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广义b a l l 基的全正性及三角域与矩形域上曲面片的转化 摘要 本文一共包含四章内容。 前两章内容包括s a i d - b a l l 基函数和w a n g b a l l 基函数的定义、性质、升降 阶以及与b 6 z i e r 曲线的互化，同时指出s a i d b a l l 基函数的规范化全正性。接 下来的两章主要介绍了邬弘毅所提出的两族广义b a l l 基：s b g b 型基函数和w s g b 型基函数，用这两族基函数构成的广义b a l l 曲线，不仅包含了b 6 z i e r 曲线，s a i d b a l l 曲线和w a l l b a l l 曲线，还包含若干介于这些著名曲线之间的中间曲线它们具有与 b 6 z i e r 曲线和b a l l 曲线相类似的许多性质 作者在第三章里通过对s b g b 型基函数的进一步研究，得到本文的两个主要 结果： 1 构造了一种割角算法，证明了s b g b 型基函数是规范化全正的： 2 利用s b g b 型基函数的对偶泛函，推导出s b g b 三角曲面片到退化矩形曲 面片的顶点转化公式。 关键词：s a i d b a l l 曲线f a l l b a l l 曲线s b g b 型基函数 w s g b 型基函数规范化全正 三角曲面片矩形曲面片 t o t a lp o s i t i v i t yo fg e n e r a l i z e db a l lb a s e s & c o n v e r s i o n b e t w e e n t r i a n g u l a r a n d r e c t a n g u l a r s b g bp a t c h e s a b s t r a c t t h et h e s i sl sc o m p o s e do ff o u rc h a p t e r s t h ef i r s tt w oc h a p t e r sa r ef o c u s e do nt h es a i d b a l la n dw a n g b a l lc u r v e s ， i n c l u d i n gt h e i rd e f i n i t i o n s ，p r o p e r t i e sa n de x p l i c i tc o n v e r s i o nf o r m u l a s t ot h eb 6 z i e r r e p r e s e n t a t i o n ，t h e a u t h o ra l s o p o i n t s o u tt h a tt h es a i d - b a l lb a s i si sn t p t h e e m p h a s i so ft h e n e x tt w o c h a p t e r s a r el a i d u p o nt h e t w on e wf a m i l i e so ft h e g e n e r a l i z e db a l lb a s e sw h i c ha r ei n t r o d u c e db yw uh o n g y i ，i e ，s a i d b 6 z i e rt y p e g e n e r a l i z e db a l l ( s b g b ) b a s e sa n dw a n g - s a i dt y p eg e n e r a l i z e db a l l ( w s g b ) b a s e s ， t h ec u r v e sc o n s t r u c t e do nt h e s eb a s e si n c l u d et h eb 6 z i e rc u r v e ，t h es a i d b a l lc u r v e ， t h ew a l l b a l lc u r v ea n ds o m ei n t e r m e d i a t ec u r v e s t h e s ec u r v e sh a v em a n yt h e p r o p e r t i e ss i m i l a rt ot h eo n e so f t h eb 6 z i e rc u r v e b ym a k i n g af u r t h e rs t u d yo fs b g b c u r v e s ，t h ea u t h o ra c q u i r e st w om a i nr e s u l t s n a m e l y ： 1 u s i n gac o r n e r c u t t i n ga l g o r i t h m ，t h i