（理论物理专业论文）不确定时空混沌系统的同步研究.pdf

摘要 本文概述了研究混沌同步的重要意义、混沌同步的概念以及实现混沌同 步控制的几种方法，着重介绍了混沌中的一个热点分支，也是一个前沿课题 时空混沌，通过采用计算系统的l y a p u n o v 指数和功率谱分析等刻划手段 对时空混沌系统本身的特性以及产生辊理进行了详细分析。在此基础上，以 耦合映象格子模型( 离散的) 和偏微分方程( 连续的) 这两种时空混沌系统 的描述形式为例，研究了不确定时空混沌系统的同步问题。具体探讨了两个 不同结构参量未知的时空耦合映象格子的混沌同步和参量辨识。基于单输入 单输出离散控制系统的滑动变量零渐进的性质，设计了同步控制器和参量辨 识器。运用g a t l a b 编程数值仿真表明，在同步控制器和参量辨识器的共同作 用下，不仅可以使参量未知的目标系统和响应系统渐近地达到恒等同步，而 且可以辨识出目标系统和响应系统的未知参量。进一步地将离散的单输入单 输出控制系统的滑动变量零渐近的性质扩展为连续的，应用到对时空混沌描 述得更接近真实世界的偏微分方程中，并以两个不确定同结构g r a y s c o t t 模型为实例，设计了未知参量的参量辨识器和同步控制器。仿真结果证明了 同步和参量辨识仍就可行有效。 关键词：时空混淹。混沌同步，滑动变量，耦合映象格子，g r a y s c o t t 模型 a b s t r a c t t h ec o n c e p ta n dt h es i g n i f i c a n c eo fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nt o g e t h e rw i t h m e t h o d so fa c h i e v i n gc h a o ss y n c h r o n i z a t i o ni ss t a t e di nt h ea r t i c l e s p a t i o t e m p o r a l c h a o si sb r i e f l yi n t r o d u c e da sah o t s p o ta n df r o n tt o p i ci nc h a o s t h ec h a r a c t e r i s t i c a n dp r o d u c i n gm e c h a n i s mo fs p a t i o t e m p o r a lc h a o si sa n a l y z e du s i n gl y a p u n o v e x p o n e n ta n dp o w e rs p e c t r u m t a k i n gt h ec o n p l e dm a pl a t t i c e sm o d e la n dt h e p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c ha r et w of o r m so fs p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y s t e m a sa ne x a m p l e ，s y n c h r o n i z a t i o no ft w ou n c e r t a i ns p a t i o t e m p o r a lc h a o ss y s t e m si s s t u d i e d c h a o ss y n c h r o n i z a t i o na n dp a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o nb e t w e e nt w oc o u p l e d m a pl a t t i c e sw i t hd i f f e r e n ts t r u c t u r ea n du n c e r t a i np a r a m e t e r si ss p e c i f i c a l l y d i s c u s s e d 。a s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e r a n dt h ep a r a m e t e rr e 鼬g n i z e r sa r ed e s i g n e d b a s e do nt h ez e r o - a s y m p t o t i cp r o p e r t yo fs l i d i n gv a r i a b l e si nt h es i n g l ei n p u ta n d o u t p u td i s c r e t es y s t e m s i m u l a t i o nr e s u l t si nm a t l a bs h o wt h a tn o to n l yt h et a r g e t s y s t e ma n dt h er e s p o