（应用数学专业论文）复杂网络动力学及其应用.pdf

摘要 本文主要研究了复杂网络动力学行为( 稳定性、分支，混沌同步) 及其应用 在第一章，首先对复杂网络的动力学研究进行了相关背景和研究现状的介绍，然后慨要 介绍本文的主要研究内容及创新点 在第二章，基于l y a p u n o v 泛函方法，非光滑分析和线性矩阵不等式首先研究了变延时 神经网络的渐近稳定性在这里，不需要行为函数和激活函数的有界性和光滑性给出一些 条件用来判断平衡点的唯性和稳定性在第二节里，基于范数、矩阵不等式和l y a p u n o v 方 法来研究延时神经网络的鲁棒稳定性，给出了若干笋畅0 准刚，最后通过仿真实例验证所得结 果的正确性 在第三章，第一小节给出了h o p f 分支的一些基础理论知识在第二节研究一个四维的 b a m 神经网络模型的h o p f 分支条件，这里延时被看作参数首先采用局部化方法来研究 h o p f 分支的存在性，然后通过规范型和中心流形定理来判断分支的方向性和分支周期解的稳 定性在第三节，讨论了具有两个神经元的一般延时神经网络模型的分支现象通过分析特 征方程并应用奈奎斯特判据证明了h o p f 分支的存在性然后在频域内进行分析，主要应用 调和平衡法，奈奎斯特划据，图形h o p f 分支理论讨论了分支周期解的稳定性，从而说明该方 法简单容易实现 在第四章的第一节里，我们首先提出了一个新的概念：广义q s ( 滞，期望完全) 时变 同步。给出了更一般意义下的广义同步框架基于l y a p u n o v 泛函的方法讨论了一个多延时 的神经网络模型广义q s ( 滞、期望，完全) 时变同步和未知参数识别问题在第二节，提出 了复杂网络同步的自适应控制策略，利用无标度网络耦合的混沌l o r e n z 系统和小世界网络 耦合的延时混沌神经网络模型来验证控制策略的有效性 在第五章，基于延时的混沌h o p f i e l d 神经网络我们提出了一种新的加密方法混沌的神 经网络作为一个二进制序列产生器用以在加密中伪装明文在加密过程中，明文通过切换的 神经网络映射和二进制序列的移位来加密仿真结果说明了算法的安全性和有效性 最后，在第六章对于本文的结果进行了简要的总结，并对复杂网络动力学及其应用的未 来工作做出了展望。 关键词：复杂网络；神经网络；l y a p u n o v 泛函；全局渐近稳定性；全局鲁棒稳定性；平衡 点；线性矩阵不等式方法；非光滑分析；h o p f 分支；规范型方法；中心流形定理；调和平衡法； 奈奎斯特判据；q s ( 滞，期望完全) 时变同步；参数识别；自适应同步；耦合网络；加密学。 a b s t r a c t t h ed y n a m i c so fc o m p l e xn e t w o r k ( s t a b i l i t y b i f m c a t i o n ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ) a n d t h e i ra p p l i c a t i o u sa r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r i np a r ti ，t ob e g i nw i t h ，t h eb a c k g r o u n da n dp r e v i o u sw o r k so fd y n a m i c so fc o m p l e x n e t w o r k sa r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e nt h ep r e s e n t a t i o nf o rt h em a i nr e s u t l so fo u rr e c e n tw o r k s a r ep r o p o s e d i np a r t f i r s t l y t i l ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ev a r y i n gd e l a y i ss t u d i e db yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d ，t h en o n s m o o t ha n a l y s i sa n dl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t y ( l m i ) t e c h n i q u e i ti sn o t e dt h a tt h ep r o p o s e dr e s u l t sd on o tr e q u i r es m o o t h m 惴o f t h eb e h a v e df u n c t