st h e s i ss h o w s t h a tt h es b g bb a s e sa r e n o r m a l i z e dt o t a l l yp o s i t i v e ( t n p ) ，a n dt h ew s g bb a s e sa r en o tt n p 2 t h i st h e s i sa l s op r e s e n t sa ne x p l i c i tf o r m u l at h a tc o n v e r t sat r i a n g u l a rs b g b p a t c ho fd e g r e e 月t o ad e g e n e r a t er e c t a n g u l a rs b g bp a t c ho fd e g r e en h b y r e p a r a m e t r i z a t i o na n dt h es b g b d u a lb a s e s k e y w o r d s ：s a i d - b a l lc u r v e ，w a n g b a l lc a lv e ，s b g bt y p eb a s e s ，w s g b t y p eb a s e s n o r m a l i z e dt o t a l l y p o s i t i v e ，t r i a n g u l a rp a t c h ，r e c t a n g u l a rp a t c h 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究一 作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得佥目b 王些盘堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：珏瞧寄签字日期沙阜年月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解 金壁王些盍堂有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查 阅和借阅本人授权 金罂工些盍堂 可以将学位论文的全部或部分论文内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位 论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：号憧舞 签字日期：沙牛年g 月f 日 学位论文作者毕业后去向 ：l ：作单位； 通讯地址： 导师馘：绑；b 炎 签字日期：f 年 月曰 电话 邮编 致谢 本文是在我的导师邬弘毅教授的悉心指导下完成的。值此论文完成之际，谨 向导师致以诚挚和深切的谢意。 邬弘毅教授始终坚持严格教学、不辞辛劳；对学术问题具有敏锐的洞察力， 对新领域的探究具有高瞻远瞩的能力；在科研工作中的态度更是严肃认真、一丝 不苟、锐意创新。他广博的学识、谦逊的为人和求真的作风都将使我收益终身。 同时谨向指导、关心和帮助过我的老师、同学、亲人和朋友表示诚挚谢意。 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢他 们在百忙中给予的批评指正。 作者：汪峻萍 2 0 0 4 年5 月 前言 计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，简称c a g d ) ，主 要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、逼近、分析和综合。它源于飞 机、船舶的外形放样( l o f l i n g ) s e 艺，由c o o n s ( 1 9 1 2 1 9 7 9 ) 、b 6 z i e r ( 1 9 1 0 - 1 9 9 9 ) 等 大师于2 0 世纪6 0 年代奠定理论基础。 c a g d 是随着现代工业的蓬勃发展而逐步发展起来的应用数学的一个重要 分支，是当代高技术学科之一。随着计算机图形显示对于真实性、实时性和交互 性要求的日益增强，随着几何设计对象向着多样性、特殊性和拓扑结构复杂性靠 拢这种趋势的日益明显，随着图形工业和制造工业迈向一体化、信息化和网络化 步伐的日益加快，随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的日益完 善，c a g d 在近几年来得到了长足的发展。这主要表现在研究领域的急剧扩展和 表示方法的开拓创新。它与应用逼近论、微分几何、代数几何、线性代数、数值 分析、拓扑学、微分方程、分形小波等近代数学各个分支以及计算机图形学、几 何造型、数据结构、程序语言、机械加工、外形检测、三维医学图像、人体解剖 学等学科的交叉和渗透。