n s es y s t e mw i t hu n c e r t a i np a r a m e t e r sc a nb eg l o b a l l y s y n c h r o n i z e d , b u ta l s ot h e 打u n c e r t a i np a r a m e t e r s 啪b ei d e n t i f i e dw h e na d d i n g t h ec o n t r o l l e ra n dt h ep a r a m e t e rr e c o g n i z e r s f u r t h e r m o r e , t h ez e r o a s y m p t o t i c p r o p e r t yo fs l i d i n gv a r i a b l ei se x t e n d e df r o md i s c r e t et oc o n t i n u o u ss y s t e m s , a n d i t sa p p l i e di np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s , w h i c ha r em o r ew i d e l yu s e di np r a c t i c e t a k i n gt w ou n c e r t a i ng r a y - s c o t tm o d da se x a m p l e s ，as y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l l e r a n dp a r a m e t e rr e c o g n i z e r sa r ed e s i g n e d s i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n t r o l l e r a n dt h ep a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o na r es t i l lf e a s i b l ea n de f f e c t i v e k e y w o r d ：s p a t i o t e m p o r a lc h a o s ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n , s l i d i n gv a r i a b l e ， c o u p l e dm 印l a t t i c e s ，g r a y s c o t tm o d e l 不确定时空混沌系统的同步研究 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文储签名。孝义 日期- 枷7 九 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁 师范大学。可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文储虢纬义 指导教师签名： 日 期：砌哆反2 ， 不确定时空混沌系统的同步研究 不确定时空混沌系统的同步研究 第一章引言 1 1 混沌同步 1 1 1 研究混沌同步的意义 同步概念是经典的，它源于两个系统所产生的不同周期振荡之间频率接近 的概念。同步的最早的一个研究导致1 6 6 5 年c h u y g e n s 的发现，他发明了两 个摆钟的完美的同步。其它早先的一些同步的例子包括固定在梁上的摆钟，声 学中耦合的管风琴管子和电子振荡器。在物理、化学、光学、材料、生物和电 力及机械工程的众多领域内都可以发现各种各样的同步现象。 混沌同步的概念出现要晚得多。从理论上最早发现同步的是1 9 8 3 年t y a m a d a 和t f u j i s a k a ，他们分别提出耦合混沌系统的同步，并且通过研究同 步的耦合系统的l y a p u n o v 指数了解混沌同步过程，但他们对同步的研究并没有 引起人们的注意。1 9 9 0 年美国学者l m p e c o r a 和t l c a r r o l 在电子线路 实验中实现了两个系统的同步，并提出驱动一响应同步方法，发展了混沌同步 的几何特性，设计了实现混沌同步秘密通讯的电路方案，显示出了混沌同步的 巨大应用前景，立即激起了混沌应用的研究热潮，也成为了当今发展高新技术 的一个新的生长点。随着计算机应用科学的高速发展，再借助于物理学中的概 念及数学的新成就，同步理论取得了突破性的进展。例如，应用物理学中的对 称破缺理论，对相同的表面上对称的振子相互耦合时所出现的一般模式进行了 分类。特别是，把同步与相变类比，从统计力学的新高度认识存在于自然界及 实验室中的同步现象及其原理。同步现象是耦合振子的最为人们熟悉的一种组 织形式，同步是通过它们之间的合作而实现的。同时，实验室与工程中的周期 同步现象的研究更引人注目，其中以各种类型的粒子同步加速器最为典型。