（概率论与数理统计专业论文）gbve型指数分布的参数估计及最优设计.pdf

d i s s e r t a t i o nf o rm a s t e rd e g r e e ，2 0 1 0 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：5 1 0 7 0 6 0 5 0 0 6 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y t h eo p t i m a ld e s i g n sa n ds t a t i s t i c a la n a l y s i s u n d e rg b v e e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n 。 d e p a r t m e n t s c h o o lo ff i n a n c i a la n ds t a t i s t i c s m a j o r r e s e a r c hd i r e c t i o n s u p e r v i s o r a u t h o r p r o b a b i l i t ya n dm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s m a y , 2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明、。裂掣泄辫 郑重声明：本人呈交的学位论文g b v 巨础指数铆檄节& 最饥触叶， 是在华东师范大学攻读鼍声博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 、 明并表示谢意。 作者签名：日期：2 口o 年f 月o 日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 g 8 、，e 型指数今彳如秀数体冲臣丧讯谒计 系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密”学位论文， 于年 月 日解密，解密后适用上述授权。 ( 、力2 不保密，适用上述授权。 导师签名辎塾壁 本人签名遂鑫 & df d 年 月如日 车“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 洪晨硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 张同权教授华东师范大学主席 汤银才教授华东师范大学 曾林蕊副教授华东师范大学 目录 摘要i a b s t r a c t ( 英文摘要) i i 第一章绪论1 1 1g b v e 型指数分布1 1 2 本文研究背景3 第二章g b v e 型指数分布恒加试验下的统计分析5 2 1 试验安排及参数估计5 2 2 恒定应力下定数截尾试验时的最优设计9 2 3 恒定应力下定时截尾试验时的最优设计1 9 第三章g b v e 型指数分布步加试验下的统计分析2 5 3 1 试验安排及参数估计2 5 3 2 步进应力下定数截尾试验时的最优设计2 8 3 3 步进应力下定时截尾试验时的最优设计3 1 第四章g b v e 型指数分布加速寿命试验下的统计分析拓展3 7 4 1 佗( n 2 ) 元g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析3 7 4 2n ( n 2 ) 元g b v e 型指数分布步加试验的统计分析3 9 结束语4 3 参考文献4 4 附录a 4 7 附录b 4 8 致谢5 0 摘要 本文研究产品寿命服从g b v e 型指数分布的有关加速寿命试验的统计分析及其 优化设计。本文首先介绍t g b v e 型指数分布在恒定应力和步进应力下的加速寿命 试验基本过程，并对相应参数进行了估计；其次在k 个应力k 个未知参数的加速寿 命方程下，以班最优和弘最优为准则，分别研究了恒定应力与步进应力加速寿 命试验中定数与定时截尾的最优设计问题。 关键词：g b v e 型多元指数分布，渐进方差，极大似然估计，f i s h e r 信息阵，恒 加试验，步加试验，最优设计，伊最优，卜最优。 