（凝聚态物理专业论文）快速hankel变换在zscan中的应用.pdf

论文题目：怯进h ! ! k 由变携垄圣：s 垫电查鲢j 作者简介：拯堑堕，昱，l 垒2 生年生，2 立q 王年从师于里建国教授，于2 q q 年壹月毕业于南 开大学越聚查物理专业，并获l 学硕士学位。 摘要 本课题由国家自然科学基金资助项目( 批准号：6 0 0 2 5 5 1 2 ) ，教育部科学技术研究重点 ( 重大) 项i b 资助( 批准号0 0 0 2 6 ) ，高等学校骨干教师资助计划资助，霍英东教育基金会 资助。 通常z - s c a n 实验中，人们采用高斯光束，对于小的非线性相移，可以通过对归一化透 射率曲线的分析来得到非线性系数的大小和符号。高斯光束是理想情况下的激光基模输出， 在很多情况下，例如，一些染料激光器和半导体激光器输出的激光往往不是高斯光束。为此 z h a o 等人提出了t o p - h a t 光束下的z - s c a n 方法，在理论处理上他们采用了一个理想的t o p h a t 光柬，即限制光阑前的光束为一平面波，理论和实验结果证明，测量灵敏度提高了2 5 倍。 但是对于实际的光束情况，我们往往只能得到一种近t o p h a t 光束，即限制光阑处的电场分 布和径向有关，我们详细讨论了近t o p h a t 光束下限制光阑、扩束半径、远场探测光阑的大 小对归一化透射率的影响。 我们利用快速h a n k e l 变换的方法，对薄介质的z 扫描进行了理论分析。讨论了近t o p h a t 光束z 扫描曲线的特征，分析了闭孔近t o p h a t 光束下限制光阑半径与光束扩柬半径之比( 光 阑束腰比) 对归一化透射率的影响，通过理论分析，给出了获得最佳测量灵敏度的光阑束腰 比值。在最佳灵敏度的实验配置下分析了远场光阑的大小对归一化透射率的影响。利用对称 法和相除法分别应用在近t o p h a t 光束下闭孔z s c a n 理论中，来提取非线性折射和非线性吸 收对z s c a n 的影响。 关键词：高精度快速h a n k e l 变换，近t o p h a t 光束，g a u s s i a n 光束，z 扫描 研究成果： 1 杨新江，第一作者，近t o p - h a t 光束z 扫描理论分析，物理学报，2 0 0 5 年6 月 t i t l eo f t i l ed rd e g r e e 。st h e s i s ：a p p l i c a t i o no nz - s c a nt h r o u g hf a s th a n k e lt r a n s f o r m i n t r o d u c t i o no ft h ea u t h o r ：y a n gx i n - j i a n g , w a sb o r no n ! 盟1 ，! ! ! ! u n d e rt h eg u i d a n c eo f p r o f t i a n j i a n - g u o , h ew a sa w a r d e dt h em a s t e r d e g r e eo f s c i e n c ea tn a n k a iu n i v e m i t yi n2 q 篮 a b s t r a c t ： t h i sr e s e a r c hi ss u p p o r e db yp r o j e c t6 0 0 2 5 5 1 2s u p p o r e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c e f o u n d a t i o no fc h i n a , t h ek e yp r o j e c to fc h i n e s em i n i s t r yo fe d u c a t i o n ( n o ，0 0 0 2 6 ) ，t h e f o u n d a t i o nf o ru n i v e r s i t yk e yt e a c h e rb yt h em i n i s t r yo fe d u c a t i o n ，a n dy d h u oe d u c a t i o n f o u n d a t i o nc o m m i t t e ew i t hg r a n tn o 7l0 0 8 t od a t e ，p r i m a r i l yg a u s s i a nb e a m sh a v eb e e nu s e di nz - s c a nm e a s u r e m e n t s ，w ec a no b t a i n n o n l i n e a rc o e f f i c i e n tt h r o u g hn o r m a l i z e dt r a n s m i t t a n c ec u r v e sf o