（应用数学专业论文）三个具有双同宿环的平面多项式系统的极限环的分支.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要利用双同宿环分支的方法研究了三个具有旋转不变性 的近哈密尔顿系统的极限环的个数与相对位置。 本文的结构安排如下：前两章我们介绍了极限环的研究背景、意 义，我们研究的主要内容以及微分方程定性分析的一些知识。 在第三章我们研究了一个在七次扰动下的五次z ，不变的平面多 项式系统。通过对哈密尔顿函数的分析，我们得到了未扰系统的相图； 通过计算m e l n i k o v 函数，我们得到了系统在扰动后双同宿环存在的 条件，并对双同宿环的稳定性做出了判断；主要利用双同宿环分支的 方法以及p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理我们得到了系统的4 5 个极限环， 同时给出了4 5 个极限环的四种不同的分布。 在第四章我们研究了一个四次z ，不变的平面系统，利用与第三章 相同的方法，我们得到了系统的1 6 个极限环，并给出了这1 6 个极限 环的两种不同的分布。在第五章我们运用相同的定性分析方法研究了 一个六次z 。不变的近哈密尔顿系统，给出了系统具有3 0 和3 5 个极限 环的条件，并给出了它们所具有的不同分布。这些结果将有助于对 h 1 6 问题的进一步研究。 关键词：极限环，双同宿环，稳定性，p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理， h 1 6 问题 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h i s p a p e ri s c o n c e r e dw i t ht h eb i f u r c a t i o n so ft h el i m i t c y c l e si nt h r e e z g 。e q u i v a r i a n t n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e m s u s i n gt h ed o u b l e h o m o c l i n i cl o o p s b i f u r c a t i o nm e t h o dm a i n l y t h ep a p e ri s o r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tt w oc h a p t e r s ，w ei n t r o d u e et h e b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h es t u d ya b o u tt h el i m i tc y c l e w ea l s og i v et h e c o n t e n t st h a ts t u d i e di nt h i sp a p e ra n ds o m eh 1 0 w i e 姑ea b o u tq u a l i t a t i v ea n a l y s i so f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h em i r dc h a p t e r , w es t u d yaq u i n t i cz 3 - e q u i v a r i a n tp l a n a rs y s t e mu n d e ra s e v e n - d e g r e ep e r t u r b t a t i o n w eg e tt h eg l o b a lp h a s ep o r t r a i t so fu n p e r t u r b e ds y s t e m b yt h ea n a l y s i so ft h eh a m i l t o n i a nf u n c t i o n u s i n gt h em e l n i k o vf u n c t i o n s ，w eg e tt h e e x i s t e n c ec o n d i t i o n so ft h ed o u b l eh o m o c l i n i cl o o p sa n dg i v et h es t a b l i 哆o ft h e d o u b l eh o m o c l i n i cl o o p s b ya p p l y i n gt h ep o i n c a r 6 一b e n d i x s o nt h e o r e ma n dt h e d o u b l eh o m o c l i n i cl o o p