（概率论与数理统计专业论文）重尾相依随机变量和渐近分布.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创l - 生说明 ( 在口划“4 ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士砂论文重尾相依 随机变量和的渐近分布，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻 读博士口硕士酣学位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中 除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究 工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本 声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 巷私 日期：沙f o ( ， 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 重尾相依随机变量和的渐近分布系本人在曲阜师范大学攻读博士 口 硕士耐学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士耐学位论 文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得 以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用 学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用 影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内 容。 作者签名：芬瓜答 日期：沙f 。9 刷醛轹锹磊 醐：训o 如 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 重尾分布下的破产概率作为破产论的一个重要分支，是风险理论的热点问题重尾随 机变量和的概率的渐近性研究自二十世纪六，七十年代c c h e y d e 与s v n a g a e v 1 2 】 开创性的工作以来，越来越受到人们的重视但是大多数情况下都假设随机变量之间是相 互独立的本文研究了几种特殊相依关系下随机变量和的尾概率的渐近分布 根据内容本文分为以下四章： 第一章为绪论，介绍了重尾随机变量和的分布的研究历史和现状，并介绍了重尾分布 族和c o p u l a 函数的相关知识 第二章研究了以线性s p e a r m a nc o p u l a 相依的重尾随机变量其和的渐近分布首先 研究了两个随机变量的情形： 当随机变量x 1 ，恐以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数r c 且满足 r - x ) = o ( r ( z ) ) ，i = 1 ，2 时得到： p ( s 2 z ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( 五2 ) z ) 一( 1 + ( 1 一入) c ) 瓦( z ) 当随机变量x 1 ，拖以负线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数只c 且满足 r ( 一z ) = o ( 瓦( 石) ) ，i = 1 ，2 时有下列关系式成立； p ( s 2 z ) 一j p ( 瓯2 ) z ) 一p ( x ( 2 ) z ) 一( 1 + ( 1 + a ) c ) 鬲 ) 其中c = 熙黜1 然后得到： 礼个重尾随机变量满足以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下其和的分布的相应结 果； p ( x ( n ) z ) 乏( 1 a ) 瓦( z ) ( 3 ) p ( & z ) 乏( 1 一a ) 瓦( z ) 1 s i z ) 乏( 1 + a ) 瓦( z ) 1 i j z ) s ( 1 一入) 瓦( z ) ( 7 ) i = lj ：l j z ) 乏( 1 + 入) 耳( z ) ( 8 ) l t z ) 一p ( x ( n ) z ) 一瓦( z ) ( 9 ) i - - - - 1 设x 1 ，咒，墨为定义在【0 ，o 。) 