rl i t t l en o n l i n e a rp h a s es h i f t g a u s s i a nb e a m sa r en o ta l w a y sr e a d i l ya v a i l a b l e s u c ht h a tt h eo u t p u tb e a m sa r en o tg a u s s i a n b e a m sf o rd y el a s e ra n ds e m i c o n d u c t o rl a s e rc o m m o n l y s oz h a oe t cs u g g e s t e dz - s c a nm e t h o d s u n d e rt o p - h a tb e a m s ，t h e o r e t i c a l y , t h e yu s e dt o p - h a tb e a m st h a ti sp l a n ew a v eb e f o r el i m i t i n g d i a p h r a g m i th a sb e e np r o v e dt h a tm e a s u r es e n s i t i v i t yi si m p r o v e db y2 5t i m e st h e o r e t i c a l l ya n d e x p e r i m e n t a l l y b u ti nf a c tw ec a no n l yo b t a i nn e a rt o p - h a tb e a m sg e n e r a l l y , a n de l e c t r i cf i e l d d i s t r i b u t i o ni sr e l a t e dt or a d i a li nl i m i t i n gd i a p h r a g m u s i n gf a s th a n k e lt r a n s f o r m ，w ea n a l y z et h ez s c a nt h e o r yo ft h i no p t i c a l l yn o n l i n e a r m e d i u m w ed i s c u s st h ec h a r a c t e r i s t i c so f z - s c a nc u r v e su n d e rn e a rt o p - h a tb e a m s w ed i s c u s st h e n f l u e n c eo ft h ed i a p h r a g m g r i d l i n gr a d i u sa n dr a t i o ( d i a p h r a g m - g i r d l i n gr a t i o ) o ft h el i m i t i n g d i a p h r a g mr a d i u s ot h ee x p a n d e db e a m sr a d i u s0 1 ) n o r m a l i z e dt r a n s m i n a n c eu s i n gn e a rt o p h a t b e a m s ，7 i h r o u g ht h e o r e t i c a la n a l y s i s ，t h er a t i ow i t ht h eb e s ts e n s i t i v i t yi sg i v e nw ea n a l y z et h e n f l u e n c eo ft h cs i z eo ft h ef a rf i e l d d i a p h r a g m o nn o r m a l i z e dt r a n s m i t t a n c eu n d e rt h e e x p e r i m e n t a lc o n f i g u r ew i t ht h eb e s ts e n s i t i v i t y a tl a s tw ee x t r a c tt h ei n f l u e n c eo fn o n l i n e a r r e f r a c t i o na n dn o n l i n e a ra b s o r p t i o no nz s c a nc u r v e su n d e rn e a rt o p h a tb e a m si nc l o s e d a p e r t u r e z s c a nw i t hs y m m e t r ya n dd i v i s i o nm e t h o d s k e y w o r d s ：h i g h a c c u r a c yf a s t h a