（应用数学专业论文）小波分析在太阳射电观测数据处理中的应用.pdf

捅姜 本文主要侧重于小波变换在太阳射电观测数据处理中的应用研究。其丰要内 容可概括为以下几个方面。 结合“通道归一化”方法和小波滤波的方法消除太阳射电爆发精细结构中的 各种干扰成分，这些干扰主要表现为由来自仪器通道效应的横条纹和谐波干扰造 成的纵条纹所组成的网络结构。 在一个具有确定的太阳大气高度的分层模型中，研究了8 个频率在2 6 3 8 g h z 区间的太阳尖峰辐射事件。首先把太阳爆发的频率转变成其相应的太阳大气高度， 然后对得到的新的时间一太阳大气高度二维数据，分别利用傅立叶分析和小波分 析方法作出每一时刻的空间功率谱，再各自沿时间平均，从而得到所要研究时段 的平均一维空问功率谱图象。最后，通过线性最小二乘法对每个事件的时俐平均 空间功率谱曲线做直线拟合，计算出它们的幂率指数。发现它们的幂率指数分布 在一0 6 6 到一1 9 6 之间，与典型的磁流体湍流中的科莫戈洛夫频谱指数一5 3 相背离， 但是与k a r i i c k y 在卜2 g l _ z 的结果一致。 提出了一种射电偏振矫正方法，通过小波变换和广义插值法准确计算了同样 的8 个尖峰事件的爆发背景，得到了它们的偏振轮廓。分析结果表明，本文的处 理方法简单、有效，它较大程度地降低了偏振计算的误差。 关键词：小波变换太阳尖峰辐射功率谱广义插值 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ea p p l i c a t i o n so fw a v e l e tt r a n s f o r mt ot h ep r o c e s s i n g o fs o l a rr a d i od a t ao b s e r v e dt h em a j o rw o r k sc a nb es u m m a r i z e da st o l l o w s ： b a s e do nam e t h o dw i t ht h ec o m b i n a t i o no fc h a n n e l m o d i f i c a t i o na n dw a v e l c t f i l t e r , w er e c o g n i z et h ef r e q u e n c yb a n do f f i n es t r u c t u r e sa n dd e l e t ea l lt h ei n t e l 。p e r e n c e t h a ti ss h o w na s g r i d c h a r t s u p e r p o s e d 0 1 1t h ed y n a n l i c s p e c t l a f i l eg li d i s0 f i e l l c o n s i d e r e dt h a tr e s u l tf r o mt h e a p p a r a t u s f u n c t i o no fr e c e i v i n gd e v i c ea n dt h en o i s e h a r m o n i c s i nal a y e r e dm o d e lo fd e f i n i t es o a l 。a t n l o s p h e r e d i s t a n c e ，e i g h t e v e n t so fs p i k e e m i s s i o n o b s e r v e db yt h e b e i j i n g r a d i o s p e c t r o g r a p h i nt h e2 6 38 g h zf r e q u e n c y r a n g e ，a r ea n a l y z e d f i r s t l y , l e tu st 1 a n s f o r n lt h ef r e q u e n c ys c a l eo ft h el _ a d i os p e c t t at o t h es c a l eo fd i s t a n c e si nt h es o l a ra t m o s p h e t 。