（概率论与数理统计专业论文）几类相关风险模型的研究.pdf

摘要 风险理论是金融学和精算学的基础，而其核心问题是破产理论。 本文中，以经典风险模型为基础构造了三类具有相关性结构的风险模 型并对其进行了深入的研究，得到了与破产相关的一些变量的表达式 或性质。 本文主要由五部分组成t 第一章简单介绍了风险理论的历史、现状与主要成果，其中重点 阐述的是有关古典风险模型的问题。 第二章主要介绍了随机和、鞅、b r o w n 运动、泊松过程、广义齐 次泊松过程，c o x 过程等基本概念和相关性质，这些知识构成了本文 的理论基础。 第三章首先研究了带干扰的保费率为常数的双p o i s s o n 风险模 型，利用鞅方法得到了最终破产概率的上界，并将该模型推广为带干 扰的广义双p o i s s o n 风险模型，得到了类似的性质和结论。 第四章介绍了另一类风险模型：索赔相关且保费随机收取的 p o i s s o n 风险模型，前两节针对保单到达过程与理赔次数过程相关的 两种情形分别进行了研究。第三节将险种推广到多险种的情形，类似 第三章利用鞅方法得到了模型的破产概率，并得出模型的l u n d b e r g 不等式及其最终破产概率的精确表达式。 第五章给出了较第四章更一般的一类风险模型双c o x 风险模型， 并对其进行了一点推广，研究了稀疏过程下的双c o x 风险模型的破产 概率。 关键词：双p o i s s o n 风险模型，鞅方法，破产概率，l u n d b e r g 不等式， 双c o x 风险模型 a bs t r a c t r i s kt h e o r yi st h eb a s i cd i s c i p l i n eo fl e a r n i n gf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s a n dt h ea c t u a r i a lm a t h e m a t i c so fi n s u r a n c e i t sc o r ei st h es t u d yo fr u i n t h e o r y i nt h i sp a p e r , b a s e do nc l a s s i c a lr i s km o d e l ，w ec o n s t r u c ta n d r e s e a r c ht h r e ek i n d sr i s km o d e l sw i t hd e p e n d e n c e f i n a l l yw eo b t a i n s o m ee x p r e s s i o n so rc h a r a c t e r so ft h ev a r i a b l e sa b o u tr u i n f i v ec h a p t e r sc o n s t i t u t et h i sp a p e r i nc h a p t e ro n e ，w es i m p l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h ep r e s e n t c o n d i t i o n sa n dm a i nr e s u l t so fr i s kt h e o r y , a n de s p e c i a l l yp a ym o r e a t t e n t i o no nc l a s s i c a lr i s km o d e l i nc h a p t e rt w o ，w eo u t l i n ek n o w l e d g ea b o u tb r o w nm o t i o n ，p o i n t p r o c e s s ，m a r t i n g a l e ，h o m o g e n e o u s p o i s s o n p r o c e s s ，g e n e r a l i z e d h o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s a n ds oo n t h i sk n o w l e d g ei st h e f o u n d a t i o no ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s t l ys t u d yd o u b l ep o i s s o nr i s km o d e lw i t h d i f f u s i o n ，a n a l y z ea n dd i s c u s st h em o d e l w ea t t a i nu p p e rb o u n d so