（概率论与数理统计专业论文）非线性数学期望及其在金融中的应用.pdf

山东大学博士学位论文 非线性数学期望及其在金融中的应用 王伟 ( 山东大学数学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 随着当今金融市场的快速发展，风险控制问题已经引起人们越来越多的 关注在刚刚过去的2 0 0 8 年，金融危机席卷全球一场始于美国银行业的 金融危机给世界许多国家的经济和金融市场带来极大的冲击一个引人注 目的问题是：我们应该怎样度量金融市场中的风险? 当前金融风险分析领域 中著名的风险度量有一致性风险度量( 参见a r t z n e re ta 1 【2 ，3 1 ) 和凸风险 度量( 参见f s l l m e ra n ds c h i e d 3 7 ，3 8 ，3 9 】及f r i t t e u ia n dr o s a z z ag i a n i n 4 0 ，4 1 】) 在1 9 9 7 年，彭实戈 6 9 】通过倒向随机微分方程引入了俨期望的 概念研究发现驴期望能够构造一致性风险度量和凸风险度量( 参见 8 4 0 江龙【5 l 】进一步给出了俨期望构造的风险度量矿是一致性风险度量或者 凸风险度量的充分必要条件彭实戈【7 4 】在2 0 0 6 年又引入了一种新的非线 性期望一g 期望g 期望是由生成元函数为g 的非线性抛物型偏微分方 程的解定义的与驴期望框架相比，由于g - 期望不需要构建在一个给定的 概率空间上，所以g - 期望理论更加深刻一些由g - 期望构造的风险度量 是一致性风险度量 由于夕一期望和g - 期望在金融中有重要应用，关于旷期望和g - 期望 理论的工作不断涌现在过去的近十年中，俨期望理论受到众多数学家和 金融学家的广泛的关注，不管在基础理论还是在应用方面，都产生了许多优 秀的工作，例如， 1 0 】， 1 3 】，【1 4 】， 1 5 】， 1 6 】， 1 7 ， 3 6 ， 4 4 ， 4 8 】， 4 9 ， 5 1 ，【7 0 和 8 7 】g 期望是一个较新的理论自从g - 期望的概念被提出以来，这个 有趣的理论便迅速发展起来彭实戈获得了在g - 期望框架下的大数定律和 中心极限定理( 参见 7 6 】和 7 7 】) g - 期望的其他一些性质可以参见d e n i s e ta 1 2 8 】和彭实戈 7 5 ，7 8 】 本文主要研究了非线性期望的一些基本问题和它们在风险度量和非线 性定价理论中的应用，共分为四章，以下是本文的结构和得到的主要结论 山东大学博士学位论文 一、第一章主要研究关于夕鞅的基本不等式，包括；两种形式g - 鞅的 极大不等式，俨鞅的k o l m o g o r o v 不等式和d o o b 型俨鞅不等式 对如下形式的倒向随机微分方程( b s d e ) ，t ，t y t = + 夕( s ，y 8 ，z s ) d s 一名。d w , ，t 0 ，t 阳0 1 ) j t，t 如果b s d e 的生成元夕满足( h 1 ) ：l i p s c h i t z 条件与( h 2 ) ：平方可积条件， 则b s d e ( 0 0 1 ) 存在唯一的一对平方可积的适应解( y t ，z t ) 【o ，t i 如果g 还 满足( h 3 ) ：g ( t ，y ，0 ) 三0 ，那么将b s d e ( 0 0 1 ) 的解y t 记为岛吲玩】，并称 之为的条件夕期望；将珈记为岛吲，并称之为的矿期望通过一个 非线性期望可以定义出一个非可加概率：b ( a ) = 岛阮】，其中厶是集合a 的示性函数 首先，我们介绍如下两种形式驴鞅的极大不等式 定理1 3 2 设方程9 满足仲) ，饵剀和似j ：g ( t ，y + y 7 ，z + ) g ( t ，y ，z ) + g ( t ，y 7 ，z p ) ，v t 0 ，卵，v ( y ，z ) ，( y 7 ，z 7 ) r 舻，并且x = ( 五) o t 丁是一个 右连续夕一上鞅那么对正整数入 0 ，下式成立 入己( s u px t 入) 毛p 岛】一毛【坼t 。u px t a 】 t s t t t 设肛是任意个给定的非负常数，当g ( t ，y ，z ) = - # l z i 时，我们将引】记 为一p 】；当g ( t ，y ，z ) = # l z l 时，将毛 】记为 】 定理1 3 5 设方程g 满足俾) 和伊砂x = ( 五) o s 坯r 是一个右连续9 上鞅，并且满足e s u pi 咒1 2 】 0 ，我们得到 o 丁 a p - p ( s u p x t 入) t t 入p - p ( i 醇五一入) a p - 肛( s u pl 咒i 入) t 丁 p x o 】+ p 砗】， 【砗】， p z o 】+ 2 5 叫布】 定理1 3 2 中的不等式比定理1 3 5 中的不等式更精确然而，定理1 3 5 中极大不等式的适用范围更广 接下来，我们介绍g 一鞅的k o l m o g o r o v 不等式和d o o b 型g 一鞅不等式 山东大学博士学位论文 定理1 4 。