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西安建筑科技大学硕士学位论文 一类拟正则半群的结构 专业：应用数学 硕士生：袁莹 指导教师：任学明教授 摘要 半群代数理论是代数学的一个重要分支。自半群的系统研究至今，正则半群 及其子类的研究总是半群理论研究中的一个主流方向。半个多世纪以来，拟正则 半群作为正则半群的一个重要推广，它的研究受到越来越多人的关注。 j l g a l b i a t i 和m l v e r o n e s i 在0 nq u a s i c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ) 一文 中最先研究拟正则半群，并刻画了拟完全正则半群的基本性质和特征。m c i r i c 和 s b o 酣a n o v i c 研究拟正则半群，把正则半群类中纯正半群的结构定理，即著名的 h a l l - y a m a d a 定理，推广到了拟正则半群类中。1 9 9 6 年以前，关于拟正则半群研 究的主要结果，在k e s h u m 和y q g u o r e g u l a rs e m i g r o u p sa n d i t s g e n e r a l i z a t i o n s ) ) 中做了全面系统的综述。 本文主要研究一类拟正则半群，所谓拟右半群，该类半群是具有左中心幂等 元的拟正则半群，且它的正则元集为其理想。本文给出了拟右半群的基本性质和 特征，建立了拟右半群的结构定理以及它的若干特殊子类的代数结构。 全文分为四章： 第一章：引言及若干准备。 第二章：拟右半群的定义及性质。 第三章：利用半群的一积的概念，建立了拟右半群的一个代数结构。 第四章：引入半群口一积的概念，给出了强拟右半群的一种构造。 关键词：半群；拟右半群；强拟右半群：左中心幂等元 西安建筑科技大学硕士学位论文 o nt h es t r u t u r eo fac l a s so f q u a s i r e g u l a rs e m i g r o u p s s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：y u a ny i n g i n s t r u c t o r ：r e nx u e m i n g a 丑s 瞰c t t h et h e o r yo fs e m i g r o u p si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fa l g e b r a f r o mt h es y s t e ms t u d y o f s e m i g r o u p su pt on o w , t h es t u d yo fr e g u l a rs e m i g r o u p sa n dt h e i rs u b c l a s s e si sa l w a y s a ne s s e n t i a ld i r e c t i o ni nt h es t u d yo ft h et h e o r yo fs e m i g r o u p s a sa ni m p o r t a n t g e n e r a l i z a t i o no fr e g u l a rs e m i g r o u p ，q u a s i r e g u l a rs e m i g r o u p sa r ep a i e da t t e n t i o nt ob y m o r ea n dm o r ep e o p l es m c em o r et h a nh m fac e n t u r y j l g a l b i a t ia n dm l v e r o n e s i ss t u d i e df i r s t l yq u a s i r e g u l a rs e m i g r o u p si n 0 n q u a s i c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ，a n dd e p i c t e dt h eb a s i cp r o p e r t i e sa n d c h a r a c t e r