（应用数学专业论文）广义drazin可逆算子与投影算子的研究.pdf

广义d r a z i n 可逆算子与投影算子的研究 摘要 我们首先讨论了广义d r a z i n 可逆算子在0 点的特征投影的刻画，利用算子矩 阵分快的技巧将关于矩阵在0 点特征投影的刻画的一些结果推广到了b a n a c h 空间 上。其次，我们讨论了广义d r a z i n 可逆算子的扰动问题。最后研究了一类特殊算 子，即投影算子幂i e p 算子的性质和刻画，给出了两个可交换投影算子的一些刻 画及性质，同时利用特征投影及算子的m o o r e p e n r o s e 广义逆，给出了e p 类算子的 刻画及性质。 关键词：算子；广义d r a z i n 逆；投影；广义投影；超广义投影；e p 算子 s t u d yo nt h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r f i b l eo p e r a t o r sa n d p r o j e c t i o no p e r a t o r s a b s t r a c t f i r s t l y , w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe i g e n p r o j e c t i o n sa tz e r oo ft h e g e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r t i b l eo p e r a t o ro nb a n a c hs p a c e b yu s i n gt h et e c h n i q u e o f b l o c ko p e r a t o rm a t r i c e s ，w ee x t e n dt h er e s u l t st h a tt h ec h a r a c t e r i z a t i o no fe i g e n - p r o j e c t i o n sa tz e r oo fm a t r i c e st oo p e r a t o r si nb ( x ) f u r t h e r m o r e ，w ed i s c u s st h e p e r t u r b a t i o no ft h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r t i b l eo p e r a t o r f i n a l l y ，w es t u d ys o m e p r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n so fs o m es p e c i a lo p e r a t o r s ，i e ，p r o j e c t i o no p e r a - t o r sa n de po p e r a t o r s u t i l i z i n gt h es k i l l so fo p e r a t o rm a t r i xb l o c k s ，s o m ep r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n so ft w oc o m m u t i n gp r o j e c t i o no p e r a t o r sa r ep r e s e n t e d 耽a l s og i v es o m ep r o p e r t i e sa n dc h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ee po p e r a t o r sb a s e do n t h ee i g e n p r o j e c t i o n sa n dm o o r e - p e n r o s ei n v e r s e k e y w o r d s ：o p e r a t o r ；g e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s e ；p r o j e c t o r ；g e n e r a l i z e dp r o 。 j e c t o r ；h y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o r ；e po p e r a t o r s c ： n ： x ： 男( 凡) ： 纠： z ( 纠，7 0 ： z ( 纠) ： 欠( a ) ： ( a ) ： t h em a i n s y m b o l s c o m p l e xf i e l d n a t u r a ln u m b e rf i e l d b a n a c hs p a c e t h es e to fa ll li n e a rb o u n d e do p e r a t o r so nx h i l b e r ts p a c e t h es e to fa l l l i n e a rb o u n d e do p e r a t o r sf r o m 钟t o 欠 t h es e to fa 1 1 l i n e a rb o u n d e do p e r a t o r s 甜 t h er a n g eo f a t h ek e r n e lo f a t o p o l o g yo r t h o g o n a ls u m i d e n t i t yo p e r a t o r 论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立撰写 完成的。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他个人或其他机构已 经发表或撰写过的研究成果，也没有剽窃，抄袭等违反学术道德规范的侵权 行为。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本人愿意承担由本声明而引起的法律责任。 研究生签名：至轿日期：狮年占月 ，二e t 论文使用授权声明 本人完全了解广西民族大学有关保留，使用学位论文的规定。学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用 影印，缩印或其他复制手段保存，汇编学位论文。除在保密期内的保密论文 外，允许学位论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内 容。 