（应用数学专业论文）多因素资产组合模型及其进化规划算法研究.pdf

摘要 瓷产缀合海嚣鼹数瑗念融学骚究蕊重磐澡莲之一，宅主臻羲秀究盔每静不确定 固索的影响下，如何寻求收益最大鼠风险最小的投资组台。雾因豢模型是实际投 资缀合中较复杂静释模黧，它蔡肖均篷一方差模黧的基本特性，且共有较强的 解释性，从丽成为投资实践中的主要模型之一。 本文茵先介绍了经典的均值一万差模型，讨论了单因素资产组合模型解的存 在瞧及解的表达式；遴一步讨途了多透素资产缝合模型酶有关牲璜。在资产缓台 中引入无风险资产，提出了持有无风险资产的多因索资产组合模型，在允许澳空 稳不完谗卖空两彝潦凝下，分臻磅凳了渡模裂鼹懿夺在整窝难一瞧，绘毫了瓣夔 表达式，并分析了b e t a 向燃的选撵对收益率和风险值的影响，通过数值计算表 臻了模型黪煮藏霞。本文采翅一静鞭辇算法逮豫簌魏算法，研究了资产缀合 模型的求觯阀题，设计了均俊一方整模型殿多因素瓷产组金模型的进化翘划算 法，并进行了数值计箨，计嚣结栗裁掰，该髯法不仅突破了潞方差阵正定韵黼制， 悉拦具有计簿速壤帙、收敛性好及跨冀精度较裹鳃特点。飕辨，本文踺趁蹙一方 差模型进行了改进，得出了投资者为风险偏好或风除厌恶时的资产缀合模型，设 计了褪应酸遥纯麓熟葵洼，泠出了葵傻，莠魄较了各模型煞蒺暴，分褥了改避模 型的意义。黻后，简蒙介绍了其它风险度量方法，摅出了在不同风阪度量方法下 资产缝台鸯待遘一步磅究熬阏蘧。 关键溺资产糕合 褰秘定徐疆论( a p d鸷值一方麓模型二次蕊翔 非正定性进化规划爨法 a b s t r a c 蕈 t h ep o r t f o l i o st h e o r y i so n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hc o n t e n t si nt h ef i e l do f m a t h e m a t i c a lf i n a n c e i ta i m st oa t t a i nt h e o p t i m a lp o r t f o l i o sb ym a x i m i z i n g i n v e s t m e n t sr e t u r no rm i n i m i z i n gi n v e s t m e n t sr i s ku n d e rt h ec o n d i t i o no fu n c e r t a i n f a c t o r sa f f e c t t h em u l t i f a c t o r p r i c i n gm o d e l i sam o r e c o m p l e xm o d e l ，w h i c hh a s t h e c h a r a c t e ro f m a r k o w i t z sm o d e la n dc a l le x p l a i ni n v e s t a e t i v i t ym o r e c l e a r l y ( 1 ) w ei n t r o d u c em a r k o w i t z sm o d e l ，d i s c u s st h er e s u l to fs i n 瘿ef a c t o rm o d e l ， a n dm a k ead i s c o u r s eo fm u l t i f a c t o rp o r t f o l i om o d e l ( 2 ) b a s e do n t h ef o r m e rr e s e a r c hw o r k ，w em a k ea n i m p r o v e m e n t o f t h e p o r t f o l i o t h e o r y u n d e rt h ec o n d i t i o no fh o l d i n gr i s k f r e es e c u r i t y ，w es i m p l i f ym a r k o w i t z s m o d e lf o rp o r t f o l i oi n v e s t m e n ta n de s t a b l i s ht h e o p t i m a lm o d e l u n d e rt h ec o n d i t i o no f s