i s t i c so f q u a s i r e g u l a rs e m i g r o u p s m c i r i c a n d s b o g d a n o v i c s t u d i e d q u a s i r e g u l a rs e m i g r o u p s ，a n de x t e n d e dt h es t r u c t u r et h e o r e mo f o r t h o d o xs e m i g r o u p si n t h ec l a s so fr e g u l a rs e m i g r o u p st oq u a s i r e g u l a rs e r e i g r o u p s i n19 9 6 ，k p s h u ma n d y q g u oo v e r v i e w e dc o m p l e t e l ya n ds y s t e m a t i c a l l yt h em a i nr e s u l t so nq u a s i r e g u l a r s e m i g r o u p si n t h er e g u l a rs e m i g r o u p s a n di t sg e n e r a l i z a t i o n s t h i s p a p e rs t u d i e sm a i n l y aq u a s i - r e g u l a rs e m i g r o u p ，s o c a l l e dq u a s i r i g h t s e m i g r o u p ，w h i c hi saq u a s i r e g u l a rs e m i g r o u pw i t hl e f tc e n t r a li d e m p o t e n t sa n dt h e s e to fr e g u l a re l e m e n t si sa ni d e a lo fi t t h i sp a p e rg i v et h eb a s i cp r o p e r t i e sm a d c h a r a c t e r i s t i c so fq u a s i r i g h ts e m i g r o u p s ，a n dc o n s t r u c tt h ea l g e b r as t r u c t u r e so fa q u a s i r i g h ts e m i g r o u pa n ds o m eo fi t ss p e c i a lc a s e s t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v es o m eb a s i cn o t a t i o n sa n ds o m ep r e p a r a t i o n s ；w eg i v e s o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sf o rq u a s i r i g h ts e m i g r o u p si nt h es e c o n dc h a p t e r ；i n t h et h i r dc h a p t e r , w eb u i l du pt h es t r u c t u r eo faq u a s i - r i g h ts e m i g r o u pb yu s i n gt h e c o n c e p to fa p r o d u c t ；l a s t l y , w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to f0 一p r o d u c t ，a n dg i v ea s t r u c t u r eo fas t r o n gq u a s i r i g h ts e m i g r o u p k e yw o r d s ：s e m i g r o u p s ，q u a s i r i g h ts e m i g r o u p s ，s t r o n gq u a s i r i g h ts e m i g r o u p s ，l e f t c e n t r a li d e m p o t e n t i i 声明 y - 8 4 1 4 2 1 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究t 作及取得的研究成果。