（光学专业论文）克尔非线性光学谐振腔中非极化激元的研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 i 摘摘 要要 我们知道，光在线性极性晶体中以极化声子的形式传播，极化声子是由一个 光子和一个横光学声子构成的粒子。它的物理效应是经典的，不需要用量子力学 考虑。但是，当相干光进入非线性极性晶体中它可以转化成一种新的非经典光， 我们称之为超光。光子在具有极高非线性的极性晶体中能通过交换虚光学声子感 应出一种有效的相互吸引作用。对于这种相互作用，相干态是不稳定的。与超光 相对应的超导态是通过具有相反波矢和自旋的光子结合成对而形成的，我们称之 为光超导态。本文所做的工作是研究克尔非线性光学谐振腔中非极化激元的压缩 性质，从而验证非极化激元的存在，并研究了它的速度与能量密度的关系。全文 的研究内容主要可分为三个部分： 第一部分介绍了超导理论及其进展。说明了超导体的基本性质，如零电阻现 象、迈斯纳效应和同位素效应等；超导体的分类以及低温超导物理发展的几个里 程碑。 第二部分概括讨论了光超导理论。光超导态有一些与电超导态不同的性质： 光超导态的激发光谱没有间隙而电超导态有间隙；光超导态是一个非平衡态而电 超导态是一个平衡态；光超导态把电磁场禁闭在其内部而电超导态把电磁场排斥 在外。它们也有如下的一些相似的性质：电流在电超导体中传播无衰减，与之相 似，超光在超波导中无散射损耗；电超导态排斥磁场，行波超导态排斥涡旋场； 第类超导体中的磁通量是量子化的，驻波超导态中的环量是量子化的。 第三部分对克尔非线性光学谐振腔中的非极化激元作一些研究。我们研究了 克尔非线性光学谐振腔中光子系统的一些特殊性质。其中的光子系统拥有一种新 的准粒子非极化激元。其速度与温度的关系已经被研究了，本文的方法是把其 速度看作是能量密度的函数，研究速度与能量密度的关系，通过观察非极化激元 的压缩性质，可验证非极化激元的存在。我们研究发现克尔非线性光学谐振腔中 的转变能量密度比普通态的要大。 关键词关键词：超导理论 超光 光超导态 克尔非线性光学谐振腔 非极化激元 平均能量密度 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 ii abstract as is well known, light entering a linear polar crystal propagates as phonon polaritons. the phonon polariton is a particle comprised of a photon and a tansverse-optical phonon. the physical effect is basically classical and need not involve quantum mechanics to be understood. however, coherent light entering a nonlinear polar crystal can be converted into a new nonclassical light, which we refer to as superlight. in this paper, we will show that photons in a polar crystal with a high nonlinearity can feel an attractive effective interaction by exchange of virtual to phonons. the coherent state is unstable with respect to such an interaction, and the superguiding state corresponding to superlight is formed through the association of photons in pairs with opposite wave vectors and spins. my work is study of squeezed properties nonpolaritons in a kerr nonlinear optical resonator. the existence of nonpolaritons should be testified by observing the energy density dependence of the velocity and squeezing of nonpolaritons. it includes three parts. the first