（应用数学专业论文）两类发展方程混合元方法的数值分析.pdf

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。，o ) = o 扭) ，z 气n 的扩展混合元方法此方法可以同时高精度地逼近未知纯量、未知纯量的梯度、流 量，在本章中给出广义扩展混合椭圆投影并且得到了真解与离散解的最优l 。误差 估计 第三章考虑如下对流占优扩散问题 l 袈+ a ( x ) v p d i v ( b ( x ) v p ) = f ( x ，t ) ，( 。，t ) n 【0 ，t ， i 1p ( 。，t ) = 0 ，( z ，t ) a n 【0 ，即， l ip ( z ，0 ) = p o ( x ) ，z n 的特征混合体积元方法特征差分法具有格式简单，能对时间采用大步长计算，可 山东师范大学硕士学位论文 2 避免数值弥散和非物理震荡现象等特点，混台体积元法既具有差分方法计算的简单 性和混合元逼近的高精度性，又可以保持局部质量守恒性基于最低次r a v i a r t t h o m a s 空间v h w hch ( d i v ；n ) xl 2 ( n ) ，结合此两种方法处理对流占优扩散问 题，引入混合体积元投影并且得到了真解与离散解的最优工2 误差估计 关键词：伪抛物积分微分方程，对流占优扩散方程，混合有限元方法，扩展混合元 方法，特征混合体积元，最优误差估计 分类号：0 2 4 1 8 f “：击 ( nv u t + 6 1v u + 矗6 2v “d f ) + ，扛，t ) n 0 ，t ， u ( z ，t ) = 0 ，( 2 ，t ) a q l o ，t 】， iu ( ，0 ) = u o ( x ) ，q 瞄黧霉州 o 孔 山东师范大学硕士学位论文 4 l 裳+ o ( 。) v p d i ( b ( z ) v _ ) = ，( z ，t ) ，( z ，t ) q o ，t l 1p ( z ，t ) = 0 ，( 。，t ) a n 0 ，t l 【p ( z ，o ) = p o ( z ) ，z n 出查塑堇盔堂堡堂垡煎塞 5 第一章伪抛物型积分微分方程的混合元法的误差估计 1 1 引言 令n 是r 2 中具有l i p s c h i t z 连续边界a n 的有界区域，对固定的满足0 t 0 使得0 c o a c 1 ，并且函数n ，b h b 2 以及 它们的导数光滑有界，除非必要，否则以后对任何函数都将不写相互独立的自变量 z ，c ，r ，向量用黑体表示 对1 s o o 和任意非负整数k ，令 w ，七，5 ( n ) = f l 5 ( a ) l d q ，l 5 ( n ) ；l q l k ) 山东师范大学硕士学位论文 6 表示装配了模 洲k 。n 一( 渺州2 。( n ) ) 川兰女 的s o b o l e v 空间我们将用) 表示驴( n ) 或l 2 ( q ) 2 的内积，即( q ，8 ) = ”日出 r j l2 或( v ，w ) = v w d x 令v = h ( d i v ，q ) = v ( l 2 ( q ) ) “；d i v v l 2 ( n ) ，其装配的模为l i v l i ；= 州1 2 + i i d i v v l l 2 ，且w = l 2 ( q ) 令模空间x 的模为i x ，l q ( o ，t ；z ) 表示由 0 ，t 】到x 的所有映射组成的定义了 如下模的空间：对lsq o 。和适当的函数u ：e o ，t 】_ x i i u l 。( o ，t ；x ) ：( ，1 w ( t ) l l d t ) j c 。( 0 ，t ；x ) 表示由 o ，t 】到) ( 的所有k 阶连续可导映射组成的空间，其装配的模为 i l l q ( o ，r i x i ( 1 q 。) 对于q = 。，做平常的改变 为了提出与混合元方法相适应的( 1 1 1 ) 一一( 1 1 3 ) 的弱形式，令 r l p = - a v u t b l v u fb 2 v u d r j 0 并设 a ( 。，t ) = 。一1 ( 。