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求解边界约荣二次规划问题 摘要 零文努两部分，第一部努磺究求解逮癸终寒菲凸二次羧瑟l 淹嚣瓣熬髂最霞瑟瓣奢 烹怒界算法。我们根据分支岛定界思想，提出了几种熬体最优解定界的紧缩、松弛策 略，包括边界约束的外接球松弛、内切椭球紧缩以及目标函数的凸松弛：把球约柬二 次规划阚题和线性约束凸二次嫂划闫题俘为予闫嚣，分期弓l 用了它 f 】臻整体最优瓣戆 蠢效算法，戳确定边界约束鞯岱二次蕊翔翊蘧在每个小麓矩形上的最伉馕静下：器纛童 界；且应用超矩形体的剖分拽术提出了一种求边界约束a # 凸二次规划问题的整体最优 解的修正的分变定界算法，并证明了新算法是收敛的，同时给出了新算法的一些数值 铡子，数篷结聚表弱这秘穆菠鹣算法是煮效鹣。第二部分恕瓣边爨终窳歪定二次援划 闷联的正粥分解算法推广潮求解边赛约束带正定二次瓶划闻题，在爨论证明的基确上 遥进行数值检骢，结果说明算法是有效的。 关键词：分支定莽法，紧臻、松弛蓑臻，逛鬻分鳃 壹室堕至堕墨盔兰堡主兰垡丝奎 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，an e wb r a n c ha n db o u n da l g o r i t h m f o rm i n i m i z i n gt h en o n c o n v e xq u a d r a t i cp r o g r a m m i n gw i t hb o xc o n s t r a i n t si sp r o p o s e d t h e c o n v e r g e n tp r o p e r t yo f t h ea l g o r i t h mi sa l s op r o v e d t h eb o u n di sd e c i d e db yu s i n g r e c t a n g u l a rp a r t i t i o na n de l l i p s o i d a lt e c h n i q u e t h ed c ( d i f f e n c eo f c o n v e xf u n c t i o n s ) o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ，c a l l e dd c a i sa p p l i e dt om i n i m i z eaq u a d r a t i cf o r mo v e rab a l l w h i c hi st h es u b p r o b l e mo ft h eo r i g i n a lp r o b l e m t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h i s a l g o r i t h mi se f f i c i e n t i nt h es e c o n dp a r t ，ad e c o m p o s i t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gs e m i d e f i n i t e q u a d r a t i cp r o g r a m m i n gw i t hb o xc o n s t r a i n t s i s p r o p o s e d ar e g u l a rs p l i r i n g o ft h e h e s s i a nm a t r i xo ft h ep r o b l e mi su s e di nt h ea l g o r i t h m t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o r i t h m i sp r o v e du n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n s ，t h en u m e r i c a lr e s u l t sa r ea l s og i v e n k e y w o r d s ：b r a n c h a n db o u n d a l g o r i t h m ，r e g u l a rs p l i t t i n g 露塞簸空簸天天学硬圭攀辍谂变 第一章绪论 1 。