（应用数学专业论文）带真空的粘性依赖于质量的液体气体两相流模型的渐近行为.pdf

a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fa v i s c o u sl i q u i d - g a sm o d e lw i t h ，m a s s d e p e n d e n tv i s c o s i t ya n d v a c u u m a 饥e s 诂 s u b m i t t e di np a r t i a l 凡绗l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s o l rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y l i uq i n g q i n g p o s t g r a d u t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n d s t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r z h uc h a n g j i a n g e r v l s o rn uu n a l ll a i l g a c a d e m i ct i t l ep r o f e s s o rs i g n a t u r e妞 a p p r o v e d m a y 2 0 1 1 0 是粘性系数 为了理解这个复杂的模型( 1 1 ) ，正如文【3 ，4 一样，我们对( 1 1 ) 在数学上作如下 简化： ( i ) 流体速度相等，即，= 撕= u ； ( i i ) 忽略外力，a p q = 0 ； ( 洌) 液体密度远远高于气体密度，一般来说p z p g = o ( z 0 3 ) ，因此在动量方 程( 1 1 ) 3 中忽略气体效应 至一埘 型毗 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 与【3 】中相同，我们假设液体是不可压的，p z = c o n s t a n t , 气体为多方气体： p = 印；，y 1 ，c 0 ( 1 6 ) 跏川= 饼( 志) 7 = a ( 志) 7 ， 7 ， 其中，a = c 刀粘性系数取如下形式( 参见【3 ，4 】) ： e = e ，m ) = b 南，b 。，p 。， ( 1 8 ) e = ( m ) = b 南，b 。，p 。 ( 1 9 ) 接下来，不失一般性，我们仅仅考虑情形( 1 8 ) 本文中，我们将考虑方程组( 1 5 ) 的如下两类自由边值问题： ( 1 ) 初始质量间断连接到真空： 其中边界条件为 f ( - p ( m ，t i , ) + e ( 绍，m ) 院让) ( o ( 芒) + ，t ) = 0 ， i ( - p ( m ，几) + ，m ) 巩让) ( 6 ) 一，t ) = 0 ，t 0 ， 1 0 cf 1 ) 初始条件为 n ( z ，0 ) = 珊( z ) 0 ，m ( z ，0 ) = 幻( z ) 0 ，u ( z ，0 ) = ( z ) ，z 【a ，6 】( 1 1 1 ) ( 2 ) 初始质量连续连接到真空： 其中边界条件为 仉( o ( t ) ，t ) 拳钆( 6 ) ，t ) = 0 ，m ( o ( t ) ，) = m ( 6 ( ) ，) = 0 ，t 0 ， ( 1 1 2 ) 初始条件为 扎( z ，0 ) = n o ( x ) 0 ，m ( z ，0 ) = ( z ) 0 ， t 正( z ，0 ) = ( z ) ，z ( a ，6 ) ，( 1 1 3 ) 满足伽( 口) = 伽( 6 ) = 椭( o ) = 低( 6 ) = 0 2 其中一 a b 0 ，我们得到了质量函数n ，m 的收敛率 用与【3 ，4 相同的函数替换，我们可以将问题写成与n a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s 类 似的( 2 7 ) ( 2 1 2 ) ，因此本文使用的主要方法也类似于 2 3 ，7 】先前一些带有真空且粘 性依赖于密度的s