee ta l 研究了k s 方程 稳定性的数字模拟及它的最优控制，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 舍位构造了 线性控制项研究k s 方程的局部稳定性【18 1 。对偏微分方程的时间周期解的研究 一直受到国内外学者的广泛关注，已有许多成果。在这方面，早期研究如：v e j v o d a e ta l l 4 2 1 、k e l l e r 和t i n g 4 0 1 、r o b i n o w i t z t 4 “，近期研究工作参见w a y n e 43 对非线性 偏微分方程的时间周期解的近期回顾，并且前面提到的b i l e r 、r a s s e l 和z h a n g b i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究。虽然对抛物性和双曲性方 程的时间周期解的研究已有许多成果，但对非线性k s 方程时间周期解讨论却 相对较少，特别是对非线性k - s 方程时间周期解的稳定性讨论更少。 1 3 本课题研究的基本内容 本文我们主要研究了充分非线性k d v b 方程和扰动的k s 方程的边界控制 问题。对充分非线性k d v b 方程，我们通过适当选取边界条件，首先应用b a n a c h 压缩不动点定理和算子半群理论证明了其解的存在唯一性，然后应用分布积分理 论、泛函知识及些不等式证明了其解的稳定性，证明了充分非线性k d v b 方 程在上2 意义下是全局指数稳定的；在日3 意义下是半全局渐进稳定的；以及在 h 3 意义下是半全局指数稳定的。在处理扰动的带有边界反馈条件的k s 方程时， 我们采用了上述同样的方法，首先证明了扰动的k s 方程的解存在唯一，然后 证明了解的长期行为，最后证明了如果扰动厂是一时间周期函数，则方程在给定 的边界反馈条件下有唯一的时间周期解，其周期与厂的周期相同，并说明此时间 周期解是空间2 中的全局吸引子。 1 4 本课题研究的意义、价值 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展。而由于一些技术上的原因，许多系统需要在区域的边界 上设置控制装置来进行研究。近二三十年来，国内外的学者都很关注边界控制问 4 江苏大学硕士学位论文 题的研究，特别是对k d v 方程、b u r g e r s 方程、k d v b 方程及k s 方程的研究， 在理论上至今已经证明了这些方程解的存在唯一性，并且给出了解的一些稳定性 估计。k d v 、k d v b 方程都是用来描述水波、电磁波及声波等的方程，此类方程 具有很广泛的物理背景，所以，对此类方程的解的存在性、唯一性及稳定性的研 究意义广泛。不仅如此，边界控制问题在水利、电磁学、国防等方面都有很重要 的作用，特别是水利方面。因此，边界控制理论不但在理论上而且在应用方面都 有极大的价值，所以对此类方程的边界控制问题进行研究意义重大。 江苏大学硕士学位论文 第2 章预备知识 我们所研究的边界控制就是在系统的边界上加上某种可行性条件，从而保证 系统的解存在且唯一，并在一定的空间上保证此解是稳定的。在证明解在给定的 边界反馈条件下的稳定性时，我们经常会用到某些不等式和分布积分理论。在证 明解的存在唯一性时我们经常采用先建立非线性映射，然后证明此映射是压缩映 射，再通过应用半群理论和b a n a c h 压缩不动点定理说明此映射存在唯一不动点， 则这个不动点即为方程的唯一解。 因此，本章中我们将介绍一些常用的不等式、半群理论、b a n a c h 压缩不动 点定理以及分部积分理论。 2 1 不等式 ( 1 ) c a u c h y 不等式 对任飙，有挑譬+ 譬 ( 2 ) 带的c a u c h y 不等式 对任意口6 o 和s o ，有曲芝+ 芝 22 9 ( 3 ) y o u n g 不等式 对任意d ，6 o ，1 o 和刚，有挑等+ 笔 ( 3 ) y o u n g 不等式 对任意口，6 o ，1 p ，g 0 ，1 p ，g 。，一1 + 三：1 ，有口6 兰竺二+ c - 7 p b 。 pqpq 上面不等式的证明参见文献 2 】。 ( 5 ) e r o n w a li 不等式 设g ，h ，y 是定义于( f 。，佃) 上的三个局部可积函数，使得旦；也是定义于( ，0 ，+ 。) 