ft h e r u i np r o b a b i l i t yb ym a r t i n g a l em e t h o d t h e nw ee x t e n dt h em o d e lt o c o m p o u n dd o u b l ep o i s s o nr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o n ，a n dg e ts i m i l a r r e s u l t s i nc h a p t e rf o u r , w ei n t r o d u c ea n o t h e rr i s km o d e l ，w h e r ec l a i ms i z e d e p e n d so ni n s u r a n c ep o l i c ya r r i v a ls i z ea n di n s u r a n c ep o l i c yi st a k e ni n r a n d o m l y a f t e r w a r d sw eg e n e r a l i z et h em o d e lt o am u l t i p l el i n e r i s k p r o c e s sw i t hd i f f u s i o n w ec a na l s oa t t a i nu p p e rb o n d so f r u i np r o b a b i l i t y a n dp r e c i s ee x p r e s s i o no ft h er u i np r o b a b i l i t y i nc h a p t e rf i v e ，w eg i v eak i n do fm o r eg e n e r a b l er i s km o d e l ： d o u b l ec o xr i s km o d e lw i t hd i f f u s i o n ，e x t e n di tt od o u b l ec o xr i s km o d e l w i t ht h ec l a i mp r o c e s si sap t h i n n i n gp r o c e s so ft h ei n s u r a n c ep o l i c y a r r i v a lp r o c e s s ，a n ds t u d yr u i np r o b a b i l i t yo ft h en e wm o d e l k e yw o r d sd o u b l ep o i s s o nr i s km o d e l ，m a r t i n g a l em e t h o d ，r u i n p r o b a b i l i t y , l u n d b e r gi n e q u a t i o n ，d o u b l ec o x r i s km o d e l i l 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：酶盘亟 日期：丑咀年且月丝日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 硕士学位论文绪论 1 1 风险理论的介绍 第一章绪论 今天人们习惯用“风险 这个词来表达各种可能发生的灾害和不利的事件。 因为我们确确实实生活在一个充满风险的自然环境和社会环境之中。风险已经或 多或少的成为现代生活无法回避的事实。当然，所面临的具体问题不同，每个人 对风险这个概念的理解和描述也各不相同，同一个词汇可能用来表达不同的意 思，例如，一个社会心理学家可能用“追求风险刺激 来解释某种少年违法行为， 这时他对风险的理解与证券分析人员在讨论股票投资时用到的风险的概念是有 很大差异的，本文所研究的是保险学中的风险问题。 在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率 或“不确定后果之间的 差异程度 等等。风险理论是近代应用数学的一个重要分支，而破产理论( r u i n t h e o r y ) 则是风险理论( r i s kt h e o r y ) 的核心内容。风险理论主要应用于金融、保 险、证券投资以及风险管理等方面，它借助概率论与随机过程理论来构造数学模 型描述各种风险业务。 现已公认，破产理论的研究溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表的博士论文 1 ，至今已有一百多年的历史。风险理论中破产理论的研究既有 其实际的应用背景，也有其概率论上的兴趣。