（理论物理专业论文）开放系统纠缠动力学相关研究.pdf

中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o na r l dq u a n t u mc o m p u t a t i o nb e c o m e san e wf l 冀! 霎争亘囊蓁 霎主霍霎；i 萋翼 蠹i 霎莹埠蠢墅溪i 叁警叁萋霉零l 塑i 蓁雾吕蕉霍妻萋鹱重量曩霪鬻摹科曼鍪蠢；誊写霎霞薹 穹箩 摹萼i 垂至手鹑i 萝托璧l 翼i 耋期霉妻i 蕈薹蕈羹羁；囊馨霎蓍匡薯荔蚕产生了一门新兴交叉学科一一量子信息和量子计 算科学。量子信息和量子计算科学所研究的是用量子力学系统完成信息处理任 务，研究它的目的是增进人们对量子力学基础的理解，进而实现量子计算机及 其相关应用。其前沿研究结果已经表明量子信息和量子计算科学有可能改变人 类对信息的存储、提取和传送过程的理解。 量子信息和量子计算f 2 3 1 比经典计算的优越之处是建立在拥有新的物理资 源基础之上的。量子纠缠是量子力学独特的资源，在量子计算和量子信息的应 用上起关键作用。鉴于纠缠所处的地位，近年来受到多方研究者的关注，如纠 缠的度量、探测、动力学等方面一系列工作。 量子纠缠的概念是由s c h r 6 d i n g e r 与1 9 3 5 年首次引入量子力学f 2 】，并称其 为“量子力学的精髓”。量子纠缠是十分复杂的量子现象，反映了量子理论 的相干性、或然性、空间非定域性的本质，正在被广泛的应用于量子信息与 量子计算科学例如：隐形态传输 3 ，4 】、秘钥分发 5 ，6 】、量子纠错f 7 】、量子 通信 8 1 等。当然，对纠缠的种种应用是需要建立对纠缠本身深刻认识的基础之 上。关于纠缠的研究方向除了在量子信息处理方案中的应用，还包括对纠缠的 定义、性质、度量等基本概念，以及纠缠动力学、开放系统中的纠缠特性等。 尽管量子纠缠的地位是不容置疑地重要，人们也对其做了相当多的研究工作。 关于量子纠缠的认识仍然处于一个比较初级的阶段，理论体系有待于进一步的 完善与发展。本文主要研究开放系统中的纠缠动力学，即纠缠随时间演化的特 点，考虑不同的物理参数对开放系统纠缠演化特点的影响。为此，让我们先回 顾一下量子纠缠的基本概念、判据、定量描述。 1纯态与混态 11 量子纠缠 中态1 1 量子纠缠 第4 页 中国科学技术大学硕士学位论文 a b o v e m e n t i o n e de n t a n g l e m e n td y n a m i c st ot h a ti nm a r k o v i a ne n v i r o n m e n ta n d t h a to ft w o _ q u b i ts y s t e mi nn o n m a r k 0 们a ne n v i r o n m e n t 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文第5 页 第一章量子纠缠 以量子力学为核心的量子物理无疑是近代科学发展过程中最有成就的科学 理论之一。它不仅代表了人类对微观物质世界基本规律的深入认识，也可直接 推动社会生产力的发展乃至影响人们的生活方式，如半导体和激光器的发明是 量子力学应用于固体和光辐射过程的直接硕果。量子力学建立以后，随着信息 科学、计算科学的蓬勃发展，产生了一门新兴交叉学科一一量子信息和量子计 算科学。量子信息和量子计算科学所研究的是用量子力学系统完成信息处理任 务，研究它的目的是增进人们对量子力学基础的理解，进而实现量子计算机及 其相关应用。其前沿研究结果已经表明量子信息和量子计算科学有可能改变人 类对信息的存储、提取和传送过程的理解。 