，t ) ，b ( x ，t ) = a ( z ，) 6 l ( z ，) ，c ( 。，t ，r ) = a ( z ，t ) 6 2 ( 。，t ) 卢( z ，t ) = 一v 6 ( z ，t ) ，7 ( z ，t ，r ) = - v c ( x ，t ，r ) 则问题( 1 1 1 ) 一一( 1 1 3 ) 写成如下的混合一阶系统 l “+ d i v p = ，( z ，t ) n ( 0 ，t 】， l 。p + r u t + v ( 她) 十卢“+ j ：v ( c u ) d f + j ：7 u d 丁= 0 ，( z ，t ) s 2 ( o ，t 、 l “= 0 ，( z ，) a q ( 0 ，t ， i lu ( o ) = “o 、z q ， 注意到u ( z ，t ) i o a = 0 ，意味着u t ( z ，圳o n = 0 ( 1 1 4 ) 一一( 1 r 1 7 ) 的弱形式为：求解 p ，“) ：【0 ，_ v w 使得 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) f 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 尘壅塑堇盔堂塑堂焦鲨塞 7 i ( u t ， ) + ( d i v p ， ) = ( ，w ) v w w , o t 茎t ， ( 1 1 8 ) 【a p ，v ) 一( u t + t m + 片c u d n d i v ) + ( 卢u + j ：7 u d v , v ) = o ，v v v ，o t ，( 1 1 9 ) i ( “( o ) ， ) = ( u o ， ) ，v w m ( 1 1 1 0 ) 为了定义 p ，“) 的一个适当的有限元逼近过程，我们考虑与将n 剖分成三角 形单元的拟一致部分( 其单元直径不大于h ( o h 1 ) ) 相联系的有限维予空 间w h ，其中y h w hcvx 暇的边界单元允许有一条边是曲的我们选择 y h w h 为r a v i a r t t h o m a s 7 空间 5 , n , 1 2 1 ，其指标k 0 引进l 2 投影p h ：w _ 和r a v i a r t t h o m a s 投影 ：h 1 ( q ) 2 - ，具有下述交换性质d i v o i i h = p h o d i v ： h 1 ( n ) 2 寸w h ( 1 1 1 1 ) 算子p h 和 具有下列逼近性质 5 ，1 1 ，1 2 】 l i t u p h i l l 一。c h l + s 1 1 - 0 1 1 l ，0 曼f ，s 茎k + 1 ，( 1 1 1 2 ) f f 一p l , w l l o ，口c h i i l h ，；，0 fs 女+ 1 ，1s 口o o ， ( 1 1 1 3 ) i i v n h l l o ，口c h 。i l v l l f ，口，三 zsk + 1 ，1 曼q + o o ， ( 1 1 1 4 ) i i d i v ( v r i h v ) l lsc a i l d i v v l l l ，0sf 墨k + 1 ( 1 1 1 5 ) ( 1 1 8 ) 一一( 1 1 1 0 ) 的关于时间连续的混合有限元逼近定义：求 p h ，u h ) - 使得 ( “ t ，t ) + ( d i v p h ，甜) = ( ，t j ) ，v w w h ，0 t 墨t ，( 1 1 1 6 ) ( o r p h , v ) 一 rt。euhdt,divv(uh,t+buh+) + ( f l u h + 1 “o7 u d r ，v ) = 。，v v v h , 0 t t ， ) 一 。 ) +7 u d t ，v ) = o ，v v t ， ( u ( o ) ，w ) = ( v o ， ) ，v w w h ( 1 1 1 7 ) ( 1 1 1 8 ) 本章余下部分大体安排如下：第二节将证明( 1 1 1 6 ) 一一( 1 1 1 8 ) 解的唯一性 第三节定义一个与本章讨论方程相联系的广义混合椭圆投影，并且给出这个广义混 合椭圆投影的误差估计在第四节中将展示本章的主要结果，即u u 和p p 在 空间l o o ( o ，t ；l 2c a ) ) 和三。