上是局部可积的，并且对任意的，“满足： 6 江苏大学硕士学位论文 象g y + 厅，”) 出即”琊炒即 y ( s 灿d ， 其中r ，a l ，1 7 1 2 ，a 3 是正常数。则对任意的f “，有 y o + ，) ( ! 兰+ 口2 ) e x p ( 口i ) ( 6 ) p o i n c a r e 不等式 设c g ( n ) 表示有界开区域q c r ”_ k - - e j j m 次连续可微，并在边界m 的某 邻域内为0 的函数集合。即 q ( q ) = 缸c ”( - ) k ( x ) = o , n x 硷的某邻域 那么对任意的“c o ( n ) 有 i 荔，妒啦) 2 出“i 磊，肌。1 2 出 ， 其中c 是仅依赖于区域q 及m 的常数。 p o i n c a r e 不等式的证明过程参见文献 4 5 1 。 2 2b a n a o h 不动点定理压缩映像原理 设( x ，p ) 是一个完备的距离空间，r 是( 爿，p ) 到其自身的一个压缩映射，则 ，在x 上存在唯一的不动点。 此定理的证明参见文献 4 5 1 。 2 3 分部积分理论 并有 若“( x ) 与v ( x ) 可导，且不定积分j ”( x ) v ( x ) 出存在，则“( x ) v ( x ) 出也存在 p ( x ) v ( x ) 出= “( x ) v ( x ) 一f t , l ( x ) v ) a t 具体的证明过程参见文献 4 6 1 。 7 ( 2 2 ) 江苏大学硕士学位论文 2 4 算子半群理论 定义2 1 设是b a n a c h 空间，一个单参数有界线性算子族s ( f ) ，f 0 ：x j 盖 称为是有界线性算子半群( 简称半群) ，如果 ( 1 ) s ( o 、= ， ( 2 ) s ( t i + t 2 ) = s ( t 1 ) s ( ，2 ) ，对任意，i ，t 2 0 。 定义2 2 对任意x d ，令 础= 姆半= d + s 一 ( t ) x d t k ， 0 +， ” 我们将a 称为半群s ( t ) 的无穷小生成元，d 称为a 的定义域。 定义2 3 设x 是b a n a c h 空间，若x _ k n 有界线性算子半群s ( t ) ( 0 墨r 0 ，甜+ a 是d ( a ) 一x 的1 - 1 满射，且有 忡圳。1 峥 定理2 1 和定理2 4 的证明参见文献 2 。 兰蔓垄量塑主兰堡垒查 第3 章充分非线性k d v b 方程的全局边界稳定性 本章我们将考虑如下的充分非线性k d v b ( k o r t e w - d e v r i e s b u r g e r s ) 方程 “，一翻舡+ 国+ u m u ，= 0 0 0 ( 3 2 ) ”。( 1 ，f ) = k t u ( 1 ，t ) 2 ”1 + 竞2 “( 1 ，t ) f o ( 3 3 ) u ( x ，0 ) = u o g ) f 0 ( 3 4 ) 其中| j z 、乞夏硐1，聊2 ，品万为正参数，且s + 6 万 磊2 。 我们证明充分非线性k d v b 方程在给定的边界条件下解是存在唯一的，并 证明方程在l2 意义下是全局指数稳定的；在h 3 意义下是半全局濒近稳定的； 以及在j v 3 意义下是半全局指数稳定的。 3 1 符号表示 首先看系统( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的能量e ( f ) = j “x ，f ) 2 出 ( 3 5 ) 因为e ( r ) 对时间，是可导的，所以有 三o ) = 2 f “g ，r 囊，g ，皿 = 2 f ”( x ，牺。一苏。一甜“虬k = z 翱虬i ：一z s f “；出一2 踟“。l ：+ 函：l ：一i 笔“l ： = 一2 s f 吣g ，f ) 2 出一2 而( 1 ，f b 。( i ，f ) 一缸，( o ，f ) 2 一磊2 “( 1 ，f 广+ 2 ( 3 6 ) 为了使得三o ) 泵赢时，有： 主( ，) = 一2 占f 虬o ，) 2 出一2 出( 1 ，- 。( 1 ，) 一面。( 0 ，r ) 2 一而2 “( 1 ，r ) “ 江苏大学硕士学位论文 一2 e “g ，r ) 2 出一2 缸( ) k “( 1 ，) 2 + 女：“( 1 ，) 】 + 熹f ) 2 m r ) 2 】 一2 蚯( f ) ( 3 7 ) 最后一步由p o i n c a r e 不等式得到。