尽我所知，除r 文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均己在论文巾作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 七彤 沦文作者签名：万i 乏 关于论文使用授权的说明 日期： 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制 段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名：彰兹 导师签名： 注：请将此页附在论文首页。 日期：孑伊i - f 西安建筑科技大学硕士学位论文 第一章引言及若干准备 1 1 引言 尽管半群是群的一个推广，但半群理论，以其特有的研究对象、研究课题和 研究方法，完全独立于群论之外。在数学史上，“半群”的研究可追溯到1 9 0 4 年， 然而它的系统研究，始于上世纪5 ( ) 年代初。由于各类半群在许多学科中的广泛应 用，特别是计算机科学，非线性动力系统等学科的巨大推动，使半群成为代数：学 的一个重要的分支学科。 半个多世纪以来，正则半群类及其子类的研究已经成为半群代数理论研究中 的一个主流方向。自上世纪七十年代末开始，为人们所关注的所谓拟正则( 或称 幂正则，n 一正则) 半群是目前非正则半群研究中的一个活跃的领域。j l g a l b i a t i 和m l v e r o n e s i 在o nq u a s i c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ) 中最先讨论拟正则半 群，并刻画了拟完全正则半群的基本性质和特征。m c i f i c 和s b o g d a n o v i c 研究 拟正则半群，把正则半群类中纯正半群的结构定理，即著名的h a l l y a m a d a 定理， 推广到了拟正则半群类中。1 9 9 6 年以前，关于拟正则半群的主要研究结果， k e s h u m 和y q g u o 在 r e g u l a rs e m i g r o u p sa n di t sg e n e r a l i z a t i o n s ) ) 中曾做了仝 面系统的综述。 本文主要研究一类拟正则半群，所谓拟右半群。本文给出了拟右半群的基本 性质和特征，建立了拟右半群的结构定理以及它的若干特殊予类的代数结构。 1 2 若干准备 本节，我们将回顾第二：、三、四章讨论所涉及到的半群的基本概念和性质。 1 2 1 基本概念1 2 1 令s 为一半群。半群s 的元素a 称为正则的，如果存在元素x s ，使得 口= a x ao 半群s 的元素a 称为拟正则的，如果存在自然数n ，使得日”为正则的。 半群s 的元素a 称为完全正则的，如果存在x s 使得口= a x a ，且“= x a 。 半群s 称为正则( 拟正则，完全正则) 的，如果s 的每个元素都是正则( 拟 正则，完全正则) 的。 西安建筑科技大学硕士学位论文 拟! e 则半群s 称为拟完全正则的，如粱s 的正则元为完全i e 颂0 元： 设q 是集合( 非空) ，在q 上有部分运算，记为9 巾元的连接。称q 为 部分半群，若关于任意x ，y ，z q ，积( x y ) z 和x ( y z ) 两者均存在蕴宵 ( x y ) z ：x ( y z ) ；称q 是强部分半群，若( x y ) z 与x ( y z ) 之任一存在蕴含另 存 在，且有( x y ) z = x ( y z l 。 设q 是一 强 部分半群，称q 为幂歧的，若对任意x q ，存在自然数n 2 ， 使x ”无定义。 半群s 称为单半群，如果s 是它自己唯一的理想。 半群s 称为右单半群，如果s 是它自己唯一的右理想。 半群s 称为带，如果s 中的每个元素均为幂等元。 拟正则半群s 称为拟右群，如果s 的幂等元集为右零带。 半群s 称为右群，如果s 是左可消的右单半群。 带s 称为右正规带，如果关于任意x ，y ，z s ，使得x - y z = y x z 。 