ea f t e rw e g a i nt i l e2 - dd a t ao f t i m ev e r s u s d i s t a n c e ，t h es p a t i a lp o w e rs p e c t r aa t af i x e dm o m e n tc a l lb e c o m p u t e db yu s e o f w a v e l e tt r a n s f o r ma n df o u r i e rt r a n s f o m a r e s p e c t i v e l y t h e nw ea v e r a g e dt h ep o w e r s p e c t r ao v e rt h ec o r r e s p o n d i n gt i m ei n t e r v a l s ，t h er e s u l t i n gt i m e a v e r a g e d1 一ds p a t i a l p o w e rs p e c t r aw e r ed r a w na n dt h e np e r f o r m e dal e a s t s q u a r el i n e a rf i tw ef i n dt h e p o w e r l a wi n d i c e sa r es c a t t e r e di nab r o a di n t e r v a lo fv a l u e sf r o m - 0 6 6u pt o 一28 5i n s o m ec a s e s t h e yc o n s i d e r a b l yd e v i a t e f r o mt h ev a l u e o f 一5 3 ，r e s e m b l i n g t h a to f k o l m o g r o vs p e c t r ao f t u r b u l e n tc a s c a d e s ，b u tw e r ec o n s i s t e n tw i t ht h er e s u l to fk a r l i c k y i nt h e1 - 2 g h z f r e q u e n c yr a n g e at e c h n i q u ef o r c a l c u l a t i n g s o l a rr a d i o p o l a r i z a t i o n i s p n tf o r w a r d a n dt i l e o u t l i n e so ft h ep o l a r i z a t i o no ft h e s ee i g h te v e n t sa b o v eh a v eb e e ns h o w nt h e i m p o r t a n t s t e po ft h i sn e wm e t h o di sh o wt oe s t i m a t et h eb u r s tb a c k g r o u n dl o g i c a l l y h e l 。ew e i n t r o d u c et w ot y p i c a lw a y s ，o n ei st h ew a v e l e tt r a n s f o r m ，t h eo t h e ri s t h ee x t e n d e d i n t e r p o l a t i o nm e t h o d o u rl a s tr e s u l t si n d i c a t et h a tt h i sm e t h o di ss i m p l ea n dl ，d i a n e k e y w o r d s ：w a v e l e tt r a n s f o r m ，s o l a rs p i k ee m i s s i o n ，p o w e r s p e c t r a ，e x t e n d e d i n t e r p o l a t i o nm e t h o d 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 互霆 日期坦生! ! ：兰 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业 离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。