part investigates the theory of superconductivity and its development. it also declare the basic properties of superconductor, eg., zero resistance phenomenon, meissner effect and isotopic effect etc. the classification of superconductor and some milestones of low temperature superconducting physics. the second part discusses the electronic superconducting theory and the photonic superguiding theory. there are the following contrasts between electrons and photons: electrons are charged fermions, while photons are neutral bosons; the electronic superconducting state is an equilibrium state, but the photonic superguiding state is a nonequilibrium one; and the excitation spectrum of the electronic superconducting state contains a gap. however, there are the following similarities between the superconducting and superguiding states: supercurrent flowing in a superconductor 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 iii experiences no resistance and superlight propagating in a waveguide has no scattering losses; the superconducting state excludes magnetic fields and the traveling-wave superguiding state expels vorticity fields; and the magnetic flux in a type-ii superconductor is a quantized and the circulation in a standing-wave superguiding state is quantized. the last part studies the nonpolaritons in a kerr nonlinear optical resonator. we have investigated that in a kerr nonlinear optical resonator, the photon system possesses a new kind of quasi-particle, the nonpolariton. the existence of nonpolaritons should be testified by observing the energy density dependence of the velocity and squeezing of nonpolaritons. it is found that the transition energy density of a kerr nonlinear optical resonator is larger than that of a normal state. keywords: superconducting theory superlight photonic superguiding state kerr nonlinear optical resonator nonpolariton average energy density 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：万金银 日期：2006 年 4 月 24 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名：万金银 指导教师签名：成泽 日期：2006 年 4 月 24 日 日期：2006 年 4 月 24 日 本论文属于 1 1 综综 述述 1.1 量子非线性光学的新进展量子非线性光学的新进展 近年来， 人们对量子非线性光学进行了大量的研究， 量子非线性理论已经 广泛的应用到了科学研究和实验技术中。