（光学专业论文）关联乘性噪声驱动下的随机系统定态性质的分析.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 i 摘摘 要要 迄今为止，用来计算动力学系统统计特性的方法仍然是基于态变量的朗之万方 程，在相空间构造其相应的福克普朗克方程。 朗之万方程处理的是随机变量的 轨道。福克普朗克方程则是关于态变量的分布函数随时间演化的方程。对于任 意的非马尔可夫过程，福克普朗克方程主要用来作马尔可夫过程的近似描述。 一般来讲，朗之万方程的处理方法比福克普朗克方程的处理方法更容易理 解。因为前者是直接基于描述随机过程的时间演化这一概念，而后者则是建立在态 变量概率分布的时间演化基础之上。然而我们的目的不是预言这些轨道本身，而是 预言这些轨道的统计性质，即通过福克普朗克方程来研究态变量取值分布函数 的演化规律。本文正是采用如此的方法来研究具有某种机制的随机力是如何对原来 的确定性系统产生影响的。具体工作如下： 在第二章中，首先介绍了布朗运动这一概念起源的历史背景。接着，围绕着对 布朗运动现象如何解释的问题，引入了由朗之万提出的随机变量（布朗粒子的位置） 的运动方程的概念，即朗之万方程。同时，给出了朗之万方程的具体构造过程。然 后，由朗之万方程详细地推导出了与其随机等价的福克普朗克方程，并求得其 定态解，即在定态条件下态变量取值的分布函数。这些内容是我们研究所涉及的动 力学系统统计规律的依据。 第三章研究的是具有互关联效应的两高斯白噪声对于细胞生长模型的作用。其 中两白噪声分别作用于细胞的生长率和衰减率。通过对最终导出的细胞数量的定态 概率密度的研究分析，并借助于作图的手段，我们可以直观地发现，所引入的噪声 机制将对细胞的数量这一宏观参量产生重大的影响。即，不论是两噪声本身或是噪 声之间的关联，在一定的条件下，都能决定细胞的生存状态。 采用同样的关联噪声机制，对双稳态模型的作用的研究构成了第四章的主要内 容。本章中，首先介绍了自然界中广泛存在着的双稳现象，及对于某些双稳现象如 光学双稳态的研究的意义。随后给出了我们所要研究的双稳模型，即朗之万方程。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ii 再遵循从朗之万方程到相应的福克普朗克方程以及其定态解的程序，逐步地得 到了态变量的定态概率密度。通过对它的研究，可以发现，同样的噪声关联机制对 双稳态也有不可忽视的影响。因为当噪声参数发生变化时，系统会发生从双稳态到 三稳态，继而再到单双稳态的转变，或是相反的过程。 关键词：关键词：白噪声，关联噪声，细胞生长模型，双稳模型 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 iii abstract the method of calculation of average properties of a dynamical system which has been hitherto used is to construct the fokker-planck equation in phase space from the underlying langevin equation for the random variables representing say the position and velocity of a brownian particle. the langevin equation refers to paths of random variables while the fokker-planck equation is an equation for the evolution of the distribution function of fluctuating macroscopic variables. the main use of the fokker-planck equation is as an approximate description for any markov process. in general, langevins method is far easier to comprehend than that of the fokker-planck equation as it is based directly on the concept of the time evolution of the underlying probability distribution. however, we would rather focus on predicting the statistical properties of these paths than on predicting these paths themselves .i.e. studying the evolution regulation of the distribution function for random variables by means of the fokker-planck equation. chapter 