1 半芷宠及非凸边界约粜= 次规划阀题 羡经德瀵谂每方法是一爨藏建 耋缓强稳学辩，窀广涎痊矮手工数、农泣、霆魏、 交遵、鑫融、避谖等译多矮装。翅莱遴“矮敷”深赛蟪改变蔷太稍致逡巍界兹戆力， 郧么“俊纯”潮深亥地改交饕入稍改造傲弊酶方法稿途径。美匿工糕辩学院院士、嘧 佛大学何毓墒教授在国际自羧联会会1 9 9 9 年的擞界大会上以“优化光彩夺疆的 镁城”必麓送瓣掇蠹孛挺裂“德纯爨久类支骥发鼹熬搜嚣”。 本文仪研究一类带边界约柬二次规划问题的殿傀解的计算方法。潆虑如下边界约 柬= 次趣划嘲题 ( 妒) 旅雉) = 淑彬善 s f j i 墨薯s ( f = 1 ，门) 其巾a 毫r 为慰称矩薄，x r ”，b ，z ，鞋霞“楚鬻囱量。设翔娥( 矽) 的可缮 蠛凳k ，瓣炭= 彝震4 ：s x 蕊豁汹超瓣鬻箨- 边界约粜的二次规划阍艨缀常出现在偏微分穷程、离散亿的连续时闽最优控制简 题、线热瓣康麴爱f | 、- - 黍秘撩、羔程设诗巾，或露为# 线瞧觏翅方滚母豹痔残子溺题 簿，因此籁宵爨要的意义。诲多入在这方面作了不疹研究工作，铡如d e m b o 和 1 1 f l o w i t z k i ，o l c a r y 2 1 ，l 激鞠p a n g o ，y a n g 和t o t l e q 及m o r e 和t o r a l d o 5 等a 所 骰魏鹾究。农缝翻蕤文章孛，努潮应用了投影撵囊蠢法、共轭撵度方法、羧强蒺演莓+ 熬德识郝蒙力予研究菲受约柬的严辖凸：浚筑戴阏艨。对手半正定秘嚣热边赛豹慕二 次规划问蹶研究得较少。 有大嫩的最优化问题都魁非凸优化问题，它们来源于分子生物学m 】、经济均盒 烈轴l 、数援挖掘”j 、环境王缀f 1 2 1 、鼹终与运输盼、毽像处理与横姣谈剃蝌、化学 王疆没诗警靛裁# 7 - t g 、工烫粼逸磷等。程誊与工程魏谗多爨薪或莱郝怒袋羧予囊豫秘 熬整薅最後解鹣数蓬技零，蠢憩诞鹗臻究漆益整转稳健翊瑟毒蓑重蘩瓣瀵论意义籁盛 阁价值。然黼计算非凸优化阀蹶整体最优解是n p 闷趣。由于它的多檄值性，使襻用 古典豹饕线性俊纯技术求瓣嚣鬻毽难，裂秘藏两史逐没嚣袋熟有效瓣磐法，笼其对大 瓣横问题爨怒如忿。因诧需鬻辩嚣类菲凸熬俸优豫闷糕龟牾非凸边界约漾= 次蕊娥闯 题进行深入的理论分析和算法研究。 求解半难定二次规划问题在实际计算中会经常遇到，目前捆集法巴成为求解一般 非光滑优化问题的主要算法，该算法每次迭代都麓澎成一个半正定的= 次规划予问 题，由予带援定矩阵奇异性绘数毽求鳃带来了爨难，爨基静为止没考缀霄效蠡皇方法。 所夔我稻缀蠢努要辩其送行毯究。 1 2 半难定及非凸二次规划问题的研究状况 半正定二次栽翔阔驻在蜜际 _ 算中经常逶到，蠢予半正定矩阵奇异瞧带来数篷求 解的困难，例如非光滑优化中捆集算法之二次规划予问题数值求解。不少人研究了解 决此问题的积极法，文献【2 0 】和 2 l 】中提出了一系列短阵分解的存储方法和校正方法， 取得了很好的效果，所提出的算法具有较强的实用饿。 菲凸二次规划闽题是求转热= 次滋数在多面强熬上的最小问题，它分菊凹二次规 麓舞题窝不定二次褒翔阉踅。 对嚣二次规划问题的研究文章很多，幂l 用凹二次函数的可分离性质，结合凹规划 问题的最优性条件，可以给出备种算法，如r o s e n 分别在1 9 8 3 和1 9 8 6 年的文章 2 2 2 3 1 中研究了一般的凹规划问题，徐出了超矩形体剖分的分支定界算法。 对予不定二次规划，许多中外学者也取得了一热成果。如b a l 韶谯1 9 7 5 年的文 章泣4 】翌绘痰静算法，在募法孛首先搀造了一令辩斑手二次囊列豹k u h n - t u c k e r 约 素集鹣广义缀，这个广义投惫一令凸多覆锥，它的蠹部不包含最优释；然螽构造一令 包含可行域胜含在广义极内的多筒集。在构造这个雾颟集时首先由问磁的部分约束构 成一个单纯形，然后逐步地使菇它约束起作用直到所产生的多面集包含谯这个广义极 中。 近五馨浓，对菲凸二次规划溺遴静研究又有了赣媳进展。