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h eo p t i m a ld e s i g n sa n ds t a t i s t i c a la n a l y s i so fa c - c e l e r a t e dl i r et e s t su n d e rt h eg b v em u l t i v a r i a t ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n f i r s t ， u n d e rt h ec o n s t a n t - s t r e s sa n ds t e p - s t r e s s ，t h eb a s i cp r o c e s so ft h ea c c e l e r a t e dl i f e t e s t so ft h em u l t i v a r i a t ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o ni si n t r o d u c e da n dc o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d n e x t ，g i v e nt h ea c c e l e r a t e de q u a t i o no f 后s t r e s sw i t h 七 u n k n o w np a r a m e t e r s ，t h eo p t i m a ld e s i g n so ft h ea c c e l e r a t e dl i f et e s t so ft y p eia n d t y p ei iu n d e rt h ec o n s t a n ts t r e s sa n ds t e ps t r e s sa r er e s p e c t i v e l ys t u d i e da c c o r d i n g t od - o p t i m a la n dv o p t i m a l k e y w o r d s ：g b v ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o n ， a s y m p t o t i cv a r i a n c e ，f i s h e ri n f o r m a t i o nm a t r i x ，o p t i m a ld e s i g n ，d o p t i m a l ，v - o p t i m a l 第一章绪论 1 1g b v e 型多元指数分布 众所周知，对于一元指数分布的加速寿命试验的参数估计和最优设计的研究 已经获得了相当丰富的成果，但是对于多元指数分布的加速寿命试验的统计分析 方面却尚未得到足够的重视，理论研究的成果还不多。到目前为止，各种文献已 提出了许多指数分布的多元推广，1 9 6 1 年f r e u n d 提出了f r e u n d 型多元指数分 布，1 9 6 6 年w e i n m a n 提出了w e i n m a n 型多元指数分布，1 9 6 7 年m a r s h a l l 与o l l 【i n 提出了m a r s h a l l - o l k i n 多元指数分布，并且对于m a r s h a l l o l i n 多元指数分布的 加速寿命试验的参数估计和最优设计问题已经取得了许多研究成果。本文研究的 是1 9 6 0 年g u m b e l 提出的一种二元指数分布，以下称其为g b v e 型指数分布。 g b v e 型指数分布的生存函数为 一f ( x ，y ) = p ( x z ，y y ) = e x p 一 ( x e 1 ) 1 舻+ ( 3 ，如) 1 6 】6 )( 1 1 ) 0 z ，y o o ，0 6 1 ，0 p 1 ，如 o o 其密度函数为 ( x ，! ，) = ( 口l 如) 一1 6 ( z 可) 1 【( z 口1 ) 1 加十( ! ，他) 1 5 r 2 ( ( z p 1 ) 1 5 + ( y e 2 ) 1 6 】6 + 1 6 1 e x p ( 一【( z p 1 ) 1 6 + ( y c ) 1 6 】6 ) ( 1 2 ) 其中0 z ，y 0 0 ，0 6 1 ，0 x 2 ，j 0 z n ) = e x p 一 ( z i 0 1 ) 1 6 + ( z 2 如) 1 6 + + ( z n o n ) 1 6 】6 ) 其中0 z l ，z 2 ，z n ，0 6 1 ，0 y ) = e x p 一( z 以) 1 6 + ( u 0 2 ) 1 6 n ，那么 啦=)=p(x y t)dfz(t掣b胆。