2 begins with introducing the historical background of the concept for brownian motion. and then, as to the cause of the phenomenon, we introduce the concept of the equation of motion of a random variable (in the case the position of a brownian particle) by langevin, namely the langevin equation. we also construct the fokker-planck equation from the langevin equation and get the underlying stationary probability distribution eventually. the study of effects on a cell growth model by cross-correlated white noises makes up the chapter 3 of this paper. two white noises influence the growth rate and the decay rate of the cell mass, respectively. we found, in the end, that the cross-correlated white noises introduced before could make remarkable effects on the macroscopic variable of 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 iv cell population. either the two white noises themselves or the cross-correlation between them can eventually decide the destiny of cell population. chapter 4 refers to the effects on a bistable system by the same cross-correlated white noises as chapter 3. first, some bistability phenomena exist extensively in the world such as optical bistability and their potential are mentioned. and the introducing of a bistable kinetic model, also a le we interested in follows. through the procedure as mentioned above, we find cross-correlated white noises play an important role in deciding the properties of the bistable system, too. cross-correlated noises imposed on the bistable kinetic model could transform the former bistable state into a monostable state by undergoing a tri-stable state during this process, or the converse. key words: white noise, correlated noises, cell growth model, bistable model 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 1 绪 论绪 论 1.1 理论概述理论概述 在大量的科学研究领域中，研究对象都会受到各种因素的影响而产生波动或扰 动，这是一种共同的现象。几乎所有的系统都受制于多种复杂的外部或内部的影响， 而这些影响尚未被我们完全认识和了解，通常我们将其命名为噪声1，随机力或朗之 万力等等。其特点便是变化快，随机性和不可预言性。而噪声对于系统演化和确定 性方程的影响并非都是微不足道的和消极的，有时它能对系统的演化起决定性的作 用，这对于随机力能产生各种积极的和有序的作用也就不难理解了。对于这些以一 种不可预知的和细微的方式来改变系统变量的噪声的研究，福克普朗克方程提 供了一种有效的方法。福克普朗克方程首次应用于布朗运动问题，而近年来， 福克普朗克方程被应用于自然科学的众多领域，如固体物理，量子光学，化学 物理以及生物学领域等等1。同时， 福克普朗克方程也被应用于社会科学某些问 题的研究中。 噪声中既有乘性噪声和加性噪声之分，又有白噪声和色噪声之分。