sb i f u r c a t i o nm e t h o dm a i l l l y ，w eo b t a i n4 5l i m i tc y c l e so ft h e s y s t e ma n dg i v et h ef o u rd i f f e r e n tc o n f i g u r a t i o n so ft h e m i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yaz 3 - e x l u i v a r i a n tq u a r t i cp l a n a rs y s t e m w eg e t1 6 l i m i tc y c l e su s i n gt h es a m em e t h o d 丽mt h ec h a p e rt h r e ea n dg i v et h et w od i f f e r e n t c o n f i g u r a t i o n so ft h e m i nt h ef i f t hc h a p t e r , w es t u d yaz 5 一e q u i v a r i a n ts i xd e g r e e n e a rh a m i l t o n i a ns y s t e mu s i n gt h es a m eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o d w eg i v et h e c o n d i t i o n st h a tt h es y s t e mh a s3 0a n d3 5l i m i tc y c l e s t h et w od i f f e r e n td i s t r i b u t i o n s o ft h e s el i m i tc y c l e so fs y s t e ma r ea l s og i v e ni nt h i sc h a p t e r t h e s er e s u l t so b t a i n e d a r eu s e f u lt ot h es t u d yo ft h ew e a k e n e d1 6 t hh i l b e r tp r o b l e m k e yw o r d s ：l i m i t c y c l e s ，t h e d o u b l eh o m o c l i n i c l o o p s ，s t a b i l i t y , p o i n c a r 6 一b c n d i x s o nt h e o r e m ，t h eh i l b e r t s1 6 t hp r o b l e m 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用 的内容以外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：为南厉 日期：岬年f p 月fy e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大 学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和 汇编本学位论文。 保密口，在 本学位论文属于 不保密 年解密后适用本授权书。 o 学位论文作者签名：南奇旃 指导教师签名： 闭参r 中c 钞月f 汨 叩年，明f p 日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第一章绪论 1 9 0 0 年，i - i i l b e r t 1 在巴黎举行的第二次世界数学大会上提出了2 3 个数学难 题，到目前为止，第1 6 个数学难题( h 1 6 问题) 还没有得到彻底的解决，它包 括两个部分，第一部分是研究n 次代数曲线的具有最大闭分支时的相对位置问题 以及对非奇异实代数丛的相关研究。传统上，这是实代数几何学者的研究课题。 第二部分是研究平面多项式向量场 戈= 似y ) ，夕= q 似y ) ( i t 2 ) ( e ) 能产生极限环的最大个数以及它们之间相对位置的问题。这是常微分方程以及动 力系统学者的研究对象。其中和q 是关于x 和y 最高次数为n 的实值多项式。 h i l b e r t 猜测：系统( e ) 的最大极限环数h ( n ) 是依赖于n 的一个有限数。但 迄今为止，我们仅仅知道，当和q 解析时，对于任意给定系数的具体的( e ) ， 对刀2 极限环的最大个数k = 日( 甩) 确实是一个有限数，这个问题已经被 y u 1 l y a s h e n k o 2 和j f x a l l e 3 分别在1 9 9 1 年和1 9 9 2 年独立地解决。