（发展与教育心理学专业论文）问题解决与数学概念的形成——以“比差”概念为例.pdf

上海师范大学硕士学位论文 1 引言 1 引言 1 1 问题背景 1 1 1 问题的现实背景 问题解决能力的养成是数学教学的重要目标。早在2 0 0 1 年，教育部所颁布 的新一轮课程改革纲要强调要培养学生解决问题的能力。培养学生解决问题的能 力是数学教学领域的重要课题。 上世纪8 0 年代，欧美就已经开始数学问题解决教学的运动，数学问题教学 在欧美等国家的中小学数学教学中受到普遍重视。美国数学教师协会 ( n c t m ) 1 9 8 0 年4 月在关于行动的议程中强调：“必须把问题解决( p r o b l e m s o l v i n g ) 作为8 0 年代中学数学的核心。”强调数学教育的核心是培养解决数学问 题的能力，“数学只有在能应用于各种情况下才是有意义的 。( 戴再平，2 0 0 0 ) 随着欧美等国问题解决教学的开展，世界其他各国的数学教学工作者也对此产生 了强烈的兴趣。1 9 9 6 年第8 届国际数学教育大会召开，世界各国确立的今后数学 课程目标是：( 1 ) 帮助学生树立正确的数学观；( 2 ) 培养学生基本的数学素养；( 3 ) 帮助 学生提高数学思维能力；( 4 ) 培养应用数学解决问题的能力，以及利用数学模型解 决一定的实际问题的能力。( 马云鹏，2 0 0 3 ) 我国对“问题解决 的研究起步相对较晚，但发展迅速。1 9 9 3 年6 月数学 通报发表严士健、张奠宙、苏式东的联名文章数学高考能否出点应用题， 从1 9 9 5 年起连续5 年在解答题中都出现了应用题，特别是1 9 9 9 年增加了考察数 学应用的力度。1 9 9 6 年全日制普通高级中学数学教学大纲正式颁布，其目的就是 进一步强调逐步运用数学知识来分析和解决实际问题的能力。( 赵鑫，2 0 1 0 ) 问题解决能力是数学教育的主要目标，问题解决本身也是数学教育的重要手 段。问题解决数学教学模式的本质是以学生为中心、以问题为中心，鼓励学生通 过问题解决来发现数学。也就是说，数学的基本概念与基本原理，不应是传授一 接受，而应是在问题解决中主动探索与发现。 1 1 2 问题的理论背景 关于个体如何获得数理知识，皮亚杰指出，理解意味着发现，而发现又离不 开问题解决。( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 如何通过问题解决，促进数学知识的获得这同 时也是一个重要的理论问题。 1 引言 上海师范大学硕士学位论文 皮亚杰的发生认知论的中心问题是探讨结构的形成机制。“图式 建构的观 点是发生认识论的核心所在。图式，就其来源而言，是指主体与环境相互作用而 “生成”的动作或心智活动的结构。 具体从图式建构理论来看，皮亚杰更为关注的是儿童逻辑数理图式的建构过 程，以阐述认识的本质。他的理论具有丰富的“教育含义”，对中小学数学教学 尤其具有指导意义。皮亚杰阐明数学知识的由来，他认为“数学知识并不是从客 体本身抽取自身的内容而是对加在这些客体上的那些动作“进行协调与抽象 ， 这种抽象被称为反身抽象。它“总是在于对从早期形式中演变出来的东西进行新 的调整”。( 皮亚杰，1 9 7 0 ) 主体是在一个更高的层次上，反过来对自身的动作( 或 运演) 进行协调。个体获得一定的数学知识，实际上是在心理上建构相应数学图 式的过程。 在建构主义看来，教师的教不应该是“给予”，学生的学不应该是“接受”。那 么，如何促进数学知识的建构呢? 皮亚杰当年从理论上论述了数理逻辑知识的 获得是一个问题解决的过程。但与此同时，皮亚杰所关心的是心智的自然发生过 程，对于如何进行人为的促进，却甚少涉及。 1 2 问题提出与研究内容 1 2 1 问题的提出 综上，问题解决与数学知识的建构，即是一个数学教育领域中的实践问题， 也是一个有关儿童数理逻辑知识发展的理论问题。 在综合地运用所学知识、创造性地解决问题方面，英美等国中小学数学教学 所广泛采用的“问题解决”的方法展示出充分的优势。但那些被运用的、表现为 系统的概念与原理的知识最初怎样获得? 如何利用“问题解决”来促进基础知识 的学习这正是本文所要研究的问题。 1 2 2 研究内容 本文选取比较概念中的“比差”概念作为具体研究内容。“比差”概念的形 成，要求儿童具备一一对应，找出差集，用差集说明三个内部操作。选取小学一 年级儿童为被试。实证研究包括：一、“小学生比较概念掌握情况的访谈研究”， 旨在了解概念掌握情况，并在此基础上形成进一步实验研究的方案；二、“两种 教学法的对比实验 ，旨在探讨问题解决与概念获得的机制。 2 上海师范大学硕士学位论文1 引言 1 3 研究意义 1 3 1 理论意义 本研究以皮亚杰关于数学知识的心理发生机制的观点为理论基础，运用有关 图式建构的微观分析方法来研究具体数学概念的形成。由于皮亚杰所关心的是标 志着儿童不同发展水平的逻辑数理图式，使得他所描述的图式发展过程呈现“跃 进”的特征。而且，这些图式的形成是“自我调节所达到的一种平衡状态”，带 有自发的性质，本研究从具体数学概念出发，将图式的建构理解为一个“渐进 的过程，同时也是可以人为促进的过程。简言之，本研究是要在“渐进”的、“人 为促进”的层面探讨数学知识的心理发生机制。 1 3 2 实践意义 无论国外还是国内，一直在提倡数学问题教学。但却主要定位于运用所学数 学知识，综合性地解决实际问题。