而噪声之间 的关联又包括白关联和色关联。另外，各种噪声又可能由于源于不同的噪声源而具 有独立性。 首先，由于噪声源的不同，噪声可分为内噪声和外噪声。内噪声通常被认为是 系统自发产生的，由系统内部的统计性质引起的。在激光系统中，有一种量子噪声， 是由于粒子的自发辐射引起的，是量子效应的直接结果，根源于量子力学的不确定 原理，它就是内噪声。而通常内噪声比较小。外噪声的产生则是由于系统受外部环 境影响的结果，可通过系统引入的参量加以控制，从而实现对系统的控制作用。 根据噪声与参量作用的不同形式，噪声可分为加性噪声和乘性噪声。与参量无 关的噪声源，用加性噪声描述。通常内噪声就是加性的。与参量有关的噪声源用乘 性噪声来描述，而外噪声通常就是乘性的。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 还有， 根据统计性质， 噪声可分为白噪声和色噪声。 白噪声的统计性质为 ( ) t 0，( ) t( ) t () 2tt，功率密度为 ( )( )22 i t sdtedt = ，它是个 常数，与无关，即谱是白色的，所以这样的噪声称为白噪声，而色噪声的统计性 质为()( ) ( ) exp tt d cttt = = ，当0时，()ct()2dt，即色噪 声又回归为白噪声。 另外，噪声可分为高斯型和非高斯型两种情况。其中高斯噪声的高阶矩满足： ( ) ( )() ()()() 1221 122122 n nniiin ttttc ttc tt = ? ( ) ( )() 1221 0 n ttt =?. 正是由于噪声具有如此多变的性质，而在它们的作用下，系统开始变得复杂多 变，往往呈现出许多令人意料不到的现象，所以使得众多学者在研究它时常常感到 乐此不疲。 迄今为止，用来计算动力学系统平均特性的方法仍然是在随机变量的朗之万方 程的基础上，在相空间构造其相应的福克普朗克方程。 朗之万方程处理的是随 机变量的轨道。然而我们的目的不是预言这些轨道本身，而是预言这些轨道的统计 性质，即通过福克普朗克方程来研究随机变量取值x的分布函数( )w x的演化规 律。 随机力有关理论以及福克普朗克方程在各自然科学研究领域包括生物学 中的应用，一个例子就是对于带有噪声的非线性随机系统中的噪声诱导相变现象的 研究。这一研究又有很广泛的应用范围，如其应用在生物学领域中便可用来研究细 胞生长模型或癌细胞生长模型以及基因选择模型等2-5。在噪声诱导相变作用中，噪 声间的关联机制作用于系统后，会产生许多极为重要的结果。显然，它与系统不考 虑噪声关联机制时的结果有很大的区别。因此，对于具有关联噪声的非线性随机系 统及其在各学科领域中的应用便吸引了许多人的目光。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 3 1.2 历史背景与概况历史背景与概况 正如前文所言，由于人们对于随机力理论的研究兴趣不减，加之各种相关理论 的日趋完善，各种研究成果也尽出不穷。1991年，a.fulinski和t.telejko指出由于 某些随机过程中的各种噪声可能源于共同的噪声源，因此这些噪声之间会存在着关 联机制的作用。提出在某些情况下激光系统中的量子噪声和泵噪声可以存在交叉关 联。他们还将两个相互关联的高斯白噪声转化为两种独立的过程6。1994年，曹力 和吴大进教授以及柯圣志博士运用随机等价法则完成了将作用于同一系统的两相关 白噪声等价为一种白噪声的工作7。 随后， 噪声间的关联机制便在各科学领域中得到 了广泛的研究， 在单模激光系统8， 双稳系统9-12,以及生物学系统等领域中均有涉及。 具体内容包括：对于具有非0相关时间的关联噪声驱动下的随机系统的研究；将随 机等价原理应用于具有白关联的关联噪声驱动的逻辑增长模型；解决了具有色关联 的逻辑增长模型的问题等等。在逻辑增长模型中，一个基本的细胞增长模型便是 2 dx axbx dt =，其中,a b分别表示细胞的出生率和死亡率。在此基础上，通过引进噪 声，便构成了各种具有不同噪声关联机制和不同噪声类型的模型 2,5,13 ： 1、细胞生长模型，有 ( )()( )() 2 1 dx atxbtx dt 2 =+ ( ) 1 t，( )t 2 皆为高斯白噪声，且 ( )( ) 1 0tt 2 = = ( ) ( )() 11 2ttdtt = ( ) ( )() 22 2tttt = ( ) ( )( )( )() 1212 2ttttdtt = = 其中，d和分别代表噪声( ) 1 t和( )t 2 的噪声强度。而则表示两噪声间的 关联程度，且有0 ，有(),0 n dx t =。这在以后的推导中我们可以清楚地看 到。