研究生签名：j 椅 导师签名：支1q 连 日期：扣凹年 二月，6 日 日期年工月f 日 1 1i n t r o d u c t i o n ip r e f a c e g e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r yi sab r a n c ho fm a t h e m a t i c sw i t hw i d er a n g eo fa p p l i c a t i o n s i th a s ac o n s p i c u o u sa p p l i c a t i o ni nn u m e r i c a ll i n e a ra l g e b r a ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，o p t i m i z a t i o n ，c y b e r - n e t i c s ，s t a t i s t i c s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s t h ed e f i n i t i o no fg e n e r a l i z e di n v e r s ei sf i r s ti n t r o d u c e db ye h m o o r ei n1 9 2 0 ，a n de x t e n d e d t h ec o n c e p to ft h ei n v e r s eo fn o n s i n g u l a rs q u a r em a t r i x i nt h ep a s tf e wd e c a d e s ，m a n yc o n c e p t s o fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i xh a v eb e e ni n t r o d u c e d s i n c et h e n ，t h er e s e a r c ho ft h eg e n e r a l i z e d i n v e r s eo fm a t r i xh a sb e e ni nd e v e l o p i n g o p e r a t o rt h e o r y i sa ne x t r e m e l yi m p o r t a n tf i e l do fr e s e a r c hi nf u n c t i o n a la n a l y s i s f r o m t h e2 0 t hc e n t u r y , o p e r a t o rt h e o r yw a sf o u n d e db yy o nn e u m a n n ，h i l b e r t ，f r e d o l h ma n do t h e r s o p e r a t o rt h e o r yh a sb e e ni nt h er a p i dd e v e l o p m e n ta n di th a sp e r m e a t e d t ot h ev a r i o u sb r a n c h e s o fm a t h e m a t i c s a n do nt h eb a s i so fo p e r a t o rt h e o r y ，ag r o u po ft h et i m e - h o n o r e dr e s e a r c ha l e f o r m e d s i n c ei ti su s e dw i d e l yi nm a t h e m a t i c sa n do t h e rs u b j e c t s ，i tg o tr a p i dd e v e l o p m e n ta tt h e b e g i n n i n go ft h e2 0 t hc e n t u r y , a n db e c o m eq u i c k l ya ni n d e p e n d e n ts u b j e c t a tp r e s e n t ，o p e r a t o rt h e o r yi ss p i l l i n go v e ri n t om a n yb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，f o re x a m p i em a t r i xt h e o r y , d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o p t i m a z a t i o nt h e o r y ，s t a t i s t i c sa n ds oo n ，u s i n gw i d e l yi n q u a n t u mm e c h a n i c s ，p h y s i c sa n ds om a n yf i e l d s ，a n db e c o m ea ni m p o r t a n ta n di n d i s p e n s a b l et o o l f o rm a t h e m a t i c sr e s e a r c h t h r o u g hr e s e a r c h ，t h ei n t e r n a lr e l a t i o n sa n dc o n s t r u c t i o n sa m o n go p e r - a t o rc a nb ef o u n da n das u b s t a n t i a lb a s i sc a nb ep r o v i d e df o rt h es t u d yo ft h et h e o r yo fo p e r a t o r a tt h es a m et i m e ，t h es t u d i e so fo p e r a t o rt h e o r ya l s oh a v ei m p o r t a n tv a l u ei nb o t ht h e o r ya n d a p p l i c a t i o n d r a z i ni n v e r s ei sam a i nc o n c e p to fg e n e r a l i z e di n v e r s et h e o r yo fo p e r a t o r s d r a z i ni n v e r s ei n a s s o c i a t i v er i n g sa n ds e m i g r o u p si sf i r s ti n t r o d u c e di n1 9 5 8b ym e d r a z i n ”i