（理论物理专业论文）普遍声逆散射微扰论、形式参数展开法及其数值模拟.pdf

摘要 本文从对正散射问题的描述开始，回顾了逆散射问题的提出，概 括了当前逆散射问题几种典型解法的基本思想对本课题组在逆散 射微扰论及新型重建算法方面所做的工作作了总结本文介绍了一 种新型的逆散射重建算法一一形式参数展开法，并给出b o r n 变换下 的有限形式声衍射层析成像公式本文作者的主要工作在于对上述 公式进行了计算机数值模拟从模拟结果可以看出，形式参数展开 法同b o r n 近似及r y t o v 近似等重建算法相比，在相同散射强度下，大 幅度降低了重建误差，显示出明显的优越性最后，本文对该方法 的有效性的范围进行了分析，指出其有效的原因和存在的问题并 对下一步的研究工作作了展望 关键词形式参数展开；声逆散射；声衍射层析术；普遍逆散射 微扰论 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed e s c r i b e dd i r e c ts c a t t e r i n gp r o b l e m sf i r s t ，a n dt h e nr e v i e w e dt h ea r i s i n g o fi n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m s ，s u m m e du pt h ei d e a so fs e v e r mr e p r e s e n t a t i v em e t h o d so fs o l v m g t h ei n v e r s ep r o b l e m t h ew o r ko fo u rg r o u po nt h eg e n e r a l i z e dp e r t u r b a t i o nt h e o r ya n dt h en e w r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mw a ss u m m a r i z e d a n dan e wa l g o r i t h m - - t h em e t h o do ff o r m a lp a r a r n e t e re x p a n s i o nw a sg i 咖o nt h eb a s i so ft h i sm e t h o d ，ar e c o n s t r u c t i o nf o r m u l ao fa c o u s t i c a l d i f f r a c t i o nt o m o f a p h yi naf i n i t ef o r mu n d e rt h eb o mt r a n s f o r mw a sp r e s e n t e d t h ec o m p u t e r s i m u l a t i o n so f t h i sf o r m u l aw a sm ym a i nw o r k t h er e l a t i v ee r r o r sd e c r e a s e sr e m a r k a b l yu s i n gt h i s m e t h o dc o m p a r e dw i t ht h eb o r na n dr y t o va p p r o x i m a t i o nu n d e rs a m es c a t t e r i n gi n t e n s i t i e s o u r c o m p u t e rs i m u l a t i o n sh a v ec o n f i r m e dt h i sa l g o r i t h m k e y w o r d sf o r m a lp a r a m e t e re x p a n s i o n ；a c o n s t m a li n v e r s es c a t t e r i n g ；a c o u s t i c a ld i i 主r a c t i o n t o m o g r a p h y ；g e n e r a li n v e r s es c a t t e r i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r y 第一章逆散射问题的提出与现状 1 1 引言 散射理论在二十世纪数学物理的发展过程中扮演了一个十分重要的角色 从瑞利解释天空为什么是蓝色的开始，到卢瑟福发现原子核，再到c t 在现代 医学中的广泛应用，近百年来，散射现象对物理学家和数学家而言，一直是一 个充满着诱惑和挑战的研究领域 粗略地说，散射理论关心的是非均匀介质和入射粒子或波之间的相互作 用其中正散射问题是要通过入射场吼和描述波动的微分方程来求出散射场 皿而逆散射问题则是通过虬在散射介质外的行为来确定非均匀介质的特 征，也可以说，是由微分方程的( 多个) 