人们提出了在一种交叉克尔媒质中 的光子的极化态的量子输运的方案，并且也讨论了这个方案在实验中的可行 性1。在二阶非线性特性中，利用正的 p 表象和一阶线性波动分析，人们研究 了二次谐波特性下的克尔非线性效应2， 论证了通过对超宽带光的光谱过滤可 以产生光子数压缩3， 利用低通滤波器保存全部的拉曼组分， 人们观测到了在 800nm 的 4.6 db 的最大限度的压缩量。利用半经典光学响应，评价了双光子 非线性特性，在量子点极限下，激子系统表现为一个单一的二级系统，其中 在空腔模式下有一个放大了的耦合4； 当一个非线性系统是一个在空腔内的二 级系统时，双光子的非线性动力学在理论上被研究了，它的非线性光学特性 是由二级系统的饱和效应引起的5-6。在非线性区域中，半导体微腔结构中的 激子极化激元的量子统计性质已经被计算出来，并且和实验的结果完全符合 7。 人们也研究了由电磁脉冲和辐射背景之间的量子电动力学效应所引起的非 线性相互作用，所使用的方法是将辐射流体力学与关于光子光子散射的量 子电动力学理论结合起来8。 基于麦克斯韦方程和相对论量子动力学方程的自 洽结合，采用弱相对论的高密度电子束和一个强泵浦激光场，人们研究了在 非线性区域中的 x 射线相干辐射产生机制 9。在量子场理论框架下，克尔非 线性黑体中的光子系统是处于一个压缩热辐射态10-11，它说明了克尔非线性 黑体的光谱能量密度和辐射压强比普通黑体的要大；在从普通态到压缩热辐 射态的转变过程中，光子系统的相位对称性自发的被破坏 12-14。通过交换虚 光学声子，光子能够感应出一种有效的吸引相互作用15-16。对于这种相互作 用，相干态是不稳定的。具有相反波矢和旋量的光子对的结合会产生一种光 超导态，在最近的研究中，我们又证明了克尔非线性黑体中的光子黑体场还 是一种光超流态17。 2 1.2 超导理论超导理论 在一定温度下具有零电阻性和完全抗磁性的材料称为超导体。1911 年荷 兰物理学家昂纳斯（l.onnes）首先发现在 4.2k 附近水银的电阻消失，这种性 质称为超导电性。 1933 年迈斯纳 （w.meissner） 发现超导体的另一个基本性质， 即完全抗磁性，磁场不会透入超导体内。迄今发现元素周期表中的大部分金属 元素以及许多合金（如 nb3sn;nb3ge 等）当温度达到不同的某个值 c t 时，便立 即表现出超导性， 温度 c t 成为正常态转变为超导态的“临界温度”或“转变温度”。 1950 年 maxwell 从试验上发现 hg 的同位素的临界温度 c t与其同位素质量m之 间存在一个关系，即 c t m 常数（ 1 2 ） 。1957 年 bardeen-cooper-schrieffer（简 称 bcs）找到了超导电性的起因，建立了著名的 bcs 理论18。 在正常超导相变前后晶格结构不变， 相变只涉及了电子气状态的改变。 超导现象中正常态和超导态之间存在一个能量差，其能量差值很小，量级约为 10 8ev/原子。在超导态中存在一个能隙 2。能隙的存在表明体系进入超导态 后能量降低是由于超导电子凝聚到一个能隙以下，而宏观量子现象和pippard 相干长度告诉我们在能隙下的电子是长程有序的， 这意味着电子彼此之间有相 互作用。相对来说，一级电子电子相互作用所涉及的能量要大的多，所以引 起超导现象的这种作用应当是二级效应。 在二级效应中电子声子相互作用确 实会引起一种有效的电子电子相互作用， 而且在一定条件下这种作用是一种 吸引作用，从而会使电子互相“吸引”而形成“电子对”或“库柏对”。超导是两个 电子相 互吸引的结果。有效引力的成因是通过声子的媒介作用而引起的，虽 然这个可以造成电子之间相吸的电声子过程初态和终态之间动量是守恒的。 但在初态和中间态之间或中间态和终态之间能量并不一定守恒 （中间态是指第 一个电子已发出一个声子而第二个电子尚未吸收这个声子时的状态） ，这是因 为在能量和时间之间有测不准关系之故，et ? h， 如果中间态寿命t很短， 那么能量不确定性e就会很大， 其结果使在发射和吸收过程中能量不必守恒， 这种能量不守恒的过程叫做虚过程。 而声子的虚发射只有在第二个电子准备几 乎立即吸收该声子时才有可能发生。 电子声子相互作用产生超导电性这一事 实也说明了为什么超导体都是不良的正常导体19。 3 与许多物理现象的理解过程一样，对超导现象的理解也经历了一个从唯 象理论到微观理论的过程。