上的随机变量，任意两个满足以同一a l i - m i k h a i l - h a qc o p u l a 相依，其分布函数r 口i 1 ，t = 1 ，2 ，n ，则； p ( s z ) 一p ( s ( n ) z ) 一p ( x ( n ) z ) 一瓦( z ) 0 0 ) i - - - - i 第四章给出在风险理论中求破产概率时的应用重在说明应用的可行性 关键词：重尾分布；c o p u l a 函数； 相依洼尾概率；渐近性；破产概率 s p e a r m a nc o p u l a ；a l i m i k h a i l - h a qc o p u l a ； a b s t r a c t a st h ec e i l t r a lb r a n c ho fr u i nt h e o r y , r u i np r o b a b i l i t yo fh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n si s ah o tt o d i ci nr i s kt h e o r y s i n c et h ep i o n e e r i n gw o r k so fc c h e y d e ，a n ds v n a g a e v i n1 9 6 0 ，sa n d1 9 7 0 ，s ( s e e 【1 】 2 】) ，t h ep r e c i s ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro fl a r g ed e v i a t i o np r o b - a b i l i t i e so f8 u n l so fh e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sh a v eb e e ne x t e n s i v e l yi n v e s t i g a t e db y m a n gp e o p l e ，b u tm o s t l yi ti sa s s u m e dt h a tt h er a n d o mv a r i a b l e su n d e rd i s c u s s i o n a r e i n d e p e n d e n t i nt h i sp a p e r ，s e v e r a lc a s l ：! s o fd e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dt h ea s y m p - t o t i c st a i lp r o b a b i l i t i e so ft h e i rp a r t i a ls u i n 8a r ed i s c u s s e d t h ea r t i c l ei sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： c h a p t e r1i sp r e f a c e w er e v i e wt h ed e v e l o p m e n ta n d t h ec u r r e n ts i t u a t i o no fs u m s o ft h eh e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n s ，t h e ni n t r o d u c es o m er e l a t e dt h e o r i e so fh e a v y - t a i l e dd i s - t r i b u t i o n sa n dc o p u l af u n c t i o n s c h a p t e r2s t u t i e st h el i n e a rs p e a r m a n a b l e sa n dt h ea s y m p t o t i c st a i lp r o b a b i l i t i e s t w or a n d o mv a r i a b l e sa r eo b t a i n e d ： c o p u l ad e p e n d e n th e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i - o ft h e i rp a r t i a ls u m s f i r s t ，t h er e l a t i o n so f l e tx 1 ，x 2b et h ep o s i t i v el i n e a rs p e a r m a nc o p u l ad e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t h d i s t r i b u t i o u sr cs a t i s f y i n g 日( 一z ) = o ( 瓦( z ) ) ，f o ri = 1 ，2 t h e n ： p ( s 2 z ) 一p ( 鼠2 ) z ) 一p ( 置2 ) z ) 一( 1 + ( 1 一入) c ) 万( z ) ( 1 ) l e tx 1 ，恐b et h en e g a t i v el i n e a rs p e a r m a nc o p u l ad e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw i t h d i s t r i b u t i o n s 只cs a t i s f y i n g 最( 一z ) = d ( 瓦( z ) ) ，f o ri = ：1 ，2 t h e n ： p ( s 2 z ) 一p ( 鼠2 ) z ) 一尸( x ( 2 ) z ) 一( 1 + ( 1 + a ) c ) 两( z ) ( 2 ) w h e r e c = 熙幽f l ( x ) 1 o nt h eb a s i s t h er e l a t i o n so fnp o s i t i v el i n e a rs p e a r m a nc o p u l ad e p e n d e n tr a n d o mv a r i - a b l e sa r eo b t a i n e d ： p ( 五n ) z ) 乏( 1 一入) 瓦( z ) 1 i z ) 乏( 1 一 蛔) 1 s t z ) 乏( 1 + n a ) 瓦( z ) 1 i z ) 焉( 1 一a ) 耳( z ) i = i 歹：1 s 歹s n ，j i i = l p ( - z ) 乏( 1 + a ) 瓦( z ) 1 l z ) 一p ( x ( 。) z ) 一 n i - - - - 1 最( z ) ( 9 ) l e tx 1 ，x 2 ，o n 【0 ，c o ) b et h ea l i - m i k h a i l h a qc o p u l ad e p e n d e n tr a n d o mv a r i - a b l e sw i t hd i s t r i b u t i o n s 只d n ，i = 1 ，2 ，礼t h e n ： ，l p ( s n z ) 一尸( s ( n ) z ) 一p ( 五n ) z ) 一瓦( z ) i = 1 ( 1 0 ) i nc h a p t e r4 ，t h ea p p l i c a t i o no fc h a p t e r2a n dc h a p t e r3i nt h er i s kt h e o r yi s c o n s i d e r e d w ep r o v et h a ti ti sf e a s i b l et oc a l c u l a t et h er u i np r o b a b i l i t i e s k e y w o r d s ：h e a v y - t a i l e dd i s t r i b u t i o n ；c o p u l a ；s p e a r m a nc o p u l a ；a l i - m i k h a i l - h a q c o p u l a ；d e p e n d e n c e ；t a i lp r o b a b i l i t y ；a s y m p t o t i c s ；r u i np r o b a b i l i t y 1 v 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章绪论( 1 ) 1 1 背景( 1 ) 1 2 重尾分布族( 1 ) 1 3c o p u l a 函数( 3 ) 第二章线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下随机变量和的渐近分布 ( 5 ) 2 1二个随机变量的情况( 5 ) 2 2n 个随机变量的若干结果( 1 1 ) 第三章a l i - m i l d a a i l - h a qc o p u l a 相依情况下随机变量和的渐近分布( 1 8 ) 第四章在风险理论中的应用( 2 2 ) 参考文献( 2 5 ) 致谢 ( 2 8 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章绪论 本章主要介绍重尾分布的几类子族及c o p u l a 函数的基本知识 1 1 背景 在保险数学( 亦称为精算数学) 的范畴内，破产论是风险论的核心内容 瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 在1 9 0 3 年发表的博士论文，开创了破产论研究的起 源由于破产论有很大的实际应用价值，故引起了许多学者的兴趣l u n d b e r g - c r a m 6 r 的经典破产论研究的是关于“小索赠情形的破产，一个很强的约束条 件是要求调节系数的存在，否则，f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法都无法 奏效适用于火险，风暴险，与洪水险等灾难性保险的“大索赔情形的破产 论，即对于重尾分布的破产论研究成了一个重要的课题 重尾随机变量和的尾分布与破产概率的研究密切相关，故成为一个研究热 点并随着人们研究的不断深入，其内容也得到了长足发展对于服从重尾分 布的随机变量，其独立性是一种理想假设实际问题中，两个或多个随机变量 之间通常会呈现各种相依关系近年来，q i h e g 4 】 5 】 6 7 】，a l b r e c h e r 3 ，y i q i n g c h e n 8 ，苏淳，胡治水【2 8 】，王开永，王岳宝【3 0 ，c h e n g g u ow e n g ，y iz h a n g ，k e ns e n g t a n 1 3 等国内外知名学者都对具有特殊相依关系的随机变量进行了研究，并 取得了很好的结果 本文在此基础上研究了两个或n ( n 2 ) 个重尾随机变量满足以某几种特殊 的c o p u l a 函数相依时和的分布有些结果包含了上述文献中的部分结论 1 2 重尾分布族 定义1 2 1( 重尾分布【4 】) 一个随机变量( r v ) x ，其分布函数( d f ) 为f ， 若对任意z ( 一o o ，+ o o ) 满足f ( z ) = 1 一f ( x ) 0 ，且对任意e 0 ，e e e x = 。