捌如：对予超越( 岔p ) ， h o a l 帮t a o ( 1 9 9 7 ) 瞄5 】拳j 用d c 伉纯算法和分支定嚣方法解菲受约寒魏二次矮翔闽 题，提出了个分解的分支定界算法；h o a i 和t a o ( 1 9 9 8 ) 在文献 2 6 】中利用d c 优化 算法、椭球技术给出了一个分支定界算法，这个算法对中大规模问题是有效的；y a j i m a 和f u j i e ( 1 9 9 8 ) 在文献 2 7 q 喑u 用线性化技术、割平灏方法提出了一个解【0 ，1 】边界约束 菲凸二次规划闽题的多蟊体方法；d a n g 和x u ( 2 0 0 0 ) 在文献 2 8 1 中提出了个求边巽 鳕寒饕函二次麓翔麓邃熬金鼹激饶解魏嚣丞数方法，这令算法毽鼹审大闷题是骞效 的。 2 南京航空航天大学硕士学位论文 1 3 分支定界算法 整体优化的确定性方法有分支定界方法、外逼近方法、区间方法、水平集方法、 填充函数方法等，其中常用的是分支定界方法和外逼近方法这里介绍一下分支定界 方法。 分支定界方法是整体优化的主要算法之一，分支定界方法通过把可行域逐渐剖分 加细，同时也相应地构造出最优值单调减少的上界序列和单调增加的下界序列，当上 界和下界相等或者上界和下界的差满足误差要求时，迭代终止，得到整体最优解；否 则迭代继续进行下去。根据剖分过程和上下界估计过程的选取不同，分支定界方法大 体上可分为两类，一类是把切平面过程与分支定界技术相结合，另一类是使用目标函 数逼近( 或下估计) 过程的。下面给出分支定界算法的描述，设问题的形式为 ( 即竺罂 j f x f j 其中z 是决策变量，f ( x ) 是目标函数，d 是可行域。下面给出分支定界算法的框架。 步0 确定问题的初始上界和下界p o ，满足， o ) = y 。的可行点x o 。如果 成= ，那么输出x 。，停止；否则，令d o = d ，眠= d 0 ) ，k = l ， 转步l 。 步1 在剖分集帆，。中，选择一个剖分元d 。一使得( 皿一。) = 屏一其中( d k 一) 是f ( x ) 在d 。一。上的一个下界。 步2 把d 。一按照某种规律剖分为，个小剖分巩，f = 1 , 2 ， 令甄= 慨，f _ 1 , 2 ，) 。 步3 _ i , t s g f ( x ) 在每个小剖分元仇( f = 1 , 2 ，r ) 上的上界，。和下界尻，在 可能的情况下寻找满足， “) = 的可行点x “。 步4 删除满足成儿的剖分元巩，存留的部分记为矾。 步5 - 争m k = ( 帆一慨一。) ) u 甄。 1 求解边界约粜二次规划问戚 步6 计黪展= m i n f l ( s ) ：s 坂 ，以= m i n 涉( s ) ：s 甄；，x 2 = a r g y 女， 篡中，( s ) 和卢( s ) 分别是，( x ) 在s 上的一个上界和下界。 步7 如果反= 以，输出x ，停止；否则k _ k + l 转步1 。 l ，4 本文的主要工作 本文主要氍歼究边界约束非凸和半正定= 次规划问题整体最优解的算法。对边界约 寒簿叠二次蕊麓淘蘧，提爨了蔻秘整髂最德解定赛豹綮键、捡魏燕醛，鸯蘧擒逡躐求 解原问题整体暇优解的修正的分支定界算法；并证明了此算法是收敛的。给出了新算 法的数值例予，结果说明修雁的分支定界算法是有效的。 把求边界约京正定二次规划闫题的擞则分据算法推广到解边界约束半正定二次 麓麓闺蘧，并遽褥数篷硷验缭采证明算法燕有效熬。 4 窝窳兢空靛天大学联圭学位论文 第二章边界约束非凸二次规划问题 本章鸯懋豫下边赛终慕非赫= 次藏糍溺踅 ( 秽) m i nf c x ) = 舭x s 毒。乏s 鞋；( f = l ，嚣) ， 箕孛a 薯r 魏慰称饕歪建筑黪，x r 8 ，b ，f ，糕巷霆8 是零蠢爨。阕踅( 酽 _ 懿 ，、 霹行域为裂，期k = 扛r ”：f 茧x 芏秘沩越矩形体。 我们剽溺分支与定界的聪慧，提出了几种整体激慌解定界耱紧练、松熬策略，惫 掇边界约窳的争 接球松弛、内切椭球紧缭以及目标灏数的凸松弛；撼球约束二次观划 翅题帮线投魏素蠡二次蕊翻瓣鞭终受子翔避，势鬃萼| 瘸7 它襄】袋整髂焱拣解憝毒效算 法，鞋确定翘题( q p ) 在每个小越矩形钵上戆最傀德躲下器纛主赛# 蕊斑建超矩黟俸 的剖分技术给出了求问题( q 妒) 的整体最优解的修臌的分支定界算法，并证明了新算 法是收敛瓣，阅辩绘毽了凝冀法的一些数值铡予。 