( o ，t ；驴( q ) 2 ) 中的最优估计以及在空间l o o ( 0 ，t 江* ( n ) ) 和l o o ( 0 ，t ；l 。( n ) 2 ) 中的拟最优估计，另外还将给出d i v ( p p h ) 和“。一u h t 在空间 l 。0 ( o ，t ；l 2 ) 中的最优阶误差估计 山东师范大学硕士学位论文8 本章之中，如无其它说明，将用c 表示不依赖于h 和t 任意正常数以及这些正 常数的组合，在余下的几节中，r 是一个固定的整数 1 2 存在唯一性 定理1 2 1 格式( 1 1 1 6 ) 一一( 1 1 1 8 ) 的解存在唯一性 证明：因为( 1 1 1 6 ) 一一( 1 1 1 8 ) 是线性系统的，所以证明其齐次系统 ( t | ，l ”) + ( d i v p h ，叫) = 0 ，v 叫矸， ， 厂or f ( a p ，v ) 一( u + 乩 + 上c u 打，d 曲v ) + ( 卢+ 上7 u h d v ) = o ，v v ， ( u ( o ) ， ) = o ，v w w i ， 只有零解即可 事实上，在( 1 2 1 ) 中 分别取“ 1 d i v p 可得 i i d i v p h i f = l l t 。t 在( 1 2 1 ) 中 = u h 山在( 1 2 2 ) 中取v = p ，并相加可得 c i - 1 l l p h l l 2 + l l u ，1 1 2 ( u h ，t ，钍h ，t ) + ( a p ，p ) = ( 她 + 片c u h d r ，d i v p h ) 一( 卢“ + 詹7 u h d t ，p h ) 曼c ( i l u h l l + ：i l u h l l d r ) ( 1 l d i v p h l i + l i p h ll ) ， 利用e 一不等式及( 1 2 4 ) 可得 l i p i | + | | t ，1 lsc ( 1 l t , h l l + i i u h l l d r ) ， 由( 1 2 3 ) 及( 1 2 6 ) ，我们有 iithii=fjz。“d，lliithd ， l l c z 。u i | 打sc z 圳打，i i = f j 上“c 工l i u i i 打s 。上i i u l l 打， 对( 1 2 7 ) 利用g r o n w a l l 引理可知l i u i | = 0 由( 1 2 6 ) 知l i p i l = 0 即u h 兰o ，p h e 0 从而( 1 1 1 6 ) 一一( 1 1 1 8 ) 解是存在唯一的 1 3 广义混合椭圆投影 ” 砷 黔 研 砷 色 互 乞 互 乳 2 2 n o o 0 n 0 q 坐壅堕堇盎堂塑堂焦熊塞 9 在抛物问题的混合元方法的研究中，通常引进一个与所讨论的方程有关的混合 椭圆投影针对积分微分方程，发展和推广这种思想，定义映射 鼽，吼) ：徊，t 】_ 十 xw h 使得 ( d i v ( p 一声h ， ) = o ，v i t c h ，0 t t ，( 1 3 1 ) ，t ( a ( p 一蚤 ) ，v ) 一( ( u 一诹，t ) + 6 ( u 一砺) + c ( t 一诹) d t ，d i v v ) j u r t + c f i c u 一在 ) + ，y ( t 一诹) d r ，v ) = o ，v v v h ，0 茎t t ，( 1 3 2 ) j 0 ( t o 一讯( o ) ，”) = 0 ，v w w h ( 1 3 3 ) 我们首先证明( 1 , 3 1 ) 一一( 1 3 2 ) 解的存在唯一性 由于( 1 3 1 ) 一一( 1 3 2 ) 是线性的，由微分方程的基本理论，要证明( 1 3 1 ) 一 一( 1 3 3 ) 解的存在唯一性，只需证明( 1 3 1 ) 一一( 1 3 3 ) 相应的齐次系统仅有零解， 即系统 ( d i v 蚕h ， ) = 0 ，v w z 0 h ，( 1 3 4 ) r cr c ( 。