因此，显然有e o ) e - 2 2 x e ( o ) ( 3 8 ) 由( 3 8 ) 式可知，当指数f _ o 。时，e ( f ) 寸0 。事实上，不仅对r 意义下的能 量e o ) 是指数稳定的，对更高阶的能量y o ) = l “，g ，f r 出记为( 3 9 ) 式也是稳 定的。 记h s ( o ，1 ) 为一般的s o b 0 1 e v 空间，s 为任意的实数，对j 0 ，记h ；( o ，1 ) 为 c ；( 0 ，1 ) 在h 。( 0 ，1 ) 中的完备化空间，| | | | 和( ，) 分别为r ( o ，1 ) 的范数和内积。 为了问题的需要，我们定义带有边界条件的函数空间 日：( o ，1 ) = 如h 1 ( o ，1 ) ，( 0 ) = 0 ( 3 1 0 ) h o ( 0 ，1 ) = 移s 2 ( o ，l 妒( o ) = f o x ( 1 ) = 0 ( 3 1 1 ) 乏( 0 ，1 ) = 仁。h 3 ( o ，1 uo ( o ) = o 且满足( 3 2 ) 和( 3 3 ) 式) ( 3 - 1 2 ) h o ( 0 ，1 ) = 岛3 ( o ，1 妒( 0 ) = 竹( 1 ) = ( 1 ) = 0 ( 3 1 3 ) 设x 是一个b a n a c h 空间，t o ，c k l i o ，丁lx ) 表示定义在 o ，丁】上取值 x 空间的具有女阶连续可微函数全体，记c 。( 1 0 ，r lx ) = c ( 【o ，r l 片) 。 3 2 充分非线性k d v b 方程解的存在唯一性 定义线性算子 l 妒= 一6 9 。+ s 9 。 且算子三的定义域为d ( 三) = h 0 3 ( 0 ，1 ) 容易验证l 的共轭算子三+ 为l 9 = 却。+ 印。 且+ 的定义域为 ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 江苏大学硕士学位论文 d 仁+ ) = 扫s 3 ( 0 ，1 ) 妒( o ) = 织( o ) = 却。( 1 ) + 印；( 1 ) = 0 ( 3 1 7 ) 易证和三都是三2 ( o ，1 ) 上的稠定闭线性算子，由半群理论知，l 是上2 ( 0 ，1 ) 上c o 压 缩半群的无穷小生成元。x c 俐g u o g ) ( 以后也简记为“o ) ，为使系统( 3 1 ) ( 3 4 ) 有一个全局解，“o 必须满足( 3 1 ) ( 3 4 ) 的相容性条件。 - g p 。0 。) = 删三g ) 一面譬g ) 一“。g ) ”“：g ) 由( 3 1 ) 式得，虬x ，o ) = p 1 0 。) 对( 3 2 ) ( 3 4 ) 式关于f 求导得，p l ( u 。( 0 ”= 坼( 0 ，o ) = 0 丢p ，l 。巩= 。 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 筹。o 。) ) 卜“。= ( 2 川垆+ 七：b 。o 。( 1 ) ) ( 3z z ) 记p ：o 。) = s 嘉o ，一j 参( p 。p 。o 。肌) 一o 。g ) r 丢o ， ( 3 1 ) 式关于r 求导然后代入”o g ) 得 g ，o ) = p 2 0 。) 对( 3 2 ) 一( 3 4 ) 关于r 求两次导并代入“o g ) 得 嘉b ：6 f 0 ) 卜“。( 1 o ) = ( 2 m + 1 x 2 m ) u 。( 1 ) 2 ”1 p ，0 。( 1 ) ) + k 棚+ 1 k “。( 1 ) 2 “+ 屯k ：0 。( 1 ” 下面我们再定义一些带有一定边界条件的函数空间 1 2 ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) = 吣 0 o l | 船 尸 = ”“ 剪， 0 乓 。 卫，b、，l 儿 d 一出 江苏大学硕士学位论文 日乏( 0 ，1 ) = 0 。4 ( o ，1 ) ，“。满足( 3 2 0 狙( 3 2 ) 一( 3 4 ) z - - 戈) h 2 。( o ，1 ) = 岳。h 7 ( o 。1 l “。满足( 3 2 0 ) 一( 3 2 5 沮( 3 2 ) 一( 3 4 ) 式) m ：o ( o ，1 ) = 缸。h 9 ( 0 ，1 ) ，材。