3 ( 9 - 鞅的k o l m o g o r o v 不等式) 假设函数9 满足( i - i i ) 与但矽 另外假设9 不依赖于可并且夕关于z 是超齐次的，即对任意入r ，z 黔， 都有夕( ，a z ) a g ( t ，z ) 如果x = ( 五o t 0 ，下式 成立 局( s u pi 五l 入) t t o ，m n 的函数妒组成的空间对t t ，显然有l i p ( l 只t ) l i p ( 乃) 定义己巾( 歹) ：= u 器。l 咖( 兀) 给定生成元函数g ( q ) = 壶( q + 一o 0 2 c t 一) ，a 瓞，o 0 ( 0 ，1 】如果对所有 的妒a 脚( r ) ，次线性期望空间( q ，咒，e ) 上的随机变量能够使 u ( t ，z ) ：= e 妒( z + ) 】，( t ，z ) 0 ，。) r ， i i i 山东大学博士学位论文 是如下抛物型偏微分方程 箫 i 嚣：；= 0 ( t ，z ) ( 0 ，) r ， z r 的唯一解，则称服从g - 正态分布对任意0 t l ， o 是g 一上鞅 我们给出两个关于g - 鞅的非常有趣的例子，例子所说明的结论与经典 鞅论是完全不同的 例2 5 5 随机过程 舰= ( b ) t 一亡；t o ) 是一个g 鞅，其中b 为g 一布 朗运动h ( x ) = - - e z ，x r 是一个凹函数经过计算可推出( ( m t ) ) t o 是 一个g 下鞅 例2 5 6 随机过程 尬= ( b ) 一亡+ c ；t o 】l 是一个g 一鞅，其中c 是常 数h ( x ) = - - x 2 ，z r 是一个凹函数( h ( m t ) ) t o 要么是一个g 一鞅，要 么是一个g 下鞅，这取决于参数c 的取值 三、第三章从两个角度分别研究了关于非线性半群的j e n s e n 不等式 前一章已经研究了基于g - 期望的j e n s e n 不等式g 期望是通过一个 非线性半群构造出来的，而这个非线性半群是由一个具有给定生成元函数g 的非线性抛物型偏微分方程生成的本章讨论的半群是由具有更一般的生成 元函数f 的非线性抛物型偏微分方程生成的我们研究关于这类更一般的 半群的j e n s e n 不等式问题该生成元函数f ：r d & 一r 仅仅满足使偏 微分方程存在唯一粘性解的下面两个简单假设条件 ( a 1 ) 如果y x ，则有f ，y ) f ( p ，x ) ； ( a 2 ) 存在函数叫： 0 ，o 。) _ 0 ，o 。) 满足u ( o + ) = 0 ，使得f ( o l ( x 一可) ，x ) 一 f ( q ( z 一秒) ，y ) u ( q l z 一秒1 2 + i x 一可i ) 成立，其中乜 0 ，x ，y 满足 也( 三疹( 言二卜( 二a 设f c ( r d & ) 满足假设( a 1 ) 一( a 2 ) 对任意的妒( ) a l t p ( r d ) ，考 虑如下非线性抛物型偏微分方程 v i 山东大学博士学位论文 a牡，-z)f：(d妒(uz,)磁z珏!x)reu(o d 0 t r d ( 0 0 3 ) i ，z ) = 妒( z ) z r d 、 其中d x = ( 如i ) 窑，d ! z = ( 磋巧) 易：1 方程( o 。0 3 ) 存在唯一粘性解( 参 见c r a n d a l le ta 1 【2 1 】) 我们定义 z 罗 妒】( z ) ：= u ( 亡，z ) ， z 乏d 很容易验证( 笮) t o 是一个定义在q 鲫( 耐) 上的半群 通过这种一般化的半群可以构造出很多类型的相容非线性期望所以， 研究这类半群的j e n s e n 不等式得到更一般的结论 首先，我们得到关于生成元函数f 的充分必要条件，在该条件下j e n s e n 不等式对任意凸函数h 成立当h 是凹函数时也可以相应地得到一个充分 必要条件 定理3 2 1 设f 满足阻砂和似纠则以下两个条件等价s ( i ) f 是超齐次的，即。f ( ，久a ) a f ( p ，a ) ，v 仞，a ) 耐& ，久r ； ( i i ) 对任意的妒a l 印( f ) 和凸函数h ：r _ r ，如果( h o 妒) c t 厶纫( r d ) ， 则有 彳融( 汐) 1 ( z ) 是( 彳【妒】( z ) ) ，v t 【0 ，明 定理3 2 2 设f 满足口砂和阻剀则以下两个条件等价： ( i ) f 是次齐次的，即tf ( 却，入a ) a f p ，a ) ， v ( p ，a ) r d s d ，入r j ( i i ) 对任意的妒a l p ( r d ) 和凹函数h ：r _ 酞，如果( h o 妒) a l 咖( f ) ， 则有 z f ( 妒) 】( z ) ( 7 妒】( z ) ) ，v t 0 ，卅 定理3 2 3 在假设条件似j ，和俾矽下，设f ( p ，a ) ( p ，a ) r d s 。