i o na n da c t i v a t i o n u n c t i o na sw e l la sb o u n d e d n e s so ft h ea c t i v a t i o nf u n o t i o n s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e dt os h o wt h eu n i q n e n c h sa n dt h eg l o b a la s y m p t o t i c a s t a b i l i t yo ft h ce q u i h b r i u mp o i n t i ns e c t i o n2 ，t h eg l o b a lr o b u s ts t a b i l i t yo fn e u r a ln e t w o r k s w i t ht i m ev a r y i n gd e l a y si si n v e s t i g a t e db yu s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o da n dn m t r i x i n e q u a l i t yt e c h n i q u e ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n s8 2 ep r e s e n t e dt os h o wt h eu n i q u n c s sa n d g l o b a lr o b u 8 ts t a b i l i t yo fe q u i l i b r i m np o i n to fn e u r 出n e t w o r k s ，w h i c hi se a s yt oa p p l y t h e n as i m u l a t i o ni sd r a w nt oj u s t i f yt h eo b t a i n e dr e s u l t s i np a r t s o m ef u n d a m e n t a li n t r o d u c a t i o na b o u tt h eh o p fb i f u r c a t i o nt h e o r e mi sd i s - c u s s e di nt h es e c t i o n1 i ns e c t i o n2 af o u r n e u r o nb a mn e u r mn e t w o r kw i t hf o u rt i m ed e l a y s i sc o n s i d e r e d w h c r et h et i m ed e l a y sa r er e g a r d e da sp a r a m e t e r s ，t h ee x i s t e n c eo fl l o p fb 派1 1 - c a t i o ni ss t n d i o di nt e r m so fl o c a la n a l y s i s t h e naf o r m u l af o rd e t e r m i n i n gt h ed i r e c t i o no f t h eh o p fb i f u r c a t i o na n dt h es t a b i l i t yo fb i f u r c a t i n gp e r i o d i cs ) l u t i o m si sg i v e nb yu s i n gt h e n o r m a lf o r mm e t h o da n dc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m i ns e c t i o n3 ag e n e r a lt w o - n e u r o nm o d e l w i t ht i m ed e l a yi sc o n s i d e r e d w h e r et h et i m ed e l a yi sr e g a r d e d ap a r a m e t e r b ya n a l y z i n g t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o na n du s i n gt h ef r e q u e n c yd o m a i na p p r o a c h ，t h ee x i s t e n c eo fh o p f b i f u r c a t i o ni sd e t e r m i n e d t h es t a b i f i t yo