i n g l e - p h a s en a v i e r - s t o k e s 的研究工作被总结如下：对于等熵情形， 当初始密度间断连接到真空且p ( p ) = p p ，0 0 时，o k a d a ，m a t u 吾f l - n e s a s o v 磊， m a k i n o 在【1 5 中获得了方程弱解的整体存在性y a n g ，y a o 和z h u 在【1 9 】中将这个结 果推广到o 0 互1 ，j i a n g ，x i n 和z h a n g 在【8 中推广到o 0 1 最后，q i n ，y a o 和z h a o 在【1 8 中推广到o 0 1 的情形最近，z h u 在【2 3 】中克服了边界层带来的 困难，研究了密度函数p ( x ，t ) 的渐近行为和衰减率当初始密度连续连接到真空， y a n g 和z h a o 在 2 0 】中获得了方程弱解的局部存在性y a a g 和z h u 在 2 1 】中得到了 当0 0 ；时弱解的全局存在性，稍后这个结果被v o n g ，y a n g 和z h u 在【2 2 】中改进 到o 0 吾1 最后f m a g $ 口z h a n g 在【5 】中做到了o 0 ；，在【6 中做到了o 0 ，m ( 专，0 ) = 伽( ) 0 ，让( 专，0 ) = ( 专) ，【0 ，1 】， ( 2 3 ) 或者具有边值条件( 相应于初始质量连续连接到真空) 及初值 仡( o ，7 ) = 礼( 1 ，7 - ) = 0 ，m ( o ，7 - ) = m ( 1 ，7 - ) = 0 ， 7 - 0 ， ( 2 4 ) 几( ，0 ) = 伽( ) 0 ，m ( ，0 ) = ( ) 0 ，u ( ，0 ) = 锄( ) ，( 0 ，1 ) ， ( 2 5 ) 满2 = - n o ( o ) = 伽( 1 ) = 低( o ) = ( 1 ) = 0 这里 跏，m ) = ( 志) 7 ，跏m ) 叫哪肛南，胗。( 2 6 ) 为了简单起见，在( 2 6 ) 式中我们假定a = b = 1 接下来，我们仍用( z ，) 代替( 专，7 - ) 引进函数变换( c f 【3 ，4 】) ： ，c = 景，咖) = 志= 击 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 从( 2 1 ) 的前两个方程，我们得到 龟：竺一三m t ：一兰竺丝+ 2 霉：o ，龟= 一一百m t = 一+ 百= u ， m仇mm 和 q c m ) t = ( 志) 。= ( 志+ 若斋) 魂 伽仍r n 。 2 石j 矛他2 ( p l - m ) 2 u =l a m j = - p l q c m ) 2 利用上面两个式子，我们可以把( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和( 2 1 ) ，( 2 4 ) ，( 2 5 ) 写成以下形 式： i 侥c = 0 ， i o , q ( m ) + a q ( m ) 2 以“= 0 ， ( 2 7 ) i l 侥u + 晚( p c c ，m ) ) = 以( e c c ，m ) 允u ) ， 具有边值条件( 相应于初始质量间断连接到真空) p c c ，m ) = e ( c ，m ) ， a t z = 0 ，1 ，t 0 ，( 2 8 ) 及初值 c ( z ，o ) = c o ( z ) 0 ，q ( m ) ( z ，0 ) = q ( 仃b ) ( z ) 0 ，u ( z ，0 ) = ( z ) ，z 【0 ，1 ， ( 2 9 ) 具有边值条件( 相应于初始质量连续连接到真空) c ( o ，t ) = c ( 1 ，t ) = 0 ，q c m ) ( o ，t ) = q c m ) ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 ， ( 2 1 0 ) 及初值 c ( z ，0 ) = c o ( z ) 0 ，q ( m ) ( z ，0 ) = q ( m o ) ( z ) 0 ，t 正( z ，0 ) = t 正0 ( z ) ，z ( 0 ，1 ) ， ( 2 1 1 ) 满足c d ( o ) = 饧( 1 ) = q ( m o ) ( o ) = q ( 弛) ( 1 ) = 0 这里 p ( c ，m ) = ( 瓦兰焉) 7 = q ( m ) 1 ，e ( c ，m ) = m ( n ，m ) = 矿q ( m ) 斛1 ，卢 。 ( 2 1 2 ) 通篇文章，我们对初值和卢，y 的假定如下： 6 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s l s ( a 王蒜】伽( z ) o ，尝嚣】锄( z ) o ，娄摄】低( z ) 仰； ( a 1 ) 存在正常数虬，k 3 和致使得硷( z ) 暑伽( z ) 恐扛) 考 p z ， k 3 咖( z ) 口伽( z ) k 4 咖( z ) q ，在此 ) = x ( 1 一z ) ，0 0 ，以下估计都成立 n ，m ，t 上l ( 【o ，1 】【0 ，+ o o ) ) nc 1 ( 【o ，+ o o ) ；日1 ( 【o ，1 ) ) ， e ( n ，r e ) u = l ( 【o ，1 】x 【0 ，+ o 。) ) nc ( 【o ，+ o o ) ；l 2 ( 【o ，1 】) ) ， 0 n ( x ，t ) p ls u pc o ， z f o ，l 】 和 0 m ( z ，艺) j 9 z 而且，下述方程对任意的0 和a e z 【0 ，1 成立： + m 以20 ，r n 吃+ m 2 让2 = 0 ， ( 亿，m ) ( z ，0 ) = ( 嘞( z ) ， b ( z ) ) ， 以及对任意测试函数妒c 铲( q ) ，有 z 0 1 ( u 妒t + ( p ( n ，m ) 一e ( n ，仇) ) 妒z ) d z 出+ ( 1 ( z ) 妒( z , 0 ) d x = 。， 其中q - - - - ( z ，1 1 ) ：0 z 1 ，t o ) 接下来，c 总是用来表示一个通用的正常数，它仅依赖于初值、7 和0 等，但是 不依赖于t 1 这篇文章的主要结果陈述如下： 定理2 2 ( 质量函数的渐近行为) 假设( a ) ，( a 2 ) ，( a s ) 以及( 也) ( 相应于边界条 件( 2 8 ) ) 或者( a 1 ) 7 ，( a 2 ) ，( a 3 ) 以及( a ) ( 相应于边界条件( 2 1 0 ) ) 成立，则初边值问 题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 或者( 2 1 ) ，( 2 4 ) ( 2 5 ) 的整体弱解( 死( z ，) ，m ( z ，t ) ，u ( z ，t ) ) 满足 i m s u pn ( x ，t ) = 0 ， 。x e o ，1 1 1 i ms u pm 仁，t ) = 0 z 【0 ，l 】 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 接下来，我们可以得到质量函数礼( z ，t ) ，m ( z ，t ) 的衰减率 定理2 3 ( 质量函数的衰减率) 在定理2 2 的条件下，对所有z 【0 ，1 】，我们有 ( i ) 在边界条件( 2 8 ) 下，如果o 2 ，则有 n 0 ，t ) ，m ( z ，) c 0 + ) 一军如， ( 2 1 5 ) 如果p = 1 或者p 1 ，葛2 ，则有 n ( x ，t ) ，m 0 ，) c ( 1 + t ) 一孓景琊( 1 n ( 1 + t ) ) 南， ( 2 1 6 ) 对所有的z 【0 ，1 ( i i ) 在边界条件( 2 i o ) f ，如果o 2 ，对所有z 【o ，1 】， 我们有 礼( z ，功，m ( z ，t ) c ( 1 + t ) 一南， 如果p = 1 或者p 1 ，羁2 ，则有 n ( z ，t ) ，m ，t ) c ( 1 + t ) 一再暑彻( 1 i l ( 1 + t ) ) 石可1 刁， 这里的口由引理4 1 定义 8 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 3先验估计和质量函数的渐近行为 本节中，我们将推导出初边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 