关于p 和a 是凸的，并且f ( 0 ，0 ) = 0 则以下两个条件等价： ( i ) 对任意的妒a l 咖( 掣) 和凸函数h ：r _ 酞，如果( ho 妒) e 1 l 纫( r d ) ， 则有 丁f ( 妒) 】( z ) ( z 垆】( z ) ) ，v t 0 ，卅； i 山东大学博士学位论文 ( i i ) f ( p ，a ) = s u p ( q ，b ) q j ( a ，b ) + 妇，口) ，其中q 酞d s 孝 定理3 2 5 在条件似砂和似纠下，设f ( p ，a ) ( p ，a ) r a s 。不依赖于p ，即： f ( p ，a ) 三f ( a ) ，并且关于a 是凸的假设f 还满足f ( o ) = 0 那么下面 两个结论成立： ( i ) 对任意的妒a l 伽( 则) 和凸函数h ：i r r ，如果( ho 妒) a l 咖( f ) ， 贝1 jt f 阶( 妒) 】( z ) 允( 掣 妒】( z ) ) ，v t 0 ，卅；兮f ( a ) = s u p b e f ( a ，b ) ，f 对 ( i i ) 当d = 1 时，结论俐中函数f 可以表示为：f ( a ) = k l i a i + k 2 a ，其中 尼1 ，七2 0 ，k 2 k 1 其次，我们换一个角度研究这个问题对任意固定的生成元函数f ，我 们给出对满足j e n s e n 不等式的函数h 的刻画，得到如下结果： 定义3 3 1h ：r _ r 是一个二阶连续可微函数，如果对任意( y ，z ，a ) r r d & ，下面不等式成立 f ( h 7 ( 秒) z ， 7 ( 可) a + ( y ) z z t ) 一h i ( 秒) f ( z ，a ) 0 ( 0 0 4 ) 则称h 为f 一凸函数如果不等式p 3 2 圳反向成立，则称h 为f 一凹函数 定理3 3 2 下面两个断言是等价的： ( i ) h 是f 一凸函数； ( i i ) 下列d e n s e n 不等式成立s 对任意的妒a 工咖( r d ) 和h c 2 ( r ) ，如果 ( ho 妒) q 工勿( f ) ，则有 彳限( 妒) 】( z ) 九( 彳 妒】( z ) ) ，y t 0 定理3 3 5 下面两个断言是等价的： ( i ) h 是f 一凹函数； ( i i ) 下列j e n s e n 不等式成立：对任意妒a n p ( r d ) 和h c 2 ( r ) ，如果 ( ho 妒) a l 咖( 毫d ) ，贝, i z f z 罗【九( 妒) 】( z ) ( 丁尹 妒】( z ) ) ，y t 0 v i i i 山东大学博士学位论文 再次，我们得到了g - 凸函数( 参见【7 8 】) 和经典凸函数之间的关系，以 及g - 凹函数和凹函数的关系 定理3 4 3 假设h c 2 ( r ) ，那么下面两个条件是等价的t ( i ) h 是g 一凸函数； ( i i ) h 是凸函数 定理3 4 6 假设h c 2 ( r ) ，那么下面两个条件是等价的。 ( i ) h 是g 一凹函数； ( i i ) h 是非减凹函数 在本章的最后，我们介绍g - 凸函数在g 鞅中的一个应用 定理3 4 1 2 设( 咒) t o 是g - 鞅如果函数h 使危( 咒) 砧( 五) 对所有 芒0 成立，那么下面两个条件等价： ( i ) h 是g 一凸函数； ( i i ) ( ( 五) ) t o 是g 一下鞅 四、在第四章，我们通过前一章介绍的非线性半群构造了一个相容非线 性期望一只期望本章中的生成元函数f 满足假设条件( a 1 ) ，( a 2 ) 和( a 3 ) f ( 0 ，0 ) = 0 我们首先系统的研究了n 期望的性质，然后把这些性质应用 于金融风险度量问题的研究 首先，我们证明了p 期望e 【】具有单调性，保常数性和平移不变性 研究发现p 期望的许多性质是由生成元函数f 的性质决定的我们得到 了结论。当且仅当f 期望的生成元函数f 分别满足次可加性，正齐次性和 凸性时，f 期望也相应的具有次可加性，正齐次性和凸性条件p 期望 e f 玩】也有类似结论 关于几期望在金融风险度量中的应用，我们先介绍 定义4 4 1 假设f 满足假设似砂一似砂，如下定义p f ：l 乞( 舀) _ 酞和 露：l 易( 罗) _ 己易( 玩) ? j d f ( x ) 圭冠 一x 】，p f ( x ) 圭壶【_ 一x i 玩】，v x l 易( 乡) ，v t o ，卅 i x 山东大学博士学位论文 则p f 称作f 期望引导出的静态风险度量，茚称作条件f 期望引导出的 动态风险度量 下面，利用我们得到的f - 期望的性质，我们建立了b 期望与著名的一 致性风险度量( c o h e r e n tr i s km e a s u r e ) 和凸风险度量( c o n v e xr i s km e a s u r e ) 之间的关系 定理4 4 2 假设f 满足似f ) 一似砂风险资产空间为疋= l 乞( 易) 若矿 为f 期望引导出的静态风险度量那么下面三个条件等价： ( i ) 矿是一致性风险度量； ( i i ) f 一期望e 满足次可加性和正齐次性； ( i i i ) f 满足次可加性和正齐次性 定理4 4 3 在与定理彳彳2 相同的假设条件下，以下三个条件等价： ( i ) ，是凸风险度量； ( i i ) 叫】是凸的； ( i i i ) f 是凸函数 定理4 5 5 假设f 