者d(1一e-j0 j 0 者) t l z =) = 兰掣f 。一责) u u i t l = p 1 t ，= 巧 = z 。瓦鼎e x p 一【( 击) 6 + ( 麦门 t ) 出2 以瓦可巧菥钗烈1 瓦厂+ ( 瓦厂p 甜m 口f 苫 町i + 町3 同理可知p ( y x ) = 抟 口 第一章绪论 3 1 1 2 本文研究背景 寿命试验是对产品的可靠性进行调查、分析和评估的一种必要手段。产品的可 靠性是看不见、摸不着、测不出的质量指标，至今尚无一台设备能把某一产品的寿 命测量出来。对产品可靠性的认识，只有通过寿命试验及其数据的统计分析才能获 得。可见寿命试验对产品可靠性是必不可少的一个重要环节。但是，随着科学技术 的发展和用户对产品质量的要求愈来愈高，高可靠长寿命的产品愈来愈多，通常的 截尾寿命试验就不能适应这种需要，因为通常的寿命试验能够提供的失效信息太 少，这就造成很难甚至无法估计这些元件的可靠性指标。这种情况下，我们采用加 速寿命试验，即在超过正常应力水平下的寿命试验，在加速寿命试验下可采用截尾 技术。对于指数分布、威布尔分布、对数正态分布的加速寿命试验的参数估计和最 优设计问题已有许多成果，但是对于多元指数分布、多元威布尔分布的研究成果较 少，2 0 0 7 年管强较系统地研究了m a r s h a l l o l k i n 多元指数分布的加速寿命试验的最 优设计问题，对于g b v e 型指数分布的参数估计研究文献较多，但是对于加速寿 命试验的参数估计和最优设计问题的研究关注较少。 本文所研究的产品寿命是服从g b v e 型指数分布，而二元g b v e 型指数分布 早在1 9 6 0 年就已提出。但是，由于g b v e 型指数分布不属于标准的指数族，并且 其密度函数又具有复杂的形式，在较长的时间内，这个模型很少引起人们的注意。 直至u 1 9 8 6 年，h o u g a a r d 才指出g b v e 实际上描述了一种很有意义的物理现象。此后 人们开始研究g b v e 型指数分布，但基本上研究的是分布的特征和参数估计，没有 研究加速寿命试验的参数估汁和最优设计问题。 在实际应用中产品寿命可能服从g b v e 型多元指数分布，本文基于k 个应力 和k 个未知参数的加速方程下，解决了产品寿命服从g b v e 型多元指数分布的加 速寿命试验的参数估计和最优设计问题。 本文第二章讨论g b v e 型二元指数分布恒加试验下的参数估汁极其最优设计 问题，并且得到了相应的结论：如在2 2 节中研究了参数估计问题，给出了以和 的 极大似然估计。定理2 2 ，2 5 给出了定数和定时下的最优设计点。本义第三章讨论 g b v e 型多元指数分布步加试验下的参数估计极其最优设计问题，得到了与第二章 相类似的结论。第四章讨论g b y e 型多元指数分布加速寿命试验下的统计分析拓 展，它可以看成是g b v e 型多元指数分布的一般情况。 塾童_ _ l 一 4 第二章g b v e 型指数分布恒加试验的 统计分析 2 1 试验安排及参数估计 本文采用把元件和系统( 串联) 的加速寿命试验的截尾数据结合起来进行统计 分析的方法，讨论g b v e ( 0 1 ，如，6 ) 中的参数0 1 ，如，6 的极大似然估计和加速寿命试 验的最优设计问题。 第二章和第三章仅讨论相同元件串联系统的加速寿命试验的参数估计和最优 设计问题，不同元件串联系统的加速寿命试验情况比较复杂这里就不做讨论，第四 章讨论一般g b v e 型指数分布的加速寿命试验的统计分析。 2 1 1基本假定 设岛，& ，i & 为应力水平，其中岛为正常应力水平。记忱= 妒( 戤) ，i = 0 ，k ，其中妒( z ) 为应力水平s 的已知单调函数，所以不妨记妒o 妒l 且直接称慨为应力水平。 试验一：元件恒加试验的基本假定 a i ：从一批元件中随机选出n 个元件，并分为后个样本，分别为扎l ，n 2 ，n 七， n 1 + n 2 + + n 七= n ，其中第i 个样本将安排在& 下进行寿命试验。 a 2 ：在k 个加速应力水平下分别都进行截尾寿命试验，设在& 下啦个产品中 有r i 个失效，其失效数据为：t n 冬t t 2 t 饥。 a 3 ：在岛和s l 岛 0 ，i = 0 ，1 ，2 ，k 其中以为& 下产品的平均寿命。 