事实上，一类最重要的随机过程， 即p o i s s o n 过程，j 下是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出的。不过，l u n d b e r g 的 工作不符合现代数学的严格标准，它的严格化是以h a r l d c r a m e r ( 1 9 3 0 ，1 9 4 5 ，1 9 5 5 ) 2 ，3 ，4 为首的瑞典学派完成的，是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在坚实的数学基础之上，与此同时，c r a m e r 也发展了严格的随机过 程理论。现已公认，l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作为经典破产理论奠定了坚实的基 础。 g e r b e r 是c r a m e r 之后，当代研究破产理论的国际领先学者。随着随机过程， 随机点过程等理论的发展，g e r b e r 5 ，g r a n d e l l 6 3 以及a s m u s s e n 7 等人系统 地论述了风险理论的思想。随后，波兰的t o m a s zr o l s k ii s 等人在其著作中对 这一理论进行总结推广和完善。风险理论的研究由此进入了一个相对成熟的阶 段。 定义1 1 1l u n d b e r g - c r a m e r 经典破产模型 保险公司在，时刻的盈余由下式给出： 硕士学位论文绪论 u ( ，) = u + c t - 五，r o k = l 其中u 为初始资本，c 为保险公司单位时间内收取的保费，即保费率， 五( k 1 ) 表示保险公司第k 次的理赔额，( r ) 则表示到时刻，为止发生的理赔总 次数。 上述模型的第一个基本假定为独立性假定： 假定1 ( 独立性假定) 设 五；七l 是恒正的、独立同分布的随机变量序列，记 f ( x ) = 尸( 墨x ) v x 0 ， 。e 【墨】2 上： 1 - ，( x ) 出； ( ，) ；f 0 ) 是以五( 兄 0 ) 为参数的p o i s s o n 过程； 五；七1 ) 与 ( f ) ；，o ) 相 互独立。 盈余过程 u ( ，) ；，0 的一条样本轨道示于图l 一1 - 图1 1 以下恒记 ( n s ( ，) = 以 v t o ， k = l 它表示到时刻，为止发生的理赔总金额。由模型的独立性假定知 研s ( ，) 】= e n ( t ) i e x l 】- 舡， 为确保保险公司稳定经营，通常要求 c ，一e s o ) 】= ( c a l a ) t 0 ； ，0 即c 础 2 硕士学位论文绪论 为此，需要下述安全负载假定： 假定2 ( 相对安全负载假定) 设c = ( 1 + 9 ) 舡 其中0 0 ，则称目为相对安全负载。 由p o i s s o n 过程具有齐次独立增量性和模型的独立性假定知， c t s ( f ) ；f 0 ) 为 齐次独立增量过程，这样，由强大数定律得 l i mu ( t ) = 4 - 0 0 ，a s 不过，这并不排除在某一瞬间盈余过程有可能取负值，这时称保险公司“破产 。 以下恒记丁为保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令 t = i n f t ；u ( t ) 0 ) ，i n f 粤i = o o l u n d b e r g 和c r a m e r 研究的是保险公司的最终破产概率： 甲( u ) = p ( t o oiu ( o ) = “) ，u 0 以下简称甲f u ) 为破产概率。显然，破产概率可以作为评价保险公司偿付能力的 一个数量指标。l u n d b e r g - c r a m e r 的结果可直观的表述为：当初始准备金u 充分 大，保险公司在经营“小索赔”情形的保险业务时，破产是不易发生的。 现给出“小索赔 的确切含义，这由假定3 给出： 假定3 ( 调节系数存在唯一性假定) 首先，要求个体索赔额的矩母函数 e r x d f ( x z ) 扭 ( 1 一1 ) x ( ， 】- ) = 1 + ，【z ) 弦 ( 卜1 ) 至少在包含原点的某个邻域内存在； 其次，要求下述方程 m x ( ，) = l + ， ( 卜2 ) 以 具有j 下解。 注基于m r ( ，) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 卜2 ) 若有 正根，必是唯一的，以下恒记为r ( 如图卜2 ) ，并称其为调节系数。 由( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) 两式知，调节系数尺满足下述等式： 3 硕+ 学位论文 绪论 jl m x ( ，) 厂 五 r 图1 - 2 姜r e r x 【l 川x ) f x = 1 ( 1 - 3 ) 注意到 詈肛肌，k = 詈= 南 t 因此，非负函数争1 一f ( z ) 】，x o 不是一个概率密度函数，但若令 ( z ) _ - - e r x 争l f ( x ) 】，魄o 由( 卜3 ) 式知厂( x ) 为一概率密度函数，这便解释了调节系数尺命名的由来。 定理1 1 2 ( l u n d b e r g - c r a m e r ) 若假定1 ，2 ，3 都成立，则有下列结论成立： ( 1 ) 甲( o ) 2 丽1 ；( 1 - 4 ) t ( u ) e - r uv u 0 ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 近似：存在常数c ，使得 y ( “) 一c e - r u , u 专 即： l i m w c p ( 一u ) = 1 ( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) 注初始盈余为0 时，破产概率甲( o ) 的确切解仅依赖于相对安全负载9 ，而和个 体索赔额分布的具体形式无关。此外，( 1 - 5 ) ( 1 - 6 ) 两式解释了：若初始盈余很大， 保险公司在经营“小索赔 情形的保险业务时，破产是不易发生的。 4 硕士学位论文 绪论 1 2 破产理论中研究方法的改进 定义1 2 1 更新论证技巧 设( “) = 1 一甲( “) = p ( u 0 ) 0 ；t 0 i u ( o ) = “) 它表示初始盈余为”时，保险公司永不破产的概率，也称为生存概率。 首先，根据首次索赔发生的时刻石和首次索赔额五的大小，对生存概率运用全 概率公式，可得 ( “) = e 【( 材+ c 互一五) 】= f 2 e mr + d ( 甜+ 甜一z x 旷( z ) d r 令x = u + 甜，上式变为 e a ( 咖_ 耋e l cf e - ur q 矽( z ) d x 这表明( 甜) 是可微的。在上式两端对材求导，可得 似) ：兰( 甜) 一兰c m 似一z ) a f ( z ) ccw 上式两端从0n t 积分，可得 唧) 一e a ( o ) = 昙f ( 材) d u + 詈f ，卿q ) d o 却( z ”幽 化简整理得 因l i m q ) ( u ) = 1 ， h o d 于是有 o ) = 西( o ) + 墨f 一z ) 【1 一f ( z ) f z c 卅 则在上式两端令，_ 佃，即得 l = 唧) + 兰cf 【1 川z ) k = 叩) + 詈 甲( o ) = l m ( 。) = 詈= r b 从而( 1 - 4 ) 式得让。 进而 唧) - l - 昙j c o 【l 川z ) p + 兰cf 叫【l 州z ) 】出 - 1 - 害f 【1 川z ) k 一詈f 【l 叫，_ z ) 】【1 - 心) 】比 从而得 岬) = l 刈，) - 詈j f o 【l 川z ) k + 詈f 邺- z ) 【1 州z ) 】如 ( 1 - 7 ) 由于 詈n 州z ，悻= 吾= 南 t 5 硕+ 学位论文绪论 即知( 卜7 ) 式为瑕疵更新方程。为此在( 1 - 7 ) 式两端同乘以e 册( r 为调节系 数) 并令 钟) = p 胁甲( ，) ，) = 詈p 胁j c o 【1 川z ) k ，几) = 昙p 肥1 1 一心) 】 即得 彳( r ) = 口( ，) + f a ( t - z 矿( z ) a z 从而由关键更新定理即知 l i m e g w = l i r a 印) 2 南，其中c l = j c o 砸砂2 而0 这表明脚娑_ 1 ，6 ) 式得证。 注可进一步算得l u n d b e r g c r a m e r 近似式中常数 c = _ ，其中坶) = f e r x d f ( x ) 一l = m ) 一1 办( r ) 一： 定义1 2 2 鞅方法 l u n d b e r g 不等式的鞅方法证明是由h a n sg e r b e r 给出的。 令 + x ( t ) = e r u = x ( 0 ) e x p 一r v ( t ) ) 其中，x ( o ) = e 坷”，r 为调节系数，y ( ，) = c t s ( t ) 。 现令 】，o ) = - r v ( t ) ，f 0 则易知 】，( ，) ，0 为具有零初值，且为齐次独立增量的随机过程，从而易得 e e 7 1 】- e e 制1 ) 】= m 州) ( 一只) = 1 则 x ( ，) ，f 0 为一正鞅。