h o r ts a l ea l l o w e da n dn os h o r ts a l e w es t u d yt h ee x i s t e n c eo f t h em o d e l sr e s u l ta n d t h ee x c l u s i v eo ft h a t , w o r ko u tt h ee x p r e s s i o no ft h em o d e l s r e s u l t ，a n a l y z et h e c h a r a c t e ro f v e c t o r 罗，f o re x a m p l e ，h o wi te f f e c t st h er a t eo fr e t u r no rt h er i s ko f p o r t f o l i o a tl a s t ，w es t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e s u l t so ft h et w om o d e l s u n d e rt h ec o n d i t i o no f s h o r ts a l ea l l o w e do ru n a l l o w e d ( 3 ) w es o l v et h em o d e lo f p o r t f o l i ob yu s i n ge v o l u t i o n a r yp r o g r a m m i n gu n d e r t h ec o n d i t i o no ft h ec o v a r i a n c em a t r i xw h i c hi san o n - p o s i t i v e m a t r i x ，d e s i g nt h e m e t h o d sw h i c hc a ns o l v em a r k o w i t z 。m o d e la n dm u l t i f a c t o rp o r t f o l i om o d e l 。a n d w e i m p r o v e o nm a r k o w i t z sm o d e l e s t a b l i s ht h eo p t i m a lm o d e lu n d e rt h ec o n d i t i o n s 攮a 圭t h ei n v e s t o ri sr i s k - a v o i do rr i s k ，l i k e 。 ( 4 ) f i n a l l y , w ei n t r o d u c eo t h e rr i s kc o n c e p t s ，p r o p o s es o m en e w q u e s t i o n sw h i c h n e e df u r t h e rr e s e a r c hu n d e r d i f f e r e n tm e a s u r eo f r i s k + k e y w o r d s ：p o r t f o l i o a s s e t p r i c i n gt h e o r y ( a p t ) n o n 1 i n e a rp r o g r a m m i n g 嚣- vm o d e l n o n - p o s i t i v em a t r i x e v o l u t i o n a r yp r o g r a n a m i n g 两北t 业人学顺l 学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 资产组合理论的研究背景 最初的会融资产投资理论具有显著的经验性。人们对于如何投资、怎样选 择证券以及如何减少或避免风险损失的理论主要通过格言的方式表现出来。例 如：“不要把所有鸡蛋放在同一个篮子中”、“分散你的风险”等等。以后，在此 基础上发展起来的金融资产投资理论，包括“公式投资计划”、“常数投资计划”、 “资金成本投资数”等，也基本上以历史经验为基石，要求投资者按照某种固定 或机械的方式来进行投资活动。这些理论实际上是指导人们进行投资活动的具体 方法。