但数k = 日( 疗) 一致的上界的存在性至今尚未解决。即使对于n = 2 ，它也是一个很复杂的问题。 a m o l d 4 在1 9 7 7 年提出了弱化的h 一1 6 问题，即考虑下面的这样系统： p h _ y 托p ( 训) ， ( 1 1 ) 【夕= _ 日，+ f 留( x ，) ，) ， 其中h ，p ，g ，为多项式，占为小参数。设有某区间，cr ，使对其中的h 方程 日 y ) = 定义了一系列闭曲线厶： - 厂，令m ( ) = 西础一砌，称其为a b e l 积分( 或一阶m e l n i k o v 函数) ，这样他就把h 1 6 问题转化为函数m 在上的最 大零点个数是多少的问题。 1 9 8 9 年李继彬和赵晓华在【5 】中给出了系统( 1 2 ) 所定义的向量场为z 口等变 向量场时f ( z ，力的形式，并给出了系统为z 。等变的h a m i l t o n 系统时应该满足的 条件。 江苏大学硕士学位论文 鹰d z = f ( z , 刁 ( 1 2 ) 【面d z 也z ，刁 s s m a l e 6 ，7 】在他的两篇演讲“m a t h e m a t i c ap r o b l e mf o rt h en e x tc e n t u r y ” 和“d y n a m i c sr e s t r o s p e c t i v e ：g r e a tp r o b l e m ，a t t e m p t st h a tf a i l e d ”中再次提出到 h 1 6 问题，并把它作为下个世纪( 即本世纪) 尚待解决的数学问题之一。 如果利用同宿环改变稳定性，也可以研究哈密尔顿系统的同宿环或异宿环附 近的极限环的个数，而且有可能获得更多的极限环，这一方法首先是在1 9 9 7 年 由韩茂安在【8 】中提出的，后来又由韩茂安等人在【9 ，1 0 】中发展到双同宿环。 近些年，很多学者就开始利用分支的方法研究z 。等变的h a m i l t o n 系统的极 限环的情况。 1 2 研究现状 虽然h 1 6 问题非常困难，但很多数学工作者已经获得了部分很好的结果。 ( 1 ) 1 9 5 2 年，b a u t i n 在【1 1 】中证明了二次系统在焦点或中心奇点的小邻域内 至多有3 个小振幅极限环；1 9 7 9 年，陈兰荪与王明淑在 1 2 1 i a 正ny - 次系统可 以有4 个极限环，其分布为( 1 ，3 ) ；同年，史松龄在【1 3 】中也证明了同样的结 论。 ( 2 ) 1 9 8 7 年，李继彬等人在 1 4 1 举例证明了日( 3 ) 1 1 ；后来韩茂安、张同 华、吴玉海等人先后证明了三次系统也可以有1 1 个极限环的多种不同的分布； 2 0 0 5 年，郁培与韩茂安在【1 5 】中证明了三次系统可以有1 2 个极限环，其分布为 ( 6 ，6 ) 。 ( 3 ) 2 0 0 4 年，张同华等人在 1 6 1 d o w ny 次系统可以有1 5 个极限环；2 0 0 5 年，c c h r i s t o p h e r 在【1 7 】中证明了四次系统可以有2 2 个极限环；在本文的第四 章，我们证明了四次系统可以有1 6 个极限环。 ( 4 ) 2 0 0 7 年，w h y a o 和p y u 在【1 8 】中证明了一个五次系统可以有2 5 个极 限环。 ( 5 ) 2 0 0 5 年，s w a n g 和ey u 在【1 9 1 中证明了一个六次系统可以有3 5 个极限 环；在本文的第五章中，我们也证明了一个六次近哈密尔顿系统可以有3 5 个极 2 江苏大学硕士学位论文 限环。 ( 6 ) 2 0 0 4 年，李继彬等人在【2 0 】中证明了七次系统可以有4 9 个极限环；2 0 0 6 年s w a n g 和p y u 等人在【2 1 】中证明了九次系统可以有8 0 个极限环；2 0 0 6 年， s w a n g 和p y u 在【2 2 】中证明了一个十一次系统可以有1 2 1 个极限环。 ( 7 ) 对于( e ) 而言，1 9 5 4 年，n eo t r o k o v 在【2 3 】中证明了 日( 胛) 去( 刀2 + 5 万一1 4 ) ( 当聆6 为偶数时) ； 日( 刀) 去( 疗2 + 5 n 一2 6 ) ( 当刀7 为奇数时) 。 1 9 9 5 年c c h r i s t o p h e r & n g l l o y d 在【2 4 】中证明了日q ) k n 2i n n ，k 是一常数； 2 0 0 3 年，李继彬在【2 5 】中进一步证明了 日( 刀) 丢( 甩+ 1 ) 2 ( 1 4 4 2 6 9 5 l n ( n + 1 ) 一否1 ) + 疗一詈。 1 3 研究内容及研究意义 本文主要利用双同宿环分支的方法研究了三个具有双同宿环的平面多项式 系统的极限环的个数及其相对位置。在第三章中我们研究了一个五次扰动哈密尔 顿系统，它是一个z ，不变系统。