在散射体外的解的行为来重建该微分方 程和或其定义域 逆散射问题大体上可以分为两大类，即障碍物逆问题和介质逆问题 1 障 碍物逆问题中的散射体是具有给定边界数据的均匀的物体，其最大特点在于 入射的粒子或波不能穿透该散射体其逆问题是通过散射场在无限远处的信 息( 即远场数据) 来确定散射体的形状和位置介质逆问题中，就其最简单的形 式而言，散射体是一种特征参数连续变化的非均匀介质，其逆问题则是通过远 场数据来重建介质的这些特征参数当中的一个或几个 显然，若要对逆散射问题有深入的研究，关于正散射问题的充分了解是必 不可少的，所以本章从正散射问题的描述开始，进而提出逆散射问题，再对当 前逆散射问题的几种典型解法的基本思想作一概括 1 1 2 正散射问题 如前所述，经典散射理论( 相对于量子散射理论而言) 中的两个基本问题是 单频声波或电磁波被两种类型的散射体散射第一种是具有紧支撑的非均匀 可穿透介质另一种是具有确定边界的不可穿透的障碍物限于篇幅，本文的 讨论仅限于单频声波考虑第一种情形，假设入射场为一单频平面声波 吼( z ，t ) = e i ( 8 一。) 其中k o = u 为波数，u 为圆频率，c o 为声速，d 为传播方向则关于一个非 均匀介质的最简单的正散射问题就是求出符合下列条件的总场巫( 声压) 霍+ 碚n 2 ( z ) 霍= 0 i n 铲 ( 1 1 ) 皿0 ) = e b 。d + 皿( 七)( 1 2 ) 熙r ( 等一蝴扣o ( 1 3 ) 其中r = t x l ，n = c o c 是由声速比给出的相对折射率c o 为均匀背景介质声速， c = c ( 动为散射体声速( 1 3 ) 即s o m m e r f e l d 辐射条件该条件保证虬为发散波 这里假定1 一n ：具有紧支撑如果介质具有吸收性，则n 为复值现在考虑由 不可穿透的障碍物d 造成的散射最简单的正问题是找到符合下述条件的总 场皿 霍+ 砖霍= 0i n 铲西( 1 4 ) 霍( ) = e b d + 雪( 神( 1 5 ) 皿= 0d na d ，1 + i m 。r i 。8 - - 瓦霎- - 一b 霍) = o ( 1 6 ) ( 1 7 ) l ! ：! 垂墼蕉鲤墨生 其中式( 1 4 ) 就是h e l m h o t z 方程边界条件( 1 6 ) 对应于声软型( s o u n d s o f t ) 障碍物 其它类型的边界条件比如n e u m a n n 或声硬型( s o u n d - h a r d ) 边界条件 更一般的是声阻抗条件 筹= 岬d ) 筹+ 认皿= o ( a d ) 其中”为o d 上的外法向单位矢量 为一个正的常数问题( 1 1 1 3 ) 及( 1 4 - 1 7 ) 可能是声散射理论中最简单的实际物理问题但仍不能认为它们已完全被解 决了，尤其是从数值计算的观点来看，关于这个课题还有不少内容正在研究 当中 在进入到逆散射问题之前，还有几个问题需要说明首先，本文所涉及到 的散射问题仅限于“共振区”换句话说，如果。代表散射体的特征尺度，幻 代表入射波圆波数的话，则o 应小于1 或在1 附近，即所谓的“共振区”，而 非k o a 1 的。高频区”事实上，对此两种区域的散射现象所采用的数学处理 方法是截然不同的而本文只关心前者 其次，对于正散射还有两个重要的问题第一个是关于解的唯一性由于 方程( 1 4 ) 具有常系数，所以问题( 1 4 - 1 7 ) 的唯一性问题容易处理最初的结果 是由s o m m e r f e l d 在1 9 1 2 年关于声波情形的工作中给出的【2 】问题( 1 1 1 3 ) 的解的 唯一性问题就困难得多原因在于必须要建立具有变系数椭圆方程的一致连 续性原理在这个方向上最初的结果由m u e l l e r 给出【3 】以上两种情形都是针 对hn 2 0 的对于伽n 2 50 的情况上述的唯一性结论都不再成立再一个问 题就是解的存在性和数值近似问题确定存在性的最通常的方式是采用积分 方程方法，具体说，对于问题( 1 1 1 3 ) 易证，对于所有正值七o ，总场皿就是如 塑= 童逛墼墼旦蹙鲤量些复墨鉴生 下l i p p m a n n - s c h w i n g e r 方程的唯一解 皿( z ) = e 。1d + 碚g ( m z 一嚣f ) 卜y ( x ) 霍( z ) 】如 茹舻 ( 1 _ 8 ) 其中，= n 2 1 ； g ( 1 。一1 ) = 石- - 1 再。i l z - z t i ( 1 9 ) 为二维自由空间标量h e l m h o l t z 方程的g r e e n 函数 另一个令人感兴趣的问题是关于散射声波的远场数据或散射振幅特别 地，如果虬为问题( 1 1 1 3 ) 或( 1 4 - 1 7 ) 的散射场，则虬具有如下的渐近行为： 叫加学霍。+ 0 ( 击) 吲0 0 ( 1 1 0 ) 雪( $ ) = 三i 一霍+ o ( 者) r = i 。i + ( 1 1 0 ) 皿。