人 们在对混沌甚至超混沌同步的发现感到惊奇之余，仔细揣摩会觉得混沌同步现 象实际上并不陌生，在非线性动力学中实际上揭示了其它同步现象，比如，外 部随机力导致的“随机共振”效应以及非线性系统中的频率锁定效应就是两种 类型的同步现象。因此，上面的巨大成就固然会对混沌同步以启迪，使得混沌 同步及控制的应用研究成为了当今科学前沿课题之一1 1 m 】。 混沌同步控制最直接的应用就是在混沌通信和混沌信息技术上。通讯技术 历来被称为世界经济和军事的生命线，而通讯中的保密技术则是核心技术。目 前利用混沌实现保密通信和信息技术主要有四种途径：第一，电路系统；第二， 不确定时空混沌系统的同步研究 计算机网络；第三，激光系统；第四，人工神经网络系统。其中以电路系统研 究得最早最多和比较成熟，激光混沌通信大有后来居上之势。2 0 世纪9 0 年代 在混沌控制与同步的开创性研究中，电路中的混沌控制和同步最引人关注，首 先掀起了应用电路混沌进行保密通信的研究热潮，因为它对于国家安全、军事 战争、信息对抗都具有重要的应用潜力，所以极大地推动了理论与应用研究的 迅猛发展。展现了十分诱人的发展前景。各国的军事部门和集团公司，发达国 家的许多大学科研机构等均竟相投入大批人力和财力，不断提出新的控制及同 步保密通信技术。特别是美国早就列入国防研究计划，2 0 世纪9 0 年代美国国 防部及科委就批准了多项基于混沌的数字通讯研究项目，投入巨资和大批人才， 包括大学、研究所和工业等部门进行合作研究和应用开发工作。此外，俄罗斯、 加拿大、英国、德国、意大利、瑞士等西欧国家都参与了激烈的竞争，各自加 紧研究新的混沌系统，发展有效的信号处理和信息加密等通信技术。 混沌通信问题的应用研究刚刚二十几年。但已经引起了物理学、信息科学 以及交叉学科各方面广泛关注和兴趣，无论在实验上还是在理论上这个领域都 在不断地取得新进展，已提出了几十种混沌通信方案。这些方案虽各具有独自 的优势，但或多或少也存在一些弊端，所作的实验多数还处于理论验证阶段， 离实际应用和开发还尚有一段距离，但巨大的应用前景是不容质疑的。 1 1 2 混沌同步的定义 考虑两个混沌系统： j f 皤，f ) ( 1 1 ) y - g ( y ，f ) + u ( 1 2 ) 系统( 1 1 ) 称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统；系统( 1 2 ) 通常称 为响应系统，或者在通讯中称为接收系统。其中，t 为时问，矢量x ，y e r “， x ( t ) - o i ，x 2 ，x 。) ，l ，o ) i ( ) ，。，) ，2 ，y 。) ，u 为任意一个控制器。系统( 1 1 ) 和系统( 1 2 ) 可以相同，也可以不同，但初始条件一定不同。如果两个系统通 过控制器u 的某种方式联系，令x ( f ；f o ；x o ) ，y ( t ；t o ；y o ) 分别为方程( 1 ，1 ) 和( 1 2 ) 的解，并满足函数的光滑条件，当存在尺“的一个子集o ( t 。) 时，使得 初值甄，y o e d ( t o ) ，当t m 时，存在 ；- l i m o x ( f ；“；x o ) - y ( t ；t o ；k 堋一0 ( 1 3 ) 称两系统达到同步。很明显控制器【，在同步中起到关键作用，人们可以设计各种 不同的控制器，这样便导致了不同混沌同步的方法，如驱动响应法l 硐、主动 被动法 2 a - 2 s l 、变量耦合法【2 6 明、自适应法【嚣1 、变量反馈法1 2 9 - 3 1 l 等，其应用领域 也从物理学迅速扩展到生物学、化学、医学、电子学、信息科学和保密通信等 不确定时空混沌系统的同步研究 领域。下面对其中部分方法原理作以简要分析。 1 2 混沌同步的方法 1 2 1 驱动响应同步法 驱动响应法( 简称p c 同步法) 是美国学者l 踌p e c o r a 和t l c a r r o l 在1 9 9 0 年首先提出的，它用于实现初始条件不同的两个相同混沌系统的同步。 驱动响应同步法概述如下： 假设n 维混沌系统为被研究的动力学系统： x e ( x ，t ) ，x ( 1 4 ) 将其分解为两个子系统 石l - ( 工t ，x 2 ) ( 1 5 ) x 2 - b ( 五，x 2 ) ( 1 6 ) 其中，x l e r l ，石2 r h ，矗14 - 1 2 一 。以( 1 5 ) 作为驱动系统，响应系统 为 j ：- e ( 墨，z ；) ( 1 7 ) 其中，( 1 7 ) 与( 1 6 ) 结构完全相同，但初值不同。若以置作为( 1 7 ) 的驱 动信号，则有 墨一e 僻，x 1 ) ( 1 8 ) 若存在输入信号，使得 ! 舭：( f ) 一髟( f 籽0 ( 1 9 ) 则两系统同步。响应系统的稳定性通过计算条件l y a p u n o v 指数的办法来确定， 即响应系统的所有l y a p u n o v 指数均降为负值时响应系统与驱动系统达到同步。 下面以l o r e n z 系统为例说明p c 同步方法： l o r e n z 系统的动力学方程为 霞：掣y 当参数盯一1 0 ，占一姜，r - 6 0 ，系统处于混沌态。 