tt a k e si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si ni n t e g r a l ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d s oo n t h ep r o p e r t i e so fd r a z i ni n v e r s eo fo p e r a t o r i sa ni m p o r t a n tf i e l do fo p e r a t o rt h e o r ya n di th a sb e e nc o n s i d e r e db ym a n ya u t h o r s t h eq u e s t i o n o fd r a z i ni n v e r s eo fo p e r a t o ri sc o n s i d e r e df r o md i f f e r e n tp e r s p e c t i v eb ym a n ya u t h o r s a n dt h e p e r t u r b a t i o no f t h ed r a z i ni n v e r t i b l eo p e r a t o ra t t r a c tal o to fs c h o l a r s i nr e c e n ty e a r s ，t h eq u e s t i o n so ft h el i n e a rc o m b i n a t i o no fi d e m p o t e n to p e r a t o r s 、g e n e r a l i z e d p r o j e c t o ra n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o ri nf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e ，t h a ti s ，t h el i n e a rc o m b i n a t i o n so fs p e c i a lo p e r a t o r si nm a t r i xa l g e b r ai ss t u d i e da n da c h i e v e dag r e a td e a lo fr e s u l t s r e c e n t l y ，p e o p l eh a v eb e g u nt ot h e i ra t t e n t i o nt ot h el i n e a rc o m b i n a t i o no fi d e m p o t e n to p e r a t o r sa n dg e n e r - a l i z e dp r o j e c t o ri ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e i nc h a p t e r3 ，u s i n gt h et e c h n i q u eo fb l o c ko p e r a t o r 1 m a t r i c e st oc o n s i d e r e dg e n e r a l i z e dp r o j e c t o ra n dh y p e r g e n e r a l i z e dp r o j e c t o ri nh i l b e r ts p a c e 1 2b a s i cc o n c e p t w eu s e 甜a n d 丙t od e n o t eh i l b e r ts p a c e sa n dz ( 纠，丙) t od e n o t et h es e to fa l ll i n e a rb o u n d e d o p e r a t o r sf r o m 钟t o 灭w h e n 硝= 必，z ( 纠，啊) = z ( 针) d e f i n i t i o n1 2 1f o ra no p e r a t o ra 研，t h em o o r e p e n r o s ei n v e r s eo fai sd e n o t e db ya + ，i t i st h eu n i q u es o l u t i o no ft h ef o l l o w i n gf o u ro p e r a t o re q u a t i o n s ： a x a = a ，x a x = xa x = 似柳，x a = ( x a ) +( 1 1 ) i t i sw e l lk n o w nt h a tt h em o o r e - p e n r o s ei n v e r s eo fae x i s t si fa n do n l yi fr ( a ) i sc l o s e d d e f i n i t i o n1 2 2a no p e r a t o ra q - ii sn o r m a l i f a a = a a + d e f i n i t i o n1 2 3a no p e r a t o ra 硝i sh e r m i t i a n ，o rs e l f a d j o i n t ，i fa = a d e f i n i t i o n1 2 4a no p e r a t o ra 9 - ti se pi f 欠) i sc l o s e da n d 【a ，a + 】= 0 h e r em ，b 】= a ne l e m e n t a r yo b s e r v a t i o n ss h o w st h a tac l o s e dr a n g eo p e r a t o rai se pi fa n do n l yi f 穴( a ) = r ( a ) a n di fai sn o r m a lw i t hc l o s e dr a n g e ，t h e nai se p l e txd e n o t ea na r b i t r a r yc o m p l e xb a n a c hs p a c ea n db ( x ) d e n o t et h eb a n a c ha l g e b r ao fa l l b o u n d e do p e r a t o r so n 疋i fa 召( x ) ，t h e n 欠似) ，似) a n do - ( a ) ，r e s p e c t i v e l y ，d e n o t et h er a n g e ， k e r n e la n ds p e c t r u mo fa i fsi