（计算数学专业论文）直接间断有限元方法求解奇异摄动问题.pdf

摘要 用间断有限元( d g ) 方法求解各种方程是近年来的热门研究课 题，在科学研究和工程技术等方面有广泛运用。与传统d g 方法相 比，本文所介绍的直接间断有限元( d d g ) 方法最显著的特点是：它 在不引入中间变量和增添边界稳定项的条件下，通过直接对弱形式 中的一阶导数项取数值通量，依然能够较好地求解原问题，并且推 导过程更为简单，数值计算量也大为减少 d d g 方法的关键在于如何选取合适的数值通量。对于单元边界 处导数的数值通量，本文介绍了一种既包含解的跳跃又包含解的导 数的平均的取法，而与对流项相应的数值通量，文中一律按照迎风 机制选取 本文利用d d g 方法分别在一致网格和局部加密网格( 如s h i s h - k i n 网格和改进的等级网格) 下求解奇异摄动问题，并进行了大量数 值实验，结果表明：当多项式的阶数p 为奇数时，得到p + 1 阶收敛 阶；当p 为偶数时，得到p 阶收敛阶，但可通过改进数值通量提高到 p + 1 阶另外，对于局部加密网格，该方法具有一致收敛性 关键词：直接间断有限元方法，奇异摄动问题，一致收敛，s h i s h k i n 网格，等级网格 a b s t r a c t t h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o rv a r i o u sp r o b l e m sh a sb e e no n eo f t h eh i g h l i g h t si nt h es t u d yo fn u m e r i c a lm e t h o d s ，a n dh a sb e e na p p l i e dt ot h e f i e l d so fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n gw i d e l yi nr e c e n ty e a r s c o m p a r e dw i t ht h e c l a s s i c a ld gm e t h o d ，t h em e r i to ft h ed i r e c td i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ( d d g ) d i s c u s s e di nt h i sp a p e ri s ：i n s t e a do fi n t r o d u c i n gan e wv a r i a b l eqa n d a d d i n ge x t r ab o u n d a r ys t a b i l i t yt e r m s ，o n l ym u n e r i c a lt r a c ef o rt h ed e r i v a t i v e o ft h ep o t e n t i a li su s e di nt h ew e a kf o r m u l a t i o n 0 u rw o r kw i l ls h o wt h a t t h i sa p p r o a c hn o to n l yc a ns o l v et h em o d e lp r o b l e mq u i t ew e l l ，b u ta l s oc a n s i m p l i f yt h en u m e r i c a ls c h e m ea n dr e d u c et h ec o m p u t a t i o n a lc o s td r a m a t i c a l l y t h ek e yo ft h ed d gm e t h o di sh o wt oc h o o s ea na p p r o p r i a t en u m e r i c a l t r a c e w ew i l li n t r o d u c eas t r a t e g yw h i c hn o to n l yi n c l u d e st h ej u m po fu ， b u ta l s ot h ea v e r a g eo f 巩t od e f i n ea tt h eb o u n d a r yo ft h ec e l l o nt h eo t h e r h a n d ，f o rt h en u m e r i c a lt r a c e sc o r r e s p o n d i n gt ot h ec o n v e c t i o nt e r m ，w ea d o p t t h ec l a s s i c a lu p w i n ds c h e m e b a s e do nt h ed d g m e t h o d ，m a n yn