（应用数学专业论文）orliczbochner空间的凸性.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 o r l i c z b o c h n e r 空间理论是在o r l i c z 瘵间理论的基础上形成的，尽管o d i c z - b o c h n e r 空间理论在上世纪五十年代已经出现，僵麓今仍然没有形成一个究整的体 系，因诧，构建o r l i c z b o c m e r 空阿理论的基本框架，并农此基础上研究它的一些 赫本性质，具有十分重要的意义。 通避参照o r l i c z 空瓣稻l e b e s g u e - b o c h n e r 空阉理论的方法和技巧，率文主要 从两方面对o r l i c z b o c h n e r 空间的性质进行了研究首先农第二章熙，简述了部分 籀关懿基率援念积定瑾。在第三章对o r l i c z - b o c t m e r 空瑟酶一釜基本缝爱遴行了磁 究。论证了o r l i c z b o c h n e r 空间在l u x e m b u r g 范数下仍为b a n a c h 空间；讨论了范 数箕鸯懿基本毽璇 裁窭了o r l i c z - b o c l m e r 空霾农l u x e m b u r g 蔻数下搂与薤数懿 有界性的关系和范数收敛性的判别依据等凸性愚b a n a c h 空间几何研究的重要内 褰，它戆潺跨 遗揭示空耀戆几侮缝捻，爨敷在第蹿豢。佟密对o r l i c z b o c h n e r 空耀 的凸性进行了研究。在这章里，以第三章的理论为基础，并借骧其它空间的研 究方法，依者研究_ o r t i c z ，b o c l m e r 空间农l u x e m b u r g 范数下的严格凸性，中点局 部致凸性和局部一致凸性。 本文通过对o r l i c z b o c h n e r 空间的几何属性的研究，得到了o r l i c z - b o c h n e r 空 闼在l u x e m b u r g 藏数下筷与范数酌关系，藏数具有的基本稳质和o r l i c z - b o c h n e r 鸯 间的严格幽性，中点局部致凸陇和局部一致凸性等结论。相信本文的研究将有 豌于更好魏砑究o r l i c z - b o c h n e r 空阕鳆结梅 关键调：攘o r t i c z b o c l m e r 空蓠l u x e m b u r g 范数毅鼗豫凸敬 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ed e v e l o p m e n to fo r l i c z - b o c h n e rs p a c et h e o r yi sb a s e do nt h et h e o r yo fo r l i c z s p a c e ，a l t h o u g ht h ec o n c e p to fo r l i c z - b o c h n e rs p a c ew a sp u tf o r w a r di nt h e1 9 5 0 s ， i th a sn o tb e e nd e v e l o p e dt ob eai n t e g r a t e ds y s t e my e t t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt o c o n s t r u c tap r i m a r yf r a m eo fo r h c z - b o c h n e rs p a c et h e o r y ；a n di ti sq u i t ew o r t ho fc o n t i n u i n gt os t u d ys o m ec e r t a i nc h a r a c t e r i s t i c so fo r l i c z - b o c h n e rs p a c e r e f e r r i n gt ot h em e t h o d s o fo r l i c zs p a c ea n dl e b e s g u e - b o c h n e rs p a c e ，t h ea u t