前面提到超导现象是一个相变的结果，要理解这一 点，在唯象的层次上必须研究超导的热力学，在这方面比热的实验结果是最有 特色的，超导比热曲线在 c t附近 c tt时，超导体处于正常导电态，当( )0 c tt时，处于超导态。 c t是反映 超导电性的最基本的参量。后来，人们用更精确的方法证明超导体的电阻率至少小 于10-25.cm（导体纯铜在低温下的电阻率约为10-9.cm） ，因此可以将超导体的电 阻视为零。 2.2.2 迈斯纳效应迈斯纳效应 在1933年以前，人们从零电阻现象出发，一直把超导体和完全导体（或理想 导体）完全等同起来，然而1933年德国物理学家迈斯纳（w.meissner）和奥克森菲 尔德 （r.ochsenfeld） 的磁测量2结果表明， 超导体的磁性质与完全导体的是不同的。 在完全导体中不可能存在电场，即0=e，于是根据麦克斯韦方程 t = b e。 （1） 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 10 这说明在完全导体中不存在随时间变化的磁感应强度，也就是完全导体中保持着它 失去电阻时样品内部的磁场，磁通分布被“冻结”在完全导体中，外加磁场的变化不 能改变“冻结”在完全导体内部的磁通分布。而迈斯纳等对超导体的实验否定了“冻 结”的概念，它表明无论是在加外磁场还是在不加外磁场的情况下使样品进入超导 态，只要 c tt，在超导体内部总有 0=b。 （2） 当施加一外磁场时，在超导体内部不出现净磁通密度的特性称为完全抗磁性，或迈 斯纳效应。零电阻现象和完全抗磁性是超导体的两个完全独立性质，它表明超导体 不仅是理想导体（零电阻） ，而且是完全抗磁体，超导体的磁状态是热力学状态， 即在给定条件（例,t h）下，它的状态是唯一确定的，与到达这一状态所经历的具 体过程无关，如图2.2所示。 (a) 理想导体 （b）超导体 图 2.2 磁场中的理想导体和超导体 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 11 超导体的完全抗磁性起源于超导体表面的屏蔽电流。当处于外磁场中的超导体 进入超导态时， 在其表面将产生一定的永久电流， 正是这层表面电流屏蔽了外磁场， 使超导体内的磁场降为零，故也称其为“屏蔽电流”。理论与实验都证明，屏蔽电流 是分布在一定厚度的表面层内。因此，磁场也不是在表面突然降为零，而是有一定 的穿透深度，其衰减规律一般可表示为 ( ) 0exp l x b xb = ， （3） 0 b是几何表面0 x =处的磁感应强度， l 称为伦敦穿透深度，其大小由材料性质决 定，一般为10-710-8m。 2.2.3 临界磁场和超导体的分类临界磁场和超导体的分类 1913年昂纳斯试图用超导铅丝绕制一个超导电磁体， 他发现当超导线圈通过的 电流达到或超过某一临界值时，即使温度处于 c t以下，超导体的电阻也发生突变转 为正常导体。人们称超导态被破坏的电流值为临界电流，用 c i表示，并很快认识到 超导态是由电流自身产生的磁场破坏的。实验还发现，超导体处于外磁场时，当外 磁场增加到某一临界值之后，超导体的电阻也发生突变转成正常导体54。超导态被 破坏的磁场值称为临界磁场，用 c h表示。它不仅与导体本身性质有关，而且是温 度t的函数。可由下列经验公式表示 ( )( ) 2 01 cc c t hth t = ， (4) ( )( ) 2 01 cc c t iti t = 。 (5) 其中，( )0 c h和( )0 c i是0tk=时的临界磁场和临界电流，不同超导材料的( )0 c i和 ( )0 c h的值是不同的。 综上所述，超导体有三个临界参数：临界温度 c t，临界磁场 c h和临界电流 c i， 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 12 三者密度相关，相互制约，只有当温度、磁场、电流都低于各自临界值时，材料才 能保持超导态。 超导体按照其磁性特征可以分为两类， 即第一类超导体和第二类超导体50 ，55 。 g-l理论在弱场条件下，引进金兹伯格-朗道参量（g-l量）( )( )ktt=来区分 超导体的类型，其中( )t和( )t分别是超导体的穿透深度和g-l相干长度。根据 g-l理论，若超导体的12k，其界面能为负，则属于第二类超 导体， 它包括大多数超导合金。 在退磁因子为零的条件下， 当外加磁场逐渐加大时， 由迈斯纳态转变为正常态要经过一个新的状态混合态（或称为涡旋态） 。混合态 是一种存在部分磁通穿透、抗磁不完全的超导态。 图 2.3 超导体的临界磁场与温度的关系 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 13 图 2.4 超导体的磁化强度m与外磁场b的关系 2.2.4 超导态下电子比热的指数规律超导态下电子比热的指数规律 正常导体的低温比热具有 3 atbt+的形式，其中的线性项是由电子激发引起 的，立方项是由晶格振动引起的。