sas u b s e to ft h ec o m p l e xp l a n e ，t h e na c c sa n di s o s ，r e s p e c t i v e l y , d e n o t et h es e to fa l l p o i n t so fa c c u m u l a t i o na n dt h es e to fa l li s o l a t e dp o i n to fs i f0 簪a c c c r ( a ) ，t h e nt h ef u n c t i o nzh f ( z ) c a n b ed e f i n e da sf ( z ) = 0i nan e i g h b o u r h o o d o f0a n df ( z ) = zi nan e i g h b o u r h o o do f 矿( a ) a n dt h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s eo fai sd e f i n e d u s i n gt h ef u n c t i o n a lc a l c u l u sa sa d = ，似) n o t i c et h a ta a a = a a da n da d a a d = a d w es a yt h a t a b ( x ) i sg d - i n v e r t i b l e ，i f0 硭a c c c r ( a ) i fa i sg d - i n v e r t i b l e ，t h e nt h es p e c t r a li d e m p o t e n tp o fac o r r e s p o n d i n g1 0ji sg i v e nb y 尸= ，一a a d = a 万t h em a t r i xf o r mo faw i t hr e s p e c tt ot h e d e c o m p o s i t i o nx = ( a ) o 穴( a ) i sg i v e nb y a = r 州黑h 黑1 2 ， w h e r ea i i 2ai ( p ) i si n v e r t i b l ea n d a 2 22 a i 兄( p ) i sq u a s i n i l p o t e n t w ec a n a l s ow r i t e a = c + q ，a = 【之1 三1 ，q = 【兰三：】 c a n da = c a + a ai sk n o w na st h ec o r e q u a s i n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o no fa i fai sg d - i n v e r t i b l e ，t h e nt h er e s o l v e n tf u n c t i o nzh ( z 一a ) 一1i sd e f i n e di nap u n c t u r e d n e i g h b o u r h o o do fi o ) i fz = 0 i st h ep o l eo ft h e r e s o l v e n tf u n c t i o no fa ，t h e nt h eo r d e ro ft h i sp o l e i sk n o w na st h ed r a z i ni n d e xo fa ，d e n o t e db yi n d ( a ) i nt h i sc a s ew es a yt h a tai sd - i n v e r t i b l e i fi n d ( a ) = k ，t h e na dr e d u c e st ot h eo r d i n a r yd r a z i ni n v e r s eo fa ，d e n o t e db ya d t h u s ，a di st h e u n i q u eo p e r a t o rs a t i s f y i n gc o n d i t i o n s a i + 1 a d = a ，a d a a d = a d ， a a d = a d a ( 1 4 ) a n dki st h el e a s ti n t e g e rs u c ht h a t ( 1 4 ) i ss a t i s f i e d n o wt h ec o r e q u a s i n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o n r e d u c e st ot h ec o r e - n i l p o t e n td e c o m p o s i t i o n p r e c i s e l y , i n d ( a ) = kh o l d si fa n do n l yi fki st h el e a s t i n t e g e r ( i fi te x i s t s ) s u c ht h a ta ! = 0 ( r e c a l l n o t a t i o n sf r o m ( 1 3 ) ) 。 i fi n d ( a ) 1 ，t h e na 。di sk n o w na st h eg r o u pi n v e r s eo fa ，d e n o t e db ya # a l s o ，i n d ( a ) = 0 i fa n do n l yi fai si n v e r t i b l ea n di nt h i sc a s ea d = a n o t i c et h a ti n d ( c a ) 1a l w a y sh o l d sa n d ( s e e ( 1 3 ) ) 碟= 1 3 p r e l i m i n a r yt h e o r e m l e m m a1 3 1 l 剐l e t a p c 似4 t h e np = a “i f a n do n l yi f p = 只a p = p a ，o r ( a p ) = i o ，a + pi sn o n s i n g u l a r l e m m a1 3 2 t ”1ac l o s e dr a n g eo p e r a t o rae 召( 吖) h a st h ef o l l o w i n gm a t r i xr e p r e s e n t a t i o n w i t hr e s p e c tt ot h eo r t h o g o n a ls u m so fc l o s e ds u b s p a c e s 硝= 欠( a + ) o ( a ) = 欠( a ) n ( a ) ： ( a ) w eh a v e a = 【a la 2 ：懈h 别 5 ， w h e r eb = a i a i + a 2 a ；m a p sr ( a ) i n t oi t s e l fa n db 0 a l s o ， 小悔。