u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep e r f o r m e d u n d e rt h eu n i f o r mm e s ha n dt w o - t y p el a y e r a d a p t e dm e s h e s ，i e ，t h es h i s h k i n m e s ha n di m p r o v e dg r a d em e s h t h e s en u m e r i c a lr e s u l t sd e m o n s t r a t et h a t ， t h eo p t i m a lc o n v e r g e n c eo fo r d e rp + 1c a nb ea c h i e v e di fpi so d d ；o nt h eo t h e r h a n d ，t h ec o n v e r g e n c eo fo r d e rpi sa t t a i n e di fpi se v e n f o r t u n a t e l y , i tc a n b em o d i f i e dt op + 1b yi m p r o v i n gt h en u m e r i c a lt r a c e se v e ni fpi se v e n m o r e i m p o r t a n t l y ，t h i sm e t h o da l s ol e a d st ou n i f o r mc o n v e r g e n c ef o rl a y e r a d a p t e d m e s h e s k e yw o r d s ：d i r e c td i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o d ，s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b - l e m s ，u n i f o r mc o n v e r g e n c e ，s h i s h k i nm e s h ，g r a d em e s h i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本 论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：杨果踟。尸年6 月日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密臼。 ( 请在以上相应方框内打“ 骨) 、 作者签名：杨果 日期：仍砂年6 月拶日 导师签名：以i 夏【乏 日期：加节年z 月男 日 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 1 引言 1 1 研究背景和间断有限元方法 在科学与工程计算中，我们经常遇到带小参数的对流扩散方程， 即“奇异摄动问题”它广泛存在于流体力学、天体力学、量子力学、 光学、声学、化学、生物学以及控制论等领域，如半导体设备模型 问题、化学溶质的污染问题、高r e y n o l d s 数的n a v i e r s t o k e s 方程、高 p e c l e t 数的热对流扩散方程等。用数值方法计算这类奇异摄动问题遇 到的困难之一就是所谓的边界层现象，即解在边界层附近的很窄的 区域内变化非常快，传统的数值方法如连续有限元方法，有限差分 法在求解这类问题时常常会产生剧烈的非物理数值振荡，只有网格 步长h 足够小时，解才会稳定，然而网格过密却会使计算量剧增，因 此，对于科学家和工程师来说，这类方程的数值模拟具有极大的挑 战性 1 8 ，2 2 ，2 5 】 但由于奇异摄动问题的广泛应用和工程实践的需要，近年来已 有越来越多的科技工作者开始关注带边界层的奇异摄动问题的数值 求解方法 3 ，1 5 ，1 6 ，2 0 ，2 6 ，3 4 】就边界层问题而言，解决途径一般分为 两种，一种是采用局部加密网格的方法，如s h i s h k i n 网格【2 7 ，2 8 】和等 级网格【1 2 】，采用这种网格可以得到拟最优一致误差估计 3 8 】，另一 种是采用p - v e r s i o n 或h p v e r s i o n 方法 3 2 ，3 3 】，通过提高多项式次数， 可以得到指数阶收敛结果【2 9 】利用这两种办法，即使是利用连续有 限元方法，z z h a n g 在f 3 0 ，3 6 ，3 7 ，3 9 】中也成功求解了奇异摄动问题，而 且还得到了一系列超收敛和一致收敛性结果 另一方面，由于当小参数趋近于0 时，对流扩散方程由椭圆型变 成了双曲型。受间断有限元方法求解双曲方程巨大成功的启发，近年 来一些学者采用间断有限元方法来求解奇异摄动问题，也得到了很 好的数值结果。