曲线和曲面是计算机辅助几何设计研究的重要内容，它 们在实际工作中有广泛的应用。例如，实验、统计数据如何用曲线表示? 设计、 分析、优化的结果如何用曲线、曲面表出? 汽车、飞机等具有风趣面外形的产品 怎样进行设计，才能使之美观且物理性能最佳。b 6 z i e r 曲线是c a g d 中最基本 的造型工具之一，而b a l l 曲线具有保凸、变差缩减等性质，且比求b 6 z i e r 曲线 上任一点的d ec a s t l j a u 算法有更高的计算效率，因而在c a g d 中日益受到重视。 本文主要介绍的是广义b a l l 曲线曲面。 我们首先扼要介绍广义b a l l 曲线的历史背景、特点及研究现状。 1 9 7 4 年b a l l 在为英国飞机开发的外形设计系统c o n s u r f 中，首次提出三 次b a l l 基函数的定义 卜引，用作有限区间上三次多项式的基。c o n s u r f 系统中， b a i l 定义有理三次参数曲线： 土土 占( f ) = b , ( t ) c r f b i 岛( f ) 盯，0 t 1 i = 0扭0 作为曲面模线程序的基础，这里 ( 6 。( f ) ，6 l ( f ) ，b ：( f ) ，包( r ) ) = ( ( 1 一r ) 2 ，2 ( 1 - t ) 2 t ，2 ( 1 一t ) t 2 ，t2 ) ( o o ，盯。，盯2 ，吼) = ( 1 一f ，f ，f ，1 一，) 0 f l 这一系统的建立，彻底改革了传统的飞机外形设计中繁琐费时的手工放样工艺。 但是，b a l l 曲线原型的基函数仅限于三次，针对这一点王国谨1 9 8 7 年提出 了一种广义b a l l 曲线【4 1 ，现被称为w a n g b a l l 曲线，w a n g b a l l 基的引入给高次 曲线曲面的求值的快速算法提供了强有力的工具。类似b 6 z i e r 曲线，w a n g b a l l 曲线具有计算稳定性、对称性、凸包性、端点插值性、几何作图性、几何不变性、 可离散性等良好几何性质，同样适用于参数化特征设计，而且在求曲线上的值以 及升降阶的计算速度方面，明显优于b 6 z i e r 曲线。 1 9 8 9 年，马来西亚数学家s a i d t 5 】和英国数学家g o o d m a nt n t 6 - s 在共同研 究的过程中，将b a l l 的三次曲线原型推广到任意奇数次，现被称为s a i d - b a l l 曲 线。紧接着，他们又指出新曲线的许多良好性质。 1 9 9 6 年，胡事民等人【9 1 将上述曲线从奇数次推广到偶数次情况，定义了任 意次的广义b a l l 曲线，并讨论了它们的简单性质。胡事民等【1 0 - 1 1 还将w a n g b a l l 曲线和s a i d b a l l 曲线与b 6 z i e r 曲线作了比较，结果表明，在求值及升降阶的计 算速度上，s a i d b a l l 优于b 6 z i e r ，而w a n g b a l l 又优于s a i d b a l l ：在递归求值 方面，n 次的w a n g b a l l 曲线和s a i d b a l l 曲线当为n 偶数时乘法分别需要 3 ，z ，( + 2 ) 2 2 2 次，, 为奇数时3 厅一1 ，0 + 2 ) 2 2 次，而b 6 z i e r 曲线需n ( n + 1 ) 次， 三者的加法都各为乘法的一半。由此可见，s a i d b a l l 曲线的时间复杂度是b 6 z i e r 曲线的c a s t e l j a u 算法的一半，w a n g b a l l 曲线则将时间复杂度从曲线次数的平方 降为线性，w a n g b a l l 曲线和s a i d b a l l 曲线比b 6 z i e r 曲线更适合于曲线次数的 提高，有更高的计算效率。 但这两种高次广义b a l l 曲线与b 6 z i e r 曲线相差甚远，为此，2 0 0 0 年邬弘毅 1 2 。13 】根据两种广义b a l l 曲线又提出了两族新的带位置参数的广义b a l l 曲线： s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 基( s a i d b 6 z i e r t y p eg e n e r a l i z e d b a l lb a s i s ，简写为s b g b 基) 和w a l l s a i d 型广义b a l l 基( w a n d s a i dt y p eg e n e r a l i z e db a l lb a s i s ，简写为 w s g b 基) 用这两族基函数构成的广义b a l l 曲线，不仅包含了b 6 z i e r 曲线， s a i d b a l l 曲线和w a l l b a l l 曲线，还包含若干介于这些著名曲线之间的中间曲线。 