（理论物理专业论文）变系数非线性方程的求解.pdf

独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获佞安缸犬亏域其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签 签字日期：h 一6 年f 月，。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解喜羹文农亏有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本人授权毒轴：备以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 糊黼签名出幻 签字日期：弦6 年 月口 日 学位论文作者毕业去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名 签字日期： 电话 邮编 擎髫卜 么”锌5 月( 口日 变系数非线性方程的求解 摘要 本文首先概述了线性与非线性的本质及其在物理学上的意义，然后介绍了 非线性方程一般的求解方法和目前变系数非线性方程求解的发展情况，最后着 重对变系数非线性方程的求解作出了研究。具体概括起来包括以下几个方面： 一、概述了线性与非线性的含义、线性与非线性微分方程的区别及其它们 在物理学上的作用，从而进一步阐述了求解非线性微分方程的必要性。 二、从求解变系数非线性方程的需要介绍了非线性方程求解的一般方法： 散射反演法、b i i c k l u n d 变换和行波解。 三、对目前变系数非线性方程的求解方法进行了归纳，并对变量分离法、 j a c o b i 椭圆函数展开法、截断展开法、推广的t a n h 函数法、b i i c k l u n d 变 换的求解方法作了详细的介绍。 四、在目前变系数非线性方程的求解方法的基础上，分别提出了运用齐次平 衡法与改进的截断展开法、截断展开法与函数约化法、h o p f - c o l e 变换 和试探函数两种方法结合的方法来求解变系数非线性方程。 关键词：变系数非线性方程精确解 2 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i st h e s i sf i r s t l yi n t r o d u c e dn a t u r eo fl i n e a ra n dn o n l i n e a ra n di ti si m p o r t a n c e t op h y s i c s t h e n ，g e n e r a lm e t h o d so fs o l v i n go fn o n l i n e a re q u a t i o nw e r ei n t r o d u c e d a n dt h es i t u a t i o no fs o l v i n go fv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re q u a t i o nw a sp r e s e n t e d i n t e n s i v e l y l a s t l yw er e s e a r c h e ds o l v i n gm e t h o d so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a r e q u a t i o n i tb r i e f l yi n c l u d e ss e v e r a lf o l l o w i n ga s p e c t s ： f i r s t l y , w ei n t r o d u c e dc o n n o t a t i o no fl i n e a ra n dn o n l i n e a ra n dd i f f e r e n c eb e t w e e n l i n e a ra n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h er o l eo fi t si np h y s i c s a n di tw a s e m p h a s i z e dt h a tt h ei m p o r t a n to fs o l v i n gn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s e c o n d l y , t h eg e n e r a ls o l v i n gm e t h o d so fn o n l i n e a re q u a t i o n sw e r ei n t r o d u c e d ， s u c ha st h ei n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ，b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n