学 校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布沦文的全部 或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在 解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密在年解密后适用本授权书。 本人签名 导师签名 迎 瓣 f r 期塑生：! 尘 f 1 期望生：查： 第一章绪论 第一章绪论 近十几年来，小波分析理论和应用已经在许多学科领域内引起广大科研工作 者的极大兴趣和人们的广泛注意。在实际应用中，特别是信号处理、图象处理、 语音分析、模式识别等相关方面，小波分析被公认为在工具和方法上都有重大突 破。 数学家认为，小波可以作为表示函数空间的一种新方法；信号专家认为，小 波是继f o u r i e r 分析之后又一个有效的时频分析方法“1 。小波分析是傅立叶分析发 展史上里程碑式的进展，是傅立叶分析理论发表t 7 0 多年来最辉煌的继承和总结， 它对分析工具起着承前启后、继往开来的重要作用，并取得了许多传统分析方法 难以实现的显著的应用效果。小波分析技术是一种高新技术，是高科技的重要内 容，它已经把信息工业和信息技术推向了一个新时代，是当今国际学术研究和产 业发展的热点内容之一。 傅里时变换方法是将信号用正弦或余弦函数形式做级数展开，这种方法适合 那些变化相对平稳的信号，而对于非平稳变化的信号的变换效果不是十分理想， 也就是说傅里叶交换方法没有局部化能力，这同正弦或余弦函数的周期性质是分 不开的。但是小波分析方法却能精确地检测奇异信号。它不同于于傅立叶分析方 法的地方在于它所用到的基本函数不具有唯一性，同一个问题用不同的小波函数 进行分析有时结果差距很大：但是小波函数的基比较简单，一般是由一个函数p ( 耳) 经过平移和伸缩得到的。 1 1小波分析发展的历程 小波的起源可以追溯到本世纪初。虽然1 9 1 0 年h a r t 提出了最早的小波规范正 交基，但当时并没有出现“小波”这个词0 3 。1 9 3 8 年，l i t t l e w o o d p l a y 对傅立叶级 数建立了l p 理论，按照二进制频率成分理论，f o u r i e r 变换的相位变换本质上不影 响函数的形状和大小，这是多分辨分析的最早来源。1 9 6 5 年g a l d e r o n 发现了再生 公式，它的离散形式己接近小波展开，但还无法得到组成一正交系的结论，在1 9 8 1 年，s t o r m b e r g 对h a r r 系进行了改进，证明小波函数的存在性。1 9 8 4 年，g r o s s i n g 和m o r l e t 首次提出了小波的概念。，给出了按一个确定函数v ( t ) 的伸缩平移系展 开的系统理论以及进行信号表示的新思想i 1 9 8 6 年，y m e y e r 在证明不可能存在时 频域都具有正则性的正交小波时，发现了具有一定衰减性的光滑性函数v ( f ) ”j ，其 二迸伸缩和平移系渺。( z ) = 2 - 7 z ( 2 一。石一k ) i ，k z 构成了三2 ( r ) 空间的规范正 - “ 交基；之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地构造了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 8 小波分析在太阳射电观测数据处理中的应用 年，d a u b e c h i e s 构造了一类具有紧支集的有限正则度小波函数”，为小波应用更加 广泛。1 9 8 9 年m a l l a t 把计算机视觉领域中的多分辨分析方法引入到小波基的构造 中“r “，统一了s t r o m b e r g 、m e y e r 、l e r m a r i e 、b a t t l e 等人提出的各种小波的构造方 法，同时研究了小波的离散形式，采用多分辨分析构造了实现小波变换的快速算 法，即m a l l a t 塔式算法”，大大地简化了小波系数的计算，这是小波应用突破性的 成果，其在小波变换中的作用和地位相当于f f t 在傅里叶变换中的作用和地位。