驱动部分：j - 一盯o y ) 响应部分： e y 。哆- - x z 一4 - 晓r x 3 3 ( 1 1 0 1 ) 以工为驱动变量，可将系统拆 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 不确定时空混沌系统的同步研究 构建与响应部分同结构的响应系统 。誓7 ：? 一y ( 1 1 3 ) 0 - 砂一钯 “ 其用来计算条件l ，a p u n 。v 指数的j a c 。b i a n 矩阵为 二b：】，数值计算条 件l y a p u n o v 指数，其结果为九- 1 8 1 , 九- - 1 8 6 。同步误差e 。( f ) 一) ，( f ) 一y ( t ) ， e ：( f ) 一z ( r ) - z q ) 的数值模拟实验结果如图1 1 所示。 ( a ) 变量) ，和) ，的误差气( b ) 变量z 和2 误差8 2 图1 1 ：l o r e n z 系统的驱动响应同步( 以工( f ) 为驱动变量) 若以y 为驱动变量，响应部分的j a c o b i a n 矩阵为墨暑0 6 】，它有两个 不随时间变化的特征根： - 曲，九一一，响应与驱动系统也是同步的。同步 误差e 。( f ) 一x o ) - x ( t ) ，e ：( f ) 一z ，( f ) 一z o ) 的数值模拟实验结果如图1 2 所示。 l q ( a ) 变量工7 和x 的误差e l 4 ( b ) 变量z 和z 误差p 2 圈1 ，2 ；l o r e n z 系统的驱动响应同步( 以y o ) 为驱动变量) 4 不确定时空混沌系统的同步研究 若以z 为驱动交量，响应部分的，a c 曲t a n 矩阵为【一- 盯z ( t ，二1 】，数值计算 条件l y a p u n o v 指数，其结果为 - 0 0 1 0 8 , 屯- 一1 1 0 1 ，不满足同步定理条件， 响应与驱动系统不能实现同步。失同步误差巳( f ) 一工( f ) 一x ( t ) ，e 2 0 ) - _ ) ( f ) 一y ( f ) 的数值模拟实验结果如图1 3 所示。 “ ( a ) 变量j 和z 的误差q ( b ) 变量_ ) ，和y 误差e 2 图1 3 tl o r e n z 系统的驱动响应同步( 以z ( f ) 为驱动变量) p c 同步法不仅适用于连续系统，而且适用于离散时间系统，但这种方法需 要将系统进行特定的分解，这在实际应用中受到很大限制，由于有些物理的， 生物的或内在的原因，有些系统无法分解为两个部分，这时就无法构造响应系 统，例如激光系统内部的电场就无法作类似的分解。l k o c a r e v 和u p a r l i t z 提出一种更方便灵活的改进方法，所谓主动一被动分解法( 简称a p d 分解法) 。 它更适用于混沌同步、超混沌同步和时空混沌同步，因而更有应用价值。 1 2 2 主动一被动分解法 设一个自治的非线性动力学系统是 2 - f ( z 1 ( 1 1 4 ) 可以将其改成非自治形式： x - f i x ，s ( f ) 】 ( 1 1 5 ) s o ) 为所选的驱动变量，如s ( f ) 一日( x ) 或s ( f ) h ( 工，s ) 复制一个与( 1 1 5 ) 相同的系统， y 一，【y ，s ( f ) 】 ( 1 1 6 ) ( 1 1 5 ) 与( 1 1 6 ) 受到相同的信号s ( f ) 的驱动。令e x y ，则关于e 的微 分方程： j - f x ，s ( f ) 卜“y ，s ( o 】 ( 1 1 7 ) 5 不确定时空混沌系统的同步研究 l i m e 。0 对应( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 存在一个稳定的同步态x y ，我们可以根据 在e 附近用线性稳定性方法或直接应用l y a p u n o v 稳定性定理来确定z 和y 达到 稳定同步的条件。 在选择驱动信号s ( t ) 时，可以这样要求：当s ( f ) - 0 ，即( 1 1 5 ) 式不被驱 动时，它是趋向某一不动点的被动系统( 也称为无源系统) 。按照这样的原则所 做出的分解，称为主动一被动分解。 下面以l o r e n z 系统为例阐述a p d 方法的应用，选择驱动信号 s q ) = h u ( x ) 一x 2 ( 1 1 8 ) 原l o r e n z 系统的动力学方程( 1 。1 0 ) 改写为非自治系统的形式： 阮- - o r x l + s o ) 扛2 一- - 而工3 + ，黾一屯 ( 1 1 9 ) l 南一工l 工2 6 x 3 复制( 1 1 9 ) ，得 f 夕l 一- - o r y l + s o ) 萝2 一一y l y ，+ ，) ，l y 2 ( 1 2 0 ) b ，- y l y 2 一砂3 令岛一毛一y i ，i - 1 , 2 ，3 ，可以得到毛- - o r e 。收敛于零，另外两个误差量的时 间演化形式为 。2 。