即为虬的远场数据【1 】 1 3 逆散射问题 到目前为止，人们对于逆散射问题的认识远没有正散射那么多关于具有 实用价值的逆散射问蹶的完整的数学物理模型还没有建立起来这使得对逆 散射问题的研究尚缺少坚实的数学基础最主要的原因在于逆散射问题“天 生”的非线性从数值计算的观点来看，则是更严重的“不适定”性问题除 非采用正规化方法，否则测量数据微小的误差都会导致散射体重建的巨大误 差然而，逆散射问题正是雷达，声纳、地球物理勘探、医学成像和无损探测 等领域的基础可以肯定地说，逆散射问题至少和正散射问题同等重要，逆散 射问题已成为目前散射理论数学物理研究的前沿 关于逆散射问题的解的唯一性，最初的结果是由s c h i f f e r 针对问题( 1 垂1 7 ) 给出的【4 】其结论认为，在同题( 1 4 - 1 7 ) 中，对于所有的窖，d n 远场模毅皿。 和确定的b 唯一地决定了散射体d 问题( 1 1 1 3 ) 的唯一性问题也被n a c h - m a n 5 】 n o v i k o v 6 ，r 艇m 【7 】等人解决至于逆散射问题的解的存在性问题。c o l t o n l ! ：! 当煎堂墼墼塑墨塑墨壁璺墼竖鲨塑苎查星壑 i 一 等人认为问题应表述为：逆问题应怎样被“稳定”及如何找到此“稳定”逆问 题的近似解( 1 采取这种表述的根本原因在于逆散射问题的严重的“不适定 性”在这个方向上最初的努力是通过将逆散射问题转化为解一个第一类积 分方程而将该问题线性化其主要技巧就是b o r n 或r y t o v 近似( 对于1 1 1 3 ) 和 k i r d l h o 颤即物理光学) 近似( 对于1 4 _ 1 7 ) 线性化模型由于其数学简单性而受到青 睐，其缺点在于忽略了逆散射问题非线性的根本特征比如，多重反射的影响 被彻底抛弃了但这并不影响线性化模型成为解决逆散射问题的一个重要且 有效的手段，尤其是同叠代法结合起来后在下面的对于几种逆散射问题的典 型解法的描述中，可以更清楚地看到这一点 1 4 当前逆散射问题的几种典型解法的基本思想 1 4 1b o r n 叠代法f 8 】【9 】 这是以b o r n 叠代法( b o r n i t e r a t i v em e t h o d 记为b i ) 为代表的一系列近似算 法b o r n 近似的本质在于通过将散射体内的总波用入射波来代替从而将逆散 射问题线性化b i 从b o r n 近似开始，反复计算正散射和逆散射，通过最大限 度地近似散射体内的总场来提高重建效果数值计算表明，采用叠代法确实 有效，即使对于包含噪声的测量数据，叠代过程也是可行的这种方法的缺陷 在于。对于跃变型、高反差的散射体，效果不好，只能得到平滑解( 后面我们 将会看到，这主要是由于l s 方程成立的条件得不到满足而造成的) b i 的一个延伸是所谓的变形b o r n 叠代法( d i s t o r t e db o r n i f r a t i v em e t h o d 记为 d b i ) 其主要思想是，在每一步叠代过程中，与散射体内的每个像素相联系的 积分核( 即g r e e n 函妻妁都将依据上次叠代的结果进行熏新估算这种算法提高 重建质量的效果很好其缺点在于对噪声非常敏感需要对重建图形进行“后 滤波”( p o s t - f i l t e r i n g ) 以消除高幅高频形变 蔓二童堂墼盟塑壁笪量出皇墨鉴 ! 在d b i 基础上又产生一种所谓改进型变形b o r n 叠代法( t h e m o d i f i e dd i s t o r t e d b o r ni t e r a t i v em e t h o d 记为m d b i ) 在此方法中，研究者在叠代过程中应用了图象 分析技术，以进一步改善d b i 的重建效果他们发现，对于积分核的重新估 算，只需应用到那些具有非均匀性特征的像素上，而不是散射体内的全部像 素都需要这种有选择性的做法避免了大部分不必要的积分核重估，从而提 高了叠代过程的速度和稳定性这使得m d b i 同d b i 相比，实用性能和抗噪声 性能都更胜一筹 同b o r n 叠代法相反，后面将要介绍的两种方法都没有回避逆散射问题的非 线性特征这代表了解决逆散射问题的另一类方法一一非线性方法这些方法 ( 以障碍物逆问题为例) 通常是采用积分方程或g r e e n 公式把障碍物逆问题改写 为一个非线性最优化问题在达到稳定解的每一步叠代过程中都需要计算正 散射在不同区域的解这些方法的最新发展是，避开了每一步叠代过程中对于 正散射的计算，同时，将障碍物逆问题分解为一个线性不适定部分和一个非 线性适定部分下面来看这两种方法的具体思想 1 4 2 非线性积分方程方法f l o 】【玎】 例如，对于( 1 4 ) - ( 1 7 ) 的障碍物散射，假定我们对障碍物d 有一定的先验了 解，使得我们有充分的理由认为，d 内有一个曲面r ，使得蠕不是算子一v 2 在 r 内的d i r i c h l e t 本征值相应于确定的波矢量b ，可以把散射场虬表示成一个 单层势场 ， 皿( 动= 一p 扫) g ( z ，f ) d 8 ( )( 1 1 1 ) j r 其中妒l 2 ( r ) 称为密度函数且未知此时远场数据表示为 霍一( 囊；d ) 2 寺上8 。