通过对哈密尔顿函数的分析，得到了未扰系统 的相图；通过计算m e l n i k o v 函数，得到了系统在扰动后存在同宿环以及双同宿 环的条件，并对双同宿环的稳定性做出了判断；通过改变参数，稳定性分析以及 p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理得到了系统的4 5 个极限环，同时给出了4 5 个极限环的 四种不同的分布。在第四章中我们研究了一个四次z ，不变平面系统，利用与第 三章相同的方法，我们得到了系统的1 6 个极限环，并给出了这1 6 个极限环的两 种不同的分布。在第五章中我们研究了一个六次z 。不变的近哈密尔顿系统，主 要通过稳定性分析，利用双同宿环分支的方法以及p o i n c a r 6 一b e n d i x s o n 定理得 到了系统的两种不同情况下的3 0 和3 5 个极限环，并给出了它们的不同分布。这 些获得的结果将有助于对h 1 6 问题的进一步研究。 3 江苏大学硕士学位论文 第二章微分方程定性分析的基本知识 2 1 基本概念 定义2 1 1 曼= ，( 砂，x r 2 ，若厂( 功与t 无关，则称这样的系统为平面自治 系统。 定义2 1 2 设z ( f ) 是戈= 厂，x 酞2 的满足初始条件h 0 ) = x o 的解，则 a = ( f ，x ( t ) ) t 毋c 取3 称为该系统的积分曲线。 定义2 1 3 设y = m ) f j 为莺= ，( 力，xe 酞2 过初值z o 。) = x o 的解，则称 7 = x ( t ) t ， 在相平面上的投影为方程过而的轨道，记为心。) ，称 广= 仁( f ) f ，t 吣在相平面上的投影为方程过而的正半轨，记为广( x o ) ， y 一= 仁o ) f ，t 0 在相平面上的投影为方程过的负半轨，记为y 一( x o ) 。 例如方程拿= 工满足荆= 而 o 的解为x = 而，它的过点而的轨道厂( 而) 就 a t 是( 0 + 叫，而正半轨广( x o ) = 【而，佃) ，负半轨y 一( x o ) = ( 0 ，x o 】o 定义2 1 4 由方程七= ，( 功，x r 2 定义的所有轨道组成的图形称为方程的相 图。 考虑二维自治系统 j 戈= p ，y ) ，( 2 1 1 ) 【夕= q 似y ) 定义2 1 5 若点( x o ，y o ) 满足p ( x o ，y o ) = o ，q ( x o ，y o ) = o ，则称，y o ) 为系统 ( 2 1 1 ) 的平衡点。 定义2 1 6 设，y o ) 为系统( 2 1 1 ) 的平衡点，如果对( x o ，y o ) 的任一邻域u ， 存在( 而，) 的一个属于u 的邻域u ，使得系统( 2 1 1 ) 的初值满足 o ( 0 ) ，y ( 0 ) ) u 。的每一条轨线 ( f ) ，) ，o ”，对一切f 0 ，都有 ( f ) ，y o ) ) u ，就 称平衡点( x o ，y o ) 是稳定的；否则就称为不稳定的；如果瓴，y o ) 稳定，并且有 熙= h l y o ) jl y 0 j 4 江苏大学硕士学位论文 就称平衡点( 而，) 是渐进稳定的。 定义2 1 7 系统( 2 1 1 ) 过x o r 2 的正轨道广( 而) 的所有极限点之集称为缈 极限集( 正极限集) ，记为颤o ( x o ) ，即c o ( x 田) = 仞了0j 使坪，) 专p ) ；类似地， 系统( 2 1 1 ) 过的负轨道y 一( 而) 所有的极限点之集称为岱极限集( 负极限集) ， 记为口) ，即口瓴) = 仞了0 专o o 使x n ) jp ) 。 定义2 1 8 如果存在t 0 ，使得系统( 2 1 1 ) 的解( 缸f ) ，y o ) ) 满足 + r ) ，y o + z ) ) = ) ，y ( f ”，则称( 川) ，y o ”是系统( 2 1 1 ) 的一个周期解。 定义2 1 9 设( 砸) ，y ( f ) ) 是系统( 2 1 1 ) 的一个周期解，我们称 厂= ( 砸) ，y ( t ) ) t e r 在相平面上的投影为系统( 2 1 1 ) 的周期轨道( 闭轨) ，如 果在周期轨道的某邻域内除它自身外无其它的闭轨，则称此闭轨是孤立的，这种 孤立的闭轨我们就称它为系统( 2 1 1 ) 的极限环。 定义2 1 1 0 设系统( 2 1 1 ) 存在极限环r ，如果对r 的任给的环形域u ， 存在一个属于u 的邻域玑，使得从u 内出发的轨线当r 0 时都趋向于极限环 r ，则称极限环i 是稳定的；否则，称极限环r 是不稳定的。 如果极限环r 是稳定的，且对u 内的任一条轨线厂上的任一点而，都有 国) = i ，就称r 是渐进稳定的；如果a ( x o ) = r ，就称r 是渐进不稳定的。 