于是，由非负鞅的收敛性定理知 l i m x ( ，) = x ( o o ) o o 口s 现设丁为破产时刻，因为对任意取定的，t a t 为有界停时，故由可选抽样 定理【2 6 】即知 e 【x ( 丁 f ) 】研x ( o ) 】= p 嘏“ 利用全期望公式，由上式推知： e - r u = e x ( ta t ) lt t ) ( 1 8 ) = e x ( t ) it t l p ( t ，) + e 【x ( ，) it r 】尸( 丁 ，) 注意到，当丁 ，时，u ( ，) 0 ，从而 x ( t ) = e 只u 1 这样，在( 卜8 ) 式两端令，j0 0 ，由单调收敛定理与l e b e s g u e 控制收敛定理， 即得 6 硕士学位论文 绪论 p 一黜= 目x ( 丁) lt o o p ( t ) + 研x ( ) l 丁= o o p ( r = ) 又因l i m u ( t ) = + o o ，a 8 故知x ( o o ) = o ，a 矗从而有 e 一肌= 研x ( 丁) it o o p ( t 0 ，形( ，) 服从正态分布( 0 ，仃2 ，) 。 则称杪( ，) ，f o 为b r o w n 运动。 如果盯= 1 ，称其为标准b r o w n 运动。 性质2 3 2b r o w n 运动杪( ，l ，o ) 具有下列性质： ( 1 ) ( 正态增量) o ) 一g ) 服从均值为0 、方差为仃2i ，一s i 的正态分布； ( 2 ) ( 独立增量) 形( ，) 一g ) 独立于过程的过去状态0 ) l o 掰s ； ( 3 ) ( 路径的连续性) o ) ，0 是，的连续函数。 2 4 齐次p o i s s o n 过程 定义2 4 1 ( 齐次p o i s s o n 过程m 1 ) 有限计数过程 ( ，l ，o ) 称为齐次p o i s s o n 过程，简称p o i s s o n 过程，如果它满足如下条件： ( 1 ) 尸 ( 0 ) = 0 ) _ 1 ； ( 2 ) 对于任意， s 0 ，增量( ，) 一g ) 有参数为x ( t s ) 的p o i s s o n 分6 ，即对 后= o ，1 ，2 ，有： 尸_ ( 垆后) ：掣p 叫h ) 这里兄0 是常数，称为过程的强度或发生率； ( 3 ) 具有独立增量。 性质2 4 2 n 町齐次p o i s s o n 过程 o l f o ) 在任意时刻，( ， o ) 不可能有跃度超过 1 的跳跃。即对应的点过程没有重点，可用如下数学式表达： p ( ，) = o 或l ，对每一f ( o ，) ) = 1 或p ( 存在( o ，o o ) ，使得n t o 2 ) = o 这里 ，o ) 表示点过程 o ) ，f o ) 在时刻气发生的点数。 1 0 硕士学位论文 预备知识 定理2 4 3 n 0 1 下列一组条件是有限值计数过程 ( f ) ，f o ) 为齐次p o i s s o n 过程 的充分必要条件： ( 1 ) p ( n ( o ) = o ) = 1 ； ( 2 ) 对任意的t 0 和h 0 ，当h 专0 时 和 ( 3 ) 具有独立增量。 p n ( t + j 1 1 ) 一n ( t ) = 1 ) = 2 h + d ( 办) ， ( 2 - 5 ) p o + ) 一( f ) 2 ) = d ( ) ； 2 5 广义齐次p o is s o n 过程 ( 2 - 6 ) 定义2 5 1 ( 广义齐次p o i s s o n 过程) 有限值计数过程 ( f ) ，f 0 ) 称为广义齐 次p o i s s o n 过程，如果它满足下列条件： ( 1 ) p n ( 0 ) = 0 ) = 1 ； ( 2 ) 有平稳增量； ( 3 ) 有独立增量。 下面给出广义齐次p o i s s o n 过程的一个刻划： 定理2 5 2d 明若 ( f ) ，t 0 ) 是广义齐次p o i s s o n 过程，则对任意j 0 ， m 的概率母函数g f ( s ) 必形如 g f ( s ) = e m g 5 卜1 ( 2 - 7 ) 这里旯0 是某一常数， g ( s ) = a s k = l ( 2 - 8 ) 是某一正整数值随机变量x f 二 三三 1 的概率母函数。 其中威给出过 p l仍死 程在任一个点发生时刻有k 个点同时出现的概率。 由此可知，广义齐次p o i s s o n 过程是这样的点过程：它的点发生时刻形成一个强度为五的齐次p o i s s o n 过程， 硕士学位论文预备知识 而在各个点发生时刻所发生的点数是有相同分布 死，尼1 ) 的独立随机变量。事 实上，我们有广义齐次p o i s s o n 过程的另一刻划： 引理2 5 3 1 对于如上给定的参数为五和元的广义齐次p o i s s o n 过程 而( r ) ( f ) ，t o ) 为一复合p o i s s o n 过程，且( f ) = 墨，其中 i = i ( 1 ) 置为n 上的离散随机变量，rp ( x ，= 后) = a ； ( 2 ) 磊( f ) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程。 