| p ( f ) 出( p ) 囊n ( 1 1 2 ) 若给定远场数据丑。，这也是一个关于密度函数的第一类线性积分方程，于是 i ! ：! 当煎堂墼壁旦曼笪旦壁璺型堡鲞塑董查星壑王 求边界o d 的问题化为( 1 _ 1 1 ) ( 1 1 2 ) 和雪+ 雪= 0 ( a d ) ，其中m ，( x ) ，妒( x ) 和o d 都是 未知的特例，假定0 d 为星形，即$ 0 d ，a n ，$ ( a ) = r ( a ) a ，便得关于r ( a ) 的非 线性积分方程 皿+ 雪= e d r ( ) - d + l p ( r ( a ) a ，可) d i ( ) = 0 a f t ( 1 _ 1 3 ) 然后用非线性最优化问题求解且此最优化问题的解连续地依赖于测量数据 因为第一类线性积分方程是不适定的，所以必须进行正则化处理 1 4 3 对儡空间法【1 】 对偶空间法也是一种非线性方法以三维空间逆散射为例，其积分形式为 皿( x ，d ，k o ) = 皿( x ，d ，k o ) 一e 知蟹8 = 一碲g ( i x x 1 ) f ( x ) 耍( x ，d ，七o ) a b c ( 1 1 4 ) j b 皿。( 曼，d ，= 鬟正e 址i ，( x ) 皿( x , d , k o ) d x ( 1 1 5 ) 其中b 为包含散射体的一个球体 对偶空间法的基本思想是t 通过入射波的加权叠加将逆散射问题转化为一 个内边值问题然后用非线性最优化方法求解，( x ) ，具体做法如下： 1 将入射波甄= e t k o * 4 加权叠加 眠。上甄g ( d ) d s ( d ) ( 1 1 6 ) 其中n 为单位球面，使相应的综合散射波w ( x k o ) 在远处( x 铲b ) 为已知， 且使w o o ( 囊，k o ) 在l 2 ( n ) 空间中完备，例如使 l n ( 雯，k o ) = f 1 ) ( k o l x l ) m 。( x ) ( 1 1 7 ) 其中 ；1 为第一类l 阶h a n k e l 函数，为球函数因而有 w 矗( ，) = 等m 。( ) = 圣。( ，d ) 口( d ) 幽( d ) = ( 1 1 8 ) 墨二茎壅墼盟囹望笪量坐量墨鉴! m 。偿) 在三2 ( n ) 中是完备的其中暾称为t i e r g l o t z 波函数，9 ( d ) 为它的h e r g l o t z 核在i r nn 2 0 假定下，如果9 ( d ) 存在，则必定是唯一的 2 关于加权后的散射波满足以下内边值问题，其积分形式为 矸o ( x ，k o ) = 一磅g ( i x x i ) f ( x ) - 矿( x ，k o ) d s x ( x b )( 1 1 9 ) w oj 8 口= 一碚g ( i x x 1 ) l a 口，( x ) 矸7 ( x ，k o ) d ( 1 2 0 ) 鲁i o b = - - 瑶吴上硎x - - x | ) ，( x 州，k o ) d 8 x 如( 1 2 1 ) 这个问题称为内传输问题，它是一个内边值问题 3 最后建立目标函数，用最优化方法求解散射体 显然这个方法的计算量是很大的因为在泛函分析中，称函数组成的 空间 矸o ) 或函数g 组成的空间 订为 霍。) 的对偶空间，所以此方法取名为对 偶空间法 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 鉴于逆散射问题的复杂性，人们开始考虑引入微扰论思想，为此常对逆散射问 题作迸一步的假定，即被成像物体的表征参数( 如圆波数k ) 与周围介质的相应参 数间相差很小，即所谓的弱散射情况。在这个假定下，进一步做微扰展开，求微 扰近似解。在2 0 世纪5 0 年代，j o s t 和k o h n 提出了以入射波的波矢量为补偿参 数的标量势逆散射微扰论 1 2 】，随后m o s e s 和p r o s s e r 等人作了进一步研究 1 3 ，1 4 。 因为所使用的补偿参数是波矢量，所以在实际工程应用中行不通，而且只在足够 弱的散射情况下才有收敛的逆散射解。在7 0 年代末和8 0 年代初，开始使用b o r n 和r y t o v 近似研究以旋转角为补偿参数的超声衍射层析成像，但这些重建算法对 散射体要求十分苛n 1 5 ，1 6 1 。本文作者的导师曾提出了广义散射概念和以旋转角 为补偿参数的比较普遍的声逆散射微扰论 1 7 】。本章总结了我们在逆散射微扰论 方面及薰建算法方面所作的工作。 以n 维空间中单频波激发的声衍射层析成像为例，令妒( x ，f ；p ) = v ( x ；0 ) e “ 其数学模型为 iv 2 妒( x ；口) + k2 ( e r x ) y ( x ；目) = 0 入射波( x )( 2 1 ) p ( x 卜。已知0 0 o o 其中杪为声压 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 m ，= 抒笔 ( 2 2 ) 七。