n k e lt r a n s f o r m ，n e a rt o p - h a tb e a m s ，g a u s s i a nb e a m s ， z - s c a n r e s e a r c ha c h i e v e m e n t s ： 1 k h n gx i n j i a n g ，z a n gw e i p i n g ，t i a nj i a n g u o z s c a na n a l y s i sf o rn e a rt o p - h a tb e a m s ，a c t a p h y s s i n ，( 2 0 0 5 ) 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版：在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：前荡撕厶 p s 年s 只ib 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：才e 铴l ，l 一厂年，月j 日 - - - j 一 刖罱 近二十年来，非线性光学【1 8 1 及其应用领域的研究受到广泛的关注和重 视。它的迅速发展已证明，它在光计算、信息处理、激光通信、光限制器 9 。4 1 等方面具有十分广阔的应用前景。自从激光出现以来，不同机制的光 学非线性相继被发现和研究，它们包括热光非线性、非线性吸收、自由载 流子及束缚电子光学非线性、二阶串级光学非线性等诸多类型。非线性材 料的非线性性质在应用方面向人们展示了其巨大的价值。 自从s h e i k b a h a e 等人提出了测量材料非线性的z s c a n 方法【1 5 。16 】，这 种方法就被广泛地应用于材料的非线性系数的测量i ”。柳中。z s c a n 技术是 一种简单且灵敏的测量材料非线性光学( 非线性吸收、折射、散射等) 的 方法。它基于一束通过样品的光产生自聚焦和自散焦的原理。样品在焦点 处沿着光的透过方向( z 轴) 移动，通过在远场处光强的变化来测定样品 的光学非线性。有关z s c a n 的基本原理我们将在第一章中进行介绍，并介 绍仅考虑双光子吸收的z s c a n 理论。 对于薄介质最常采用的分析方法是高斯分解法( g d ) 1 9 j ，快速傅立叶变 换法( f f t ) ，采用菲涅尔( f r e s n e l ) 衍射【2 1 - 2 2 】等。一般情况下，电场为具有 中心对称或径向对称性的函数，于是我们可以采用快速h a n k e l 变换方法对 z s c a n 进行理论分析。在第二章中，我们详细讨论了快速h a n k e l 变换算 法以及它在薄介质高斯光束下z s c a n 中的应用。 通常实验中，人们采用高斯光束，对于小的非线性相移，可以通过对 归一化透射率曲线的分析来得到非线性系数的大小和符号1 1 。高斯光束是 理想情况下的激光基模输出，在很多情况下，例如，一些染料激光器和半 导体激光器输出的激光往往不是高斯光束。为了解决这个问题，z h a o 等人 提出了t o p h a t 光束下的z - s c a n 方法防2 “，在理论处理上他们采用了一个 理想的t o p h a t 光束，印限制光阑前的光束为一平面波，理论和实验结果证 明，测量灵敏度提高了2 5 倍。但是对于实际的光束情况，我们往往只能 得到一种近t o p h a t 光束，即限制光阑处的电场分布和径向有关，我们详细 讨论了近t o p h a t 光束下限制光阑、扩束半径、远场探测光阑的大小对归一 化透射率的影响。本文对近t o p h a t 光束下的z 扫描进行了理论分析，在近 t o p _ h a t 光束的概念下，g a u s s i a n 光束只是近t o p - h a t 光束的一种特殊情况， 即限制光阑的半径为无限大时的近t o p h a t 光束。 在第三章中，我们采用高精度快速h a r t k e l 变换方法( f h a t h a ) 1 2 5 1 来处理光束的传播，对近t o p h a t 光束和g a u s s i a n 光束下的z 扫描进行了 理论分析，得到了近t o p 。h a t 光束下不同光阑束腰比时的归一化透射率曲 线，从而获得到了最佳灵敏度时的实验配置，并讨论了在最佳配置下远场 光阑大小对归一化透射率的影响。 在z s c a n 实验中，可以通过对实验数据的处理来得到物质的非线性折 射和非线性吸收。在第四章和第五章中，我们利用对称法和相除法在近 t o p h a t 光束下闭孔z s c a n 中，方便地一次性提取非线性折射和非线性吸 收对z - s c a n 曲线的影响。 