量子信息和量子计算f 2 3 1 比经典计算的优越之处是建立在拥有新的物理资 源基础之上的。量子纠缠是量子力学独特的资源，在量子计算和量子信息的应 用上起关键作用。鉴于纠缠所处的地位，近年来受到多方研究者的关注，如纠 缠的度量、探测、动力学等方面一系列工作。 量子纠缠的概念是由s c h r 6 d i n g e r 与1 9 3 5 年首次引入量子力学f 2 】，并称其 为“量子力学的精髓”。量子纠缠是十分复杂的量子现象，反映了量子理论 的相干性、或然性、空间非定域性的本质，正在被广泛的应用于量子信息与 量子计算科学例如：隐形态传输 3 ，4 】、秘钥分发 5 ，6 】、量子纠错f 7 】、量子 通信 8 1 等。当然，对纠缠的种种应用是需要建立对纠缠本身深刻认识的基础之 上。关于纠缠的研究方向除了在量子信息处理方案中的应用，还包括对纠缠的 定义、性质、度量等基本概念，以及纠缠动力学、开放系统中的纠缠特性等。 尽管量子纠缠的地位是不容置疑地重要，人们也对其做了相当多的研究工作。 关于量子纠缠的认识仍然处于一个比较初级的阶段，理论体系有待于进一步的 完善与发展。本文主要研究开放系统中的纠缠动力学，即纠缠随时间演化的特 点，考虑不同的物理参数对开放系统纠缠演化特点的影响。为此，让我们先回 顾一下量子纠缠的基本概念、判据、定量描述。 1 纯态与混态 1 1 量子纠缠 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第6 页中国科学技术大学硕士学位论文 纯态是在指定的量子态空间中若干个正交规一基矢的相干叠加，正交规一 基矢的叠加系数可以有一个特定的相位。在数学上纯态使用波函数抄) 进行描 述。 混态是量子体系若干个纯态l 缈) 进行非相干混合。这些l ) 态彼此之间没有 固定的相位关联，因而不存在相干叠加所产生的干涉问题。混态在数学上使用 密度矩阵进行描述，关于混态用密度矩阵表示的数学可行性方面的说明可以参 见g l a e s o n 定理 9 ，10 】。混态被认为是系综的概念，不是单个微观粒子的概念。 每个混态密度矩阵代表的是一类纯态系综，这类系综在统计行为上完全相同， 用混态密度矩阵计算的结果通常具有统计平均的性质。 2 量子纠缠的定义 对于一个有限维数的m 方量子体系，记为a ，b ，c - m ，其量子态可以 用一个密度矩阵来描述 | | 口a 召射5 ，口n 脚n m n 赫一蜕) ( 吩l 圆l 蜢) ( 唣l f 唬) ( 蟛，l 川 ( 1 1 1 ) 其中i 虼) ( = o ，1 ，口一1 ) ，q = 4 ，j e 7 ，m 为口体系的一组正交归一化基 矢，从为q 体系的态空间维数，口n 胛b n m n o n _ 是保证表达式为密度矩阵的 的系数。可以对量子纠缠态定义【1 1 】：当m 体量子态的密度矩阵可以写成如下 形式时该量子态就是可分离态 ，肌肘= 鼽o 萨o ( 1 1 2 ) i 其中鼽= 1 ，群是q 体系的任意密度矩阵。反之，不能写成这种形式的密度矩 阵所表示的就是纠缠态。 1 2 两体与三体量子纠缠 1 两体纯态 从相干叠加与非相干混合的角度可以将量子态分为量子纯态与量子混态。 对于两体量子系统，在心 态空间中，可以具体地描述纯态与混态。 两体纯态可以普遍地表述为 i 砂) a b = n l ) a 圆l ) 口 ( 1 2 1 ) f 孔n 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 其中i ) a 圆i 以) 且为态空间中正交规一化基矢。可以证明，对两体任意纯态 可以进行s c h m i d t 分解【1 2 】( s c h m i d td e c o m p o s i t i o n ) ，具体的数学表述形式为 b = 瓶m 。 ( 1 2 2 ) i 这里1 1 ) a 与l 暮) 8 分别是巩和态空间中正交规一基，对于同一粒子有关系 式( 咖) = 如。采用s c h m i d t 分解表达式可以对密度矩阵中单体部分进行求迹运 算获得约化密度矩阵，有： p = 打( b ) ( i 矽) 4 日 8 ( 妒1 ) = 鼽l z ) j 4 ( i i 舶曲( a 删且( 矽i ) ：圭鼽m b ( i l ( 1 - 2 3 ) 在s c h m i d t 分解基础上可以为两粒子系统的任意纯态i 矽) a 口指定一 个s c h m i d t 数：s c h m i d t 数是s c h m j d t 分解中的项数。一般情况下进行s c h m i d t 分 解的正交规一化基是依赖于具体要分解的纯态j 矽) a 口。 2 两体混态 两体量子混态可以用密度矩阵表述如下： 肌口= q i 枷b ( 纠 ( 1 2 4 ) 其中有关系 q = 1 ，o a 3 a 4 0 i 对应的 算符为： 加b = ( 盯爹圆口尹) 以b ( 盯爹圆盯罗) ( 1 2 1 8 ) ( 3 ) 负性纠缠度( n e g a t i v i t y ) ：对于两量子比特体系，n e g a t i v i t y 3 1 ，3 2 ， 3 3 1 是比较容易计算的纠缠度量，在一些研究工作中也常应用到多体量子 系统【3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 】。给定密度矩阵p ，其n e g a t i v i t y 可以表示为： ( j d ) ：监砦 ( 1 2 1 9 ) 式中庐是对第i 方做部分转置，其实n e g a t i v i t y 就是密度矩阵部分转置后负的本 征值的绝对值之和。 5 常见两体纠缠态 通常研究的两量子体系其单体部分都是两能级的粒子，例如自旋、两能级 原子等。以自旋粒子为例，两个自旋为 ( 危= 1 ) 的粒子，s l = ；，s 2 = ；，其自 旋态用4 维的h i l b e r t 空间的一个矢量描述。( s l ：，s 2 ；) 构成一个对易可观测量完全 集。其共同本征态记为 it t ) ，i 儿) ，it 【) ，li t )( 1 2 2 0 ) 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文第1 l 页 他们都是两粒子自旋态的直积态，所张开的空间称为角动量非耦合表象。使用 该表象表述的两粒子量子态直观、方便。常用的两体两能级的量子纯态有四 个b e l l 态 落粥端；j 2 盔， 性) = 击( 1 0 1 ) + | 1 0 ) ) 卜“。叫 以及推广的与b e l l 态类似的态( 系数满足关系式q 2 + p 2 = 1 ) 麒2 熙：删， ( 1 2 2 2 ) l 士) = a 1 0 1 ) + p l l o ) 、“。7 另外比较受关注的是w e r n e r 态【3 8 】和推广的与之类似的态 加= 抄。扎莩壹吼 吼 ( 1 2 2 3 ) 其中盯( i = o ，1 ，2 ，3 ) 是单位矩阵与泡利矩阵，妒取不同值是不同的态。使用两体 两能级形成纠缠度作为纠缠度量，即c o n c u r r e n c ee ( 加) = m 口z ，o ) ，有如下 几种情况 ( 1 ) 一1 o ，c = o ，阢是可分态： ( 2 ) o 他，处在能够采取马尔科夫近似的区域咒是指数衰减形式。在强相互 作用区域时，即击 2 ，此时系统的演化时间小于环境的记忆时间b 他，处 于非马尔科夫区域，环境的记忆效应对约化密度矩阵的影响不可以忽略，是 受指数函数调制的周期震荡形式。 