或者( 2 1 ) ，( 2 4 ) ( 2 5 ) 解的 一些先验估计，基于这些先验估计我们将去研究质量函数n ( z ，) ，m ( x ，t ) 的渐近行 3 1先验估计 首先我们先推导一些很基本的公式，这些公式是原方程的直接推论，在后面的 论证中反复用到 引理3 1在定理2 2 的条件下，对0 0 ，我们 有 0 ( c q ( m ) ) ( z ，t ) c ( 3 8 ) 证明由( 3 4 ) ，我们有 刍( ，q ( m ) 卢) ( z ，t ) + z q ( m ) 7 ( z ，s ) d s = 去露q ( 执) 卢一o z ( 让( y ，亡) 一( 可) ) 曲 c + l u ( 可，t ) l d y + l 让o ( y ) i d y j oj o ， c + ( o ( o lu ：匆) 5 0 ，我们有 ，q ( 计( 叫) d s c ( 3 9 ) 引理3 5 在边界条件( 2 8 ) 下，对任意t 0 ，我们有 引m ) ( d 乒) _ q ( 州 ) l 再丽矛赤丽而而) 扛0 l j 0 ) 1、葶7 证明m ( 3 2 ) ，我们有 在( 3 4 ) 中令z = 1 或者z = 0 ， 鬲1 名( 啪( m ) 卢( 如) + o 瑶( 加( 叫( 如) d s = 去名( 回q ( ) 慨 由于7 ，积分方程( 3 1 1 ) 得到 三p l 髫( 回q ( m ) 卢一1 ( d ，t ) q ( m ) ( d ，t ) t + 豸( d ) q ( m ) 1 ( d ，t ) = 。， 通过解常微分方程( 3 1 2 ) ，我们就得到( 3 1 0 ) 引理3 5 得证 推论3 6 存在正常数q ，g 使得对任意的t 0 ， c 1 ( 1 + t ) 一和1q ( m ) ( d ，) c 2 ( 1 + 艺) 一南 引理3 7 对任何在( a 2 ) 中的正整数礼，对任意的t 0 ，我们有 1 t 2 n 如+ 佗( 2 , , - x ) f o 上1 q ( m ) 肛1 铲一2 让：如d s g ， 其中g 依赖于n ，但不依赖于t d = 0 ，1 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 证明对( 2 7 ) 的第三个方程乘以2 几u 2 沪1 ，将所得的结果关于z 在【o ，1 】上积分，我们 有 曩z 1 铲n 如+ 2 礼( u 2 n - l p ( c ，m ) ) i ：_ 2 礼( 2 n 一1 ) z 1 q ( m ) 7 让2 铲2 如 = 2 礼2 n - 1 e ( c ，m ) 让2 ) l ：一2 礼( 2 n - 1 ) 上0 1 q c m ) 卢+ 1 u 2 n - - 2 如 利用边界条件( 2 8 ) 或者( 2 1 0 ) ，我们有 ( 3 1 4 ) 扑凯2 “，胁尹毪雌“，知川矿蔷 将( 3 1 5 ) 关于亡在【o ，t 】上积分，我们得到 让2 n d x + 2 n ( 2 , , - 1 ) f o 。0 1 孝如砌( 2 n - 1 ) 。z 1 1 1 护q ( m ) 卢+ 1 4 2 俨2 u ：d x d s ，q ( m ) 1 , u 2 n - - 2 u = d x d s ( 3 1 6 ) l ， z z = 对( 3 1 6 ) 式中的最后一项应用c a u c h p s c h w a r z 不等式，我们有 u 2 n i i = t , + n ( 2 n 一1 ) o iu ： d x + n ( 2 n - 1 ) 现在我们估计( 3 1 7 ) 名5 端的最后一项， c s q ( m ) 卢+ 1 让加- 2 让：出d s c 乎1 一卢q c m ) 2 7 一卢一1 , l l , 2 n 一2 d x d s c 2 1 一卢q ( m ) 2 7 一卢一1 缸2 n 一2 d x d s c 暑+ ，y 一卢q ( m ) 罢竹一卢一l c 睾1 q ( m ) 譬7 钍2 棚d x d s ( 3 1 7 ) ( 2 n - - 1 ) f o z 1 + n c r 一卢，q ( 1 ) 7 + n c r 一声一l ，如d s + c o 。