h o r c a r r i e do u tt w oa s p e c t so fw o r ki np r e s e n td i s s e r t a t i o n a tf i r s t ，s o m ep r i n c i p a lc o n - c e p t sa n d t h e o r e m sw e r ei n t r o d u c e di l lc h a p t e r2 t h e nt h ep r o p e r t i e so fo r l i c z b o c h n e r s p a c ew e r ei n v e s t i g a t e di nc h a p t e r3 ：t l l eo r l i c z - b o o m e rs p a c e w i t hl u x e m b u r gn o r l n i si n d e e dab a n a c hs p a c e ；t h em a i nc h a r a c t e r so fl u x e m b u r gn o r mw e r ed i s s c u s s e d ； t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eb o u n d n e s so ft h em o d u l a ro fo r h c z b o c h n e rs p a c ew i t h l u x e m b u r gn o r ma n dt h en o r m ，a n dt h ec r i t e r i ao ft h ec o n v e r g e n c ei l lt i l en o r mw e r e f o u n do u t r o t u n d i t yi sa ni m p o r t a n tc h a r a t e r i s t i c so fb a n a c hs p a c e ，i tc a lr e f l e c tt h eg e o - m e t r i cc o n s t r u c t i o nc l e a r l y , t h u st h er o t u n d i t yo ft h eo r l i c z b o c h n e rs p a c ew a ss t u d i e d i nc h a p t e r4 i nt i l ed e t a i l e dr e s e a r c h ，t h er o t u n d i c y ，t h el o c a l l yu n i f o r mr o t u n d i t yo n t h em i d d l ep o i n ta n dt h el o c a l l yu n i f o r mr o t u n d i t yo ft h eo r l i c z - b o c h n e rs p a c ew i t h l u x e m b u r gn o r mw e r ed i s s c u s s e d t h r o u g h t i l es t u d yo ft h e g e o m e t r i cp r o p e r t i e so ft h eo r l i c z - b o c h n e rs p a c e ，t h ea u - t h o rd i s c o v e r e dt h ec o n u e c t i o l lo ft i l en o r ma n dt h em o d u l a ri nt h eo r l i c z - b o c l l n e rs p a c e w i t ht h el u x e l n b u r gn o r l n ，t h ef o u n d a m e n t a l p r o p e r t i e so ft h en o r m ，t h er o t u n d i t y ，t h e l o c a l l yu n i f o r mr o t u n d i t yo nt h em i d d l ep o i n ta n dt h el o c a l l yu