满足( 3 2 0 ) 一( 3 2 7 沮( 3 2 ) 一( 3 4 ) 式) + r v = 如c 2 ，r 1 日：( 0 ，1 ) l g ，o ) = “。g ) ，甜，e ，o ) = p 。0 。l o ) t ，g ，o ) = p ：0 。) ) 显然不是一个线性空间，且注意到矽丹，因为 = u o ( + t p l ( o ) + ；p 2 ( “o ) f 由( 3 2 0 ) 和( 3 2 5 ) 表明埘c 2 ( 【o ，明；日j ( o ，1 ) ) 。 ( 3 2 8 ) 引理3 1 子集在c2 ( 【o ，t i ；h ：( 0 ，1 ) ) 中闭。其中c 2 ( 【o ，r 】；硪( o ，1 ) ) 的范数定义如 下： m ，：b 6 k 哪+ i i 翻。缉+ 慨，缉十i i 哪+ i i q 铘+ 2 萨( 3 2 9 ) 证明：设 匕w ，且国。寸国( 在c 2 ( 【o ，列；日：( o ，1 ) ) 中) 。所以，对任意的 ( x ，) 【0 , 1 】【o ，t 】，有 ( x ，) _ 出( x ，f ) ， 。，( x ，f ) - 0 9 i ( x ，) ，。( x ，) _ 脚“( x ，) 因此c p ( x ，o ) = l i m 珊( x ，o ) = l i m u o ( x ) = 0 ( 工) q ( o ) 2 熄。( x ，o ) - l i m p l ( “。) = p l ( u 。) m n ( x ，o ) 21 受留。n ( x ，o ) = ! 塾p z ( 甜。) = p 2 ( “。) 所以脚w 。 引理3 2 m l ，m 2 z 且0 m 0 ，使得系统( 3 1 ) ( 3 4 ) 有唯一古典解，并且此解满 足： ”c ( i o r l - ：o ( o ，1 ) ) n c l ，t i h 壶( o ，1 ”n c 2 噼，r 1 日；( o ，1 ) ) 证明：首先证明线性化的初边值问题有唯一解y w ( 其中对任意固定的w ) y ，一秒。+ 旁一+ 脚”q = 0 ( 3 3 0 ) y ( o ，) = 儿( 1 ，f ) = 0 ( 3 3 1 _ y 。( 1 ，) = t ( 1 ，f ) 2 ”“+ 足2 ( 1 ，f ) ( 3 ，3 2 ) y ( x ，o ) = d 0 0 ) ( 3 3 3 ) 其中0 工 1 , 0 t t 。 定义个非线性映射b ：b e ) = y ，若证明占是压缩映射，则可运用b a n a c h 1 4 压缩不动点定理说明b 有唯一的不动点“+ ，那么 就是系统( 3 1 ) 一( 3 4 ) 的 唯一解。所以下面我们首先把( 3 3 0 ) - ( 3 3 3 ) 化为齐次边界值问题，令 庐= 圭x ( x 一1 ) 2 k 。( 1 ，r ) 2 m + 七：( 1 ，r ，u = _ y 一，贝u u ，一占+ 面。= f ( 3 3 4 ) d ( o ，r ) = 叱( 1 ，f ) = u 肛( 1 ，) = 0 ( 3 3 5 ) v ( x ，o ) = u o g ) 其中0 x 1 , 0 f r ，s ( x ，r ) = 一谚+ 却。一例。一”珊，。 ( 3 3 6 ) 则易得 u 。g ) = “。g ) 一圭x g 1 ) 2 k 。0 ，。) 2 m + l + k 2 a o ( i ，。) ；( o ，- ) 应用( 3 1 4 ) 式定义的线性算子三，问题( 3 3 0 ) - ( 3 3 3 ) 可以写成抽象的柯 西问题 u 。2l o + ， u ( o ) = u o 假设。g ) h 乏( o ，l x m 矽a ：如w ，c 4 ，r l 或( o ，1 ) ) ，因为我们已证明上 是r ( o ，1 ) 上强连续压缩半群的无穷小生成元，由半群理论得，问题( 3 3 4 ) ( 3 3 6 ) 有唯一古典解u ，且u c t ，r f e ( o ，1 ) ) n c ，r 1 日；( o ，1 ) ) ，故问题( 3 3 0 ) 一( 3 3 3 ) 存在唯一古典解y ，且 y ：u + 矿c ( 【0 ，l 三2 ( o ，1 ) ) n c ，r 1 日：( o ，1 ) n h3 ( o ，1 ) ) ， 又因为，g ，r ) = 一圭z o 1 ) 2 【( 2 脚+ 1 弦。