sm e t h o da n d t r a v e l i n gw a v es o l u t i o n s ，i no r d e rt os o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re q u a t i o n t 1 1 i r d l y t h em e t h o d so fs o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re q u a t i o na tp r e s e n t w e r ec o n c l u d e d a n dv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n ，t r u n c a t e d e x p a n s i o nm e t h o d ，i m p r o v e dt a n h f u n c t i o nm e t h o da n db i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n s m e t h o dw e r ei n t r o d u c e di n t e n s i v e l y l a s t l y , a tb a s i co ft h em e t h o d so fs o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n tn o n l i n e a re q u a t i o na t p r e s e n tw ep r e s e n tac o m b i n i n gm e t h o do ft w om e t h o d si ns o l v i n gv a r i a b l ec o e f f i c i e n t n o n l i n e a re q u a t i o n ，s u c ha sm e t h o d so fh o m o g c n c o u sb a l a n c ea n dt r u n c a t e d e x p a n s i o n ，m e t h o d st r u n c a t e de x p a n s i o na n df u n c t i o nr e d u c t i o n ，m e t h o d sh o p f - c o l e t r a n s f o r m a t i o na n dt r i a 】f u n c t i o n k e yw o r d s ： v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tl i n e a rn o n l i n e a r e q u a t i o n e x a c t a n a l y t i cs o l u t i o n 3 序言 序言 几个世纪以来，物理学研究的主要是线性问题，即运动方程为线性方程，物 质方程( 物质对运动的响应的表达式) 为线性方程的情形无论在力、热、声、光、 电现象或在微观世界中，研究工作的状况均是如此究其原因，一则因为当时的 实验手段不甚先进，所用仪器不够精密，在那些仪器的精度下归纳出来的线性理 论，己能解释人们在相当广阔范围内观察到的物理现象：二则因为数学上的困难 较大迫使人们不得不把一些复杂的实际问题简化为线性问题。“”“3 ，以便求解 近年来通过大量的实验研究发现，在自然科学许多领域都存在一些用线性理 论无法解释的现象 早在1 8 3 4 年8 月，爱丁堡皇家学会的拉塞尔( j s r u s s e l ) 就曾发现一个 奇持的现象：有两匹马拉一条船沿运河迅速前进，当船突然停止时，河道内为船 所推动的一大堆水并不停止，而是积聚在船头前面激烈翻滚，然后水浪突然呈现 出一个很大的、孤立的凸起，那是一个滚圆而且光滑、周界分明的水堆它以巨 大的速度向前推进，并且没有明显地改变其形状或降低其速度后来，在行经很 长一段路程后，该水堆的高度渐渐下降，终于在运河的拐弯处归于消失 线性理论无法合理的解释上述现象，两位德国科学家科特韦格 ( d j k o r t e w e g ) 和德夫里斯( g d ev r i e s ) 认为这种不弥散的波包是由非线性效 应与色散现象相互抵消所致，并命名了孤立波，满足粒子条件的孤立波称为孤立 子，导出了著名的k d v 方程，解释了r u s s e l 的浅水波。这也成为后来发展孤子 理论的基础“”1 。从此，也拉开了非线性研究的序幕。 现在，非线性科学已经成为- - i 1 新兴的交叉学科。其标志是：1 9 6 3 年美国气 象学家洛伦兹发表的确定论的非周期流论文，揭示确定性非线性方程存在混 沌( c h a o s ) 。