其中最为权威的是格雷厄姆( b g r a h a m ) 、达德( d d o d d ) 和科托尔( s ，c o t t 】e ) 三人合著的证券分析一书。 早期的金融投资理论从宏观经济与行业周期，以及从公司内部来分析证券及 其价格，但是这些基础性分析在实践中往往会受到许多干扰以至于影响了其分析 结果的准确性。- 一般的投资者很难对这些使人眼花缭乱的数据做出明确和i f 确的 判断。新的金融资产投资理论的产生势在必行。 现代组合理论最早是由美国著名经济学家哈里- 马科维茨( h m a r k o w i t z ) 于 1 9 5 2 年系统提出的。在1 9 5 2 年3 月金融杂志发表的题为证券组合的选择 的论文中，他提出了确定最小方差资产组合集合的思想和方法，第一次从风险资 产的收益率与风险之问的关系出发，讨论了不确定经济系统中最优资产组合的选 择问题获得了著名的基金分离定理，为资产定价理论奠定了坚实的基础，开了 对投资进行整体管理的先河，奠定了投资理论发展的基石。应该说，m a r k o w i t z 的资产组合均值方差理论既是现代资产组合理论的奠基石，也是整个现代金融理 论的奠基石。m a r k o w i t z 将他的这一理论收集在1 9 5 9 年出版的资产组合选择： 投资的有效分散化书中。 马科维茨的证券组台理论回答了，在给定风险水平的基础上，如何使证券的 可能预期收益率最大，或为获得既定的预期收益率，如何使承担的风险极小。 马科维茨在创立组合理论的同时，也用数量化方法提出了确定最佳资产组合 的基本模型。在以后的岁月中，经济学家们一直都在利用数量化方法不断丰富和 两托l 监天学颧 ：学位论文 舔章鳍论 完善终合管理瓣理途雾实鞲投资管理方法，著经之残蕊投资学中豹主浚理论。 马科维茨的模型对资产之问的相互关系没做任何假设，其风险计算结果是十 分精确兹。煎楚，这一方法涉及计算繇有资产豹傍方差矩阵，露对上百释胃选耩 资产，骐计算璧是相当可观的，在当时的技术条件下难咀应用，也不利于组合铐 理者对市场整体进行分析和研究。 在m a r k o w i t z 的工作之后，另外两位美国缀济学家、金融学家、诺贝尔奖获 得者威廉夏酱( s h a r p e ，w ihi a n ) 和约翰林特纳( l i n t n e r ，j o h n ) ，分别在1 9 6 4 年的文章资本资产定价：风黢条件下鲢市场均衡理论和1 9 6 5 年熬文蠢) 睫i 险资产的价值，股票资产组合的风险投资选择，资本预算中，在比较强的市场 强设下，绘出了m a r k o w i t z 兹壤方差摸翟熬驽鬟舨奉，帮姿率姿产模型( c a p i t a l a s s e tp r i c i n gm o d e l 简称c a p m ) 这一模型阐述了在投资者都采用马科维茨的 遴论逶行授资警瑾静条件下，常甥徐格筠衡菰森静彭或，把资产j 黉麓救箍率与颈 期风险之间的关系用一个简单而又合乎逻辑的线性方程式表示出来“3 。 尽管e a 喇国于其假设条件的超现实性雨一直难懿得到验诞，但对獒讨论却 长盛不衰。7 0 年代，当罗尔( r o l l ) 对其有效性提出质疑后，这釉讨论发展到了 个新的阶段。一方面，其他定价模型开始出现，其中以套利定价理论a p t 最为 箸名；另方露，人们邋过敖宽传统c a 蹦戆假设燕转露发震了多耪改遴的c a p m ， 使其更接近现实情况。 在数理金融理论中，确定素蓉浚盏分毒稷设为基熟瓣鼹陵瓷产在当蘸熬舍瑗 价格是通过所谓的“内在源”确定的，也就是融，某种资产的价格由资产市场中 璐有的掰有资产所共同确定；甜攫据一般套秘迩徐瑾论( g a p t ) ，英合璞价格怒 通过所谓“外在源”确定的，即资产市场中某种资产的价格可以用市场以外的其 他两素所确定。藏是基于这种愚想，被誉为“美国章审童”的r o s s 在1 9 7 6 年j o u r n a l o fe c o n o m i ct h e o r y ) 上发表的 a r b i t r a g e t h e o r yo fc a p i t a la s s e tp r i c i n g 中指出：任何资产的价格可以表示为一赡“共同因素”的线性缀合，这烘“共同 鞭褰”可数摇避蹙膨鬃搴，天口蹬生搴，工选增长豢数，涯券市场综合摇鼗，秘 汇汇率等各种因索，然后利用套利定价方法给出了资产收益率的一般表达式。 2 两北t 业大学倾l 学位论文 第一章绪论 1 2 资产组合理论在我国的研究现状 自从1 9 5 2 年1 5 j a r k o w i t z 提出经典的资产组合均值一方差模型之后，许多 学者就致力于资产组合的研究，对资产组合模型进行了改进和完善。