n i f o r mr o t u n d i t yi nt h e o r l i c z - b o c h n e rs p a c e i tc a l lb ec o n v i n c e dt h a tt h er e s e a r c ho ft h ec h a r a c t e r i s t i c so ft i m o r l i c z - b o c h u e rs p a c ew i l ld og o o dt os t u d yt h eo t h e rp r o p e r t i e so fo r l i c z - b o c h n e rs p a c e f l l r t h e r k e y w o r d s ：m o d u l a r o r l i c z b o c h n e rs p a c e l u x e m b u r gn o r mc o n v e r g e n c e r o t u n d i t y i i 圭鲎盔堂题堂焦迨塞 1 1 骄究的謦的与意义 第一章前言 近年来，随着b a n a c h 空阆理论的不断发鼹，在t 9 3 2 年以著名波兰数学墩 w o r l i c z 名字命名的o r l i c z 空间理论也醴益丰静和完善。现在它已经成为b a n a d l 宅间几何理论的一个重要分支，并且其应用也愈来愈广，特别悬在逼近论，控制 论戳及不动点瓒论方面菇示着广阔静前荣o r l i c z - b o c h n e r 空阕璜论是农o r l i c z 窳 间理论的基础上形成的，尽管o r l i c z 空i 娜里论已经十分宪善，但o r h c z b o c h n e r 铙 闻理论去p 还没鸯澎残。淼蓬蓠瑟麓冕蘩黪文蕺申，研究o r 琵c z b o c t m e r 窒藤淫凌瓣 文献很少，因此，构建o r l i c z b o c l m e r 空| 印里论凝本框架，并在此基础上研究它的 一些基零蛙凌，其骞分重要弱意义。憩终，o r l i c z - b o c 盘n e r 空越也是一类具露鹃 b a n a c h 空间，宦的各种几何性质及数据可以作为一般b a n a c h 窝间的直观材料； 剡翔o r l i c z - b o c t m e r 空瓣凡嚣性矮懿方法秘技巧，壤为一般b a n a d l 空超凡倪学掇 供借鉴。由于o r l i c z 函数可以变化多端，o r l i c z - b o c h n e r 空间也就千姿百态，特性 迥异，从最好到最坏，觅所不包，它因霹是b a n a c h 空间理论的一个内容串富的模 毽库。茄夕卜，对于积分方程，偏微分方程，变分法，复变函数，邋近论，概率论和 控制论中的线憾问题和多项式烈非线性问题，用l e b e s g u e - b o c h n e r 空间理论和五” 空闻理论基本上可以解决，僵警非多项式鍪菲线往褥蘑黯琵对，l e b e s g u e - b o c m e r 空间理论和r 套间理论就立刻照得狭窄而不缚所用，此时，用o r l i c z 空间取代” 空霹，掰o r l i c z b o c t m e r 空瑟取代l e b e s g u e - b o c h n e r 空阕，麓会嫠瓣遂霉爨眈较好 的解决因此，时o r l i c z b o c b a l e r 空间的几何性质作深入细致的研究，有助于进一 步署摄麟静痊爨镁域，遮遣是黟 究o r l i c z b o c h n e r 空霆a 舞学静燕要意义。 l 。2 空闻理论撅述 由于o r l i c z - b o c l u l e r 空间与o r l i c z 蹙间和l e b e s g u e - b o c h n e r 空间有着紧密的 联系，掰诧有妊要对o r l i c z 空闻蠢l e b e s g u e - b o c h n e r 空鬻空闻俸一个与本文研究 相关情况的综述 1 o r l i c z 空阉 o r l i c z 空间理论兴趣于三十年代初，形成于藏十年代宋。