满足似 一似圳风险资产空间为石= l o p ( g 葭t ) 若 ( 饯f ) t 【0 ，t i 为f - 期望引导出的动态风险度量那么下面三个条件等价： ( i ) 是动态一致性风险度量； ( i i ) 条件f 一期望e 【i 玩】满足次可加性和正齐次性； ( i i i ) f 满足次可加性和正齐次性 定理4 5 6 在与定理彳5 5 相同的假设条件下，以下三个条件等价： ( i ) 是动态凸风险度量； ( i i ) e i 玩】是凸的； ( i i i ) f 是凸函数 x 山东大学博士学位论文 条件p 期望引导出的动态风险度量还满足下面一些好的性质 定理4 5 9 ( t 【o ，刀是条件f 一期望引导出的动态风险度量，那么它满足 如下性质： ( i ) 递归性( r e c u r s i v e n e s s ) ：对任意的x l o p ( f l 。 t ) ， ( x ) = ( 一( x ) ) ，0 8 z ( i i ) 时间相容性( t i m ec o n s i s t e n c y ) ：对任意的x ，y 己( 舀) ， 僻) = ( y ) 令( x ) = ( y ) ，0 8 亡z 关键词：g 一期望，g 一鞅，极大不等式，g - 期望，j e n s e n 不等式，g 鞅，非线性半群，p 期望，风险度量 x i 山东大学博士学位论文 n o n l i n e a re x p e c t a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s i nf i n a n c e w e iw a n g ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t a l o n gw i t ht h ef a s td e v e l o p m e n ti nt h ef i n a n c i a lm a r k e tn o w a d a y s ，r i s k m a n a g e m e n th a sb e e ng e t t i n gm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n s i n2 0 0 8 ，f i n a n c i a l c r i s i sh i tt h e w o r l d t h ec r i s i sb e g i n n i n gw i t hr e a le s t a t e ，b a n k i n ga n dc r e d i t i nt h eu n i t e ds t a t e sh a da g l o b a lr e a c h ，a f f e c t i n ga w i d er a n g eo ff i n a n c i a la n d e c o n o m i ca c t i v i t i e s aq u e s t i o nt h a ti sr e c e i v i n gi n c r e a s i n ga t t e n t i o ni sh o w s h o u l dt h er i s ki nt h ef i n a n c i a lm a r k e tb em e a s u r e d t oa n s w e rt h i sq u e s t i o n ， o n es u g g e s t i o nt h a ti sg a i n i n gp o p u l a r i t yi st ou s ec o h e r e n tm e a s u r e s ( s e ee g ， a r t z n e re ta 1 2 ，3 】) a n dc o n v e xr i s km e a s u r e s ( s e ee g ，f s l l m e ra n ds c h i e d 3 7 ，3 8 ，3 9 ，a n df r i t t e l l ia n dr o s a z z ag i a n i n 【4 0 ，4 1 】) i n1 9 9 7 ，p e n g 【6 9 】 i n t r o d u c e dt h en o t i o no fg - e x p e c t a t i o nv i aab a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ( b s d e ) o fw h i c ht h eg e n e r a t o r i sa g i v e nf u n c t i o ng g - e x p e c t a t i o n s c o u l dc o n s t r u c tc o h e r e n tr i s km e a s u r e sa n dc o n v e xr i s km e a s u r e s ( s e e1 8 4 i ) j i a n g 【5 1 】f u r t h e rg a v