（应用数学专业论文）一类重心型二元有理插值算法的研究.pdf

中文摘要 本文主要研究矩形域上不存在极点的重心型二元有理插值，并利用二元n e w t o n 插值多项式的误差给出了本文算法的误差分析。 文章首先构造了矩形域上的一类二元有理插值算法，证明所构造的插值算法 在实数域内没有极点的性质，并给出了插值算法的适定性，在此基础上利用二元 l a n g r a n g e 插值多项式，证明了本文所构造的二元有理插值函数与重心型二元有理 插值函数的等价性 其次，利用二元n e w t o n 插值多项式的性质，在m s f l o a t e r 等工作的基础上 对本文所构造的重心型二元有理插值算法进行了误差分析，并针对四种不同的情 况给出给出了相应的误分析 最后，对重心型二元有理插值算法给出了一些算例分析并总括了全文的工 作和提出了未来待解决的问题 关键词：插值函数；有理插值；二元有理插值；重心型有理插值；极点 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，af a m i l yo ft h eb i v a r i a t eb a r y c e n t r i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n st h a th a v e n or e a lp o l e sw a ss t u d i e d ，a n dt h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ro ft h i sm e t h o dw a sa l s os t u d i e d f i r s t l y , af a m i l yo ft h e b i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n sw e r ec o n s t r u c t e do nr e c t a n g u l a rg r i d s ，a n da l li m p o r t a n tp r o p e r t yt h a tt h eb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n sh a v e n op o l e sw a sp r o v e d t h e r e f o r ei t i sn o wq u i t ee a s yt oc h e c kt h a tt h eb i v a r i a t er a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n sc a ni n t e r p o l a t et h eo r i g i n a lf u n c t i o na tt h e s ep o i n t s t h e ni t i sp r o v e d t h a tt h eb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n sc a nb ep u ti nt h eb a r y c e n t r i cf o r m b a s e do nt h ep r o p e r t yo fb i v a r i a t en e w t o ni n t e r p o l a t i o na n dt h ew o r km s f l o a t e r ， t h ea p p r o x i m a t i o ne r r o ro ft h eb a r y c e n t r i cb i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n sw a sa n a l - y s e d a n df o u rd i f f e r e n tc a s e sw e r et r e a t e d i nt h ee n d ，s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sw e r ei n t r o d u c e da n dt h ee f f e c to fa l g o r i t h m w e r eg o t k e yw o r d s ：i n t e r p o l a t i o