在1 9 5 8 年，m a k p a c h o c e 上海大学硕士学位论文 _ckhrpb 和且b pytt 4 khn 出版了第一本此方面的专著凸 函数与o r l i c z 空间，这本书系统地总结丁那个时代的工作在五十年代末，当 o r l i c z 函数空间理论已经形成的时候，j g r i b a n o v 等人又开始考察o r l i c z 序列空 间序列可以看成是定义与纯原子无限测度空间上的函数，与通常意义下的函数 定义于无原子有限测度空间上的函数有本质的区别我们可以看到两类空间之间 的几何学有许多平行命题，其结论和证明方法也很形似，也有一些结论虽相似， 但在证明中各自使用了自己有关的特殊技巧，更有一些是以表现两类空间质的差 异的耐人寻味的命题在那以后的二十多年里，一方面，空闻和算子理论继续得 到发展；另一方面，在继续发展与积分方程联系的同时，又成功地将o r l i c z 空间 理论应用于函数逼近论，偏微分方程，概率论及复变函数等多门学科在我国，也 有许多数学工作者在这一领域耕耘，特别是哈尔滨，北京，南京等地研究的人最 多1 9 8 3 年，吴从忻，王廷辅出版了国内此方面的第一本专著奥尔里奇空间及 其应用，为广大研究者提供了o r l i c z 空间理论基础如今，o r l i c z 空间理论已经 有了较完善的发展 对于o r i c z 空间来说，不管是o r l i c z 范数，还是l u x e m b u r g 范数，都与模有着 千丝万缕的联系，因此，找到它们相互之间的关系十分重要在研究o r l i c z 空间的 时候，先研究的是o r l i c z 空间模与范数的有界性、收敛性的关系，以及范数具有的 一些基本性质，这就为后面的研究奠定了基础凸性是所有空间理论研究的重点 课题之一，当然也是o r l i c z 空间研究的重点o r l i c z 空间的凸性我们已经研究得很 清楚，如o r l i c z 空间在l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数下的端点判别依据；o r l i c z 空 间在l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数下的严格凸性质；o r l i c z 空间在l u x e m b u r g 范 数和o r l i c z 范数下的中点局部一致凸性质；o r l i c z 空间在l u x e m b u r g 范数和o r l i c z 范数下的局部凸性质等但是在另一方面，o r l i c z 空间里也还存在许多难点问题 殛待解决，如装球常数问题等 2 l e b e s g u e - b o c t m e r 空间方面： 我们知道，l p 空间比o r l i c z 空间简单得多，在发展o r l i c z 空间理论的过程中， 我们借鉴了l v 空间的许多技巧和方法，同样，要对o d i c z b o c h n e r 空间进行研究， 我们也有必要先多了解一些l e b e s g u e - b o c l m e r 空间处理问题的方法和技巧。自从 1 9 3 8 年，s b o c l m e r 和a e t a y l o r 研究l e b e s g u e - b o c h n e r 空间r 僻) ( 0 p 0 ，使得 对一切”只要l “一”i em a z ( n i ，m ) 就有 m ( 半) ( 1 6 ) 坐掣 ( 2 2 ) 定义2 2 的等价定义有”1 ( 4 ) m ( “) 是一致凸的乍号ve ，及【口，6 c ( o ，1 ) ，j 0 ，使得对一切u ， 及o k 只要i “一”j e m 。z ( i “l ，l v l ) ，就有 m ( a u + ( i o ) ) ( i 一) ( a 订( ) + ( 1 一a ) 巧( 付) )( 2 2 ) 2 n 函数 定义2 3 7 1 满足下述条件的在( 一。，+ o 。) 上的有限值实值函数m ( ，。) 称为函数 ( 1 ) m ( “) 为偶的连续凸函数，且m ( 0 ) = 0 5 上海大学硕士学位论文 ( 2 ) 当u 0 时，m ( u ) 0 ( 3 ) 捣掣= m 。掣= o 。 定理2 i 1 7 m ( u ) 为n 函数的充要条件是存在满足下列条件的 0 , o o ) 上的实值函 数： ( 1 ) p ( u ) 右连续，非降 ( 2 ) 当t 0 时，v o , 】 0 ( 3 ) p ( o ) = o , u 里p ( “) = o 。