参考文献 1 1s m i t hpw ，t o m l i n s o nw j ，“n o n l i n e a ro p t i c a li n t e r f a c e s ：s w i t c h 2 i n g b e h a v i o r j 】，i e e e q u a n t u me l e c t r o n ，1 9 8 4 ，2 0 ( 1 ) ：3 0 3 6 2 1 张粉英，张勇，“非线性光学效应及其应用”，物理与工程，2 0 0 4 ，1 4 ( 2 ) ： 3 5 - - 3 9 【3 】郝红等，“非线性光学聚合物材料的研究进展”，高分子材料科学与工 程，2 0 0 3 ，1 9 ( 3 ) ：3 5 3 9 【4 】尹国盛等，“非线性光学及其若干新进展”，物理，2 0 0 2 ，1 1 ：7 0 8 7 1 2 【5 】钱世雄等，非线性光学原理与进展。上海：复旦大学出版杜，2 0 0 1 6 吴林，赵波，“非线性光学和非线性光学材料”，大学化学，2 0 0 2 ，1 7 ( 6 ) ： 2 1 2 8 7 赵丽娟，“非线性光学效应与光速减慢”，物理学进展，2 0 0 1 ，2 1 ( 4 ) ： 3 8 5 3 9 】 【8 】吴克琛，“分子非线性光学材料的研究进展”，光电子技术与信息，2 0 0 0 ， 1 3 ( 3 ) ：1 4 1 7 9 】y a nj i x i n g ，z h o ur e n z h o n g ，y ux i n ，“c a l c u l a t i o no f t h ei s o p l a n a t i c p a t c h f o r m u l t i c o n j u g a t ea d a p t i v eo p t i c s ”o p t i c a l e n g i n e e r i n g ，1 9 9 3 ，3 2 ( 1 2 ) ： 3 1 6 1 3 】6 3 1o y a h j i x i a n g ， y ux i n ， z h a o d a z u n ，z h o u r e n z h o n g “t 0 m o g r p a h i c p r i n c i p l e o f m u l t i c o n j u g a t ec o r r e c t i o n i n a d a p t i v e o p t i c s ”，jo f b i t ，1 9 9 5 ，4 ( 2 ) ：1 5 6 1 5 9 11 】t u t tlw ，k o s ta “o p t i c a ll i m i t i n gp e r f o r m a n c eo fc 6 0a n dc 7 0 s o l u t i o n s j 】”，n a t u r e ，1 9 9 2 ，3 5 6 ( 1 9 ) ：2 2 5 2 2 6 宋瑛林，王瑞波，殷凤田等，“1 c 6 0 p s 复合材料的反饱和吸收与光 限幅特性”，光学学报，1 9 9 4 ，1 4 ( 9 ) ：9 9 5 9 9 7 宋瑛林，王玉晓，方光宇，“有机铬富勒烯衍生物的激光发态与光限幅 特性”，光学技术，1 9 9 9 ，2 ：6 3 6 5 旌德恒，许启富，“基于非线性光学理论的激光防护材料近况”，光学 技术，2 0 0 0 ，2 6 ( 1 ) ：5 2 - 5 8 【1 5 m s h e i k b a h a e ，a a s a i d ，a n de w v a ns t r y l a n d “h i g h s e n s i t i v i t y ， s i n g l e b e a mn 2m e a s u r e m e n t s ”，o p t i c sl e t t 1 9 8 9 ，1 4 ( 1 7 1 ：9 5 5 9 5 7 【1 6 m s h e i k b a h a e e ta l “s e n s i t i v em e a s u r e m e n t o f o p t i c a ln o n l i n e a r i t i e s u s i n gas i n g l eb e a m ”，i e e e j q u a n t u me l e c t r o n1 9 9 0 ，2 6 ( 4 ) ：7 6 0 - 7 6 9 1 7 1 周文远，田建国等，“克尔介质中瞬态热光非线性效应的作用”，物理 学报，2 0 0 4 ，5 3 ( 2 ) ：6 2 0 - - 4 2 5 1 8 】陈煜，“8 一辛烷氧基金属酞菁的皮秒三阶光学非线性与光限幅特性”， 物理学报，2 0 0 2 ，5 1 ( 3 ) ：5 7 8 5 8 3 1 9 w e a i r ed ，w h e r r e t tbs m i l l e rd ab e ta l ，“e f f e c to fl o w2 p o w e r n o n l i n e a rr e f r a c t i o no nl a s e rb e a m p r o p a g a t i o ni ni n s b ”，o p t l e f t ，19 7 9 ， 4 f 1 0 1 ：3 1 1 - 3 1 3 2 0 h u g h e ss ，b r a z i e rjm ，s p r u c eg e ta l ，“f a s tf o u r i e rt r a n s f o r mt e c h n i q u e s f o re f f i c i e n ts i m u l m i o no fz 2 s c a nm e a s u r e m e n t s ”，j o p t s o c am ( b ) ， 1 9 9 5 ，1 2 ( 1 0 、：1 8 8 8 1 8 9 3 2 1 】s a m a d r e ，v i e i r a n d ，jlj ，“a n a l y t i c a ld e s c r i p t i o no f z s c a no n 2 a x i s i n t e n s i t yb a s e do nt h eh u y g e n sf r e s n e lp r i n c i p l e ”，j o p t s o c ai n ( b ) ， 1 9 9 8 ，1 5 ( i 1 、 2 7 4 2 - 2 7 4 7 2 2 y a ob a o l i ，r e nl i y o n g ，h o ux u n ，“an e wz 2 s c a nt h e o r yb a s e do n d i f f r a c t i o n m o d e l ”，a c t a o p t i c asi n i c a ( 光学学报) ，2 0 0 2 ，2 2 ( 1 ) ：1 9 2 3 4 ( i nc h i n e s e s ) 【2 3 】w z h a oe t a l ，“z s c a n t e c h n i q u e u s i n g t o p h a t b e a m s ”，a p p l p h y s l e t t 1 9 9 3 ，6 3 ( 1 2 ) ：1 6 1 3 - 1 6 1 5 【2 4 w z h a oa n de p a l f f y m u h o r a y ，“z s c a nm e a s u r e m e n to f z 3 1u s i n g t o p - h a tb e a m s ”，a p p l ，p h y s l e t t 1 9 9 4 ，6 s ( 6 ) ；6 7 3 6 7 5 2 5 v i t t o r i om a g n i ，g i u l i oc e r u l l o ，a n ds a n d r od es i l v e s t r i ，“h i g h a c c u r a c y f a s th a n k e lt r a n s f o r mf o r o p t i c a l b e a m p r o p a g a t i o n ”， j o p t s o c a m a 1 9 9 2 ，9 ( il 、：2 0 3 1 - 2 0 3 3 第一章z - s c a n 测量方法与基本理论 1 。1 z - s c a n 测量技术 如图1 1 所示，使用紧聚焦的单束高斯光束，在远场测量通过有限 孔径光阑的透过率t 和样品相对于焦平面的位置坐标z 的关系，这就是 z - s c a n 测量技术“。下面用一个例子来定性解释一下这样一种t z 曲线与 样品的非线性折射率的关系。 圈l _ lz - 啦实验装置咖，作为梯i 甄位置的西敦，m ，是撵蔫器。 假定一种具有负非线性折射率的材料，它的厚度远小于共焦参数( 此 为薄介质情形) 。它在激光束的作用下感生的k e r r 透镜可以被认为是一个 焦距可变的透镜。从远离焦点( 负z ) 处开始扫描。开始时，光束照度较 低，非线性影响可忽略，因此透过率( 图l 一1 中啦d ) 保持常数。当样 品逐渐靠近焦点时，光束强度增大，引起样品中的自透镜反应。一个先于 焦点的负自透镜效应将准直光束，引起在远场光阑处的光束变窄，从而导 致测量的透过率增加。如沿z 方向的扫描是连续的，当样品通过焦平面到 达焦平面的右边时( 正z ) ，同样的负自透镜效应增加了光束的发散，导致 光阑处光束的展宽和透过率的下降。当样品继续沿z 方向远离焦平面，透 射又回到了线性情形，因为光束照度又降低了。 对于所有的t z 曲线，一个先于焦点的透镜极大( 蜂) 与一个后 于焦点的透镜极小( 谷) 反映了介质负折射非线性的特征。对于正的折射 非线性的介质，通过类似分析，可得到一个相反的峰谷结构。所以，折射 非线性的符号可以立即从实验数据中得到。 值得注意的是，在上述分析中仅仅考虑了非线性折射效应，假定没有 非线性吸收( 如多光子吸收或吸收的饱和) 。定性上来说，多光子吸收的 作用是抑制透射峰而增强谷，吸收饱和产生相反作用。透过率对介质非线 性折射率的灵敏性完全依赖于远场光阑的设置。