1 ：1 9 6 5 年数学家z a b u s k y 和k r u s k a l 通过计算机实验发现孤立子 ( s o l i t o n ) “1 ：1 9 7 5 年美籍数学家芒德勃罗发表分形：形态、机遇和维数一书， 创立了分形( f r a c t a l ) 理论0 3 。混沌、孤立子、分形构成非线性科学的三大理论。 非线性科学的发展标志着人类对自然的认识由线性现象发展到非线性现象。非线 性科学中的混饨理论被认为是2 0 世纪继相对论、量子力学之后的又一次革命：分 形几何是继微积分以来的又一次革命：孤立子理论则预示着物理学与数学的统一 5 变系数非线性方程的求解 “。它自1 9 6 5 年z a b u s k y 和k r u s k a l 通过数学模拟的方法在等离子体中两个孤波 ( s o l i t o nw a v e ) 在碰撞后都能保持各自的波形和行进速度不变而命名为孤子 ( s o l i t o n ) 以后，得到了迅猛发展并成为非线性科学中一个重要的研究分支，它大 致可分为三个阶段“：第一阶段。从r u s s e l 在1 8 4 4 年作的论波动发现孤波算起 到k o r t e w s y 和d ev r i e s 导出著名的k d v 方程，并解释了r u s s e l 的浅水波，经历了 j 0 多年之久。第二阶段，可划在1 9 5 5 年到期9 7 5 至u t o d a 解决了1 9 5 5 年发现的f p u 非线性晶格振动问题，得到了孤波，1 9 6 5 年，z a b u s k v 和k r u s k a l 命名孤子。1 9 6 7 年，g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 提出了求解k d v 方程的反散射( i s t ) 方法 1 1 1 5 h 1 5 1 5 1 9 6 8 年，l a x 推广t g a r d n e r 等人的方法，引入了l a x 对，为利用i s t 方法解决了更多非线性发展方程开辟了道路。1 9 7 2 年，z a k h a r o v 和s h a b a t 将i s t 用于求解非线性s c h r 6 d i n g e r 方程。在应用研究上，在很多学科领域都发现了孤 子运动状态。例如，1 9 7 3 年s c o t t 、c h u 、m c l a u g h l i u 发表了关于1 9 7 2 年的前孤子 研究情况的评述，在电子、光学领域普及了孤立子知识。同年，贝尔实验室 h a s e g a w a 和t a p p e r t 预言光纤孤子的存在。相继又发现了关于凝聚态物理学和固 体物理学中孤子的应用。第三阶段，从1 9 7 3 年到现在，把孤子理论广泛应用于场 论模型、基本粒子等各个领域，在一定程度上已经形成了独立的科学分支孤 子物理学( s o l i t o np h y s i c s ) “”。 在孤立子理论发展中，非线性发展方程的求解方法是一个重要方面。1 9 6 7 年，美国的一个研究小组g g k m 在解k d v 方程时，首次发明了著名的解析方法 “逆散射变换”“”，并得出了k d v 方程n 个孤波相互作用的精确解。这个方 法经l a x ，p d 和a k n s 等人推广到一大批非线性演化方程中去，完善为一个较 普遍的解析方法，大大推进了孤子的研究。“。 但非线性发展方程具有很强的“个性”，每个方程似乎有其特殊的解法，人 们在近几十年的研究中努力发现它们的“共性”“”至今，用解析的方法来求解 非线性发展方程除了有逆散射变换法外，还有b ；c k l u n d 变换法“、h i r o t a 方法 1 、d a r b o u x 变换法3 、s i n e c o s i n e 方法n 6 1 、试探函数法1 、齐次平衡法m ”、 双曲函数法m m 5 m ”、函数变换法m ”、截断展开法”旧1 、椭圆函数展开法 ”2 肼酗m “蚓m 3 和一些其他的方法m h ”1 。这些方法主要是在求解常系数非线性 方程发现与总结出来的。常系数非线性方程只能理想地近似地反映实际物质运动 6 序言 变化的规律，事实上，这些非线性演化方程的系数是随着时间和空间变化的，只 有变系数非线性方程才能更准确地、客观地、真实地反映实际物质的复杂的运动 变化规律。因此，研究变系数非线性方程的求解方法就显得更为重要，因为变系 数非线性方程的求解方法更具有一般性。但变系数非线性方程求解要比常系数非 线性方程的求解要复杂困难得多。最近几年人们在变系数非线性方程求解方面取 得了一定的进展。 本文只是本人在变系数非线性方程求解方法上的一些尝试。 7 变系数非线性方程的求解 第一章非线性与变系数非线性方程 1 1 线性与非线性 从数学的角度来看，函数y = a x + 6 ，即变量的次幂是一次，任何非一次的变 量构成的函数都是非线性的，例如y = a x 2 + 搬+ c ，) ，= s i n x ，y 。