o ，则 称随机变量x 或分布f 为重尾的 下面介绍几种常见的重尾分布族【4 】 2 9 ： c 族： 一个d f f ( z ) ，z ( 一o o ，+ o o ) ，若满足对任意固定的( 或等价地，对某个) y 0 ，有l i m 掣= 1 成立，则称f ( z ) 属于c 族，记为f c s 族l 第一章绪论 一个d f f ( z ) ，z 【0 ，+ o o ) ，若满足对任何固定的n 2 ，( 或等价地，对于某 n 2 ) 有l i m 罱竿= 佗成立，则称f ( 茁) 是次指数的，记为f s 其中f 机为f 自身的礼重卷积 更一般的，一个d f f ( z ) ，z ( 一o o ，+ ) 属于s ，若f + ( z ) = f ( z ) 1 ( o x o o ) s d 族： 一个d f f ( z ) ，z ( 一o 。，+ o o ) ，若满足对任何固定的0 y 1 ( 或等价地，对 y = ) 有l i m s u p 铬 c o 成立，则称f ( z ) 属于d 族，记为f 口 c 族： 一个d f f ( z ) ，z ( 一o o ，+ o o ) ，若满足l ! ml i m i n f 裂= 1 ，或等价地， u l i 。， l 甜i r a ，l i ms u p 帮= 1 ，则称f ( z ) 属于c 族，记为f c 1 1霉- - * o d e r v ( 一q ，一p ) 族： 对某个0 q p 1 ： 秒弋1 骢譬铬l i m s u p 铬汀口 则称f ( x ) 属于e r v ( 一o l ，一p ) 族，记为f e r v ( - a ，一卢) e r v 为e r v ( 一o t ，一p ) 关于0 q p 0 有 l i m 必f f = 一a 成立，则称f ( z ) 属于冗一n 族，记为 冗一口z) y f 冗为冗一a 关于0 q 的所有集合 上述重尾分布族具有如下关系【4 】： 7 已ce 冗ycec 口nccsc 对于一个分布函数f ，引入以下记号 8 】： j + = i n f 一百l o g p , ( y ) 妒1 卜熙鲁， 石= 8 u p 一百l o g f * ( y ) 护1 卜恕晋， 其中， f 如) _ 1 i mi n f 帮，f b 学m 霉8 u 雨f ( x y ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 砧，石为非负与非降函数，称作分布f 的上下m a t u s z e w s k a i n d i c e s 下面介绍c 族的一个重要性质。 首先根据砧及c 族的定义，若f c ，则砧 2 ) 个随机变量的情况 首先介绍常用的一些符号s 设一列随机变量 x 1 ，x 2 ，) ，记 五n ) 2 燧五，& = i = l 五，鼠n ) 2 。m s ；a 曼x n & ，n = 1 ，2 。 对两个正函数，( ) 与g ( ) ，引入以下记号： 如果l i m 糕= 0 成立，则记为，( z ) = d ( 夕( z ) ) ； 如果l i m s u p 格1 成立，则记为，( z ) 焉夕( z ) ； 如果l i m i n f 躲1 成立，则记为，( z ) 乏9 ( z ) ； 如果f ( x ) 乏9 ( z ) ，f ( x ) sg ( x ) 同时成立，则记为f ( x ) 一夕( z ) 如无特别注明，以下极限过程均为z _ 2 1 二个随机变量的情况 设随机变量墨，恐的分布函数分别为只，f 2 ，且以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，根据c o p u l a 函数的有关知识，对比，! ( 一o o ，+ 。o ) ，a 0 ，1 】， p ( x r z ，x 2 y ) = a m i n ( 毋 ) ，f 2 ) ) + ( 1 一a ) f i ( x ) f 2 ( u ) ：垒g ! 鱼掣一型! 