鲰，7 ) 一( 丽+ 皖 + 嘶d r , d i v v 0) + ( 卢诹+ 07 诹8 f ，v ) = o ，v v h ，( 1 3 5 ) jj ( 在h ( 0 ) ， ) = o ，v w w ( 1 3 6 ) 仅有零解即可 事实上，在( 1 3 4 ) 中选w = d i v s a ，则| | d l 。鼽| l = 0 在( 1 3 5 ) 中选v = 鼽， ，c c i - 1l l 参 1 1 2 ( a r c h ，蟊 ) = 一( p 石h + ，r 诹d _ f ) sc ( | i 弼i i + i i 矗 i l a r ) i i d | | ， j 0 j 0 上式保证了 r t l i 声 i i c ( 1 l g h l i + i i 稚i i d r ) ( 1 3 7 ) 另一方面，对于空间h ， ，由【12 】知存在不依赖于h 的正常数c 使得 慨雌cs u p 气( w h , d i v - v h ) ，v w he whvhevh i l v h ( 1 删 l i o 山东师范大学硕士学位论文 1 0 所以从( 1 3 5 ) 和( 1 3 8 ) 有 帆临c 。黑掣驯刮剐+ 小训( 1 3 9 ) 联合( 1 3 7 ) 和( 1 3 9 ) 则有 i | 诹，t 曼c ( 1 l 石h l i + i i l i d r ) ( 1 3 i 0 ) 由( 1 3 6 ) 和( 1 3 1 0 ) 我们有 | l 诹= l | 上诹，t d 下i i g 上i l 诹，t l l d rsg 上i i 诹1 | 打， ( 1 3 1 1 ) , t t - t，t 应用g r o n w a l l 引理，从( 1 3 1 1 ) 和( 1 3 7 ) 有1 1 诹| | = 0 和旧 l i = 0 ，所以诹= 0 和 鲰= 0 这样就证明了( 1 3 1 ) 一一( 1 3 3 ) 解的存在唯一性 现在我们来研究甄，玩的逼近性质为此令p 1 = p 一瓯，u l = p h u 一砩和 u 2 = 一p h u 格式( 1 3 1 ) 一( 1 3 3 ) 可变为 ( d i v p l ，w ) = 0 ，v w t o h ，0 tst ， ( 1 3 ，1 2 ) ( a p t ，v ) 一( u l ，+ b ( u l + “2 ) + ( c ( u l + u 2 ) d r ，d i v v ) j 0 十( 卢( t l + u 2 ) + 7 ( t 上1 + “2 ) d r ，v ) = o ，v b ，0 0 ，使得 l l d l 。o ( a l l p l l | + h 2 - 6 。o l l d i u p l i i + a l l u 2 i i + i i u 2 1 1 一1 ) d r ， 1 1 “l ，t i i c ( a l l m l l + h “2 | i + | l t 2 i i 一1 + 2 6 * o l l d i v p l | l + ( a l l p l l l + 2 6 k 。l l d i v p l i l + a 1 1 2 | | + u 2 l l 一1 ) d r ) ， j 0 其中当= 0 时，= 1 ；当k 1 时，6 b = 0 证明：对l p l 2 ( q ) ，令咖h 2 ( q ) n 础( q ) 是下述问题 髓篓邗虮n q 。埘 山东师范大学硕士学位论文 1 1 的解且有正则住佰计1 1 妒1 1 2sc ，对0 tst 匝用( 1 3 ，1 5 ) 和( 1 3 1 3 ) 则有 ( u 1 t ，妒) = ( “l ，t ，d i ”( 8v 曲) ) = ( “1 ，# 击”( n ( 。