fb i f u r c a t i u gp e r i o d i cs o l u t i o u sa r ed e t e r m i n e db y u s i n gt h eh a r m o n i cb a l a n c ea p p r o a c h ，n y q u i s tc r i t e r i o na n dt h eg r a p h i ch o p fb i f a r c a t i o nt h e - o r e m f i n a l l y , n u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e nt oj n s t i f yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s i np a r ti v ，an e wt y p eo fg e n e r a l i z e dq s ( 1 a g ，a n t i c i p a t e d ，a n dc o m p l e t e ) t i m e - v a r y i n g s y n c h r o n i z a t i o ni sd e f i n c x li ns e c t i o n1 a d a p t i v eq - s ( 1 a g ，a n t i c i p a t e d ，a n dc o m p l e t e ) t i m e - v a r y i n gs y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e r si d e n t i f i c a t i o no fu n c e r t a i nd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s i sc o n s i d e r e d w h e r et h ed e l a y sa r em u l t i p l et i m e - v m t i n gd e l a y s al l o v ( ! lc o n t r o lm e t h o dl s g i v e nb yu s i n gt h el y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d i ns ，e t i o n2 t h ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o n n i o fc o u p l e dc o m p l e xn e t w o r k si si n v e s t i g a t e d s o m ec o n t r o l l e r sa n d a d a p t i v el a w sa r ed e s i g n e d t ee n s u r et h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s t w oe x a m p l e sa r cs i m u l a t e d u s i n gt h e s c a l e - f r e ec o u p l e dc h a o t i cl o r e n zs y s t e ma n dt h es m a l p w o r l dc o u p l e dd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k a st h en o d e so ft h ed y n a m i c a lc o m p l e xn e t w o r k ，w h i c hd e m o n s t r a t et h ef e a s i b i b t ya l l dt ，骨l r t i v c n e ：诗o ft h e p r o p o s e dm e t h o di nt h i ss e c t i o n i l lp a l tv ，an o v e la p p r o a c ho fe n c r y p t i o nb a s e do nc h a o t i ch o p f i e l dn e u r a ln e t w o r k s w i t ht i m ev a r y i n gd e l a yi sp r o p o s e d t h ec h a o t i cn e u r a ln e t w o r ki su s e dt og c 、n e r a t ( b i n a r y s e q u e n c e sw h i c hw i l lb en