2 一而e 3 ( 1 2 1 ) 岛- 而e 2 - b e 3 目辨甜 圈1 4 ：l o r e n z 系统a p d 同步 6 不确定时空混沌系统的同步研究 构造l y a p u n o v 函数： v 一去( e 2 2 + e 3 2 ) ( 1 2 2 ) 二 则有 v - e 2 0 2 + e ，a 3 一- ( e 2 2 + b e 3 2 ) 0 ( 1 2 3 ) 根据l y a p u n o v 稳定性定理，( 1 2 1 ) 式是渐进稳定的，即系统( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 是同步的。同步误差模拟结果如图1 4 所示。 主动一被动同步法的拆分方式并不是唯一的，对于该l o r e n z 系统，如果取 s ( t ) - h ( h ，毛) 一，毛一工。而，仍可实现( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 的同步。主动一被 动同步法具有很大的普遍性，p c 同步法可以看作是它的一个特例。这种方法最 大的优点是可以自由地选择驱动信号的函数，几乎不受任何限制，便于理论上 的分析，也便于在实际中的使用。主动被动同步类型与驱动响应同步类型的主 要区别是，信息被如到一个混沌信号上，丽不是注入到作为发射机的动力学系 统中。在很多情形下，s ( f ) 可为一般函数，它不仅依赖于状态z ，而且取决于 某些信息信号，这时，由信息信号和混沌信号之和来驱动接收机，所以变量y 并 不精确收敛于变量x ，因此需要采取恰当的技术，减少信息信号的误差，减少 噪声的影响，及从s ( t 1 中提取所需信息，这些问题尚需研究解决。 1 2 3 藕合同步法 实际应用中不必把系统分解，欲实现混沌同步的两个系统既可以是完全相 同的系统，也可以是不同的系统，这样讨论起来才更具一般性、灵活性和多变 性。理论上证明了驱动一响应同步可以视为相互耦合同步方法的一种特例，同时 为了突破主动一被动分解法的限制，自然提出了工程控制论中常用的负反馈控制 法，即通过适当系统变量的耦合达到混沌同步。耦合系统的同步现象，不论从 理论上还是从实验上都正在深入研究中，具有及其丰富的内容。耦合方式可以 分为单向耦合和双向耦合两种情况，下面以这两种耦合方式来介绍一下耦合同 步方法。 1 2 3 1 单向耦合 单向耦合的总体动力学方程组表示为： 石l 。，僻1 ) ( 1 2 4 ) z 2 - ，( z 2 ) + k b ( x 1 一z 2 ) 这里口是一个矩阵，它确定于两个系统变量差的线性组合，七是耦合强度或者 反馈系数。这两个方程的相应变量之差定义为：e - x ，一x ：，由( 1 2 4 ) 式可 以求得变分方程： i - f z 1 ) 一f ( x 2 ) - k b ( x l - x 2 ) 一d f x 一船( x i x 2 ) ( 1 2 5 ) 7 不确定时空混沌系统的同步研究 j l - 工1 + a y l ( 1 2 6 ) k - b 4 - z 1 ( x 1 一c ) 夕2 - x 2 + a y 2 ( 1 2 7 ) 1 2 2 - 6 + z 2 0 2 一c ) 肌 z s ， “雕_ z ” 最后求得最大的l y a p u n o v 指数工。与耦合强度七的关系，如图1 5 所示。从 图1 5 可以看出k 在一定范围内工。为负数，这表明适当选择耦合强度七，两 个单向耦合的r s s s l e r 系统能够达到混沌同步，在某一耦合强度七- f l _ 为最 注意到，只要选择x ：一x i ，则单向耦合( 反馈) 方法就变为最早提出的驱 围1 5 ：最大l y a p u n o v 指数上釉。与羯合强度量的关系 8 不确定时空混沌系统的同步研究 广义混沌同步：应用单向耦合同步法还可以实现混沌广义同步。前面提到的两 个混沌序列工( f ) 和r o ) 同步时，它们应当完全相等， x o ) - 】，( f ) ( 1 3 0 ) 这种同步被称作精确同步。要达到精确同步，驱动系统和响应系统应当完全相 同。在实际问题中，驱动系统和响应系统不可能做到完全一致，它们总有些不 同。同时。在有些情况下我们需要用一个系统产生的混沌信号去驱动一个完全 不同的混沌系统。在这种情况下输入和输出混沌信号将不会相等，但它们仍会 有着某种确定的联系，即它们之间存在广义混沌同步。我们这样描述广义混沌 同步， 假设驱动系统为 x - f ( x 1 ( 1 3 1 ) 响应系统为 y g ，x ) ( 1 3 2 ) x e r ”，y e r , f ：彤一彤，g ：掣x r “一r ”。在驱动信号j ( f ) 的作用下，在 y ( t ) 的邻域任意改变响应系统的初值，系统都会趋于与初始条件无关的解】，( f ) ， 这时我们说y ( ，) 和x q ) 同步。当这两个混沌信号同步时，它们并不相等，甚至 它们的维数都可以不同。为了区别于精确同步，称这时响应系统和驱动系统实 现了广义混沌同步达到广义混沌同步时，响应系统的所有条件l y a p u n o v 指数 为负，这与精确同步的要求完全一样。显然达到广义混沌同步的两个系统之间 有着确切的函数关系y q ) - 妒c x ( f ) ) ，因此，也很容易看出广义同步把精确同步 包含为自己的特例，这时y ( f ) - 妒( x ( f ) ) - x q ) 。 