a 4 ：产品的平均寿命o i 与所用的加速应力水平协之间满足： z n 以= 岛+ f l l5 i o i + + 凤一1 ( 露一1 k 2i = 0 ，1 ，2 ，凳 试验- - ：串联系统恒加试验的基本假定 5 笠三童l 塑旦里塑量堕坌查幽坠鲍缠盐佥堑6 a 1 ：m 个串联系统，并分为七个样本，分别为m 1 ，m 2 ，m 七，m 1 + m 2 + + m k = 仇，其中第i 个样本将安排在& 下进行寿命试验。 ，全鼍：两个元件构成串联系统的寿命t = m i n ( x i ：i = 1 ，2 ) ，其中咒为第i 个元 件的失效时间。 。a 3 ：在七个加速应力水平下分别都进行截尾寿命试验，设在& - vm i 个产品中 有尼个失效，其失效数据为：戤1 z f 2 x i r i o 。a 鼍孝岛和& 岛 t 2 ) = e x p 一i t l 仇1 ) 1 旭+ ( t 2 o , 2 ) 1 瓜】魂 i = 0 ，l ，2 ，k 由于元件相同，根据g b y 噩型指数分布的性质得到：吼1 ：巩2 。那么 f ( x ，f ) = p ( 丑 t l , 乃 2 ) = e x p 一i t l 晚) 1 蠡+ ( t 2 巩) 1 五】南 i = 0 ，l ，2 ，k a 5 ：哦与所用的加速应力水平仍之间仍然满足等式： 同元件串联 + 忌= m 。 而在定数截 在定数截尾 第二章g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析 2 1 3 基本引理 引理2 1 在应力水平忱下，产品失效时间的生存函数为 瓦= e x p ( 卅麦) 证明 由假定a 2 及a 4 知，在应力水平忱下 瓦( t ) = p i ( t t ) = 只( m i n ( x l ，咒) t ) = 只( 正 t ，t 2 z ) = e 印1 6 + w 蚴彬n = e x p ( 卅麦) 记正为应力水平仇下的单个元件寿命试验的总试验时间，则 正t = ( 礼 一 ( n i 一 亿) t 讥， n ) 兀， 定数截尾 定时截尾 记为应力水平忱下的两个元件串联系统寿命试验的总试验时间，则 瓦i = ( m i 一忌) 翰忍， ( m i r ) 蠢， i jlt 里2 2 以j 定数截尾试验时，有 定数截尾 定时截尾 e ( 互 ) = r i o i ，e ( 疋 ) = 2 6 r i o i z = 1 ，2 ，k 俐定时截尾试验时，有 e ( t t ) = n i o i p i ，e ( 瓦 ) = m i 2 。吼五 i = 1 ，2 ，k 其中巩= 1 九，a = 1 一e x p - a i t i 反= 1 一e x p 一2 6 九一) 口 7 + + 掰 铂 n学触 + + s i 叼 z z 见芦危纠 证明( 1 ) 因为互 一f ( r i ，i 0 i ) ，所以e ( 五i ) = n 仇，i ：l ，2 ，七 同理，因为毛一r ( 尼，2 6 毒) ，所以e ( 瓦 ) = r 2 6 吼，i = l ，2 ，七 ( 2 ) 设在应力水平仇t 雕j n i 个产品的寿命为巧，j = 1 ，2 ，仡，记 易：善1 ， 0 巧 瓦 n i 则n 2 蚤易因为e ( 易) = p 巧 1 ，并且c 越大，试验中需要的样本数目 越大。 定理2 1 由( 2 1 ) 式和n + 危= c 尼可以得到f i s h e r 信息阵的行列式为 证明 1 i i = a 8 ：掣( c 2 _ c ) 壹r 矿即玩( 叻咱) 2 i = 1 l i j l ( i n 2 ) 2 奄 忌 i = 1 七 ( r + n ) i = 1 k ( 忍+ r i ) 妒i i = 1 r 忱 i = 1 k ( r + n ) 妒 i = 1 k ( 忍+ ) 妒 i = 1 詹 忍妒；_ 1 i = l 岛 ( r + n ) 妒? 