带s 称为正规带，如果关于任意x ，y ，z s ，使得x y z x = x z y x 。 带s 成为右零带，如果关于任意x ，y s ，使得x y = y 。 哔群s 称为具有左中心幂等元，如果关于任意x ，y s 1 ，y l ，及任意e e ( s ) ， 使得x e y = e x y 。 文中未见的术语和记号，见文献 1 2 。 1 2 2 基本性质 我们先回顾一下常用来研究半群性质和特征的g r e e n 关系和广义g r e e n 关 系 2 1 ： 令s 为半群，吼c ，7 表示s 上的如下g r e e n 关系： 关于任意a ，b s ， d 础a s l = b s l ， a 6 s 1 a = s 1 b ， a y b s 1 a s l = s 1 b s l ， 5 t = r n 。 令s 为拟正则半群，吖，j 表示s 上的如下广义g r e e n 关系： 关于任意日，b s ， 四+ b 舒a7 ( 4 ) s ：6 7 ( 6 ) s 1 ， 口+ b s 1 a ( 。) ：s 1 b7 ( ”， 西安建筑科技大学硕士学位论文 口j + b s 1 a ( 。) s 1 ：s 1 b7 妒s 1 ， = n 其中，( 日) = m i n n z + ia ”r e g s ，a s ，称为a 的正则指数。 本文，我们总用r e $ 表示半群s 的正则元集，e 表示半群s 的幂等元集。 引理1 1 2 1 令s 为拟正则半群，则了+ 为s 上的最小半格同余。 引理1 2 若s 是完全正则半群，则s ，是半格，且s 中的每个，类是 完全单半群。 引理1 3 3 1 若a 和b 是半群s 的正则元，则a 最多铮a b ，a 助a c + b 口3 b 牟口，b 。 弓i 理1 4 1 1 若c ，b s ，p ，厂e ( s ) ，贝9 ( i ) a b 3 x ，y s 使得a = x b ，b = y a ； ( i i ) 口民b 岱3 x ，y s 1 使得a = b x ，b = a y ； ( i i i ) e l f 当且仅当e f = e ，f e = ，； f i v ) e 盯当且仅当e f = f ，f e = = e 。 引理1 5 2 1 关于半群s ，以下条件是等价的： ( i )s 是右群； ( ii ) s 是右单半群且含有幂等元； ( i i i ) 存在一个左恒等元e s ，且对所有a s 满足e a s ； ( i v ) s 兰g e ，这里g 是一个群，e 是一个右零半群。 引理l - 6 f 1 1 一个带是j e 规的，当且仅当它是矩形带的强半格。 引理1 7 关于半群s ，以下条件是等价的： ( i )s 是矩形带； ( i i ) ( v a ，b s ) a b = b a oa = b ； ( i i i ) ( v a ，b s ) a b a = a ； ( i v ) ( v a s ) ，a 2 = 口，且( v a ，b ，c s ) a b c = c 。 引理1 8 2 t 关于半群s ，以下条件是等价的： ( i ) s 是完全单半群； ( i i ) s 是完全正则的，且对于任意的x ，y s 有麟= ( 置m ) ( 砂w ) ( i i i ) s 是完全正则的，且是单的。 西安建筑科技大学硕：学位论文 第二章拟右半群的定义及性质 在巴一章中，我们回顾了半群中的一些基本概念和性质。本章 些概念和性质研究一类拟日：则半群，所谓拟右半群的基本性质。 2 1定义及基本性质 定义2 1 拟正则半群s 称为拟右半群，如果s 具有左中心幂等元，日r e g s 为 s 的理想。 引理2 1 若s 为拟右半群，则s 是拟完全正则的。 证明：设a 为正则元，则存在x s 使得a _ c a = a 。显然f 猫，x 口e 。令y = x o ：a 则由s 具左中心幂等元，有 a y a = a ( x x a ) a = a ( x a x a ) = a ? g a = a a y = a x x o = ( 烈) ( 埘) = x a x o = x a y a = ( x x a ) a = r x a ) x a = x a = a y 这表明，元素a 为完全正则元，从而s 为拟完全正则半群。 引理2 2 若s 为拟右半群，则r e 硝是完全正则半群。 