en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h e s t a t i cr i s km e a s u r e 矿i n d u c e db yag - e x p e c t a t i o ni sac o h e r e n t ( c o n v e x ) r i s km e a s u r e i n2 0 0 6 ，p e n g 【7 4 】i n t r o d u c e dan e wn o n l i n e a re x p e c t a t i o n - g - e x p e c t a t i o nw h i c hi sg e n e r a t e db yan o n l i n e a rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o nw i t ha ni n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o rg a sc o m p a r e dw i t ht h ef r a m e w o r k o fg - e x p e c t a t i o n ，t h et h e o r yo fg e x p e c t a t i o ni si n t r i n s i ci nt h es e n s et h a ti t i sn o tb a s e do nag i v e np r o b a b i l i t ys p a c e t h er i s km e a s u r ed e f i n e dv i aa g - e x p e c t a t i o ni sac o h e r e n tr i s km e a s u r e d u et ot h ei m p o r t a n ta p p l i c a t i o n so fg - e x p e c t a t i o n sa n dg - e x p e c t a t i o n s i nf i n a n c e ，ac o n s i d e r a b l ea m o u n to fw o r k sh a v eb e e nd e v o t e dt os t u d y - i n gg - e x p e c t a t i o na n dg - e x p e c t a t i o nt h e o r y t h et h e o r yo fg - e x p e c t a t i o n h a sb e e nd e v e l o p e df o rm o r et h a nt e ny e a r s ，a n dt h e r ea r eal o to fs t u d i e s x i i 山东大学博士学位论文 o ng - e x p e c t a t i o n si nb o t hf u n d a m e n t a lt h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n s ( s e e ，e g ， 【1 0 1 ，【1 3 ，【1 4 】，【1 5 】，【1 6 】，【1 7 1 ，i n 6 1 ，【4 4 】， 4 8 1 ，【4 9 】，【5 1 】，【7 0 】a n d 【8 7 】) ( 7 - e x p e c t a t i o ni sam o r er e c e n ta n dn o v e lt h e o r y s i n c ep e n g si n i t i a lp a p e r a b o u tg - e x p e c t a t i o n s 【7 4 】，t h i si n t e r e s t i n gt h e o r yh a sd e v e l o p e da ta l la c - c e l e r a t i n gp a c e p e n go b t a i n e dt h el a wo fl a r g en u m b e r sa n dt h ec e n t r a l l i m i tt h e o r e mf o rg - e x p e c t a t i o n s ( s e e 【7 6 】a n d 7 7 j ) s o m eo t h e rp r o p e r t i e s o fg - e x p e c t a t i o n sw e r ei n t r o d u c e di n 【2 8 ， 7 5 】a n d 【7 8 t h i sd o c t o r a lt h e s i ss t u d i e ss o m ef u n d a m e n t a lp r o b l e m sa b o u tn o n l i n - e a re x p e c t a t i o