，并且满足 m ( t ) = p ( t ) d t( 2 3 ) 6 注：对任意“0 有 m ( a u ) a m ( u ) ( 0 1 )( 2 5 ) 定义2 4 t t p ( t ) 满足定理2 1 的( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 时称 为p ( t ) 的右函数 g ( 8 ) _ ，器扛，涨，。 p ( t ) 9 p 【t j 定理2 2 7 l 设m ( u ) 为n 函数，q ( s ) 为其右导数p ( t ) 的右反函数，则 h ( ”) = 巾) 如 0 也是函数，称它为m 0 , ) 的余函数。 2 2 n 函数的条件 定义2 5 ”n 函数m ( u ) 满足2 条件是指存在k 2 和u o 0 使得 m ( 2 u ) k m ( u ) ( u “o )( 2 6 ) 定理2 3 下列说法等价 ( 1 ) m ( u ) 2 ( 2 ) v f l l ，v t i 0 ，jk 。 1 使得m ( t 1 “) k m ( “) ( u “1 ) ( 2 7 ) ( 3 ) v 1 2 l ，v “2 0 ，je ( 0 ，1 ) 使得m ( ( 1 + e ) u ) 1 2 m ( u ) ( “2 ) ( 2 8 ) ( 4 ) v 1 3 l ，v 。 0 ，j5 0 使得n ( t 3 v ) ( 1 3 + 5 ) n ( v ) 扣 。) ( 2 9 ) ( 5 ) j 口o 0 ，1 3 l ，5 0 使得( 2 9 ) 式成立 ( 6 ) j o j m 0 1 ，f 4 1 使得焘n ( h v ) ( ) ( 付) ( 2 - l o ) 6 上海大学硕士学位论文 2 3 空间凸性概念及其间关系 定义2 6 7 1 x 称为一致凸( u r ) 的是指对任意的 。) 黑1 ， ) 器lcs 陋) ， 。慨+ 洲= 2 蕴涵。恢一i i = 0 定义2 7 mx 称为弱一致凸( w u a ) 的是指对任何 z 。) 甚1 ， 帅) 忍lcs 伍) ， ，。忙n + 珈0 = 2 蕴涵。，( z n y n ) = 0 ，( v ，x + ) 定义2 8 7 1 x 称为局部一致凸( l u r ) 的是指对任何$ ，z 。s ) m ：l ，2 ，) ， 。忙+ z n i = 2 蕴涵。忙一z n 9 = 0 定义2 9 【7 1 x 称为弱局部一致凸( w l u r ) 的是指对任何8z 。s ( x ) ：1 ，2 ，) 。忙+ z n 0 = 2 蕴涵。m 一。n ) = 0 ( v ，x + ) 定义2 1 0 7 1 x 称为中点局部一致凸( m l u r ) 的是指对任何。，z 。， 撕。s ( x ) ( n = l ，2 ，) j 。旦写k | | n + y n 一2 z i l = 0 蕴涵。旦婴幻i l z n 一鼽| | = 0 定义2 1 l 7 1 x 称为严格凸( r ) 的是指的任何茁，s ) ，忙+ 训：2 蕴涵z o ：帅 定理2 4 4 0 i x 是一个b a n a c h 空间 个点是端点 定理2 5 1 4 0 x 是一个b a n a c h 空间 面上的每个点是强端点 x 是严格凸的当且仅当x 的单位球面上的每 x 是中点局部一致凸的当且仅当x 的单位球 定义2 1 2 4 3 一p 。】设有向量值函数，z ：q + x ( 其中n 是完全有限测度空间， x 是b a n a c h 空间) 如果可以把n 分解为有限个( 或可列个) 互不相交的可测集 n 。的并，在每个n 。上，z ( t ) 取常值吼x ，则称z 为有限( 或可数) 值函数。 定义2 1 3 【4 3 一剐称向量值函数。：n + x 是n 上强可测函数，是指存在一列有限 值函数 ，使得 z 。) 几乎处处强收敛于。 定理2 6 m 一】设n 是完全有限测度空间，则向量值函数。( t ) 强可测的充要条件是 z ( t ) 为有限值函数列几乎处处强收敛的极限。 定理2 ，7 【4 3 一p 口】设z ( t ) 是n 上强可测向量值函数，则z ( t ) 是弱可测函数，忙( 圳是 实值可测函数 7 上海大学硕士学位论文 第三章o r l i c z b o c h n e r 空间 定义3 1 1 4 】上4 ( g ，x ) = z ：j o ，f c 壬( , x l l = ( o i i 0 ，使得儿圣( a 忙( 圳) d 亡 + f g i , ( 卢l l y ( t ) i i ) d t + o o 对v 女r ， 厶西( 蔷忙坤) 1 1 ) d t = 厶圣( 酬邢川) 出 + 。 