在数值研究中，可以用一种简单的方法来判断响应系统是否实现了与驱动 系统的广义混沌同步。就是构建一个与响应系统完全相同的辅助系统，并用同 样的信号j 去驱动它 2 一譬( z ，彳) ( 1 3 2 ) 系统( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 ) 都可能有不止一个吸引子。如果y ( o ) 和z ( o ) 取在同一 个吸引域内，那么y q ) 和z o ) 会表示出相同的混沌吸引子，其轨道有相同的整 体结构，即y q ) 一z o ) 。但如果l ，o ) 和x q ) 之间不存在广义混沌同步，那么y ( f ) 和z ( f ) 就是同一个混沌吸引子上的两条互不相同的轨道。 作为例子。下面我们以r s s s l e r 系统( 1 2 6 ) 为驱动系统，从中提取y o ) 的 混沌信号，用单向耦合的方法去驱动l o r e n z 系统( 1 1 0 ) p i 一仃 一y ) j ，一一膨+ 膳一y + 七( y l y ) ( 1 3 3 ) i z 。x y b z 9 不确定时空混沌系统的同步研究 同时以同样方式去驱动另一个全同的l o r e n z 系统。系统( 1 3 3 ) 的条件l y a p u n o v 豳1 7 ：误差变f e i q ) 的时间演化图( k k 。) “s e c 图1 8 ：误差变量已。( f ) 的时间演化图( k k 。) 1 0 不确定时空混沌系统的同步研究 指数工。与耦合强度七关系如图1 6 所示。取较小的耦合强度七c 七c 时两个 l o r e n z 系统不能同步，系统误差q p ) ，i 一1 , 2 ，3 的时间演化图形如图1 7 所示。 取较大的耦合强度七 k 。时两个l o r e n z 系统能同步，系统误差e j ( f ) ，i 一1 , 2 ，3 的时间演化图形如图1 8 所示。此时，驱动系统( 1 2 6 ) 和响应系统( 1 3 3 ) 实现广义混沌同步，但通过误差时间演化图形1 9 可以看出两系统信号无明显 关系。 t r s e c j 图1 9 - 误差变量岛( f ) 的时问演化图( 更 k 。) 1 2 3 2 双向耦台 对于双向耦合的情形，仍以两个r s s s l e r 系统为例，分别在两个系统的第 一方程中加入双向耦合项，则有相互耦合的r s s s l e r 系统为： p l 一- ( y l + z 1 ) + 七( x 2 一x 1 ) 夕l 一工l + a y l ( 1 3 4 ) l 毛一b + z l “一c ) ( a ) 响应系统工一k 关系图( b ) 驱动系统。一k 关系图 圈1 1 0 ：条件l y a p u n o v 指数l ，眦与耦合强度七的关系 二 一 二 r 芳一而一 不确定时空混沌系统的同步研究 夕2 x 2 + a y 2 ( 1 3 5 ) i j 2 - b + z 2 0 2 一c ) “雕三 c - 6 ， 数工。与耦合强度t 的关系，只是七在不同范围内工一为负数，如图i 1 0 所示， 存在记忆元件中；二是利用小反馈微扰信号s ( t ) 一k x o ( f ) 一石o ) 1 作为控制信 号，反馈到原系统中去，驱使当今的信号y o ) 逐步趋近于所记录的信号x 。( f ) ， 最后达到完全同步，即当y o ) 一z o ( f ) 时，s ( f ) 一0 ，因此，这种反馈跟踪混沌 不确定时空混沌系统的同步研究 范围。显然，同步区域的七值范围越大，同步效果越好。对于此例子r s s s l e r 系统，用y 变量控制比用z 变量控制的同步效果更好，因为前者同步的k 值范围 大。研究表明：条件l y a p u n o v 指数的最小值与单变量控制的不对称性有关。与 此特点不同，在多变量控制下，对已研究的典型系统，它们在任意k 值下( ) 都 是单调下降，并且反馈系数七的阈值与单变量比要小，因此，多变量控制比单 变量控制更为有效。不过，多变量控制相对要麻烦一些，但也因具体实际应用 情况而定。 圈1 1 1 ：最大l y a ! m m o v 指数工呱与反馈系数露的关系 1 2 4 2 非线性反馈同步法 连续交量反馈的反馈形式为线性反馈，线性反馈控制法在实验和应用中具 有许多优点，诸如简便易行，比较经济，代价较小等，但在自动控制中，在很 多情形下，线性反馈控制仍然很难满足质量控制的要求，即便有些线性系统， 当用线性控制达到目标的时间很慢，或线性对控制不灵敏时，还要用非线性控 制法加速实现控制，尤其在控制系统存在较强非线性特性下，往往出现多个方 向的不稳定性，这时线性控制法很难达到控制目标。在这些情况下，就必须采 用非线性控制法。 与线性函数相比，非线性反馈函数法的最大特点，是它的反馈函数具有非 线性形式，诸如人们所熟悉一些初等函数：正弦函数，余弦函数，正切函数， 指数函数，开关函数，二次方幂函数及高次幂函数等等。这些初等函数在电子 工程和实验中都是不难产生的实验函数。近年来，利用非线性反馈对高维非线 性系统实现同步控制也取得了一些进展。 