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 12 将朗之万方程（24）写成积分的形式： ()( )()( )()( ) , t t x txf x ttg x tttdt + +=+ （27） 把, f g在( )x tx=处对 ( ) x tx进行泰勒展开： ( )()()( ) () , , f x t f x ttf x tx tx x =+ ? ( )()()( ) () , , g x t g x ttg x tx tx x =+ ? （28） 其中， ( ) ( )() ( ) () , , x tx f x t f x tt xx t = = ( ) ( )() ( ) () , , x tx g x t g x tt xx t = = 将（28）式代入（27）式，得 ()()( ) () , , tt tt f x t x txf x t dtx txdt x + +=+ ? () ( )( ) () ( ) , , tt tt g x t g x tt dtx txt dt x + + ? （29） 对式中的 ( ) x tx迭代（29）式，得 ()() , t t x txf x t dt + +=+ () () , , tt tt f x t f x t dt dt x + + + () () ( ) , , tt tt f x t g x tt dt dt x + () ( ) , t t g x tt dt + + 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 13 + () () ( ) , , tt tt g x t f x tt dt dt x + + () () ( ) ( ) , , tt tt g x t g x tttdt dt x + +()t （30） 考虑到高斯型噪声( )t的各阶关联矩为： ( ) ( )() 1221 0 m ttt =? （31） ( ) ( )() 122m ttt? ()()()() 1234212 2 mm m iiiiii dtttttt = ? （32） 另有迪拉克函数的性质： ( ) ()( ) 0 1 2 a f tta dtf a= （33） 因此，从（30）式，可得到 () () , t t x txf x t dt + += + () () () , 2, tt tt g x t dg x ttt dt dt x + +? () 1 ,f x t + +() () 2 2 , , g x t dg y t x + + ( ) + （34） 其中，() 1,2 01 。另外，在上式的推导中用到了积分中值定理。 考虑到迪拉克函数的性质（33）式，有 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 14 () ()() 2, t t dg x ttt dtdg x t= （35） 成立。于是，得 () () ( ) 1 0 ,lim x tx x tx dx t = + = () () () , , g x t f x tdg x t x =+ （36） 上式中最后一项 () () , , g x t dg x t x 被称为噪声诱导漂移项。 类似地，对于() 2 ,dx t，从（24）式，有 () 2 x tx+ = () () , tt tt f x t f x tdt dt + + ()() ( ) 2, tt tt f x t dtg x tt dt + + () () ( ) ( ) , tt tt g x t g x tttdt dt + （37） 上式中头两项包含 2 项，因此 () 2 x tx+ = () () 2, tt tt dg x t g x t + () *2ttdt dt （38） 得 () () ( ) 2 2 0 ,lim 2 x tx x tx dx t = + = () 2 ,dgx t= （39） 另外，不难证明，当2n 时，有(),0 n dx t =。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 15 至此，可以得到，相应于朗之万方程（24）的福克普朗克方程为： (),w x t t = () () ()() , , g x t f x tdg x tw x t xx + ()() 2 2 2 ,dgx t w x t x + （40） 另外，对应于多变量的非线性朗之万方程，其福克普朗克 方程为： (),w x t t = ()(), i i i d x t w x t x ()() 2 , ij ij ij dx t w x t x x + （41） 其中，() () 0 ,lim ii i x tx d x t + = (), ikjij kj k fx tdgg x =+ (), ijikjk k dx tdg g= 福克普朗克方程（40）可写成： ( , )( , )w x tj x t tx = （42） 其中， 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 16 12 ( , )( , )( , )( , )j x td x td x tw x t x = （43） ( , )j x t解释为几率流密度，则（42）式称为几率密度连续性方程。 设漂移系数和扩散系数与时间无关，且有 2( ) 0d x ，即只考虑渐近解为定态解 ( ) s w x的情况。 由于 ( , ) 0 w x t t = ，得 12 ( , )( )( )( ) s j x td xd xw xc x = （44） 即在定态条件下，几率流密度为常数。 自然边界条件下，有()0 s w =与()0j =。 （44）式化为： 12 ( )( )( )( ) ss d x w xd x w x x = （45） 于是得 1 22 ( ) ( )exp ( )( ) x s d xn w xdx d xd x = （46） 其中n为常数。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 17 3 细胞生长模型细胞生长模型 1991年，fulinski和telejko指出某些随机系统中的各种噪声之间可能存在着彼 此之间的某些关联，因为它们可能产生于共同的噪声源。自此以后，带有关联噪声 的系统在各个领域便得到了广泛的研究。这可以涉及到单模激光系统，双稳系统， 生物系统，以及随机共振系统等。由于噪声之间彼此关联的存在，系统的动力学性 质以及定态性质可能会受到很大的影响。 3.1 随机等价原理随机等价原理 现在将朗之万方程（7）推广到带有两个相关高斯白噪声的情况，有： ( ) ( )( )( )( )( ) 1122 x t f xgxtgxt t =+ （1） 且有 ( )( )() 11 2ttdtt= ( )( )() 22 2tttt= ( )( )( )( )() 1221 2ttttdtt= （2） 其中表示噪声( ) 1 t，( ) 2 t之间的关联程度，d和分别表示噪声( ) 1 t和 ( ) 2 t的强度。 令朗之万方程（1）随机等价于下面的朗之万方程： ( ) ( )( ) ( ) x t f xg xt t =+ 且有 ( )0t= ( )( )() 2tttt= （3） 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 18 根据随机等价原理，有： ( ) ( )( )( ) g xt g xt= ( )( )( )( )( )( )( )( ) 11221122 gxtgxtgxtgxt + 得： ( )( )( ) 2 gxtt ( )( )( ) 2 111 gxtt= ( )( )( )( ) 1212 2gx gxtt+ ( )( )( ) 2 222 gxtt+ （4） 可得： ( )g x = ( )( )( )( ) 1 22 2 1122 2dgxd gx gxgx + 所以与（3）式相应的福克普朗克方程为： ( , )w x t t = 1( ) ( , )d x w x t x 2 2 2 ( )( , )d x w x t x + （5） 其中 ( )( ) ( ) 1( ) g x d xf xg x x =+ ( ) 2 2( ) d xgx= （6） 其定态解为： ( ) s w x 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 19 1 2 2 ( ) exp ( )( ) xd x n dx gxd x = 2 ( ) exp ( )( ) x nf x dx gxgx = （7） 令 ( ) 0 s dw x dx =，即得定态解( ) s w x的极值方程： 12 ( )( )0d xd x x = 或 ( )( ) ( ) 0 g x f xg x x = （8） 3.2 模型模型 考虑如下logistic生长模型： ( ) 2 dx t axbx dt = （9） 此生长模型是数量动力学系统中使用得非常普遍的一种模型。它已被广泛地用 来研究各种存在着持续变化的环境中生存的物种的数量，以及各种相关模型。在此， 我们不妨将其用于细胞生长模型。于是，式中的各项参数便有了如下含义。 ( )x t表 示细胞数量，a表示细胞的生长率，b则表示细胞的衰减率或饱和率。在不考虑噪声 的情形下，a和 b为常数。而实际的情况则是，无论是生长率a还是衰减率b都强烈 地受到处于持续变化状态中的外部环境的影响而产生波动。于是，在诸多外部因素 的影响下，模型（9）可进一步地一般化为： ( ) ( )( ) 2 12 dx t atxbtx dt =+ （10） 并且，( ) 1 t和( ) 2 t是彼此之间存在着互关联的高斯白噪声，也就是有： ( )( ) 12 0tt= 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 20 ( )( )() 11 2ttdtt= ( )( )() 22 2tttt= ( )( )( )( )() 1221 2ttttdtt= （11） 其中，d，分别表示噪声( ) 1 t和( ) 2 t的强度，表示( ) 1 t，( ) 2 t之间的 关联程度，且有01。 至此，通过（10） ， （11）式，细胞生长模型就已立起来了，然后，我们就可以 通过前面所述方法来研究其性质了。即，首先利用随机等价原理来处理郎之万方程 （10）式，得到另一朗之万方程，然后再得到其相应的福克普朗克方程。进而 求得其定态分布函数( ) s wx ，就可以观察分析 ( ) s wx的统计规律了。 