s e df o rm a s k i n gp l a i n t c x t t h ep l a i n t e x ti sm a s k e db yt h es w i t c h i n g o fc h a o t i cn e u r a ln e t w o r km a p sa n dp e m m t a t i o no fg e n e r a t e db i n a r ys c q u c n c o ss i n m l a t i o n r e s u l t sw c r eg i v e nt os h o wt l l ef e a s i b i l i t ya n dc f f c c t i v e i m si nt h ep r o p o s e ds c h c n l eo ft h i sp a r t f i n a l l y , t h es u m m a r yf o ro u rw o r k sa n dp r o s p c t sf o rf u t u r ew o r k sa b o u tt h ed y n a m i c s o fc o m p l e xn e t w o r k sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n sa l ec o n c l u d e di nt h ep a r tv k e yw o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k ；n e u r a ln e t w o r k ；l y a p u n o vf u n c t i o n a l ；g l o b a la s y m t ) 一 t o t i cs t a b i l i t y ；g l o b a lr o b u s ts t a b i l i t y , e q n i l i b r i u mp o i n t ；l m it e c h n i q u e ；n o n s m o o t ha n a l y s i s ； h o p fb i f u r c a t i o n ；n o r m a lf o r mm e t h o d ；c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ；h a r m o n i cb a l a n c ea p p r o a c h ： n y q u i s tc r i t e r i o n ；q - s ( 1 a g ，a n t i c i p a t e d ，a n dc o m p l e t e ) t i m e - v a r y i n gs y n c h r o n i z a t i o n ：p a r a m - e t e ri d e n t i f i c a t i o n ；a d a p t i ws y n d l r o n i z a t i o n ；c o u p l e dn e t w o r k s ；c r y p t o g r a p h v 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示r 谢意 二关于学位论文使用授权的说明 签名：受羔捌日期：理厶址3 l 东南大学、中国科学技术信息研究所国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：鱼支越：导师签名鳅，期；碰：! l ；! 第一章绪论 1 1 神经网络动力学的背景介绍及其研究现状 1 1 。1 神经网络动力学的研究背景及其意义 神经网络是通过对人脑的基本单元一神经元的建模和联结。来探索模拟人脑神经系统功 能的模型，是一种具有学习，联想、记忆和模式识别等智能信息处理功能的人工系统与当 今的冯诺依曼式计算机相比，神经网络更加接近人脑的信息处理模式 近几十年来，神经网络( n e u r a ln e t w o r k s ) 理论与应用研究正成为人工智能，认识科学 神经生理学非线性动力学等相关专业的热点目前，针对神经网络的学术研究非常活跃，且 提出了上百种的神经网络模型，涉及模式识别、联想记忆信号处理自动控制、组合优化 故障诊断及计算机视觉等众多方面，取得u 很好的进展，随着科学技术的发展，神经网络的 应用将不断深入研究神经网络非线性系统动力学行为的方法引起了各界的密切关注和浓厚 的兴趣，这是因为神经网络不仅能够逼近任意非线性函数，而且具有并行计算，容错能力强 等诸多优点，的确可以为非线性问题的研究另辟蹊径1 9 8 3 年和1 9 8 , 1 年c o h e n ，g r o s s b c r g 和h o p f i c k t 分别提出的c o h c n g r o s s b e r gf 1 0 2 j 和h o p f i c 州 3 f 神经阿络是神经阿络重要的发 展里程碑 1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r g 提出了一类自适应谐振神经网络模型f 1 0 2 1 ： j， n a x 鬲。