也 在1 9 8 9 年，m e y e r 出版的 o 是小波理论这一新兴学科诞生的重要标 志。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条的单正交小波函数“”3 。在对信号 分解的过程中，针对怎样对高频信号进行小波分解的问题，c o i f m a n 和w i c k e r h a u s e r 提出了小波包理论“2 ”1 ，将m a l l a t 算法迸一步深化，得到了小波包算法。 傅立叶分析的提出是从理论通过f f t 算法直接迈向应用的，这是“理论一应 用”的一个过程。而小波分析的提出首先是取得应用成果，再形成系统理论，最 后在应用领域全面发展，它是“应用一理论一应用”的一个过程。小波研究体系 大致上分为两大类，即理论研究与应用研究，前者主要有y m e y e r 、c h u i 、 d a u b e c h i e s 、r c o i m a n 等人，其中c k c h u i 的样条( 一维) 研究3 极具有特色，他 还将小波用于积分方程的求解“。另外，沈左伟等提出的具有高正则性和任意阶 可微样条框架理论“8 1 ”适合信号处理，但对图像压缩效果不好。小波研究成果及其 应用研究热闹非凡，它的应用越来越广泛，它主要应用于下列领域：图形与图像 压缩，语音与图形信号处理，文本图像分析，文字识别，纹理分析，面像识别， 计算机视觉，生物医学图像处理，遥感图像处理，地球物理学研究，小波方法在 高等数学中的应用，数学模型与数学建模，网络与信息安全，信息安全核心技术 等等。 目前，小波变换作为一种数学理论和方法在科学界引起了越来越多的关注和 重视，它对其他学科的发展也起到了巨大的推动作用。 1 2本文研究背景 太阳射电天文学诞生于2 0 世纪4 0 年代，是射电天文学和太阳物理学之间的 一个新兴交叉学科。太阳射电天文学就是利用太阳射电望远镜来观测研究太阳的 射电辐射，并结合太阳的其它电磁波辐射和粒子发射的资料，而进一步揭示太阳 物理本质的一门自然科学。 太阳射电频谱分析仪是观测太阳的射电辐射的一种仪器，它是研究太阳射电 爆发动态频谱重要的设备，它能够记录太阳射电爆发频谱随时间的变化，从而可 以研究太阳大气以及日地空间中一定高度范围内的动力学过程和物理参数。基于 爆发( 耀斑、日冕物质抛射) 过程中产生的物质( 高能粒子流、波) 与环境物质 第一章绪论 ( 高温等离子体) 及磁场作用或自身之间的相互作用产生的各种类型的无线射电 电波辐射，其辐射频率常常与电子密度、磁场等密切相关，因而爆发的动态频谱 研究能充分揭示太阳上爆发现象的物理机制”“。 随着观测技术方法和仪器设备的日臻完善，资料搜集的日益丰富，对太阳射 电理论的分析研究也逐渐深入。国内近年来研制了太阳射电宽带动态频谱仪，其 中，各波段分频谱仪自从1 9 9 4 以来陆续投入观测以来，利用频谱仪以及其它设备 的观测结果，发表和接受的文章，犹如雨后春笋般地出现。主要有下面四个方面 的成果：第一，关于射电爆发及其精细结构的特征分类；第二，关于射电爆发及 其精细结构的信息提取；第三，关于射电爆发及其精细结构的多波段研究：第四， 与射电爆发及其精细结构相关的等离子体物理研究”1 。 精细结构是太阳射电爆发在动态频谱图中一个很重要的观测现象，其特征参 数对于理解太阳爆发的本质很重要”。而其中微波尖峰( s p i k e ) 事件具有十分独 特的性质，因而引起了太阳物理学界的极大关注。这些特性主要表现在以下几个 方面：首先，它们爆发的持续时间尤其短暂，是毫秒量级的；其次，它们的圆偏 振度很高，有时能达到1 0 0 ；再次，它们爆发的带宽相当窄，因而其亮温度非常 高；最后，这类爆发现象表现的几乎是一种无序的分布。目前国际上众多的科学 家正致力于尖峰辐射( f f s ) 的理论研究，提出了各种理论模型，这些理论主要可 以分为两大范畴：一为等离子体波一波相互作用，一为电子回旋加速脉泽不稳定性 【却 1 3论文工作介绍 本论文的数据资料主要来源于我国新近完成的2 6 3 8 0 h z 太阳射电动态频 谱仪。该仪器的性能优于当前国内外的同类设备，时间分辨率( 8 毫秒) 和频率分 辨率( i 0 兆赫兹) 都很高，抗干扰性和可靠性也很好，能够在指定的频率范围内 观测到不同类型的射电爆发及精细结构。