t a o 鄹h o a i 在文献馨6 l 孛掰挺塞斡舞潼( 跌鞲楚称t h 羹法 ，楚建骥定妾蘸迭 谯邃矩形体统策下嚣蠡蕊羧羧俊毽弱上赛，秀逶霉予怒矩形体割分，然嚣分翔求裁势掰 得小超矩形体约束下露标蛹数暇优值的下赛，搂赣进行超矩形体选辫。这样的分支过 程毙较繁璞。我翻挺塞熬攒嚣法鼹筵进移了莰避，鞠露还采矮了不瓣予t h 篓法豹土 下界确定方法。新算法是巍辩滔前迭代超矩形体谶行捌分，再分别求削分所得小越矩 形体约束下嚣橱函数最优德妁点下界，然薅进行怒矩形体选聱。 2 1d c 娥划 凳霹繇蝤数褰舞寮函数缝够譬成嚣令题遗数之麓懿霉垫霞话n 徽d c ( d i f f e r e n c e o fc o n v e xf u n c t i o n ) 囊麓。奁臻瑟往往镞袋墨，d c 筑麓无论在理谂遴怒在应震方嚣 郡有很重骚船作用，很多的非曲优化河鼷在理论上都可戳等价地转换为d c 规划闻 熬e 瓣这个阏爨静主要骚究王终l 至； h o r s t 鞫t h o a i 灏继科学家提爨，参麓义麸鏊9 1 3 0 。 d c 蕊划的基本形式为 5 求解边界约策二次规划阀蹶 ( p ) 岱= i n f f ( x ) ：= g ( z ) 一h ( x ) ：x e x ， 遮鬻x = r 4 ，泡r 0 ( x ) 为所有x 上严格下半连续的凸函数集，g ，h r o ( x ) ，函数 f ( x ) 称作x 上的d c 函数，g ，是称作它的d c 因予。 禳据d c 麓翔懿对疆馥缮d c 算法，详觅文献 3 l 】。 2 。2 球约束曩# 凸二次规划 球约束非凸= 次规划阅蹶的模型为 ( 艘) 醯荆= 1 丞+ s r x s t 0 x 忙， 冀巾窖r 必慰豁 正寇矮箨，s r 4 ，r 0 ，鞠凌示双琵范数。 问题( ) 实际上是非线性优化中的信赖域予问题，最初由l e v e n b e r 9 1 3 2 1 ， m a r q u a r d t d 3 l 撼出，很多学卷对它进行了比较广泛的研究，如g a y 3 刖，m o r e 和 s o r e n s e n a 稿，t a o d 7 - 3 9 等。在理论磅究懿麓磷上还产黛了穰多实翔鹃萄罄最俊算法， 蘸中有些算法对求解大规模信赖域子问题是非常有效的，可获得整体最优解。如t a o 谯d c 算法的基础上又研究出了用d c 算法求( q b ) 整体解的方法，记为算法2 1 ( 参冤文敲【3 l 】) 。免7 螽纛筑雩| 惩，我懿恕该算法接遮翔下。 算法2 1 步0 计算q 的最小特征使矗( q ) 和最大特征值丸( q ) ，i 技p - - - i ( q ) 十o 1 ，i r ”。 步1 令x o = 量，利用算法d q 倒求爨髫+ 。 爹2 计算z = ( - ( x ) 7 一s 7 x ) f r 2 。 步3 如果z ( q ) 停此；否则计算舅使得g ( 习 x 一s 忙 善翊2 ( o t - q ) x 。- s ，否则 。 j h 弹。 步2 翔果转“l 占那么x + = x “1 ，终止；孬掰x 。= “转到疹1 。 下面列出这些算法的收敛性质，其详劐证明参见棚关文献。 弓l 壤2 h 魏鬃较= 0 ，那么算法d c 窖嚣冀产生戆点捌戆饪侮一令聚蕊必为闯舔( ) 的k t 点。( 3 4 ，3 5 ，3 7 ，3 9 ) 攘论2 2 ：麴聚淘遂( 委够) 鹣謦耩函数譬( 磅跫蠡二次番数瑟g 莛半燕定的，酃么囊算 法d c q b m 产生的点列的任何一个聚点必为问题( q 8 ) 的羧体最优解。即设 蔻算d c q b a 终止掰产黧瓣杰，粥妊楚蠲踅( g 器) 茨整钵最俊瓣。 ( 【3 1 】) g l 瑾2 。3 ：冀法2 。i 终壹酵产生豹点必荛阏越( 窑露) 豹熬俸最往勰。( 【3 l 】) 我们垮q 藏交分解可褥特征壤丑l ( q ) ，走( 9 ，确定歪交矩黪p = ( 忍) 使褥： 7 求解边界约束二次规划问题 q = p 2a i a g ( & ( q ) ，矗( q ) ) p a 令y = a ，i = p s ，则虿( y ) = g ( p 7 y ) = ( 去乃( q ) y ；+ 弓”) 。 j - 1 上 ( 1 ) 如果 ( q ) 0 那么由推论2 2 得点z 就是问题( q 日) 的掩体最优解。 ( 2 ) 如果a ( q ) 0 寻求满足以下条件的歹= ( 只，或) 三丑( 劬? + 弧 三 ( q ) ( “) 2 + 墨y ： 三五( 劬：2 + 弧s 圭 ( q ) ( y = ) 2 + 五m ( 2 1 ) ； 三一( q ) 2 + i n 三 ( q ) ( 一) 2 + i y ： 其中y = ( y i ，一) = p x ，取量= ( 王l ，墨) ，i = p 7 歹，由( 2 1 ) 得虿( 歹) q ( y ) 即 可( 哥) 0 ) ，其中仃的选取应使得g ( i ) q ( x ) 。 事实上， g ( x ) = g ( x 。) + v 7 ( s + ( q ) x + 丑( q ) l l v l l 2 ) 彳2 2 ， 要使q ( f ) q ( x ) 只须 v r ( j + ( q ) x ) 盯+ ( ( 9 l 川2 ) 盯2 2 o ， 即 v r o + ( 9 x + ) + ( ( q ) 0 v 0 2 ) 盯2 o 。 因为q 为非半正定所以矗( q ) o ，- ，s 非空，则令 。一。；。终! ，一( 五) ， 吼2 。戮商。嵩 否则令坼= o o 。 步4 如果d k 0 ，则转步5 。 如果= 0 0 ，则停( 原问题无可行点) ； s t _ s t f ) ，q ：= q - 1 , 五；五+ 口t l f j ， 修改4 和疗。，转步3 。 步5 扣鲁心：刊n k 讣。慨如 ：“2 ：+ 口t 口：哦( 吉口t + ( 夏l 。) ，五。：= 五+ 口。 一 。 步6 如果吼 西则转到步7 。否则砖+ 。= 墨u 伽) ， q ：= g + l ：计算4 + 和反 k ：= k + i ，转步2 。 步7 s 。：= 量，q ：= q - i 。从五中去掉第，个分量，得到新的五； 重新计算4 + 。和疗。；转步3 。 理论上这个算法有限终止于问题( c q ) 的最优解。 2 4 目标函数的定界技术 对于超矩形体世= 仁r ”：，x u k ，设计分支定界算法的关键是尽可能好 南京航空航天大学硕十学位论文 地确定非凸二次函数厂( x ) = 圭x 7 一x + 6 7 x 在超矩形体k 上的上界和下界。下面我们 提出了几种上界和下界的确定策略。 2 4 1 确定下界的策略 在文献 2 6 中t a o 提出了外接最小体积椭球松弛确定下界法，即用( x ) 在包含 超矩形体k 的外接最小椭n 上n n d 、值万，作为超矩形体尼上函数厂( x ) 最小值 的一个下界。 故求解以下问题可得，( x ) 在超矩形体k 上的最小值的下界。 ( q ) m i n m ) = 三巾x 彬z s t x o e 其中外接超矩形体k 的最小椭球为= 仁r ”：x 7 万2 x + 2 p 夙行_ p r p ， d 2 d i a g ( d 以) ，d ，p r ” 且满足d ，= 2 ( u ，一t ) ，= 1 ，胛， p ，= ( + u i ) “一) ，j = 1 ，珂。 我们发现若设s 为包含超矩形体r = 【一1 ，l 】”，中心在原点，半径为百的球 s = 5 c r “：1 1 4 - 4 a ， 利用双射仿射变换三使得 t = k 利用变换工有x o e y = l x s ，n ( q o e ) 问题等价于如下球约束( q 0 回问题 ( q m i n 抄砒计+ ( 矾一砒万一1 p ) 7 y s f i l y l l 2 一。 类似于t a 。提出的外接最小体积椭球松弛确定下界法，我们提出以下定界策略。 求解边界约采二次规划问题 ( 1 ) 外瑷琢松拙确斌f 擀聚略 为了更努盘亟近戗，( 善) 在超矩形薅拦。上静最小谴，霹弱f ( x ) 在毽含超短影髂 k 。的辨接球上的最小值，作为超矩形体搿上的最小值的一个下界。 记第k 次迭代得到的超矩形体为k = n ：。 口，“? 】，定义超矩形体k 的外接球 梵o b = x e 足“：t k - 吱l | ：气 ，其中颤= ( 1 k + u * ) 2 ，= 一r l t ：2 ，显然 k 。记多。= r a i n f ( x ) ：x o b 。 ，翊 m i n f ( x ) ：x e k l ， 也就是说 r a i n f ( x ) ：x k 的一个下界。 淘一疆跫尹，令x e t = y ，戳x = c t 七y ，撼 ，( 聋) = 丢( c 。+ y ) 7 爿( q + y ) + 6 r ( q + y ) = 毒y 。