t , 一r ) = 一，i ( 以( f ) ) ( f ! l ( 瓤( ) ) 一 玎勺( ( t ) ) + ，l 】， ( 1 1 ) “。 j = l 其中，孔( ) 表示第i 个神经元的状态变量，o ，( ) 为放大函数，k ( ) 为适当的行为函数，连 接权矩阵w = ( 埘b k 。描述了神经元在网络中的连接，s ，( ) 是神经网络的激活函数，五表 示外部输入的第i 个分量并且他们在连接权矩阵( ，“k 。对称的假设条件下，证明了系统 ( 1 1 ) 的平衡点是全局渐近稳定的可以看出c o h e n - g r o s s b c r g 神经网络模型包括很多神经网 络模塑，例如，h o p f i e l d 神经网络模型，细胞神经网络模型，联想记忆神经网络模型等其 中有一些模型我们会在以后的章节中逐步介绍和研究其后由于神经网络在工程中的广泛应 用，而且这些应用很多都要求神经网络首先具有平衡点，一些工作【1 2 9 一 1 3 2 】开始研究神经 网络的稳定性 然而，值得注意的是在生物神经网络中，不同的神经系统有不同的触突长度，这就决定 了神经元的传递必然是有差异的，从而滞后特性是其固有的在入工神经网络中，由于硬件实 现中信息传递滞后，响应滞后特性的影响，使滞后特性不可避免地存在因此为了使c o h e n g r o s s b e r g 神经网络( c g n n s ) 更接近实际，在应用上更广泛，通常考虑带有延时的c g n n s l 东南大学硕士学位论文 2 模型在1 9 8 9 年m a r c u s 和w 鹤t c r v e l t 提出了延时的h o p f i e k t 神经网络模型，而在1 9 9 5 年， y c ，m i c h c l 和w a n g 提出了延时的c o h c n - g r o s s b c r g 神经网络模型后来一些研究者又引 入了如下的多时滞的c g n n s 模型【1 0 3 ： 些凳型= 一吼( ( ) ) 魄( ( t ) ) 一“苫s ，( q ( f 一) ) + 矧：f = 1 2 ，一儿( 1 2 ) k = 0j = l 其中k 0 为正整数，且0 = t o t i 0 使得对于任意的 z r ，如果b i ( x ) 可导，那么 噬( z ) q a 3 ：r ( t ) 是时间t 的有界可微函数，并且满足下面的条件 0 十( f ) h 1 ， 1 0 这里 是一个常数 为了引入非光滑分析的方法来研究l i p s c h i t z 连续函数，首先我们给出广义j a c o b i a n 矩 阵的概念及其性质 7 】令函数f ：舻一舻是局部l i p s c h i t z 连续的根据【7 】的 r a d c m a c h c r 定理，f 是几乎处处可微的令d f 表示f 的可导集，f 7 ( o ) 表示f 在o d r 处的。j a c o b i a n 矩阵那么集合d ，在彤中是稠密的对于任意的z r ”，定义 地肛，嚣咿背，一z ，z r “l i f 一山i 由于f 是局部l i p s c h i t z 连续的，常数l 飒是有限的并且可以得到对于任意的3 d r ， 有i i f ( $ ) i l l i p 。f 下面给出广义j a c o b i a n 矩阵【7 】的定义： 东南大学硕士学位论文 定义2 1 1 对于任意的舻，令o f ( z ) 表示下面的矩阵集合 o f ( x ) = c o w i 存在一个序列 扩) cd f 使得l i mf 7 ( 一) = ，) “ 这里c o i l 表示集合q 的凸壳我们称o f ( x ) 为广义的j a c o b i a n 矩阵 由定义可知对于任意的w 0 f ( z ) ，有1 1 w i isi , i p 。f 如果o f ( x ) 中的每一个元素 是非奇异的，我们称o f ( x ) 是可逆的广义j a c o b i a n 矩阵a 尸( z ) 有很多良好的性质，但 是这里为了研究的需要我们只对其中的一些做简单介绍易知当f 在t 处是连续可微的，集 合o f ( x ) 变为一个单点集( f 7 ( z ) 必须注意当f 在z 处不可微的话，o f ( z ) 包含很多其 它的元素 引理2 1 1 ( l e b o u r gt h e o r e m ) 【7 】( p 4 1 ) ：对于任意的z y 胛，存在一个元素 w 在集合uo f ( z ) 中，满足 z e x f ( y ) 一f ( z ) = w ( y z ) ( 2 5 ) k y 】表示连接z 和y 的线段 关于广义j a c o b i a n 矩阵及其应用，可以参看参考文献 7 i s 】 对于一个给定的输入t ，假定系统( 2 3 ) 有一个平衡点矿= ( z ；，z ；，g ：) 为了简 化证明，我们将用平移变换将矿平移到原点 y ( t ) = z ( t ) 一z + y ( t r 0 ) ) = 。