由（10）式可得： ( ) ( )( ) 22 12 dx t axbxxtxt dt =+ （12） 根据随机等价原理，可将上式等价于如下的朗之万方程： ( ) ( ) ( ) 2 dx t axbxg xt dt =+ （13） 其中 ( )() 1 2342 2g xdxd xx=+ （14） 另有 ( )0t= ( )( )() 2tttt= （15） 所以，与朗之万方程（13）相应的福克普朗克方程为： () ( )()( )() 2 12 2 , , w x t dx w x tdx w x t txx = + （16） 其中有 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21 ( )( )( )( ) 1 dxf xg x gx=+ ( )( ) 2 axbxg x gx=+ ( )( ) 2 2 dxgx= 234 2dxd xx=+ （17） 进一步可得其定态解： ( ) s wx ( ) ( ) ( ) 1 2 2 exp xdx n dx dxdx = () 2 1 234 2342 exp 2 2 naxbx dx dxd xx dxd xx = + + （18） 通过计算，可得 ( ) s wx= () 1 234 22 2 a d n dxd xx + + ()() 2 22 explnarctan 11 ab axd d x d dd + （19） 令 ( ) 0 s dwx dx =，得定态解( ) s wx的极值方程为： ()() 32 230 xbdxda x+= （20） 3.3 结论和讨论结论和讨论 我们根据上面所得的表示细胞数量( )x t的定态分布函数( ) s wx的（19）式，并 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 22 画出其相应的函数曲线，可得出结论如下： （1） 从图31和图32我们可以分析标志噪声( ) 1 t和( ) 2 t之间关联程度的 参数对定态概率分布函数( ) s wx的作用。可以看到，在其它各参数为选定值的情况 下，随着的增大，( ) s wx在较小的x值附近逐渐降低，但在较大的x值处却逐渐增 大。由于x表示细胞的数量，所以由以上现象我们可以知道，当噪声( ) 1 t和( ) 2 t之 间的关联程度较弱时，在一定的条件下，细胞的定态概率分布函数( ) s wx的峰值在0 附近。这意味着，细胞很少能够生存下去。而当噪声间的关联程度逐渐变强时，在 较大的x值附近也存在有概率峰，概率不再只集中在0附近。而且，随着的不断变 大， ( ) s wx的概率峰也有向较大值的x方向转移的趋势。这说明，不管是细胞能够 生存下来的可能性还是能够生存下来的细胞的数量都会随之增加。另外，图33则 表示出当取不同的值时，系统所处于的三个截然不同的状态，也即细胞群的三个 差别巨大的生存状态。综上所述，在一定的条件下，噪声之间的关联程度这一参 数对于细胞的生存和死亡具有重要的意义。 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 w s?x? ?0.1 ?0.6 ?0.8 图 31 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5d =，0.5=，0.3a =，0.1b =，0.1=，0.6，0.8。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 23 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 w s?x? ?0.7 ?0.9 ?0.95 图 32 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5d =，0.5=，0.3a =，0.1b =，=0.7，0.9，0.95。 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 w s?x? ?0.1 ?0.8 ?0.99 图 33 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5d =，0.5=，0.3a =，0.1b =，=0.1，0.8，0.99。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 24 （2） 从图34和图35我们可以分析噪声( ) 1 t的强度d对定态概率密度 ( ) s wx的影响。如图所示，在其它各参数为选定值的情况下，随着d的增加， ( ) s wx 在较小值的x附近逐渐增大。但在较大值的x的情况下，随着噪声强度d的增加， ( ) s wx 随之降低。而且，在足够大的d值的状态下， ( ) s wx在较大x值附近的概率 峰趋于消失，而所有的概率都集中在0 x =附近。这意味着，在一定的条件下，较大 的噪声强度d将会使细胞处于不能生存的状况。 图36示出在取由小到大三个不同 的值时，细胞群则分别处于三个不同的生存状况。另外，可以看到， ( ) s wx在较大 的x值处的概率峰的位置受d的影响不大。即，( ) 1 t为扩散项，在一定的条件下， 生长率a的波动能够决定性地影响到细胞的生存状况。 