（概率论与数理统计专业论文）紧李群上随机游动的弱收敛.pdf

摘要 本文主要考虑紧李群上的随机游动的弱收敛问题该问题等价于紧李群上卷积测 度的弱收敛应用p e t e r - w e y l 定理( 即紧李群上的傅立叶变换) ，我们给出紧李群上 随机游动弱收敛的一些条件我们分共轭不变的随机游动和一般的随机游动两种情况 给出相似但不相同的刻画作为前者的一个简单特例，疆们讨论了紧李群sd f ( 2 ) 上共 轭不变的随机游动并由此启发我们用这篇文章里得到的结果，推出紧李群上所有弱 收敛的随机游动最后必然弱收敛到一个李子群上的h a a r 测度。 关键词：弱收敛，随机游动，紧李群，卷积，p e t e r w i y l 定理，紧李群上的傅立时变 换 i i a b s t r a c t t h i sp 印e rm 血n l yc o n s i d e r st h ew e a kc o n 唱e n c eo fr a n d o mw a l k so nc o m p a c t l i eg r o u p s t h i si se q u i v 越e n tt ot h e 耽a kc o n v e r g e n c eo fc o n v o l u t i o np r o d u c to f p r o b a b i l i t ym e a 8 u r e 8o nc o m p a c tl i eg r o u p s v s i n gp e t e r w e y lt h e o r e m ，w ed e c r i b e t h ec o n d i t i o n sw h e nr a n d o mw 8 l k sw e a k l yc o n v e r g et ot h en o r m a l i z e dh a 舡m e a s u r e o nc o m p a c tl i eg r o u p s w ed e mw i t ht h ec o j u g a t ei n v a r i a n tc a s e 赳l dt h eg e n e r a lc a s e s e p 8 r a t e l yu s i n gs i m i l a rb u td i f f e r e n ta p p r o a c h e s w ea l s os t u d yas i m p l ee x a m p l e ， c o n j u g a t ei n v a r i a n tr a n d o mw a l k so ns u ( 2 ) w bg i 、陀ac o m p l e t ed e p i c t i o ni nt h i s s p e c i a lc 踮e b a s e do nt h el e 8 u l t s ，w es h a wt h a ta i l yw e a k l yc o n v e r g e n tr a n d o mw a l k o nac o m p a c tl i e 鄹i o u pc o n v e r g e s 、掩a k i yt ot h en o r m 8 l i z e dh a 矗rr r 崦a s u r eo ns o m el i e 5 u b g r o u p k e yw o r d sa n dp h r 越e s ： w e a kc o n v e r g e n c e ，r a n d o mw a l k ，c o m p a c tl i eg r o u p c o n v o l u t i o n ，p e t e r - ，e y lt h e o r e m ，f b u r i e rt r a n s f o r m a t i o no nc o m p a c tl i eg r o u p s ， c h a p t e rl i n t r o d u c t i o n w es t u d yt h ew e kc o n v e r g e n c eo fr 眦d o mw a l k s ，o re q u i v a l e n t l y ，t h a to fc o n v 0 - 1 u t i o np r o d u c t so fp r o b a b i l i t ym e 8 s u r e s ，i nc o m p a c tl i eg r o u p s d i a c o n i s 2 ( 1 9 8 8 ) a n dr o s e n t h a l 【7 j ( 1 9 9 4 ) h a v eu s e de o u r i e r 瑚【e t h o d st os t u d yt h ed i s t “b u t i o n a lc o n v e r g e n c eo f r a n d o mw a l k st oh 铋rm e a s u r e so nf i n i t eg r o u p 8a n di s o m e8 p 吣a ic a s e s l l eg r o u p 8 w bh e r ew m s t u d yt h ec o n v e 唱e n c eo fr a n d o mw 缸k si nc o m p a c tl i eg r o u p s t oh a a rm e a s u r e s ，u s i n gf b u r i e rm e t h o d sb a s e do np e t e r w b y it h e o r e mt h l sm e t h o d h a sb e e na p p l i e di nl i a o 5 】a n dl i a o ( 6 】r e c e n t l yt os t u d yt h ef ( ) u d e re x p a n s i o n s 。f t h ed i s t r i b u t i o nd e n s i t i e so fl 曲yp r o c e s s e sj nc o m p a c tl i eg r o u p 8a n dt oo b t a l nt h e e x p o n e n t i a lc o n v e 。g e n c eo ft h ed i s t r i b u t i o n st oh a 缸m e 8 s u r e s t h ec o n v e r g e n c ec o n s i d e r e dj nt h e s ew o r k sa r ec o n v e r g e n c eu n d e rt h et o t a lv a r i a t i o nn o r mi nf h ep r e s e n t p a p e r ，o n l yw e a kc o n v e r g e n c ew i ub ec o n s i d e r e d t h ei t 6 k a w a d at h e o r e mp r o v i d e sac o m p l e t ec h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h ew e a kc o n v e r g e n c eo fc o n v o l u t i o np r o d u c t so fp r o b a b i l i t ym e a s u e so nc o m p a c tt o p 0 1 0 9 l c a lg r o u p s h d w e v e r ，t h ep r e s e n ta p p r o a c h ，b a s e do nt h ep e t e r w e y it h e o r e m ，i nt h ec a s eo fc o m 。 p a c tl i eg r o u p s ，i ss i m p l e ra i l dp r o v i d e sa na l t e r a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n al i eg r o u p g i sag r o u pa n da m a m f 0 1 ds u c h t h a tb o t h t h ep r o d u c t m a p g g 弓 ( 9 ) h9 h ga n dt h ei n v e r s em a pg 弓9 9 1 ga i es m o o t hi nt h es e q u e i w ew i l la 】w a y su s egt od e n o t eac o m p a c tl i eg r o u p la n da s s u m ec 1 a ta n vm e a s u r eo n gi no u rd i s c u s s i o ni sd e 矗n e d 。nb ( g ) ，t h eb o r e l 盯一a l g e b r ao ng r a n d o mw a l k slr 1g a n dc o n v o l u t i o n so ft w o l e a 8 u r e si nga f ed e 矗n e da sf b l l o w s d e f i n i t i o n1 1 ar o n d 口m 叫n 瞻o nn 三增g 阳“pg 惜k = x l x 2x 。训 e 他 x l ，x 2 j b 一他os e 舭鲫i c e 。，z 佗d e 钟n 如扎fn n 矗。幽n f 2 f 坷d t n 6 “把dg 一? 旭乜鲥m n d o 仃 口。九“b 把s i e 6 n i t i o n1 2 e p 口订dp6 e 叫om e a s 吐他so ng ，a e 礼撬z rc 。n 。2 u “o n “ p 。sn m g u 他d ngd 顿n e d 晒 ， 肛 p ( ，) = ，( 夕 ) “( d g ) ( d ) jgjg ，d ro n 9 日d 他f a 札c 。d 凡，o 礼g i ft h ec o m m o nd i s t r i b u t i o no f 砥i sd e n o t e db yp ，t h e nt h ed i s t “b u t i o n “no fk i s ，n = 芦m = 卢+ 弘 - 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