n ；r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；b i v a r i a t er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ； b a r y c e n t i cr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；p o l e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 一貅弓胆引猁斯 叼年 学位论文版权使用授权书 6 黾讥 本学f 雹! 仝i 影专兮了毒”# 专l 出- 。鼍吩幻“? ”。_ ，。? 凡斗：工竹“ 。“。 段是浑大学可k i - 。上；2 ， 。二。卜又i 小刀i ，- j 玉。、f j 爻颤j 菩，：，二矗垃= 可：，二平采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 导师签名：溯p f 扣磁 ， f 签字日期：2 0 7 年f 月2 日 刁 胆 弓胁 各 f 签九f，f 者 形 储 w 文 期 沦 日 监 - 产 t c 一 学 蔓 第一章前言 第一章前言 众所周知，插值方法是函数逼近的一种方法，利用它可以通过函数在有 限个点处的取值状况，估算该函数在其他点处的取值此外，插值方法还是 导出其他许多数值方法的依据。 1 1 背景分析 多项式插值理论与方法已相当成熟，有理函数插值的理论与方法也有 了一些成果，m s f l o a t e r 等【1 给出了一种不存在极点的一元重心型有理插值 算法，b e r r u t ，j 一p 2 】介绍了一种重，l - 型l a g r a n g e 插值算法，h i g h a m ，n j 3 对 b e r r u t ，j 一p 【2 】2 中的算法进行了稳定性分析s c h n e i d e r ，c 等 4 】给出了一些有 理插值的新算法但有理函数插值比多项式插值要复杂得多其主要表现 是有理插值问题有解是有条件的或者说有理插值问题不是总有解的另一 方面，对于具有极点的函数，即f ( x ) 在z o 附近无界，或者当z 一，f ( z ) 趋于 某一定值时，采用多项式作为逼近工具是不合适的，而采用有理函数作为逼 近工具是恰当的，王仁宏，朱功勤 2 0 】对上述问题进行了研究，并做了基本理 论证明 在实际问题中，例如飞机，汽车，轮船和零件的外形设计以及一些描述 科学现象的曲面的拟合等问题，经常应用局部多元插值方法对曲面进行模 拟。多元插值是一个活跃的研究领域，至今，已有相当多的多元插值公式出 现( 如： 1 1 、 1 2 】) ，并且还在与日俱增多元插值公式的产生和发展是由实际 问题决定的，因此它们各有特色 设( z ，y ) 是定义在平面有解区域d 上的二元连续函数， z o ，z 1 ，) 和 y o ，y l ，) 为实数或复数点列( 不必互异) 所谓二元有理插值问题，乃是求 二元有理分式函数 跆圳= 渊 ( 1 1 ) 使之满足插值条件 r ( x i 协) = 丽n ( x i , y j ) = m i ，y j ) ，江0 1 ，礼1 ；歹= 吼，n 2 第一章前言 其中n ( x ，y ) r ( 或n ( x ，y ) p k 。，f 。) ，m ( x ，y ) p m ( 或m ( x ，y ) 1 ：) ，这里 n ( x ，y ) r 是指二元多项式的最高次数为n ，n ( x ，y ) p k f 是指二元多项式关 于z 的最高次数为k ，关于y 的最高次数为f 如果有理插值问题( 1 1 ) ( 1 2 ) 存 在唯一解，则称插值问题是适定的，插值点集称适定节点组 近年来，国内外学者对二元有理插值进行了一系列研充例如：j i e q i n g t a na n dy if a n g 5 】给出了n e w t o n - t h i e l e 型二元有理插值算法，该算法将牛顿 插值多项式和t h i e l e 型插值连分式结合起来，通过所谓的混合差分得以实现 二元有理插值。赵春霞 2 1 对上述n e w t o n t h i e l e 型二元有理插值算法的存在 性进行了证明。b e r r u tj - p 【1 5 】寻求尽可能接近显式的插值公式，进而揭示二 元有理插值的内在结构，得到了矩形网格上二元有理插值函数存在的一个充 要条件，同时给出了二元有理插值函数的一种表现形式。