它们具有与b 6 z i e r 曲线和b a l l 曲线相类似的许多性质，但它们具有比b 6 z i e r 曲 线更有效的递归算法，更适合于曲线次数的提高或降低，并且通过位置参数可以 调整曲线的位置。最近，邬弘毅、江平又给出了这两族基的对偶泛函 1 4 - 1 5 及 s b g b 型曲线的包络性质和细分算法 1 4 。 在设计曲线时，给定r 2 或r 3 中一组控制点 p ， ，f ，= 0 ，1 ，n 及一组基函数 疵( f ) ) ，江o ，1 ，n ，曲线常用参数形式表示： n p ( t ) = a 以( r ) ，t o ，1 】 i = 0 为了限止曲线的范围，一般要求曲线总是落在其控制多边形的凸包内，即具有 凸包性凸包性成立的充分必要条件为基函数 谚( f ) ，f _ o ，1 ，n 是规范化的 ( n o r m a l i z e d ) ，即满足：办( t ) 0 r b i ( t ) = 1 , 0 t 1 另一方面，要求曲线尽 可能地模拟或保持控制多边形的形状，即具有保形性曲线的保形性与变差减 缩性相关，它指的是任何一直线或平面与曲线的交点个数不超过它们与控制多 2 边形的交点个数。而当基函数是全正的时候，就能保证曲线的变差减缩性。从 理论上分析，这种保形性是与生成曲线的基函数的规范化全正性( n o r m a l i z e d t o t a ld o s i t i v i t y ，缩写成n t p ) 密切相关的。g o o d m a n 和s a i d 6 】利用割角算法证明 了s a i d b a l l 基函数是规范化全正的，d e l g a d o ，j 和p e f i a ，j m i t6 在文中首先构造 了一组新的基函数并指出其是规范化全正的。本文第三章通过构造一种特殊的割 角算法，从s b g b 曲线的控制多边形得到b 6 z i e r 曲线的控制多边形，从而证明 s b g b 基是n t p 基同时在第四章给出了一个反例说明w s g b 基不是n t p 基 事实上，对于有同一控制多边形的w s g b 型曲线和s b g b 型曲线，从直观上明 显可看出，后者要比前者离控制多边形更近一些，由此可见，正因为s b g b 型基 函数的n t p 性，w s g b 曲线虽然比s b g b 曲线具有更高的计算效率，但前者的 保形性不及后者。 随着图形工业对实时交互要求的日益增强，曲面求值已经成为整个系统高 速运行的一个“瓶颈”，研究表明，把广义b a l l 曲线推广到广义张量积b a l l 曲面， 正是解决这一“瓶颈”问题的一个好方法。此外，我们还可以把广义b a l l 基推 广到三角域上，用三角b a l l 曲面来代替三角b 6 z i e r 曲面进行几何设计和图形绘 制，以减少机时。另外，曲线曲面形式的互化在c a g d 中起着重要的作用，它 指的是同一条( 张) 参数曲线( 曲面) 用不同多项式基来表示时不同特征网格之间的 相互转化，或者指拓扑结构不同的矩形曲面片与三角曲面片的相互转化，或者指 参数曲线曲面隐式化和隐式曲线曲面参数化。奚梅成在文献【 】中利用b a l l 基的 对偶泛函得到曲线从b 6 z i e r 形式到b a l l 形式时控制顶点的转化公式。邬弘毅f 1 8 】 利用直接展开多元多项式的方法给出三角域上从b 6 z i e r 曲面到广义b a l l 曲面时 控制点的转换公式。 1 9 8 4 年，几何设计专家b a r n h i l l ”j 在s u r f a c ei nc a g d 的国际会议上，指出 矩形片与三角片的混合使用是c a g d 的八个重要课题之一。因此，矩形曲面片 与三角曲面片的互化和拼接，是c a g d 的一个热点。b r u e c k n e r 2 0 1 ，叶林f 2 ”，王 俊【zz 】都给出了一些互化公式，把b 6 z i e r 三角片表为矩形片的t r i m m d e ( 裁剪) 曲面； 胡事民【2 叫则用升阶法得出b 6 z i e r 曲面从三角域到矩形域上控制点的转化公式： l i n o 和w i l d e 2 4 1 把一张b 6 z i e r 三角片分解为三张同次的非退化矩形片；g o l d m a n 和f i l i p 2 5 1 把一张m n 次的矩形片精确地分割为两张m + n 次b 6 z i e r 三角片；此 外，s h e n g 【2 ，p i e g l 【27 j 都对t r i m m d e 曲面的三角化有所研究。本文利用s a i d b 6 z i e r 型广义b a l l 基的对偶泛函得到s b g b 曲面从三角域到退化矩形域上控制点的转 化公式。 第一章s a i d - b aj i 基函数 三次b a l l 曲线最初是由b a l l ，a a 提出的，王国瑾和s a i d ，h b 分别将其推广 到高次情况，提出了两种广义b a l l 曲线，现被称为w a n g b a l l 曲线和s a i d b a l l 曲线。