证明：由引理2 1 可知，r e 筘是完全正则的，则关于任意a , b r e g s ，存在 a y ( 盯) ，b v ( b 。) 满足a a 。= a g l ，b b = b b 。 a b = 盯da b bb 2 ( o a ) ( d 6 ) ( 6 。b ) 2 ( a b ) ( a a ) ( 6 b ) = ( a b ) b ( d d ) b 2 ( a b ) b ( aa ) b2 ( 6 ) ( 6 “) ( 6 ) 则a b r e g s 。易知r e 譬s 是一个完全正则半群。 引理2 3 若s 为拟右半群，则为s 上的最小半格同余。 证明：我们先证明，在拟右半群s 上，恒有习+ 。根据拟右半群的定义，我 们知道，若a s ，则a t ( 。为s 的正则元，从而存在x s ，使口7 扣) x a 巾) = 口7 ( 。又因 s 具有左中心幂等元，根据其性质，有 s 1 a t ( a ) s 1 = s l a r ( a l x a ( 4 ) s 1 = 口7 ( 4 ) j 圆1 a ( 。) s 1 d7 ( 。) s 1 至s 1 口r ( a i s l 西安建筑科技犬学硕：学位论文 因此，关于任意a s ，我们有s l d 巾s 1 = 。r l a q 。| 1 。据定义，易知a 鳗bj 与h 仅 当a j b 。又据引理1 1 ，y 为拟右半群s 上的最小半格唰余，从而为拟赢半群 s 上的最小半格同余。 引理2 4 若s 为拟右半群，则r e g s 的每个叹璞为右群。 证明：根据引理2 2 ，我们知道r e 筘是一个完全正则半群。再由引理】： 我 们知道，关于任意口，b r e 庐，则a y b a y + b ，根据引理1 2 我们知道r e 驴y 是一个半格，且r e 萨的每一个二7 璞为完全单半群。由引理2 3 ，我们有r e 萨崴， 是一个半格，且r e g s 的每一个噼类为完全单半群。现在我们记r e 庐耍己为y ，并 用半格j ，加标r e 庐的每一个氓蕉，则记r e 庐的每一个宅类为? ：，e 。表示瓦中 的幂等元集合。再由引理1 8 ( i i i ) 瓦是完全正则的且是单的。根据单半群的定义， 我们有关于任意a 瓦， 疋2 瓦n 瓦 2 t 。积n 瓦 2 a x 瓦d 瓦 2 0 x 兀 口疋 l 口l 。瓦 因此关于任意ae 疋，我们有口瓦= 疋。根据右单半群的定义，知l 是右单半群。 因为瓦是完全单半群，则关于任意a 疋，存在盯瓦，有a a r a ，因此l 至少包 含一个幂等元，再由引理1 5 ( i i ) ，我们证得l 是右群。 引理2 5 若s 为拟右半群，则r e 筘为右群的强半格。 证明：由引理1 5 ( i v ) ，我们有疋= g 。e 。，这里g 。= 疋e 。，固定取8 。e 。， 且e 。是一个右零带。 下面我们验证一下： 验证：( i ) l e 。是一个群，e 。乜 证明：任意存在x ，y l ，我们有( x e 。) ( f 。) = x y e 。p 。= x y e 。2 = x y e 。，因此7 ：e 。是 l 的子半群；由于e a l e 。= = ：l e 。口。= l e 。2 = l e 。，则p 。是l e 。的恒等元；再由右 群的定义( v a ，b s ，j x s ，甜= b ) 。关于任意口l p 。，唯一存在x 瓦，a x ze 。 因此a ( x e 。) = ( a x ) e 。= e 。2 = e 。因为“l e 。l ，这里瓦是一个完全正则半群， 西安建筑科技大学硕上学位论文 有x a = 甜= e 。我们有( x e 。协= p 。( x 口) = 。2 = e 。，因此存在a 的逆元x e 。因此l 。， 是一个群，e 。色。 ( i i ) 瓯足。个右零带 证明：关于任意e ，f e a ，我们有e j e f = f e e f = f e f = 4 f e j ，因此坟是一个带， 由于e 。r e 萨。，且r e 筘。是一个右单半群，因此存在“r e 庐。满足e “= 厂，我 们有e f = e e u = e l g = f ，因此e 。是一个右零带。 ( i i i ) 瓦兰g 。e 。 证明：定义p ：g 。丘呻瓦( 令瓯= l e 。) ：妒( x ，f ) = x f ，x ( 毛f 坟，关j 二 任意( x ，) g 。e 。，( 儿g ) g 。e 。，由左中心幂等元的性质，我们有 妒( x ，厂) 妒( y ，g ) = ) 7 孵= x y f g = x y g = 妒 ( x ，厂) ( y ，g ) ，因此妒是同态。 