3 2 非马尔科夫环境中孓q u b i t 纠缠动力学 本节对b b e l l o m o 的工作1 8 ，1 9 1 进行推广，考察的封闭系统是由三个子系 统构成，三个子系统之间不存在相互作用。子系统由单个两能级量子比特与其 特定的局域环境组成，局域环境和单个比特之间有相互作用。通过使用算符求 和表象进行代数运算，计算出三量子比特约化密度矩阵时间演化表达式。分别 研究开放系统初态为g h z 态、w 态和w e r n e r 态情况下的纠缠动力学。考察了 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 3 页 初态混度、纠缠和环境的马尔科夫强度对纠缠动力学的影响。一方面，对比马 尔科夫与非马尔科夫环境对纠缠动力学作用的差别：另一方面，与两个比特情 况进行深入对比，发现其之间的差别与相同之处。 3 2 1 孓q u b i t 密度矩阵演化 考虑的系统是三个独立的子系统雪= a ，雪，d ，每个子系统由一个比 特s = a ，b ，c 和其对应的局域环境兄s 构成。对于初态做假设：每个比特与局 域环境在起始时刻不存在纠缠，即可以写成直积态的形式： p ( o ) = p s ( o ) op 只s ( o ) ( 3 2 1 ) 对环境的密度矩阵声毋( o ) 进行谱分解： 俨( o ) = 划妒口s ) ( 妒口s f ( 3 2 2 ) 口s 需要强调的是除了单个比特与其对应的局域环境之间有相互作用之外， 整个系统不存在其他任何相互作用。鉴于这样一个假设可以将整个封闭系 统r = a + 亩+ 0 的时间演化算符旷( t ) 写成如下形式： u ? ( t ) = a ( ) pu b ( t ) ou c ( t ) ( 3 2 3 ) 在这里的研究目标是考察三量子比特的纠缠动力学，关键之处在于求出三量子 比特密度矩阵的时间演化。观察整个封闭系统时间演化算符能够写成直积的形 式，可以先求解单个量子比特约化密度矩阵p 文) 的时间演化。单个量子比特的 约化密度矩阵可以按下式求解： 矿( 芒) = ，n r s 沪( t ) p s ( o ) o 卢船( o ) 扩雪( 吡 ( 3 2 4 ) 式中求迹是针对相关的局域环境自由度。在算符求和表象用k r a u s 算 符磁眙( 亡) 对上式进行改写： 矿( t ) = 磁口s ( t ) 矿( o ) 磷始( t ) ( 3 2 5 ) a s 8 s 式中k r a u s 算符可以表示为： 磁风( t ) = 忑( 妒风i 痧s ( 芒) l 妒风) ( 3 2 6 ) 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第3 4 页中国科学技术大学硕士学位论文 从单个量子比特约化密度矩阵时间演化的表达式出发，可以写出对应的三 个量子比特约化密度矩阵时间演化表达式： 巩幻2 磊毒磊擘“幻譬水) 磋矿( o ) ( 3 2 7 ) 口1 p l 口2 p 2 口3 工，3i j z ，j 磁。( t ) 如( 亡) 喙( t ) 一 对于每个量子比特，存在完备的基矢化s ) ) ，例如对于两能级量子比特，对应 的完备基矢是 i o s ) ，1 1 s ) 】。这些完备的基矢满足归一化条件如= b ) ( t s i 。 t 把单位算符如插入式3 2 5 中k r a u s 算符与密度矩阵之间，单个量子比特约化密 度矩阵元( b 旧s ( t ) 恪) = p 0 咯有如下的形式： 设： 蘸吩= ( 1 s l 磕风( t ) 俐i s 愀o ) 俐t 纠磷风( 懈) ( 3 2 8 ) t s t f s a s p s q 畿( t ) = ( b l 醚风( 啉) ( i 纠磷风( 懈) ( 3 2 9 ) a s b s 单个量子比特的矩阵元缱f 刍可以表示为 噍f 刍( t ) = q 豫t ) 磋；( o ) ( 3 2 1 0 ) t s i 刍 根据上式结论，式3 2 7 所表示的三量子比特密度矩阵的对应矩阵 元所。