v ) ) ) ( 1 3 1 6 ) = ( a p x + j i l ( u l + u 2 ) d t + 卢( “1 + t 2 ) ，i i h ( a v 咖) ) 一( 6 ( “1 + u 2 ) + j ：c ( u l + u 2 ) d r ，d i v ( h h ( av 咖) ) ) 注意到o = o 一1 和( 1 1 t 3 ) ，( 1 1 1 4 ) ，( 1 3 1 2 ) 及文献【1 ，2 5 】 ( a p l ，i i a ( av 妒) ) sc ( h t l p t i + h 2 - 6 k o l l 戒u p l t t ) l l 妒 ， ( 1 3 1 7 ) ( 知t 蛐小v ! c z i i u - i i d r l 训，0 3 1 8 ) ( z z 打，砺( 。v 圳c o ( 川u z 忖f - 1 ) 圳圳，( 1 3 1 9 ) ( 卢t l ，l i h ( av 铆) c i i t 1 洲训， ( 1 3 2 0 ) ( 卢“2 ， ( 凸v ) ) sc ( h l l u 2 1 l + f l “2 l l 一, ) 1 1 妒1 1 ， ( 1 3 2 1 ) ( b u l ，d i v ( h h ( av 曲) ) ) c l 例， ( 1 3 2 2 ) ( 轧2 ，d i v ( h a ( av 钟) ) c h l l u z l l l l 妒l l ， f 1 3 2 3 ) ( ，n tc u l d t , 战。( ( a v 爷) ) ) 。fi l 钍l i i 幽i l 妒m ( 1 3 2 4 ) 五 战。( 爷) ) ) c 上i l u l 咖i m l ， ( 1 3 ( z 2 以出。( ( a v ) ) ) 矾z 。i t d - r l l 州，( 1 3 2 5 ) 联合( 1 3 1 6 ) 一一( 1 _ 3 2 5 ) ，对0 ts t 我们有 肛忙卿。s u p 觯。与静 sc ( h l l u 2 1 1 + 1 1 t 工1 1 1 + i l “2 l i 一1 + j j i l t 2 + 1 1 “2 1 一l d 下+ j ：i i u l i i d r + h h p l i l + 2 一“。i l 出。p l l l ) ， 从而 ，ct 蚓l _ 屺“d q l c j oi l u l , t l l d l - 。上( b l i p l i t + h 2 - 5 o i l d i 哪i i + h l l u 2 1 1 + i i 啦l l l + i h l i i ) d t 尘壅竖堇盔堂塑圭芏垡堡茎一一一1 2 由g r o n w a l l7 s 引理则有 i l u l l i 墨c ( h l l p l l i + h 2 - 5 t o i d i p l + h l l “2 1 1 + i l t 2 i l 一1 ) d r 证毕 引理1 3 2 令 n u ) 和 甄，讹) 分别是( 1 1 _ 8 ) 一一( 1 ，1 1 0 ) 和( 1 3 1 ) 一一( 1 3 3 ) 的解假设 p ，t ) 充分光滑且n 是2 正则，则对0 0 ，使得k 0 i d i v ( p 一蚤 ) j i e h i i p i l r + 1 ，0 曼rs 女+ 1 ， i i p h u - 诹1 1 。h r “一d b ，( 1 | p i i r + l i t 1 l ，) d t ，l sr s + 1 ， u t 一酬ls c h r + 1 “吲u r + 1 1 p 1 i r + 上( 1 l p l l r + 删r ) 8 t ，1s rs “+ 1 ， 当k = 0h 寸 t p 一训墨c “州l - + l + o ( 1 l p l l l + 删t ) d r ) ， r t i 卜一矗 【| 曼c h i l u l l l + ( 1 l p l l l + i l u h l ) d r ， j o l i u 一诚，t l i c h l l u l l l + l i p l l a + | | 砘i i i + ( i l p l ls 十i l u l l l ) d r ， j 0 当21 ，2s rsk + 1 对 r t l i p 一蟊 | isc h 7 l l p l l ，+ l | u 1 1 ，+ ( i i p l l r l + i l u i i r 1 ) d r ) ， j 0 i i u 一诚l l c h 1 1 t 1 1 ，+ ( i l p i i ，一l + l l u i l ，一1 ) d r ) ， ， 一酬l 曼c 矿 | 1 u | 1 r + i l p l t + 蚓l r _ 1 + o ( 1 l p l l h + l l u ) d t ) 证明：对0 t 茎t ，引理证明分三步； ( 1 ) 我们考虑l i d i v ( p 一鼽) l l 的估计注意到( 1 3 1 ) 有 ( d i v p l ，d i v p l ) = ( d i v p l ，d i v ( p i i h p ) ) i i d i v p l l l l l d i v ( p h h p ) i l 从丽由( 1 , 1 1 5 ) 有 l i d i v p l l i = d 伯( p 一百h ) l lsc h i l p l l r 十l ，0 r + l ( 1 , 3 2 6 ) 出壅盟塾盔堂塑圭堂焦煎塞 1 3 ( 2 ) 我们考虑l i p “一诹忆l i p 甄的估计在( 1 3 1 2 ) 中取 = d i v ( i i h p 一甄) ， 在( 1 3 1 3 ) 中取v = h a p 一懿，得到d i v ( n h p 一鼽) = 0 ，所以 c i l l l n h p 一蚕 1 1 2s ( a ( n h p 一蚤 ) ，( h h p 一声 ) ) ，t = - c , 8 ( u l + t 2 ) + 7 ( u l + u 2 ) d r + a ( p l l h p ) ，( h p 一蚕 ) ) j o c ( 1 1 u 1 i u 2 i i + l i p - n h p l l + j c ( “2 i i ) d - ) 1 1 h h p 一吼 从而由( 1 1 1 2 ) 一一( 1 1 1 4 ) 有 ，t i l i i h p 一剐c ( 1 l p l l r + l l u + 州 + 上州m ，1 r 七+ 1 ，( 1 3 , 2 7 ) 因此有 r t l l p 一参 j jsj l n h p p , , i i + i i p i p lj c ( 1 t p l l ，+ j j u l k ) + 1 1 u 1 1 1 + l l u l l d r ，1 rsk + 1 ( 1 3 2 8 ) 联合引理1 3 1 ，( 1 1 1 2 ) ，( 1 1 1 3 ) ，( 1 3 2 6 ) ，( 1 , 3 2 8 ) ，利用g r o n w m l 引理有 l l “l i l = i i p h u 一在 f i c h 7 + 1 一如。1 1 t 1 1 ，+ f l p i r 打，lsr 凳+ 1 ， ( 1 3 2 9 ) i l t 1 l l = l 舰一苞五。l l 墨c h 7 + 1 6 b 。 1 1 性1 1 ，+ l l p l l ，十c i u i i ，+ l l p ll h ) ，1s rsk + l ， ( 1 3 3 0 ) 当k = o 时，由( 1 3 2 s ) ，( 1 3 2 9 ) 得到 l l p - 蚕 1 l c h ( 1 | p | | l + | | t 1 1 1 ) + ，( i i 。l + i i p l l l ) 打) ， j o 当k 1 ，2 r 南十1 时，得到 ，t i i p 一蚕 1 1 rsc h ( 1 l p l l ，+ 1 1 u 1 1 ，) + 7 ( 1 l u l l r 一1 + 1 1 p l j ，一1 ) d t ，u ( 3 ) 我们考虑l i u 一孤一矗 ，川的估计 当k = 0 时，由( 1 1 1 3 ) ，( 1 3 ，2 9 ) 得到 i 江一程 i l i m p h u l l + l k l 1sd 遁i m l l l + f ( i k 1 1 + 1 i p l l l ) d v j 0 由( 1 1 1 3 ) ，( 1 3 ，3 0 ) 得到 l i u 一诹。