移开光阑时，则完全消除 这种效应。但是，在这种情形下，z - s c d f i 仍然对于介质的非线性吸收和非 线性散射敏感。非线性吸收系数能够从这种“开”光阑实验中萃取出来。 实际上，在闭光阑的情况下，可能有三种非线性机制被包含：非线性吸收、 非线性散射和非线性折射。在以后的章节中我们将把非线性吸收和非线性 折射综和起来考虑其在光学限制方面的作用。 1 2薄非线性介质的z - s c a n 理论 关于强光束在非线性介质中的传播，人们已作了大量的研究2 1 。考虑 图l 一1 的装置，我们将论述一种基于对现存理论作修改后的简单方法来 分析zs c e t l 3 。 一般情况下，对于立方非线性介质，其折射率由下式给出： = n 。+ 2 1 2 2 = o + 芦( 1 - 1 ) 这里f l 。是线性折射率，e 是峰值电场，i 表示光强。n 。和y 关系为： n 2 ( e s u ) = ( c 4 0 n ) y ( m 2 w ) ( 1 2 ) 设一束束腰半径为的t e m 。高斯光束沿+ z 方向传播，电场如下： 眦力吲，高e 坤卜南一焉卜“ m ， 这里w ( z ) = w o o + z 2 2 ) ”是光束半径，月( z ) = z o + z 0 2 z 2 ) 是z 处的波前 曲率半径，毛是光束的共焦参数，z o = 7 r w 0 2 z ，a 是激光波长；e o ( f ) 表 示包含脉冲时间包络的焦点处辐射电场；e 1 耐”包含了所有径向无关的相 位变化，因为我们只关心径向相位变化西( r ) ，应用慢变包络近似( s v e a ) f 3 1 所有与r 无关的位相都被忽略。 如果介质厚度l 足够薄，以致由于衔射和非线性折射引起的介质中光 束直径的变化可忽略不计，位相变化o 和光强i 由下述方程决定： 这里z 是光束在样品中的传播深度。一般情况下，a ( i ) 包括线性和非线 性吸收。 掣一2 xan(i)(1-4) a z d - i = - a ( 1 ) l 0 - 5 ) 在忽略非线性吸收的情况下，解( 1 - 4 ) ，( 卜5 ) 两式，并考虑到 ，= c g o r i 0 1 e i2 2 ，可以得到： 喇州，垆差唧( 亳 m s ， 气。 a 由。( t ) 是焦点处轴上相移，定义为： 喇忙等州 ( 1 7 ) 这里上。= ( 1 一- a l ) l a ，l 为介质厚度，a 是线性吸收系数；a n o ( t ) = ，c j ( ，) ， i o ( t ) 是焦点处轴上光强。如果忽略掉表面的菲涅尔反射损耗，l o ( t ) 是介质 中焦点处轴上光强。 穿过样品的电场e 。现在包含了非线性相位畸变： e ( r ，t ，z ) = e ( r ，t z ) e “7 2 e 1 6 ，2 通过光阑的功率等于： o ( ( ，) ) = c e o r oj | e p ，f ，z + d ) 22 z r r d r ( 1 8 ) ( 1 9 1 其中r o 为小孔光阑的半径，是真空极化率。归一化透过率t ( z ，f ) ： fg ( a 毋o ( t ) ) d t 丁( z ) = 2 i s - e , ( t ) a t ( 】4 0 ) 这里只( f ) = 月v r o2 ，。( f ) 2 是瞬间输入功率，s = 1 一e x p ( - 2 r f 诟) 。如果入射光 为脉冲激光，可采用时间平均的方法得到同样的结果。另外，当计及非线性 吸收时，z s c a n 曲线的峰谷不再关于坐标原点对称，但可以将闭孔测量的 z s c a n 曲线逐点对应地除以开孔( s = 1 ) 测量的z s c a n 曲线，即可得到峰谷对称 的曲线其余的分析处理同上。 9 1 3考虑非线性吸收效应时的z - s c a n 理论 大的折射非线性常常伴随着共振跃迁，这种共振跃迁可以是单光子和 多光子的情况。直接多光子吸收，单光子吸收的饱和以及自由载流子吸收 对z - s c a n 测量结果有很大的影响。下面只对双光子吸收( t p a ) 的情况进行 分析。 考虑非线性吸收时，( 卜4 ) 、( 卜5 ) 两式改为： 丁d a ：车血( ) ( 1 - 1 1 ) _ d l = - - 0 r i p 1 2 ( 1 - 1 2 ) 上式中a 是通常的线性吸收系数( 如带尾吸收，掺杂吸收等) ，0 是双光子 吸收系数，它正比于x “的虚部。求解以上两式，可得非线性位相改变： m ，z ) = 万2 n 7 l n 1 + m 川形 ( 1 1 3 ) 所以样品出射表面的电场为： 臣：e ( 州，：) e - 。l i 2 1 + ，( r ，f ：) l o z f ；一爿( 1 - 1 4 ) 将上式作泰勒展开后，同样可以得到归一化透过率的解析表达。对于 s 一( ) ，不大的j 九j ( 由式( 1 7 ) 给出) ，光阑处的归一化透过率近似为： 吖小1 一南卜筹( 3 + x ! ) m 啪 图13 给出了由( 1 1 5 ) 式作出的1 1 ( x ) 一x 曲线。