n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n si nr i s km e a s u r ea n dn o n l i n e a rp r i c e s y s t e m t m st h e s i sc o n s i s t sf o u rc h a p t e r s i nt h ef o l l o w i n g ，w el i s tt h em a i n r e s u l t so ft h i st h e s i s ( i ) i nc h a p t e r1 ，w es t u d ys o m eb a s i ci n e q u a l i t i e sf o rg - m a r t i n g a l e ， i n c l u d i n gt w ok i n d so fm a x i m a li n e q u a l i t i e sf o rg - m a r t i n g a l e ，k o l - m o g o r o v si n e q u a l i t yf o rg - m a r t i n g a l ea n dd o o b sg - m a r t i n g a l ei n - e q u a l i t y p a r d o u xa n dp e n g 6 0 】r e p o r t e dt h a tt h ef o l l o w i n gb a c k w a r ds t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( b s d e ) 玑= + t9 ( s ，纨，) d s 一t 磊d 眦，亡 0 ，珊0 5 ) e x i s t sau n i q u ea d a p t e ds o l u t i o n ( y t ，z t ) t e o ，t iu n d e r ( h 1 ) ：t h el i p s c h i t zc o n - d i t i o na n d ( h 2 ) ：t h es q u a r ei n t e g r a b l ec o n d i t i o no n 夕t h ef u n c t i o ngi st h e g e n e r a t o ro ft h eb s d e ( 0 0 5 ) i fga l s os a t i s f i e s ( h 3 ) ：g ( t ，y ，0 ) 兰0 ，t h e s o l u t i o no fb s d ey td e n o t e db y 岛陪i 五】i sc a l l e dc o n d i t i o n a lg - e x p e c t a t i o n o f ；y 0d e n o t e db y 纠刳i sc a l l e dg - e x p e c t a t i o no f an o n l i n e a re x p e c t a t i o n c o u l di n d u c ean o n a d d i t i v ep r o b a b i l i t yb ys e t t i n gb ( a ) = 岛 厶】，w h e r e a i st h ei n d i c a t o rf u n c t i o no ft h es e ta f i r s t ，w ed e a lw i t ht w ok i n d so fm a x i m a li n e q u a l i t i e sf o rg m a r t i n g a l e s a sf o l l o w s t h e o r e m y 7 ，z + z ) 1 3 2l e taf u n c t i o ngs a t i s f y ( h 1 ) ，( h 3 ) a n d ( h 4 ) ：g ( t ，y + g ( t ，y ，z ) + g ( t ，y ，z ，) v t 0 ，t i ，v ( y ，z ) ，( y 7 ，7 ) rx 舻， x i i i 山东大学博士学位论文 l e tx = ( 咒) o t tb ear i g h t c o n t i n u o u sg - s u p e r m a r t i n g a l e t h e nf o re v e r y i n t e g e ra 0 w eh a v e a p ( s u px t t 冬t a ) 岛阢】毛盼厶。u p 凰 a 】 t s t w ew r i t e 一p 】i n s t e a do f 岛 w h e ng ( t ，y ，z ) = 一p i z i ，a n dw r i t e p 】 i n s t e a do f 岛【】w h e ng ( t ，y ，z ) = p w h e r e 肛i sa g i v e nn o n n e g a t i v ec o n s t a n t t h e o r e m1 3 5l e taf u n c t i o ngs a t i s f y ( h 1 ) a n d ( h 3 ) l e tx = 0 x 心睡( t ( t b ea 哟h t c o n t i n u o u sg - s u p e r m a r t i n g a i ew i t he s u pl x , 1 2 】 0 w eh a v e ) p 一( s u px t t 入) p x o 】+ p 环】， a p - p ( 。