母+ ( 6 7 + 爿) y + ( 6 r 咯+ 昙。；名嚷) 。= y 。矗y + ( 6 7 + 爿) y + ( 6 7 咯+ 三e ；名嚷) 。 困她蜀涮惩算法2 ，i 求解弧下球约束二次蕊矧阅题 m i n = 1y 7 4 y + ( 6 + 爿吼) 7 y s t 删咋， 遗冀全蔫最饶簿麓，刘= 龟+ y 。，鼠嚣移= 兵) 。 ( 2 ) 目标函数松弛确定下界法 在文献【2 5 】中，t a o 利用d c 函数求目标函数的上界。我们发现这种思想同样也 可用于躁标函数的下界确定。 莲z p = i a , ( a ) i + o 。l 叠( 蠢) 为名戆最小耱强篷) ，弱童为蒸定矩薄。 m ，= f 瓜+ b r x = 1 以圳7 刁一知n 这样搬，( x ) 表示成两个凸瓣数之差，郎为d c 函数。由于在彭t 上霄 南京航空航天大学硕士学位论文 l 卜| 1 2 ( ，+ 4 ) 7 x 一( ，七) 7 ”+ ， 所以 m ) 纳一i 1x 7 ( 删x + b r x - 1 p ( z k + u k ) 兰雕7 因此 = m i n 扩( x ) ：x k j m i n 驴( x ) ：x k t 鼗。m i n f ( x ) ：x e k 戆一拿下器。 敏可以利用算法n d 解以下凸二次规划问题 r a i n 夕( x ) s r x 毫k 。 遴嚣褥餮君。 2 4 2 确定上界的策略 根据上面提出的松弛策略，我们相应地提出了些确定上界的策略。 ( 1 ) 最大体积椭球紧缩确定上界策略 蠲，( 砖在超怒形髂爱4 豹雨窃撩球上熬矮小蓬，。，豫梵( 砖在超矩形薅拦* 上 豹最小值的一个上界。 黼先取超矩形体彤= 玎三【r ，钟】的内切椭球： 令嚷。( 7 + d k ) 2 ，嗷= 一辣) 2 ，愿= d i a g ( c t 。) ，煲# 怒矩形体茧t 豹宠弼 礁球麓 e 。= 扛e r ”：( x - - c 。) 7 露。一c 。) l 。 e 包含于超矩形体世+ 即腰。呈k ，从而 1 5 求解边界约柬二次娥划问题 m i n f ( x ) ：x k _ m i n f ( x ) ：x e l e l = y 。 故求勰以- 1 r ( 盆疆) 阔题 ( 孵) m i n m ) 。1 2 x r a x + 6 7 并 s t z i e 可得( x ) 在超矩形体上螅最小值的上弊。 嚣令z = 露1 ( x - c d ，巍x = 龟磊：， ，( x ) = i 1 ( 靠+ 厩z ) 7 一( q + 瓴z ) + 6 7 ( 气+ 鼠。) = 三z 磊z 磊孑+ ( 6 7 磊+ c ；名磊弦+ ( b r + 1 f 众嚷) ) 。 这样( q ，e ) 问题就转化为如下球约束二次规划( q 固问题 ( 掣聊m i n 圭z 7 磊一巨z + ( 6 7 厦+ j 1 c ：一豆) 孑 s # 1 l = l l - 1 。 弼群我们可翻用算法2 i 求其解。记其全描最优解为z 2 ，则舅。= 岛+ 豆z ， y 。= ，( 譬) 。显然，k ，因此譬可作为当前最好可行点的一个候选点。 ( 2 ) 上舞躲壹接确定壤蜷 趱予产，q k ，令，。= m i n 驴毫。j ，0 j ，瓴) 可褥 ，m i n f ( x ) ：z e 。) 。 黩然运用这种方法我们能很直接地确定( 岭在超矩形体岸上的最小值的上界 ，女e 1 6 南京航空航天大学硕士学位论文 2 5 修正的分支定界算法 本章提出了一个修正的分支定界算法。用超矩形体的二分方法不断地剖分超矩形 体，用2 4 节提出的方法，确定每个小超矩形体上问题( q p ) 最优值的一个上界和下 界。采用外接球松弛策略( 即2 4 1 ( 1 ) ) 确定下界，采用最大体积椭球紧缩策略( 即 2 4 2 ( 1 ) ) 确定上界。若下界和上界相等，就终止；否则继续进行分支定界的过程， 直到求出最优解终止。由2 4 节可见，在超矩形体上采用不同的定界策略，可以派生 出不同的算法。 同时本文也将t h 算法( 参见文献 2 6 】) 中繁琐的分支过程改进为：先对当前迭 代超矩形体进行剖分，再分别求剖分所得小超矩形体上问题( a p ) 最优值的上下界， 然后进行超矩形体选留。下面详细叙述这个修正算法。 算法2 2 步0 ( 1 ) 求超矩形体k 。