实验发现，在 c tt的零磁场下，超导体的比热 发生了本质的变化。在超导态中，电子对比热的线性贡献已经成为指数形式 ()exp b k t，在 c tt=时，电子的比热值有一个跳跃。按统计物理学，这种指数 规律表示电子能谱的基态与激发态之间存在一个有限大小的能隙，该能隙是以费米 能级为中心，间隔2 g e= ，能隙的存在是超导态的特征，但并非所有的超导体都 有能隙。超导体存在能隙可以通过其他实验方式进行测量，如电子隧道法，光电子 能谱法，光学方法等。 在超导体中，电子和电子间由于产生净吸引力而形成超导电子对，并由此在超 导体的基态和激发态之间产生能隙。根据bcs理论，对于低温超导体，电子和电 子之间的吸引交互作用是由晶格的振动即声子作为媒介的。 2.2.5 同位素效应同位素效应 同位素效应是一个很重要的实验结果，由麦克斯韦和雷诺兹等人分别在1950 年发现，即某些超导体的临界转变温度 c t随同位素质量的增加而降低。超导转变温 度 c t与平均原子量m有如下关系： c m t =常数。其中，对于不同元素，有不同 值。对汞的测量发现，值约为0.5，这个实验结果表明，组成晶格点阵的离子质 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 14 量不同，造成晶格振动性质不同，从而对电子向超导有序的转变过程产生影响。这 从实验上启示人们，电声相互作用可能是决定超导转变的关键因素，为建立超导 理论提供了很好的实验基础。1957年，巴丁、库柏和施里弗提出了微观理论（bcs 理论） ，根据该理论，值是一个与掺杂空穴浓度无关的、很接近于0.5的数。bcs 理论在解释低温超导体时是比较成功的。它支持这样一个观念：超导电性是伴随着 晶格离子运动为中介的电子间相互作用。而对于高温超导体，如此高的 c t值似乎无 法用电声作用机制来解释，因此产生了许多其他理论，有些人认为，电子电子 的吸引交互作用不是通过声子，而可以用磁或电荷作用的方式来达到同样的目的。 在这种情况下，同位素效应作为电声作用的判据成为一种理论研制的重要方法。 铜氧化物中的同位素效应已得到了广泛的研究，最常用的是氧的同位素56。对于高 c t铜氧化物超导体同位素效应的异常，已提出了诸如范霍夫（van hove）奇异性及 非简谐声子的电声耦合作用等模型，但仍缺乏一个令人满意的解释，目前倾向于 认为：声子的作用仍然存在，但要解释90k以上的超导电性，还必须考虑到其他的 作用机制。 2.3 低温超导理论发展的几个里程碑低温超导理论发展的几个里程碑 2.3.1 伦敦理论伦敦理论 由于超导电性的机理是以量子力学作为基础的， 所以在1926年量子力学建立 以前不可能有超导微观理论诞生。在当时缺乏超导微观图像的情况下，许多描述超 导电性的唯象理论便应运而生。其中，最为成功的应首推热力学理论57，它的研究 成果表明，超导相具有某种更高的秩序度。进一步的研究说明，在超导相变前后， 晶格点阵结构没有变化，这给人们一种启示，超导相的这种有序是超导相中的共有 化电子发生某种有序变化引起的，于是提出了超导相的二流体模型。1924年高特和 卡西米尔提出的二流体模型的基本假设是：在超导相中有一些共有化电子变成了高 度有序的超导电子，前者称为超导电子，后者称为正常电子。超导电子不受晶格散 射，对熵无贡献，处于完全有序状态，形成无阻电流。正常电子受晶格散射作无规 则热运动，对熵有贡献，在超导体中，正常电子的有阻运动和超导电子的无阻运动 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 15 构成总的电流，二流体模型可以解释许多超导现象。1935年，伦敦兄弟（f. london 和 h. london）在二流体模型的基础上，建立了两个描述超导电流和电磁场关系的 方程58，它们与麦克斯韦方程一起构成了超导体电动力学的基础，称为伦敦理论。 由伦敦理论可知，磁场在超导体外表面约10nm 的范围内迅速衰减为零，在超导体 内无磁场，由此解释了迈斯纳效应。电流也同样仅产生于表层，正是这种电流引起 附加磁场，精确的抵消了超导体内部的磁场。 2.3.2 金兹伯格金兹伯格-朗道理论朗道理论 金兹伯格-朗道在50年代初发展了超导电性的唯象理论，它采用了朗道二级 相变理论中的自由能展开法59。 在g-l理论中比较自然的引入了相干长度和穿透深 度等概念，给出了它们的具体表达式以及和费米速度、态密度等的关系，使其物理 意义更加明确。g-l理论还提出了第一类、第二类超导体的判据。 2.3.3 bcs理论理论 超导电性的微观理论是由巴丁、库柏和施里弗于1957年创立的，称为bcs 理论。