从而为对矩形网格 上二元有理插值问题进行理论分析提供了一个有力工具王家正【1 6 】寻求 尽可能接近显式的插值公式，进而揭示二元有理插值的内在结构，得到了 矩形网格上二元有理插值函数存在的一个充要条件，同时给出了二元有理 插值函数的一种表现形式。从而为对矩形网格上二元有理插值问题进行理 论分析提供了一个有力工具 1 2 本文的主要工作 多元插值多项式是多元函数逼近中最简单的方法，但是有些时候它的 逼近效果并不好，例如：我们根据点集 a ，6 】h a ，b 1 上给出的节点集m = ( y j ) l i = 0 ，1 ，n ；j = 0 ，1 ，m ) 做插值多项式l ( x ，y ) 近似f ( x ，可) ，一般我们 总认为礼和m 越大l ( x ，可) 逼近f ( x ，y ) 的精度越好，但实际上并非如此。这是 因为对任意的插值节点，当礼一。，m 一时，l ( z ，y ) 不一定收敛到，( z ，可) 在等距节点上，用二元l a n g r a n g e 插值多项式逼近耳# 1 韶，就是一个典型不 收敛的例子 插值节点已经固定了，所以我们必须找到其它的插值方法。目前，广泛 采用的一种方法是样条插值，在一些外形设计等问题中它已经成为了一种 标准的插值算法。经过长时间的探索研究，人们发现有理函数插值比普通的 多项式插值效果要好，一些学者已经取得了一些非常好的研究成果( j i e q i n g t a na n dy if a n g 【5 】，b e r r u tj - p 1 5 ，王家正【1 6 ) ，但是主要的问题就是在插值 2 第一章前言 平面内不能避免极点的出现 本文旨在寻求具有较高的逼近阶并且在点集陋，6 】b ，b 。 上不存在极点 的一类重心型二元有理插值算法 3 第二章二元有理插值的存在性 第二章二元有理插值的存在性 本章首先将构造出具体的算法，然后证明所构造的插值算法在实数域内 没有极点，最后利用定理2 1 中的一些符号给出插值算法适定性的证明 2 1 基本算法 由于二元有理插值比较复杂，所以可供应用的一般公式还很少基于矩 形网格上的矩形曲面片是最容易理解的，因此得到了使用者的普遍欢迎本 文的目的是在由节点集m 对 a ，b 】 a l ，b l 】进行剖分形成的矩形网格上， 构造不存在极点的二元有理插值函数b e r r u t ，j - p 【8 给出了一元重心型有 理函数的定义，下面我们给出矩形域上二元重心型有理函数的定义 定义2 1 设y ( x ，秒) 是定义在平面区域d 上的二元连续函数，插值节点 为m ； ( 兢，协) ，i = 0 ，1 ，n ；j = 0 ，1 ，m ，如= y ( z i ，协) ，令 g ( z 川：肇堕塑2协。，秒) = 等雩二二二，_( 2 1 ) 岛岛( 卜。t ) ( 可一协 其中，u 妇为常数，称g ( x ，y ) 为点集m 上的重心型二元有理插值函数 矩形网格上不存在极点的二元有理插值函数构造方法如下：选择任 意整数d 和e ，使之满足0 d 礼，0 e m ，对于每个i = 0 ，1 ，扎一d ；j = 0 ，1 ，m - e 设p i j ( x ，y ) 为y ( x ，y ) 在插值节点 ( 魏。，蚴。) 1 i 1 = i ，i + 1 ，i + d ；j l = 歹，j + 1 ，j + e ) 上的插值函数，则 b ( z ，y ) p i j ( x ，剪) r ( 舢) = 竺 彳一 ( 2 2 ) 入t j ( z ，y ) 就是我们构造的插值函数，其中 入巧( z ，y ) = ( z x i ) ( z x i + d ) ( y 一协) ( y 一协+ e ) 。 4 ( 2 3 ) 第二章二元有理插值的存在性 2 2 极点的不存在性 如果a 为函数f ( z ) 的孤立奇点，则y ( z ) 在a 点的某去心邻域k a 内可 以展成l a u r e n t 级数 化) = ( z n ) “ 我们称非负幂部分ec n ( z o ) ”为，( z ) 在点a 的正则部分，而称负幂部分 n = o 0 0 ec - n ( z o ) 川为，( z ) 在点a 的主要部分这是因为实际上非负幂部分表示 在点a 的邻域k ：1 名一a i 0 6 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 所以 因为 所以 进而 ( f 1 ) 当j 如时，因为 j - 1 b 7 = 0 ( i i i ) 当ig 厶时，有 ( i v ) 当j 譬如时，有 j 一1 0 ， b 7 = 0 口 0 ， k = 0 + e + 1 m ( 卯一可矿) ( 船一卯) 0 k = j + e + l k = i + d + 1 七一x q ) = 0 j 一1” n ( 卯一鲫) n ( 船一卯) = 0 6 ，= 0 奄7 = j + e + 1 综上可知，当i 厶且j 乃时，m j ( x 口，耶) 0 又因为厶和如都不是空 所以 n dr l g - e s ( 卯) = l i j ( x 删卢) = i = oj = o m j ( x 。