( x ) 和分别为散射体x d ( 即成像物体) 及其周围均匀介质x d 的圆波数 。l = x l o 为声波接收器阵列所在空间位置，它在成像物体之外，由x i o 的取值范围， 决定层析成像是反射式还是透射式，而0 为按如下定义的旋转角： x = ( x ：，x ：x ：) 7 为由原直角坐标系旋转而得的另一直角坐标系中空间点的坐 标，设空间中一点在这两个坐标系中的坐标之间有 x = r x( 2 3 ) 其中r 为n n 正交矩阵；现在令成像物体作n 维空间中的旋转，旋转时，将 x j ( j = 3 0 ) n ) 轴固定，则有 x “= q 护) x 其中印) 也是”一正交矩阵 s i n 0 c o s 0 0 妻 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中，。是 一2 ) 0 2 ) 单位矩阵，x 。为和成像物体一起旋转的坐标系中空间 点的坐标，x ”= 印玲。在实际应用中，一般取r 为单位矩阵，即x 和x 的坐 标系重合。传统的二维和三维空间结构衍射层析成像是这里的特例。例如在二维 结构( 即平面结构) 情况下，就是绕垂直于该平面的轴旋转，此时对旋转角的取 值范围，在几何声学近似下，0 0 = 1 8 0 0 即可，但对于物理声学情况，即考虑衍射 i 效应时，要求吼= 2 7 0 。这里的逆散射问题是由成像物体外的声场y j 。l 叫。求 1 0 - 8 7 0 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 成像物体内部的圆波数分布七x ) 。 令 厂c x ，= ( 丢 2 一，= ( 詈 2 一 其中f i , n 。分别为成像物体及其周围介质的相对折射率，于是有 v 2 妒( x ；目) 十瑶y ( x ；口) = 一爵厂( e r i ) y ( x ；p ) 令y = + 帆，虬是散射波，因入射波满足 v 2 | i c r o ( x ) + 七；y o ( x ) = 0 ( 2 6 ) ( 2 7 ) 所以( 2 7 ) 式化为 v 2 】矿，( x ；口) + 瑶妒，( x ；目) = 一藤厂( 1 日l k ) 矿( 工；口) ( 2 8 ) 若厂( x ) c 0 1 ( r ”) ，即厂( x ) 是定义在实n 维e u c l i d 空间r ”上具有紧支撑的一次连 续可微函数，并依据s o m m e r f i e l d 辐射条件，以下的积分方程，即l i p p m a n n - - s c h w i n g e r 方程成立【l 】 y ，( x ；口) = p ( 1x x 1 ) 一七；厂( 。l l i ) 】矿( x ；口) d “x 。 其中 = g ( i x 1 ) o ，卜瑶厂( e r i ) y ( x ；曰) j ( 2 9 ) g1)=蠢4 ”1 ) ( 2 z r i ix i ) 2 卜12 ( 2 1 0 ) 为n 维自由空间h e l m h o l t z 方程g r e e n 函数，日：乞- 1 ) ( ) 为第一类h a n k e l 函数，。x 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 表示对x 的卷积运算。特别n - - 2 ，3 时分别有 g ( | x | ) = 掣 g 归一篙掣 ( 2 1 1 ) f 2 1 2 ) 在有限维空间中，有界和有紧支撑是等价的。我们这里讨论的成像物体是有界 的，因而只需要求c ( x ) 或k ( x ) 或n ( x ) 一次连续可微即可。 作广义散射变换 z = y o g ( a ) w 口= v o 其中g ( ) 为二次可微函数且g ( 1 ) = 0 ，则( 2 9 ) 式化为 ( 2 1 3 ) 吣啦( g 气等讪 = g ( ix - x i ，卜蝴e h 帆础怒炽 其中g “( ) 为g ( ) 的反函数特别当g ) = 口一1 ，即是b o r n 变换z = y y o = ， 这里z 是严格意义上的散射波， y ，( x ；p ) = y ( x ；日) 一y 。( x ) = p ( ix x i ) 卜瑶厂( e r x ) 】妒( x ) d “x ( 2 1 5 ) 或简写为 ( ，一上弦( x ；口) = y o ( x )( 2 1 6 ) 其中i 为单位算符，l 为空域线性积分算符 l = - k 0 2 x g x - - x l 驴陋) ( z m ) 或形式上写成 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 l = r f 当g 仁) = l n a 时，则得r y t o v 变换 z ：l n 旦， 吵。 矿：e x p ( 上) o f 21 8 ) ( 2 1 9 ) 这里z 是广义散射波：当矿= y o 时，即总波和入射波相等时，z = 0 ，即无散射 波；当o 时，z 0 ，即存在散射波，但z 不是严格意义下的散射波，称为 广义散射波。