应用l y a p u n o v 函数的方法讨论两个混沌系统的同步，假设驱动系统为： j f x + g f ( x ) ( 1 3 7 ) 其中，x 为系统变量，f e r ，g e r 4 为系统参数，( 工) 是非线性函 不确定时空混沌系统的同步研究 数。 响应系统为： 矿m e y + g 。吕( y ) + 【， ( 1 3 8 ) 其中，y r 4 为系统变量，l e r ”，g i e r 6 为系统参数，u e r “为非线性 反馈项。对于同结构的两个系统，f - e ，gmg 1 ，对于异结构的两个系统， f - ，g g l 。 由( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 得到变量误差方程： e - 五y + g i g ( 1 ，) 一f x - 6 ( x ) + ( ， ( 1 3 9 ) 其中，e - l ，一x 。 1 构造l y a p u n o v 函数，v ( e ) 一去e 7 e ，选择适当的u ，若满足矿但) 0 ， 二 则! 到l e ( f ) 9 0 ，两系统同步。因此，实现两个混沌系统同步的关键是构造一 个合适的l y a p u n o v 函数和选择一类适合实现混沌同步的非线性反馈函数一控 制器。非线性反馈函数必须满足这样的基本性质：首先，随着时间的不断演化， 误差变化不会突然发生激烈变化，从而导致失同步，这就要求非线性反馈函数 有很好的性能，确保实现长时间平稳同步；其次，反馈函数应该是光滑函数， 无奇点和突变行为，能满足混沌同步的误差动力学在零点的渐进稳定性条件。 迄今还没有一种构造非线性反馈函数的普适方法。因此，此方法也有其一 定的局限性。但对于一些混沌系统可以依据上述的要求，通过l y a p u n o v 函数法 及尝试法来产生满足混沌同步的合适的非线性反馈函数。 1 2 5 自适应同步法 自适应同步方法的前提是，至少可以得到系统的一个参量或多个参量，且 已知所期望的轨迹所对应的这些参量值。受控参量的变化依赖于两个因素：一 是系统输出变量与期望的相应交量之差；二是受控参量的值与期望轨道相应的 参量值之差。由于该方法引进了可得到的系统参量的变化，所以所有的系统变 量自由地演化，也没有必要知道混沌吸引子的详细知识。 下面介绍一下数学表示机理。一个n 维的自治系统为驱动系统 x - f ( x ，) ( 1 4 0 ) 这里，工，p 分别为n 维矢量，非线性函数和系统参量集。系统处于混沌态时， 工表示所期望的轨道变量，同步目标是通过对系统( 1 4 0 ) 引进的一种控制机 制，使得响应系统的变量l ，与目标变量x 达到同步。应用参量的小微扰方程 来修改方程( 1 4 0 ) 的形式为 x f ( x ，1 ) 1 4 不确定时空混沌系统的同步研究 沪驴卜叫别卜驴蝴 江t 。 这里弘，为相应于目标系统的参量，七为刚性常量，z ，相应于p 参量下的整个 演化方程中的变量。函数妒为僻，一一) 差的连续函数，妒为似，一p ；) 之差的连 续函数。s g n ( x ) 表示x 的符号。除了芦，外，其余的参量都假定为常数且取为目 标系统的参量值。函数妒和9 可以有各种选择形式。选择好的和伊的函数形式。 对实现混沌同步很重要，因为它能更好和更快地使系统的实际输出与目标输出 达到同步。这样只要通研究方程( 1 4 1 ) 的l y a p u n o v 指数即可确定受控的七的 取值范围。 下面以l o r e n z 系统( 1 1 0 ) 为例说明一种自适应反馈的同步问题。方程 ( 1 1 0 ) 作为驱动系统，响应系统表示为 p 吒i ( ， i y 1 ) + 正；( x - x 1 ) j ) ，l 。- - x 1 。l 毛一y 1 ( 1 4 2 )、j 1 2 l 。毛y l b z l l ，- 七y ( y y 1 ) s g n ( x 1 ) t i l l ( b ) 误差e 1 ( f ) 时间演化图 ( c ) 误差p 2 ( f ) 时问演化图 ( d ) 误差勺( f ) 时间演化图 图1 1 2 ；l o 瑚比系统通过自适应反馈的同步 式中的，7 用作自适应的可调节函数，而t 。是设计中所要确定的常自适应控制增 不确定时空混沌系统的同步研究 益。采用这种策略，系统( 1 1 0 ) 和( 1 4 2 ) 能实现混沌同步，并且能确定响 应系统的参量，( 其标定值为2 8 ) 。反馈系数和自适应增益分别取七，- 5 0 和 k ，- 1 0 ，同步化误差仍定义为p 。o ) 工。( t ) - x ( t ) ，e 2 ( f ) - y ，o ) - y ( t ) ， 岛( f ) z ，( f ) 一：o ) ，参量r 的自适应识别及同步情况如图1 1 2 所示。 1 3 时空混沌 混沌事实上是非线性系统比较普遍存在的一种行为，关于混沌行为的理论 研究也有了很快的发展。对于混沌的大量研究不仅使我们对一些非线性系统的 复杂行为有了正确的认识，也使许多长期以来无法解决的复杂现象( 如湍流) 的研究找到了新的希望。复杂性包含的内容是相当广泛的，除了系统行为随时 间变化的复杂性( 前面提到的系统) ，还有随着空间位置而变化、形成非常复杂 图案的空间变化复杂性等等。那就是时空混沌系统。