，y z ) 0 i e i 。j j z ( 2 ) 当z ( z q ，。口+ 1 ) ，y ( y 序，y 序+ 1 ) 时，其中0 o 礼一1 ，0 p m 一1 令 p t ( z ) = 兀( z x b )兀( x k z ) ， b = o k = i + d + 1 j 1m 如( ! ，) = 兀( y 一船)兀( 可七，一y ) ， 1 1 = i ，l o d ) ，屯= i t a d + 1 i o ) ，1 3 = i l a + 1 t ) ， 7 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 。n b z q z 第二章二元有理插值的存在性 以= 歹j j p e ) ，也= 歹厂i p e - 61 j p ) ，j z = 歹j i z + 1 j ) ， 将s ( z ，y ) 分为两部分的乘积 n d m o s ( z ，y ) = i = 0 j - 1 ( x k - z ) n ( 可一耖6 ，) n ( 鲥一) i = 0j = ob = o 知= l + d + 16 ，= 0 k 7 = j + e + 1 - d i - 1 = ( z - x b ) i i = ob = o 疗 f ( z 七一z ) ) k = i + d + l m ( z ) + u i ( z ) + i e l li e l 2i e l 3 = ( s t ( x ) + s 2 ( x ) + s 3 ( z ) ) ( 8 1 ( y ) = s 0 ) s ( 可) 一盼，勇1-i。+，(ykk ，一秒，、l 一盼) ，一秒) i 7 = j + e + 1 以z ) ) 睡跏，+ + 8 2 ( y ) + s 3 ( 可) ) 如( 耖) l j e j 3 其中，s ，( z ) ：地( z ) ，s 盯( y ) ：如( 耖) ，s ) ：3s ，( z ) ，8 ( s ，) ：3s 叮( 可) i e l r j e j 口 r = 1a = l 下面我们将证明当和厶都不为空集时，8 r ( z ) 0 ，8 0 r ( 可) 0 当= a 或以= g 时，根据证明过程可令s ，( z ) = 0 ，8 a ( y ) = 0 ，1 2 ，1 3 中至少有一个不 为空集 ，也，也中至少有一个不为空集，所以最终有s ( z ，y ) = s ( z ) s ( ) 0 ( i ) 首先考虑当i 1 2 时，有 当d = 0 时，1 2 = 乃，所以s 2 = 0 当d 1 时，如 i 一1 进而n ( z x b ) b = o g 由于o l d + l i n ，可知z t z q z ，z 0 诞j 2 当n n d 时，如= a ，所以s 3 ( x ) = 0 当q n d 一1 时，如a t u i + l ( z ) = n ( z b = o z b ) ( z 一z ) k = i + d + 2 把地( z ) 与胁+ 1 ( z ) 进行比较，发现p i ( x ) 比胁+ 1 ( z ) 多了x i + d + l z 这项，而 8 一触 ，i、 第二章二元有理插值的存在性 胁( z ) 比m + l ( x ) 少了z x i 这项，其它项完全相同因为 x i + d + l z f = x i + d + l z x i z = i z 一。t i ， 所以 i p l ( z ) l i p t + 1 ( z ) l ， 进而有 l 肛n + 1 ( z ) i i 肛。+ 2 ( z ) l i p 口+ 3 ( z ) f 由于z ( z ，z n + 1 ) ，可知 qn p q + 1 ( z ) = 1 - 1 ( z 一) ( z k z ) 0 ， b = o k = o + d + 2 o + 1n p n + 2 ( z ) = ( z x b ) n ( z 七一z ) 0 ， 将s 3 ( x ) 写成如下形式 s 3 ( x ) = ( p q + 1 ( z ) + 肛n + 2 ( z ) ) + + u - d ( x ) ， 从而显然可得s 3 ( x ) 0 ( i i i ) 当i 1 1 时，有 当q z z 。