如果对r 内侧( 外侧) 的任给的环形域u ，存在一个属于u 的邻域阢，使 得从u 1 内出发的轨线当r 一佃时都趋向于极限环r ，则称极限环1 1 是内侧( 外 侧) 稳定的；如果极限环r 是内侧( 外侧) 稳定，而外侧( 内侧) 不稳定的，就 称r 是半稳定的极限环。显然，半稳定的极限环是不稳定的极限环中的一种。 考虑下面的非线性系统 七= 一y 4 - x i - - ( x ，2 - l - ；2 ) 】， ( 2 1 2 ) 【夕= 石+ y 【1 一( z 2 + y 2 ) 】 令x = r c o s 鼠y = r s i n 秒，则系统( 2 1 2 ) 可化为 = 2 r 2 ( 1 _ r 2 ) ， ( 2 1 3 ) = 1 5 江苏大学硕士学位论文 可知( 0 ，0 ) 是它的一个不稳定焦点，2 = x 2 + y 2 = 1 即 卜= c o s ( t - t o ) 【y = s i n ( t t o ) 是系统( 2 1 2 ) 的一个极限环，记为1 1 。 解( 2 1 3 ) 得 ，2 万而1 , 1 7 = t - t o 。 即系统( 2 1 2 ) 有解 i ，一c o s ( t t o ) r x 1 + c e - 2 ( t - t 。) l s i n ( t t o ) - - 一 k o j 【炉面丽 显然，若常数c 0 ，解在单位圆内，当卜佃时绕向单位圆；若一1 五，则有下面的定理成立。 定理2 3 ( 韩茂安，【2 6 】) 记= ( + g y ) p o ) ，= o ，q2 屯( + g y 砂， r - 0 , 一心) 。( 0 ，0 ，0 0 3 ，其中啊，吃为( 2 2 4 ) 中的函数，则下面的结论成立： ( 1 ) 当 o ) 时，同宿环三为内侧稳定( 不稳定) 的； ( 2 ) 当吼= 0 ，q o 时，若q 0 ) ，则为稳定( 不稳定) 的； ( 3 ) 当o - 0 = o - , = 0 ，墨o 时，若r l 0 ( 0 ( 0 ) 时，l 为外侧 稳定( 不稳定) 的。 考虑下面的复系统 2 = 拓+ 圪( z ，丢) ，z e c ( 2 2 5 ) 其中 e ( z ，- e ) = a z 2 + 肱+ c 亨2 ； 8 ( z ，- e ) = d z 3 + & 2 - g + f z - 三2 + 伍3 ； 1 0 江苏大学硕士学位论文 e ( z ，三) = h z 4 + l z 3 三+ 庞2 三2 + 舷3 + 历4 ； e ( z ，习= m z 5 + 切4 - f + o z 3 三2 + 尼2 牙3 + q z f 4 + r 手5 ； e ( z ，- e ) = s z 6 + t z 5 - 三+ u z 4 三2 + v z 3 - f 3 + 耽2 牙4 + x z - 三5 + 防6 ； 巧( z ，- e ) = z z 4 孑3 + 9 7 ( z ，_ ) 令，2 = z - 三, o = a r c t a n o m ( z ) r e ( z ) ) ，则系统( 2 2 5 ) 可化为 d r 泛+ 匣1 ( f e + f z ) 2 r = 矿_ = = _ d oz - - z 一匠 1 + ( f e f z ) 2 j r 2 f ( z ，习= 七垃，f k ( e t op 枷) ，( 2 2 6 ) 可进一步化为 d r d 口 ，r e ( 最( 动伸 1 + ，i m ( s k + l ( 呦 _ _ 七l ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 其中瓯( d = e 一一f k ( e i oe 叫一) 。 设( 2 2 7 ) 的满足r ( 0 ，) = r o 的解为r ( o , r o ) ，把它展开可得 r ( o , r o ) = r o + “2 ( d 2 + h 3 ( o ) r 0 3 + + u n ( o ) r o 玎+ ，且砧。( 0 ) = 0 ( 小2 ) ， 于是( 2 2 7 ) 的p o i n c a r 6 映射为p ( r o ) = r ( 2 万，r o ) ，如果当m 2 时，“。( 2 万) = 0 衡 成立，那么原点是系统( 2 2 5 ) 的中心；如果存在m 使得u 胛( 2 万) 0 ，那么原点 是系统( 2 2 5 ) 的焦点，设“。( 2 万) 是第一个不为零的数，我们知道此时m 必是 一个奇数，即m 可表示为所= 2 k + l ，我们就称原点为系统( 2 2 5 ) 的k 阶细焦 点，( 2 力为系统( 2 2 5 ) 的k 阶l i a p u n o v 常数( k 阶焦点量) ，记为k 。 