近年来，资 产组合理论也引起了我国有关专家、学者的关注，进行了大量相关研究，取得了 较多的成果。 在资产组合理论方面，通过放宽均值一方差模型的假设条件，对其模型进行 了拓广”1 。在资产组合模型中，最优投资比例系数可能存在负数，而负值意味着 卖空相应的资产，但我国证券市场不允许存在卖空操作，所以许多学者提出不允 许卖空情况下的资产组合模型”l ，并给出了模型的求解方法。此外，为了避免 e v 方法度量风险的不足，一些学者提出了新的风险测度下的资产组合模型“o “， 尤其是把v a r 或c v a r 风险度量方法引入到最优资产组合模型中，提出了v a r 或 c v a r 风险下的资产组合模型“i “1 ，并用优化算法进行求解。考虑到诸多因素影响 了资产的预期收益率与风险损失率度量的精确度，一些研究者采用模糊数来描述 资产的预期收益率与风险损失率，提出了基于模糊数的资产组合模型“7 ，讨论 了模型的求解方法与模糊最优解的性质。根据均值一方差模型和c a p m 模型的特 点，一些学者提出了各种情况下的卢值资产组合模型。”，即利用m p m 和c a p m 理论，提出了值约束条件下的证券组合优化模型。进而利用多因素模型来改进 经典的资产组合模型，给出了多因素资产组合模型0 7 。“。 在卢值资产组合模型的研究中，文 2 4 针对m a r k o w i t z 模型及c a p m 中假设 条件的局限性，提出了一种改进风险约柬的资产组合模型。文 2 3 、 2 5 以口值 证券组合模型为基础，在限制卖空条件下提出了相应的值资产组合模型，并从 允许卖空和不允许卖空两个方面分别研究了持有无风险资产对口值资产组合模 型的影晌。 在实证分析方面，声值是c a p m 中的重要参数，它是衡量投资对象系统风险 的重要指标，所以大多数实证研究都是探讨夕值的解释力或稳定性。”。其中， 文 3 0 运用上海股票市场的数据，对资本资产定价模型进行分析，实证检验了口 值的解释力，指出上海的股票市场符合b l a c k ( 1 9 7 5 ) 提出的c a p m 的零模式。文 3 1 利用邹至庄间断点检验和邹至庄预测失败检验分析了芦值的稳定性。文 3 2 3 阿北t 业人学顺士学位论文 第一章绪论 以不同的指数为计算基准，对各个成分股的p 值和指数组合的值进行相关考 察，对目前上证3 0 指数代理市场的情况进行了检验。 m a r k o w i t z 资产投资组合模型诞生以来，虽然不断得到改进，但是数据处理 量太大、求解复杂的缺陷仍然存在，使其实际应用受到限制，因此，模型求解的 方法一直成为人们关注的课题，文 3 3 3 7 提出了求解资产组合模型的新方法。 其中，文 3 3 和文 3 4 运用数学规划中的k t 条件和l e m k e 转轴算法，将二次规 划问题转化成线性规划问题进行求解。由于m a r k o w i t z 模型涉及协方差矩阵，当 资产数目较大时，采用二次规划方法求解时计算比较复杂，特别当协方差阵非正 定时，利用传统方法求解难以实现。因此，文 3 5 3 7 基于遗传算法或神经网络 算法，研究了有关模型的求解问题，设计了可行的求解方法，这些求解方法对模 型中的目标函数无任何限制，不需要相关系数阵的正定性假设，计算速度较快且 具有全局收敛性，为资产数日大及协方差矩阵不可逆时资产组合的求解问题提供 了有效的方法。 目前对资产组合的研究，大致分为三个方面：一是资产组合模型的改进，其 主要目的是使模型更符合证券市场的实际情况或者便于计算。二是资产组合模型 的实证分析，主要验证资产组合的各类模型在我国证券市场的有效性。三是模型 求解方法的研究，主要是在传统的求解模型方法的基础上，采用一些新兴的智能 优化算法如遗传算法、神经网络算法等进行求解。 1 3 本文的主要工作及结构安排 本文主要研究数理金融学中的一个重要课题资产组合问题。主要的研究 内容是依据多因素模型和m a r k o w i t z 资产组合模型，提出了允许持有无风险资产 的多因素资产组合模型，研究了模型的解及其性质，采绡进化规划算法对模型进 行了求解。本文的具体工作如下： ( 1 ) 利用多因素模型，对m a r k o w i t z 的经典资产组合模型进行改进，提出了 多因素资产组合投资决策模型。 ( 2 ) 对多因素资产组合投资决策模型进行推广，提出了持有无风险资产的多 因素资产组合模型。