作为一种微观理论，它不仅可以导出在它之前建立起来的伦敦理论、金兹伯 格-朗道理论， 还可以解释更多这些唯象理论所不能解释的现象， 因为超导理论是建 立在一个较清晰的微观物理图像之上，因而为大家所普遍接受，非常规导体（包括 高温超导体）的发现给bcs理论提出了一些新问题，但bcs理论的核心，即载流 子的配对的思想还是适合的，至于配对的机制及对系统的描述尚待进一步的研究。 20世纪50年代，原子能技术的发展为同位素效应提供了技术条件，1950年 麦克斯韦和雷诺兹等两组物理学工作者同时独立发现，超导体的转变温度与同位素 质量有关。德国物理学家弗洛里希在1950年首先从理论上指出电声作用是产生 超导电性的关键。1956年库柏从能隙问题入手，运用量子力学原理提出：如果费米 面上两个电子间存在有净吸引力作用，则不论这种作用多么弱，其结果都能形成电 子对束缚态，从而提出了库柏对的概念。在此基础上，巴丁、库柏、施里弗等人认 为：通过晶格软化和发射虚声子等机制，超导体的电子之间存在净的相互吸引力， 使电子结合成电子对。由量子力学可证明，当两个电子的动量等值反向且自旋也反 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 16 平行时吸引作用最强，其能量低于2 f e。当温度低到一定程度时，热运动不足以抵 抗电子的成对趋势， 电子便开始大量成对， 并由费米子转变为玻色子， 向基态凝聚， 与正常态电子之间产生能隙，当有电流通过超导体时，超导态下电子也会相互不断 散射，但在散射过程中库柏对的总动量=pk?守恒，所以电流持续不衰，宏观上表 现为零电阻现象。事实上这些电子对就是伦敦理论中的超导电子，它们的结合能就 是前面提到的能隙。这里提到的晶格软化的概念的物理图象是：当一电子行经可极 化的晶格点阵时，正的离子点阵会发生畸变，这是因为正离子向这一位置靠近可以 降低静电能。这样，在这一电子附近就形成局部正电荷密度增加，而这就使得第二 个电子向这个区域靠近，于是由于晶格的极化，在这两个电子之间产生了一种有效 的吸引作用， 而电子间的相互作用越强， 库柏对就越容易形成， 且越不容易被拆散， 自然地， c t就越高。可以想象，晶格软化（不稳定性）程度与超导转变温度 c t之间 存在直接关系，如果电子间的吸引力越强， c t就越高。反之，如果晶格结合越紧， 则相应的畸变就越小，电子间的吸引力就越小， c t就越低。 bcs理论不仅成功解释了超导的微观机制， 并且预见和解释了与超导有关的现 象和性质，主要内容如下： 1）在外加磁场为零的条件下，超导态的临界温度可以表示为 ( )() 0 1.14exp10 bcd k thnv=， （6） 上式中，( )0n表示正常态费米能级上的单电子态密度， d 和 0 v分别表示德拜频率 和耦合常数。由（6）式可知，无论电子对间相互作用强度 0 v多么弱，都会存在一 个临界温度， 尽管该临界温度可能低到无法测量的程度。 由 （6） 式还可看出 c t与 d 成正比，这意味着0t =k时所有电子都结成库柏对，不存在正常单电子；随着温 度升高，电子间耦合减弱，一些库柏对被拆散而转变为正常电子对，温度越高，正 常电子数越多，当温度超过 c t时，所有库柏对全部被拆散，超导态转变为正常态， 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 17 bcs理论还预言超导转变温度30 o c tc。 2）由于德拜频率 d 和同位素质量m满足 1 2 d m ，所以（6）式的结果表明 1 2 c tm ， （7） 即同位素效应。 3）bcs理论预言，临界磁场可以用以下公式表示 ( ) ( ) 1 0 c h tt ht = 。 （8） 除铅和汞之外，上式与大部分超导材料符合的较好。 4）bcs理论预见了0t =k时的能隙为 ( )( )() 0 02exp10 d hnv=， （9） 比较（6）式和（9）式可得 ( )203.52 bc k t=。 （10） 在许多情况下上式和实验基本符合，但汞、铅和许多非晶态为例外。一般认为，这 是强耦合因素所致。 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 18 3 光超导理论光超导理论 3.1 光超导理论的形成光超导理论的形成 基于前面对超导理论及其进展的研究， 超导的形成是由于超导体中电子之间的 相互作用，下面来看一下光子在某些特殊晶体中的表现。众所周知，光在线性极性 晶体中以极化声子的形式传播。极化声子是由一个光子和一个横光学声子构成的粒 子。它的物理效应是经典的不需要用量子力学考虑。但是，当相干光进入非线性极 性晶体它可以转化成一种新的非经典光，我们称之为超光。光子在具有极高非线性 的极性晶体中能通过交换虚光学声子感应出一种有效的相互吸引作用。