e x p x 等，从图 像上看线性函数的图像是直线( 线性的由来) ，而非线性函数的图像是曲线，线性 可认为是非线性的一种特殊情况 在物理上，物理量是空间与时间的函数，物理之间的关系一般总是通过微分 方程来描述，如牛顿第二定律p o f ( x , t ) 吖 那么对微分方程来说，线性微分方程是指微分方程中所有的变量及其各阶 导数的次幂是一次：反之，非线性微分方程其变量或它的任何阶的导数不是一次 由此看来线性微分方程也是非线性微分方程的特例，非线性微分方程反映了自 然界中最常见、最普遍规律 线性微分方程有一个显著的特点：它的解满足叠加原理：而非线性微分方 程如果知道它的两个解，则这两个解的线性叠加不一定是原微分方程的解。非 线性也是引起突变的原因，因为对线性微分方程来说，一个变量的微小变化不 可能引起另一个变量的突变；而非线性微分方程则不一样。如果决定天气情况 的气压、温度、湿度等物理量满足一系列非线性微分方程组，我们解出这些方 程组就可以预测天气情况，由于非线性的缘故，我们可以进行短期的天气预测， 但由于初始条件的微小变化可能引起的突变，因此使得长期的天气预测不可能 实现。 在经典物理学中我们接触到的物理规律大多数都是通过线性微分方程来描 述的，如牛顿第二定律p ：o f ( x , t ) ，欧姆定律等，它们都可以精确求解。即使 d f 有些不是线性微分方程，我们一般也作似近处理，使之变为线性微分方程来求 解，例如研究单摆规律时，在摆角很小( 0s5 。) 的情况，我们就将认为s i n 0 = 0 第一章非线性与变系数非线性方程 从而使非线性微分方程变为线性微分方程，求得其精确解。实际上，非线性现 象才是自然界最普遍的现象，非线性才是自然界的本质，正是非线性才有自然 界的丰富多彩。 正因为自然界表现出的规律是通过非线性微分方程来描述，那么求解非线 性微分方程就显得十分重要。本文主要是通过解析的方法来求解物理学上的非 线性微分方程，尤其是变系数非线性微分方程。 1 2 变系数非线性方程 随着孤立于问题研究的深入和发展一大批具有孤立子解的非线性演化方 程已在流体物理、固体物理、基本粒子物理、激光、等离子体物理、超导物理、 凝聚态物理、生物物理等许多领域中出现这批具有孤立子解的非线性演化方 程有：k d v 、非线性薛定谔方程、正弦一戈登方程、朗道一利弗席茨方程、布森 内斯克方程、二维卡多姆采夫佩特维亚什维利方程等这些方程具有许多共 同的特征，例如：可用散射反演方法求解，存在贝克隆变换、达布变换，具有 无穷多个守恒律和延长结构等其中k d v 方程起着十分重要的作用，它一直是 研究非线性发展方程理念的典型例子。它首先是由科特韦格( d j k o r t e w e g ) 和德弗里斯( g d ev r i e s ) 于1 8 9 5 年研究水波在长波近似、小的但为有限的振 幅的假定下得到的( “为不可压缩液体质点的竖直坐标) 1 2 1 6 1 随后在离子声波、 冷的等离子体磁流体波、非线性晶格等一系列问题中相继得到 在研究非线性方程时，常系数非线性演化方程只是现实中的非线性问题的 理想化和近似，事实上，这些非线性演化方程的系数是随着时间和空间变化的，因 而变系数非线性发展方程揭示了实际问题的物理机制，因而具有更广泛的应用 前景但求解变系数非线性偏微分方程比求解常系数非线性偏微分方程难度更大 一些，研究起来更复杂些其中每个变系数非线性发展方程都在物理领域中有广 泛实际背景。 如广义变系数k d v 方程 “，+ 2 卢( f ) “+ 口o ) + 卢( f ) x “，一3 c y ( f ) “。+ t o ) u = = 0 ( 1 2 1 ) 其中a ，口，7 是f 的函数当a ；0 ，卢= o ，y 为常数时，方程( 1 2 1 ) 是著名 的k d v 方程，可描写冷离子体的磁流体波的运动、非谐振晶格的振动及弹性杆中 9 变系数非线性方程的求解 纵向色散波等当口，芦，y 是已知函数时，方程( 1 2 1 ) 是具有损耗项和非 均匀项的一般k d v 方程如果考虑水深可变，出现旋涡的可压缩流体的运动规 律，就需要用这类变系数k d v 方程来描述 显然方程( 1 2 1 ) 可化为各种不同的形式，如变系数非均匀谱k d v 方程 ，= k o ( f ) ( “。+ 6 u u 。) + 4 k l ( f ) “，一 ( f ) ( 2 “+ 】。) ( 1 2 2 ) 柱k d v 方程： u t + 去“+ 缸“，+ “。= o ( 1 2 3 ) 具有驰豫效应非均匀介质的k d v 方程： u ，+ r ( t ) u + ( c o + y o 弦) “ ，+ 6 u u ，+ “。一0 ( 1 2 4 ) 广义k d v 方程： u ，+ “。+ 6 u u ，+ “一+ 6 f ( t ) u - x ( f + 1 2 f 2 ) 一0 ( 1 2 5 ) 带外力项的广义k d v 方程： ，+ 6 u u ， i - u 一+ 6 f ( t ) u 。