我们选取了1 9 9 7 年到2 0 0 1 年前后观测 到的八个尖峰事件的频谱图进行分析，利用傅立叶谱分析和小波谱分析的方法研 究不同空间尺度下每个事件的功率谱的统计特性，得出它们各自的空间幂率谱指 数，从而帮助我们了解这类太阳射电精细结构产生的物理机制。在具体操作中主 要参考了文献 2 4 和 2 5 的分类标准，用唯像理论对所有爆发进行了仔细分析， 找出了失峰s p i k e 事件；又在文献 2 6 2 7 思想的启迪下，对这些事件的性质认真 考虑后，决定选择从谱分析的角度来分析问题，而在谱分析中傅立叶分析和小波 分析是两种常用的数学工具。另外，我们还讨论了失峰事件偏振度的求法。全篇 论文的内容安排如下： 第一章，绪论，回顾了小波分析的发展历史，简单介绍了本文的研究背景、 小波分析在太阳射电观测数据处理中的应用 内容、和方法，并给出了全文的框架； 第二章，小波理论与小波变换在太阳射电数据处理中的应用，介绍了傅立叶 分析与小波分析、功率谱分析方法原理、多分辨分析，给出了从多分辨分析出发 构造小波函数的一般框架，较为详细地推导了小波系数快速算法，探讨了二维小 波理论及其在有关太阳射电数据消除噪声研究中的应用； 第三章，太阳射电微波爆发频谱图的特征分析，介绍了研究射电天文学的意 义和关于太阳射电辐射的三个基本物理量，重点阐述了本文的研究对象：一类性 质独特的太阳精细结构，即微波爆发中的“尖峰爆发”的观测特征和理论研究； 第四章，尖峰( s p i k e ) 的傅立叶分析，本章介绍了太阳射电爆发的相对定标 原理，将原始动态频谱图由频率标度转换到太阳大气高度标度的方法，并对原始 频谱图和新标度下的频谱图用傅立叶分析的方法求出了各自的平均时间一维功率 谱，对后者还通过线性最小二乘拟合法求得事件对应的空间功率谱指数，最后讨 论了每个结果的物理意义： 第五章，尖峰( s p i k e ) 的小波分析，首先简单地介绍了离散小波变换和4 0 r l e t 小波函数的特点，对第四章中得到时间一太阳大气高度一射电流量频谱图，利用小 被变换作出每一时刻的空间小波功率谱，再沿着横轴相加获得一个类似于通过傅 立叶变换得到的功率谱图，它是关于频率函数的功率谱。同第四章一样，在爆发 有效时段内求取一维空间功率谱和它们的密率指数。最后，比较了小波分析方法 它与傅立叶分析方法的处理结果，并阐述了原因； 第六章，小波变换和广义插值法在太阳射电偏振计算中的应用，简单介绍了 太阳辐射背景在偏振计算中的关键作用和小波分解方法与广义插值法在计算太阳 辐射背景时的应用。前者在提取射电流量变化的趋势项的基础上，假设太阳辐射 背景同趋势项平行，从而做个简单的平移就找出了太阳射电爆发的背景，后者则 在先粗略勾画出背景的基础上，分段拟合出具体的插值函数，达到确立背景的目 的。这两种方法为偏振计算提供基础，不仅保证了其在理论上更加合理，而且所 求出偏振度误差最小。 第一章小波理论与小波变换在太阳射电数据处理中的应用 第二章小波理论和小波变换在太阳射电数据处理中的应用 小波分析是在f o u r i e r 分析的基础上发展起来的，同样作为时一频分析方法， 小波分析比f o u r i e r 分析有着本质的进步。小波分析提供了一种自适应的时域和频 域同时局部化的分析方法，无论分析低频或高频局部信号，它都能自动调节时一频 窗，以适应实际分析的需要。小波分析在局部时一频分析中具有很强的灵活性，能 聚焦到信号时段的任意细节，被喻为时一频分析的显微镜。小波分析的快速算法为 分析和解决实际问题带来极大的方便。它的这些特点使得时一频分析和应用得到了 辉煌的发展。现在，小波分析的方法已，1 泛应用于信号处理，图像处理，模式以 别，语音识别、电磁场、机器视觉、监控、通信与电子系统等众多学科和相关技 术的研究中，由小波分析带来的高新技术成果迅速增加，其研究正在向纵深发展。 本章主要讨论小波分析的基本理论，以及小波变换在太阳射电数据处理中的应用。 2 1f o u r i e r 分析与小波分析 2 1 1 f o u r i e r 分析 定义2 1 设厂( f ) l 1 ( r ) ，则函数厂( f ) 的连续傅立叶变换定义为 夕( ) = e e 7 厂( f 胁 ( 1 ) 夕妇) 的傅立叶逆变换定义为 厂( f ) 2 去e 夕 舢 夕( 缈) = a ( ) + f 6 ( ) = i ，( ) e 州m ，幅度谱 ( 出) = t a n “ 一b ( c o ) “( ) + 2 n n - 日位谱 ( 1 ) 式由下述定理所保汪： 定理2 1 令厂1 ( j r ) n 三2 ( 尺) ，那么它的f o u r i e r 变换广( 。) 