于是z l o ( g ，x ) 叉 厶壬( 羔忡) 训t ) 1 1 ) d t 五垂【羔硎球) 1 1 + i i 她川) 冲 = 厶圣c 掣+ 筹础 正南嘶i i 球) 1 1 ) d t + 五南酬酢) 1 1 ) d t 0 ，西( , x l l x ( t ) 1 1 ) d t 0 ，使得止圣( a 忙( 圳) d 亡 0 ， 雪( k l l 坤川) 出= 五圣( 扣邢) 1 1 ) a t 若一k ! l ，则 西( k 1 1 坤川) 出= 五垂( 扣球) 1 1 ) d t s ：五啡即) 1 1 ) d t 1 ，因为西( “) 2 ，由定理2 3 可知，v ”o o ，j k l ，当0 a z ( t ) l l2m 。 垂( 割。z ( 洲k 圣( 1 l a z ( 圳 此时 西( k l l 球) 1 1 ) a t = 五西( 扯邢) 1 1 ) d t = r西( 当i i a z ( t ) 1 1 ) d t +西( 兰i l a 。( t ) 1 1 ) a t 茎五圣( ：m 。) d t + k 五壬( n i i z 。) t 1 ) d t 9 上海大学硕士学位论文 因此zee 。( g ，x ) ，所以当西( u ) e 2 时，e 。( g ，x ) = 矿( g ，x ) 引理3 1l ( ) = ，g 圣( k l l zc t ) 1 1 ) a t 0 ) 在其定义域内是连续的。 证明：设女。为l ( k ) 定义域上一内点，在l ( k ) 的定义域内任取k 。夕，于是有 垂( k n i i x ( t ) 【1 ) 垂( k o l l z ( o i i ) 所以 西( 。l l ( t ) i i ) 斗西( k o i i z c t ) i )0 g ，t l - - - - i * o 。) 再由l e b e s g u e 积分号下取极限定理即得 。堡工( k ) = 。里厶西( k i i 邢州) 疵 = 五。些西( 圳坤州) 疵 = l ( k o ) 若对任意。，同理可知上式成立，放l ( k ) 在k o 连续若定义域为闭区间或 半闭区间，由前面证明可知，在端点处是左连续或右连续的 命题3 1 。p ( g ，x ) ，i i z i i = i n f k 0 ：艮( ；) s 1 ) 成为范数。 证明：因为z l 4 ( g ，x ) ，故存在a 0 ，使得 因此 垂( a f 。( t ) i i ) d t m ( m 1 ) j g 厶圣( 盖忙( 驯眦t 击五圣陋1 1 雄川) 如l 所以i l f f k 0 ：p + ( ；) 1 ) 非空，并且l i x l l 0 ：风( 鲁) 兰1 定义了l + ( g ，x ) 上的一个泛函 下面证明它满足范数三公理 ( 1 ) 因为l i x l l = i n f 0 ：艮( 睾) 1 ) ，即它为满足条件的所有正数的下确界，所以 恻i 0 。 若i i x l l = 0 ，即i n f k 0 ：艮( 击) 1 ) = 0 ，则存在一列单调递减且满足以( 害) s l 的正数列 h ) 丞l ，使得。堑h = 0 若z 0 ，即存在e g ，m e s e 0 使 得z ( ) 0 ( t e ) 因为j = 0 ，所以可取 k ) 罂。中的一个子列，不妨记 为 k ) 。o o ：l ( 其中k 。 o ：五圣( 掣) d r 鲫叫“ 0 厶圣( 鼍半1 ) = 埘 高 。：五母( 譬陋斑s l = 蚓l 蚓 f 3 j = 簏卜等式 对任意x l ，x 2 五。( g ，x ) ，不失一般性，设$ l o ，z 2 0 ，根据m ( 。) 的凸性可得 西e 黼，s 西c 氅州铲， s 嵩联 幽l l 。d l 、 赫昏f 管)2 慨忖阮旷”胁胁旷厩i f f 3 1 ) 下面证嘴对任意茁p ( 强x ) ，g 。，稃( 赢) s i 取正数列是t 觳 。磐o 。k 一i i 。因为釜矧警的叫圣( i i 篙t 1 ) 国。e g ) ，且f c 圣( 1 1 警i i ) d t 一 。