j i l 。b 岛( t ) = ( 1 1i ( z 2 l ( f 3 i 矿( ) i f i ) i ) 隧) 可以表示为： 所遁u ：媚( t ) 2 磊磊磊q 麓( t ) q 兹( t ) q 麓( t )( 3 2 1 1 )1 1 j 2 0 i 3 吃l o 厶王上， 风1 抽l 拍i ；( o ) 以三量子比特的直积态构造基底，并记：1 1 ) = 1 1 1 1 ) ，1 2 ) = 1 1 1 0 ) ，1 3 ) = 1 1 0 1 ) ，1 4 ) = 1 1 0 0 ) ，1 5 ) = 1 0 1 1 ) ，1 6 ) = 1 0 1 0 ) ，1 7 ) = 1 0 0 1 ) ，1 8 ) = 1 0 0 0 ) 。可以得到三 量子比特约化密度矩阵时间演化在该基底下矩阵元的数学表达式。非对角元的 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 5 页 表达式： 一 p 1 2 ( t ) = x ，x 尸z f p l 2 ( o ) p 1 3 ( t ) = x ，z 尸x f p l 3 ( o ) p 1 4 ( t ) = x ，z 尸z f p l 4 ( o ) j d l 5 ( ) = 矽捌b 砰j 口1 5 ( o ) j d l 6 ( t ) = 刁) 甲砰p 1 6 ( o ) j d l 7 ( t ) = 刁翠砰p 7 ( o ) p 1 8 ( t ) = 影砰巧p 1 8 ( o ) p 2 3 ( t ) = 矸矽巧舰3 ( o ) 助4 ( 舌) = 科秽( 1 一砰) 州o ) + 研秽p 2 4 ( o ) p 2 5 ( t ) = 影x 尸召g 纯5 ( o ) j d 2 6 ( ) = 掣x 尸( 1 一砰) p 1 5 ( o ) + 刁砰筋( o ) p 2 7 ( ) = 彳才召c 见7 ( o ) p 2 8 ( ) = 刃秽( 1 一砰) p 1 7 ( o ) + 刁翠晚8 ( o ) 船4 ( ) = x 阳一群) 军州o ) + 矸巧p 3 4 ( o ) j d 3 5 ( t ) = 刁召b x f 朋5 ( o ) p 3 6 ( 亡) = 掣刃b 第内6 ( o ) ( 3 2 1 2 ) 舶7 ( t ) = 矽( 1 一群) 砰硝o ) + 刁砰酬o ) 触( t ) = 翟( 1 一x 尸) 巧p 1 6 ( o ) + 彰孑p 3 8 ( o ) p 4 5 ( t ) = 刀笤b 召c m 5 ( o ) m 6 ( 舌) = 霉况口( 1 一x 尸) p 3 5 ( o ) + 矽刃b m 6 ( o ) m 7 ( ) = 刁( 1 一砰) 露c 成5 ( o ) + 霉召c i d 4 7 ( o ) p 4 8 ( 亡) = z ，( 1 一叉夕) ( 1 一叉f ) p 1 5 ( o ) + 矽( 1 一j ) 纯6 ( o ) + 矽( 1 一x f ) 内7 ( o ) + 掣m 8 ( o ) p 5 6 ( t ) = ( 1 一) 印) x 尸巧j d 。