( t r 0 ) ) 一z 系统( 2 3 ) 可以被转换为下面的形式： y ( t ) = 一l ( 9 ( f ) ) + a g ( y ( t ) ) + b g ( y ( t f 0 ) ) ) ( 2 6 ) 也就是说， nn 执( t ) = - 1 ；( 玑( t ) ) + o 巧毋( 协( ) ) + b i j g j ( y j ( t - - t ( ) ) ) i = 1 ，2 ， ( 2 7 ) j = lj = l 其中口白( ) ) = ( 1 ( 1 ( ) ) ，舶( ) ! ，2 ( ) ) ，一，。( 饥。( ) ) ) r 胪，m ( 肌( ) ) = ( 玑( f ) + z ：) 一 ( f ：) ， g ( o ) = 0 ，l ( 轳( f ) ) = “1 ( 虮u ) ) ，f 2 ( 2 ( ) ) ，k ( 聃；( ) ) ) r 册，l 。( 肌( ) ) = 岛( 玑( ) + z ；) 一以( z ：) ， b ( o ) = 0 并且从假设a l 中，可以得到 l m ( 玑) i m i 玑i r ， = 1 ，2 ，一m( 2 8 ) 为了得到主要的结果，先给出下面的一些引理： 引理2 1 2 ：对于任意的向量z 。r ”和正定矩阵g 用“”，下面的不等式成立： 2 x 7 y x t g x + y r g 一1 y 东南大学硕士学位论文 引理2 1 3 ( s c u l a rc o m p l e m e n t 【9 ) 线性矩阵不等式( l m i ) ( 嚣剐扎 等价于下面其中任意一个不等式； ( 1 ) q ( z ) 0 ，r ( z ) 一s t ( z ) q 一1 ) s ( z ) 0 ， ( 2 ) r ( z ) 0 ( 2 。9 ) 或者等价地， i i ) 2 d c a 一1 一d a a 7 d h d b h 一1 8 7 d 0 ，( 2 1 0 ) 那么系统( 2 6 ) 的平衡点是唯一的，其中a = d i a g ( # l ，p 2 ，p 。) ，c = d i a g ( c 1 c 2 ，岛) 证明：由引理2 1 3 ，易知条件i ) 和i i ) 是等价的令q ( z ) = 2 d c a 一d a a r d h s ( 。) = 一d b ，r ( z ) = h 下面只证明如果条件i i ) 满足，则定理成立 首先利用反证法证明平衡点的唯一性考虑( 2 6 ) 的平衡点方程； l ( y ) 一a g ( y + ) 一b g ( y ) = 0 ( 2 1 1 ) 易见如果g ( y ) = 0 ，那么y + = 0 假设g ( v ) 0 在等式( 2 1 1 ) 的两端同时乘以 2 9 7 ( 扩) d 得到 2 9 7 ( 矿) d l ( y + ) 一2 9 7 ( 旷) d a g ( y ) 一2 9 丁( 矿) d b g ( y 。) = 0 ( 2 1 2 ) 上式可以改写为 2 9 7 ( + ) d l ( y ) 一g r ( ) d a g ( y ) 一g t ( ) 爿7 d g ( y + ) 一2 9 7 1 i v + ) d b g ( y + ) = 0 ( 21 3 ) 1 2 东南大学硕士学位论文 从引理2 1 1 中，可以得到存在m 使得 l ( y ) = 6 ( 矿+ 矿) 一b ( z ) = m y ，m u a 6 ( ) y e 陋矿+ z 由b 的性质知矩阵吖是对角的，m = d i a g ( m 1 h 1 2 ，7 n 。) 根据( 2 8 ) 和假设a 1 ，4 2 ，可以得到 矾绑( 鼽) 0 ；r ， = 1 ，2 ，n ， 和 谚( 玑) s p i y i g d y i ) 嘞r ，i = 1 ，2 ，n 由( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，可以得到下面的不等式 ，( 旷) d l ( y + ) = 仇( 孵) 巩 l ；孵 需1 鲁鲆( 醇) 。g t ( 圹) d c a 。1 9 ( 圹) 其中a = d i a g ( # 1 p 2 ，脚) a n dc = d i a g ( c 1 c 2 ，) 基于引理2 ，1 2 。