定理2 5 ( a r m e n g o lg a s u l l ， 2 7 】) 系统( 2 2 5 ) 的一阶l i a p u n o v 常数和二 阶l i a p u n o v 常数的表达式如下： k = 2 n ( r e ( e ) 一i n l ) ) ； 圪：詈 6 r e ( o ) + i m ( 3 e 2 6 d f + 6 a - 一1 2 b y 一8 c h 一2 c g ) j + r e ( 一8 c c e + 4 a c f f + 6 a b f + 6 b c f 一1 2 8 2 d 一4 a c d 一6 a b d 一+ 1 0 b e 西+ 4 a c g + 2 b c g ) + i m ( 6 a b 2 c + 3 a 2 8 2 4 a 2 b c + 4 8 3 c ) 】 由于三阶l i a p u n o v 常数的表达式太长，在这里我们就不给出它的具体表达 式了，详细的情况可参考 2 7 】。 江苏大学硕士学位论文 第三章一个五次扰动哈密尔顿系统的极限环的分支 3 1 系统的引入与未扰系统的相图分析 在本章中我们考虑这样一个近哈密尔顿系统： 戈= 孟- x 2 y 4a l u , x 4 y + 了1 3 x 2 y 3 + 等峭( 枷1 0l u 。 51 0 “7 夕= 一三+ x 1 03 一鲨1 0 + 砂2 一塑5一堡1 芝0 + g q ( x ，y ) ( 3 1 ) y = 一+ 。一+ 驯一l 一l + g u f x y lf 3 】、 l 、j j y ? 一。 其中占0 ，p 7 ( x , y ) ，q 7 ，y ) 是关于原点0 旋转2 z 3 不变的，且它们分别为 f ( z ，动= ( 4 + 4 | z 1 2 + 4h 4 ) 三2 + ( 4 + 4h 2 ) + ( 以+ 4l z | 2 + 4h 4 + 鸣l z l 6 ) z + ( 4 0 + 4 li z l 2 ) z 4 + 4 2 2 7 的实部和虚部，其中今= 吩+ i b j ( j = 1 ，2 ，1 2 ) ，z = x + i y ，z = x - i y ，f 2 = - 1 , a ，哆， x , y r 。 我们很容易验证系统( 3 1 ) 是一个z ，不变系统，它是一个哈密尔顿系统当 且仅当 a 6 = 0 ，a 7 = 0 ，a 8 = 0 ，a 9 = 0 a 2 + 4 a l o = 0 ，如一锅o = 0 ， 2 a 3 + 5 a q l = 0 ，地一5 岛1 = 0 ，a 5 + 7 a 1 2 = 0 ，玩一7 l j l 2 = 0 我们知道当占= 0 时，系统( 3 1 ) 被称为是未扰系统，而且还是一个哈密尔 顿系统，哈密尔顿函数如下： 日( 而) ，) ：一x 2 x 4 t - 一3 1 6 + 一y 2 一一x 2 y 2 + 3 x 4 y 2 一i 盟+ 型( 3 2 ) 7 2 0 4 2 0 2 022 042 06 0 、7 通过分析我们知道，未扰系统一共有2 5 个奇点：中心d ( 0 ，0 ) ，a ( i = 1 ，2 ，1 2 ) ， 鞍点s o = l 2 ，1 2 ) ，特别地我们有 如( 0 ，1 1 4 9 0 8 ) ，呜= ( 1 3 ，0 ) ，墨= 0 ) ，s s ( 0 ，0 3 2 8 9 2 9 ) 。 由哈密尔顿函数的表达式直接计算可得 日( d ) = o , h ) = 啊o = 1 2 ，6 ) ，h ( s ，) = o = 1 2 ，6 ) ，h ( s ，) = h 3 ( i = 7 ，8 ， 1 2 ) ，日鸭) = h 4 ( j = 7 ，8 ，1 2 ) ，其中j l l - 0 1 0 1 2 7 ，= _ 0 0 5 ，呜o 0 0 2 6 3 0 9 7 ， 死0 0 0 2 6 7 4 9 。 江苏大学硕士学位论文 我们可以把由日似y ) = 所定义的曲线分成以下几类： ( 1 ) r o = 魄) ，由六个中，o a ( i = 1 2 ，6 ) 组成； ( 2 ) r ：= u ：。r 乞( h i j l 吃) ，由六族分别环绕a 的闭轨r 乞i c f = 1 2 ，6 ) 组成； ( 3 ) r 争= u 6 。r h 2 ，( h = h 9 ，由六个鞍点s 及异宿环r 乞组成，其中r 乞= l s j ， 一+ lu l s 川，s j ( j = 1 ，2 ，5 ) ，r = l s 。，& u l s 6 ，岛，l s ；，墨表示从鞍点s ，到鞍点s 之间 的连线； ( 4 ) t = u 乞，r 乞他 j l 0 ) ，由两族闭轨r l 与r h ，2 组成，其中r 乳环绕 o ，a ，s ，o = 7 ，8 ，1 2 ) ，r ：2 环绕所有的2 5 个奇点； ( 5 ) r ：= r ：，u o u r ；，： - - o ) ，由闭轨r ：l ，r b 与原点组成，其中畦。环绕 o ，a ，s ，o = 7 , 8 ，1 2 ) ，r ：2 环绕所有的2 5 个奇点； ( 6 ) r h = u 0 t ，( 0 h 3 ，由三族闭轨组成，其中r ：，。环绕d ，r ：。