g ( f ) + 工( ，+ 1 2 f2 ) ( 1 2 6 ) 等等 再如非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的形式如下 f 丝+ 三粤+ i “i ：h ：o ( 1 2 7 ) a z 2m 式中u 表示波包幅值：z 和t 分别是波的传播距离和群延迟时间，上述是理想无 损耗光纤中光学孤子所满足的方程，满足该方程的基态孤子具有在光纤中无畸 变的传输任意长距离的特性，所以基态孤子在高频率光通信系统中的信息传输 方面引起了人们的极大兴趣，不幸的是，实际光纤中由于损耗使光脉冲功率沿光 纤指数衰减，使非线性和色散效应之间的平衡遭到破坏，影响了光孤子的传输， 通常人们采取使光纤参数( 色散和非线性) 沿纵向缓慢变化或利用绝热放大的方 法来维持孤子在实际光通信系统中的传输所以，在实际的光孤子通信系统中， 孤子的传输遵循如下的变系数非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 i 詈+ 扣) 等毗m 1 2u = i a ( z 如 ( 1 2 8 ) 式中的卢( z ) 和y ( z ) 分别是随纵向距离缓变的二阶色散和非线性系数：口( z ) 表 示绝热放大( 增益) 或损耗当卢( z ) = y ( z ) = l 时，上式描述周期放大或绝热放大孤 兰= 空! ! 垡丝兰壅墨墼! ! 垡丝查垦 子传输系统中孤子的运动嘲1 变系数非线性方程的求解 第二章非线性方程求解的一般方法 非线性方程既然没有统一的求解方法，但人们总结出了一些特殊的解析的求 解方法，这些求解方法对交系数非线性方程的求解也起着非常重要的作用具体 的方法有： 2 1 散射反演法 散射反演法“3 1 是一种重要的系统地精确求解非线性发展方程的方法。通常 由散射反演法求得的是某个非线性发展方程的孤立波解。它在孤立子理论的 形成和发展中起了非常重要的作用。 以下采用散射反演法解决k d v 方程的初值问题。 对于k d v 方程： 塑一缸丝+ 堡：o( 2 1 1 ) a ta xa x 。 如果作g g k m 变换 “：堡+ v ：+ a “) v ：盟唑 ( 2 1 2 ) d xd x 或者写为 “= 去警圳) ( 2 ) g g k m 变换实际上化成了量子力学中定态波函数满足的薛定谔方程“”： 警m 叫_ 0 ( 2 1 4 ) 而k d v 方程中的未知函数u 成了势能，a ( f ) 成了本征值。 所以，通过g g k m 变换可以建立一个非线性发展方程和薛定谔方程之间的联 系，而且可以通过散射反演法求出势能，即是非线性方程的解，通常是孤立 子解。 不过，求解薛定谔方程的本征值时要求 第二章非线性方程求解的一般方法 l i mu 置0 对于下列k d v 方程的初值问题： a 加u _ o “a 缸u + 石0 3 u = 。 。= “。o ) 具体求解分三步： ( 2 1 5 ) ( 一。工+ 。，o ) ( 2 1 6 ) ( 一 工) ( 2 1 1 4 ) 的解，而积分方程的核为 讹f ) - 薹。似 。+ 去卢旷出( 2 1 1 5 ) 它包含了离散谱和连续谱的共同贡献。一般的孤立子解经常是无反射的状 态，即b = 0 ，此时 b 。，f ) 口n 善c n 2 ( f ) e 一。 说明此时仅有离散谱贡献。 ( 2 1 1 6 ) 下面根据散射反演法，对不同的初值问题，分别求得了k d v 方程的单孤立子 解，双孤立子解和n 个孤立子解。 单孤立子解：考虑下列k d v 方程的初值问题 ia u 一甑塑+ 1 0 3 u 。0 jo t a xo x 3 - 0 = - 2 s e c h 2 x 显然x 一时，l i m o 一0 ( 1 ) 解下列薛定谔方程的本征值问题 j 盟o x 2 + ( a + 2 s e c h 2 x ) l f ，。= 。 l 妒。i 一。= o ( 一 z 0 ) ( 2 1 1 7 ) ( 一 工 + ) 对于离散谱a = 一k 。2 0 ，作变换叩= t a n h x ，则 1 4 ( 2 1 1 8 ) 第二章非线性方程求解的一般方j 去 扑彳普 + ( 2 一筹。 眨。， 妒。i 。，一。 这是连带l e g e n d r e 方程的本征值问题，由州+ 1 ) = 2 得到f 一1 ，则 妒。= 卸国) = 爿e ) ，因为只一0 则只有七。= 1 ，因此妒。= 爿e 1 ) = a s e c h x 显然，当x _ + 时，妒o 2 a e ，因而得c 1 ( 0 ) = 2 爿 由归一化条件j ：阿。i2 出= 1 ，可得彳= 鲁，所以 l f 。一孚s e c k ，且妒。厄“g 一+ m ) ( 2 ) 根据散射量的演变规律公式，可以得到 c 1 ( 七，f ) = 挖“，口( 女，f ) = 1 ，b ( k ，r ) = 0 ( 2 1 2 0 ) ( 3 ) b ( x ，f ) 一c2 ( f ) e 也。= c - 2 ，f ) e 。