的外接球( o b ”) 并解( q o b o ) 问题得 下界肛f l ( 砷硎nl x r a x + b r x ：x o b 。) 。 ( 2 ) 求超矩形体k o 的内切椭球腰。并解( q 腰o ) 得到 上删刊：1 1 1 i nl x r a x + b r x ：x 尼。) ，输蚪 ( 3 ) 若。= ，。则停止，妒为( q p ) 的全局解。否则令q 。= k 。) ，i = l 转到 步1 。 步1 选择一超矩形体k “1 q 。使得卢“1 = f l ( k “1 ) = m i n 沪( k ) ：k q 。) 。 步2 将超矩形体世“1 剖分为两个子超矩形体k 和足“。 步3 计算，y “，“，y 2 以及 “，z 也，令q + = q 。k ) u k ，k 也) 。 步4 求厂o ) 在k 上的上界和下界及当前最好可行点 查塑望墨望塞三选塑型塑墨 一 y t ：m i n p “，b ) ，x i = a r g y ，= m i n 扣“，1 。 步5 藩夕= y 。竣密，f ( x 。停止，否剃转步6 。 步6 令q 。卜q 小缸：( ) y 。，i = i ，2 ) ，令j j = 哥+ 1 ，转别步1 。 注：算法2 2 中采用了怒矩形体剖分技术，此技术按最长边二分豫的规贝q 进行。 设超矩形体量= & r “：f z 龆 ，鲜x = f i 麓嘭，澎】，孝，矩；分别为f 2 ， 帮。豹第f 个分量( 是o ) 。记五为k 。孛最长遮麓指标，刘 “ 一l j , = m a x u ? 一矿，f = 1 _ _ 。以 。 令蟊= ( + 狂 ) ，2 则岸将分成两个超矩形体 k l = i x e k 。：黾虿 ，k 。1 ； x k ：瓠稃。 若令 r i = 口( 扛1 2 叫) ，甜? 1 = ”? “= 1 川2 州，i ) ，“2 = 万， 尊2 = 乎( f = l ，2 ，豫f 五) ，尝= 稃， 鼯；2 = 钍? ( f = l ，2 ，啦， 剿 k = e r “：， - x “ ，k b = c r “：z b x 甜b ) 。 这样就把超矩形体k t = 分成两个子超矩形体艮“，足h 。 2 6 修正的分支定界算法的收敛性 在本节中我们讨论修厩的分支定界算法( 冀法2 2 ) 的收敛蚀。 定溪2 。4 ：( 1 ) 羞算法2 2 在第蠡( 毒疆) 步终斑，亵兔阕题( q 秘豹奎爨最霞鬃， ( 2 ) 若该算法有限步不能终北，则算法产生的点序列& 。) 的每个聚点x + 必为问题( q 即 的众局最优解。 证明：因海对所有的有m i n 扩扛) ：z x “ ，所以蓉谈簿法在第七( 脊 r 南京航空航天大学硕士学位论文 限) 步终止，则 。r a i n 铲( x ) ：f x - u = 7 。= ) 。 遮表鞠是妒) 豹垒麓焱犹解。 设x 为算法产生的点序列扛 的个聚点，3 妨设1 i m x * ；x ，那么必存在 伍 ，使得z = 盒足，激此在给定的x 的领域( z ，砉) 中，必存在k kc n x ，喜 ， 使列小妻 。 f ；i i l f ( x ) 的连续性得 憋2 = ! i r a ( 舻) = 只x ) ，女呻* + 、 。 o、 7 歉，2 爱苁) = 俺+ ) 。 又。r a i n f ( x ) ：，x g 甜) ，两边关于七呻。o 取极限得 f ( x + ) = m i n 驴( 砖：，墨x s 群 。 谨擎 2 7 数值试验 零节运疆算法2 。2 分麓取嚣标函数骛凿爨数、不定函数、负窥溺数举镪进行数毽 试验。 算铡2 - l ；在闻题( q 固中，取霹标函数麓非髓= 次函数，在鬈稼灏数孛 f 一2 2 176 。i 一1 3 3 47 拈f74 2 7l i 一6 71 3 8 1 9 垄堑鎏墨丝塞兰逸塑堑塑墅一 a 的条件数为3 ，最大特征值为一1 5 ，煅小特征值为一4 5 。 在电脑上用m a t l a b 5 0 计算，取终止条伴为y - p ( s = o 0 1 。 计霹结果： k = 1 0 4 ，= 一5 6 0 0 3 6 ，y = - 5 5 9 9 4 6 ，y - p = o 0 0 9 0 ，= 3 4 4 9 秒， 簸撬薅是x g l o b a l = 1 0 0 0 0 0 。9 9 9 9 0 ，9 9 9 9 1 0 0 0 0 ，最饶蕊楚o p t i v = 一5 5 ，9 9 4 6 。 