2 ( o ) + 7 妒砰p 5 6 ( o ) 船7 ( t ) = ( 1 一义p ) 翠x f | d 1 3 ( o ) 十群叉f p 5 7 ( o ) p 5 8 ( ) = x ，翟巧p 1 4 ( o ) p 6 7 ( ) = x ，硭冒c d 2 3 ( o ) 邝8 ( ) = ( 1 一叉) 窄( 1 一x 尸) p 1 3 ( o ) 十( 1 一x ，) 群 p 2 4 ( o ) + 群( 1 一x f ) 船7 ( o ) + 矽册8 ( o ) 舳( t ) = ( 1 一叉) ( 1 一叉夕) 琴p 1 2 ( o ) + ( 1 一x 广) 巧 p 3 4 ( o ) + ( 1 一) 华) z f p 5 6 ( o ) 十z f 刃8 ( o ) 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第3 6 页 中国科学技术大学硕士学位论文 对角元的表达式： j | d l l 砌2 舶3 p “ 风5 ( t ) 阳( t ) 肋( t ) 腑( t ) x ，x 尸x 尸p 1 1 ( o ) x 尹x 尸( 1 一x f ) p 1 1 ( o ) + x 产x 尸p 2 2 ( o ) x 尹( 1 一x 尸) x f p l l ( o ) + x 产x f i d 3 3 ( o ) x 尹( 1 一) ( 夕) ( 1 一x f ) p 1 1 ( o ) + 砰( 1 一叉尸) p 2 2 ( o ) + 义( 1 一x 尸) p 3 3 ( o ) + 矸以4 ( o ) ( 1 一霹) 群砰州o ) + 群砰p 5 5 ( o ) 茏蔷黝篙答2 ) 0 菇嚣铲 c 3 2 1 3 ， 化2 ( o ) + x 尸( 1 一砰) j d 5 5 ( o ) + 砰肌6 ( o ) p “ ( 1 一研) ( 1 一群) 砰州o ) + ( 1 一矸) 砰 朋3 ( o ) + ( 1 一群) 砰船5 ( o ) + 砰州o ) ( 1 一w ) ( 1 一群) ( 1 一砰) 州o ) + ( 1 一矸) ( 1 一义夕) j d 2 2 ( o ) + ( 1 一x ) ( 1 一x 尸) 船3 ( o ) + ( 1 一x ，) j d 4 4 ( o ) + ( 1 一x 尸) ( 1 一叉f ) j d 5 5 ( o ) + ( 1 一蹿) 舶6 ( o ) + ( 1 一x f ) p 7 7 ( o ) + 脚( o ) ， 3 2 2 非马尔科夫环境中纠缠动力学 在考察具体的纠缠动力学之前，介绍一下采用的纠缠度量方式。三体量子 纠缠度量比较熟知的有3 t 趿g l e 【2 l 】，然而这种纠缠度量仅仅适用于三量子比特 纯态。本文考虑的初态是以混度r 做为一个参数，不仅要考虑初态是纯态的情 况也要考虑初态是混态的情况。另外，即使考虑的初态是纯态，在环境影响 下也会演化为混态。所以采用孓t a n 9 1 e 为纠缠度量是不合适的。在多于两量子 比特的体系中纠缠度量解析形式仍然是个有待进一步研究解决的问题。所以 本文将三个量子比特划分为两方，仅考虑三量子体系中的两方纠缠。负性纠 缠( n e g a t i v i t y ) 有易于计算的特点，在纠缠度量方面被广泛采用。在度量多量 子体系或者高维量子体系中两方纠缠也被一些研究者【2 2 ，2 3 】所采用。本文也采 用负性纠缠作为纠缠度量。对于三量子比特体系，可以将三个量子比特按三种 方式划分为两方，具体可以写为a b c 。b c aa c b 。上述三种划分方式 对应的两方纠缠可以用三个负性纠缠心且一c ，c 一 ，m c b 来度量。