对于这种相 互作用，相干态是不稳定的。与超光相对应的光超导态是通过具有相反波矢和自旋 的光子结合成对而形成的。因为电子是带电费米子而光子是中性玻色子，所以电超 导态与光超导态之间有下面的比较： （i）电子是带电费米子而光子是中性玻色子； （ii）电超导有一个带隙而光超导没有带隙； （iii）超导体把电磁场排除其外而超波 导把电磁场限制其内。它们也有如下的一些相似的性质： （i）超流在电超导体中传 播无衰减，与之相似，超光在超波导中无散射损耗； （ii）电超导态排斥磁场，行波 超导态排斥涡旋场； （iii）第类超导体中的磁通量是量子化的，驻波超导态中的环 量是量子化的。 光能在其中形成光超导态的晶体是非线性极性晶体。我们讨论的晶体是一种克 尔非线性晶体。这种晶体由克尔非线性介质构成，晶体内的电磁场处于热平衡。我 们将晶体和热平衡组成的系统称作为克尔非线性黑体。可以把这种非极性晶体看作 是一个立方晶体，晶体壁由完全导热的材料做成，这样可以使其保持一个稳定的温 度t。在一个壁上留一个小孔用来通过热辐射。下面我们来讨论这种晶体有哪些特 殊的性质。我们所讨论的晶体是共价的。共价晶体的光学振动模都是非极性模，不 能输运电偶极矩，因此它们表现为红外不活跃。通常，晶体被看作是立方对称的， 所以是光学各向同性的。克尔非线性晶体必须是中心对称的。我们所说的非线性就 意味着晶体是一级拉曼散射的。在中心对称晶体中的非极性模是偶宇称的，存在拉 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 19 曼散射60。在立方系统中，一般的共价晶体都是中心对称的，拉曼散射都是以金刚 石结构存在。 据此， 我们可以将晶体的研究确定为一种有着金刚石结构的特殊晶体， 比如碳c。在金刚石结构的晶体中，初基胞包含两个相同的原子。在零波矢时，这 两个原子表现出一种三重简并的非极性模式，这就是拉曼散射。由于拉曼散射模的 作用，初基胞中的两个原子将反相运动。因为下面的讨论与声学模无关，所以晶体 的振动模式仅限于拉曼散射模式。 当辐射和晶体所组成的系统处于热平衡状态下，晶体和辐射之间已经不存在固 有的吸收。然而，辐射会受到晶体固有的散射。这种散射将使辐射和晶体逐渐趋于 热平衡。现在，我们使用一个指标jnl=来标记一个离子，用矢量 j r ? 来表示第j个 离子的平衡位置。在电偶极矩近似下，这种散射可以用电磁场和晶体的相互作用哈 密顿量来描述： , 1 ( ) () () 2 ijjjj j j hse r e r = ? ? ? ? 。 （11） 这里 jj 是拉曼极化率，它由电磁场中价电子的虚交换产生。拉曼极化率jj 表 明了通过价电子的作用，原子j和 j 的成键。方程（11）中求和上的撇号意味着我 们仅考虑原子jnl=与离其最近邻原子jnl=的成键。也就是说，我们考虑的仅是 同一原胞内原子之间的成键。 现在，我们将相互作用的哈密顿量二次量子化。根据电偶极矩近似，我们可以 将方程（11）中电场e ? 的自变量由直接晶格矢量 n r ? 替代。晶体内的宏观电磁场的电 场可由下式给出 () ()() 1 2 ii n e ra e ea e e = + ? ? ? ? ? ? ? nn krkr k kkkk k0 i 2v ， （12） 其中，c= ? ? k kn。量子化的相互作用哈密顿量有下面的形式 () () , iqq q hmqaabb + =+ ? ? ? ? ? kk+q,k k ， （13） 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 20 其中耦合系数()mq ? ? k 由下式给出 () 2 11 2 1 1 1 2 0 () 2 ()( ) 2 1 ( )()( ) n i qr ll ll lln l l n mqo qee v o qbn e qe m = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? k+qk kk+q,k r 2 ， （14） 其 中 21 nnn rrr= ? ，( )o q ? 是 和 晶 体 特 性 有 关 的 拉 曼 系 数 。 可 以 发 现 ()() 1 1cos 2 ee =+ ? ? kk ，这里是波矢 ? k和 ? k之间的夹角。 以上的光子算符和声子算符遵从等时对易关系： ( ),( )( ),( )0 qq at b tat b t = ? kk 。 （15） 光子系统和声子系统可以通过方程（13）的相互作用哈密顿量耦合，则耦合系统的 巨正则哈密顿量为 emioni hhhh=+， 这里 em h和 ion h分别表示无相互作用光子系 统的哈密顿量和非相互作用声子系统的哈密顿量，这个哈密顿量将是以后讨论中的 出发点。 