n z z 岳n n | i z d q肛 0z z 。n z z 瑚 q = z d一口p 第二章二元有理插值的存在性 ji 把g i ( x ) 与胁一1 ( z ) 进行比较，发现地( z ) 比胁一l ( z ) 多了。一翰一1 这项，而 地( z ) 比胁一l ( z ) 少了z 件d x 这项，其它项完全相同因为 l z z t 一1 l = x z i 一1 z x i + d = i x i + d z i ， 所以 i p o d ( z ) i l p o d 一1 ( z ) i i i t o d 一2 ( z ) f ， 将s x ( x ) 写成如下形式 8 1 ( x ) = ( p q d ( x ) + 肛q d 一1 ( z ) ) + ( p 口一d 一2 ( z ) + p n d 一3 ( z ) ) + ， 显然可得s l ( x ) 0 同理可证，当相应的集合不为空集时，8 l ( 剪) ，s 2 ( 秒) ，8 3 ( y ) 都是大于0 的，所以 当x ( z 。，z 。+ 1 ) ，y ( 剪口，可卢+ 1 ) 时，8 ( x ，y ) = s ( z ) s ( ) 0 到此为止，综合( 1 ) ( 2 ) 可知，当x x o ，z 。 ，y 【y o ，y m 时，s ( z ，y ) 0 ( 3 ) 当z 0 ， k = d + l 0n p ，( z ) = y i ( x z a ) i i ( z 七一z ) 0 ， 又因为 所以 l u o ( z ) l i u l ( x ) i i p 2 ( z ) l ， 钆一d 一1 n s ( z ) = i i ( z 一瑚( z t z ) 0 i = ob - - - - - o k = s + d + 1 同理可证：当x z 。时，s ( z ) 0 ，当y y m 时， m ej 一1 s ( 可) = n ( 可一可b ，) ，n ( 蛳一秽) 0 j = o6 7 = 0七= j + e + 1 所以8 ( x ，y ) = s ( z ) ( 可) 0 定理证毕 1 0 第二章二元有理插值的存在性 2 3 算法的适定性 我们已经证明了( 2 2 ) 中r ( z ，y ) 没有极点，下面证明我们所构造的( 2 2 ) 式r ( x ，y ) 过插值节点， n d m e a i j ( x ，y ) p 。，( x , y ) 定理2 2 r ( z ，y ) = 型等戋互一过插值节点 ( 娩，协) ，i = 0 ，1 ，n ；j = a 玎( 。，y ) t = 0j = 0 0 ，1 ，仇 ，f i j = ，( 劫，协) 证明 令z = z 。，y = 耶，其中0 o 凡，0 卢m ，则对所有i 厶，j 如 都有p i j ( x 。，y z ) = l ( z 口，耶) ，其中厶，乃如( 2 5 ) ( 2 6 ) 式定义，利用定理2 1 证明过 程中的第一部分可得，当i 厶时，胁( z a ) o ；当i 窖厶时，胁( z 。) = o ；当j 如 时，如( 卯) o ；当j 如时，心( 耶) = 0 ，所以 所以 p h j ( x q ，卯) p 巧( z d ，y z ) r ( 耶) = 竺等i 二一 b ( z 口，耶) i - - oj = o # i j ( x n ，y z ) p i j ( x o ，始) 一 ! 三! ! ! 三! ! p 妇( z 。，可序) i j 口j e j 2 # i j ( x 。，y z ) = 弛堋，等 诞i qj j z = ，( z o ，可口) 定理证毕 我们注意到，如果，( z ，可) 为多项式，则对所有的i ，j 都有p i j ( z ，夕) = ，( z ，3 ，) ， r ( z ，y ) = ，( z ，剪) 到此为止，我们通过交换和号将二元有理插值转化为了一元的的情况， 并通过适当的分类，然后利用m s f l o a t e r 1 中一维的证法，已经证明了所构 y 一 可 z z 一叼 一 一 p p 誉兰二 州兰鲫 可 z ， 第二章二元有理插值的存在性 造的( 2 2 ) 式在实数域内没有极点利用厶，如的定义给出了( 2 2 ) 式适定性 的证明 1 2 整三童三垂查垄堡堕丝重：垒墅壅 _ _ 一 一 第三章二元有理插值的重心形式 本章我们将利用二元l a n g r a n g e 插值多项式证明由算法( 2 2 ) 给出的插值 函数与( 2 1 ) 给出重心型二元有理插值函数的等价性 3 1 一般的二元l a n g r a n g e 插值方法 给定平面上一组插值节点q o ，q 1 ，q 2 ，瓠用l a n g r a n g e 方法去构造插值 多项式，就是构造一组基函数l o ( x ，秒) ，l l ( x ，耖) ，l k ( x ，! ，) ，使得 “鳓= 托i ；f ，i 篓i 扣0 川1 一，k i1 ， i ， = j，j = ， 由此可以得到插值多项式 1 ( x ，剪) = f ( q i ) l i ( x ，耖) + n ( z ，分) 其中，r ( x ，可) 为l a n g r a n g e 插值多项式的余项 我们可以用l a n g r a n g e 方法很方便地求出插值多项式，下面我们就给 出矩形网点上的l a n g r a n g e 插值多项式，设插值节点组为m = ( 协) ，i2 0 ，1 ，n ；j ：0 ，1 ，m ) 令 u ( x ) = ( z z o ) ( z x 1 ) ( z z ，1 ) ， v ( u ) = ( 可一u o ) ( u y 1 ) ( y 一) 显然( y j ) 所对应的l a n g r a n g e 插值多项式为 觚( ) n j ( 寥) = u ( x )v ( y ) 丽瓦瓜_ i 丽v 7 ( ) ( 一珊) 因此对应的l a n g r a n g e 插值多项式为 l ( x ，3 ，) = ，( ，地) 尬 ) ( y ) + r ( z ，秒) = 妻妻m 蝴，赫揣珐 = m 蝴况两满+ r ( 刚) ， i = 0j = o 、。 根据插值的唯一性，这个公式与( 4 4 ) 中的公式是等价的 定理3 1 3 2 二元有理插值的重心形式 n - - d m c a 巧( z ，暑，) p 幻( z ，y ) 式( 2 2 ) 中r ( x ，y ) = 型譬去忑一a 。j ( x , y ) i = oj = o 其中，u 巧为常数 证明 ，、三暑南南 9 ( 舢) = 等雩二= 磊南 t = 0 j = 0 、7 7 可以化为重心形式，即 首先将p t j ( x ，y ) 表示成l a g r a n g e 二元多项式 i + dj + e p i j ( x ，可) = 1 1 = t j l = j 将上式代入r ( x ，y ) 的分子，有 n d m 一8 3 = 0 r 扎一e i + dj + e b ( z ，可) 1 1 = o j l = ji = 2 1 7 t l ( - 1 ) 2 t z x i , x i l 一z 7 z z t 7 x i l 一x i j + e n j = j j | h j + e n 3 | 2 3 j f j 1 y 一勺j | n 一翟j f ( - 1 ) a ( z x i ) ( z x i + d ) ( y y j ) ( y 一约+ e ) y 一警j f 曾h 一粤j f z x i x i l 一x i t 1 4 j + e n ，= ， l 、 y 一j r 静h 一j ： 兹 y z ”p鲈 z 一 o ；当e 1 时，j 2 d ，所以 i 1 2b - - - o k = i + d + 1 f 一1m s 2 ( y ) = 。n ( y y b ，)兀( y k ，一y ) 0 因此下面将分四种情况对插值误 j j 2b = o k - - - - j - f e + l 差进行讨论：( i ) d 1 ，e l ( i i ) d = 0 ，e l ( i i i ) d 1 ，e = o ( i v ) d = 0 ，e = 0 设 i l f l l = 。m a x 。l ，( z ，u ) l ， 2o m t a x ( 翰+ 1 一z t ) ，危1 2 o 器l ( 协+ 1 一y j ) 1 8 u 耖 z q 脚。