一1 i = 1 + n ) 谤 鬈 詹七知 r 妒：一1 ( r + r i ) 妒；一1 ( r + n ) 妒；妻( r + n ) 妒一2 i = 1i = 1 i = 1 i = 1 七 eer i = 1 七 e e 忍 = 1 七 e 忍忱 i = 1 k e r 仇 = 1 七 e r 协 = 1 七 e r 妒 i = 1 稽 露 七 k ee r 妒：- 1c r 妒? - 1 ee r 妒 c 忍妒一2 i = l i = 1i = 1i = l 舻 4 忌七 r ，i 奄：i 尼 卯 刍p 酽 q 以 蠡； 七1 七t p 谤砖 印 毗聊膏髻汹詹匹待 r 忍 w 箜三童g 旦塑型堂鏊佥壹堕塑达坠鲍缠盐佥堑 1 2 其中 ( 1 n 2 ) 2 c 2 ( 1 n 2 ) 2 c 2 七七 ( c 2 一c ) 冠+ c 咒 = 1t = 1 七 c r t = 1 南 c 冠忱 i - - - - 1 七 c 尼妒：_ 1 i - - - - 1 ( c 2 一c ) 尼 ( h 2 ) 2 ( 矿一扩- 1 ) i = l 七 c 尼 i = l 七 c 尼 i = l 七 c 尼协 i = l 七 c 尼妒：q t = 1 七 c 足妒：- 1 i - - 1 七 c 尼讲 i = l 七 c 忍妒? i = l 詹 七 膏 c 尼涝- 1c 尼妒c 妻忌妒_ 2 i = l i - - - - ii = l 詹詹 七 c 忍涝_ 1c 尼妒；c 冠四扣2 i - - - - 1i = l i - - - - 1 导过程可 协 忱 r 忌 七警汹 c c 砖澎 忍 甩 r厶汹七r厶汹 忱 蛾 忍 皿 奄警试 c c 忌 忍 七警：l c c r 七：l 第三章g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析 口 根据以上的讨论我们得出分别用n 和忌表示的f i s h e r 信息阵行列式的值，并 且可出两个f i s h e r 信息阵的行列式值的结构相同，下面根据f i s h e r 信息阵的行列 式值，讨论d 一最优问题。 定理2 2 在定数截尾恒加试验中，使得f j i 达到最大的忍和n 为： r 1 = r 22 = r k ，r l2r 22 = 仇 此时c = z 皿i + 1 。 证明要使i ，i 达到最大，即使i n l j i 达到最大，并且 k i ni i i = i n ( ( 1 n 2 ) 2 ( 矿一1 ) r r 1 飓r n ( 仍一亿) 2 ) i = 1 l s t 1 ，故h 为负定阵，即f ( r 1 ，r 七) 为严凹 函数。所以，( r l ，吼) 的最大点可由o f o p q = 1 昆+ 1 壹冠= 0 中解得： 冗l = = r k ，再由n 和忍在f i s h e r - 言息阵中的对称性质，得：，1 = ：仇， 那么c = 老+ 1 。 i - 1 2 2 3 弘最优 两元件串联系统平均寿命对数为l n ( 2 5 ) ，弘最优是以渐进方差最小为准则， 也就是寻找使得a s v a r ( 1 n ( 2 一瓴) ) 达到最小的点r l ，r 七和r l , ，“由于 1 4 笙三童一( 三聊型堂数分布恒加试验的统计分析 引理2 3 ( s h e r m a n m o r r i s o n 公式) 令a 是一个n n 的可逆矩阵，并且z 和y 是 两个n 1 向量，使得( a + x y 片) 可逆，则 证明见后面附录a ( a + x y t t ) i - 1 = a - 1 一再a - 孑 x y 丽h a i - 1 口 引理( 2 1 ) 称为矩阵求逆引理，是s h e r m a n - 与m o r r i s o n l 4 1 4 ，f 4 1 5 】于1 9 4 9 年和1 9 5 0 年 得到的。 矩阵求逆引理可以推广为矩阵之和的求逆公式： ( a + u b v ) 一1 = a 一1 一a 一1u b ( b + b v a 一1 u b ) 一1b v a l = a 一1 一a 一1 u ( i + b v a 一1 u ) 一1 b v a 一1 或者 ( a v v ) 一1 = a 一1 + a 一1 u ( z v a 一1 u ) 一1 v a 一1( 2 2 ) 这一公式是w o o d b u r y 于1 9 5 0 年得到的，详细可见参考文献 2 】，也称w 的d b u 珂公式。 矩阵，一v a 一1 u 有时称为容量矩阵( c 印a c i t a n c em a t r i x ) 。 定理2 3 依据引理偿圳，可以得到平均寿命对数的渐进方差的表达式为 ，( r 1 ，一，r k ) = a s v a r ( 1 n ( 2 6 0 0 ) ) 一1 + 由 r k 码i ( 一伽) 12 警1 忍鲁l i ( 妒f 一妒i ) 氅l 忍c 1 1 玛 ( 吻一) 2 。c 丢j 尼( f l ( 妒f 一妒i ) 2 ) 。亡玛疖( 叻一妒o ) 2 1 么i = in f t ( 妒l 一妒t ) 2 笔1r ( c 2 一c ) 硼蚴艄舯蜘信息黼= a 矿a ) ，不姗。1 = ，其与，具有相同的分块形式。