i n 叫fx t 一入) a p _ p ( s u pl x t i 入) t p 【k 】， p i x 0 】+ 2 e p 砗】 w h e nt h e g e n e r a t o rgs a t i s f i e st h ec o n d i t i o n so fb o t ht h e o r e m1 3 2a n d t h e o r e m1 3 5 ，t h ei n e q u a l i t yi nt h e o r e m1 3 2i sm o r ea c c u r a t et h a nt h a t i nt h e o r e m1 3 5 h o w e v e r ，w h e nt h ef u n c t i o ngd o e sn o ts a t i s f y ( h 4 ) i n t h e o r e m1 3 2 ，w ec a ns t i l la p p l yi n e q u a l i t i e si nt h e o r e m1 3 5t og e tt h e m a x i m a li n e q u a l i t i e sf o rg - m a r t i n g a l e s t h e n ，w ee s t a b l i s hk o l m o g o r o v si n e q u a l i t yf o rg - m a r t i n g a l ea n dd o o b s g m a r t i n g a l ei n e q u a l i t y t h e o r e m 1 4 3 ( k o l m o g o r o v si n e q u a l i t yf o rg - m a r t i n g a l e ) l e taf u n c t i o ngs a t i s f y ( h 1 ) a n d ( h 3 ) s u p p o s em o r e o v e rt h a tgi si n d e p e n d e n to fy a n dgi ss u p e r - h o m o g e n e o u si nz l e tx = ( x t ) o t tb ear i g h t c o n t i n u o u s g - m a r t i n g a l ew i t he s u pi 五1 4 】 0 ，w eh a v e p - “( s u p 0 w eh a v e p g ( s 。u a)t警t ( i i ) i nc h a p t e r2 ，w es t u d yj e n s e n si n e q u a l i t yu n d e rg - e x p e c t a t i o n a n do b t a i ns e v e r a ln e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fj e n s e n s i n e q u a l i t yf o rg - e x p e c t a t i o n w ea l s of i n di t si m p o r t a n ta p p l i c a - t i o n si ng - m a r t i n g a l et h e o r y w e b r i e f l yr e c a l lt h eg - f r a m e w o r kw h i c hw i l lb en e e d e di nw h a tf o l l o w s c o n s i d e rt h es p a c eq = c o ( 酞+ ) o fr e a l - v a l u e dc o n t i n u o u sp a t h s 似) t r + w i t h w 0 = 0 l e t7 - b eav e c t o rl a t t i c eo fr e a lf u n c t i o n sd e f i n e do nqc o n t a i n i n g 1 af u n c t i o n a le 1 ：7 _ ri sas u b l i n e a re x p e c t a t i o n t h e nt h et r i p l e ( q ，7 - ，e ) i sc a l l e das u b l i n e a re x p e c t a t i o ns p a c e w e n