r o o s 在【2 3 中列出了大量关于间断有限元方法求解奇 异摄动问题的文献事实上，间断有限元方法( d g ) 是1 9 7 3 年由r e e d 和h i l l 2 1 】首先提出，并运用于求解中子输运方程仃u + d i v ( a u ) = f ， 其中盯和a 分别是一个实数和常向量随后在1 9 7 4 年，l e s a i n t 和 硕士学位论文 r a v i a r t 【1 4 】对线性对流方程作了分析但对于非线性双曲问题，这种 方法长期以来一直没有得到很好的研究和应用直到2 0 世纪8 0 年 代后期和9 0 年代，c o c k s u r n 和s h u 【5 - - 7 】等结合r u n g e - k u t t a 方法和 数值通量等思想，将间断有限元方法推广到非线性一维守恒律方程 和方程组、高维方程和方程组，并给出了部分收敛性证明b a s s i 和 r e b a y 【1 】提出了一种求解可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程的稳定的高阶收 敛的b r 间断有限元方法，受此启发，c o c k b u m 和s h u 【8 】率先提出 了著名的局部间断有限元方法( l d g ) 间断有限元方法能够受到如此广泛关注，主要在于它采用完全 间断的分片多项式空间来对近似解和试验函数进行空间离散，从而 使得它既保持了通常有限元方法、有限体积法等的优点，又克服了 它们的不足之处，具体表现在： ( 1 ) 能够处理复杂的区域边界和具有复杂边界条件的问题，并 获得与区域内部一致的计算精度； ( 2 ) 易于网格加密和高精度处理边界条件，实现自适应计算，避 免了通常有限元方法( f e m ) 对连续性的限制条件； ( 3 ) 可以通过适当地选取基函数，即提高单元插值多项式的次 数得到任意阶精度的格式； ( 4 ) 具有很好的稳定性在三角形网格下对任何标量非线性守 恒律方程及方程组都能够得到单元熵不等式，而且对任意维空间和 任意阶精度都成立； ( 5 ) 同时又具有很好的局部紧致性，可以更好地模拟解的剧烈 改变 间断有限元方法求解奇异摄动问题还具有一系列优美性质，例 如z q x i e ，z z h a n g 【3 4 ，3 5 ，4 0 ，4 1 】通过精心选取数值通量，发现即使 在一致网格下d g 方法也不产生任何振荡，他们不仅证明了d g 解 的存在唯一性，而且数值上还得到了2 p + 1 阶的超收敛阶以及边界 层局部加密网格下的一致超收敛结果，在研究用m d l d g 方法求解 奇异摄动问题时，他们又证明了解及其导数的误差主项分别与p + 1 阶的右r , a d a u 多项式和左r a d a u 多项式成比例，并且p + 1 阶的右 2 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 r a d a u 多项式和左r a d a u 多项式的根分别是解及其梯度的p + 2 阶超 收敛点，而对于一致的d g 方法，他们证明了解的梯度的离散误差 与p 阶l e g e n d r e 多项式成比例，从而p 阶l e g e n d r e 多项式的根正是 解的梯度的p + 1 阶超收敛点 然而，上述方法大多采用的是如下两种手段： 一是先将高阶方程转化为等价的一阶方程组，把每一个中间变 量都当作未知量，再对方程组用d g 方法求解例如以我们将要考 虑的一维奇异摄动问题 “- 。e 。u ， ：+ u b 。u ， u = 。f ，, ：u 。， ：竺z 2 。， 三豪兹 - 二：u j i 礼n 【o o ，, 1 ， ( 1 1 ) ( 1 - 2 ) 在( 1 2 ) 前两个方程的两端分别乘以试验函数 ，w ，并在剖分单元乃 上分部积分得 j 丘q v 如一6 丘u u 7 d z 一( e q 一阮) 再 嘻 + ( e q 一乩) 二；嚎 2 丘如如 【丘u 训7 d z + f z ，q w d x u ，l ：, w ，l i , + q l _ 二吾2 0 ( 1 - 3 ) 定义间断有限元空间坛为 = 口l 2 ( q ) ：u p p ( 易) ，j = 1 ，2 ，) 记国，痧及i j r 分别为单元边界处的数值流通量，则方程组( 1 3 ) 变为 寻求以q k ，使得 je 丘q v 出一6 丘u 7 如一( q 一6 u ) 升嘻 + ( e 国一6 u ) 卜 喀 2e 知出 i 丘u w 7 如+ 丘q w d x 一岛+ 啄 + 岛一 崞= 0 ( 1 4 ) 硕士学位论文 数值通量的取法决定了d g 方法的类型，例如l d g 方法中所取的一 种数值通量为 = 嚣，m = 一舻， = 器叫飞j 矾= 0 , 1 - 1 这种数值通量的选取不仅保证了计算格式的稳定，还保持了逼近解 的高精度，并且还使辅助变量q 具有局部可解性，但由于还要回代 q 才能解出u 而使过程较为复杂 二是增添边界稳定项使得弱稳定性得以保证，这种方法是由b a u - m a n n 和o d e n 在【2 】中引入的，该方法也可参看o d e n ，b a b u s k a 和b a u m a n n 的文章【1 9 。