所谓时空混沌系统，就是 指系统的行为不仅在时间方向上具有混沌行为，而且在系统长时间发展以后， 其空间方向上也具有混沌行为。在这类系统是自然界中存在最广泛的复杂系统 之一，也是至今我们理解的最少的系统之一。 1 3 1 自然界中的时空复杂行为 时空复杂行为广泛的存在于物理、化学、生物、社会、经济等众多领域。 近年来已经成为人们广泛关注的课题1 3 驰1 1 。 在我们的日常生活中，时空复杂行为处处可见。比如，一只燃着的香烟， 烟雾在平稳的气流中慢慢上升，突然卷成一团剧烈扰动的烟雾，四处飘散，在 流体力学中，称这种现象为开流不稳定现象。在各种生物体的内部，每时每刻 都在进行各种各样的化学反应。人们总是相信化学反应最终会变成一个类似于 平衡态的、均匀的、不随时间变化的状态，但这种情况往往出现在孤立系统的 化学反应中，而对于开放系统，例如我们在反应中允许以不同速率向体系输入 反应物或输出生成物，事情就会变得复杂。最典型的例子b e l o u s o v z h a b o t i n s h y ( 简称b z ) 反应。将硫酸铈、丙二酸和溴酸钾混合，会发现生成 物的浓度随时间丽变化，一会呈红( 产生过量的“离子) ，一会呈蓝( 产生过 量的“离子) ，作规则的时间振荡，这类现象称为化学振荡或化学钟。有时 也会观察到非周期现象，这就是化学湍流。如果反应容器相对于反应物扩散长 度较大时，成分的浓度在空间会很不均匀，形成很多漂亮的花纹。这些过程很 类似于生命体中的生物振荡行为和生物形态现象。对于这种状态随时间和空间 的变化，一般可用反应扩散方程来描述， 詈川+ d v 2 “ “4 3 ) 其中，“一u ( x ，y ，厶f ) 为状态变量，厂( “) 称为反应项，d v 2 u 称为扩散项。但是， 1 6 不确定时空混沌系统的同步研究 这个方程的严格求解一般情况下非常复杂，特别当反应项中的非线性很强时， 方程的解对于初始值的变化可能相当敏感，即系统进入时空混沌状态。 在自然界中时空复杂行为更为常见。例如，气候的变化也是一种时空复杂 现象，重力场中冷、热空气对流，导致大气中的湍流，这些湍流有时表现为短 时间的热带风暴，有时表现为一个地区的干旱无雨。总之，时空复杂行为广泛 地存在与各个领域。 1 3 2 几种时空模型 时空混沌系统是无穷维的动力学系统，因此，对它的研究总是要进行简化。 简化方法主要是将连续变量离散化和对无穷维系统进行截断。无穷维系统的变 量包括三类：空间变量、时间变量、状态变量。对它们的离散化可以分别进行。 一般分为四种常用的类型，如表1 1 所示： 模型类型 空间变重时间变量状态变量 偏微分方程连续连续连续 耦台常微分方程离散连续连续 耦合映象格子离散 离散连续 元胞自动机离散离散离散 表1 1 这四种类型中，很显然偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简 称p d e ) 最接近真实情况。但尽管人们对p d e 研究了数百年，但却只能对极少 数的几个线性p d e 方程的通解有较好的认识，而对绝大多数p d e 可以说基本上 还不了解，因而就更不用说刻划时空复杂行为的p d e 了，这些p d e 几乎都是非 线性的。在四类中最简单的也许算是元胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t o n ，简称c a ) 了，因为它对三类参量都进行离散化。用c a 模型研究时空复杂行为，在于它的 模拟计算效率高，用计算机定点计算速率往往大大高于浮点计算。但问题在于 它的离散化状态( 场变量) 较适用于微观变量，而对宏观变量的适用性较差。 因此，在描述系统的宏观行为时，c a 需要取很大的格子数，这样一来，模拟效 率高的优势就被抵消了。另外，由于c a 对时间、空间和状态都进行了离散化， 这样很难观察到系统随参数微小变化所引起的巨大变化，这对研究系统的时空 混沌问题是不利的。在余下的两类模型中耦合常微分方程( c o u p l e do r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称c o d e ) 仅对空间变量离散化，保留了时间和状 态，但一般认为这样对研究时空复杂行为仍过于复杂，既不利于数值模拟，也 不利于理论分析。对于耦合映象格子( c o u p l e dm a pl a t t i c e s ，简称e m l ) 相对来说则有着这些优点：一是它对时空系统进行半宏观描述，数值模拟计算 效率高，因而可以通过对参数空自j 的描述来得到当参数变化时各种时空行为相 互转化的规律：二是整个计算过程可以直接并行化；三很容易将低维系统的研 1 7 不确定时空混沌系统的同步研究 究成果直接推广到无穷维系统，比如对混沌的复杂性研究很有用l y a p u n o v 指数 的概念和信息熵的概念等等；四由于系统的演化过程在模型中被分解为一些按 顺序进行的简单过程，因此对解析解的分析比偏微分方程容易得多。因此，耦 合映象格子便成为了人们研究时空复杂行为的首选模型，c m l 也是目前最为人 们了解的模型。 1 3 3c m l 时空行为及其定量刻划 c m l 最初是由日本学者k k a n e k o 在1 9 8