2 e 小4 ( 2 1 2 1 ) 则g l m 积分方程化为 k ，y ，f ) + 2 e y e 一“+ 2 e - ( y - m ) f - z r ( x ，z ，t ) d z = 0 ( 2 1 2 2 ) 设k ，y ，t ) = 1 ( z ，t ) e ，代入上式可得i ( x ，t ) 一e “s e c h ( x 一如) 所以k ，y ，t ) = 一e “s e c h ( x 一4 t ) e “o ，f ) = 一2 害! k ( z ，z ，f ) = 一2 s e c h 2 ( z 一4 0 ( 2 1 2 3 ) 咖 此即为k d v 方程的单孤立子解 双孤立子解：考虑下列初值问题 忘室挚 1 5 ( 一o 。 x 0 ) ( 2 1 2 4 ) ( 一0 0 z + 0 0 ) 变系数非线性方程的求解 胯+ ( a + 6 s e c h 2 x 。 i 妒。f 一。一0 对于离散谱a 一以2c 0 ，作变换瑁。t a n h ，则 肿彳晋卜导阶。 j j ；f ，。k 。一。 这也是连带l e g e n d r e 方程的本征值问题，因而 f ，( f + 1 ) = 6 f = 2 l 妒。= 彳学( 叩) ，= l 或t ：= 2 ) 所以 ( - - 0 0 x 0 ，且 “：+ h ；2 c ，“i 一“2 ；2 q - f i + 2 a 这样方程( 2 3 5 ) 可以改写为： 老。专 d ( u - u i ) ( _ u 叫)石。石叫 “2 显然，在h ；h ：和“。“；处筹= 。，而且方程( 2 3 9 ) 很容易积分求得 一三”哟t a i l l lu l 钾- u 2 k ( 宇昴) 其中氏为积分常数 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 第三章变系数非线性方程求解综述 第三章变系数非线性方程求解综述 非线性问题的求解是非线性科学中一项重要的工作，众所周知非线性偏微分 方程存在无限多解，因而给求解非线性方程带来了很多难度，而大部分能较好描 述实际物理问题的非线性方程又是变系数方程，所以要得到变系数非线性方程的 精确解更加困难。虽然有不少求解非线性偏微分方程的方法，但这些方法是针对 常系数非线性偏微分方程，对于变系数非线性偏微分方程，目前方法还很有限。 能够求解变系数非线性偏微分方程的方法概括起来主要有：变量分离法”1 、 妇c d 6 f 椭圆函数展开法1 、截断展开法汹“、推广的t a n h 函数法汹3 、b f i c k l u n d 变 换、自一b s c k l u n d 变换旧1 、对称约化法、对称群和一些其他方法m 2 1 等。 3 1 变量分离法 以一般变系数非线性s c h r 占d i n g e r 方程为例阐述用变量分离法的方法 对一般变系数非线性s c h r d d i n g e r 方程 i 詈+ 扣) 軎毗m 2 u = i a “ ( 3 1 1 ) 其中声( z ) 和y ( z ) 分别是随纵向距离缓变的二阶色散和非线性系数：a ( z ) 表示绝 热放大( 增益) 或损耗“= u ( z ，t ) 为待求函数，为了方便求解，我们作如下变换 则方程变为 x = 三p ( z ) 出 i u ，+ “。+ y ( z ) i “1 2 “= i v l ( x ) u 其中荆= 粼m ) = 鬻 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 因此可从方程( 3 1 3 ) 出发进行讨论，而方程( 3 1 1 ) 的解经过反变换就可得到 变系数非线性方程的求解 为了利用变量分离法，现做如下b i c k l u n d 变换 。导+ h 。 ， ( 3 1 _ 5 ) 其中g ( x ，f ) 、fo ，t ) 分别为复函数和实函数，“。0 ，t ) 为方程( 3 1 _ 3 ) 的一个 任意的己知解在( 3 1 5 ) 的变换下方程( 4 1 3 ) 可写为双线性形式： 哦+ d ) ) g f + 矿。 v ( x ) g g 一d f 2 扩】+ y o ) 【2 u o g g + g2 u ： ( 3 1 6 ) + ( g u o “：+ g h ：) ，】一i 哺) g f 。0 符号d 为h i r o t a 意义的双线性算符 w 研f = ( a ，一a ，) ”矿l 卜n ( 3 1 7 ) 为了方便讨论，把种子解u 。设为 u o = 0 ( 3 1 8 ) 经过运算，系统( 4 1 6 ) 拥有如下变量分离解： 厂= p 1 g ) + p 2 ) p 3 ，t ) ( 3 1 9 ) g = g a o 培2 ( x ) e x p i q 。 ) + 幻2 ) 吼 ，f ) ( 3 1 1 0 ) 其中p 。= p lx ) 、p ：= p ： ) 、g 。= g l ) 、q 。= q l ) 、q ：。q 2 0 ) 为变量x 的任意函数，p 3 = p 3x ，t ) 、9 2 = 9 2 ，f ) 、q 3 = q 3 0 ，f ) 为变量z ，t 的任意函数。 将( 3 1 8 ) 、( 3 1 9 ) 、( 3 1 1 0 ) 式代入( 3 1 6 ) 式并令等式的虚部与实部 分别为零。