本章主要介绍s a i d b a l l 曲线的定义，s a i d b a l l 基函数的性质，规范化全 正性的定义，并指出s a i d b a l l 基函数是规范化全正的，本章的最后给出了 s a i d b a l l 三角曲面片和矩形曲面片的顶点转化公式。 1 1 s a id - b a l i 曲线的定义【2 8 】 定义1 1 1 给定r 2 或r 3 中h + 1 个控制点僻) ，i = 0 , 1 ，n ，则曲线 p ( f ) = 掣( f ) 只，0 t 1( 1 1 1 ) f 1 0 称为n 次b 6 z i e r 曲线，e 0 只只称为控制多边形或特征多边形，其中 删秭f ( 1 矿，o i n 为b e r n s t e i n 基函数 定义1 1 2对于给定整数, ；v l ，设t 是满足条件0 t 1 的变量。多项式函数系 ( 酗，雕) 定义为： 当矗= 2 m + 1 时 当n = 2 m 时 $ ”( r ) = ( 1 1 2 ) ( 州， r c - 一r ，”+ i ，。r 扰一，； ( 2 批尸一， ( 1 1 3 ) s 2 2 。m f ( f ) = 砰“( 1 一f ) ，0 i m 一1 则称( s g ，联) 为s a i d b a l l 基函数 定义1 1 3 给定r 2 或r 3 中栉+ 1 个控制点 d ，) i = 0 , 1 ，, 则胛次多项式曲线 s ( f ) = 卵o ) b ，( o f 1 ) ( 1 1 4 ) i = 0 4 珑 一 畦 鲰 0 ， o d 一 力 0 一 礼，叼+ ；p，飞卜 如 0 “ “n 写； 抽坼 s s 称为n 次s a i d b a l l 曲线 1 2s a id b a i i 基函数的性质 2 9 】 性质1 2 1非负性：0 s s ? ( f ) s 1 ，0 t s l ，i = o ，l ，月 性质1 2 2 协调性：s 7 ( t ) z 1 ，0 t 蔓1 i = 0 性质1 2 3 对称性：掣( t ) = s ( 1 - 0 ，i = 0 , 1 ，n 性质1 2 4递推性： 酃”1 0 ) = 酃”( f ) ，咒臻o ) = s 器0 ) s 0 ) z s ：“o ) + s ：等1 0 ) ，0 f m l 1 3s a i d b a i l 曲线与b 6 z i 6 1 - 曲线的互化 定理1 3 1 3 0 1 s a i d b a l l 基函数( 霹( f ) ，吖( f ) ，孵( 啪可由b e r n s t e i n 基函数 ( 睇( f ) ，占? ( f ) ，彤( f ) ) 表示成下述形式： ( s ( f ) ，s t ( o ，群0 ) ) 7 = ( 口f ) ( 。+ 1 ) 蚋枷( b ；o ) ，占。n ( f ) ，一，占：0 ) ) 7 其中 n 口= 2 ， 一- ，1 一f ( ； ，z l n 2 、一，j h ，z 一， 1 ，- 一l ，n7 2 j ( ；) ，l n l 2 + ，b ，2 - + - ，z i = j = n 2 ， 其它 于是s a i d - b a l l 曲线( 1 1 4 ) 就可表成b c z i e r 曲线( 1 1 1 ) 的形式，这里 ( 只，只，只) = ( d 。，d ，d 。) ( 口f ) ( 。) x ( 。) 定理1 3 2 3 0 1 b e r n s t e i n 基函数( 掰( f ) ，占? ( f ) ，群( f ) ) 可由s a i d b a l l 基函数 ( s ；( f ) ，s ? ( f ) ，( f ”表示成下述形式： ( 日；0 ) ，b ? ( f ) ，b ：( f ) ) 7 = ( 6 口) 和+ i ) 。( 。) ( 霹( f ) ，s ? ( f ) ，s ：( r ) ) 7 其中 = 广钟7 生卜) 俨，j + 0 唆和2 砖脚翻 广戗卜1 叫- l n 佗坝b 等刁删挑渤删小闺 1 ， i = j = n 2 ， 0 ，其它 s 一 n f ri，、，l，、 、f 于是b o z i e r 曲线( 1 1 1 ) 就可表成s a i d - b a l i 曲线( 1 1 4 ) 的形式，这里 ( d 。，d l ，一，d 。) = ( p o ，只，只) ( ) ( 。) x ( “) 一 1 4s a i d b a ii 基函数的规范化全正性 定义1 4 1 3 1 1 定义在区间【o ，1 】上的实值函数系( 九，办，丸) ，若对于任意的 o f l f 。1 ，其配置矩阵慨( f j ) 总。爿m 是全正的，即其所有的子式都是非负 的，则( ，矗，以) 被称为全正函数系( t p ) 。设( 丸，稿，以) 是一组全正基，若 月 唬( f ) = 1 9 0 t s l ，则称( 丸，矾，丸) 为规范化全正基( n t p ) 1 = 0 定理1 4 2 对任意正整数 z ，s a i d - b a l l 基( 懿，雕) 是规范化全正( n t p ) 基。 ( 证明即第三章定理3 2 2 中k = 0 时的情形) 1 5s a i d - b a i l 曲线的升降阶1 2 8 1 一条h 次s a i d b a l l 曲线s ( f ) = 酃( r ) j d ，( o t 1 ) 可由下述算法将其升为 n + 1 次s a i d b a l l 曲线； 8 0 算法1 5 1 ( s a i d - b a l l 曲线的升阶) ( 1 ) 当以= 2 m 时 f 玑 。鱼如 d f = d 。， i = m + 1 【d f - i ， m + 2 f 2 埘+ 1 ( 2 ) 当甩= 2 m + 1 时 西：璺= ! 塑! 堡 璜+ l + i d 2 m + 2 - i = - - 坠薷监 0 f ，竹 西。= 圭( 西。+ 西，+ ：) 则j ( 力= 霹+ 1 0 ) 西f ，( o t t 1 ) 是s a i d b a l l 曲线( 1 1 。4 ) 的升阶曲线。图1 5 ，1 显示 的是条七次的s a i d b a l i 曲线利用上述算法次数升阶为八次 6 ，。【 d 3 图1 5 1七次s a i d b a l l 曲线的升阶 反过来，我们也可用另一条n 一1 次的s a i d ：b a l l 曲线降阶逼近一条n 次的 s a i d b a l l 曲线s ( f ) = s ? o ) d f ，( o t s l ) i = 0 算法1 5 2 ( s a i d - b a l l 曲线的降阶) ( 1 ) 当玎= 2 m 时 d 一i 一d 。一l + ( d h + d ，+ 1 2 d 。) 2 ， d ，+ l 卜- d “+ ( d 搠- 1 + d 。+ l 一2 d 。) 2 ， _ d 。 - d 。一( d + d 朋+ l 一2 d ，) 2 o f 掰一l ( 2 ) 当n = 2 m + 1 时 一p ， o f 如_ 1 d f = ( d ，+ d 卅+ 1 ) 2 ， i = m l 皿+ l ， m + 1 i 2 m n l 则可f ) = s 7 _ 1 ( f ) 两，( o f 1 ) 是s a i d - b a l l 曲线( 1 1 4 ) 的降阶逼近曲线 1 = 0 1 6s a i d b a l | 三角片到矩形片的转化 定义1 6 1 对于给定整数m l ，设“，1 ，w 是满足条件0 “，y ，w 1 ，“+ v + w = 1 的变量， a u 0 f ，k 2 m + l ，i + j + k = 2 m + 1 ) 为r 3 中的控制点，三角域上的 7 菱一优 2 m + 1 次广义b a l l 基分四片： 口f 2 ，m i + 1 ，v ，w ) = ( 珑：料川v v ， ( m 掌七p “w ， f 研1 v w 州， l i ，j f 2 7 1 w w t ， lz ，j f m + 1 j m + 1 七，”+ 1 1 u 七m ( 1 6 1 ) 相应的2 州+ 1 次广义b a l l 曲面为 k ( u ，v ，w ) = a i , j , k 口叭2 m + 1 ( “，u w ) ( 1 6 ，2 ) 其中组合系数 2 z 歹1 = 瓦顽差 定义1 6 2 矩形域上( 2 m + 1 ) x ( 2 n + 1 ) 次广义b a l l 曲面为： i 1 一 p 0 ，t ) = 只，口a 2 2 ”+ 1 ( j ) a ：”+ 1 ( r ) 0 j ，t 茎1 ( 1 6 3 ) 其中只。为控制顶点，口；”1 ( s ) ，口：”1 ( f ) 为定义( 1 1 2 ) 中定义的s a i d b a l l 基函数 因为( 1 6 2 ) ( 1 6 3 ) 有不同的b a l l 基，三角域和矩形域上的广义b a l l 曲面有 不同的几何性质，一个重要的问题是在同一个c a d 系统中如何广义b a l l 曲面从 三角域的控制网格转化成矩形域的控制网格。 ， 定理1 6 3 为将三角域上2 m + 1 次广义b a l l 基( 1 6 1 ) 标成矩形域上的同次的广义 b a l l3 ( 1 1 2 ) ，f + ，+ k = 2 m + 1 ，可用下述公式 2 m i + 1 ，v ，w ) = 量目t 。口“( s ) 口p “( r ) + 至鹾7 口“( s ) 口：2 。m + l 一，( f ) ， f m + l f - i m k c ：。口，2 4 “0 ) a 2 2 ，m “+ l i ( f ) ，j m + 1 c ：。口，2 1 “0 ) 口；1 “( f ) ， ” k t n + 1 m m 吖。d ，2 “0 ) 口p “( f ) + d y 口；1 “0 ) 口：2 。m + + 。