0 】【a ；bj m o r e o v e r ，i fi n d ( a ) 1 ，t h e naii si n v e r t i b l ea n d 如刊 ( b ) a l t e r n a t i v e l y ， a = m 讣徽】 6 ， w h e r ec = a ；a 3 + a ：a 4m a p sr ( a ) i n t oi t s e l fa n dc 0 a l s o 小pc 刊 m o r e o v e r , i fi n d ( a ) 1 ，t h e na si si n v e r t i b l ea n d 冉慨三】 l e m m a1 3 3 t 2 7 1l e ta 男( 纠) h a v eac l o s er a n g e t h e nr e l a t i v et ot h er e p r e s e n t a t i o n s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) o ft h ep r e c e d i n gl e m m a ， ( i ) ai sh e r m i t i a ni fa n do n l yi fa 2 = 0a n da ii sh e r m i t i a n ( o fa 4 = 0a n da 3i sh e r m i t i a n ) ( i i ) ai sn o r m a li fa n do n l yi f a 220a n da ii sn o r m a l ( o ra 42 0a n da si sn o r m a l ) ( i i i ) ai se pi fa n do n l yi f a 2 = 0 ( o ra 4 = o ) i n t h i sc a s e a i2a sa n d a = 【一 跏如瓜】 1 4m a i nr e s u l t s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lp r e s e n tt h em a i nr e s u l t si nt h et h e s i s ，w h i c ha sf o l l o w s ： t h e o r e m2 1 1l e ta l lo p e r a t o ra 男( x ) t h e nai sg d i n v e r t i b l ei fa n do n l yi ft h e r ee x i s t s a no p e r a t o rp 当( x ) s u c ht h a t ： p 2 = 只a p = p a ，似a p ) = o i ， a n da + pi si n v e r t i b l e ( 1 7 ) i f ( 1 7 ) h o l d s ，t h e n a d = ( a + p ) 一1 ( ，一p ) = ( ，一p ) ( a + p ) 一1 w h e r ep = ，一a a di st h es p e c t r a lp r o j e c t o ro fac o r r e s p o n d i n gt o1 0 1 t h e o r e m2 1 2s u p p o s ea no p e r a t o ra b ( x ) i sg d i n v e r t i b l e ，t h e nt h e r ee x i s t sa nu n i q u e o p e r a t o rw b ( x 1 s u c ht h a t ( ，一p ) a w = 0 ，w ( 一p ) a = 0 ，w 2 = w ( ，一p ) a + wi s i n v e r t i b l e ( 1 。8 ) i f ( 1 8 ) h o l d s ，t h e n w = ，一a a a = 1 一a d a = p = a 丌 4 ( 1 9 ) a d = 【( ，一p ) a + w 】一1 ( ，一p ) = ( ，一p ) 【 ( ，一p ) + w 】一1 ( 1 1 0 ) t h e o r e m2 2 1 s u p p o s ea ，b 8 ( 义) a n da ，ba r ea l lg d i n v e r t i b l e i f 酽：a 丌t h e n ，+ a d ( b a ) i si n v e r t i b l ea n d = 【i + a j ( 曰一a ) 】_ a d t h e o r e m3 2 1l e ta l lo p e r a t o ra z ( 何) b eag e n e r a l i z e dp r o j e c t o rw i t hc l o s e dr a n g e ，t h e n t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r eh o l d ： ( i ) a a + = a + a ( i i ) a 4 = a ( i i i ) a a a = a ( i v ) a + a + = a + a t h e o r e m3 3 4f o rn o n z e r oa ，ca n dn o n z e r og e n e r a l i z e dp r o j e c t i o no p e r a t o r sa 。