脚 i | p 鼽珈 付 z o z ，+k x m 伽 + 计m z 第四章 二元重心型有理插值的误差分析 二_ 二= = = 二二一= = 二二_ = 定理4 1 设d 1 ，e 1 ，且f ( x ，可) 具有d + e + 4 阶连续偏导数，当札一d 为 奇数，m e 为奇数时，有 卅l 一( 6 _ 0 ) 孵州+ 1 ( b l - a 1 ) 紫 州舻l ( 6 _ 0 ) ( b l - - a 1 ) 黼； 当n d 为偶数，m e 为奇数时，有 胁卅l 一( ”n ) 紫+ 鳟) 州+ l ( b 1 - - 6 1 ) i i f ( y e + 2 ) 1 1 + 九d + 1 i + 1 ( b - a ) ( b l - a 1 ) 端 卜( b l - - a 1 ) 黼) ； r 一f h h d + l ( 6 _ 0 ) 警州+ + d + 1 危i + 1 ( c 6 一。，c 6 一口， ( 咱，紫+ 船) 蠕高邶刊精端) ； 当扎一d 为偶数，m e 为偶数时，有 刊i 洲+ 1 ( ”口，辩+ 尝) 州“( ” 舻增“( ( b - a ) ( b l - a 1 ) 艄耥邶叫 卅川两lj f ( d + 厕l , e + 2 ) i + 艄耥) 训紫+ 豁) 彬“2 ，8 + 1 i j ( d + 2 ) ( e + 1 ) 证明 因为在插值节点处r ( x ，3 ，) 一f ( x ，妙) 等于零，所以下面我们假设 z n ，6 f o l ，b 1 m 均( z ，3 ，) 如( 2 3 ) 式定义，误差可以写成如下形式 k ( z ，) ( j f ( z ，y ) 一( z ，g ，) ) ，( z ，! ，) 一r ( z ，剪) = 三三旦j 兰兰l ：i j i i ：i ，( 4 6 )t l d m e 、， a 巧( z ，y ) 1 9 第四章二元重心型有理插值的误差分析 利用二元牛顿误差公式得 ，( z ，y ) 一p i j ( x ，y ) = ( z x i ) ( x x i + 1 ) ( z x i + d ) f ( x ，z t ，x i + d ；y ) + ( y u j ) ( u 一蜥+ 1 ) ( y 一蚴+ 。) ，( z ；可，缈，协+ 。) + ( z x i ) ( z x i + d ) ( y y j ) ( y 一+ 。) ，( z ，瓤， 将上式代入到( 3 6 ) 式中，有 、以小一i譬等，(一1)o(一1)，(z嘏，xi+d；y)i(z , y ) - r ( 刎) 2 l i = 0j = 0 ( 型等警等铲+ i 、口口j 、一 一j t ， ，x i + d ；y ，y i ，珊+ e ) ， ( 4 7 ) ( - 1 y ( 一1 ) j ，( z ；y ，y j ，协+ 。) ( z x i ) ( z z t + d ) t l d t l - - e 一( 一1 ) 钾( x ，甄，x i + d ；y ，协，协+ 。) ) a 巧( z ，! ，) i = 0j = o 把上式分为三部分，记 a 3 = a a = a 2 = n - d m - e i = 0j = o n d m e 入玎( z ，y ) i = 0j = o n - d ? n - e i - - - - oj = o n - dr n e a 巧( z ，y ) i = 0j = o n - d m 一8 ( 一1 ) i + j ，( z ，x i ，x i + d ；y ，y j ，y i + e ) i = 0 ，= 0 ( i ) 对a 1 式进行处理 ，n e a 1 ：竺 n - d ? 7 t - - e ( 。，y ) i = oj = o n - d ( - 1 ) ，( z ，x i ，x i + d ；y ) i = 0 n - d i = 0 n - d ( 一1 ) ，( z ，魏， i = 0 ，筑+ d ；y ) i 1 一d i = o ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 第四章二元重心型有理插值的误差分析 把上式分子的第一项与第二项结合，第三项与第四项结合，化成高一阶的 差商，当n d 为奇数时 n dn - d - 1 e ( - 1 ) ( z ，x i ，x i + 4 ；y ) = 一( 铒d + l 一毛) ，( z 忍，x i + d + l ；! ，) ； i = 0i = 0 ie t ，f n 当n d 为偶数时 又因为 n - d - 2 忍“耖) = 一 ( 珥d + 1 - z i ) f ( z ，x i ，x i + d + 1 ；可) i = 0 ，ie v e n + ，( z ，z t l d ，z 几；秒) ； n 1 ( d + 1 ) ( z m - x k ) k = o = ( d + 1 ) ( 6 一o ) ， 所以当礼一d 为奇数时 j n - d i ( _ l 灯k 忍州川) ( 6 _ n ) 端； l ( 一1 ) m ，叭舢) f ( d + 1 ) ( 6 一n ) 訾爿； i = 0 、， 当n d 为偶数时 ln-d(嘶忍“*d+1)(6-a)illfz(面d+2)ifi+ 端= 0 l ( 一1 ) m ，钳删) j ( d + 1 ) ( 6。