至于数学知识的获得，则在很大程度上不在此 列。具体到数学教材中，新概念与新原理的引入，往往采取例解的方式一呈现例 子、解释新概念( 或原理) 。这一方式的实质是试图传递数学知识。如何改变这一 现状，如何通过问题解决促进学生建构数学知识，则具有相当的实践意义。 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 2 1 几个基本概念 建构主义：建构主义( c o n s t r u c t i v i s m ) 也译作结构主义，它是认知心理学派中 的一个分支。建构主义兴起于上世纪9 0 年代的美国，是当代心理学理论中行为 主义发展到认知主义以后的进一步发展，建构主义的学习理论和教学观，被心理 学家称为当代教育心理学中的一场革命，“在教育心理学中正在发生着一场革命， 人们对它叫法不一，但更多地把它称为建构主义的学习理论。”( s l a v i n ，1 9 9 9 ) 其最早提出者可追溯至瑞士的皮亚杰( j p i a g e t ) 。他是认知发展领域最有影响 的一位心理学家，他所创立的关于儿童认知发展的学派被人们称为日内瓦学派。皮 亚杰的个人建构理论和维果斯基的社会活动建构及最近发展区是建构主义“教与 学”理论的最初基础。 数学问题教学：2 0 世纪初，杜威曾提倡过问题教学，其核心是问题情境，此教 学过程的一般模式为；设置问题情景；确定问题或课题；拟定解决课题方案；执 行计划；总结与评价。布鲁纳的问题教学法( 又称发现法) 主张：“学习者在 一定的问题情境中，经历对学习材料的亲身体验和发展过程，才是学习者最有价 值的东西。”( 邵瑞珍，1 9 8 9 ) 在数学教学中创设问题情境，能激发学生的学习 兴趣，使学生积极主动地投入到学习中去。建构主义是问题教学的理论基础。 2 2 数学知识获得的建构主义理论 建构主义有“早期建构主义 与晚近建构主义”之分，早期的建构主义理论 即皮亚杰理论，他明确地提出了人的认识并不是对外在的被动的、简单的反映， 而是一种以已有知识和经验为基础的主动建构活动，这就是早期的建构主义。但 是由于当时行为主义学派在心理学领域中占有主导地位，使建构主义观点在很长 时期内未得到应有的重视直到8 0 年代以后，随着认知心理学研究的不断深入， 建构主义才逐渐取代了行为主义的主导地位，获得了人们的普遍重视。( 郑深， 2 0 0 3 ) 建构主义数学学习理论指出：数学学习不应该被看成对于教师传授知识的被 动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动。( 郑毓信， 4 上海师范大学硕士学位论文2 研究综述 1 9 9 5 ) 数学知识无法从一个人迁移到另一个人，数学知识的习得必须以个人 自身的经验为基础，通过对经验的操作，反省来主动的建构自己的认知结构。知 识的习得是个体主动建构的过程而不是任何他人灌输的结果。 建构主义的教学观强调以学生为中心，教师应构建与学生相匹配的表象，从 学生已有的认知结构出发，尽可能多地了解学生的观念，了解学生的思想，促进 学生思维的发展。尤其强调情境对意义建构的重要，建构主义认为，学习总是与 一定的“情景”相联系，依据个人对“情景”的理解进行学习。建构主义的学习 观同样认为，“学习必须是积极的、建构性的、累积性的、目标指引的、诊断性 的、反思性的。”( 郑毓，1 9 9 8 ) 皮亚杰认为学习者能够利用自己原有认知结构( 原 有图式) 中的有关经验去同化当前学习到的新知识。如果原有经验不能同化新知 识，则要引起“顺应”过程，即对原有认知结构进行改造和重组产生新的认知结 构即新的图式。通过“同化”和“顺应”才能达到对新知识意义的建构，即达到 了一种新的平衡。( 张维忠，1 9 9 9 ) 2 2 1 皮亚杰的发生认识论 瑞士心理学家和哲学家，日内瓦学派的创始人皮亚杰( p i a g e t ) ，长期致力于 儿童心理学、生物学、数学逻辑、心理学、哲学等方面的研究，上世纪六十年代 创立了自己独具特色的“发生认识论”体系。 “康德的先验论对皮亚杰产生过巨大的影响，甚至说他把康德范畴的全部命 题重新审查了一番，从而形成了一门新学科，即发生认识论。 ( 福永生，1 9 8 7 ) 当然，发生认识论既不同于经验论，也不同于唯理论，他是在康德思想的基础上 提出了自己的认识论思想。康德先验认识论调和了经验论和唯理论，他的两分说 将人的知识分为两部分感性与知性。感性是指我们心灵受到刺激的时候接受 表象的能力，而知性则是指心灵自身产生表象的能力，认识的主动性。皮亚杰的 发生认识论是研究认识的发生发展的心理机制的，其理论研究涵盖了从儿童的 “知识”到成熟的科学思维这一广阔领域。皮亚杰的理论针对的是主体的逻辑数 学结构，并不仅仅局限于人类所认识的物理知识范畴。依据皮亚杰的理论我们就 会发现不存在无客观内容的纯逻辑数学结构，也不存在不蕴含着某种逻辑数学结 构的纯物理知识，两者必须相互依靠才能存在。( 郭佳伟，2 0 11 ) 发生认识论，是用发生学的方法来研究认识论。其将儿童认知发展划分为四 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 个阶段，即儿童心理学家所称之的“儿童认知发展阶段理论”“从事儿童心理学 的研究，目的在于由此探讨认识论问题。”