分别在允许卖空和不允许卖空两神情况下，研究了 西北1 业人学硕i j 学位论义 第一章绪论 改进模型解的存在性及其性质。讨论了允许卖空和不允许卖空两种模型 解之间的关系；阐述了多因素资产组合模型的意义。 ( 3 ) 通过数值仿真计算，比较了持有无风险资产与不含无风险资产时多因素 资产组合模型的结果，阐明了模型在实际应用中的意义。 ( 4 ) 利用改进的进化规划算法研究了m a r k o w i t z 资产组合模型的求解问题， 突破了经典资产组合模型的传统求解方法中，要求收益率协方差矩阵j f i 定的限制。设计了经典资产组合模型和多因素资产组合模型的进化规划 算法。 ( 5 ) 对固定收益率下的l a r k o w i t z 资产组合模型加以改进，提出了最大收益 率下的最小风险资产组合模型，利用优化理论，研究了该模型解的存在 性问题，并基于进化规划算法设计了模型的求解方法。 ( 6 ) 对醋a r k o w i t 2 的资产组合模型和改进模型分别进行了数值仿真计算，比 较了传统模型与改进模型的解，并讨论了改进模型的意义。对多因素资 产组合模型迸行了数值计算，说明了进化规划算法的优越性。 ( 7 ) 简述了资产风险的其它度量方法，为深入研究资产组合问题，提出了进 一步研究的思路。 全文共分五章，结构安排如下： 第章绪论。概述了现代资产组合理论的背景及意义；简述了资产组合理 论的研究现状；橛述了本文的主要研究工作。 第二章单因素资产组合模型。介绍了均值一方差模型和资本资产定价( 单 因素) 模型，依据两模型研究了单因素资产组合问题。 第三章多因素资产组合模型及其改进。介绍了r o s s 套利定价理论，研究 了多因素资产组合问题，在资产组合中引入无风险资产，提出了持有无风险资产 的多因素资产组合模型，并对该模型进行了数值计算。 第四章基于进化规划算法求解资产组合问题。介绍了进化规划算法，并应 用这种算法求解m a r k a w i t z 资产组合模型以及多因素资产组台模型，设计了求解 均值一方差改进模型的进化规划算法，并对其进行了数值仿真计算。 第五章风险的其它度量方法。介绍了现代资产组合中几种风险度量方法 特别是会融风险的v a r 度量方法和c v a r 度量方法，并且指出了进一步研究资产 组合问题的思路。 两北t ：业大学烦 一学位论文 第二章学闻素资产组台模型 第二章单因素资产组合模型 2 1 均值一方差资产组合模型 2 1 1 基本概念 m a r k o w i t z 资产组合理论标志现代资产组合理论的开端，是现代金融理论的 奠基石。该理论的核心内容是用期望表示收益的好坏，用方差度量风险的大小， 讨论投资者在投资收益和风险中如何寻求平衡。 定义2 1 1如果一个资产组合对确定的方差水平具有最大期望收益率，或 者对确定的期望收益率水平，有最小的方差，那么这样的资产组合称为“均值一 方差”有效的资产组合。 定义2 1 2 如果一卜资产组合对确定的期望收益率水平有最小的方差，那 么称该资产组合为最小方差资产组合。 2 1 2 模型的提出及求解 假设市场上仅有i f 种风险资产( 即无风险资产不存在) ，它的收益率向量记 为：，= ( _ ，r z ，o ) 7 ，均值向量为e ( r ) = ( e ( ) ，e ( r z ) ，五( _ ) ) 1 ，协方差矩阵记 为矿= ( ) ，其中气= c o v ( r , ，r ，) 为资产i ，之间的侨方差，并且假定协方差 矩阵为非退化阵。投资比例向量记为= ( _ ，t ，x 。) 7 。 投资者选择资产组合的规律是：( i ) 对一定的期望收益率，选择资产组合 使其总风险最小；( i i ) 指定风险值，选择资产组合使其收益最大。容易证明这两 种情况实际j 二是等价的，因此我们只讨论情况( i ) ，( i ) 可写成以下规划问题： r a i n a ：= x 7 v x 模型( a ) j f e 和p ) = e 臼) lx = h q k = 1 山l a r g a n g e 乘子法解得此模型的最优解z 。为： = v “限p 。+ 2 毋功 r 2 1 1 a ) ( 2 1 1 6 ) r 2 1 1 c ) ( 2 1 2 ) 两北r 业人学顾七学位论义 第_ 二章单因素资产组台模型 相应最小风险值为 盯：= ( 掣2 2 b u + c ) a ( 2 1 3 ) 其中n 2e 慨刚，c = e 闭ve 圆，a = a c - b 2 ， = 半， ， 一, u a b ，= 。 ” 4 在方差一均值坐标系下，它是抛物线方程；在均方差一均值坐标系下，它是 双曲线方程。分别如图2 1 1 和图2 1 2 所示： 是 图2 1 1 图2 1 2 2 1 3 解的性质 为了求全局最小方差资产组合，令 d o 2 ：2 a l a - 2 b ：0 d u ( 2 1 ，4 ) 解得相应的收益率为卢= b a ，风险值为盯2 = 1 口。全局最小方差资产组合 以= 早= 晶 ( 2 1 5 ) 假设b 0 ，我们定义 局；v - i e ( x ) 6 = v - i e f x ) e ：v 一1 e ( 2 1 6 ) 称x 。称为可分散化的资产组合。 此时最优解j 。可以表示为 两北丁业大学硕 学位论立 第二章肇因素资产组合横拦 z = 岛a ) x 。+ 僻2 印x d ( 2 i 7 ) 盥五g + 五6 ：球竺丝+ b z a - b ：a c - b _ _ 堡2 ：l ( 2 1 s ) 总结隧上讨论，可褥到著褰翡嚣基惫分离定淫。 引理2 1 1w ”( 两基金分离定理) 在上面的市场假设和记号下，任一最小方 差资产缀台盖。鄢可l 冀难一建表示成全麓最小方差资产缝台帮可分散能资产 组合菇。粒资产缎合，鄹： x ，= 倒。+ r l 一“) 扎 ( 2 1 9 ) 其中a = ( a c 一, u a b ) a ，且x 的收藏与方蓑满足关系式 o - ：= 掣2 2 b p + c ) a( 2 1 1 0 ) 从( 2 1 。9 ) 我们看到，所有最小方差瓷产组合都可以仪由鼹令不同资产组合 ，x 。的线性组合生成。x 。，x a 通常称为“共同基金”，n d a ( 2 1 9 ) 称为共 潜基金定理或称为基金分离定理懿一令特爨。戮洚任意两个不丽瓣最小方差资产 组合都可以取代x 。和局，而且具有相同的基金分离 乍用。例如，y # x 。，x ，是 两个最小方差资产组合，那么商：x 。= ( 1 一u ) x g + 峨，x ，= ( 1 - v ) x 。+ 峨 扶而有 x 。：塑竺土盖。+ 1 - u - g q a x , g 1 。l o ) 可以验证丘和爿，系数之和为1 ，从而并。和x 。可以取代x 。和疋d 。 2 1 4 具有无风险资产的均值一方差模型 当投资蠢在露场上露鞋获褥光蕊陵资产( 投豢率为，) 辩，袋，j 、方差瓷产组裔 问题转化为下列二次规划问题： 模型c b ， 。r a ，i n 盯= ，x r + v x e ( o x ，一。：固_ ：芦。 i ：t 1 ：1 1 ：； s ，l 7 + r l e ：，的r ，= 群。2 。，1 6 ) 解得模型最优解。为： 河北_ t 渡人学颟一0 学位论文第二常革雕素潞产组台攒墅 y b = ( e ( r ) 1 啪- 苎产 ( 2 1 1 2 ) 其中h = ( e ( r ) 一r f e 。) 7 v ( e ( r ) - r r e 。) = b - 2 9 a + r j 2 c 。 鼗麓投资缀合羔。瓣方差一( 力是 玎2 叫联。= 华 所以模型( b ) 的有效投资组合边界是 嘶) = 导( 脚，) 一 起，1 1 3 ) f 2 1 1 4 ) 型2 。3 可以证明有效投资组合边界所在的射线( 2 1 1 4 ) 与投资组合风险所在的双曲 线( 2 1 3 ) 耱切，耱点璧梅为：( j f f ( a 一9 c ) ，( 嚣一r y a ) ( a 。c ) ) ，诱点掰对应静 有效投瓷组合称为切点投资组会 拖蠡g n e y 矗稻i i o ) ，记为石+ ，势把掣势甥点缀 合所对应的预期收益率。从而商如下的两基金分离定理： 葶 骥2 , 1 2 “( 其有滗风险资产的两纂金分离定理) 模型( b ) 肖效资产维合石。 可出乏嫩验资产昶切点资产鳃会生戚。设j 戈摸型国) 褒硬麓段麓率掣下熬聂谯 解，则x 。= 科。，其中球满足： = ( 1 一“) o + q “+ 。 由毒l 理l - 2 霹翔，模羹( b ) 翡蕞往熬越宙锈点投资缀合线髋袭密，丽锈点投 衙北下业大学硕 ：学位论文 第二章擎嚼索瓷产组台接黧 资缝合是摸蘩( a ) 在上懿簸优藤。 2 。1 5 风险的分类 对于任意的资产组合，设以是与x ，有相同期魑收益率的最小方差资产 组合，则 x ，= x ； t x 。一x 0 七t xp x 0 = xg 七xs 七x 4 其中x 。