我们假定o ( x ，f ) = 妒( 弘g ) ，关于任意( x ，y ) ，( 弘g ) g 。玩，则我们有可= y g ，两 边同乘e 。有) 毋。= y g e 。，由于e 。是右零带，我们有x e 。= y e 。又因为x ，y g 一 所以工= y ，因此x f = x g ，又因为右群满足左消去律，则i ，= g ，因此我们就有 ( z ，力= ( 弘g ) ，这证明了妒是单射。关于任意瓦，我们有妒( n e 。，a 口) = h ，证 明了驴是满射。所以得证疋兰瓯玩。 由前面的证明，我们知道e 是一个右正规带，e 。是一个右零带。而关于任意 p ，f ，g e ，我们有e f g e = g ( 您) = e ( g 詹) = e g f e ，根据正规带的定义我们知道e 是 一个正规带，又由引理1 6 、引理1 7 ( i i i ) 我们知e 。是矩形带，且e 为坟的强 半格，所以我们记e = 【y ；占。；口】。 我们记g = u 瓯。设g 。= l e 。，e 。，且g p = ，p ，e f ，我们有 r g n g 日 2 t 1 e 08 e8 = = 咒e 。8 ， 量乙e a # 即g 。g 口g 0 ，也就证明了g 是群g 。的半格。 而我们又知道群的半格即是群的强半格，我们记g = 【匕g 。；厶口】。 现在我们来证明r e g s 是一个右群咒的强半格。为了证明了r e g s 是一个右群 l 的强半格我们需要找出一个映射使它满足强半格映射的条件。 西安建筑科技人学顶= 【= 学位论文 从上面我们能够诱导出以下映射： 0 郇：瓦= g 。e 。_ = g 口e 关于任意( a ，p ) 瓦，我们有 ( 臼，e ) o 。，p 寸( a 厶口，p ，口) ( i ) 我们先证明映射畿。是一个同态 关于任意( 口，p ) ，( 6 ，厂) 瓦，我们有 ( 口，p ) 凡，口( 6 ，厂) 吼，口 2 炙，口，口，口) ( 6 厶向哪) 2 如 蚶b 。8 ，e q 。8 栩蝴、 = ( 曲厶口，c f 叩a , f 1 ) 2 0 6 ，盯) 吼，口 2 【( ，e ) ( 6 ，删p 。口 因此证明了吼。是一个同态。 ( i i ) 盟然，关于任意口y ，以。是疋的自同态。 ( i i i ) 现在我们证明巳，口满足以，口，= 0 a 口y 关于任意( 口，p ) e 疋，我们有 ( 口，p ) 乳，口o p ， 2 t n 。8 ，e r l 。b ) 08 r = 蝤 。口 $ p e q 。讲8 ，1 2 0 善 ，e r l ”) 2 ( 仉e ) o ， 即证得眈，口，= 吼口卢，。 最后，我们证明关于任意d ，r ，瓦，b ，a b = a o 。e c b o 口，刚。 因为g 是群g 。的强半格，五是右零带玩的强半格。我们有 ( d ，p ) ( 6 ，厂) 2 ( 曲，盯) 3 ( 口孝。，印6 白, a f t ，e q 。，印刁p ，印) = 扣厶朋，e r l a , a f l ) 0 4 口，卵，_ ，扫口，叩) 2 ( 日，引o ，邓( b ，f ) o p ，卵 西安建筑科技大学硕士学位淦文 因此我们证明了r e 茚是一个右群咒的强半格。 定理2 1 若s 是一个拟右半群，则s 是一个右群强半格的诣零理想扩张。 证明：由上面的引理，易知r e 庐是右群的强半格，又因为r e 静s 是s 1 的理 想，所以s 是一个右群强半格的诣零理想扩张。 2 2 举例 我们举个拟右半群的例子： 令s = n ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，m ，” 它的乘法表如下： abc d e g hi ，n h 易验证( s ，+ ) 为一个半群，非正则元集为 ，6 ) ，正则元集 r e g s 2 k d ，p ，f ，g ， ，i ，r t t ，”) ，幂等元集e = c ，d ，e ，g ) ，容易验证r e g s 为半群s 的一个理想，且幂等元皆为左中心幂等元。根据拟右半群的定义，我们得知( s ，+ ) 为拟右半群。 