( 皮亚杰，t 9 8 1 ) 皮亚杰指出“发生认 识论的目的就在于研究各种认识的起源，从低级的认识形成开始，并追踪这种认 识向以后各个水平发展的情况，一直追踪到科学思维，并包括科学思维。”( 皮亚 杰，1 9 8 1 ) 可见，发生认识论主要研究认识的发生、发展的过程结构和它的心理 的起源。 其理论包括“结构”和“建构”两个方面，即“结构主义”或“建构主义”。 皮亚杰提出：“认识的获得必须用一个结构主义和建构主义紧密结合起来的理论 说明。”( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 从而诞生了他的图式建构学说，“知识形成的心理结构( 图 式、认识结构) ”是其研究的主要内容，中心问题是探讨知识发展过程中新知识 的形成机制( 建构) 。那么知识是如何从儿童心目中生长出来的呢? 皮亚杰引用 了“图式”的概念，他认为儿童心理上存在着不同智力水平的逻辑数理图式，他 用这些图式的形成与发展来说明认识的本质。可见，图式建构的观点是发生认识 论的核心所在，在他的实证研究中使用的临床访谈法也为后人的研究提供了极大 的参考价值。 2 2 1 1 图式的来源 皮亚杰发生认识论的主要理论来源之一就是康德的认识论思想，同样在发生 认识论中占有重要地位的图式概念也是源自于康德的哲学。康德是以主体为轴心 来研究认识论，在这一点上皮亚杰与康德一脉相承。但是康德提出的“图式”是 天赋的，它“作为预先确立的条件 来“组织经验”。皮亚杰一方面继承了康德 的主体认识论研究方向，另一方面又批判康德对认识内容与形式的割裂( 内容是 后天的、形式是先验的) 。他认为无论认识内容还是认识形式都是主体与客体相 互作用的产物，都表明了主体与客体的统一。( 李林，1 9 9 5 ) 皮亚杰的图式概念 是指主体与环境相互作用而“生成 的动作或心智活动的结构。在图式的来源上， 皮亚杰抛弃了康德哲学的先验论。他说：“我们必需既不认为只有环境才对认识 结构发生作用，也不认为认识结构是先天的预先形成了的”。( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 无 可否认，皮亚杰在他的发生认识论原理一书中肯定过婴儿最初的反射图式， 如吮吸反射、手掌反射等是遗传的、预先存在的，但绝对的先验图式是不存在的。 2 2 1 2 图式的形成 6 上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 皮亚杰给图式的定义为：“图式( s c h e m a ) 是指动作的结构或组织，这些动 作在同样或类似的环境中由于重复而引起迁移或概括。”“是动作之中普遍存在 的，并且可以从一种情境转移到另一种情境的东西。”( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 图式是可 变动的结构，指的是动作的结构或动作协调而成的思维结构。他把图式看作是包 括动作结构和运算结构在内的从经验到概念的中介，在皮亚杰看来，图式是主体 内部的一种动态的、可变的认知结构。 图式包括三个方面的涵义：一、协调性，图式是协调化了的动作，不是孤立 的单个动作；二、操作性，它指主体实际的( 感知运动阶段) 或心智的( 感知运 动以后的阶段) 操作活动；三、概括性，主体动作模式对外界情境的超越，及以 某种模式对待发生了变化的情境。 同化和顺应是皮亚杰图式理论的两个重要概念。同化就是把外界的信息纳入 原有的动作图式，使图式不断扩大。顺应就是当外界环境发生变化时，原有图式 无法以同化的方式来接纳新的信息，而必须经过调整建立新的图式。“刺激输入 的过滤或改变叫做同化，内部图式的改变以适应现实叫做顺应”( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 。 主体正是通过同化和顺应这两种机能不断地与环境进行着适应过程以达到认知 结构的平衡。平衡指既不要以较低级的图式来同化新的信息，也不要对外界客体 一些非实质性的变化作过份的顺应。适应就是主体与客体相互作用的一种平衡状 态，图式的形成与发展正是体现在这种适应过程中。只有通过图式的同化作用， 才能发现己有图式不能适应新情况，这时需要对已有图式作调整和改造，经过顺 应的作用，使旧的图式更新，从而创造出新的图式。 儿童在生活中不断重建、适应环境的行为，主体在认识过程中不断重建与客 体相应的认识结构，都是在环境作用下做出的适应性改变即达到一种平衡状态。 2 4 “图式”概念在儿童认知发展上的运用 皮亚杰将儿童的智力发展分为四个阶段即感知运动阶段( 0 岁一2 岁) 、前运 算阶段( 2 岁一7 岁) 、具体运算阶段( 7 岁一1 1 岁、1 2 岁) 和形式运算阶段( 1 1 岁、 1 2 岁以后) 。每一阶段都会形成相应图式，即感知运动图式、表象图式、具体思 维图式和形式思维图式，后一图式往往源于前一图式，是前一图式的进一步发展。 初生婴儿只有遗传图式，经过非常短暂的先天反射阶段后达到感知运动阶 段，其图式具体表现为实际动作的结构。在前运算阶段，儿童发展了运用符号功 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 能的能力，开始选择和形成表象图式，出现“前概念”、“前关系 、“组成性功能”。 在具体运算阶段，儿童的图式有了进一步发展，表现在认知运算有了守恒性和可 逆性上，“可逆 ，“运演”出现。但是，这一阶段儿童的认知图式还没有同具体 情境相脱离。