但是这两种方法下的推导过程较复杂，计算量也 很大，不利于大规模的计算文献【9 ，1 3 ，3 1 】中引入了一种新思路，即 不需要通过引入中间变量来降阶，而是通过对扩散项反复分部积分 来求解该问题 特别值得指出的是，h l l i u 等在文【17 】中提出了一种让人们耳 目一新的简单而直接的间断有限元方法，并将其用于求解非线性扩 散方程 阢一( 口( u ) 以) 互= o ，i n ( o ，1 ) ( o ，r ) ， 【u ( z ，o ) = ( z ) ， i n ( 0 ，1 ) 记通量h ：= ( 以玩) = n ( u ) 以后，该方法直接从弱形式 j 厶u , v d x 一+ k + + 一匕一+ 丘o ( u ) 以k 如= 0 ， 【丘u ( z ，o ) y ( z ) 如= 丘u o ( x ) v ( x ) d x 4 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 出发，通过对一阶导数项取数值通量，避开了上述几种经典d g 方 法的繁琐步骤，依然得到了较好的数值结果 受他们工作的启发，本文创造性地借鉴经典间断有限元方法的 思想，结合文献【1 7 】中求解扩散方程的直接间断有限元方法，研究 了一种针对奇异摄动问题的d d g 方法，这样既简化了经典间断有限 元方法求解奇异摄动问题的推导和计算，又将文献中该方法的研究 问题进一步推广在所使用的计算网格上，本文还在一致网格与两 类s h i s h k i n 网格和两类改进的入等级网格下做了大量数值试验，数 值结果表明，d d g 方法在上述三种网格下都有很好的收敛结果，具 有与原d d g 方法同样的收敛性估计，并且对于两类局部加密网格， 本文还得到了一致收敛性结果 1 2 预备知识：s h i s h k i n 网格和改进的a 等级网格 本文我们考虑问题 旧- e u 羔+ b u2 点h i n ( 0 1 l m 5 ， i 乱( o ) = u o ， 让( 1 ) = u 1 卜叫 这里b o ，e 是一个正的小参数 由正则性估计 1 8 ，方程( 1 - 1 ) 的解的n 阶导数满足i u ( n ) ( z ) 1 2 c n e 掣，当很小时，在z = 1 附近，其导数非常大事实上，在 z = 1 附近有宽度为d ( 引n ；) 的边界层产生 对这种解，若采用均匀剖分，即使使用高次有限元，其精度也 提高很少但若采用局部加密网格，则可以简单、有效地处理这种 带奇性解的奇异摄动问题b a b u s k a 最早对它进行了理论分析，随后 s c h a t z - w a h l b i n 等也作了深入研究，其基本思想是基于如下的误差估 计【1 9 l | u u h i | 硎乱一酬c r 2 n i u l 2 n + 1 ，r ( 1 6 ) 在边界层的导数非常大，不仅损害了有限元的精度，而且还会污染 到整个区域，也就是说在解的光滑区域有限元的精度也随之降低为 了克服这种弊病，应当调整上述求和各项的大小，即对n + 1 ，r 较大 5 硕士学位论文 的地方，采用较小的网格步长，使得蚓牡i n + 1 f 减小，从而达到整体 误差有最佳阶的目的 本文将在如下两种局部加密网格下用d d g 方法求解问题( 1 5 ) ( 1 ) s h i s h k i n 网格 s h i s h k i n 网格，就是选取一个常数7 - ，0 7 - 0 并不是本质的，这样的假设仅仅是为使得边界层出现在 z = 1 附近 定义网格剖分i h 为0 = z z g x n + = 1 ，记单元区间为 易= x j 一吾，x j + 】，歹= 1 ，2 ，n 离散区间的中点为= ( x j 一 t x i + ) 2 ， 单元长度h j2t j l ，最大步长h2 。m y a 州x ，2 ，：爿 易又定义啄 和嚎吾分别为缸在乃+ 处的左右极限值，即 啄；2 。罢墨u z 喀；2 害等墨蚪 进而定义该节点处的平均为 u b + j = ( 略 + 蜢 ) 2 ，跳跃为【心】j + = 略 一啄；间断有限元空间定义为次数p 1 的分片多项式空 间，即 = v l 2 ( 0 ，1 ) ：u p p ( 易) ，j = 1 ，2 ，) ， 且定义空间 v = h 。