那么可以得到等式a - ：) ( 羔k y 2 ( 2 3 ) 1 5 、il， o e 、ii 砼k 0 k 珏 = 、l， 笪皇鱼堡妲型堂鏊佥查堕堑达坠堕缠盐佥堑 1 6 ，从而得到m = 1 - - i 卢t y 3 ，k = - - 芦口t y 4 ，y 3 = ( p p t n a ) 一1 ，y 4 ：n ( n a p p t ) l 可以得出( p p r a a ) 一1 = 面1 酽g t q g ，其中 q = g t ： 根据引理( 2 q = 所以 一c 冬，冠 尼瞰) 一c i = 1 妒! _ 1 妒；。 妒：- 1 1 卜土) - r k 忍卜风 ( 怎。r ) z ( c 2 一c ) 一 1 i1 g 、 ) g 第二章g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析 根据 a s v q r ( 1 n ( 2 一瓴) ) = a s v a r ( 一万l i l 2 + 压+ 反妒o + + 历三妒：一，) =a s y n r ( t 圣o ) = 西彳，一1 西。 得出( 2 3 ) 式。 ( i n 2 ) ( 一l n ，妒3 。1 ) 蚝( 一l n 2 ) + ( 1 ，伽，妒3 以) m 口 1 7 定理2 4 完全样本时，在恒定应力定数截尾试验场合，f ( n l ，r 2 ，r 七一1 ) 为严格 凸函数 证明由( 2 3 ) 式可以推导出f ( r 1 ，r 2 ，凡) 是c 的减函数，那么c 越大，f ( n l ，忌， 凡) 越小，但是c 越大，试验的样本数就越大，所以这里我们不考虑因素c ，只考虑 兄1 ，兄2 ，凤的影响。 完全样本时，薹：r = m ，所以要使f ( r 1 ，凡) = a s v a r ( 1 n ( 2 6 6 1 0 ) ) 达 到最大，也就是使得j 笔- 乏盖尝篆碧b 达到最大。由于是完全样本试验，那么 r k m 一冗1 一疡一亿一l ，不妨设等2 卷筠，所以 由( 3 7 ) 式得出 f 2c 2 f ( r 1 , r 2 , , r k - 1 ) - 蔷+ 一+ 嘉彘 ( 2 4 ) 伊，2 等。 2 酲 蕊2 面r i + 瓦南 0 2 一 2 醺 瓦面2 石乏骊 a 冠a 局( m 一笔：r ) 3 i = 1 ，2 ，k 一1 i j l 伽 一、l-、 胁l 仇；市 斗 2 蚝 动 箜三童g 旦塑型指塾佥查堕趣试验的统计分析 设h t = 等， i = 1 ，2 ，七一1 所以f ( r 1 ，r 2 ，r k - 1 ) 的h e s s i 。n 矩阵为： h ( f ) 饥 2 + 七 k h k 一1 + h k 、i + h k 饥j h 1 8 f ( r l ，r 2 ，飞一1 ) 也 口 ( i n 2 一瓴) 达到最 磊= o 中解得， 弓= 凡斟，其 口 、lliil 南 七 一 危 2 k；k k ，ji。i一，i-_iii。一 第二章 g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析1 9 一一一 一_ _ - - - _ _ _ - - _ _ _ _ - _ _ - - _ _ - _ - _ _ - _ _ - _ - - _ - - - _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ 一 2 3 恒定应力下定时截尾试验时的最优设计 2 3 1f i s h e r 信息阵 通过对l n l 求各参数的二阶偏导数和混合偏导数的负数学期望，可得口= ( 正阮，卢1 ，仇一1 ) 的f i s h e r 信息阵为 j = ( 三譬) 这里 6 = 0 n 2 ) 2 m 么 n t ：( 一壹l n2 m ；反一圭l i l 2 m 属协一圭l i l 2 m ；p ，妒；一、) i = 1i = 1 i = 1 其中t 代表转置 七 k 奄 f ( 盹p i + m 4 ) ( n i p i + m 赢) 慨 e “( n t p i + 仇i 蔹) 妒；一1 l i = 1 i = 1 i = 1 。 a = 其中 詹 七 七 ( n i p i + m 五) 仇( n i p i + m t 鼽，2 ( 啦p i + m i 反) 妒 i = 1i = 1 i = l 七 七 知 ( n i p i + m 或) 妒；_ 1( n i 风+ m f 磊) 力 壹( p i + 仇i 魏，2 詹一2 i = 1 i = ii = 1 a = 一e x p ( 一薏) 佗1 + n 2 + + 仡七= n 五= 一e x p ( 一2 6 毒) m + m 。