此时，方程( 2 1 4 ) 化为 施班( e x p c 带h ) - g 卜雌厂( 盹肌) e 冲c 搿炽 f 2 2 0 ) 其中 若在方程( 2 1 5 ) 两边同时作对x 。= x 2 ，屯x n ) 7 的f o u r i e r 变换，得 t i t s o ( x 。；弋；口) = 一靠i g o ( x ，一x i ；_ k g ：；k ；臼k i = 一瑶g 。g 。，弋) 。g ：；_ ；口) ( 2 2 1 ) 甲。g ；v ，；口) = p ；( x ；目) e x p ( 一i 2 n x 。气) d ”1 x ， ( 2 2 2 ) 称为散射波的平面波角谱【1 8 】，下标a 表示角谱， g o ( x ，、) = i g x d e x p ( - i 2 n x ，气) d “x ， e x p ( i 2 x 届i i i x 1 ) = 。“= = = = = = = = = = = = = = = = ? 。一 4 癖_ ：叫2 + i o r 2 2 3 ) 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 为奇异广义函数 1 9 】 t o ( x l ；k ；口) = 无g ：；t t ；口也g ：；t ；口p ”t = l o 、k 正g ：；匕；目) = f ( e l i i ) e x p ( 一i 2 n - x ，- v ，) d ”一1 ： 甲。g ；k ；口) = p ( x ；口) e x p ( 一f 2 愿。v ) d ”1 x ， = l g ；k ；口) 一w o 。g ；v ；o ) 弋= p ：，v ，v n y ，屹= l k l = 设f 是，的f o u r i e r 变换，则 o ( x ；v ，；口) = p ( e rv ) e x p ( i 2 ，r v i z 。) d v i 。- 笪：一1 2 石 九 f 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) f 2 2 6 ) r 2 2 7 ) 其中y = d 。，y 2 v n ) 7 为空间频率矢量。将( 2 2 7 ) 式代入( 2 2 1 ) 式，得角谱域 公式 其中 匕g ；t ；口) = 越；弘：d ”v g 。g 一x ：；k k 2 州i f ( o r ( v ；。( t t h 融g ：；t ；口) ( 2 2 8 ) v | 。( 匕一t ) = ，y ：一v 一y ：) r o 表示直接和。( 2 2 8 ) 式可以写成 r 2 2 9 ) ( ，一l 。) v o g 。；v ：；口) = 。g 。；v ，)( 3 0 ) 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 其中l 。为角谱域线性积分算符 上。= 一爵i a x ；a v g a ( x 。一x ：；v ，) e x p ( i 2 z r v i 工i 扩( r ( v | 。( v ，一v ：) ) ) ( 2 3 1 ) 或形式上写成 l a = l f f 2 3 2 ) 现在讨论b o m 变换下逆散射微扰论。若在散射波角谱中引入微扰参数s ，且 将散射体的f o u r i e r 变换f 按微扰参数展开 则有 f = f e ” ( ，一r 口妻占”l ( 叱+ k 。) = k m = l 合并同幂项占”，并令其系数为零，则得角谱域重建公式 = r 口 ( r a f m 一1 ) k 。+ ( r 8 晶) = 0 m 2 r 2 3 3 ) r 2 3 4 ) f 2 3 5 ) f 2 3 6 ) 将( 2 3 5 ) 式代入( 2 3 6 ) 式得 【( l r 一1 ) r a 五+ l 】。= 0 m 2 ( 2 3 7 ) 已知y ( x ；占l ”，因而可计算得甲。g 。；k ；口) ，由( 2 3 5 ) 式便可得b o m 一阶 近似角谱域重建。当m = 2 时有 ( l 五) 。+ ( l f 2 ) 。= 0 由此可得b o r n 二阶近似项重建。以上的讨论对入射波的波阵面形状没有任何限 笙三童董望望墼盟丝垫堡量丝茎童墼壁堑鳖! 生 制，它可以是平面波，球面波，扇形波或g a u s s 束。如果是平面波，例如沿x 。方 向传播的平面波甄( x ) = a e 如“，则 。= a e 如占( 一) ( 2 3 8 ) j ( ) 为d i r a c 一占函数。关于二阶b o r n 近似的重建算法和数值模拟例子见参考文献 【2 0 】。 类似地，若在散射波虬中引入微扰参数，将散射体厂按之展开 厂= 厶s ”， m = l 则有b o r n 变换下空域重建公式 慨耽= 织 【一r 砉厶占”陋慨) 嘲 ；i ( r f ) y 。= 一( i l i ) ， m 2 将( 2 4 0 ) 式代入( 2 4 1 ) 式得【f 厂m + ( r ：一1 ) r f , = 0 m 2 。 r 2 4 0 ) r 2 4 1 ) 现在讨i g g y t o v 受抉f 的惩散射，傲抗论。