有 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 2 9 7 ( 矿) d b g ( y + ) g r ( 旷) h g ( y ) + g t ( 旷) d b h 一1 8 7 d g ( y ) ( 2 1 7 ) 把( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 代入到( 2 1 3 ) ，可以得到 g t ( y + ) 2 d c a 一1 一d a a 7 d h d b h 一1 b r d g ( y ) 0 ( 2 1 8 ) 很显然，( 2 1 8 ) 和条件t i ) 矛盾，因此在平衡点处9 ( 圹) = 0 ，从而可得y = 0 ，系统( 2 6 ) 的平衡点是唯一的 m = 隆删一，卦。 矗) 0 ， ( 2 1 9 ) 1 3 奎查奎兰堡圭兰堡垒壅 1 4 y ( ( t ) ) = y r p + 2 n 壹d f ，“。吼( s ) d s + 口，9 7 。( s ) ) 9 ( ( s ) ) d s ( 2 2 0 ) ，一1 j 0 j t 一7 y ( ( ) ) i ( 26 ) = 2 y r ，舀+ 2 “9 丁似( e ) ) d 痧( ) + n 口r ( ) ) h 9 ( 剪( ) ) = 一c v r c t ，丁c v 。，7 c ，。一r ，m ( ! 。煮：，) l ( f ) ) = b ( y i t ) + 矿) 一6 ( 矿) = 硫( ) ，力u o h ( ；) ，( 2 2 2 ) g t b ( t ) ) d l 白( ) ) 一历( 玑( f ) ) 反肃t y i ( t ) 磊1 蚤警玩( t ) ) ( 2 2 4 ) = g t ( y ( t ) ) d c h 一1 9 ( 口( t ) ) 因此，从条件( 2 1 9 ) 和( 2 2 1 ) 一( 2 2 4 ) ，可知当且仅当y ( t ) = 9 ( ( t ) ) = g ( y ( t r ) ) = 0 ， 矿( ( f ) ) = 0 ，否则矿( ( ) ) s0 同时，由于当l l y ( t ) l l 一，y ( ( ) ) 一o 。因此v ( ) 是 东南大学硕士学位论文 径向无界的从而系统( 2 6 ) 的平衡点是全局渐近稳定的 定理2 1 3 ：在假设a l 和a 2 下，若存在正定对角矩阵d = d i a g ( d 1 d 2 ，“) 0 ， 正定矩阵h = ( ，) 。，满足定理21 1 的条件，系统( 2 6 ) 的平衡点是唯一的并且是全局渐 近稳定的 证明：显然，由定理2 1 1 知( 2 6 ) 的平衡点是唯一的下面我们将证明在定理2 1 1 的 条件下，定理2 1 2 的条件也是满足的 ，f2 d c a 一1 一d 4 一a t d f t d b 、 令w = 【一尸a p b l 2i 一b 7 d爿j ，( 2 1 。) 等价于 2 p cw 、 粘1w 7 1 口j n ( 2 。2 5 ) 根据引理2 1 3 ，有 p c 0 ，o 一妻 矿，( 尸g ) - 1 w 0 ， 由定理21 1 的条件， 0 如果我们选取口足够大。则( 2 1 9 ) 的条件成立例如，我们 选择口 7 1 7 2 ，其中讥表示 t ( p c ) - 1 w 的最大特征值，加表示n 的最大符征值 推论2 1 1 ：在假设a 1 和以2 下，若存在正定对角矩阵l i = ( ，a ”“。使得下面的条件成 t ，( 2 g a l - 一a b - r 1 7 一。- ：夕) 。， 或者等价地， i i l2 e a 一1 一 月r 一日一b 一1 b o 0 。 则系统( 2 6 ) 的平衡点是唯一的并且是全局渐近稳定的其中a = d i a g ( # ，p 2 证明：在定理2 1 3 中，令d = ，定理显然成立 下面我们考虑延时是一个函数r ( t ) 定理2 1 4 ：在假设a l a 3 下。若存在正定对角矩阵d = d i a g ( d l ，如 定矩阵h = ( b ) 。，p = ( 黝h ，。和正常数o 0 ，满足 p 。) 靠j 0 ，正 ”盼犹一：- 搿p a 饥i - 孙p b 加。， 1 5 奎塞奎堂堡圭兰堡垒塞 1 6 那么系统( 2 6 ) 的平衡点是全局渐近稳定的 证明：考虑如下的l y a p u n o v 泛函： m ) = y t p 他妻d f 州“如) 幽+ 。九如胭舢灿， ( 2 2 7 ) ，= 1 。u 一7 t 其中d = d i a g ( d l ，d 2 ，靠) 是正定对角矩阵，h = ( h l j ) 。和p = ( p u ) 。