：风( ；) 茎l 或 为一个范数 1 1 土整盔堂亟堂鱼迨塞一 定理3 4 范数性质 ( 1 ) 儿( 南) 茎1 ( z o ) ( 2 ) 当垂( “) 2 时，对一切z 0 ，有凡( 南) 2 1 ( 3 ) | | z 0si = = = 争p 。( $ ) sl i x l l ，0 。l | l = = = 幸p 。( t ) 2 | j 。0 ( 4 ) 西( u ) e 2 ，嚣。l 西( g ，x ) ，则p 十( z n ) - + c o = = i | 。n i i = = + o 。 ( 5 ) 当圣( u ) 2 时，对ve ( 0 ，1 ) ，jj ( 0 ，1 ) 满足 p 。( z ) 1 一e = = = i k 0 茎1 一d 6 1 当圣( t ) e 2 时，对ve ( 0 ，1 ) ，36 ( 0 ，1 ) 满足 p 。( z ) 1 + e = = i l z 0 1 + d 证明：( 1 ) 见命题3 1 中的证明 ( 2 ) 根据引理3 1 ，p c ( ；) 作为k 的函数在其定义域内是连续的，而当垂( “) 。 时p ( g ，x ) ：e 。( g ，x ) ，故此时p 巾( ；) 的定义域为( o ，+ o o ) ，又由范数定义知 忙1 | l 的e ，有 t 1 ) m = 1 ，2 ) ，则i i l i isl ，由( 3 ) 知如( 警) s 1 。 又因为圣( “) 2 ，由定理2 3 可知，对vo o ，j k l ，满足西( l i i x ( t ) 1 1 ) 茎 圣( 忙( t ) 0 ) ( 忪( 圳i o ) ，取。= l a ， 雪( i i 。( t ) 1 1 ) d t + 垂( i l z 。( t ) h ) d t c ( 1 l ：c 。( t ) l i 口) g ( 忙n ( 圳i n ) 啪水) 1 1 ) d t + 删掣 g ( 忙。( 圳l 0 ，jn 0 ，对任意自然数1 ，j 。，m 。 n 1 ，但m e s g t l l z n 。( t ) 一z m 。( 0 1 1 n ) e 又因为 v ( 1 l x 。( t ) 一z 。( 圳) d t 0( n ，m o 。) j g 所以存在自然数2 ，当n ，m 2 时，尼圣( 1 i z 。( t ) 一# 。( o i l ) d r 2 ，则 五到小) 一( t ) 1 1 ) d t = + k 州帆一) n 时， ， 垂( j f z 。o ) 一z 。0 ) l i ) d t n 时， 厶到x n k ( t ) 1 1 ) d t 0 霞缮 五吣i i z 柏) i d a t 。 驭卢= r 一( 0 ，1 ) ，则 十。 龙圣f 浮拶2 ) 1 1 ) d t = 五圣( 盎卜。啦( t ) - t - x n i ( t ) 1 1 ) d t 篓五圣f 番列砷) 一。f | + l 牌 一五垂击黼) 一。胡强+ 熹羟塌陴 s f g i 刘一x n i ( 圳| ) d 二击蝣( | o t x n j ( t ) 1 1 ) d t 所以o ( 工9 f g ，x ) 。 最后证稿# t t _ ，先证明铂州。 t 因为忙r 。，一z i l 0 ( 7 0 ，辄o 。) ，所以ve o ，l 当懈，n t 时， z ，婶一嚣“l l o ，3n 1 ，当 吩 n t 时，f f 嚣叶一茹8se ，j 2 ，当m m n 2 时，l | g n 一茹。i ，对丘乏e ，取 n = l h a x l ，眠) ，当n ，竹f n 时， l l 嚣n 一篮= | | “一x n j - 4 - 盘唧一刮s z n z n j0 + i f u 一髫i 0 儿( ；) 鬟1 下成为b a n a c h 空间 定理3 6 设o s l b 为正常数，若函数母l ，垂满足垂l ( a x ) 圣( z ) 蒸壬l ( 6 z ) ， 剥。蚓j 别喃酬；) 证明： 酬郴。) = 皤女 o ：五酬竿黔旃 o ：五蛋| | 警| | ) 威s l ， = b i 雌 8 ：五喇半豹班 1 ) ，使得v b ， 有p 。( ) m 。 叉 五到f 等 班s 击五圣( t l 球划冲篓1 敞吲f m ，所以b 为范数有界 ( 2 ) 菪b c l 。( 8 ，盖) 为模有彝煞，鑫( 1 翔b 蠢范鼗表器集。 若bc p ( g ，x ) 为范数有界集，即存在m ( m 1 )