b z ( 纠) ，l e ttb et h el i n e a rc o m b i n a t i o no ft h ef o r mt = 2 , 4 + j b ，w h e na b = b a t h e nti sa g e n e r a l i z e dp r o j e c t i o no p e r a t o r ，t h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t sa r eh o l d s ： ( i ) a i b l = 0a n d 无i t = 1 ，一 4 - 萼f ( i i ) a i b l = a ： ( a ) a = - io ra = ；+ 孚fa n d = 1 ( b ) a = 一垢fo ra = ；一萼fo ra = 一萼fa n dp = 一j i + 萼f ( c ) a = 垢fo ra = ；+ 孚fo ra = i 一萼f a n d l = 一 一萼f t h e o r e m3 4 2l e ta no p e r a t o ra z ( 7 丫) w i t hc l o s e dr a n g e t h e nt h e f o l l o w i n gc o n d i t i o n s a g ee q u i v a l e n t ： ( i ) t h e r ee x i s t sau n i q u ep r o j e c t i o np z ( 爿) s u c ht h a ta + pi si n v e r t i b l ea n da p = p a = 0 ( i i ) ai sa e p o p e r a t o r 5 2t h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s eo f o p e r a t o r s i nt h i sc h a p t e r , w ew i l ls t u d yt h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s eo fo p e r a t o r so nb a n a c hs p a c e s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s ea r eo b t a i n e d t h ep e r t u r b a t i o nb o u n d o f o p e r a t o r sw i t he q u a ls p e c t r a lp r o j e c t i o nr e l a t e dt ot h e i rg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s ei se s t i m a t e d 2 1c h a r a c t e r i z a t i o no ft h eg e n e r a l i z e dd r a z i ni n v e r s e t h e o r e m2 1 ile ta no p e r a t o ra 召( 义) t h e nai sg d i n v e r t i b l ei fa n do n l yi ft h e r ee x i s t s a no p e r a t o rp 召( x ) s u c ht h a t ： p 2 = 只a p = p a ，州p ) = 1 0 ，a n da + pi s 拥l ，e r t i b l p ( 2 1 ) i f ( 2 1 ) h o l d s ，t h e n a d = 似+ p ) 一1 ( ，一p ) = ( ，一p ) 似+ p ) 一1 w h e r ep = ，一a a di st h es p e c t r a lp r o j e c t o ro fac o r r e s p o n d i n gt o10 p r o o f j ”s u p p o s et h eo p e r a t o rai sg d i n v e r t i b l e ，t h e ni th a st h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o n ( 1 2 ) l e tph a st h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h eo r t h o g o n a ls u m so fs u b s p a c e sx = ( p ) o 灾( p ) ： 尸= 0 i ti se a s yt ov e r i f y ( 2 1 ) ”乍”i ft h eo p e r a t o rp 召( x ) s a t i s f i e s ( 2 1 ) t h e nf r o mp 2 = p t oo b t a i ni n d ( p ) = 1 ，i et h e g r o u pi n v e r s eo fpe x i s t s ，s oph a st h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h eo r t h o g o n a ls u m s o fs u b s p a c e sx = n ( p ) o 欠( p ) ： 尸= h 01 ：【獬h 裟】 w h e r ej p l 2 尸i r ( 一i si n v e r t i b l e s u p p o s eah a st h em a t r i xr e p r e s e n t a t i o nw i t hr e s p e c tt ot h e o r t h o g o n a ls u m so fs u b s p a c e sx = n ( p ) o 欠( p ) ： a 也a 21 ：f 裟h 獬】 6 f r o mp 2 = p ，w eh a v ep ；= p j ，i e j p l ( ，一p i ) = 0 p ii si n v e r t i b l e ，s op i2 ，a n d 【三三兰】= a p = p a = 【三。2 ： i m p l i e sa 1 2 = 0 ，a 2 i = 0 f r o mt r ( a p ) = i t ( a 2 2 ) ul o = l o l ，w ek n o wo ( a 2 2 ) = 1 0 l ，i e a 2 2i s q u a s i n i l p o t e n t f r o ma + 尸= a ：土，】i s 舭m e n 枷t 似e h c n c e ， a = h 删獬h 鬻】 w h e r eai li si n v e r t i b l ea n da 2 2i sq u a s i n i i p o t e n t t h e n ，ai sg d i n v e r t i b l e ， a n d 肚1 ，一a a d = 【三：】一【之1a 0 勉】【乞? 三】= 三： = 尸= a 丌 f i n a l l y , ac a l c u l a t i o ng i v e s ( a + 即一1 ( ，一p ) = h 总一】 】 =a d = ( i p ) ( a + p ) 一1 t h en e x tt h e o r e mg i v e sa n o t h e rc h a r a c t e r i z a t i o no fs p e c t r a lp r o j e c t i o no p e r a t o r t h e o r e m2 1 2 s u p p o s ea no p e