厂厂”厂厂矗m d m厂晰厂所m厂厂竹d”d g，g，g g g e hg厅g譬g；p，p g g g g g g g g g g g ，广广，广， g p g 0 e g g，； 厂d 厂d d ，厂m n m c g c g g g g b o g g g 厂d 厂d d厂厂mm” c g c g g g g g g g g 口6 c d p厂g矗，m” 西安建筑科技大学硕： 学位沦文 第三章拟右半群的结构 本章，我们利用半群的积和第二章中的拟右半群的基本性质，建立拟右强 群的一个结构定理。 令】，为一半格，q 为一幂歧部分半群。 设映射o ：q 斗y 为q 到y 的部分同态。 ( a ) 对任意口y ，口o ( q ) 时，记绒= 0 。1 ) ，而d y o ( q ) ，记眈= m 。 ( b ) t = 【y ；l ：厶，口 是半群t 的强半格。= 【y ；j 。；他口 半群l 的强半格。 ( c ) 对每口y ，记 s ”。= q 。u 砭，s = t o 。，s 。= 眈u s 和s u s o 。 口e y ( d ) 设集合0 上的石变换半群为r ( a ) 。 则对任意岱，y ，甜，我们定义如下映射： ( a ) q b 。( 1 。) p ：s 孑 r ( j 口) ( z f ，i ) 卜妒黯 ( b ) q b ( 2 ) ：s 2 斗 d h 乜吼d ( c ) o 易：线。r ( ，口) o 卜 p ：。口 ( e ) 上述映射满足以下的条件： ( p 1 ) 若盘，卢y ，a s 。，b s p ，且如果o b 在q 中没有定义，则伊：，叩妒；棚 是作用在，印上的常值映射，记这个映射积的值为( 戎脚p ：，印) 。 ( p 2 ) ( i ) 中彩i 毛2 厶，口 ( i i ) 若口，卢，y y ，口卢y ，则 ae 口i b 8 8 7 2 a 8 2 j a q 4 ( p 3 ) 设口，卢，j y ，o 猡占。考虑以下几种情况： ( i ) 若a 皱，b o 。，a b 如，则 ( a ) ( a b ) 8 帮，d2 拉0 咿b0 f ，d ( b ) p 茹，。= 9 ：，。妒；，。 ( i i ) 若d 见，b o f 和a b 诺q 卵，记“2 d 以印b0 ，掣，f 2 ( 妒：，筇b 掣) 则有妒：，d 妒芦b 。= 妒堵：。 曲安建筑科技大学硕士! 学位论文 ( i i j ) 若d q 。，t v ，) s 箩，记“= 口口。，妒v 口卢妒，i = ( p ：卵妒彩) ， “+ 2 v 臼口印“以，卵，j + 2 ( 妒茹妒：，卵) ，则妒：，；妒= 妒嚣：， 妒劳；妒：，2 妒茹二。 ( i v ) 若( “，f ) s ：“，( v ，) s s 萝，则伊嚣硝；= 戎搭，这里“v 是在t 里的积，扩是，里的积。 ( p 5 ) ( i ) 若( “，i ) s 孑，b q 口，c q ，b c 仨q 脚，口阿= j ，则 ( 妒z ；妒；，d 妒；，a 2i 2 i ) 妒；。d ，t o 。( u 。1 妒多) = ) ( p 6 ) ( i ) 若( “，f ) s ? ，( p 口，) s 箩，a o y ，q 步，= 占，贝0 ( 妒警；”。和”妒量。) = ，则 ( a 6 ) + c = = ( 日以，掣bo p 郐，一a b ) c 2 ( ( a o 。, o p b o 口审) ，s c 巴，。，( 妒黜妒；，；) ) u ：( d 眈筇，jb0 口，印，# c0 卅，( 嘏a , o , 。r 吒) ) = = ( 口以，一b0 f 。co r ，。，( 妒：，# 妒；，。妒；d ) ) 口 佑 c ) = ：口 ( 6 c ) ：( 口以，s ( b c ) 0 竹。，( 妒：，。雏，d ) ) 2 ( 以，sb 彤；。c0 ，。，( 妒：，。妒；，。妒；，。 ) ( 多若q o ，b 岛，c q y ，a b q 知，b cq 肝，卿= 占，记“= b0 砌c o r 胁 i 2 ( 矿；，所妒；肿) ，则 酗安建筑科技大学坝士学位论文 f 6 、+ c 2 ( 动) + c 2 ( ( a b ) 口卵dc 口，( 妒茹，d 妒；d ) ) ：( ( a 口。，5b ，。c 目，。，( 矿：，s 妒；，。妒；，。) ) ) 口 ( b + c ) 2 口 ( 6 臼口，印c 曰，加， ) = ( “0 。，。b 臼口，dc 够，5 ，i ( 妒；，肿妒，c ，肿) ) 西安建筑科技大学硕扛学位论文 若q 。，( v ，) 拶，“q ，卿2 j ，汜“一0 。印v 0 i = ( 虼印伊嬲) ， “+ 。