具体运算形成的图式虽然比以前的结构有了较大的扩展，但仍带有 局限性。在形式运算阶段，图式己摆脱具体事物的限制，可以利用各种命题进行 逻辑推理( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 。 2 2 1 3 图式建构理论对数学教学的理论意义 皮亚杰阐明了数学知识的来源，他在教育科学与儿童心理学中指出：“数 学乃是逻辑学本身的直接延伸。”在这一种意义上，皮亚杰将两种图式统称为“逻 辑数理图式”。他说，“数学知识并不是从客体本身抽取自身的内容，”而是对 “加在这些客体上的那些动作”进行协调与反身抽象。所谓反身抽象，意思是主 体在一个更高的层次上，反过来对自身的动作或运演进行协调。这种协调本身也 是操作性的，也可以被称作“是对运演进行的种种运演。 ( 皮亚杰，1 9 8 1 ) 皮来杰在此基础上阐明数学知识的由来与实质：“全部数学都可以按照结构 的建构来考虑，这种建构始终是完全开放的，数学实体已不是从我们内部或外部 一劳永逸地给出的理想客体了：数学实体不再具有本体论的意义对这类 实体进行的运演，反过来又成为理论研究的对象 。从这个意义上可以解析 为，数学作为一种思维活动或者思维过程，它所面对的对象不过是可以予以叠加 的“运演”罢了。( 皮亚杰，1 9 9 2 ) 皮亚杰研究了儿童认知发生发展过程，在解决了一系列认识论问题的基 础上。更加说明了他的理论“蕴藏着丰富的教育含义”。具体从图式建构理论来 看，皮亚杰更为关注的是儿童逻辑数理图式的建构过程。儿童获得一定的数学知 识，实际上是在心理上建构相应数学图式的过程。皮亚杰认为就连数学中最基本 的自然数也是主体建构的结果。可见，儿童要获得一定的数学知识就是在心理上 构成相应的数学图式。因而，他的图式建构理论对数学教学的理论意义，也更适 合于用来指导中小学数学教学。( 王兄，2 0 0 5 ) 上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 2 3 数学发现与建构的其他理论 2 3 1 弗赖登塔尔的数学教育思想 弗赖登塔尔是2 0 世纪最伟大、最具有影响力的数学教育家，他提出的许多 观点越来越多的影响着世界数学教育的改革与发展。他认为数学的根源是常识， 人们通过自身的实践，对这些常识进行反思，把新的经验组织起来，不断地进行 系统化，通过现实，具体事物的操作，发现其数学规律。弗赖登塔尔认为：“将 数学作为一个产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是作 问题，这不可能包含真正的数学，留作问题的知识一种模仿的数学。”( 弗赖登塔 尔。1 9 9 5 ) 弗赖登塔尔的很多教育思想都以反思为中心。他认为：人们运用数学的思维 来观察客观世界，分析研究各种具体事物，进行新的组织，经过进一步形式化、 抽象化形成新的数学概念、方法、思想等，这个过程就是数学化。而反思存在于 数学化的各个方面。反思一旦开始，就是一种我们每时每刻都在进行的活动，他指 出，反思是数学在内容与形式相互影响之中的一种发现活动，反思是数学创造的 强有力的动力。通向数学化的道路就是必须让学生学会反思，对自己的实践、活 动等进行思考，以便有意识地了解自身行为后面潜在的实质，他认为以反思为核 心的数学教育才能使学生真正抓住数学思维的内在实质。( 付云菲，2 0 11 ) 弗赖登塔尔还提出“再创造 的教学方法，他强调“数学是一种活动，学一 个活动最好的方法是做。”( 1 9 9 5 ) 将数学作为一种活动，在这种活动中反思自身 行为背后的实质，对其进行解释和分析，建立新的结构，建立在这一基础上的教 学方法，称之为再创造方法。可见反思在再创造中也占有相当重要的地位。因此， 他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者是他经常提到的“数学化”。按照他 的观点，这个“化 的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何外界 所强加的，更不是教师给予的。数学教育中如何促进学生更好的数学化，这就需 要培养学生一种自己获取数学的能力，构建他们自己的数学，需要教育者提供便 于学习者主动探索的环境，引导学习者自我探索构建认知。( 李晓鑫，2 0 0 1 ) 2 3 2 波利亚的数学教育思想 波利亚是美籍匈牙利数学家、数学教育家，在数学教育领域最突出的贡献是 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 开辟了数学启发法研究的新领域，为数学方法论研究的现代复兴奠定了必要的理 论基础。波利亚曾指出：“在数学里，能力比起单单具有一些知识来，要重要得 多。”“在数学里，能力指的是什么? 这就是解决问题的才智一一我们这里所指的 问题不仅仅是寻常的，它们还要求人们具有某种程度的独立见解、判断力、能动 性和创造精神。”( 波利亚，1 9 8 2 ) 他认为数学能力就是指的解决问题的才智，而数 学课程与数学教学的重要目的之一就是发展学生的解决问题的能力他提倡教师 应进行解题教学，这有利于培养学生的数学思维能力、寻求证明的能力、审断论 据的能力、流利的使用数学语言的能力以及在具体情境中辨认数学概念的能力， 有机会发展学生的思维方式以及得法的工作习惯，而这些东西正是一般文化修养 的主要组成部分。