+ + m 七= m 互，z 分别为试验一和试验二在q o i 下的截尾时间。 ( 2 5 ) 的推导：由引理2 1 知，在定时截尾试验中，对数似然函数为 l n l = - ( n + 兄) 1 n 或+ 反r l n2 一麦( 死一2 氐疋 ) 其中 死= 幻+ 气( 佻一r i ) j = i 皿 = + 一( 佻一尼) ( 2 5 ) 第二章g b v e 型指 那么 护l n a 6 2 沪l n a a a a 了 沪l n 三 8 8 2 一 铲l nl 8 f 3 8 a 8 j 由引理2 2 得： 董险查堕垄达堕鲍缠盐佥堑 2 0 暑一抑啪飓) 善麦巾2 死) ；一麦+ 2 6 ) 萎一瓦1 妒( 死榭) e ( a 2 1 n l ) ：一 七 ( 1 n2 ) 2 m t 五 = 1 即鬻卜扣砚材1 丽0 2 1 nl = 妻护m 蚴 a 6 8 8 0 色e t 卜m 跏。 j = 1 ，2 ，k 一1 j = 0 ，1 ，k 一1 8 j ，s ，j = 1 ，2 ，k 一1 即鬻卜扣喇 歹= 1 ，2 ，k 一1 箜三童堡虽弼型指数分布恒加试验的统计分析 定理2 7 为使达到最大，需满足条件： m 。1 一e x p ( 趔蔷) 1 一e x p ( 划考) 礼；一1 一e x p ( 一2 6 薏) 一= - - - - - - - - - - 二- - - - 二一 1 一e x p ( 趔苦) 证明类似定理2 2 证明，使i 引达到最大，需满足条件：m 1 硝：m 南以，m 】p 】： 2 m k p k o 由m l p x = = m 厩，我们可以得到 即得 同理可得 佻( 1 一唧( 卅薏) ) = ( 1 一e x p ( 卅若) ) 此时c2 器+ 1 2 3 3 弘最优 n i l e x p ( - 2 6 毒) 1 一e x p ( - 2 6 秀) 口 两元件串联系统平均寿命对数为l n ( 2 一o o ) ，弘最优是以渐进方差最小为准则， 也就是寻找使得a s v a r ( i n ( 2 。0 0 ) ) 达到最小的点m 1 ，m 七和n l ，n 七。由于 l i l 菇= 磊+ 反妒，+ + 历三c 砖一t 那么 邓一正恒 2 1 鬻 卜 = 旦叻 第二章c b v e 型_ 指数分布恒加试验的统计分析 a s y a r ( 1 n ( 2 一v o ) ) =a s v a r ( - 6 1 n 2 + 扁+ p 1 伽+ + 仇一1 妒3 1 ) _、 ， a s y a r ( 矿圣o ) ：圣吾j 一1 圣。 其中i 为p 的f i s h e r 信息阵，那么v - 最优就是寻找使得圣蚕，一1 圣。达到最小的点m 1 ，m k 和n 1 ，n 七。 定理2 8 依据引理俚剀，可以得到平均寿命对数的渐进方差的表达式为 f ( m 1 ，m 七) = a s v a r ( 1 n2 0 名) 1 + c l _ l 1r 七丌7 一 、 1 2 1 l j # i ( v j - - v o ) ：，! ! = ! 一r一 垒1 m t 蛾 - - , i = 1 n l t ( 妒l 一忱) 笔1 m i 蛾c l + 也1 k ：。器监等 。c 一括lm 删n f 粕( 妒l 一妒 ) 2 + ：，蝌壶 证明证明类似于定理( 2 3 ) 的推导 定理2 g 恒定应力定时截尾试验场合，f ( m l ，m 七) 为严格凸函数 ( 2 6 ) 口 证明通过推导司以得出，( m 1 ，m ) 是c 和棘的递减函数，但是由于n i p i + m i l = c m i 磊，我们可以得出，定时截尾时间越大，c 越大，五也越大，而定时截尾时间点 在实际当中不能任意大，因此考虑在定时截尾时间点给定下，找m l ，m k ，使 得- f ( m l ，m 七) 达到最小，同样道理适用予f ( n l ，佗七) 的情况。 不妨设 1k k 。蝌 c 厶嘲n 蜥( 讼一蛾) 2 州+ 击一：，粼刍 + f 七堕塑! 堕二丝芝上 - = 1 兀l ( 妒f 一妒i ) 。c 2 一c 所以 “帆 朋沪善箍+ 壶 笪三童一g b v e 型指数分布恒加试验的统计分析 - _ - - - - - - - _ _ _ - _ _ _ _ - _ i _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ _ _ - 一 由于圭m i p ：= m 一圭e x p ( 一2 a 若1 ，所以只需要求，( m 。