( q 1 ) = 【u ： h 七( 易) ，歹= 1 ，2 ，) ，k 0 至此为止我们所做的准备工作与经典的d g 方法都是基本相同的， 接下来就是d d g 方法与经典d g 方法不同之处的开始： 在( 2 - 1 ) 第一个方程两边同时乘以试验函数v 并分部积分得 e 0 ：v d x - b - f z ju v d + x - e ( u ，z ) 五 嘻；托( 札z ) 二；喀； ( 2 2 ) + 吆嘻j 一味喀广丘f v d z 、7 9 硕士学位论文 我们要寻求近似解u v h ，使得 ，ef j ju v d z 一6 丘u v d x e ( 玩) 升 蠕+ ( 玩) 卜；吐言 + 6 玩+ 嘻 一6 玩一 吐 2 厶知d z 这里玩和厅为数值通量 即 取u o ) ：蔓嘴) 妒g ) ，口：揣) ，则( 2 - 3 ) 变为 n = l ( 2 - 3 ) ( 三p + l 咄) 妒蜣妒船) - 6 ( 量p + l 咄) 妒鼽妒船7 ) 一e ( 玩) j + ( 妒船) 再 ( 2 4 ) + e ( 玩) 卜 ( 妒船) j r ；+ 6 玩+ ( 妒轺) j 一6 玩一 ( 湍) 二= 丘，妒鲫d z 。 量p + l ( 妒绷7 ，妒硝) _ 6 互p + l ( 妒蜣妒g ) 咄) 一e ( 玩) j + ( 妒卿) 再； ( 2 5 ) + e ( 玩) 卜( 妒鲫) 二+ 6 玩+ ( 妒轺) j ；一峨一( 妒绷) 二= 丘，妒鲫如。 这里的基函数妒在标准单元e = 【- 1 ，1 】上为 上主 2 州9 2t 尹1 卜k “9 l 其中l m ( ) 表示m 阶l e g e n d r e 多项式 通过变量代换 z = 华+ 拳 m = 1 m = 2 ，p ， ( 2 - 6 ) m = p + 1 可将单元【巧一，弓+ ；】映射到标准单元【一1 ，1 】上 因为 妒l ( 一1 ) = 1 ，( p 1 ( 1 ) = 0 ， ( p r o ( 4 - 1 ) = 0 ，m = 2 ，p ， 仍，+ 1 ( 一1 ) = 0 ，仍件1 ( 1 ) = 1 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 所以在方程( 2 5 ) 中， 一( 嚣) j + ( 妒船) 二 + e ( 瓦) j 一 ( 妒船) 二+ 6 玩+ 吾( 妒轺) 再 一6 玩一 ( 妒2 ) 二 i e ( 以) 卜三一6 一 ， m = 1 ， 2 m 一 m = 2 ，腰， 【一e ( 巩) j + + b g j + ，仇2 p + 1 ( 2 7 ) 因此，若记矩阵m 2 = 【( 妒g ) ，妒g ) 7 ) 】，钟- 【( 妒g ，妒g ) 】，则( 2 5 ) 变为 a u o ) 一6 帮u o ) + ( 巩) j 一山一 0 一e ( 以) 州+ b u j + f ( ，妒 屯苏卜8 ) 这样，从弱形式( 2 - 2 ) 出发，我们将看到，通过对一阶导数项取 适当的数值通量玩和引入对流通量矽，最终得到一个线性代数方程 组事实上，由于数值通量的取法会影响到d d g 方法的一些性质， 如稳定性、精度和超收敛性等，因此下一节本文专门讨论d d g 方法 中数值通量的选取 2 2 数值通量的选取 数值通量的选取极其关键，不合适的数值通量甚至将导致完全 错误的结果舒其望在文【2 4 】中曾举出一个例子来说明其后果的 严重性，若简单地将数值通量取为梯度的平均( 玩) 什 = ( ( 以) - + ：+ ( 以) 主。) 2 ，也将得到一组近似解，但事实上这却是完全错误的! 可 见不合适的数值通量得出的结果多么具有迷惑性。为了解决这个问 题，舒其望等采用引入中间变量的方法将原方程先降阶成一个一阶 方程组，再用d g 方法求解它们。 文【1 7 】中h l l i u 等另辟蹊径，提出了直接间断有限元方法，并 给出了一个一般的相容且守恒的数值通量格式本文在用其求解奇 硕士学位论文 异摄动问题时，仍沿用h l l i u 等所取的数值通量格式，即 玩= 岛翌m ) + 篓眦一栅 ( 2 - 9 ) 其中p 是相邻两个计算单元上所使用的多项式的最高次数，是向 下取整函数对于非一致网格，在节点+ 处，取a x = 华，而 对于一致网格，在所有节点处都取a x = 专例如p = 1 时，取 玩= 岛盟a x + 【巩 p = 2 ，3 时，取 玩= 风盟a x + 【玩) + 角z 【爿 这里的屈取值十分考究，特别是f l o ，如果取值不合适，即使在我们 这种通量格式下，得出的数值结果也很有可能是不正确的 本文计算了当p = 1 ，2 ，3 ，4 时的情形，数值结果表明，若取 玩= 风翌+ ( 2 - 1 0 ) 则当p 为奇数时，得到p + 1 阶的收敛阶；而当p 为偶数时，仅得到 p 阶的收敛阶但若取 玩= 风盟a x + 巩) + 侥z 【观z 】，( 2 - n ) 则对p = 2 也可得到p + 1 阶的最优阶，若取 荭= 岛翌+ 【以卜卜岛z 【玩z 】+ 仍( z ) 3 【以嚣z 】，( 2 - 1 2 ) 则对p = 4 也可得到p + 1 阶的最优阶 另外，与对流项相对应的数值通量厅，我们一律按照经典的迎风 机制选取，即 ， 2 协，置， 仁 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 2 3 数值例子 本节将用上一节介绍的数值方法来求解具体的模型问题为简 单起见，我们在( 2 - 1 ) 中取b = 1 ，= e 。