波利亚同样强调在解决问题中创造性的重要性，而且这种创造 是独立的，主动的，开拓性的。因此，在课堂教学中，教师要巧妙创设问题情景， 激发学生学习的欲望和积极性，并给学生充分思考和探索的空间，让学生从不同 的角度、不同的方面去思考问题，探索问题。( 康武，1 9 9 8 ) 波利亚数学教育思想有两个，一是数学启发法，启发法是人们运用一些与问 题情境有关的一些信息，对这些信息进行筛选，组合，有选择的搜索可能解决问 题的策略。另一个是他的数学发现观，波利亚非常重视观察、试验的方法，他认 为概念，定义都是从观察，试验中得到的，而且有时可以发现新的命题与证明方 法。而数学活动，特别是数学创造活动，是离不开观察与试验的，它们是积极探 索未知领域的重要手段。波利亚提出了学习过程的三个原则：主动学习，最佳 动机，以及循序渐进。“学习应当是主动的，不要只是被动的或消极的接受。自 己不动脑筋，很难学到什么。”“学习任何东西的最好途径是亲自发现它”，也就 是说学生应该主动的经过自己的实践活动、思维活动去探索、去“发现”。( 波利 亚，2 0 0 1 ) 波利亚提倡的数学学习的过程实质是一个内在的转化过程，是一个个体 主动建构的过程。根据波利亚的思想，教师要引导学生的学习，激发学生自己去 学习，帮助学生建构和发展认知结构，在这个主动构建的过程当中，学生学会了 该如何学习，不仅要为当前的学习，而且要为今后的终身学习和终身发展奠定良 好的基础，这样的学习对促进学生的发展具有战略性的意义。( 李秀环，2 0 1 0 ) 2 4 数学问题教学及其研究概况 建构主义特别强调问题解决在知识建构中的意义，这开创了问题教学在中小 1 0 上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 学数学教育中的应用，建构主义是问题教学的理论基础。 弗赖凳塔尔在他的作为教育任务的数学一书中写到：“现代数学通常只 作为一个现成的产品来分析，后面再附上一个形式的综合，结果就成为现成的数 学。”，“事实是数学一被创造出来，它就形成了一种形式表达，成为一个现实的 产品而无法摆脱。”。夸美纽斯曾说：“教一个活动的做好方法是演示，学一个活 动的最好方法是做”，( 1 9 9 5 ) 这一观点与建构主义提倡的创造一个问题情境，在 这个问题解决的过程中建构个体的知识结构是不谋而合的。数学问题是一种情 境。曹才翰在数学教育学概论中指出：“解决问题是人们面临新情境、新课 题，发现它与主客观需要的矛盾，而自己却没有现存对策时，所引起的寻求处理问 题的一种心理活动。”( 1 9 8 9 ) 2 4 1 国外问题教学的发展 2 0 世纪8 0 年代，美国数学教师委员会1 9 8 0 年出版的数学教育的纲领性 文件行动的议程对8 0 年代学校数学的建议首次明确提出应当以“问题 解决作为学校数学教育的核心”。在随后的几十年中，问题解决的研究出现了一 个高潮，问题教学在英美等国中小学数学教学中受到了普遍重视。它在8 0 年代 后期兴起的美国新的数学教育改革运动中，又得到了进一步的确认。( 王兄，2 0 0 0 ) 布鲁纳提出的问题解决法认为：发现，并不限于寻求人类尚未知晓的事物， 而应指人们用自己的头脑亲自获得知识的一切方法。从教学的角度看，如果教师 只作引导，让学生自己主动地去学习，去概括出原理或法则，他们就会因自己发 现地去学习，去概括出原理或法则，他们就会因自己发现所感到愉快和成就欲的 满足而使学习具有强大的动力，所得知识也会深刻而不易遗忘。并能广泛应用于 实际，有助于智力的发展。因此，他甚至要求小学生也都要能利用教师或教材所 提供的材料，去成为一个“发现者”。具体地说就是在教学中教师不是给学生现成 答案，而是激发学生的的探究心理，引导他们结合自己的思维特点和已有经验， 发挥个人的创造性，独立思考，自行发现和掌握知识，并形成学习中的大量“迁 移”，即举一反三。 在英国：对“问题”有两种理解。一是认为：“问题”应与现实生活的实际 有关：而另一种观点则只考虑数学理论中的问题贝克浩斯( b a c k h o u s e ) 认为：“最 好的问题是那些来自学生的经验并由学生自己提出的问题。”科克科罗福特报告 2 研究综述上海师范大学硕士学位论文 ( c o c k “r o f t r e p o r t ) 这样限定问题，“既要与将数学应用于学生经验中的日常情 景联系，又要联系那些学生不熟悉的情景”。不同的学者对“问题解决”的意义 也有不同的意见。有人认为数学教学的目的就是要培养问题解决的能力；有人强 调现实的问题情境，更利于培养学生利用所学知识灵活解决实际问题的能力；有 人则认为问题解决的宗旨是让学生积极地思维，开发学生的智力，不要局限在一 种解决问题的方法上，这表现在提倡一题多解，设计非常规性问题和开放性问题 方面。例如下面的一个例子： 问题情景： 设计一个居住小区，可考虑的问题如下( 当然还有许多其他问题) ： ( a ) 小区可以盖多少栋居民楼 ( b ) 每栋居民楼可以住多少户人家 ( c ) 可设计多少个停车位 这类问题就是设置一个情境要学生去解决它，学生要利用这个情境中的线索 主动地去寻找解决方案。其问题是实际的，解答过程是积极的、探索性的，问题 的答案也不是确定的，是开放性的，不是单一概念或原理所能解答的。 2 4 2 我国的数学教育现状 李红婷等( 1 9 9 8 ) 鉴于数学课堂教学改革存在的种种问题，提出了“问题解 决教学”的研究课题，此课题从1 9 9 5 年7 月起动至今已取得一系列研究成果。