：环绕 0 ，a ，s ( 江7 ，8 ，1 2 ) ，r ，环绕所有的2 5 个奇点；。 ( 7 ) t 3 = u 凳。r h ，3 j q = 吃) ，由六个鞍点$ 及异宿环r 笼组成，其中t = l s j ， s j + lu l s y “q ( | = 7 ，8 ，1 1 ) ，r h ，1 2 2 = l s 7 ，岛2u 三岛2 ，岛，吼。勺表示从鞍点s i 到鞍点s 之 间的连线，r 急是环绕所有2 5 个奇点的一条闭轨； ( 8 ) f ：= u n 瑚r 色 ) ，由六族分别环绕a 的闭轨i ：。，1 3 f = 7 ，8 ，1 2 ) 组 成； ( 9 ) t 4 = u ：! ，au r ，h ，4 。( j l = 啊) ，其中r 身是环绕所有2 5 个奇点的一条闭轨； ( 1 0 ) r o ( 啊 ) ，f i f o 是环绕所有2 5 个奇点的一条闭轨。 由以上分析就可得到未扰系统的相图，如图3 1 所示。 3 2 系统m e l n i k o v 函数的计算及双同宿环存在性分析 当0 占 1 时，系统奇点的个数不会发生变化，我们分别用a ( 砂，s 。( s ) 表 示系统( 3 1 ) 靠近a ，s ，o = 1 ，2 - - , 1 2 ) 的奇点。一般说来，经过扰动之后，奇点 的连线三墨，墨+ l ，工岛+ l ，岛o = 1 ，2 ，5 ，7 ，8 ，1 1 ) ，岛，工，岛，岛，西2 ，三岛2 ，岛会发生破 江苏大学硕士学位论文 裂。我们用d ( l s ，毋小占) 表示稳定流形s ，( 占) 和不稳定流形s ( g ) 之间的距离，它 可以用m ( l s ，s ) 来表示。由【2 6 】我们有下面的引理成立。 万余 一 贰。划 斌登等g 刃 n彭f 、 图3 1 未扰系统的相图 引理3 2 1 当0 0 ，l s ，s ，表示未扰系统的两相邻鞍点之间的连线，且 m ( l s , ，q ) 2k q 7 ( x ，y ( x ) ) d x k 丹p t ( x ( y ) ，y ) 毋0 4 ) 注意到系统( 3 1 ) 是一个z ，不变系统，因此我们有下面的引理成立。 引理3 2 2 当0 s 1 时，我们有 m 吼，s 2 ) = m 仁s 3 ，瓯) = m 仁岛，s 6 ) ，m s 2 ，s i ) = m & ，s s ) = m 3 6 ，岛) ， m ( 1 , s 2 ，s s ) = m s 4 ，s 5 ) = m 犯& ，墨) ，m s 3 ，s 2 ) = m 仁3 5 ，) = m 仁函，氏) ， m ( 二岛，) = m ( l s 9 ，西o ) = m 但& l ，吼2 ) ，m 仁氏，s t ) = m 岛o ，岛) = m 仁西2 ，岛1 ) ， m 仁黾，s g ) = m 仁岛o ，1 ) = m 弛西2 ，岛) ，m 仁$ ，) = m 仁& l ，3 1 0 ) = m 弛岛，3 1 2 ) 未扰系统的相图是关于坐标轴对称的，因此利用m a t h e m a t i c4 1 我们可以得 到岛，屯，三屯，岛的图像，如图3 2 和3 3 所示，其中y = y 3 2 ( 砷，y = y 2 3 ( 力， z = 为2 ( y ) ，工= x 2 ，( y ) 都是由方程日( 毛y ) = 0 0 0 2 6 3 0 9 7 决定的； 易知 西= 0 5 ，y l 0 8 6 6 0 2 5 ，而订0 8 4 8 2 7 9 ，订1 3 2 7 1 8 是由方程h ( o ，y ) = - 0 0 5 决 定的。同样地，我们也可以得到未扰系统的三，三岛，瓯的图像，如图3 4 和图 1 4 江苏大学硕士学位论文 3 5 所示。 渤， 、 n 州一 ( i ：1 z 一 。 s 3y 1 图3 2 l s 3 ，8 2 ，= - 雪如) 忙时一) s l | ， i f 图3 4l 氏，岛 ，：- ，一i ) “：甘，) ) 州i ) ( f 嗣妇) ) y 2 ( x = ，i s i 父 。 ， 图3 3l s 2 ，岛 k 麓 j ? jf 一 必 s 5 - y l 图3 5l s 5 ，& 由引理3 2 1 ，利用m a t h e m a t i c4 1 ，我们就可以得到m e l n i k o v 函数的表达 式了。 引理3 2 3 当0 占 一 i t = - y l ( 1 ) - 2 ( i - x i ( - y ) ) 图3 7 s t s - 鼬 l 8 1 0 ，s y = ，( 1 ) x - =1 ( y ) ) r 弋： ，一 i 、 _ 。i 、 f 。 ：二一一一一 ( f1 ( 1 ) ) 图3 9 l $ 7 ，而2 做同样的分析，我们可以得到三s ，s z 。，l s n 。，s 9 ，岛：，s ，b ，岛：的图像，如图 3 6 _ 3 9 所示，其中y = y 9 。( 力，y = 乃。9 似z = 玛l 。( 力，x = x t 。