存在且属于l ，( 尺) 且满足1 ： 夕甜( 尺) ，并且。1 1 4 1 ，； 夕在尺上是一致连续的： 当甜斗o 。时，夕( 出) 斗0 ； 小波分析在太j ； j 射电观测数据处理中的应用 糊有g e l l ( 踟玖趴则( 几) = 去( 夕，誊) ( 3 ) 所以，为了要计算傅立叶变换需要用到数值积分。t _ 蚴m 5 2 n 中，( f ) 常 常是以离散形式给出的，所以我们要在连续傅立叶变换的基础上0 i 入离散傅立时 变换的概念。 定义2 _ 2 给定任意实的或复的数值序列，厂2 ，j 一，则称序列 g ，j g = e 4 e “n ，n 为序列j 的离散f o - r i e r 变换；称 ：，= 专巴e 2 ，- o ，卜一，一1 为序列缸j 的逆离散f o u r i e r 变换3 。 ( 4 ) ( 5 ) 话qc o ( x ) = e “，则傅立叶变换的实质是将任意一个以2 ，为周期的在时域平方 可积的函数厂( r ) 展开成正交基函数国( x ) = e “的叠加形式，且( x ) 是生成z ( o ，2 丌) 的所有函数中唯一需要的基函数。从信号分析的角度看，它是将信号由时域变换 到频域，再在频域内对信号进行分析和处理。当n 的绝对值较大时，。( 。) ：甜( m x ) 是高频率，当n 较小的时候，甜。( x ) 是低频率，这样f ( o ，2 刀) 中任一函数也就可以 看成是由不同频率的波所组成的。 由卜+ 边定义可以看出傅立叶变换是一种全局变换，因而不能将时域和频域有 机地结合起来。为此g a b o r 于1 9 4 6 年提出了加窗傅立口i 变换或短时博立u f 变换 ( s h o r c t i m ef o u r i e r t r a n s f o r m ) 。 定义2 3 短时傅立叶变换定义为 s 0 ，r ) = l f 砖一d t ( 6 ) 其中g ( f ) 是有紧支撑的函数，称其为单窗函数，厂( z ) 是原始信号，p 起着频限 怍用，g ( ，) 起着时限作用，这是加窗傅立叶变换的基本思想r m 。加窗傅立叶变换虽 然为葶们提供了信号时频局部化的工具，但它存在着缺陷，加窗f o u r i e r 变换的函 故族扣g ( t 一。) ：( ，f ) 懈2 j 所确定的时频窗口的大小形状是固定不变的，目具有 旧同的时宽和频宽，因此，它对信号的突变不敏感。 第二章小波理论与小波变换在太r 1 射电数据处理中的廊州 2 1 2 功率谱分析方法原理“ 功率谱分析方法是具有分辨率高( 无论是强度分辨率，时f 刚分辨率，频率分辨 率) 的优越性，它在太阳射电的数据处理中有广泛的应用。它的数学基础就傅立叶 变换和最大熵估计。 定理2 2 褶积定理，如果：( f ) h f ( ) 和上( f ) 付( 。) ，则 。) o ) 付j 2 e r f ( 彩) 。，2 ( 珊) ( 7 ) 和 ( f ) 8 0 ) h ( 甜) t ( 甜) ( 8 定理2 3 功率定理，如果( f ) h f ) 和( f ) h 乞) ，则积分 ，l ( f ) ，2 ( f ) 出= 西1 洄) f t n - 电辐射流量值。因此，这个误差是不确定的，并且目前也无法估计误差值。 另外，在相对定标的基础上，我们还可以利用北京天文台已有的观测资料做 绝对定标，即先将北京天文台以前的观测读数和国际s g d 资料相关，从而得到一 个相关比值，定标时乘以这个比值就可以得到太阳射电真实的辐射流量黑f ，) 。 4 3 1 观测和记录 4 3 通道的f o u r i e r 潜分析 第四章尖峰s p i k e 的傅立分析 作为我国“太阳射电动态频谱仪”课题的一个重要组成部分，国家天文台 怀柔太阳观测基地“2 6 3 8 g h z 太阳射电频潜仪” 二1 9 9 6 年8 月安装调试成功并 开始工作，1 9 9 7 年8 月经过验收。它采用了“声表面波滤波器”技术，由计算机 控制跳频，以实现对全频段的覆盖，完成剥太阳射电频带的高质量观测。