，u o = u - = 0 ，即考虑如下奇异 摄动两点边值问题 - - g u 篙n + = e u ( 2 1 ) = 0 0 蚝1 l ( 2 - 1 4 ) i i 钍( o ) = o ， ) = 、7 其真解为 u：善篙l-。)铲(1-e ，洲 ( 二1 5 ) u = c (一言) ( 2 -) 【南( e 一1 ) 一z 矿， = 1 我们定义l 。模误差如下： 仳卅咖( n 厶( u 卅2 捌 仳一u 忆= ( 厂( u u ) 2 如) 5 j 2 l j 表2 - 1 和表2 - 2 分别列出了= 0 i 和e = 0 0 1 时，d d g 方法在一 致网格下，取数值通量( 2 一1 0 ) ，当p = 1 ，2 ，3 ，4 时的l 2 误差以及它们 对应的收敛阶。 表2 - 1 一致网格下d d g 解的l 2 误差及其收敛阶，e = o 1 p = 1p = 2p = 3p = 4 n i | u g i l l 2 o r d e r i l 钍一u i i l 2 o r d e r i | u u i i l 2 o r d e r 一u i i l 2o r d e r 6 46 0 8 争0 0 4 6 5 5 争0 0 5 1 3 7 e - 0 0 6 1 0 7 e _ 0 0 7 1 2 81 5 2 e 0 0 42 0 01 5 8 e - 0 0 52 0 49 4 9 e - 0 0 83 8 56 6 9 e 0 0 94 0 0 2 5 63 8 0 e - 0 0 52 0 03 8 9 争0 0 62 0 2 6 2 4 e - 0 0 93 9 34 1 8 争0 1 04 0 0 5 1 29 4 9 e - 0 0 62 0 09 6 5 争0 0 72 0 13 9 9 争01 03 9 72 4 4 e - 0 114 0 9 1 0 2 42 3 7 e 0 0 62 0 02 4 0 争0 0 72 0 12 4 9 e - 0 1 14 0 06 3 2 争0 1 2 1 3 硕士学位论文 p = 1 p = 2p = 3p = 4 n i i u g i l l 2 o r d e r l 阻一u i i l 2 o r d e r i i u g i l l 2o r d e ri | “一u l l l 2 o r d e r 6 41 7 5 e - 0 0 2 2 3 4 e - 0 0 3 1 7 0 e - 0 0 4 2 9 3 e 0 0 5 1 2 84 4 1 e 0 0 31 9 95 4 9 e - 0 0 42 0 91 1 7 争0 0 53 8 52 1 3 争0 0 63 7 8 2 5 61 1 0 争0 0 32 0 01 2 7 e - 0 0 42 1 17 5 3 争0 0 73 9 61 - 3 5 争0 0 73 9 8 5 1 2 2 7 8 e 0 0 42 0 02 9 9 争0 0 52 0 94 7 4 争0 0 83 9 98 1 0 e - 0 0 94 0 6 1 0 2 46 8 9 e - 0 0 52 0 07 2 0 e - 0 0 62 0 63 0 1 争0 0 93 9 8 4 8 9 e 0 1 04 0 5 从表2 - 1 和表2 - 2 可以看到，取数值通量( 2 - 1 0 ) ，则当p = 1 ，3 时 得到p + 1 阶收敛的三2 误差估计，而当p = 2 ，4 时仅得到p 阶收敛的 l 。误差估计 但当p = 2 和p = 4 时，分别取数值通量( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) ，则在一 致网格下，p = 2 ，4 时的收敛阶也可以达到p + 1 阶表2 - 3 和表2 4 分 别列出了e = 0 1 和= o 0 1 时，改进通量后的如误差及其收敛阶 表 表 p = 2p = = 4 n i i u u 0 如 o r d e r l i 乱一u i i l 2 o r d e r 3 26 2 1 3 争0 0 5 5 4 0 5 e 0 0 3 6 47 7 9 9 争0 0 6 2 9 9 42 5 0 9 e - 0 0 4 4 4 2 9 1 2 89 7 5 9 e - 0 0 72 9 9 88 9 0 7 e _ 0 0 64 8 1 6 2 5 61 2 2 1 e 0 0 72 9 9 92 8 9 9 e _ 0 0 74 9 4 1 5 1 21 5 6 4 e 0 0 82 9 6 59 2 0 6 e 0 0 94 9 7 7 p = 2p = 4 n i l u g i l l 2 o r d e r 0 u g i l l 2 o r d e r 3 21 2 0 8 争0 0 2 2 8 4 5 e - 0 0 4 6 4 1 9 8 2 e 0 