可得到以下式子： p 3 = e x p p o ) ( 口l t + ，1 ) ( 3 1 1 1 ) 9 1 = 6 2 口? 口o p o p l p 2 1 v ( x ) ( 3 1 1 2 ) g ：6 ：扛 ( 3 1 1 3 ) 其中p 。是关于变量x 的任意函数，a i ) f 。的任意常数，a 。为引入的常数， 6 7 = 6 ；= 1 最后可解得： 第三章变系数非线性方程求解的综述 一q h + = 1 口，2 p 。2 一g h 口3 一q 2 9 k 一目；q 三一o ( 3 1 1 4 ) p h + p 2 p 3 【知i p 。q 2 q 3 。+ 旦盐+ p “( 口1 t + 1 1 ) 】。0 ( 3 1 1 5 ) p 2 一等+ 等+ 等+ 2 p p z ：, + - p 1 脚“) ( 3 。) + 口l j 口o q 2 q + q 2 q 撕一嵋o ) 皇0 从方程( 3 1 1 4 ) 、( 3 1 1 5 ) 、( 3 1 1 6 ) 可知，如果y o xv 。o ) 确定，则 可求出p 。、p 。、 u ( x ，f ) = 对于不同的模型作出具体的讨论： e x p i 国1 + q ：p 3 ) 】 p l + p 2 p 3 ( 1 ) 第一类色散缓变光纤变系数非线性s c h r s d i n g e r 方程为 t 詈+ 扣( 训軎+ i “1 2 删 可给出具体变换 。；一l e x p ( 一吼) 一石。 2 0 、” y ( x ) = 一否i _ ：1 j i i 、嵋( x ) = 。 其中0 为常数参数，工。为任意常数。 由此可得 ”c o - 学 l q 2 。4 ( x + x o ) q 3 = t 2 + 2 f + c p 12 a 2 ( 3 1 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) ( 3 1 1 9 ) ( 3 1 2 0 ) ( 3 1 2 1 ) ( 3 1 2 2 ) ( 3 1 2 3 ) ( 3 1 2 4 ) 变系数非线性方程的求解 胪c 3 e x p ( 等) ( 3 1 2 5 ) p 。生 ( 3 1 2 6 ) 风。而； u 。 其中c 。、c 。、c ：、c ，、4 ，、口：、，。为任意常数，将它们代入由( 3 i 1 9 ) 、 ( 3 1 2 0 ) 变换后得到的方程可得到精确解： e x p 赫( f + 1 ) 】 a 2 + c 3e x p z 【x c 2 + a z l 。) ( f + 1 ) 】) ( 3 i 2 7 ) 唧悱。+ 等” 如果取c 3 = 口2e x p ( 2 c 3 0 ) 则( 3 1 2 7 ) 式可化为： s e c 2 0 c 2 + a z l 。) ( f + 1 ) + c m ( 3 1 2 8 ) e x p f c 。+ ! ：等】 再经过反变换可得到( 3 i 1 8 ) 的孤立子解： ，f ) = + - a l e 2 0 e x p 哇口z ) s e c 【- c 2 a l o e x p ( 吼) ( f + 1 ) + c ”】( 3 1 2 9 ) e x p f c 。一i 1o e x p ( 日：) ( t2 + 2 1 + l - a ；c ；) 】 ( 2 ) 第二类色散缓变光纤变系数非线性非线性s c h r 6 d i n g e r 方程为 f d 把u + j 1c x p ”l 。) o d f ：u 。+ e x 肿：z ) , 2 “= 一i i 瓦d r “( 3 1 3 0 ) 描述了皮秒脉冲在色散缓变单模光纤中孤子效应压缩过程的数学模型，其 中r ( z 1 为光纤的有效半径。 具体变换关系如下： j = 一( 0 百1 - - z ) 2 一x 。( 3 1 3 1 ) 霄 厂卜 第三章变系数非线性方程求解的综述 咐= 背 k ) 一一再2 0 , 两而d r 同样可获得方程( 3 1 3 0 ) 的精确解： u ( x ，f ) = 4 a l c 2 e x p ( 三印) ( 3 1 3 2 ) ( 3 1 3 3 ) s e 州一器嘞】( 3 1 3 4 ) s e 唧h 一监拦产 光纤的有效半径尺( z ) 为 r ( z ) 。爿。( b z ) ；e x p ( 一i 0 2z ) a 。为积分常数，c 3 0 为任意常数。 t 3 2 j a c o b i 椭圆函数展开法 ( 3 1 3 5 ) j a c o b i 椭圆函数展开法是通过椭圆函数来构造非线性变系数方程的级数解 的形式，然后利用非线性项和最高阶导数项平衡来确定级数的项，从而求出非线 性变系数方程的解 对含变系数的非线性方程我们可以表示为： f 亿，一o n ，一o u ，磐，姿，；0 ( 3 2 1 ) ，【“i i 矿孑。 