丛掣+ ( 1 一a ) r ( z ) 兄( 秒) j 卜 则根据p ( x 1 z ，x 2 y ) = 1 一f 1 ( z ) 一f 2 c y ) - 1 - p ( x 1 z ，x 2 y ) 可得： p ( x 1 z ， 可) ：( 1 - 入) 瓦( z ) 瓦( ! ) + 丛亘堕掣一生亟堕9 二到， ( 2 2 ) 或等价地表示为， p ( x 1 z ，恐 秒) ：鬲( z ) 瓦( ! ，) + 堑亟堕型掣善亘盟旦盟一业壑2 i 互蛐 ( 2 3 ) 本节假设c = l i m 煞1 存在 引理2 1 1 设定义在( 一，+ ) 的随机变量墨，咒以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数只满足对任意的z ，- g ( x ) 0 ，其中t = 1 ，2 ，则： 尸( x ( 2 ) z ) ( 1 + ( 1 一a ) c ) 鬲( z ) ( 2 4 ) 5 第二章线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下随机变量和的渐近分布 证明对v x ( - o o ，+ ) ，利用尸( 置2 ) z ) = 鬲( z ) + 夏( z ) 一p ( x 1 z ，x 2 z ) 根据条件，代入( 2 2 ) 得： p ( x l z ，咒 z )( 1 一a ) 鬲( z ) 瓦( z ) + 监坠幽2一巫池刨2 - 。= = = 一= 叫_ _ = = = f - - 一 日( z )日( z ) ：( 1 一a ) 瓦( z ) + 兰【三掣一兰止二型 a ( 1 + c )久1 1 一c i 。一。一 2 2 = 入r a i n ( 1 ，c ) 于是 ! ! 垫三型：】+ 型一p ( x 1 x , x 2 x ) 耳( z )一f i ( z )鬲( z ) _ 1 + ( 1 一入) c 即( 2 4 ) 式成立口 引理2 1 2 设随机变量五，恐定义在( 一o o ，+ o o ) 上，以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数只c ，i = 1 ，2 ，则t p ( s 2 z ) 焉( 1 + ( 1 一a ) c ) 耳( z ) ( 2 5 ) 证明对v z ( 一。o ，+ o o ) 及任意固定的0 z ，x 1 ( 1 6 ) x ) + p ( x 1 + x 2 z ，甄( 1 一e ) z ) p ( x 1 ( 1 一e ) x ) + p ( x 1 + x 2 z ，x 1 ( 1 一e ) z ) 三日( ( 1 一) z ) + 而 对于而， i o p ( 恐 e z ，x 1 ( 1 一) z ) = p ( ) 已 g z ) 一尸( x 2 z ，x l ( 1 一e ) z ) = v i i ( x ) 一p ( x 2 z ，墨 ( 1 一) z ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 代入( 2 2 ) 式并利用c 的定义可得： 尸( 恐 e z ，x 1 ( 1 一) z ) r ( g ) ：! ! 二垒2 互! ! ! 二塑至幽竺竺岂二竺竺鬯 日( z ) 却叫酗帮+ 塑掣一监掣 a ( 1q - c ) a f l 一c i 一丁一r = 入c 于是得到： p ( x 1 + 恐 z ) 耳( ( 1 一e ) z ) 瓦( z ) 耳( s z ) p ( x 1 ( 1 一e ) z ，x 2 e z ) 耳( z ) 二 v 1 1 ( x )。瓦( z ) 两( z )瓦( z ) 一l + c a c 即( 2 5 ) 式成立口 引理2 1 3 设x 1 ，恐为定义在【0 ，+ o 。) 上的随机变量，以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数只满足对任意的z ，瓦( z ) 0 ，江1 ，2 ，则： 尸( s 2 z ) 乏( 1 + ( 1 一入) c ) 万( z ) ( 2 6 ) 证明对比( 一0 0 ，+ o 。) ， 尸( 蜀+ 恐 z ) 尸( x 1 + z ，( ( x 1 z ) t a ( x 2 z ) ) ) p ( x 1q - 恐 z ，墨 z ) - 4 - p ( x 1 + 尼 z ，尥 z ) 一尸( 托+ 恐 z ，x 1 z ，凰 z ) p ( x 1 z ) + p ( x 2 z ) 一p ( x l z ，x 2 茁) = 耳( z ) + 瓦( z ) 一p ( 噩 z ，x 2 z ) 根据引理2 1 1 的证明， 塑娑拳三塑一a c ， 乃( z ) 代入上式得到： 型掣乏1 + ( 1 一入) c r ( z ) “ 一 7 7 第二章线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下随机变量和的渐近分布 即( 2 6 ) 式成立口 定理2 1 1 设置，恐为定义在【0 ，+ ) 上的随机变量，以正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数e c ，其中i = 1 ，2 ，则下列关系式成立s 。 p ( 跏z ) p ( & 2 ) z ) p ( 甄2 ) z ) ( 1 + ( 1 - - a ) c ) 砷) ( 2 7 ) 证明由于墨，恐为非负的随机变量，则p ( s 2 z ) 一p ( & 2 ) z ) 由( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 6 ) 结论显然成立 口 引理2 i 4设定义在( 一o o ，+ o o ) 上的随机变量墨，拖以正的线性s p e a r m a n c o p u l a 相依，其分布函数e c ，满足r ( 一z ) = d ( 瓦( z ) ) ，其中i = 1 ，2 ，则下列关 系式成立。 