为此利用展升瓦 e x p ( 老；薹去( 刮在广义散射波z 中弓| 入微扰参鼽将散射体f 按微扰参 数展开，再将它们代入( 2 2 0 ) 式得： 唣。l e z ”zj g 卜瞎薹氟韵”n 一砖j g c i x 劬争，孕刍皆忧( 2 4 z 于是有r y t o v 变换下积分形式空域重建公式 苎三童董堕垄墼塾堂垫笙量丝垫釜塑星茎鳖! 三 等( 贵) ”= w f g x j ) 州x + ，薯厶去( 去 ( 2 4 3 ) 一，毛刍c 旁 特别到m = l 时得r y t o v 变换下的一阶近似重建公式 z = 一露g 0 x 。胁( x ) f , ( e r x ) 执。 r 24 4 ) 和( 2 4 0 ) 式相比，所不同的是，这里用广义散射波z = o l n 旦代替散射波帆。 0 当m = 2 时便得r y t o v 变换下的空域二阶近似项重建 ( 阢) v o = - ( 咖毛甓 ( 2 4 5 ) 和b o r n 变换下的空域二阶近似相比，除用广义散射波代替散射波外，还多了一 l 顷一l z 2 。 2 2 2 形式致晨开法 以上所述逆散射问题的解都是无穷级数，相应的一阶和二阶近似重建算法 只对弱散射才适用，即当i f ( x ) i 很小时才适用。如果采用更高阶近似，势必导致 计算量不断增加。能不能得到有限形式的解呢? 如果能表示为有限项之和，那么 这个问题就解决了。 若对方程的微分形式作广义散射变换( 2 1 3 ) ，则方程化为 v z h k 。x = - k 0 2 f v z o 妇o t + o 等2 在b o r n 和r y t o v 变换下，分别化为 v 2 + 瑶= 一；加 和 v 2 扣一皤盼y 。( v 去) 2 ( 2 4 6 ) r 2 4 7 ) f 2 4 8 ) 如果在散射波和广义散射波z 中分别引入参数s ，将成像物体厂分别展开为 的占级数，则分别有 和 占( v ：虮+ 瑶虬) ：一七；。+ 占) 妻厶占m ，h ；1 ( 2 4 9 ) 占h 瑶x ) 卅参 ( v 轷2 眨s 。， 于是分别有 f v 2 l c ，。十七；，= 一蟛2 y o i 厶+ 虬l t = 0 m 2 和 v 2 z + k g z = 一瑶石 蜘( v 剖2 ；。 厶= 0 m 2 3 ( 2 5 1 ) r 2 5 2 ) 第二章普遍逆散射微扰论与形式参数展开法 由( 2 5 1 ) 式 1 盟一：一兰尘：直 。2 m v q f 、 r 2 5 3 ) 即有厶= 譬厶一1 ，所以 j 1 厂= 塾= 丧 b s 。， 这是因为一般说来嘲 。由c 2 兑，式，在脚。v 变换下显然有 f = + 办 r 2 5 5 ) 因此，对方程的微分形式进行b o r n 和r y t o v 变换，再分别在散射波和广义散射 波中引入参数占，将成像物体按参数展开为幂级数，则有有限形式的解。此时参 数已不是什么微扰参数，我们称之为形式参数。 第三章计算机数值模拟 3 1 维情况 下面我们通过对一维和二维情形的理论结果进行数值模拟来证明有限分解 ( 2 5 4 ) 式的正确性。考虑下面分层弹性介质由于左入射波= e 一“) 产生的声 散射( 见图1 ) 其中 图1 弹性分层介质中声散射 f i 9 1 a c o t t s t i c e t is c a t t e r i n gi nal a y e r e de l a s t i cm e d i u m 窘埘y = 。x 4 ：0 , l k = k 。= 旦 c o 七：竺 c 上到：三剑 p od x l ，“ 届d x l ，削 上到：土剑 风d xl bd x l + x ， 0 x ， ( 3 1 ) r 2 5 7 ) 第三章计算机数值模拟 l e i k 0 3 + a e - i k o xx 0 妒= b e 请o 。+ c e 一破o 。0 z ， 其中4 = 丑( 1 _ a e i 2 k t l ) 一l 为反射系数，b 2 百了刁f j 2 瓦瓦叼，c = - b a e i 2 k f l 。= b ( i - a “白一知为透射系数，d 2 嚣层外和层内声阻抗比，2 而l - d 五：等d 2 c t s + k 孑s ：睁i - h 2 a e i 2 k i l ) ， 五= 睁- 也奶7 妇”w 2 叫一，) 4 ， 其中h 1 = e - i ( k o 一七j ) f ，h 2 = e - i ( o + 七j ) 7 容易计算( 2 5 4 ) 式是成立的。设所= p o ， k i ，* k o l ，贝d ：喜i * i ，令占= l d ，贝有 * 也( 3 5 ) 又因* ，b * l ，所以 石* 一2 占( 1 一兰e 1 2 k r i ) z - 2 占 ( 3 6 ) 五- - e 2 岛e “ 即 “，而 是二阶小量。所以弱散射情况，即l f f 很小，且，也不大时，b o r n 一阶近似是适用的。但当f 不是很小，即不是弱散射，或，较大时，b o r n 一阶近 似，甚至b o r n 二阶近似的层析成像与成像物体之阅的差异会很大，见图2 。 