丁+ 警甜 、一。一， 、一。， n 一口 。 下面我们考虑三石夏j = 三i 的范围，设z i x q ，z 口+ 1 其中o q r t - - 1 因为d 1 ，所以2 历设l 2 ，则 根据( 2 1 ) 式u i ( x ) 定义，有 s ( z ) s 2 ( x ) m 0 ) 0 ， 薹瓦篇葡l - 志兰n 2 而南司+ d 1 盘( z 咱) ( z 咱+ d ) l f il z 咱i 7 ni z 咱i l z 咱z 咱 ( 4 1 2 ) 2 1 zz ， l一 州渤 七 z 一 +七 o ： 胤小渤 n = z一 +d+ z 小渤 n 第四章二元重心型有理插值的误差分析 因为z z z n ， 其中要求当h 一0 ，h 1 0 时，1 和7 l 都是有界的 定理4 2 设d = 0 ，e 1 ，且，( z ，y ) 具有e + 4 阶连续偏导数，当n 为奇 数，m e 为奇数时，有 卅l 岬刊( h ) 掣州e “( b l - a 1 ) 鳟 + m 刊舻1 ( 6 叫( b l - a 1 ) 黜； 当仃为偶数m e 为奇数时，有 ”_ ，i i m 刊( ( h ) 掣制圳) 州“( b l - a 1 ) 嗡 圳州+ 1 ( ”0 ) ( 糟+ ( b l - a 1 ) 锴) ； 当佗为奇数，m e 为偶数时，有 ”卅c 堋刊掣州卜紫+ 警、) 州，堋+ 1 ( ”州卜0 1 ) 错+ ( 6 刊糌) ； 第四章二元重一l - 型有理插值的误差分析 当n 为偶数，m e 为偶数时，有 p 卅”小刊学+ “圳卜“( 吼1 ，嗡+ 锗) 州1 刊舻1 ( ( 卜0 ) ( 6 1 0 1 ) 糌+ ( 6 _ n ) 锗 + ( b l - a l ，糌+ 等) 证明 对a 1 ，a 2 ，a 3 的分子讨论时没有用到d 1 的条件，所以在定理4 1 证明过程中对于a 1 ，a 2 ，a 3 分子的结论在本定理中也适用，所以 ( i ) 对第一部分a l 处理，当礼为奇数时 l 壹( - 1 ) 酬| ( b - a ) 掣； 当n 为偶数时 l壹(-1)tf(x,xi；耖)f 0 f 薹高j 畿= 壶丢志 当q = 0 时，同理可得 l 譬盟( x - z i ) | 去丢志 当1 q n 一2 时利用s 2 f z l 证明如下 s ( x ) s a ( x ) = 卢q + 1 ( z ) + p q + 2 ( z ) 0 ， 第四章二元重心型有理插值的误差分析 。一_ _ _ _ - _ _ - l _ _ - - - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - - _ _ - _ - _ i - _ _ _ _ - - - _ _ _ _ - - _ - _ - _ - 一 则 萎筠 利用s l ( x ) 证明如下 则 薹筠 z z q + l 1 + z z q + 2 1 z n + 1 一z x a + 2 一z x a + 2 一o o + l ( z q 4 - 1 一z ) ( z 口+ 2 一z ) x a + 2 一z n + 1 h ( x n + 2 一z a + 1 ) 1 h ( 1 + ( z q + l z a ) ( z q + 2 一x a + 1 ) ) l 九( 1 + 1 ) 8 ( x ) 8 1 ( z ) = 肛q ( 。) + p 。一l ( x ) 0 ， h(1+(xa+l-xa)(xa-xa-1)而。 ( i i ) 因为e 1 ，所以对第二部分a 2 的处理与定理4 1 相同 ( i i i ) 对第三部分a 3 处理，分子结论与定理4 1 相同，当礼为奇数，m e 为 奇数时，有 n d m o 嬲”0 ) ( e + 1 ) ( b l - a 1 ) ； 当n 为偶数，m e 为奇数时，有 n - d m - - e ( 一1 ) f ( x 忍，钳d ；y 渤 i - - - - 0j = o ，协+ 。) ，协+ 。) ( 6 瑚+ 1 ) ( b l - a 1 ) 嬲+ ( e + 1 ) ( b l - a 1 )