z 1c y q ( 1 ) 7 u 2 n c 红d s = ( 2 n - 1 ) o 0 1 ( c q ( m ) ) c 1 - z - 1 ) c - ( 田( m ) ) 7 出d s + c o z 1 q ( m ) 7 让2 “如d s c zm l o l a x j ( c q ( m ) ) s + c 名书箭( 田( m ) ) 1 上铲n 如如 c + c 上节野( 田( m ) ) 1 上u 2 d x d s l 5 l 苓， 这里我们用了y o u n g 不等式0 6 警+ 警，其中；+ i 1 = 1 ，p ，q 1 ，o ，b 0 ，以及 假设f a ) ，( 3 8 1 和( 3 9 ) 将( 3 1 8 ) 代入( 3 1 7 ) 式，我们有 z 1p 如+ 礼( 2 n - - 1 ) o oc s q ( m ) 阳乱：蛐 c + c j ( 。黼( c q ( m ) ) 一r z l p 抛 由( 3 1 9 ) ，( 3 9 ) 以及g r o w “s 不等式，我们有 u 2 n d t , g ， 其中c k 0 依赖于几，但不依赖于t ( 3 1 9 ) ，( 3 2 0 ) 表明( 3 1 3 ) 成立引理3 7 得证 引理3 8 在定理2 2 的条件下，我们有关于田( m ) 导数的一致估计 小饰炉) 霉2 如+ j 厂0 1j r 0 ( ( 卿) ) 牛) 知。- ，0 、 1 2 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) 上z t 厂加厂，儿 z z r z 、l，、l， l 1 上 一 一 亿 n 2 2 ，fl、，f n n l l 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明从( 2 7 ) 中，我们有 ( ( c q ( m ) ) p ) 武= ( 卢( 田( m ) ) m ( 田( m ) ) 。) 岳 = ( p 护q ( m ) 卢1 q ( m ) t ) 正 = 一丘慨( q ( m ) 斛1 u z ) 玉 = 一肋( 毗+ p ( c ，m ) z ) ( 3 2 2 ) 对( 3 2 2 ) 采以( ( c q ( m ”p ) 霉，将所得i e 绢m 乇e o ，1 j 【0 ，t j 上积分然后分鄙积分，我们 得到 三z 1 ( ( c q ( m ) ) 卢) z 2 如= 互1z 1 ( ( c 0 q ( 砜) ) 卢) 王2 如一矗z 1 乞( ( 田( m ) ) 卢) 如 十砌z 1 ( ( c o q ( m 0 ) ) p ) 如+ 触z 1z 让( ( 田( 删卢) t d s 如 一器z 1 肌卿炉2 s 如 将( 3 2 2 ) 代入( 3 2 3 ) ，我们有 2 3 【3 ) 三1 ( ( c q ( 仇) ) 卢) ：如+ i 4 7 p 2 p lf 0 1 2 ( ( ( m ) ) 。夕2 。d s 出 +砌“铷(c0q(伽)卢)王一(触)2ol d x 1 厂。u u 吃d s d x j 0j 0 j 0 + 砌t 幻( ( c 0 q ( 伽) ) 卢) 王 一( p 印) 2 ，1p t 一( 触) 2 u ( ( 田( m ) ) 7 ) z d s 如 j 0j 0 = 互1z 1 ( ( c 0 q ( 锄) ) p ) ：如一触1u ( ( 田( m ) ) 声) z 如 + 触z 1 咖( ( 删酬声) z 如一( p p z ) 2 2z 0 1u 2 如+ 掣序如 ， 一( 触) 2 ( c q ( m ) ) 1 ( 1 ，s ) u ( 1 ，s ) 一( c q ( m ) ) 一r ( o ，s ) u ( o ，s ) d s j 0 “触) 2 上上”气抽扣善无 ( 3 2 4 ) 现在我们估计以一由： 首先，通过假设( a 1 ) 一( a 3 ) ，或者( a 1 ) ，- ( a 3 ) ，引理3 2 ，引理3 3 ，推论3 4 以及c a u c h y - 1 3 s c h w a r z 不等式，我们有 a 如兰三小c q ( m ) ) 卢) 三出+ c 1 1 1 2 如c + 互1 小c q ( m ) ) 卢) k 五- c 0 1 ( ( c o q ( ) ) 卢) ：出+ c 0 1 碥如c ， j 4 g i 以s 以 i 五cz 。