性质2 5 4 1 在定理2 5 2 的条件下，若瓯= ，则 e n ( t ) = 舡f ( 2 - 9 ) 证明 e n ( t ) = g i ( 5 ) b = a t e 引h g ( s ) b = 2 , t e x ，= 舡f 。 2 6c o x 过程 定义2 6 1 n 点过程 ( f ) ，t 0 ) 称为具有强度过程缸( f ) ，t 0 ) 的c o x 过程( 或 重p o i s s o n 过程) ，如果对于过程c t ( t ) 的几乎所有现实t c ( t ) ，当给定c t ( t ) = t o ( t ) 时， 点过程 ( f ) ，t 0 ) 为具有时倚强度t o ( t ) 的p o i s s o n 过程 按照定义，c o x 过程在给定了随机强度的条件下是一( 带时倚强度的) p o i s s o n 过程，所以人们又把这类过程称作条件p o i s s o n 过程 定义2 6 2 n 如果一个随机过程人= 人( f ) ，t 0 ) 以概率1 满足下列条件： ( 1 ) a ( 0 ) = 0 ： ( 2 ) 对于每一个t 佃，a ( t ) 0 ，实数o - t o t t t 2 厶和非 负整数毛，乞，屯，以概率1 有 尸 ( ) 一n ( t o ) = “一，( 乙) 一( “) = 吒l 露) = 垂尸( ( ) 一( “) = ti 碟) ( 2 1 0 ) ( 2 ) 对露有条件泊松分布，即对任意0 s 胪，表示单位 时间内保费收入大于理赔。由此定义安全负荷系数p ：罢一1 0 ，以及破产时 u d 刻l = 噶 r ：r o ) 0 和， 0 ，我们考察： e e - r i o ( t ) = e p 一棵f i v ， 尸 瓦 f 】+ e p 一席f j 乇， 尸【瓦，】( 3 - 4 ) 1 6 硕士学位论文 带干扰的双p o i s s o n 风险模型及其推广 因为 r ( t ) = “+ 洲( f ) 一u ( f ) + 仃形( f ) 我们把( 3 4 ) 式左边改写为： e e e - r “唧m p 一一) + p - y ( ，) _ 1 垮1 仃2 ) 而在( 3 4 ) 式右边第一项( 记为i ) 中，将r o ) 改写为： r ( f ) = 尺( 乙) + c m ( f ) 一m ( 瓦) 一 u ( f ) 一u ( 瓦) + 盯 ( f ) 一( 瓦) 给定的瓦，r 亿) ，阻o ) 一m 瓴) 】，矽o ) 一u 亿) 】，眇o ) 一矿伍) 】是相互独 立的，于是有： ，= e i e - r r ( 瓦) e - r e ( 晰盹州时咆) 卜叫咐咆) i 瓦 f k 乙 p z ， ( 3 5 ) 由引理3 1 4 ，选取，= r ，即为调节系数。于是( 3 4 ) 式写为： e - r u = e p 糠氓毛i t f p 乙 f + e i e - r r ( t ) l 毛f p 乇f ) ( 3 - 6 ) 若令f 斗佃，则( 3 6 ) 式第一项变为：e f - e - r r ( 兀i 艺 0 ，考察= “+ t c e t 一研3 ，只要f 充分大，它是正的， 而且当f 一佃时专佃。由r o ) 与a 的大小关系将( 3 6 ) 式右第二项拆成两项 有： e le - r r o ) i fi p 瓦略 = e i e - 只 r ( r l 瓦f ，o 尺( f ) 尸 瓦f ，o r ( f ) + e ie - r r ( t ) j 毛f ，尺( f ) i 尸 兀f ，r ( f ) ) p o r ( f ) + e 一足a 由契贝晓夫不等式得： e o r ( f ) ) = 尸 o o ) 和a ( 七= 1 ，2 ，) 的广 义齐次p o i s s o n 过程， 且m ( f ) ：兰置，元：尸( 五：七) ，磊( f ) 是参数为口的泊 松分布；( f ) 表示( o ，t 】内的索赔次数， ( f ) ，t2o ) 是强度为的齐次p o i s s o n 过程；鬈为个体索赔额，】，= y i ；i = l ，2 ，) 独立同分布，设r i 的分布函数为，( y ) ， 矩母函数为m ，( 厂) 且e k = 0 ，由引理2 5 3 易得c a b x 励， 表示单位时间内保费收入大于理赔额由此定义安全负荷系数乡：_ c c x t x l 0 ， p p ， 以及破产时刻乙= i n o f t ：r ( t ) o ；最终破产概率为：y ( “) = p 亿 0 ； ( i i ) 具有平稳独立增量； ( i i i ) 存在正数r ，使得e e r s w 。】 ：定义事件流f s = f s , ，0 ) ，其中 巧s = c ve mv 巧缈 弓i 理3 2 6 f ) e s ；t o 是