对于密 度矩阵为砌b g 的量子态，其对应的负性纠缠心b c 可以表示为： 帆b g ( 纵口c ) ：监掣， ( 3 2 1 4 ) 二 式中仡c 是将密度矩阵肌b g 中c 部分进行部分转置，例如矩阵元胁l i 2 饥l 纷3 对 第三个量子比特c 进行部分转置后为维c 的矩阵元胁，训3 t t ；f ：护f | 晚c i l 是矩 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文 第3 7 页 阵的范数，经过直接计算知道，负性纠缠心b g ( 肌b c ) 等于部分转置矩 阵p 怒c 负的本征值绝对值之和。 考虑初态为一些特殊态的三量子比特纠缠动力学，两个由类似于g h z 态 和w 态构造的量子态，具体形式为： 茄嚣铆l ：甏” ( 3 2 ) 矿= i 妒) ( 矽l + 孚厶” r 一7 式中参数r 表征初态的混度，i 矽) l 隧= 1 0 0 0 ) + 风1 1 1 1 ) ，i 矽) = 郇1 0 0 1 ) + 风1 0 1 0 ) + 1 1 0 0 ) 分别由g h z 态和w 态推广的量子纯态。设所考虑的两个 量子初态参数取形式q 咖( 妒) = o 妒( 妒) ，岛( 妒) = 1 ( 1 ；f ，) 妒b ，( 妒) = i c ( 1 ；f ) i e 酊，并 且口( 妒) 、( 妒) 、( 妒) 是实数。已经知道g h z 态和w 态的纠缠模式不同，不能通 过经典通信和局域变换将两类量子态进行相互转换。做这样的选择也是希望考 察初态不同的纠缠模式是否会引起纠缠动力学的变化。 知道了三量子比特约化密度矩阵的时间演化表达式、三量子比特中两方纠 缠度量、三量子比特的初态，可以将两方纠缠写为参数( 7 ，付，o 咖( 妒) ，杂) 的函数 表达式。每一个参数对量子纠缠的影响可以通过固定其他参数，将要研究的参 数取特定值后绘出纠缠变化图。两个参数的协同作用可以对纠缠进行三维绘 图。接下部分将按照这样的思路具体研究不同参数对量子纠缠演化的影响。 1 环境的非马尔科夫强度对纠缠动力学影响 在这部分主要探索环境的非马尔科夫强度对纠缠的影响，并比较马尔 科夫环境中与非马尔科夫环境中纠缠演化的不同之处。对初态的参数进如 下假设：r = 1 ，q ；= 吾，霹= 罟，口；= 吾，廊= ；，= 吾。在上述参数假设之 下，图3 1 中绘出初态西的负性纠缠心8 一c 随时间变化的曲线，四条曲线分别 对应于四个参数值未= 2 5 ，o 0 9 ，o 0 5 ，o 0 1 。图3 2 中对应地绘出初态矽的负性纠 缠m b c 随时间变化的曲线，四条曲线对应参数值同图3 1 中情况。由前文介 绍可以判断安= 2 5 时，处于马尔科夫区域；取其他三个值时，处于非马尔科 夫区域。 对比图3 1 与图3 2 ，可以发现两个共同特点： ( 1 ) 非马尔科夫区域纠缠演化与马尔科夫区域纠缠演化有质的不同。在马尔 科夫区域纠缠呈指数衰减，很短时间内衰减到0 ，最终完全消失；在非马尔科 夫区域纠缠演化的方式有很大的变化，纠缠也随时间衰减到0 ，但是在随后的 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第4 0 页 中国科学技术大学硕士学位论文 1 0 0 图3 4 ：负性纠缠a b c 随参数7 0 t 和咤的变化。初态为娜1 0 0 1 ) + 励1 0 1 0 ) + 1 1 0 0 ) ， 环境参数杂= o 0 1 两量子比特纠缠动力学情况。他们得到的结果在文献f 1 8 1 的图1 和图2 中。将三 量子比特体系中初态纠缠对纠缠动力学的影响与两量子比特体系中相关工作进 行比较，发现初态纠缠对纠缠动力学演化的影响类似。然而初态纠缠对三量子 体系与两量子体系量子纠缠演化的影响是否有区别需要作更进一步的比较。 图3 5 中三量子体系负性纠缠心口一c ( 。g 日z c f o s s ) 随加t 的变化( 上半平 面) 和两量子体系( 初态0 1 0 0 ) + 夕1 1 1 ) ) 纠缠 ( 下半平面) 随7 0 t 的变化，相关参 数7 = 1 ，未= o 0 1 ，不同的曲线对应于不同的初态纠缠。