z 1c o ( z ) 护q ( m 尸+ 1 u ：如如+ c o 。z 1 ( c q ( m ) ) 2 y - 卢- i d x d s i g m a x ) z z 1 懒科+ 1 u ：姚+ c 一( 田( 删仰。1 z 0 tm a y ：( 田( m ) ) l ? ( 3 2 5 ) 现在分两种情形来估计j 6 ， 情形1 当初始质量连续连接到真空( 相应于边界条件( 2 1 0 ) ) ，我们有五= 0 情形2 当初始质量间断连接到真空( 相应于边界条件( 2 8 ) ) ，通过y o u n g 不等式 和引理3 5 ，我们有 五= 一( 触) 2 ( 田( m ) ) 1 一卢( 1 ，s ) ( ( c q ( m ) ) 芦c i ，s ) u c l ，s ) ) d s + ( 触) 2 ( 田( m ) ) c o ，s ) ( c q c m ) ) 卢c o ，s ) u ( o ，s ) ) d s cf t ic c q c m ) ) 叩( 1 ，s ) u n c x ，s ) i + ic c q c m ) ) n 卢( o ，s ) u n c o ，s ) f ) 如 + c z ( c q ( m ) ) ( p 所舟( 1 s ) + ( c q ( m ) ) ( p 们鑫( 。，s ) ) 如 g + c o ll ( c q ( m ) ) n 卢c 。，s ) 扩( ，s ) ll 三* ( 【0 ，】) 出 c 3 2 6 ) 将( 3 2 5 ) 和( 3 2 6 ) 代入( 3 2 4 ) ，对于情形1 和情形2 ，我们都有 三1 0 1 ( ( 田) ) 卢) ：如+ i 4 ) f 2 p ，tf 0 1 o 。( ( c q ( m ) ) 牛) 三d s 出c + 以，( 3 2 7 ) 其中 ，c 五= c i l ( c q ( m ) ) n 卢( ，s ) 矿( ，s ) l l l 。( 【0 1 】) d s j 0 1 4 由嵌入定理w 1 , 1 ( 【o ，1 】) ql o 。( 【o ，1 】) ，我们有 以c z 0 1 ( c q ( m ) ) 叩矿( z ，s ) 如d s + cz 0 1 ( ( c q ( m ) ) 叩矿( z ，s ) ) z 出d s c z z 1 ( 田( m 炉护( z ，s ) 如d s + c 0 1 ( c q ( m ) ) 哪叫出d s + z z 1 礼p ( 田( m ) ) 叩_ 1 ( 田( m ) ) 互矿( z ，s ) 如d s + z 2 1 n ( c q ( m ) ) n f l u n - 1 出如 c z 节野( c q ) ) 一r ( 0 1u 2 n d , x ) d s + cf 0 2 墨野( c q ( m ) ) 1z 1 ( 田( m ；) 郦一2 7 如d s + c z 。z 1 ( 蝈( m ) ) 娜一1 一卢让轨出如+ 孝譬等z 1z ( ( 田( m ) ) ：夕2 d s 出 + c o t 0 1 ( c q ( m 卢+ l u 2 n - - 2 u ：出d s + c z 0 2 0 1 ( 田( m ) ) 2 卵一卢一1 出如 c + m a x ( 田( m ) ) 2 叩_ 2 卜卢r 节野( c q ( m ) ) 了( z 1u 鼽如) d s + 孺z o ( ( 卿州互2 姚+ cm 毗) z o 砌m ) p + 1 u 2 - - 2 u ：批 + c m a x ( c q ( m ) ) 2 n f l - - f l - - l - - ? o 节野( c q ( m ) ) 7 d s c + i 2 7 f 1 2 p lj ( 0 1 肌田( m ) ) 牛) ：她 这里我们已经用了引理3 3 ，推论3 4 ，引理3 7 ，以及凡呈喾 2 8 ( 3 ) 将f 3 2 8 、代入f 3 2 7 ) 我们得到f 3 2 1 1 引理3 8 得证 1 5 硕士学位论炙 m a s t e r st h e s i s 3 2 c q ( 仇) 的渐近行为 在这一节，基于上一节得到的先验估计，我们将去研究质量函数m ( z ，) ，n ( x ，t ) 的渐进行为我们将证明在t o 。