仪器全 频段的通道数2 4 0 其中前1 2 0 剧于左旋波观测，后1 2 0 用于柏旋波观i f 4 ，每个通 道刑应频率的计算公式如下： 0 = f ，+ ! 一1 2 旷， j 其中厶指第n 个通道对应的频率；f = 2 6 g h z ；z x f 2 1 0 m h z ；n2 l ，2 4 0 。它 的时间分辨率是8 m s ，采用双流水作业及物理存盘方式( 这种方式使得磁撒读。弓速 度大大加快，并且更便于对数据的快速搜索、查找) ，数据文件以当j 叭b 录的时川 命名，如0 2 1 1 3 0 7 1 7 n t l l t i 。 4 3 2 通道的f o u r i e r 谱分析 为了消除如仪器效应和各种干扰等的影呐，首先对原始数字图像进行非线性 相对定标。图4 2 显示了2 0 0 0 年1 月2 1f i 所观测到的尖峰事件在经过非线性定 标后的射电爆发频谱图，图4 3 显示了该事件在任意四个时刻( 图4 2 箭头所指) 的流量轮廓图。 在本章第一节介绍空f s j 功率谱指数时，我们提到了空阳功率潜的水法，叭所 谓的通道功率谱的求法其实比空间功率谱少步，它没有将象征频率的通道数转 化为太阳大气高度，而只是对频率求解。下面以图4 ，2 所示事件为例进行分析。 图4 2 中黑框圈定的区域即是尖峰事件的爆发区域，其持续时划从0 5 ：( ) 7 ： 4 3 到0 5 ：0 8 ：0 2 ，频带范围从2 6 g h z 到3 2 g h z 。对选取刊段内的每一时刻求 功率谱，然后在对这些功率谱沿时问求得平均功率谱，见图4 z l 。另外我们还选取 了一块相对比较宁静的与尖峰区域大小相同的背景噪音用相同方法求得f 均州削 功率谱，结果由图4 4 中的虚线给出。从图中可以看出信号的功率谱高于噪声功 率嘴，并且信号和噪声之比随着频率的增加( 横轴) 而减少。 小波分析在太i j 【_ | 剩电观测数据处理中的、i 1 _ j 呈 h 堂 昌 l 到422 6 - 38 g h z 频率范丽的窄带爆发左旋通道频谱图 pr d f i l e2 圈43 圈4 】中四个箭头所处时刻的流量轮廓图 第四章尖峰s p i k ef i , j4 尊, 2 nj 分析 p o w e r l a w5 p e 、1 r a 图4 射电流量( 实) 与嘴音( 虚) 平均删问功率谱 的常川对数。横坐标代表f o u r i e r 波数 ，的常川刑数 4 4 一维空间f o u r i e r 功率普分析 在4 3 节中j x f j n f o u e r 变换的方法测论了尖峰s p i k e 沿频率轴的功率谱阮 这一节则主要用它来研究尖峰s p i k e 在空间尺度上的功率谱图。第节最后部分已 经讲了，做出空间功率谱的第一步就是将在频率标度下的数据转换成太阳大气高 度( 空间上) 标度下的数据。 4 4 1 频率标度到太阳大气高度标度的转换方法 根据b e n ze ta 1 ( 1 9 9 2 ) 4 4 和s c h w a r ze ta j ( j 9 9 3 ) 4 5 ，我们假定太阳大气t + ， 的电子密度n 和磁场b 分别是 ”= 1 7 0 e - z h ，b = 占p 一：7 “。 r 12 、0 、， 其中h ，和。分别是空间等离子密度和磁场标度。将( 1 2 ) 可变形为： = = 一日j n 或者z = 一日。l n b b ， ( 13 ) ” n 这儿”。和b 。是指在z = 0 处等离子体的密度和磁场标度。若假定尖峰辐别频率f 是 基木的等离子或电子旋转频率，则通过 ni，bv_tt f i i ! ! ! ：垫坌堑鱼查型堑! 皇翌型墼塑丝里_ ! 堕堕坐l 一 可将辐射频率标度转换太阳大气高度的标度： 拈n 芳扎c ，卜h 。1 “丢 “5 ) 其中z ( f ) 是依赖于尖峰辐剁频率f 的太阳大气的而度，h = 2 i “= h 。，吲州取 o2 2 g h z 。 由( 1 5 ) 式可以看出z ( f ) 不是等间距的，不能直接对它进行快速傅立叶变换c 需要将z ( f ) 构造成为等间距的太阳大。气高度序列w ( j ) 。f 而以图_ 12 列h 的尖峰 事件为例求取满足上述条件的左旋通道频谱，这早我们选取的频带范i r 是 2 6 ，3 8 ( h z ： ( 1 ) 定义b = 1 1 i 1 j ：( f ) 一z ( i 1 ) ( i = l ，2 ，12 0 ) ：，：l ! ! ! ! ! ! 