但 目前国内的数学教学仍旧多关注的是知识点的增长。无论是教学内容还是教学方 式都是试图从学习者外部让其快速的接受新的知识，这就使学生在学习新知识的 过程中，难以从本质上把握数学的意义，难以形成框架清晰的概念图式，难以从 整体的高度来认识和把握数学。大部分中小学教师在教学过程中更多关注的是 知识点的增加j 因而导致学生在学习中不论是被动还是主动都把孤立地记忆概 念、公式或定理作为自己学习的“法宝 ，结果，很多学生所获得的知识是零散 的，脑袋中没有完整的数学知识体系，做题目时只知道死记硬套法则或公式等等。 以上数学教学方法的不足必然导致我国中小学生解决非规问题和创造性问 题的能力相对薄弱：具体表现在：一、学生往往不能把实际题抽象为数学问题， 不能把所学的数学知识应用到实际问题解决中去，对所数学知识的实际背景了解 不多；二、学生死记硬背、机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，而当 1 2 上海师范大学硕士学位论文 2 研究综述 面临一种新的问题情境时却思路狭窄，对与像观察、分析、归纳、类比、抽象、 概括和猜想等发现解决问题的科学思维方法了解不够等。( 王兄，2 0 0 5 ) 在综合地运用所学知识、创造性地解决问题方面，英美等国中小学数学教学 广泛采用的“问题解决”的方法展示出充分的优势。但那些被运用的、表现为系 统的概念与原理的知识最初怎样获得? 在这一方面，“问题解决”的方法则显露 劣势。如何利用“问题解决”来促进基础知识的学习。至今仍很少有人作深入的 研究。 2 5 “比差”概念形成的研究概况 数学概念教学是数学教学的重要组成部分，它是数学教育的基础。数学概念 是数学教学的重要内容，它反映的是客观的数学本质。学生在探究中实现对概念 的理解。但同时，不能过于的急于运用，更不能忽视了概念产生的过程，只有对 概念有了深层次的，更高的把握才能更好的进行数学学习。数学概念的学习过程， 除了对数学学科的学习发挥了重要的作用外，还对学习其他的学科知识有着重要 作用。 在小学数学教材中，”比差”概念所涉及的是二数比较( 也有多数比较，但最 终也是通过两两比较而实现的) 。”比差”概念( 或二数比较) 不是一个单一的概念， 而是一个渐进的概念的序列一“比差”在加减法运算的层面，用“差集”来说 明两数的比较关系，如6 比2 多4 ；“比倍”在乘除运算的层面，用“倍数”来 说明两数的比较关系，如6 是2 的3 倍；“分数”在标准量大于比较量的情形下， 用“分数”说明两数的比较关系；如6 是1 2 的1 2 ；此外，“比例 ，则是在动 态的层面，说明两数的共变关系，如1 支铅笔单价2 元，2 支4 元，4 支8 元。 ( 何纪全，1 9 9 3 ) l e s h ，r 和l a n d a u ，m ( 19 9 1 ) 著，孙昌识等译的数学概念和程序的获得 一书中把简单算术应用题划分为三种类型：变化题、合并题和比较题。并且认为， 儿童在大量日常生活经验的基础上，发展出相应的认失w l j h - r 图式，如：变化图式、 合并图式和比较图式等。( 孙昌识，1 9 9 4 ) 有研究认为儿童加减法概念的形成是不 同步的，优先发展起来的是关于加法的前科学概念，加法的概念表现为合并图式， 表现为儿童对加性结构的问题，比较容易理解，也较易获得解决。( 刘广珠，1 9 9 6 ) 2 研究综述 上海师范大学硕士学位论文 一些儿童在减法问题上碰到困难，有研究认为这是初始集未知问题的解题困难， 主要是由于儿童不能进行逆向思维，或是没有建立“时间倒转图式” ( l a r k i n l 9 8 3 ) ，因而不能解决这类问题。只有在积累了大量的实际生活中的问题 解决经验的基础上，特别入学以后接受系统的、正规的数学教育后，儿童才最终 形成部分和整体关系推理图式、正确理解加减法概念。( 徐敏毅，1 9 9 5 ) 目前的一些研究表明，年幼儿童能够理解部份和整体的关系。例如，在 s o p h i a n 和v o n g ( 1 9 9 5 ) 的研究中，5 岁儿童能够对结束集未知题和开始集未知题 作出适宜的反应。在b a r o o d y 及其同事的研究中，认为儿童的合并图式较比较图 式发展的要早，儿童可以利用加法交换律去寻找问题的答案。( w i l k i n s ，2 0 0 0 ) f a n 等人( 1 9 9 4 ) 认为，儿童解答例如比较题时，心理数( m e n t a ln u m b e rl i n e ) 是 一个重要的加工内容。”比差”概念的形成，首先是一一对应的形成，主体需要 在心理上对客体产生动作，将其部分与整体，或不同集合之间，一一对应。在对 应的同时找出不同集合的差集，最后用差集说明。部份与整体的知识在数学知识 模型中占很大程度的重要性。在皮亚杰的认识发生论体系中，部份与整体的知识 也是非重要的，如果儿童不能解答类属概念问题( c l a s si n c l u s i o np r o b l e m ) ， 例如，“是雏菊多还是花多”，就是因为儿缺少部份与整体的知识。( s o p h i a n ，1 9 9 5 ) 一些研究者往往把部份与整体的知识的作用作为加减法题解决过程不可缺少的 一种机制，如果学生不能解答问题，就是缺少了部份与整体的知识，如果可以解 答问题，就是掌握了部份与整体的知识。