p ( 岛 z ) 之( 1 + ( 1 一a ) c ) r ( z ) ( 2 8 ) 证明对比( 一o 。，+ ) 及任意固定的0 z ，( ( x l ( 1 + 6 ) z ) u ( x 2 ( 1 + 6 ) z ) ) ) = p ( x 1 + x 2 z ，x i ( 1 + 6 ) z ) + p ( x i + x 2 z ，x 2 ( 1 + 6 ) z ) 一p ( x i + x 2 z ，x i ( 1 + 6 ) z ，x 2 ( 1 + 6 ) z ) p ( x 1 ( 1 + 6 ) z ，恐 - 6 = ) + p ( x 2 ( 1 + 6 ) z ，x i - 6 = ) 一p ( x i ( 1 + 6 ) z ，x 2 ( 1 + 6 ) z ) = 尸( x 1 ( 1 + 6 ) z ) + p ( 尥 ( 1 + 6 ) z ) 一p ( x i ( 1 + 6 ) z ，x 2 - 6 x ) 一p ( x 2 ( 1 + 6 ) z ，x i 一6 z ) 一p ( x t ( 1 + 6 ) z ，x 2 ( 1 + 6 ) z ) = 鬲( ( 1 + 6 ) z ) + 万( ( 1 + 6 ) z ) 一p ( 尥一6 z ) + p ( x 1 ( 1 + 6 ) z ，x 2 一d z ) 一p ( x 1 - 6 = ) + p ( x 2 ( 1 + 6 ) z ，x i 一6 z ) 一p ( x i ( 1 + 6 ) z ，恐 ( 1 + 6 ) x = - ( ( 1 + 6 ) z ) + 鬲( ( 1 + 6 ) z ) 】一 日( 一6 z ) + 易( 一6 z ) 】 + p ( x i ( 1 + j ) 。，x 2 - 6 x ) + p ( 恐( 1 + 6 ) z ，x i 一d z ) 】 一p ( x 1 ( 1 + 6 ) z ，x 2 ( 1 + 6 ) z ) 兰口一i o + 霹一霹， 8 其中，利用c 的定义，四一鬲( z ) + 瓦( z ) 即霹= d ( 鬲( z ) ) _ 0 ， 瓦( 如) 万( z ) + f 2 ( - , s z ) 瓦( 如) 鬲( 6 z ) 夏( 妇) 鬲( 如) 鬲( z ) 霹p ( x l 一6 z ，x 2 一如) + p ( x 1 一6 z ，x 2 一如) = 2 p ( x i 一如，x 2 一6 z ) = a ( 凡( 一6 z ) + 易( 一妇) ) 一入1 日( 一如) 一兄( 一如) l + 2 ( 1 一a ) 日( 一如) 局( 一6 z ) = a 刀一a 刀- 4 - 2 ( 1 一a ) 露， 其中田= 霹= d ( 鬲( z ) ) 一篓一l f ( - , s z ) 鬲( s z ) r ( 一如) 瓦( s z ) 瓦( z ) i 丽2i 丽丙商一蔚蔚稍1日( z )1 日( 如) 只( z )瓦( 缸) 万( z ) 鬲( z ) i _ 0 ， 即刀= d ( 鬲( z ) ) 志= 紫= 锗鬻骈日( z )毋( z )鬲( 如) 瓦( z ) 叫、7 _ 0 ， 即刀= o ( 可( z ) ) 从而可得霹乏d ( 鬲( z ) ) 日中代人( 2 3 ) 得： 耳( ( 1 + 6 ) z ) 瓦( ( 1 + 6 ) z ) - i - 丛旦且型塑型曼豇盐婴掣善亘盟生盟巫旦虫曼鱼垃一墨耍亟f ! 1 2 生s = - 互g ! 鱼2 生i i 一= = = - _ - _ = _ - 一 r ( z ) ：掣砷+ 6 ) z ) + 日( z ) “、一尸川 2 _ 必一必 2 2 = a c 9 型蝉删 型 坠捌 = 璺肺 塑 第二章线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下随机变量麴啮近分塑 将霹，霹，霹，明代入p ( x 1 + 恐 z ) 得t p 1 ( s 亍2 z _ x 一) 乏1 + ( 1 一入) c 耳( z ) ”p “广。 即( 2 8 ) 式成立口 定理2 1 2 设x 1 ，x 2 为定义在( 一c o ，+ o o ) 上的随机变量，以正线性s p e a r m a n c o p u l a 相依，其分布函数e c 且满足只( 一z ) = o ( 瓦( z ) ) ，i = 1 ，2 则下列关系式 成立： p ( s j z ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( x ( 2 ) z ) 一( 1 + ( 1 一入) c ) 瓦( z ) ( 2 9 ) 证明首先由( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，( 2 8 ) 可知。 