，( y ) 都是由方程 日似y ) = 呜决定的；易知而o 2 8 4 8 6 1 , y 2 o 1 6 4 4 6 4 ，而葛o 3 1 0 4 4 , # o 3 5 4 9 8 5 是由方程日似0 ) = 鬼决定的。 1 7 江苏大学硕士学位论文 由引理3 2 1 ，利用m a t h e m a t i c 4 1 ，我们就可以得到m e l n i k o v 函数的表达式了。 引理3 2 4 当0 占 1 时，m 禺，西o ) ，m ，禺) ，m ( l s l 2 ，s 7 ) ，m s 7 ，s 1 2 ) 分 别有下面的表达式： m 禺，& o ) 0 0 2 3 7 2 5 5 a 1 + 0 0 0 2 9 2 0 1 a 2 0 0 0 0 3 5 9 5 8 a 3 0 0 0 0 ( ) 0 6 8 3 5 0 5 a 5 0 1 2 4 5 6 3 a 6 - 0 0 1 4 8 4 9 7 a 7 - 0 0 0 1 7 7 4 1 7 a 8 0 0 0 0 2 1 2 4 2 a 9 + 0 0 0 3 9 7 9 5 2 嘶。一0 0 0 0 2 9 6 3 9 5 a 1 1 + 0 0 0 0 0 0 9 0 8 8 7 3 a 1 2 ； m & o ，s 9 ) - 0 0 2 3 7 2 5 5 a l 一0 0 0 2 3 5 6 7 3 a 2 0 0 0 0 2 3 4 3 1 9 a 3 0 0 0 0 0 0 2 6 2 6 7 a 5 + 0 1 0 5 1 2 9 a 6 + 0 0 1 0 5 6 7 2 a 7 + 0 0 0 1 0 6 3 5 3 a 8 + 0 0 0 0 1 0 7 1 7 8 a 9 - 0 0 0 1 7 2 6 0 7 t h o - 0 0 0 0 1 6 9 2 0 2 q1 + o 0 0 0 0 1 8 3 8 6 9 q 2 ； m 仁岛2 ，。勖) - - 0 0 2 3 7 2 5 5 a l 一0 0 0 2 9 2 0 1 a 2 0 0 0 0 3 5 9 5 8 a 3 0 0 0 0 0 0 6 8 3 5 0 5 a 5 - 0 1 2 4 5 6 3 a 6 - 0 0 1 4 8 4 9 7 a 7 0 0 0 1 7 7 4 1 7 a 8 0 0 0 0 2 1 2 4 2 a 9 - 0 0 0 3 9 7 9 5 2 a l o 一0 0 0 0 4 8 2 3 5 5 啊l 一0 0 0 0 0 4 7 8 4 5 3 a 1 2 ； m 但s 7 ，岛2 ) 0 0 2 3 7 2 5 5 a l + 0 0 0 2 3 5 6 7 3 a 2 + 0 0 0 0 2 3 4 3 1 9 a 3 0 0 0 0 0 0 2 6 2 6 7 a 5 + o 1 0 5 1 2 9 a 6 + 0 0 1 0 5 6 7 2 a 7 + 0 0 0 1 0 6 3 5 3 a 8 + 0 0 0 0 1 0 7 1 7 8 a 9 + 0 0 0 1 7 2 6 0 7 a l o + 0 0 0 0 1 6 9 2 0 2 t hl 一0 0 0 0 0 1 8 3 8 6 9 c 1 1 2 0 6 ) 证明：计算m e l n i k o v 函数m $ ，墨o ) ： l ，q t ( x , y ) d x = o 7 ( x , y o 一。渺+ 璧q 7 “一y 9 ，。膨 = a h k ，5 + 口2 k ，5 + 口3 局，5 + 口5 k ，5 + 口6 k 。5 + 口7 玛，5 + 口8 k ，5 + 口尚。5 + 口l o k o 5 + 口1 1 k l 。5 + 口1 2 墨2 ，5 ； l ，呦p t ( x , y ) d y = b ( 为t 。( y ) ，y ) a y + - y 2 弓t 。( 一) ，) ，y ) a y = a l g , ，6 + 口2 k 2 ，6 + 口尥，6 + 口5 k 5 ，6 + 口6 蚝，6 + 口7 k 7 。6 + 口艉。6 + 口尚。6 + q o k o ，6 + 口l l k l ，6 + 口1 2 k 2 ，6 计算m e l n i k o v 函数m 陋研o ，s 9 ) ： l 油q 7 ( x ，y 渺2k q 7 ( x , 一y l 。，( 桃+ 圬q 7 ( x ，y l 。，舭 ，h，_ 勋 = 口l k 。7 + 口2 k ，7 + 口3 k ，7 + 口5 k 5 。7 + 口6 瓦，7 + 口7 k 7 ，7 + 口8 k ，7 + 口9 玛，7 + 口l o k o ，7 + 口l k l 。7 + 口1 2 墨2 。7 ； l o ，匈弓o ，y ) a y = 厶弓“。，( - y ) ，y ) a y + f 耽另“。，( y ) ，y ) a y = q k ，8 + 口2 ，8 + 口3 墨。8 + 口5 k ，8 + 口6 蚝，8 + 口7 局，8 +