是正定矩阵 对y ( ) 沿着( 2 6 ) 求导，可以得到 矿( ( t ) ) k6 ) = 2 y p 9 + 2 a 9 7 0 ( t ) ) d 9 ( f ) + a 矿( y ( ) ) 日9 ( ( t ) ) 一a g r ( 9 0 一r ) ) h g ( y ( t r ) ) = 一2 y 7 ( t ) p l ( 9 0 ) ) + 2 y 丁( t ) p a g ( y ( t ) ) + 2 y 7 p b # ( y ( t t ) ) 一2 “7 ( ( f ) ) d l 臼( ) ) + 2 n 口7 ( ：q ( t ) ) p a qc y ( t ) ) + 2 ( z g 了( ) ) d ，细( ( f f ) ) + o g t ( ( t ) ) 爿9 ( y ( t ) ) 一n ( 1 一 = 一( y ，1 ( t ) 9 2 1 ) g ，1 ( g ( t r ) ) ) 一2 y r o ) p 阻阿( ) ) 一e 0 ) 】一2 a g 丁( 鲈( ) ) 上) l ( 掣( ) ) 一c a 一1 9 白( ) ) 1 一口( h 一于( t ) ) 9 7 ( 剪( 亡一7 ) ) ，口( 剪o r ) ) 和定理2 1 2 相同，易知系统( 2 6 ) 平衡点的全局渐近稳定性 定理2 1 5 ：在假设a l a 3 下。若存在正定对角矩阵d = d i a g ( d l ，如，磊) 0 和正 定矩阵h = ( k ) 。，满足下面两个条件的任一个： 订：f 2 口g a - 1 一d a 一一d 一 一上) b 1 o ， 【2 2 9 ) 2i - b t d ( 1 一 ) 日j 0 2 2 或者等价地， i i ) 2 d c a l d a a f d h 一_ 二i p b t l 一1 b ，d 0 、 ( 23 0 ) l 一，l 则系统( 2 6 ) 平衡点是唯一的并且是全局渐近稳定的其中a = d i a g ( t a ，他，p ”) a n d c = d i a g ( c l ，c 2 ，c 。) 证明：由引理2 1 3 ，易见( 2 2 6 ) 和( 2 2 9 ) 是等价的由于 击d b h 。b 7 d d b h “b 7 d ， 艇 一似 l 口 h ，r ”口一 1 鲫咖肛 u “ 白，一 ， n 咿 m 东南大学硕士学位论文 则 1 2 d c a l d j 4 一a t d h d b t t 一1 b t d 2 d c a l d a a t d 一日一：二7 d b h 一1 b r d 0 l n 定理2 1 1 中的条件也成立同样类似于定理2 1 3 ，定理得证 推论2 , 1 2 ：在假设a 1 一j 4 3 下，如果下面的条件成立 1 2 c a 一1 一a a t 一一丁二i b b r 0 ( 2 3 1 ) 1 一仃 那么系统( 2 6 ) 平衡点是唯一的并且是全局渐近稳定的 证明：令d = h = i ，由定理2 1 5 推论的结论直接可得 定理2 1 6 ：在假设a 1 一a 3 下，若存在正定对角矩阵d = d i a g ( d 1 d 2 ，d 。) 0 ，正 定矩阵h = ( h , j ) 。，p = ( h 。和正常数( t 0 ，条件( 2 2 6 ) 或者( 2 2 9 ) 满足那么系 统( 2 6 ) 平衡点是唯一的并且是全局渐近稳定的，并且这两个条件是等价的 证明：如果( 2 2 9 ) 满足，很容易得出条件( 2 2 6 ) 也是满足的从男一方面，如果( 2 , 2 6 ) 满足，我们可以选取p = e i ，- c 是一个充分小的正数根据引理2 1 3 ，条件( 2 2 9 ) 也成 立 注2 1 1 ：同以往的结果【1 0 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 【1 4 】相比较，本小节的结论有下面的优点：首先 我们解决了一个变时滞的模型而在 1 0 时滞是一个常数其次，我们利用非光滑分析的方 法研究非光滑行为函数在 1 0 1 1 1 1 1 1 2 1 3 】【1 4 ，函数都是可导的更值得一提的是，在定理 2 1 6 中，一个高维的条件可以等价于一个低维的条件 在这一节中，我们给出一些数值实倒来验证上一节的理论 例2 1 1 ：考虑神经网络( 2 6 ) 具有如下结构： a = ( o m 2 1n 0 3 1 ) ，b = 0 10 3 ) ， 机( t ) ： u ，计“ 0 【2 u ，i f 。： 东南大学硕士学位论文 在c z 。，选取r = s ，初始函数( ：暑) = ( 竺暑) ，( ：昌) = g ：高) c r 曼 0 ) 状态曲线如图2 1 1 所示，仿真结果显示系统( 2 6 ) 的平衡点足唯一的并且尾令局渐 近稳定的 图2 1 1 状态变量z l ( t ) 和z 2 ( f ) 的时间曲线 例2 1 2 ：考虑和例2 1 1 穗同的神经网络，而这里选取r = 5 + 0 5s i n ( t ) 易见h = 0 , 5 由 定理2 1 5 得 z 洲- a - a t - 1 - 渺7 = ( 羔：) 地 状态曲线如图2 1 2 所示，仿真结果显示系统( 2 6 ) 的平衡点是唯一的并且