0 32 6 0 81 2 3 6 e _ 0 0 54 5 2 4 1 2 82 7 1 8 e - 0 0 42 8 6 64 3 0 0 争0 0 7 4 8 4 5 2 5 63 4 8 1 争0 0 52 9 6 51 3 8 8 e 0 0 84 9 5 3 5 1 24 3 7 8 争0 0 62 9 9 14 4 1 6 e 0 1 04 9 7 4 1 4 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 图2 - 1 和图2 - 2 以p = 1 为例，分别绘出了e = 0 1 和e = 0 0 1 时 d d g 方法在一致网格下计算解和真解的图形，从图中可以看出，d d g 解和真解吻合得很好。 图2 1 ：一致网格下d d g 解和真解 的拟合图，e = 0 1 ，p = 1 图2 2 t 一致网格下d d g 解和真解 的拟合图，= 0 0 1 ，p = 1 1 5 直接间断有限元方法求解奇异摄动同题 3 基于局部加密网格的d d g 方法求解奇异摄动问题 本章我们仍以模型( 2 - 1 4 ) 为例，将利用前面介绍的d d g 方法， 分别在两类s h i s h k i n 网格和改进的a 等级网格下求解一维奇异摄动 问题，并分析此方法的一致收敛性 3 1 第一类s h i s h k i n 网格和第一类改进的入等级网格下的数值结果 ( i ) 第一类s h i s h k i n 网格下的数值结果 表3 1 一表3 4 列出了在第一类s h i s h k i n 网格下，当取数值通量 ( 2 - 1 0 ) ，p = 1 ，2 ，3 ，4 时的d d g 解的l 2 误差及其收敛阶结果表明，当 p 为奇数时，收敛阶为p + 1 ，而当p 为偶数时，收敛阶为p e = 1 0 2= 1 0 4= 1 0 6 n i l u u i i l 2 o r d e r i i u u i i l 2 o r d e r i i u u i i l 2 o r d e r 6 41 1 1 2 e 0 0 3 1 3 4 1 e - 0 0 4 6 3 1 7 争0 0 5 1 2 83 7 6 l 争0 0 41 5 6 44 2 8 4 e - 0 0 51 6 4 61 5 4 8 争0 0 52 0 2 9 2 5 61 2 2 5 争0 0 41 6 1 91 3 2 9 e - 0 0 51 6 8 84 1 8 3 争0 0 61 8 8 8 5 1 23 8 7 0 争0 0 51 6 6 24 0 4 5 e - 0 0 61 7 1 61 1 6 l 争0 0 61 8 4 9 1 0 2 41 1 9 4 争0 0 51 6 9 71 2 2 4 争0 0 61 7 2 43 1 6 2 争0 0 71 8 7 7 e = 1 0 2= 1 0 4= 1 0 6 n | | u u i i l 2 o r d e r 一t ；l l l 2 o r d e r i i u u i i l 2 o r d e r 6 41 5 9 5 争0 0 4 1 5 8 0 e 0 0 5 1 5 9 3 争0 0 6 1 2 8 3 3 4 0 各0 0 52 2 5 6 3 3 0 7 各0 0 62 2 5 63 3 1 6 争0 0 7 2 2 6 4 2 5 66 9 2 7 争0 0 62 2 6 96 8 5 9 昏0 0 72 2 6 96 8 6 5 8 0 0 82 2 7 2 5 1 21 5 4 1 昏0 0 62 1 6 91 5 2 5 臼0 0 72 1 6 91 5 2 5 各0 0 82 1 7 0 1 0 2 43 8 6 0 各0 0 71 9 9 73 8 2 2 良0 0 81 9 9 73 8 1 4 8 0 0 92 0 0 0 1 7 硕士学位论文 e = 1 0 2e ：1 0 4e = 1 0 6 n l i u u i i l 2 o r d e r 0 u u i i l 2 o r d e r 0 u u i i l 2 o r d e r 6 42 1 6 1 争0 0 5 2 1 3 9 争0 0 6 2 1 3 9 争0 0 7 1 2 82 5 6 4 争0 0 63 0 7 52 5 3 8 e - 0 0 73 0 7 52 5 3 8 e - 0 0 83 0 7 5 2 5 62 7 5 6 争0 0 73 2 1 82 7 2 8 争0 0 83 2 1 82 7 2 8 e - 0 0 9 3 2 1 8 5 1 2 2 7 6 5 争0 0 83 3 1 72 7 3 8 e - 0 0 93 3 1 72 7 3 8 争0 1 03 3 1 7 1 0 2 42 6 3 9 争0 0 93 3 8 92 6 11 e - 0 1 03 3 9 02 9 1 8 e - 0 1 13 3 2 3 = 1 0 2 e ：1 0 4= 1 0 