= ( 盖，一x g ) ，虬= ( x 。一x 。) 。 利用不同资产组合的协方懿之间的关系，可知x 。的协方差能够分成三部分： ；= + + 司 ( 2 1 1 5 ) 我翻把2 + 称为系绞飙验，其中发量了全羯最小方差资产组合t 对应的 风险，怒系统风险中的不可避免风险，一度量了资产组合x e 所对应的系统风险。 2 是可分散化资产。所对应的风险，称为非系统风险。 系统菇整表溪市场豹共露特往，无法遥过赘产缝合来游除，竣成麓了不可避 免的风险。非系统风险则体现具体资产的特殊性，它是因为个别资产本身的问题 所致，w 戳通过资产组合投资予l 三乏清除，敌也称之为可避免风除。组合投资的酲 的就是邋过量化分析方法，研究如何使风险尽可能豹降低，尤其是如何使非系统 风险降割最低。 2 + 2 单因素模型 m a r k o w i t z 刹用一定时期内资产收懿率的数学期望翻收益率方差分别来衡量 该种资产的获利能力与风险大小，由此建立了资产组合均值一方差模型，从而奠 定了现代资产缀合理论熟基垂窭。毽是m a r k o w i t z 模型运黧量大，不便于实嚣操箨， w s h a r p e 随后创立了资本资产定价理论( c a p m ) ，用资产的预期收益率与市场指 数静若联寒撼述资产投豢与风除之闻数关系，麓仡了计算量，必授资蕴合理论应 用于实践提供了可行的途径。 1 0 - 两北r 蛾a 学硕l “学使论文 第二带荦闲索资产组台模型 2 2 。1c a p m 避论的假设条件 w ，s h a r 弦凌完全市场鲍假设下，建立了均衡状态下豹期望收益率i 与箩系数 矗之间的关系。其建立模型的慕础性假设是：( 1 ) 投资者是风险厌恶者，且其投 资行为怒使其终期财富的效用鼹大。( 2 ) 投资者楚价格承受者，即投资者的投资 亍为不会影响市场上资产鲍份掺运动。( 3 ) 投资砻都认网市场上赝有资产的收益 率服从均值为露( 爿) ，方差阵为矿的多元正态分布。( 4 ) 资本市场上存在无风险资 产，量投资者可以无风险秘率无限箭借贷。( 5 ) 资产数豢楚国定躲，所脊资产鄱 可市场化且可完全分割。( 6 ) 资本市场一j _ 二的信息是充分用畅通无阻的，所有投资 者都町无代价地任意获得所需簧的信息。( 7 ) 资本生产没有任何“缺陷”，如税收、 管理调节措旌、域囊空限制等。在以上假设中，假设( 3 ) 是最为至关重臻的。它 说明，鼹然市场e 的投资者对资产的偏好可以拥有不同的效用，但对某种资产未 来波入漉没期蘩僵颈测鞠是耀阉豹。这受资本瓷产蒺黧懿导爨提供了艇大款方 便。 2 2 2 资本资产定价模型 w - 腩a r p e 等人提出的资本瓷产定价模型为： 定理2 2 1 ( s h o e * l i n t n e r m o s s i o nc a p m ) 假设市场上无风险资产可以获 愆，当枣绣达到均囊对，任意风险资产熬超额援燕率与强陵姿产瓣枣场缝合超额 收益率成萨比例，即有关系式； ( x ) 0 l = 忍( 莒( 盖* ) 一0 )( 2 2 1 ) 其中r 为玉媳玲炎产的收益率，芦0 = c o v ( x ，x 掰) v a r ( x w ) ， x = w 。x 。一m 虹| x f 参。 f 。l汪l 当投资者在市场上不可获得无风险资产时，相应的优化问题可以写为： m a x u ( 7 e p ) ，7 v x ) + 2 ( i l x )( 2 2 2 ) 帮捷莰瓷考熬缀合效鬟达到最大。萃| l 矮l a r g m n g e 黍子法帮耀蘩金分离定理，胃 以得到关系式：层( ) = e ( x ：) i + f l m ( e ( x m ) 一e ( x ：) ) 。因此有以下定理； 两北r 业 学 i i 上学位论义 第二章单冈素资产纰台模型 定理2 2 2 ( b l a c kc a p m ) 假设市场上无风险资产不可获得，当市场达到均 衡时，任意风险资产的收益率可以表达成： e ( x ) = e ( x ：) 1 + 1 3 m ( e ( 瓦) 一e ( x ；) ) ( 2 2 3 ) 其中x ，是市场资产组合零b e t a 相关的资产组合的收益率。 2 2 3 单因素模型 以上两个定理即为资产组合的c a p m 模型。对于单个资产来说，w s h a r p e 认为：各种不同资产收益率之间的关系，可以通过共同的外在因素决定。因此任 意资产的收益率可由这个单一的外在因素和其随机因素共同确定，如下式所示： 0 = a 。