尸( x 2 ) z ) 一p ( s 2 z ) 一( 1 + ( 1 一a ) c ) 鬲( z ) 利用s 2 s ( 2 ) 壹x 产，其中耐为k 的正部，i = 1 ，2 再由定理2 1 1 ， p ( 矸 z ) 一( 1 + ( 1 一入) c ) 鬲( z ) ， 则p ( 鼠2 ) z ) 一( 1 + ( 1 一入) c ) 瓦( z ) 成立定理得证 口 注2 1 1 对于负线性s p e a r m a nc o p u l a ， g ( o ，b ) = ( 1 + 入) o b 一) tm a x ( a + b 一1 ，o ) ，一1 入0 若墨，恐以负线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，且x 1 一f 1 ，尥一兄，则： p ( x 。z ，x 2 z，x2可)：(1+入)鬲(z)瓦(可)一垒里至鱼立!掣一一xlvl(x)+g(v)-ii 类似于定理2 1 1 的证明，可得类似结论。 定理2 1 3 设随机变量x 1 ，x 2 定义在( 一。o ，+ o o ) 上，以负线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数r c 且满足r ( 一z ) = o ( 瓦( z ) ) ，i = 1 ，2 则下列关系式成立： p ( s 2 z ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( x ( 2 ) z ) 一( 1 + ( 1 + 入) c ) 鬲( z ) ( 2 1 0 ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 注2 1 2 在定理2 1 2 的条件下， 当a = 0 时，c ( a ，b ) = g ( 口，6 ) ，即五与咒独立情况下， p ( s ； x ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( x ( 2 ) z ) 一瓦( z ) + 万( z ) 此结果可见文献 1 0 】 当a = 1 时，c ( a ，b ) = c m ( a ，6 ) ，则 p ( s 2 z ) 一p ( & 2 ) x ) 一p ( 五2 ) z ) 一瓦( z ) 注2 1 3 在定理2 1 3 的条件下， 当入= 0 时，c ( 8 ，b ) = 仍( n ，6 ) ，即局与独立情况下， p ( 岛 z ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( 五2 ) z ) 一万( z ) + 瓦( z ) 当入= 一1 时，c ( 口，b ) = c w ( a ，6 ) ，则 p ( s 2 z ) 一p ( & 2 ) z ) 一p ( 鼍2 ) z ) 一鬲( z ) 2 2 佗个随机变量的若干结果 本节是在上节两个随机变量基础上进行的扩展，主要得到了p ( x ( 住) z ) 及 p ( & z ) 的上下界 设几个随机变量x - ，恐，墨，其分布函数分别为日，局，r ，其中任 意两随机变量满足以同一正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依 本节假设对v 1 i j n ，c q = 规器1 引理2 2 1 设( q ，尸，p ) 为一概率空间，a 厂， = 1 ，2 ，他) ，则： n、 n p iua ) p ( a ) 一p ( a a j ) ( 2 1 0 ) t = 1 i = 1 l i 0 ， 其中i = 1 ，2 ，n ，则： n p ( x ( n ) z ) 乏卜ea c q ) e 瓦( z ) ( 2 i t ) 第二章线性s p e a r m a nc o p u l a 相依情况下随机变量和的渐近分布 证明对比( 一。，+ o o ) ，利用引理2 2 1 ， p c x c 。， z ，= p ( 璺c 置 z ，) p ( 五 z ) 一尸( 五 z ，玛 z ) 类似引理2 1 1 ， 故 型1 j n 羔型。曼n i 斧 zj ，l百，、 瓦( z ) 1 兰魂n ， _ 入c 玎 掣乏1 一嘛 n 一 ，。q 瓦( z ) 蠢鑫n 即结论成立口 定理2 2 2 设x ，恐，定义在( 一0 0 ，+ o 。) 上，其中任意两个随机变量满 足以同一正线性s p e a r m a nc o p u l a 相依，其分布函数r c ，i = 1 ，2 ，佗，则： p ( z ) 毛1 + 概) 瓦( z ) ( 2 1 2 ) ，n、 r i i - - - - 1j ：l j n ，j 和 i - - - - 1 证明对比( 一0 0 ，+ 。o ) 及任意固定的0 c 1 叫z ，) + p z ，k = l c 虬卸叫z ) ) 七= l 瓦( ( 1 一) z ) + 1 1 ( 0 1 2 对于厶( z ) ，类似【5 】5 i x ( x ) = p ( x t r z ，一 j ：l s j s n ， f z ，一 j ：l 署，p 鲁) p ( 、x i 詈 各1 ，p 差人兰) j i 、 几 n 一 。 n n l i = lj ：1 1 0 n ，j i t i p ( 五 概 i = 1j ：1 1 j n ，j i 代入