6 n i j 钍一u i i l 2 o r d e r i j 札一u i j l 2 o r d e r 一u i i l 2 o r d e r 6 43 4 0 4 e - 0 0 6 一3 3 7 0 e - 0 0 7 3 3 7 0 争0 0 8 1 2 82 6 3 1 争0 0 73 6 9 32 6 0 5 争0 0 83 6 9 32 6 0 5 e - 0 0 93 6 9 3 2 5 61 9 5 9 争0 0 83 7 4 81 9 3 9 e - 0 0 93 7 4 81 9 4 0 e - 0 1 03 7 4 7 5 1 21 5 3 0 争0 0 93 6 7 81 5 1 2 争0 1 03 6 8 11 1 5 5 e - 0 1 14 0 7 0 1 0 2 41 2 1 7 e - 0 1 03 6 5 31 3 7 5 e - 0 1 1 1 6 0 3 争0 1 l 一 ( i i ) 第一类改进的a 等级网格下的数值结果 表3 - 5 3 - 8 分别列出了在第一类改进的a 等级网格下，当取数值 通量( 2 1 0 ) ，p = 1 ，2 ，3 ，4 时d d g 解的l 2 误差及其收敛阶，其中依 次取1 0 2 ，1 0 一，1 0 一数值结果表明，仍然是当p 为奇数时，收敛阶为 p + 1 ，当p 为偶数时，收敛阶为p e = 1 0 2e = 1 0 4：1 0 6 n 一u i i l 2 o r d e r 0 u u i i l 2 o r d e r i l 牡一u l l 如 o r d e r 6 42 3 3 2 争0 0 4 8 0 9 3 争0 0 5 6 2 2 9 e - 0 0 5 1 2 8 6 1 8 6 e - 0 0 5 1 9 1 52 2 0 4 争0 0 51 8 7 61 5 0 4 e - 0 0 52 0 5 0 2 5 61 6 3 7 争0 0 5 1 9 1 85 6 6 1 争0 0 61 9 6 14 0 0 9 e - 0 0 61 9 0 8 5 1 24 3 1 3 e - 0 0 6 1 9 2 41 3 5 9 e - 0 0 6 2 0 5 8 1 0 9 7 e - 0 0 61 8 6 9 1 0 2 41 1 3 l 争0 0 6 1 9 3 1 3 3 6 7 e - 0 0 72 0 1 32 9 3 5 争0 0 7 1 9 0 2 1 8 直接间断有限元方法求解奇异摄动问题 = 1 0 2e = 1 0 4e = 1 0 6 n i i u 一刚l 2 。 o r d e r i i u u i i l 2 o r d e r 一u i i l ： o r d e r 6 45 6 2 5 e 0 0 5 5 5 7 1 e 0 0 6 5 9 2 9 e - 0 0 7 1 2 81 5 1 5 e - 0 0 51 8 9 31 4 9 9 e - 0 0 61 8 9 41 5 2 l e - 0 0 71 9 6 3 2 5 64 0 5 5 e - 0 0 61 9 0 14 0 1 5 e _ 0 0 71 9 0 14 0 2 8 争0 0 81 9 1 7 5 1 21 0 7 7 争0 0 61 9 1 21 0 6 7 e - 0 0 7 1 9 1 21 0 6 7 e - 0 0 8 1 9 1 6 1 0 2 42 8 4 3 e - 0 0 71 9 2 22 8 1 4 e - 0 0 81 9 2 22 8 1 4 e - 0 0 91 9 2 3 表3 - 7 第一类改进入等级网格下d d g 解的l 。误差及其收敛阶，p = 3 = 1 0 2e = 1 0 4= 1 0 6 n i i u u i i l 2 o r d e r i l 让一u i i l ： o r d e r l i 让一u i i l 2 o r d e r 6 48 9 2 0 e - 0 0 7 8 8 3 1 e - 0 0 8 8 8 3 9 e 0 0 9 1 2 86 4 8 2 争0 0 83 7 8 26 4 1 8 e - 0 0 93 7 8 26 4 2 2 e - 0 1 03 7 8 3 2 5 64 6 3 0 e - 0 0 93 8 0 84 5 8 4 e - 0 1 03 8 0 84 5 8 6 e - 0 l13 8 0 8 5 1 23 2 5 7 e - 0 1 03 8 2 93 2 2 4 e - 0 113 8 2 93 2 2 2 e - 0 1 23 8 3 1 1 0 2 42 2 5 5 e - 0 113 8 5 22 2 4 1 e 0 1 23 8 4 72 4 0 l e - 0 1 33 7 4 6 表3 - 8 第一类改进入等级网格下d d g 解的l 2 误差及其收敛阶，p = 4 = 1 0 2e = 1 0 4e = 1 0 6 n i i u 一硎l 2 o r d e r i i u