+ 6 ，匕+ 占。( 2 2 4 ) 其中d ，与岛为资产f 收益率的回归参数，o 为某一市场指数t 时期的收益率，是 资产i 在，时期的收益率，为资产i 的随机误差项。且有：e ( 占。) = 0 ； v a r ( e ，) = 盯2 ( 常数) ； c o v ( j r z f ) = c o v ( j f ，) = c o v ( 占。，占j ) = o 上述模型称为单因素模型，在单因素模型中单个资产的期望收益率和风险分 别为： e ( ) = n 。+ b , e ( r ：t ) + e ( e “) = a 。+ 6 7 e ( 匕，)( 2 2 5 ) 盯? = v a r ( ) = v a r ( a , + 缸+ t ) = 砰v a r ( 匕) + v a r ( e , )( 2 2 6 ) 其中酽v a r ( g ) 为系统风险，v a r ( e ) 为非系统风险。 一般情况下，投资者通常选取市场收益率作为衡量个别资产收益率的外 在因素，即所有资产的收益率都可以通过市场收益和随机因素确定。则此时的资 产收益率为： = a 。+ 屈+ ( 2 2 7 ) 其中l 是资产i 的收益率，口。为资产f 的非系统固定收益率，属为资产f 的值， 嘞为市场收益率，为资产珀非系统收益的随机扰动项，最为资产i 的系统 收益。 从而资产i 的期望收益率为： 堕! ! 三錾墨兰堕l ：登垡笙茎! 堂兰望鲞篓主堡垒鲎受 嚣( t ) = d 。_ 秀，e 0 繇) + e ( c 。) = 瘟，届拦k ) ( 2 t 2 * 辩 若考虑到无风险资产，则资产f 的期望收靛率也可以写为以下形式； e ( 1 ) = ，+ 属( e ( ) 一- ) ( 2 2 9 ) 英中r ，为无风除资产的渡益率。 资产i 的风险为： 酽= v a r o ；) = v a r ( q + 6 f + s ，) = 群v a r ( r m ) + v a r ( c 。) ( 2 2 1 0 ) 2 3 单因素姿产组合模鍪 2 。3 1 横鳖的提 鏊 假设投资翥选择了埘釉资产作为投资对象，第i 手中资产的市场摸型必： r i = 堪t + p ? r m q - t ： ( 2 3 1 ) 并设投资卷投向资产f 酶投赞眈铡系数为x 。，i = 1 , 2 ，m 。剃这坍种资产构 成豹资产组合的市场模挺为： = a p 十辟7 h + 占p ( 2 3 2 ) 其中o = 一l ，n ，= z x ，q ，岛= x ，房，8 ，= 黾 剐资产组合投资预期收益率为： 嚣( ) = 分+ 岛( 互 0 时，模型( b ) 有唯一最优解的充要条件是：屈s k ； 当k t r 。- b m 则模型( b ) 的最优解为： 耻盟t - 羔i 篆t 铺- i 镊等t 箭- 1 严t - i 亿。 “。5 可疆刀f 石雾瓦r 一 【2 j j 若属满足：岛。t r 。- 1 6 卅6 二l r 。- 1 b 。则模型( b ) 的最优解为： 且2 盘如( 2 3 1 0 ) 结论2 3 4 设0 ，且鼠的选取满足结论2 3 2 的条件，则： 若屈满足：f l o e r , , i f f ；- 1 b 。 0 时，x ， 0 ；当属= 0 时，矗，= 0 ；当屈 0 时， x 。 醵曙1 毛，萸| l ： ( i ) 如果属 雳，则：当磊 时，黾 0 ；当曩= 露+ 时，墨；= o ；当黟 0 蹬i ) 魏莱菇露，瓣：当曩 o ；懑曩= 露+ 辩，嚣，= o ：当盛 雳+ 时，x , e 0 o 其中蜃= 籍= 器t v - i 躲t - 1 ，i = 1 , 2 , - - - , m o 两北t 业人学硕f 学位论史 第三章多闪素资产组合模型发j 改进 第三章多因素资产组合模型及其改进 3 1r o s s 套利定价理论 1 9 6 4 年w - s h a r p e 提出了著名的资本资产定价模型，从而大大简化了计算， 为组合投资理论应用于实践提供了可行的途经。近年来，斯蒂芬罗斯( s t e p h e n a r o s s ) 在资本资产定价模型的基础上，提出了套利定价理论( a r b i t r a g ep r i c i n g t h e o r y ，简称a p t ) 或称为多因素定价模型( m u l t i f a c t o rp r i c i n gm o d e l ，简称m p m ) 。 这个理论与c