2014年全国高考数学试题（天津卷）

2014 年 全国高考数学试题 （天津卷） 第 卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件 A ， B 互斥，那么 如果事件 A ， B 相互独立，那么 ( ) ( ) ( )P A B P A P BU ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 圆柱 的体积公式 V Sh . 圆锥 的体积公式 13V Sh. 其中 S 表示 圆 柱的底面面积， 其中 S 表示圆锥的底面面积， h 表示 圆 柱的高 . h 表示圆锥的高 . 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 . （ 1） i 是虚数单位，复数 734ii+ =+（ ） （ A） 1 i- （ B） 1 i-+ （ C） 17 3125 25i+ （ D） 17 2577i-+ （ 2）设变量 x ， y 满足约束条件 0,2 0 ,12,yxyyx 则目标函数 2z x y 的最小值为（ ） （ A） 2 （ B） 3 （ C） 4 （ D） 5 （ 3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的 S 的值为 （ ） （ A） 15 （ B） 105 （ C） 245 （ D） 945 （ 4） 函数 ( ) ( )212l o g 4f x x=-的单调递增区间 是 （ ） （ A） ( )0,+ （ B） ( ),0- （ C） ( )2,+ （ D） ( ),2- ? （ 5） 已知双曲线 221xyab-=( )0, 0ab的一条渐近线平行于直线 l ： 2 10yx=+，双曲线的一 FEDCBA个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 （ ） （ A） 2215 20xy-= （ B） 22120 5xy-= （ C） 223312 5 1 0 0xy-= （ D） 223311 0 0 2 5xy-= （ 6） 如图， ABCD 是圆的内接三角形， BAC 的平分线交圆于点 D ，交 BC 于点 E ，过点 B 的圆的切线与 AD 的延长线交于点 F .在上述条件下，给出下列四个结论： BD 平分 CBF ； 2FB FD FA=?； A E C E B E D E?； A F B D A B B F?. 则所有正确结论的序号是 （ ） （ A） （ B） （ C） （ D） （ 7） 设 ,abR ，则 |“ ab ”是“ a a b b ”的 （ ） （ A） 充要不必要条件 （ B） 必要不充分条件 （ C） 充要条件 （ D） 既不充要也不必要条件 （ 8） 已知菱形 ABCD 的边长为 2， 120BAD? o ，点 ,EF分别在 边 ,BC DC 上， BE BCl= ，DF DCm= .若 1AE AF?uuur uuur ， 23C E C F?-uuur uuur ，则 lm+=（ ） （ A） 12 （ B） 23 （ C） 56 （ D） 712 第 卷 注意事项： 1用黑色墨水钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 .把答案填在题中横线上 .） （ 9） 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查 .已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4： 5： 5： 6，则应 从一年级本科生中抽取 _名学生 . （ 10）已知一个 几何体的三视图如图所示（单位： m），则该几何体的体积为 _ 3m . （ 11） 设 na是首项为1a，公差为 -1 的等差数列，nS为其前 n 项和 .若1 2 4,S S S成等比数列，则1a的值为 _. 244242俯视图侧视图正视图 （ 12）在 ABCD 中，内角 ,ABC 所对的边分别是 ,abc.已知 14b c a-=， 2 s in 3 s inBC= ，则 c o s A的值为 _. （ 13） 在以 O 为极点的极坐标系中，圆 4sinrq= 和直线 sin arq= 相交于 ,AB两点 .若 AOBD 是等边三角形，则 a 的值为 _. （ 14） 已知函数 ( ) 2 3f x x x=+， x R .若方程 ( ) 10f x a x- - =恰有 4 个互异的实数根，则实数 a 的取值范围为 _. 三、解答题（本题共 6 道大题，满分 80 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （ 15）（ 本小题满分 13 分 ） 已知函数 2 3c o s s i n 3 c o s34f x x x x ， x R . （ ）求 fx的最小正周期； （ ）求 fx在 闭 区间 ,44 上的最大值和最小值 . （ 16）（ 本小题满分 13 分 ） 某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学 . 在这 10 名 同学中， 3 名 同学来自数学学院，其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院 . 现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同） . （ ）求 选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率 ； （ ） 设 X 为选出的 3 名同学中女同学的人数 ，求随机变量 X 的分布列和数学期望 . （ 17）（ 本小题满分 13 分 ） 如图，在四 棱锥 P ABCD- 中， PA 底面 ABCD ， AD AB ， /AB DC ， 2A D D C A P= = =，1AB= ，点 E 为棱 PC 的中点 . （ ）证明 BE DC ； （ ）求 直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值 ； （ ） 若 F 为棱 PC 上一点，满足 BF AC ， 求二面角 F AB P-的余弦值 . （ 18）（ 本小题满分 13 分 ） 设椭圆 221xyab（ 0ab）的左 、右 焦点为12,FF， 右顶点为 A ，上顶点为 B .已知1232A B F F= . （ ）求椭圆的 离心率 ； （ ）设 P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PB 为直径的圆经过点1F，经过原点的直线 l 与该圆 相切 . 求直线的斜率 . （ 19）（ 本小题满分 14 分 ） 已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数 .设集合 0 , 1, 2 ,1, qM = -L ，集合 112 , , 1 , 2 , ,nniA x x x x q x q x M i n-+?= = + + LL. （ ）当 2q= ， 3n= 时，用列举法表示集合 A ； （ ）设 ,stA ，1 12 nns a a q aq -= + + +L，1 12 nnt b b q bq -= + + +L，其中 （