方程（13）的哈密顿量 i h导致了声子对光子的拉曼散射，这种散射会使辐射 和晶体之间处于一个热平衡态。为了确定光子系统的哈密顿量 i h的二阶效应，做 一个幺正变换： isis t hehe =，其中s是厄米的61。这个表达式中的指数函数可以 被展开，在 , emioni i hhsh+= 条件下幺正变换可以在一阶中消去方程（13）中 的 i h项， 。用这种方法，s可以得到如下式形式 ()() () qq rr aa baa b sq + =+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? k+q,kk+q,k k k,q k+qkk+qk im。 （16） 对于s中的第二项，变换后的哈密顿量为 1 , 2 temioni hhhhs=+， （17） 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 21 这里， t h包含一个附加项。 在平衡位置处的声子密度算符为 ion ion ht ht e tre = b b k k ， （18） 我们用它来对附加项求平均，可以得到光子之间相互作用的哈密顿量为 1 , 2 ii hihs = () 2 2 2 2 (,)( ,) r r mqmq aaaa + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 21 1 kk k-q,k +q,kk k,k ,q kk-q 。 （19） 相互作用的矩阵元由上式给出，它们可能是相互吸引的，也可能是相互排斥的。如 果态 ? k和 ? ? k -q被一个小于 r ?的能量分离，则表现为相互吸引，而系统会调整到这 样的状态。这种吸引的物理模型可以在作如下的描述：光子和声子之间的耦合被忽 略时，散射光子之间是相干的。由于在一定温度下，热辐射声子系统的能量是守恒 的，所以相干光子系统的能量必须减少。而这种系统的能量的减少就导致了光子 光子有效相互作用。因此，为了保持系统能量的守恒，在晶体中需要有足够的虚非 极性声子来弥补能量的损失。 由于光子声子的相互作用，我们在推导方程（19）的相互作用哈密顿量时， 发现单光子系统的能量减少了。我们对晶体的介电常数进行了重定义，则这种能量 的减少就可以合并到电磁场的哈密顿量中去。现在，电磁场的哈密顿量就成为 ememi hhh=+。 下面我们考虑一个由光场和非线性金刚石离子晶体构成的耦合系统。晶体的体 积为v，离子晶格有n个晶胞。令 n r为第n个原胞中的一个合适的参考点。第n个 原胞的第l个离子与平衡位置的瞬时位移用矢量 nl s表示。入射光场是一个单模线性 极化相干光。 入射频率 0 远低于电子的转变频率但是远大于晶体的横光学声子频率 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 22 t 。 入射光强很大以至于可以忽略场与晶体之间的线性相互作用。 因此对于各向同 性媒质来说，相互作用哈密顿量有下面的非线性形式62 2 , 1 ( ) 2 inln n l he= r。 （20） 这里，在离子位置处的本地场被外来光场e取代了，因此 nl 是第nl个离子的有效 极化率，极化率 nl 是温度、压强和位移的函数。在离子系统的平衡态附近，极化 率 nl 可展开为 ( )0 nllnllnl =+s。 （21） ( )0 l 是第l个基本离子在平衡态的极化率， nl 第nl个离子由于温度和压强的影响 极化率的变化量， l 是第l个基本离子在平衡态的微分极化率矢量，它表示了晶 体的非线性。因此相互作用哈密顿量包含了三项。第一个包含( )0 l 的项可通过引 入一个高频率介电常数 h 合并到光场能量中去。在库仑规范下，可以把光场e量子 化，圆偏振光子的自旋1= ，产生算符为 a k ，令 nnl l =，q表示 n 的傅 里叶变换，则第二个包含 nl 的项简化为 ( ) , , f q hnaa = kqk+qk k q，( ) () ()( ) 1 2 0 2 h n n v = k+qk k qk +qq ? 。 （22） 0 是真空介电系数，( ) k和 1 2 h c = k k 分别是极化率矢量和光子频率。在谐波近似 下离子位移 nl s可由横光学声子的产生算符 bq量子化，因此 i h中的最后一项可以简化 为如下的形式 h= ,q k ( ) , ma kk+q q () , abb + kqq ， 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 华 中 科 技 大 学 硕 士 论 文 23 ( )( )()( ) 31 22 0 8 ll l hlt n m vm = k+qk k q