从图中可以看到，透过峰 被强烈抑制，这是由于存在双光子吸收的结果强吸收把峰压低，把谷 加深。同时由式( 11 5 ) 看出，当样品靠近焦点时，非线性折射的影响变小； 当样品位于焦点时，透过率的变化完全由双光子吸收引起。 ( 因为 丑钍疙( 2 掣) = f l l o ( f ) t ) 。 o 圈i - 3 通常测量材料的1 3 和y 采用如下程序：首先移开光阑，将所有出射光 聚入探测器d 2 中，此时z - s c a f i 透过率对光束畸变不敏感，仅仅是双光子 吸收的函数，总的透射流可通过积分( 卜1 2 ) 式的解得到。对于i p l o l f f f l 1 ， 归一透过率为： 丁c z ，s = t ，= 毫1 彳：乌三；： c t t s ， o0 z ( i n ) 根据( 1 一1 6 ) 式作出的开阑透过率曲线。其中各参数取值如下： i 产o 2 1 g w c m 2 ，b - 5 8 c m g w ，l e f f ：2 7 咖。因此测量开阑时的透过率曲 线便可萃取出双光子吸收系数1 3 。利用式( 卜1 5 ) ，拟合存在小孔光阑时的 透过率曲线，可以得到y 。 参考文献 【1 】m s h e i k b a h a e ，a a s a i d ，a n de w v a ns t r y l a n d “h i g h - s e n s i t i v i t y ， s i n g l e b e a mn 2m e a s u r e m e n t s ”1 9 8 9 ，1 4 ：9 5 5 9 5 7 2 w l s m i t h ，j h b e c h t e l ，a n d n b l e m b e r g e n ，p h y s r e v b ，1 9 7 6 ，1 2 7 6 0 7 6 3 3 j m m a r b u r g e r p r o g q u a n t u me l e c t r o n 4 ，1 9 7 5 ，3 5 2 第二章快速h a n k e l 变换( f h t ) 在薄介 质z - s c a n 中的应用 2 ，1 离散h a n k e l 变换 h a n k e l 变换( h t ) i - 1 4 1 在许多物理分支领域，比如光学、统计学、电磁 学和分子生物科学等有着广泛的应用1 5 4 0 | 。许多人为了获得快速的计算效 率已经作了许多算法讨论。评测一个算法的标准有两个因素需要考虑：( 1 ) 计算的速度；( 2 ) 原始函数的获取。后者就是人们所说的最佳获取问题。 一个很好的例子是离散傅立叶变换( d f t ) ：快速傅立叶变换( f f 耵使得计算 速度非常快，而且我们也可以从取样定理中知道如何从离散数据中重新构 造函数，不过，由于贝塞尔函数的局限性，严格的d f t 理论还没有出现， 一般我们提到的都是准离散h a n k e l 变换。 h a n k e | 变换和逆h a n k e l 变换由( 2 一1 ) 和( 2 - 2 ) 式给出i 巴 。以f ，1 ) = d ri ( ) 厶( 2 万乞) _ 抽j ( 2 一1 ) ，：( = 2 厅j f ( _ ) ，。( 2 e r r 、q ) r f l r ： 0 ( 2 2 ) 其中 为零阶贝塞尔函数。 这里，i ( ) 和五( ，1 ) 可以是实数也可以是复数。我们假定变换函数分 布在一个有限的区域。这在物理上是合理的，也是计算所必要的。 当，j r ，_ r 2 时，工( 1 ) 和厶( ) 满足： z ( ) ；五( ) s 0( 2 - 3 ) 其中，r j 和r 2 分别是石( ) 和以( t ) 的上限，因此： r 五( 吒) = 2 万z ( ) 山( 2 万t ) 幽 ( 2 - 4 ) 马 彳( 1 ) = 2 石；( ) 山( 2 万) 疵 ( 2 5 ) 以上就是我们常说的有限h a n k e l 变换，在置0 区域内，将_ ( ) 在零阶f o u r i e r - b e s s e l 序列中展开： 胁可2 渺 钟， 肛m 山斛幽 = 去4 蠢 其中y 。是j o 的正根，应用( 2 4 ) 式，我们可以得到： ( 2 6 ) 编，= 去纠- ，；f 洲j o 小l , - 2 ( 柚山旧 p ， 对于厶( ) 有着相似的表达式： l ( r d = 面1 缈”甚j 卜雌i j n ? 2 陪s ， 2 2 f h a t h a 方法1 2 q 对于归一化的光束传播，h a n k e l 变换可以表示为： g ( y ) = 2 ，p ( j ) 2 o ( 2 万n l y x ) x d x ( 2 1 6 ) 这里g ( y ) 是 厂( x ) 的h a n k e l 变换，( x ) 是g ( y ) 的逆h a n k e l 变换，s o 是零 阶贝塞尔函数，从物理和计算的角度看，( x ) 和g ( y ) 都是限制在某个有 限大的孔径尺寸内，因此上式积分上限可以用i 来代替。