二! ! 1 2l ， 。 表示对。取整 l b j 实例中求得m = 1 4 4 。我们取w ( j ) = z ( 0 ) 一j * b ( j 4 ，2 ，一，一1 ) ，很明显有 w ( o ) = z ( o ) 。下面再利用分段线性插值法求出每个w ( j ) 对应的流量蚓问轮廓 1 2 ) 我们用d a t a ( z ，t ) 表示原始观测经标度转换后的二维数组，z 代表太阳大气高度， t 代表采样的时间点，d a t a 代表射电流量。我们选取任意时刻，。所对应的一维向量 d a t a ( z ，t 。) 进行线性插值，具体思路如下： 令f ( z ( i ) ) = d a t a ( z ( i ) ，f ) ， i = 0 , 2 ，1 2 0 ，则我们的任务就是利用不等间距变量 、 的序列f ( z ( i ) ) 经线性插值得到等间距变量下的序列w c j ) ) ，j 2 1 1 4 4 。对每个“w ( j ) ) 在计算之前，必须先判断w ( j ) 落在z ( o ) 到z ( 1 2 0 ) 的哪两个点之间，不妨假定已经 找到了这样的整数k ，满足( 若w 0 ) 等二fz ( o ) 到z ( 1 2 0 ) z i 、司的某个z ( k ) ，则可简单 地令“w ( j ) ) = f ( z ( k ) ) ) z ( k ) 0 ( 称作平移步长) 也是固定值。于是 离散的基小波函数可被定义为： 。( 2 ) = 。：。“? ( z ) = j i ( o m z - - i ，b 。) ( 1 ) ! ! ：垫坌塑垄查幽型生婴型垫塑丝型! 塑壁! ! 其中“常被采纳为2 。当m o 州小波扩展，当m o 时，采 样间隔是粗糟的；当m o 时采样间隔是精细的。因此，低频时小波变换的时间分 辨率较差，而频率分辨率较高；在高频时小波变换的时间分辨率较高，而频率分 辨盔较低，这正好符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点。 我们给出时间序列f ( ”) ，对时间的索引值为7 ，离散小波变换如下： nii 、 w ，( ，z ，) = “：万d ：i 厂( ”) + ( d i ”“+ i ”。一，6 。) ( 3 ) 这儿，符号( ) 表示求共轭。 第五章尖峰s p i k e 的小波分析 5 3一维空间小波谱分析 5 3 1 小波基函数的选择 小波分析中所用到的小波函数具有不唯性，即小波函数具有多样性，例如： 非f 交小波、f 交小波、双正交小波，甚至是线性相关的一族函数等等。存小波 分析方法的实际应用中， 一个很重要的问题就是如伺选择最佳的皋小波， 刊个 问题选取不同的小波基会产生不同的结果。因此，要根据所要研究问题的具体特 征来选择小波基，使得小波变换能更方便地刻l 删出信号的特征。而其中，m o t l e t 小波”是现成的十分常用的小波函数之一，它在信号处理的许多方向都有着便 利性和优越性。m o r l e t 小波是复指数形式的非诈交小波函数，它和它的傅立叶变换 如图5 2 ( a ) 和( b ) 所示，而它的来源则如( c ) 所示。 圈5 2m o r e t 小波( a ) m o r e t 小波函数的实数部分； ( 1 ) m o r l e t 小波函数的傅立叫变 换形式；( c ) m o r le l 小波函数的构成，司以召出它是由个l j _ 函数乘以一个高斯幽数所构 成的 m o r l e t 小波函数具体表达式为： ( z ) = 乃一；j p 字已【_ ( ；) 2 ，2 ( m ) 2 l i ( c o ) = y - i 荔晶。_ - ( 4 ) 其中s 是小波尺度，x 表示信号的位箭，k 是母小波函数本身的波数，k 的默认值 小波分析在太刚射电观测数据处理中的庶刚 为6 ，因为 ( z ) 必须满足广 ( ：) 陋 。，故h ( 印) 是一个连续函数，为了满足重构 条件第二章( 1 1 ) 式，h ( ) 在原点必须等于0 ，即日( o ) = 广 ( z ) d z = 0 ，根据这 一点，当k 5 时， i j ( o 卜0 的误差是很小的，即近似满足允即i 生条件“。 另外，m o r l e t 小波函数是非正交的，冗余的小波；当( 2