缈0 ，r ) “+ 盂z h ( 1 ，) 一3 占k 、脚2 m 1 + k 2 ( a ( 1 ，f ) l 一脚“g ，f b ；g ，f ) + s o x - 2 她，( 1 ，) 2 m l + 詹：m ( 1 ，r ) j 且q 扛，o ) = l u 。g ) + ，g ，0 ) = 一u ：g ) + 孔，三g ) + ，g ，0 ) 1 5 江苏大学硕士学位论文 = 一融：0 ) + 3 万k 。国( 1 ，o ) 2 “+ i ：( 1 ，o ) j + s ”三g ) 一s ( 3 x 一2 壮( 1 ，o ) 2 m “+ 七：出( 1 ，o ) | 0 ，o ) = l i ) j ( x ，o ) + z g ，0 ) = p ：0 。) 一m ( 2 m + 1 ) k i xx 一1 ) 2 “。( 1 ) 2 ”1 p 0 。晰 一昙x g 一1 ) 2 【( 2 m + 1 弦，“。( 1 ) 2 ”+ 七：k ：0 。( 1 ”h ，( 0 ，1 ) 一委x g 一1 ) 2 ( 2 m + 1 k c o o ，。) 2 ”+ 女：b ，( 1 ，o ) + s ( 3 x 一2 她，( 1 ，。) 2 m “+ 尼：( 1 o ) j 一3 占k 。( 1 ，o ) 2 “+ 七：( 1 ，o ) j 一”x ，o p ，g ，o ) = 一勘! 。g ) + 翻! 。g ) 一u o g ) “? g ) 一圭x g t ) 2 ( 2 m + ，k ( 1 ，o ) 2 m + 七：】p ，( 。( 1 ) ) 硇0 。) 一j 1x g 一12 p 1 0 。( 1 ) i ( 2 m + 1 ) 一“。旷+ i ： 所以q ，( o ，o ) = p 2 0 。( o ) ) = o q 。( 1 0 ) = 丢：o 。n ，o q 。( 1 ，o ) = 嘉o ：o 。) ) ，- i - 2 m ( 2 m + l 1 ) m - i p l o 。( 1 ) ) 2 一t ( 2 m + 1 ) k “。o ) 2 ”+ 女：b ：0 。( 1 ) ) = 0 故u 。ed 犯) ，因此有c 1 ，r f l 2 ( o ，1 ) ) n c 20 0 d ，t l h 3 ( o ，1 ) ) 所以y = u + 妒c 3 ( 【o ，r l l ( o ，1 ) ) n c 2 ，r 1 日；( o ，1 ) n i l 3 ( o ，1 ) ) 下面我们来证明b 是一个压缩映射。 设y i 和y 2 是系统( 3 3 0 ) - ( 3 3 3 ) 的两个解，分别对应于q 和m ：，以及 初始值“? 和“：。 令z = y i y 2 ) z o = u ? 一“! ，贝4 2 ，一盘。+ 岔。+ l ”( - d 1 。一( d 2 m o ) 2 r = 0 ( 3 3 7 ) 1 6 江苏大学硕士学位论文 z ( o ，f ) = o ( 1 ，r ) = 0 z 。( 1 ，) = k b 。( 1 ，f ) 2 m 一珊：( 1 ，r ) 2 1 j + t ：h ( 1 ，) 一：0 ，r ) ) z g ，o ) = 2 ox ) 其中0 x 1 , 0 t t 。 说明：( 1 ) 后面我们经常用到下面的不等式 m 。a ；x 。i “眺阱i i i i “忙历1 忆i , v ue 剜( 0 ，1 )o x s l、，二 ( 2 ) c ( s 。，s ：) 表示一列正的连续函数。 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 4 0 ) 由( 3 3 7 ) 式得， 丢l z o ) 2 出= z f z k 。一岔。一q ”+ ：”k 一2 岔( 1 ，r k 。( 1 ，r ) 一岔，( o ，) 2 - 2 s i i 。0 2 + 2 1 1 z l i d 。1 1 7 1 + 1 1 n , 2 i i ) “m i ) 8 1 1 t 一o n 2 1 1 ，k 0 i 。0 + l i 国：i i 2 ) + 如j 一品，( o ，r ) 2 一z 9 0 。1 1 2 + 2 俐i 。i i 1 + i i ：o ) l i 一脚：i j c 0 陋。0 ，0 国：i l 。) 对( 3 4 1 ) 式两边从0 到t 进行积分得 ( 3 4 1 ) l | z o ) t 1 2 - r