0 ，作为标准的 h a n k e l 变换形式。可以通过归一化变量，使得在0 蔓x 1 ，0 y 兰1 范围内 来考虑各函数。 为了求解以上积分变换方程，可以将积分离散化。用n + 1 个点 0 = o ，1 ) 把积分区域0 x 1 分隔成n 个小区间，其中 0 = 彘 卣 蟊= 1 ，变换函数，( x ) 在n 个点即= o 1 n 1 ) 取样， 且专，x n + 。现在对于 x 0 ，尽管可以任意选择，但是当取样点在相应的小区间中间时 可以获得更好的结果： x 0 = 1 + e x p ( a ) e x p ( - 口n ) 2( 2 2 0 ) 如果我们按以上定义的取样序列，方程( 2 1 8 ) 变成： 烈2 赤军旷卜八k 1 ) 心 x e x p a ( n + 1 一) 】( 2 - 2 1 ) 2 万，x o e x p a ( n + m + 1 一) 】 其中f ( x 。) ；0 ，对于任何 ，因子k 的值为1 ，当玎= 0 时： ：鱼型尘! 翌坠2 一：三+ 一1 + ( 2 2 2 ) ”【1 + e x p ( g ) 2 1 一e x p ( 2 口) 】8 口2 、7 这个值是对第一个小区间积分获得的，参数口的选择有一定的任意性，但 是令第一个积分区间与最后一个积分区间有相等的宽度，这时的口值会有 更好的结果： d = 一i n 1 一e x p ( a ) ( n 一1 、( 2 - 2 3 ) 通过对以上方程进行数值计算，可以很容易求解出口的值。取样点个 数 ，地选取取决于精度要求或由取样定理来决定。通过三次快速傅立叶变 换( f f t ) ，可以高效率、高精度计算出( 2 2 0 中的离散互相关值，其中这三 次f f t 是使用有2 个值的序列，为2 的某次方值。总之，对于f h a t h a 方法最后的解决方程为： 、 g ( 虼) = 1 ( ，y ) f f t f f t ( q o ) i f f t ( ，l 。) 】 ( 2 2 4 ) 其中，( a ) f f t 和反傅立叶变换( i f f t ) 的详细定义见参考1 2 2 ，是由2 n 个点 6 的序列计算出的；( b ) f g f ( x o ) 一( 西) e x p a ( 1 一) 】lf o r ( n = 0 ) 纯= 【厂( ) 一，( 矗+ 。) e x p a ( n + 1 一) 】 扣r ( 行= 1 ，2 ，n - 1 ) ( 2 - 2 5 ) 1 0j 加r 伽2 n ，n + i ，2 j 一1 ) 上式中以x n ) = 0 ；( c ) 。= 一 2 丌，x o e x p a ( n + l 一) 】 ，r l = o ，1 ，2 n l ； ( d ) 在括号外面的傅立叶变换进行之前，括号内的两个傅立叶变换逐项相乘 相应的每一项作为新的序列：( e ) 对于g ( ) 只有前j 项是有意义的，而从 m = n 项到2 n 一1 项舍掉。 这种高精度快速h a n k e l 变换方法( f h a t h a ) 类似于s i e g m a n i z 3 1 提出的 准快速h a n k e l 变换方法( q f h t ) 方法，通过图2 - 1 中，两种方法的数值计 算结果比较可以得出：f h a t h a 比q f h t 有着更高的精度，而且误差是收 敛的，而q f h t 精度低，误差是发散的。 圈2 一l 对于厂( 工) = 5 2 万工2 ( o 工1 ) 的零阶h a n k d 变换葶涅尔教v ，= 1 0 ，变换解 析值与利用f l i a t h a 、q f h t 进行数值变换值的差值 2 3f h a t h a 在高斯光束下z s c a n 应用 在z s c a n 实验中，光通过样品传播到远场光阑，在f r e s n e l 近似下， 光阑平面的电场表达式为 2 4 】： e ( x ，y ，( r ) ，z ，) = 嘉肥。 f ) e x “盖 ( 2 + ( y - y ) 啦咖q 2 6 式中e ( x 。，y 。，z ，f ) 为样品出表面的电场，d 为远场光阑到样品出表面的距 离，把直角坐标变换为极坐标，令： x = rc o s 0 ， y = rs i n 0 ， x = r c o s 妒，y = rs l n p ， ( 2 2 6 ) 式变为： 加，柚m 归絮掣e x 茄唧 篙卜，列， 警卜d 口 = 掣e x p 焉m r d r e ( r , z , t ) e x p 篙h 焉 ( 2 2 7 ) 其中山为第一类零阶贝塞尔函数，( d z ) 为光阑到样品出表面的距离，卜 式右边称为零阶h a n k e l 变换。而h a n k e l 变换可由两个快速傅立叶变换和 一个逆快速傅立叶变换( f h a t h a ) 来完成。利用f h a t h a 方法可快速得 到远场光阑平面不同半径处的一组电场值，但是不能直接得出光阑平面中 心处的电