l 一，0 ) ，1 f ，k m 1 f m + ，一_ ，一七1 l ，一，j 、， 七一一 一， +m ，、 _ 、， ， + ， m ，l， 七 + h 、 ，l = ： 8 6 。p ：c 一，一( ，k 一。) ( 肌+ ；+ 尼 ( 埘7 一 r 删+ f 、 叫。) r l l f jp 心i “n + r l - j “) d ；一：c 一，一，( m 产7 。( m ：7 。( 2 ：岁1 i i m - ；l l m + ，l 一- 七j 一是 定理1 6 4以 _ f i ) ，f + j + 七= 2 m + 1 为控制顶点的2 m + 1 次三角域的广义 b a l l 龃面声( “，v ，w ) ：一u j 口u 2 m 、。+ 1 ( “，u w ) 可表为矩形域( 2 删+ 1 ) ( 2 m + 1 ) i + j + k = 2 r “+ 1 次的广义b a l l 曲面 户 ，h w ) = e ( s ，f ) =爿“t 口“2 m t + 1 m ，v ，。 其中的控制顶点只， 其中 只。= n 一“血气挚+ ：i l ， + 1 五2 m + l 且o 1 a m p i =矿, l j , i m + i - i - ， m + 五斛1 且u 州 i - o p 22 曲“军：嚣i ， ，。硎+1a2m+l且掰+l2m+1a 1 础川小壮，硎+ 1 a 2 m + 1 且掰+ 。s 3 p ，= c t a w 一- 卜， i = m a x ；t - , u 。0 血 z a t - p ! l p 。= c a 啦一一州 p ，+ d p 4 “驯 扛m + 卜口1 - m + l f i口i p 。十d t ”1 a t ：，+ ，一，一t 。t ， 0 s a s ，扎且o 兰芦墨m a 0 s 旯m r m 十1 + 旯a 2 m + 1 。一：( 2 m j ? 一五) ( ”：p 一1 ( + ：? 一1 1 旯小且川+ 1 一a s m 1 a 兰m 且m + 1 p 玳+ z 6 ；一：( 2 ，2 雄m + + 。一l - a x 一七 ( m 之p ) 一( 卢+ 三：一1 ) 9 叶 虻船只 砷 | | c ? = c 一，2 。( 旯一1 ，) ( 7 栉+ ；+ ( 研旯4 - 五 一 d ? = c 一， 一 川三见 1 m + 卢、 lj1 一m 4 - 1 ) ( + 纠i - m 。1 d ；“= c t ，2 。( 川三五) 一( m 4 - 一( 2 m 七- - 1 l l ：l l 4 - i - 一m 七一1 a l = 2 m + 1 一“ 证明( 略，即第三章定理3 4 3 中k = 0 的特殊情形) l i ，上七s 肌 图1 6 1 指标( f ，) 的划分 1 a m 7 7 1 + l 一 s 上，m + 图1 6 2 指标( a ，) 的划分 图1 6 3 三角片及控制网格 图1 6 4 矩形片及控制网格 例 当m = 3 时由三角域上广义b a l l 曲面控制点臼，_ ) 求矩形域上的控制顶点。 毛= 爿p o 。7 一心= o 小，7 ) ；鼻。= ，只1 = - - a 1 0 1 6 + r 5 4 一h s ， 置z2 二学，置，= 二三学，鼻。= 二三半，只；= 二华 1 0 翟潭 0 m 0 o 只。= 二兰学，只，= 爿。； 耻耻半岛 马3 = 最4 a 0 2 5 1 2 a 1 2 4 + 2 1 a 2 2 3 6 a 0 3 4 2 8 a 1 3 3 + 2 1 a 2 2 3 + 2 1 a 2 3 2 耻半焉= a 2 5 0 ； p 3 0 = a 3 0 。, 耻型呼弛 b 3 = p 3 4 = 只5 ：6 a 1 4 _ _ _ a 2 耻鱼苎簪些 ，只2 ：6 a 1 2 42 1 a 2 2 3 + 1 4 a 3 1 3 + 2 1 a 3 2 2 2 0 2 a 0 3 4 + 1 4 a l3 3 2 1 a 2 2 3 2 1 a 2 3 2 + 1 4 a 3 l ，+ 4 2 - 1 3 2 2 + 1 4 a 3 3 2 1 a 2 3 2 + 2 1 a 3 2 2 + 1 4 a ” 2 0 只。吐。只。= 华 p 3 6 一- - 型! 盟竽 = a 3 4 0 , 驴筮学 p 4 3 p “= 鱼些喀兰丛心= 氇半 弘半，- - a 4 3 0 ； 耻耻华 = 3 a 5 0 2 + 6 a 5 l l + a 5 2 0 耻耻鱼学 = a 5 0 2 + 6 a 5 i i + 3 a 5 2 0 ，1 1 9 5 6 - - 鱼净焉叫：。 p 6 0 = a 6 0 t , 耻半心= 半，圪= 匕= 耻半，圪= 华 l + 6 l o 2 第二章w a n g - b a | i 基函数 1 9 8 7 年王国谨提出了一种广义b a l l 曲线【4 】，现被称为w a n g 。b a l l 曲线， w a n g b a l l 基的引入给高次曲线曲面的求值的快速算法提供了强有力的工具。