冀饿2 。2 ：在翊蘧( 露蛰中，嚣稼瑟数荧秘二次殛数，f ( x ) = 圭喜霉豹约隶祭磐麓 超矩形体一e x s e ，其中p 表示分量都为1 韵阼维向量，目标函数中a 的条件数为1 ， 在电脑上用m a t l a b 计算，终止条件取y p f = 0 0 1 ，计算结果见袭1 。 表l f ? 穆 - ； j 露x o p t穆y 2x 20 9 9 0 9一l一0 9 9 0 90 0 0 0 12 i 5x 52 4 9 0 52 + 5 0 0 42 4 9 0 50 0 0 9 94 t ! l 1 0x l 。4 9 9 0 95 0 0 0 84 9 9 0 90 0 0 9 99 6 i 其中押、x 、o p t 、，、y 一卢、k 分别袭示变量x 的维数、最优解、最优值、 算法缭柬时的下界、上赛、上下界差、迭代次数。整体最优解分剐怒 z 2 = ( - o 。9 9 5 4 ，一0 。9 9 5 4 ) 。 x 5 = ( 一o + 9 9 8 5 ，一0 9 9 8 0 , - 0 9 9 8 0 ，一0 9 9 8 0 ，0 9 9 8 0 ) 7 ， x = ( 一o 9 9 9 2 ，一0 9 9 9 2 ，一0 9 9 9 2 ，一0 9 9 9 2 ，一0 9 9 9 2 一0 9 9 9 2 ，0 9 9 8 9 ，一0 9 9 8 9 ， 2 0 一0 9 9 8 9 ，一0 9 9 8 9 ) 7 。 当咒：2 时，绘出算法的迭代避稷如下表2 ，其他缀数躺情况下也是这样的迭代过程。 表2 k ( 对应)，( 对应q ) y 一8 o p t 1一1 3 0 9 00 6 5 6 20 6 5 2 80 6 5 6 2 2一l0 7 2 8 6o 2 7 1 40 7 2 8 6 3一1 0 6 6 40 8 1 7 30 ，2 4 9 lo 8 1 7 3 4 一l一0 8 5 8 90 1 4 l l一0 8 5 8 9 5一1 0 2 5 20 9 0 6 8o 1 1 8 4 0 9 0 6 8 6一l一0 9 2 8 l0 0 7 1 90 9 2 8 1 7一1 0 0 1 30 ，9 5 2 90 0 4 8 4 0 9 5 2 9 8 一l一0 。9 6 3 70 0 3 6 30 9 6 3 7 9一l 。0 0 5 3 0 9 7 6 30 。0 2 9 00 。9 7 6 3 |1 0lo 9 8 1 8o 0 1 8 2 0 9 8 1 8 l 1 1一1 0 0 2 60 9 8 8 1o 0 1 4 50 9 8 8 l i 1 210 9 9 0 90 0 0 9 1 0 9 9 0 9 算铡2 3 ：谯阏题( 汐) 中，露撩滋数淹不定二次涵数，( 款力= 寺z ? 一寺戈， 二1 - 1五f t l 约束条件为超矩形。( 匀鲰e 表示分量都为，的h + 删维列向最，。袭示分量都 为0 豹, + m 缝襄窥量。弱搽聪数孛矩终a 翡条傍数为1 。 显然辣例：s 的整体最优解是( 兰) ，其中。袋承分量都为。的押维列向量，e 1 表 示分量郡为l 翡掰维列向量，嫩优篷为印f = 一兰，旋电脑上罔m 贰l a b 诗箕，终止条 件取y 一 0 戈允许误麓，篮令k = 0 。 步i 令罩= 工，求解问题( 3 2 ) ，并令x “1 = 4 馏卿伊( z ，i ) 。 步2 若妊川一x i t 主喜l 式| - 显然襄一嚣= 2 d - a 燕踅定楚阵 当a 是对角占优矩阵时可以意按取d 为a 的对角冗潦。 我们w 构造出选取n 为对角矩阵情形下相应的算法( 算法3 2 ) ，其初始步同算 法3 1 。 算法3 。2 ( n 为对角阵的情况) 假设( ，h ) 是4 的一正则分裂，其中n = d i a g ( d i ，峨) 是对角阵。 瘩窳舷空靛天太学矮士掌短涂文 步1 令军= x 。，9 2 = 一i + b ，以g ：表示g 的第i q 分r ，则对l s i s n ， k x ：一鲁l i 乒譬，汹；一手毡 若一争即 步2 若肛一妒i s ，则终业计算，羔“是闯题( 3 。1 ) 豹一近似勰，舔则令蠢= k + l 转步l 。 3 2 算法收敛性分析 出予露法3 2 燕算法3 1 的特殊情形，因此本带我们只讨论算法3 i 的收敛性。 首先介绍以下几个引理。 与文献【4 l 】引理3 2 相类似