首先说明一下，这里 将两量子比特的( 初态a i o o ) + p 1 1 1 ) ) 纠缠乘上一个常数因子 是为方便与三量子 比特的纠缠进行比较，这个操作不会改变两量子比特体系纠缠演化的性质。仔 细观察图3 5 ，可以发现两个主要特点： ( 1 ) 纠缠死亡和纠缠恢复的时间点不同。对于相同的初态参数即q 2 = 口：， 初态为口1 0 0 ) + 1 1 1 ) 时纠缠死亡发生的时间比初态为类g h z 态纠缠死亡发生的 时间要早。同时初态为q 1 0 0 ) + p 1 1 1 ) 时纠缠恢复发生的时间比初态为类g h z 态 纠缠恢复发生的时间要晚。结合纠缠死亡与纠缠恢复发生的两个时间点知道， 两量子比特体系中初态为q 1 0 0 ) + p 1 1 1 ) 的纠缠死亡时间段要比三量子比特初态 为类g h z 态纠缠死亡时间段长，这个现象有利于对三量子比特体系纠缠利用。 ( 2 ) 初态为类g h z 态时三量子比特产生纠缠恢复o ：取值范围比初态 为q 1 0 0 ) + p 1 1 1 ) 时两量子比特产生纠缠恢复q 2 取值范围更广阔。在图3 5 可 以看到，初始态为类g h z 态当o ：= 击时仍然有纠缠恢复的现象发生。对于初 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学硕士学位论文第4 1 页 ；心。一么级： 够一 图3 5 ：三量子体系负性纠缠心日一c ( 。g 日z c f 口s s ) 随加t 的变化( 上半平面) 和两量子 体系( 初态为q l o o ) + p 1 1 1 ) ) 纠缠；( 下半平面) 随7 0 t 的变化。曲线对应的参数口2 = 口；= 吾( s o l i dl i n e ) ，q 2 = 口；= 吾( d 嬲h e dl i n e ) ，q 2 = o ；= ( d o t d a s h e dl i n e ) ，q 2 = o ；= ； ( d o t t e dl i n e ) ，q 2 = 口；= 去( 1 射g ed 硇h e dl i n e ) ，相关参数7 = 1 ，杂= o 0 1 沁。么萼支 二、兰量罗 图3 6 ：三量子体系负性纠缠a b c ( 。彬一c f 口s s ) ( i nu p p e rh a l fp l a n e ) 和两量子 体系( 初态q 1 0 1 ) + p 1 1 0 ) ) 纠缠 ( i na n o t h e rh 础p l a n e ) 随加的演化参数与曲线的对 应d 2 = n ；= 吾( s o l i d1 i n e ) ，q 2 = n ；= j ( d a s h e dl i n e ) ，q 2 = o 荔= ；( d o t - d a u s h e d l i n e ) ，q 2 = n 荔= 专( d o t t e dl i n e ) ，q 2 = o ；= 去( 1 a r g ed 嬲h e dl i n e ) 。相关参数r = 1 ，杂= o 0 1 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第4 2 页 中国科学技术大学硕士学位论文 态为类b e l l 态q l o o ) + p f l l ) 时，q 2 = 去已经看不见纠缠恢复的现象。在这里， 非马尔科夫环境的记忆效应对三量子比特系统的影响比对两量子比特系统的影 响更加明显，纠缠恢复的范围更加广阔、时间更加持久，有利于对量子纠缠的 利用。 图3 6 是三量子比特负性纠缠心b c ( 。一以n s s ) 随加t 的变