u u 寻求它的行波解为： u = “( 亭) ，亭= f ( t ) x + g ( x ) ， ( 3 2 2 ) 其中，( r ) 和g ( x ) 为待定函数 将“( 亭) 展开为下列j 口c d m 椭圆正弦函数s n 亭的级数 变系数非线性方程的求解 “皓) 5 荟4 ，( f ) 册7 宇 ( 3 2 3 ) 适当的n 使得含变系数的非线性波动方程中的非线性项和晟高阶导数项平衡， 当m 一1 时，期亭一t a n h 亭，则上式就退化为 h ( 亭) 2 荟。( r ) 础亭 3 2 4 因此这种方法包含了求解变系数的非线性方程的双曲正切函数展开法 对第一类变系数k d v 方程： o m u + a ( r 如瓦o u + 卢万o a u o ( 3 2 5 ) 使方程中的非线性性项与最高阶导数项平衡，得到 n ：2( 3 2 6 ) 即方程的形式解为 “= a 0 ( f ) + a l ( f ) s n 亭+ 2 ( t ) s n 2 亭 ( 3 2 7 ) 由此可求得方程的解为 其中y 。曼 c 宇= k ( a 一“a p f r ) ( y ，k ，c 为常数) 当m 一1 时就得到 u = c + 8 癣2 1 2 y k 2 t a n h 2 亭 = c 4 8 y k 2 + 1 2 冲2s e c h 2 亭 从而得到方程的类孤立波或孤子解 ( 3 2 9 ) ( 3 2 1 0 ) 茹蒜艄郇 第三章变系数非线性方程求解的综述 3 3 截断展开法 截断展开法是利用一个特殊的函数来构造变系数非线性方程的级数解，同 样由非线性项和最高阶导数项平衡来确定级数的项，并将变系数非线性方程化 为一系列的能够求解的方程组，从而求出系数非线性方程的解 为了得到一般的变系数非线性演化方程( 3 2 1 ) 的解，假定方程( 3 2 1 ) 的形式解可表示如下新的截断展开形式： ，) 2 互爿一( f ) f “，f 。南，亭= 厂( f ) x + g ( f ) ( 3 3 1 ) u 其中a ( f ) ( osnsj v ) ，( f ) ，g ( t ) 是一些待定函数 展开( 3 3 1 ) 式具有以下一些性质 性质i 軎= 缸私p ， s z ， 其中 卅：1 = n + m + 1 ) 爿j 譬一。一 + 肼) 卅譬 ( 3 3 3 ) 卅譬= ( 一1 ) n ( n + 1 ) + m 一1 ) 罗n “0 + 卅) l ， ( 3 3 4 ) ”f 7 ：- k + m 2 0 - 1 h 2f 4 ：= 1 ，0z 1 ) 例如。当n = 2 时 萨ci2 u = 爿。班+ ( 4 爿：一3 a 。) 班2 + ( 2 - 4 。一i o a 2 。) 等f 3 + 鲋2 等f 4 ( 3 3 5 ) 性质i i “ f ) 可以分别用双曲函数腩( 三亭) ，s e c 2 ( 丢占) ，i 弓丽等的多项式 表示 因为存在 m ( 丢亭) = 1 2 f ， s e c 2 ( 昙亭) = 4 f 一4 f 2 ， ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 变系数非线性方程的求解 l 。2 f 一2 f 2 1 + 曲恬j 关系 对于广义变系数k d v 方程 h ，+ 2 f l ( t ) u “a o ) + f l ( t 弦p ，一3 c y ( f 扣“，+ y ( f 扣。= 0 由领头项分析，可得到n = 2 ，即 u = 4 ( f ) + 彳i ( f ) f + 爿2 ( f ) f 2 经过计算可以得到广义变系数k d v 方程的类孤子解 “ ，f ) 。a o ( t ) 一三，：o ) s e c h ：【三( ，( f ) + g ( f ) ) 】， c 2 其中a ( f ) ，( f ) ，g ( f ) 可由下面的式子确定 a = c o e x p ( 一f 2 f l ( t ) d t ) ， 厂( f ) 2 e x p ( 一f f ( t ) d t ) ， 占( f ) 2f 3 c r ( t ) a o ( t ) 一a ( f ) 】，( f ) 一y ( f ) ，3 ( f ) m f + c ， ( c 。，c 。，a 为积分常数) 3 4 推广的t a n h 函数法 自9 0 年代初期t a n h 函数法“3 被提出以来，人们利用此法求解了大量具有 重要物理意义的非线性演化方程( 组) ，得到了这些方程所具有的一些孤波解 同时，对于该方法的多种应用和进一步改进也做了大量工作，并扩大了t a n h 函 数法的求解类型，使人们不仅能获得所求方程的孤波解，还能得到方程的三角 函数解和有理解 下面我们利用推广的t a n h 函数法来求解变系数( 2 + 1 ) 维b r o e r k a u p 方程 f h f 。口( r ) 【h 。一2 ( h h ；) ，一2 g 。】( 3 4 1 ) l g f = 口( f ) 卜吒一2 ( g ) 。( 3 4 2 ) 利用变换 g = h ，( 3 4 3 ) 勖 d d 文 o j 张 叭 & 豇 矗 0 0 & 文 & 文 g 0 溆 第三章变系数非线性方程求解的综述 方程( 3 4 1 ) ，( 3 4