v 护口，所c0 ，册，i 2 ( 妒劳岔妒；乃) ，贝q ( 口4 ( v ，) ) tc 2 ( 口眈，叩v0 卢，邓，( 伊：，卵妒z 彩) ) 丰c 2 ( 吃，印v 口月，印) 6 c o 彬，( 妒印( u d ，j 妒；。5 ) ) 2 ( 日吼，jv 5c 0 ， 妒嬲妒；、d ) ) = ( 口巴，sv 0 芦，dc 扫，d ， 则 ( n 6 ) 十( “，f ) = ( a b ) ( “，i ) 2 ( ( a b ) 9 胡，d “o z ( 妒茹，d 妒落) ) 2 ( 口吼，dbo p ，j “o r ，d ，( 妒：，j 妒；，d p 搭 ) 口 ( 6 ( “，f ) ) 2 口m ( 6 ，所“0 ，所，( 伊；所妒嬲) ) 2 ( a o a 。d ( 6 仰u o r ，肿) 目毋，( 缈：，s 妒努譬) ) 2 0 a ，5bo p “0 坩，( 妒0 妒跚) ) 3 ( d 以，5b0 “o r 础ap ；。d 妒搭) ) ( i i ) 若口敛，b 纬，( “，f ) s ；”，a b 诺q 叩，q 缈= 占，贝0 ( 口 6 ) ( “，i ) 2 ( 矗巳叩bo p 印，( 戎，印妒；埘 ) ( “，j ) 2 ( 巳，印6 口口邪) ，j “目r ，s ，( a 硝蜘b 朋) ，6 i r l ) 2 ( 口吃，5b0 蹦“够( 妒：脚妒；棚 i ) 砸安建筑科技大学硕士学位论文 口8 ( 6 口口，毋“目，斯，( 妒；抑妒；搿) ) 。( 晚d ( b o f 斯u o r , 4 r ) 臼毋，5 ( 妒：，5 妒；? 多 ) 3 ( 以db 口口“0 ，5 ， ) 2 ( d 臼。，5b 臼月d “臼r j ，( 妒：、# 妒；，d 妒；) ) 由条件( p 5 ) ( i ) ，我们有 ( 巳。b 够，；“够( 虻，印妒；，印) f ) 2 ( 口臼叫b 郎，。“巳( 虻，a 妒；d 妒；) ) 若( “，i ) s 箩，( v ，- ，) es 箩，c q ，q 钐= d ，贝0 ( ( “，f ) 女( v ，) + c ) ) 2 ( “v ，驴) 十c 2 ( ( 圳) ，5co r ( 妒若；妒；，j ) ) = ( “以，dv ，5c0 坩，( 妒裂妒彩妒；d ) ( “，i ) ，( ( v ，) + c ) = ( “，f ) + ( v 0 芦，所c 巳，府，( 妒彩；妒；。缈) ) 。( “吒，5v ，6c 口卅，i ( 妒p 卜, 。p r m r 仰) ) 由条件( p 5 ) ( i i ) ，我们有 ( “吼。dv 臼卢jc 臼，( 妒2 ；p 譬；1 妒；一 ) = ( ”吼芦v 臼卢c 口y ，d ，i ) ( v ，) 2 ( 巴，印6 ，卵) ，5 v q 印7 ，n y a “, a ”f l “f l ，帮) ，d ，叩脚) 2 ( “口础b ，dv 0 ，( 妒端妒复审) ) ( “，f ) ( 6 + ( v ” = ( “，i ) ( 60 即，v 0 朋， 叩阶，j ) 二= ( “以，db 臼口，dv 以i ( 妒；脚妒跚) ) 由条件p 5 ( i i i ) ，我们有 ( “以，。b 巳jv 口卅， ) = ( d0 。“o z ，。v 0 ，。， ) 由条件p 5 ( i i ) ，我们有 ( 以，。“0 f 。v 0 ，。，( 妒：瑚妒z 茹) ，) = ( 口0 。“0 月，。vo r ，d ，( ( ，：，。妒譬妒；y ) 若( ，f ) s ? ，( v ，) s 乎，( w ，k ) s 箩，则 “，f ) ( v ，”+ ( w ，七) = ( “v ，i j ) ( w ，是) = ( u v w ，i j k ) ( “，f ) t ( ( v ，) + ( w ，七) ) = ，i ) ( w ，i k ) = y w 、j k ) 我们证明了运算“+ 7 在集合s 上满足结合律。因此我们证明了( s ，+ ) 是一一令半 群。 总结阻上所有步骤，我们能给出以下定义 定义3 1 以上建立的半群( s ，t ) 被称为部分半群q 、半群7 _ 、半群，关于 结构映射m 的的一积。记为s = s ( q ；t ；i ；y ；o ) 。 定理3 1 设y 是半格，q 是幂岐部分半群，t = 【 ，；瓦；彘，口 是群l 的强半格。 ，= 】，；l ；刁印】是右零带，。的强半格，且中是满足上述条件的结构映射。则定义 3 1 给出的一积s = s ( q ；7 1 ；，；y ；中) 是拟右半群。 反过