( 周新林，2 0 0 3 ) 1 4 上海师范大学硕士学位论文3 实证研究i 3 实证研究i ：小学生比差概念掌握情况的访谈研究 3 1 引言 在日常生活中，儿童形成数概念比形成实物概念要困难。对于实物概念，儿 童可以通过各种感官来感知它们的大小、形状、颜色、气味、用途等，从感知实 物的外形特征过渡到认识实物的本质特征及相互之间的关系，直到形成概念。而 数学中的概念往往比差复杂，儿童需要在丰富的感性认识和生活经验的基础上， 才能主动建立这种复杂的心理图式。在比差概念形成以前，儿童首先要形成数的 概念，达到数的守恒。例如：幼儿面前摆着两个糖果，幼儿不仅要能看到这两个 糖果还需要将这两个糖果与“2 ”相联系，形成“2 ”的概念，达到数的守恒后才 能够去理解数与数之间的关系。 3 4 岁的幼儿，大多不懂相邻数的关系，例如：问三岁幼儿“4 个苹果多， 还是3 个苹果多? ”幼儿会说“4 个苹果多。”；若问“4 个比3 个多几个? ，幼 儿就说“多4 个。”；“3 个比4 个少几个? ”幼儿会说“少3 个”。幼儿到了5 6 岁，达到数的守恒后，开始逐渐能够进行两个数的比差，但是此时比差概念在幼 儿的心目中还没有稳定下来。 在调查中我们发现，特别是在解测查题这样一些1 0 以内的算术应用题时， 儿童常常是“脱口而出 ，但这是否表明儿童已经充分理解比差的含义，通过干 预后儿童能否更好的理解比差概念，这是实证研究1 所要探讨的问题。同时，通 过访谈了解儿童比差概念掌握情况，以作为进一步研究的基础。 3 2 研究方法 3 2 1 被试 在先期的调查中，我们发现幼儿园大班( 5 6 岁) 儿童年龄尚小，大多基本 加减运算技能还没有掌握，很难j l l 页n 完成比差任务，即使在给予一定的干预后， 除个别儿童可以顺利完成加减运算外，大部分儿童仍旧无法完成任务。在对二年 级( 8 9 岁) 儿童的访谈中，我们发现这个年龄段的儿童“比多比少”概念已 形成。故本研究选取小学一年级学生作为被试。 我们随机选取安徽省合肥市一所小学一年级学生3 0 人，其中男生1 2 人，女 生1 8 人，采用一对一访谈的模式。 3 实证研究i上海师范大学硕士学位论文 访谈在被试学过“比差 概念的一周后进行，以了解其“比差”概念的掌握 情况，并探讨干预的可能性。 3 2 2 材料( 见附录) 笔者将要考察的比差概念设计为三种不同的文字题型，每个题型包含两个问 题，涉及不同的考察面，所有题型均考察2 0 以内的数的比差，包括两个数比差， 三个数比差，“比多”，“比少”等不同类别的比差。此外，第一题还配备有一个 图片，用于干预。 题一，两个数进行比差，以“比多 来进行提问，配备干预图片，被试无法 正确回答时，呈现干预图片，看其是否能够采用一一对应的方法求解。 题二，设计三个数字的比差，并且既包含“比多”也包含“比少 的提问， 看其是否真正理解比差概念，是否存在随意猜测答案的现象。 题三，呈现两个非常规的问题，试探其能否对同一类别的比差正确作答。 3 2 3 程序 对每一个被试，先笔试；再进行测查性访谈；第一至第三题的测查性访谈结 束后，再运用第一题进行干预性访谈。 3 2 3 1 笔试 笔试答对一个小题计1 分，每题2 分，满分6 分。 3 2 3 2 测查性访谈 主试先将访谈题卡呈现在被试面前，逐字读给被试听，确认被试听懂题意后， 要求被试做出口头回答，并将答案写在题卡上，根据被试作答情况作出相应的访 谈。这就是测查性访谈，目的在于测查被试在现行教法的影响下所形成的内部“操 作“。访谈的内容主要包含以下几个方面的问题：“这道题的答案是什么? ”如 果回答正确，追问解题思维过程：“为什么这样做? ”若解题错误，根据被试错 误相应地进行访谈。 3 2 3 3 干预性访谈 测查性访谈结束后，再运用第一题进行干预性访谈。 对于在测查性访谈中，无法回答第一题中的问题的被试，进行干预性访谈： 呈现图片，促进被试探索正确答案。目的在于探讨解除“不协调”的可能性、同 时寻找新的干预方案。 上海师范大学硕士学位论文 3 实证研究i 对整个访谈过程录音，并同时记录访谈情况。 3 3 结果与分析 3 3 1 基本情况 参加访谈的3 0 名学生，都经过了笔试与访谈。在笔试中，发现一些被试能 够正确地列式计算( 即“式子规范”) ，另一些被试则不能。在访谈中，一些被试 达到理解程度，另一些则未达到。这样一来，我们从“式子规范与否”和“理解 与否”两个维度将被试表现划分为如下四类，见表3 1 。 表3 1 在“式子规范与否”和“理解与否”两个维度的人数 式子规范式子不规范合计 理解1 6 人( 类型i )4 人( 类型i i )2 0 人 不理解o 人1 0 人( 类型)1 0 人 合计1 6 人1 4 人3 0 人 为明晰起见，我们将“式子规范 且能“理解”，称之为类型i ；将“式子 不规范”但能“理解”，称之为类型i i ；将“式子不规范”且“不理解”，和之为 类型 从表中我们可以看出“式子规范”且“不理解 的人数为0 ；有1 0 人既不 理解，式子也不规范，在笔试中和随后的访谈中表现出、错误理解；理解的被试 中仍有4 人式子不规范，虽然这些被试能立即答出正确答案，但由于被试受到自 身先前图式的影响，使得虽然心理上已经理解概念但仍表达错误，在这里我们并 不能认为这些被试“出错了”，我们将在下文进行讨论。 