， 由于：= m 一 ( 一2 6 丢) ，所以只需要求，( m 1 ， = 1i = 1 、 大时的m 1 ，m 南即可。 由于f ( m l ，m k 一1 ) = 二阶偏导数得到： + 磊+ 箍+ + ，) = 至k m k 矗达到最1 ，) = 茄达到最 t = 对f ( m l ，m k 一1 ) 取 i = 1 ，2 ，k 丽0 2 f 2 一 嗍 溉呐( m 一旨m ；m 3 盱j 设鬼= 篙簪，i = l ，2 ，后一1 所以，( 仇。，m 。，m 七一，) 的h e s s i o n 矩阵为： h ( f ) = h 1 - 4 - h j , k k 饥 危2 + k k 七 + h k 一1 + h k 所以h ( f ) 为正定阵，e p f ( m l ，m k 一1 ) 为严格凸函数。同理可证，( n 1 ，佗七一1 ) 为 严格凸函数。 口 定理2 1 0 在恒定应力下定时截尾试验场合下，使a s v a r ( 1 n 2 5 氏) 达到最小的m ( z ： 1 ，2 ，七) ，n i ( i = 1 ，2 ，k ) 为j m i2 n i2 m l f , 倔 k j = l鹄l 如l n l c , v 俩i 1 一 i 白何i j = l ( 2 7 ) 2 3 鲤槲蟹瓦 = 堕懈 凤凰； 、lliii， k k k k 笪三皇二堡塑型塑塾佥查堕垄达坠煎缠盐佥堑 2 4 证明与定理2 5 类似。 ，( m 。，m 。，m 知) ：j 冬+ 乓 r 2 l p lm 2 p 2 鲤鱼：+ ( 鱼丛+ ( 垒远! = 砌。，n 2 ，讯) ：旦+ 旦+ + 曼 n l p ln 2 p 2 n 七p 七 m 七 堡监01 鱼巫0 + 坠巫! ： n l n 2 n 七 口 第三章g b v e 型指数分布步加试验下的 统计分析 3 1 基本假定及引理 3 1 1 基本假设 实验一：从一批产品中随机抽取n 个产品进行步加试验，每步对未失效产品继 续在下一级应力水平下进行试验，这里应力水平转换时间有两种方式：一是在事先 规定的时间到达时，把应力水平转换到高一级应力水平，二是在达到事先规定的失 效数时及时转换应力水平，前者称为定时转换步加试验，后者称为定数转换步加试 验。 实验二：从一批产品中随机抽取m 个产品进行步加试验。 试验一和试验二的其他假设详见2 1 2 ，并且两个试验都新增一条假设： n e l s o n 假定产品的剩余寿命仅依赖于当时已累积失效部分和当时的应力水 平，而与累积方式无关。 3 1 2 试验安排 试验一和试验二同时进行步加试验，从而得到两批截尾试验数据： t n t i 2 st i t x i l z i 2 z 打l i = 1 ，2 ，k 其中r i ( i = 1 ，2 ，七) 为元件失效的产品数，尼“= l ，2 ，七) 为两相同元件串联 系统的失效产品数。并且r l + r 2 + + + r c = n ，r 1 = r 2 + + r 七+ 见= m 。 要注意的是： 试验一：如在定时截尾试验时，记死为应力s 改变成& + 1 的时刻，而在定数截 尾试验时t = t 饥 试验二：在定时截尾试验时，记记兀为应力& 改变成& + 1 的时刻，而在定数截 尾试验时瓦7 = x i n 3 1 3 基本引理 试验一由假设a 1 一a 4 和假设b 易得如下的： 笠三j l 塑里里坠盟邀生堂达堕堕缠盐佥堑 2 6 引理3 1 样本在k 个应力下的寿命分布为： a ( t ) = 日( t ) ，0 t n f 2 ( 6 l + t n ) ，n t 死 ， 凡( 以一1 + t 一亿一1 ) ，一l t i 证明与定理2 1 类似。 定理3 7 当a i = a 2 = = a ，a ：= a ：= = a ：时，i 引达到最大，此时， 鼽2 杰 。，一p l 见2f 丽 那么使得i 引达到最大的几应该满足下面等式： v i 口 1 唧( 一半) = 击苌慧b p 6 ， 第三章g b v e 型指数分布步进试验的统计分析 证明要使i ，i 达到最大，即使l n l 引达到最大，并且 奄七 l nl ，i = 2 i n i n 2 + l n ( e k 一矿- 1 ) + i n m a ：+ i n r a a ：+ l i l ( 仍一仇) 2 ， i = 1i = 1 1 1 ，那么l i l ( 一一1 ) 是c 的递增函数