类 似b e z i e r 曲线，w a n g b a l l 曲线具有计算稳定性、对称性、凸包性、端点插值性、 几何作图性、几何不变性、可离散性等良好几何性质，同样适用于参数化特征设 计，而且在求曲线上的值以及升降阶的计算速度方面，明显优于b 6 z i e r 曲线。 本章主要介绍w a n g ，b a l l 基函数的性质，w a n g - b a l l 曲线的定义，与b 6 z i e f 曲线 的互化以及w a n g b a l l 曲线的升降阶问题 2 1w a n g - b a ii 曲线的定义 4 定义2 1 1对于给定整数m 1 ，设t 是满足条件0 t 1 的变量。多项式函数系 ( 附，町) 定义为： 当以= 2 m + 1 时 j ( 2 t ) 。( 1 一f ) + 2 ，0 i m l ； 彬2 ”1 ( f ) = 旧) m ( 1 一f ) m “， f ：m ； 2 1 1 ) 阡：翟葛l ( f ) = 彬2 m + l ( 1 一f ) ，0 i 聊 当h = 2 m 时 i ( 2 t ) ( 1 一f ) 2 ，0 i m 一1 ； 彬“( t ) = l ( 2 f ) m ( 1 一f ) m ，f ：弼 ( 2 _ 1 2 阡7 z 三，( f ) = 2 “( 1 一f ) ，0 i m 一1 则称( 呀，眸) 为w a n g b a l l 基函数 定义2 1 2 给定r 2 或r 3 中以+ 1 个控制点 仁) f = 0 ，l ，n 则以次多项式瞌线 月 即) = 町( r ) g f ， o t 1 ( 2 1 3 ) l = 0 称为，z 次w a n g b a l l 曲线。 2 2w a n g - b a ii 基函数的性质【4 】 性质2 2 1 非负性：0 4 ( f ) i ，0 f 1 ，f _ 0 , 1 ，n 1 2 性质2 2 2协调性：”( t ) ；1 ，0 t 1 i = 0 性质2 2 3 对称性：彬“( f ) = 晖f ( 1 r ) ，i = 0 , 1 ，h 性质2 2 4递推性：设a ( t ) = 2 ( 1 一f ) f ，则有 睨”( f ) = 彬“一1 ( r ) = ( 1 - f ) 2 a 。( r ) ，0 i r n 2 1 2 f 巧”o ) = 阡7 i 。- 一1 1 ( ，) = ，2 a “一，l n 2 j + 2 s i 蔓，f w r 1 2 卜l ( f ) = o - f ) 研n 吖- 2 1 l ( f ) ，阡饧2 卜1 ( f ) = f 陟饬n - 2 i ( f ) w 2 m m ( t ) = t g ( 2 m 。1 0 ) + ( 1 一f ) 阡翟“一1 ( f ) 彬肾( r ) = ，o ) 爿( f ) ，0 s i h 性质2 2 5幂基表示性： 0 i l 2 j 一1 r n 2 + l i 胛 孵l ( f ) _ 2 ”和) 份“v ，2 ”、， 性质2 2 6线性无关性： w a n g b a l l 基函数( w ，町) 线性无关 性质2 2 7次数增减性： w a n g - b a l l 基函数( w ，孵) 的次数按序号写出来 是2 , 4 ，1 一2 ，n ，h ，n ，月一2 ，4 , 20 为偶数) ，或2 ，4 ，n l ，l ，n ，n 一1 ，4 , 2 ( n 为奇数) 这种依基函数序号呈阶梯形增减且增减幅度为2 的次数分布特征及性质2 2 4 是 w a n g b a l l 曲线递归求值和升降阶计算具有高效率的根本原因 2 3w a n g - b a ii 曲线与b 6 z i8 r 曲线的互化2 8 】 定理2 3 1 w a n g b a l l 基函数( w ( f ) ，彬“( r ) ，w ( f ) ) 可由b e r n s t e i n 基函数 ( 掰( f ) ，曰。n ( f ) ，群( f ) ) 表示成下述形式： ( w o c t ) ，”( r ) ，阡? ( f ) ) 7 = ( 4 # ) ( 。) m + 1 ) ( ( r ) ，w ( 粉- ，彤( r ) ) 7 其中口= 2 ( 力二2 m 肛一- 1 , i j n - 2 2 “( 2 葛以) 吡姚刚士吲轧 2 几m n ) ， 吲= l n l 2 埘2 _ l 0 ，其它 、，m ，卜 + f 【 k，叭，州“、 2 一，、ir w 7 一身r 吖，州以 磐学分 1 h h 町 町 哼 咛 于是f f a n g - b a l l 曲线( 1 1 ，4 ) 就可表成b 6 z i e r 曲线( 1 1 1 ) ，这里 ( 只，只，只) = ( g 。，g l ，g 。) ( 口f ) ( 一h ( “) 定理1 3 2b e r n s t e i n 基函数( 蟛( f ) ，曰n ( f ) ，彤( f ) ) 可由w a n g