时m ( x ，t ) ，礼( z ，t ) 都一致收敛到o 为此，我们要 先引进下述引理，证明这里略去 引理3 9 假设夕( z ) 0 ，t 0 ，9 ( t ) l 1 ( o ，o o ) 以及9 ，( t ) l 1 ( o ，o o ) 贝l j 扣l i r a 9 ( t ) = 0 现在我们证明定理2 2 。令 ，l 夕( t ) = ( 田( m ) ) 7 ( z ，) 如 对( 3 9 ) 关于z 在【o ，1 】上积分，我们有 o 0 1 ( 田( m ) ) 7 ( z ，s ) d x d s c , ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) 上式表b 凋g ( t ) l 1 ( 0 ，。o ) 下面我们证明夕m ) l 1 ( o ，。o ) 由( 2 7 ) 的第二个方和c a u c h y - s c h w a r z 不等 式，我们得到 1 9 ，( 圳出= 7 o i 0 1 ( c q ( m ) ) p 1 c ( z ) q c m ) t d y i 出 = z i z l 仫倒m ，7 + l u 王d x i 出 厂厂1c s q ( m ) 1 + 卢2 cc s q ( m ) u ：d x d t c 厂厂1 c 2 州q ( m ) 2 什1 - 卢d x d t j oj o j oj o 1 + 卢 + c 2 1 一卢q ( m ) 2 什1 - ( 3 3 1 ) 利用( 3 8 ) ，( 3 9 ) 和假设( 4 1 ) 或者( a 1 ) 7 ，我们可以估计( 3 3 1 ) 式右端的最后一项， z 。z 1 扩恸矿娜妯z 2 节野( 田( m ) ) 一rz 1 咖扩娜蛐。 将上面的不等式代x ( 3 3 1 ) 以及利用引理3 2 ，我们得到夕他) l 1 ( o ，) 由此， 1 i m9 ( t ) = 0 (332)1：- - - , 0 0 。 由( 3 3 2 ) ，引理3 _ 3 ，h s l d e r 不等式，对任何的0 0 利用( 3 3 3 ) ，引理3 8 以及h 6 1 d e r 不等式，我们有 0 ( 幻( m ) ) 七= ( ( 田( m ) ) 七) 可d y = 庇( 田( m ) ) 扣卢( 田( m ) ) 卢- 1 ( 田) ) v d y ，o = 斯( 田( 计讯田( 啪砌 c ( 0 1 c 卿) ) 2 眦卢如) 5 c ( 0 1c 卿) ) 2 砒卢如) 5 ( 小卿炉肛) 5 0 ，a , s t 0 0 情形2 当初始质量间断连接到真空( 相应于边界条件( 2 8 ) ) ，选择k p 0 利 用( 3 3 3 ) ，推论3 6 ，z jl 理_ 3 8 以) f i t h s l d e r 不等式，我们有 0 ( c q ( m ) ) 七= ( ( m ) ) 七( o ，t c ( 1 + t ) 一南 c ( 1 + t ) 一南 结合以上两种情形，对于任何的z 【0 ，1 】，我们有 ( c q ( m ) ) ( z ，t ) _ 0 ， 勰t _ o 。， 即， 因此， 定理2 2 证完 h m 兰 竺 ：， ! ：0 l l i n n m 一= 一= m 俄一m角一m ( ( 诉炉肛) j _ 0 ，a st _ o 。 l i mn ( 圳2 恕志慨一m ) = o ， 1 i r am ( z ，t ) = 0 t - - - * o o 1 7 匆 娜 n 严 蛳 删 槲 如 诉 水吣吨 4收敛率估计 叫h 出一r 1 o z 丽1 西+ 1 - 7 1 1 - tz o 丽1 挑 ( 4 1 ) 毗2 眦一面柄， ( 4 2 ) 毗+ 雨w = p z u t ( 4 3 ) 毗+ 雨 。 ) 这里我们已经利用了如下事实 f ou ( z ，t ) 出= 0 1 咖( z ) 如， ( 见( 3 1 ) ) 为了简单起见，我们假设詹u o ( y ) d y = 0 因此辅助函数叫，q ( m ) 满足 f ，a c - 0 ， 蜊m ) + q ( m 甩叫+ 帮_ 0 ( 4 4 ) 卜斋( 砌矿以砌+ 掣刊卿炉) 引理4 1 ( c 扛) ，u ( x ，t ) ，q ( m ) ( z ，) ) 为固定边值问题( 2 7 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 或者( 2 7 ) ， ( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 的整体弱解则对任何 0 ，一y 1 + p ，对任何t 0 以下估计成立 1 8 情形i ：0 2 ， 1 9 ( 4 7 ) ( 4 8 ) ( 4 9 ) ： p 磅 i 卜 形 卜 情l 以及2 = 0 ，当异 2 ，而2 = 1 ，当稀2 证明对( 4 4 ) 3 乘以砌，将所得的结果关于z 在【o ，1 】上积分，然后分部积分，利 用边界条件( 2 8 ) 或者( 2 1 0 ) ，我们有 三爰p 出+ r 1f o l 抛 = z 1 ( 扩q ( 计“z 叫如+ = s q ( m ) m 姚叫n 雨1 一z 1 舸叫：如一 = 一z 1 q ( 科+ 1 伽：如一 即， r 1 再上1 ( q ( m ) 芦) 王叫出一a 0 1 ( ，q ( m ) 1 ) 王伽如 q ( m ) 芦叫卜p l c ；q ( m ) 一r 叫l ： 1 q ( m ) 卢姚出+ 肌z 1 q ( m ) 一r 伽如 z 1 扩q c m ，卢如+ n z 1 q c m ，7 出，。4 1 。， 三爰z 1 伽2 出+ r lf o l 叫2 出+ z 1 s q ( m 尸+ 1 伽：如 = 一南z 1 s q ( 叫蚍如+ a z 1 删叫如 现在我们将证明( 4 5 ) ，( 4 7 ) 以及( 4 8 ) 情形i ：0 p 1 ( ( 4 5 ) 的证明) 注意到 叫岳2p l u z ( 1 + t ) q ( m )( 赤) 。 因此，我们可以估计( 4 1 1 ) 式右端的第一项以及第二项， 一南z 1 q ( m l l 如 = 一r i 0 1s q ( m ) 卢 ( 高) 。一( 1 + t ) q ( m ) = 一f 去丽z 1 ，( q ( 缈4 ) t 如+ 2 0 ( 1 + t ) 2 ( 1 + t ) q ( m ) 。 1 s q ( m ) 卢一1 如， ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) 1 一川 1 一川 以及 印z 1 倒叫毗如= az 1 删硝 ( 赤) 。一印上q ( m ) 7 毗如2a 上q ( m ) 7tl 虿南) 。一两1t 蒜) q ( m ) 出( +) j = 毒z 1 讹( 叫- 1 ) 。如j 1 + t ，c 1 c r q ( 叫。1 如( 4 1 3 ) 将( 4 1 2 ) 以及( 4 1 3 ) q 弋x ( 4 i i ) ，我们得到 爰z 1 ( 萼+ 鲁删叫。) 如+ r i 0 , 抛 + f o x q ( m ) 卢+ 1 迁出+ 南z 1 q ( m ) 7 。1 出 f 0 1 ，( q ( m ) 卢一1 ) 。如+ 面i f 1d q ( m ) 卢一1 如( 4 1 4 ) 对( 4 1 4 ) 乘以( 1 + t ) 8 ( 其中口待定) ，对任何的o 工1 1 4 石jh y 七明j ( 4 1 5 ) 可以写成 非c 1 刊口1w 2 出+ 等z 1 删叫。1 如) + ( 1 一呈) ( 1 + t ) 口一1 1 w 2 如+ ( 1 + t ) p z 1 d 3 q ( m ) 1 + 卢训：出 + 见! 弓 ( 1 + 亡) 口一1z 1 q ( m ) 7 1 如 = 爰 筹0 1 砌耐以如) + 筹( 1 计2 0 1 砌耐。1 出( 4 舶) 2 2 对( 4 2 0 ) 式关于在【o ，t 】上积分，我们有 扣矿f 0 1w 2 如+ 掣z 1 删叫。1 如 + ( 1 一兰) z 。c 1 + s ，口一1z 0 1w 2 如幽+ z c 1 + s ，口0 1 c p q c m ，1 + 卢加：如d s + 凤岩0 2 ( 1 + s ) p 一1z 1 矿q ( m ) 1 1 出d s = 三序如+ 两p az 14 q ( - 1 0 ) 似出一古z 1 绷科。出 + 错z 1