第三章计算机数值模拟 0 。5 0 0 0 5 - 8 i 一0 。1 5 0 2 0 2 5 - - 8 3 - 0 3 5 ，、 、 i 烫 豫 。 瓢 一1 0 5o51 日1 52 02 5 3 。( 0 2 1 1 1 ) ( a ) f = 4 o m d = 0 8 6 0 1 0 - 0 1 _ 。2 - 0 3 - 0 4 _ 0 5 _ 0 6 - 0 7 咱8 。 、 【， + 驴l ，+ 多i 聚。 弋弋尹孑 鞭 琢平 i 1 0 - 5851 0t 52 02 5 3 。( x o 2 m ) c o ) z = 4 o m d = 0 7 6 第三章计算机数值模拟 ； ； ： 八 o j if 彦 ： i 产 弋：；厂 卜 ： 、 f 髟1 z + 鹇 图二 一维结构声散射b o r n 一阶近似z 和二阶近似；+ 与散射体厂之间的巨大差异 f i g 2g r e a td i f f e r e n c e sb e t w e e nt h es c a u e r e r f a n di t sf i r s t - a n ds e c o n d - o r d e rb o m a p p r o x i m a t i o n s | i i nao n e - d i m e n s i o n a la c o u s t i c a ls c a t t e r i n g p r o b l e m 0 1 2 3 4 咱 咱 屯 书 第三章计算机数值模拟 在二维情形下，要证明( 5 4 ) 式的正确性，须求出i 、五。石即为通常的b o r n 近似， 则根据文献 2 0 】中其角谱e 的计算公式求得。具体的计算过程请参考文 献 2 0 】，这里仅给出e 的计算公式。求得e 后，再对其进行二维逆f o u r 变换 得到以。 其中 呻v j = 瑶肌嘶柏曲( e v ：2 ) 矧 五g ，y ) = 肛( 咖“枷州d u d v 砖，啊y ) 1l 1 丽。萨 i i 习i 丽 g 口g ，y j ) + e n 坤 + 硼f 再巧巧弼 w 2 “+ i v = e v t 2 我们的数值模拟所采用的散射体模型是一个具有实波数的轴对称圆柱体 f! 撕) ： ( a r 6 + 6 ，4 + 盯2 + d ) 2 r r 【k o ，r ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) 第三章计算机数值模拟 棚f 立生粤尘型一1 ， r 巾) = i 一1 “ 10，r 其中的系数盘，b ，c ，d 通过散射体在边界处的c 1 条件及相应的散射强度确定。令入 数据进行重建。 我们采用l 2 空间的模来衡量重建结果的误差： 肚( 锩 j b ，。， 其中f 和厂分别为重建结果及真实散射体模型。d ：k i m = 描述了散射强度。 兰三兰生兰垫鍪堕堡苎! 皇- 01 00 5 0 1 0 02 01 0 1 0 y 地】。1 0 - 1 0 x 【耽】y 【】加- 1 0 x 【凇】 ( a ) e = 3 9 璺! ( b ) e 2 2 3 凹 y 【耽】。1 0 1 0 x x t 2 ( c ) e - - - 2 0 0 8 y 【耽】1 0 1 0 x 【耽】 ( d ) e = 6 0 7 1 d 图3圆柱形散射体熏建。r = 3 2 ，d 卸9 0 。l ( a ) 一阶b o r n 近似。1 ( b ) 二阶b o r n 近似。1 ( c ) 一阶r y t o v 近似。l ( d ) 形式参数展开法。 f i g 3r e c o n s t r u c t e dp r o f i l e so f t h ec i r c u l a rc y l i n d r i c a lo b j e c t sb a s e do nt h ef i r s t - a n ds e c o n d - o r d e r b o mt r a n s f o r mp 盯t i l f b 砒i o r i ，o nt h ef a s t - o r d e rr y t o vt r a n s f o r mp e r t u r b a t i o na p p r o x i m a t i o na n do n t h em e t h o do f f o r m a l p a r a m e t e re x p a n s i o ni nf i g 1 ( a ) l ( b ) 1 ( c ) a n dl ( d ) m s p e c t i v e l y ：r = 3 2a n d d = 0 9 0 第三章计算机数值模拟 01 00 5 0 1 0 ( a ) e = 4 3 9 7 ( e ) e = 1 5 8 4 ( b ) e = 2 3 4 9 ( d ) e = 8 3 5 1 0 1 0 图4 圆柱形散射体重建。r = 4 2 ，d = 0 9 2 。l ( a ) 一阶b o r n 近似。1