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 w s?x? d?0.1 d?0.3 d?0.5 图 34 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5=，0.3a =，0.1b =，=0.8，d =0.1，0.3，0.5。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 25 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 w s?x? d?1.0 d?2.0 d?0.5 图 35 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5=，0.3a =，0.1b =，=0.8，d =0.5，1.0，2.0。 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 w s?x? d?0.1 d?2.0 d?0.5 图 36 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：0.5=，0.3a =，0.1b =，=0.8，d =0.1，0.5，2.0。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 26 （3）从图37和图38我们可以分析噪声( ) 2 t的强度对定态概率密度 ( ) s wx的作用。如图所示，在其它各参数为选定值的情况下，随着的增加，( ) s wx 在较大x处的概率峰逐渐向较小的x方向移动。 而且， 在足够大的的情况下，( ) s wx 在较大x处的概率峰完全消失，几乎所有的概率都集中转移到0 x =处。这意味着， 较大的噪声( ) 2 t的强度能促使细胞从生存状态到死亡状态的转变。也就是说，噪声 ( ) 2 t为漂移项，在一定的条件下，衰减率b的波动同样能影响到细胞的生存和死亡。 00.511.522.53 x 0 0.2 0.4 0.6 0.8 wshxl a=a=0.1 a=a=0.3 a=a=0.5 图 37 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：d =0.5，0.3a =，0.1b =，=0.8，=0.1，0.3，0.5。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 27 00.511.522.53 x 0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 w s?x? ?0.6 ?1.0 ?2.0 图 38 细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx随x的变化曲线。其中，( ) s wx表达 式中各参数的取值如下：d =0.5，0.3a =，0.1b =，=0.8，=0.6，1.0，2.0。 3.4 小结小结 在本章中，我们研究了细胞生长模型的定态性质。在此模型中，细胞的生长率 和衰减率都受到噪声的干扰，而且两噪声也存在着彼此之间的关联。首先，通过相 关计算，我们得到了细胞数量x的定态概率分布函数( ) s wx的精确表达式。然后，又 从( ) s wx随x的变化曲线中观察到，在一定的条件下，不论是生长率受到噪声的影响 所产生的波动，还是衰减率受到噪声的影响产生的波动，又或是两噪声之间的关联 程度，都会对细胞的生存和死亡状态产生重要的，甚至是决定性的影响。 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 28 4 双稳模型双稳模型 无论是在自然社会中还是在人类社会中，双稳现象都是广泛地存在着的。自然 界中如水的沸腾，地震，山体的崩塌等；人类社会中如战争的发生，市场的波动以 及人或动物情绪的变化等。双稳现象是稳定性中的一种形式，它受两个互相矛盾的 因素或倾向所制约，在这种情况下，系统最终所要达到的状态是要由影响系统的相 对较强的因素或倾向来主导的。但这只是一般的情形，而实际的情况是在过程中系 统还要受到许许多多不可预知的因素的影响，如随机力。不可小视这些表面上看来 微小的随机力的作用，有时由于它们的存在，双稳系统的整体性质表现都有可能为 之有决定性的改变。而我们的目的正是为了研究在随机力的作用下，双稳系统的性 质是如何为之改变的。 4.1 双稳现象介绍双稳现象介绍 双稳现象中很重要的一个例子便是光学双稳性。光学双稳是非线性导波光学的 一个重要的分支，它是在1975年由贝尔实验室的mccall等人首先发现的。研究人 员从置于法布里珀罗谐振腔中的钠蒸汽中测得了光学双稳态特性。这种结合谐 振腔与介质非线性特性而得到的双稳态和不稳定性等现象立即引起了科学家们极大 的兴趣。自此以后的几年里，在气体，液体以及半导体等许多材料中都观察到了光 学双稳态。 光学双稳态是光通过某种光学系统，在适当的条件下，对于一个输入光状态存 在着两个不同的透射（输出）光状态，并表现出滞后性。这里所谓的光状态，可以 是光功率，也可以是光波长或光场的偏振态以及相位等物理量。从理论上讲，光学 双稳系统是一个远离平衡态的非线性系统。一般来说，光学双稳态的产生需