3 3 2 被试在测查性访谈中不同类型的具体表现 3 3 2 1 类型i ( “式子规范”且能“理解”) 被试的表现 在口头回答和笔试中均表现良好的被试，见案例一 案例l 被试a 在访谈题l 中的表现 主试：第一题你的答案是什么? 被试：茶杯盖比茶杯多2 个。 3 实证研究i 上海师范大学硕士学位论文 主试：你是怎么做出来的昵? 被试：茶杯盖就是比茶杯多2 个，一个茶杯盖对一个茶杯，后面就多出来2 个了。 主试：好的，谢谢你的回答。 在上面的案例中可以看出，被试能够将两个集合中的元素一一对应起来比 差，并在比差的同时找出差集，并用差集说明谁比谁多、多多少。 3 3 2 2 类型i i ( “式子不规范 但能“理解”) 被试的表现 我们在笔试和随后的访谈中发现，一些被试虽然心目中的比差概念已经形 成，但所列的式子出现错误。这类被试，能够在心理上对两数进行比差，得出正 确的答案，但是没有用恰当的式子来表达结果，这并不能说明被试没有掌握“比 差”的概念。请看案例2 。此案例回答正确，但未能有效的使用减法算式。 案例2 被试b 在访谈题2 中的表现 主试：第二题的第一个小题，你的答案是什么? 被试：黄花比红花少2 朵。 主试：问题是“问红花比黄花多几朵”，你为什么回答“黄花比红花少几朵呢? ” 被试：因为这样就可以用减法了。 主试：为什么这样可以用减法呢? 被试：因为少了，就可以减了。 主试：问多就不能用减法么? 被试：嗯不能。 主试：那么这一题可不可以用加法呢? 被试：不可以。 主试：为什么不可以呢? 被试：因为加了就不对了，如果是用7 + 5 答案就等于1 2 ，数就大了。 主试：数大了就不对了么? 被试：不对，这一题应该用减法不能用加法。 主试：好的，谢谢你的回答。 上海师范大学硕士学位论文 3 实证研究i 此案例中被试使用了正确的式子，并且答案正确，在主试的试探性访谈中， 被试能够坚持本题使用减法运算，但认为“比多就要用加法，“比少”才能用 减法。而且被试要使用“比少”来描述自己的解题，可见其将“比少”与减法联 系起来。被试判断此题不能用加法运算，并回答“等于1 2 数就大了，就不对了。 表明此类被试比差概念存在，但尚不完备。 案例3 被试c 在访谈题1 中的表现 主试：第一题你的答案是什么? 被试：茶杯比茶杯盖少2 个。 主试：你是怎么做出来的呢? 被试：茶杯就是比茶杯盖少2 个，7 比5 大两个。 主试：题目中是问哪一个多，你回答的是茶杯比茶杯盖少2 个，你为什么用谁比 谁少回答呢? 被试：因为少才能用减法。 主试：你说茶杯盖比茶杯多2 个，那第一题答案应该是2 ，为什么你列出的式子 是7 - 2 = 5 昵? 被试：因为2 比5 小，所以应该用7 减去2 。 主试：为什么小的就应该被7 减呢? 被试：就应该小的在前面。 主试：那这一题的答案应该是多少昵? 被试：是2 。 主试：那你列的式子对么? 被试：( 不能回答。) 主试：可不可以把式子列为7 - 5 = 2 7 被试：也可以。 主试：这两个式子一样么? 被试：( 不能回答) 。 主试：好的，谢谢你的回答。 3 实证研究i上海师范大学硕士学位论文 此案例中被试的答案正确，能够一一对应，找出差集，并用差集说明。但在 列式计算中，却僵硬地将“减法 与“比少”字眼联系在一起。仍旧坚持“比多” 就要用加法。“比少”用减法。并且受到了先前学习序数图式的影响，认为2 要 在5 前面。 以上两个案例，被试在笔试回答中的错误均不能说明被试没有很好的建立比 差概念，只是由于对“比多 ，“比少”僵硬的字面理解，导致被试列式错误。 3 3 2 3 类型( “式子不规范”且“不理解 ) 被试表现 根据被试的笔试解题错误进行访谈，发现此类被试错误的原因有两种：一、 随意猜测；二、不恰当的刻板理解；这两种错误原因的人数见表3 2 。 表3 - 2 两种错误原因的人数 随意猜测学生不恰当的刻板理解 3 人7 人 3 3 2 3 1 随意猜测 这一错误又包括两种方式的猜测，一类为：拿最大数减去最小数；第二类为： 见到数字一律进行加法运算。 案例4 被试d 在访谈题2 中的表现 主试：第二题的第一个小题，你的答案是什么? 被试：红花比黄花多6 朵。 主试：你是怎么求出来的? 被试：要拿最大的减去最小的。( 被试列式为：1 1 - 5 = 6 ) 主试：你为什么要这样做呢? 被试：( 不能回答) 主试：好的，谢谢你的回答。 2 0 上海师范大学硕士学位论文3 实证研究i 案例5 被试e 在访谈题1 中的表现 主试：第一题你的答案是什么? 被试：( 不能回答) 主试：你为什么用加法昵? 你列的式子是7 + 5 = 1 2 被试：我想就是应该这样。 主试：答案是1 2 么? 你是怎么想的呢? 被试：( 不能回答) 。 主试：好的，谢谢你的回答。 上述案例四中我们可以看到被试完全没有理解比差的含义，只是拿式子中的 最大数减去最小数，被试此时仅停留在对数的理解上，认为比差大小就是要拿最 大数减去最小数，没有一一对应的图式，当题目中只有两个数进行比差时，被试 很容易猜中答案，但是遇到三个数，便无法完成任务。 案例五中，被试由于不理解比差的含义，见到数字就将所有的数字加起来， 得到的数就作为答案，整个过程中没有一一对应，也无寻找差集的动作，实际上 也不理解加法合并图式的含义，得出的答案意义无法解释。 3 3 2 3 2 不恰当的刻板理解 这种错误原因往往是由于学生在学习的过程中受到先前形成的某种固定模 式的影响，实质上对新的学习内容未能理解。其一表现为被试对数的组成的记忆