t | i 至| i t 上t j t t i i + j l p h u , 翰，t | i c h l l u t l l l + 1 1 - 1 1 1 + i i p l l l + i l u l l , + l l p i i l d t ) ， 山东师范大学硕士学位论文 1 4 l u - 酬剑u p 驯c 矿 1 1 u + a u r _ 1 十p 岫， i | 毗一舐圳i i u 一p u t i i + 1 i p “t 一 ，t | i c h i i “i | r + 【i “l l r 一, + l l p l l ，l + | i 训| r 一1 + | i p 【i ，一l d r ) ， j 0 瞄g , + v a t 譬= o , x 6 圳 瞄d i v g 2 = 鎏o , x 6 印( 1 3 3 2 ) ( 1 3 3 3 ) ( 1 3 3 4 ) g 2 ， x w h 是 ( 1 3 3 5 ) ( 1 3 3 6 ) 山东师范大学硕士学位论文1 5 引理1 3 3 在引理1 3 1 的条件f ，对0 ts t 和0 h 0 ，使得 ( 1 ) 当k = 0 时， f l u - 酬悃刚n 1 i i u l ，。+ z 。i i u i i ，。+ p - m ， | i “t 一苞 ，t i l 。，o 。s c i ：” i 。 1 1 u c i i l ，。+ i i u i l l ，。+ | | p | | + f o 。l i 叫| l ，。+ ij p l t 打) ， l i p - 蟊 l i 。o o c l f n l i l l u i l l ，o 。+ i i p i l l ，。+ o i i u i i l ，。+ i i p l l l d r ) ； ( 2 ) 当k 1 ，2 rsk + l 时，得到 i i u 一在h l l o ，。osc h 1 1 u 1 1 r ，o 。+ l i u l | ，+ i i p l i ，d r ) ， ，t j 0 i i u t 一诹，t l i o ，c h l l u t l l r ，+ i l u l l ，+ i l p i i ，+ i i t l i ，+ l p | | ，d t ) ， ，t j 0 l i p - 训h o 。甜i m i 1 1 i io 。刊p | | r m + z i i u r + p 州 证明；对0 t s t ，引理证明分二步： ( 1 ) 我们考虑i l u 石h l l o ，o 。和l i u t 一诹，。o 。的估计 当k = 0 时，由( 1 3 1 3 ) 和( 1 3 3 1 ) 我们得到 ( t t l , t - - p ( 6 ( u 一) ) + z t m ( c ( u - 在h ) ) d nj ) = ( u l ，t + p h ( b ( u 一 ) ) + p ( c ( “一诹) ) d r ，d i v g l ) j 0 = ( u l , t 1 - p h ( 6 ( 让一讥) ) + z p ( c ( u 一诹) ) 打，以”g 2 ) = ( u 1 ，t + ( 6 m 一诹) ) + ( c ( u 一 u h ) ) d r ，出 g ) ， = ( 口p l + 芦( t 一在 ) + 7 ( t 上一矗h ) d r ，g ) j 0 c ( 1 l p d i - i - i l u 一诹| | + i i “一豇h l l d t ) l l a h l l j 0 由( 1 3 3 3 ) 知， i l u l , t + p h ( 6 似一诹) ) + z 。m ( c ( u 一讥) ) d 下| | 0 , o o c ( p 1 + 怕一诹ij + o 。一诹舭刊i g | 山东师范大学硕士学位论文1 6 返秤 ，t，t i i u l ，t i h 。1 1 u 1 ，t + p h ( b ( u 一讯) ) + p ( c 扣一诹) ) d r i i o ，* + i l p ( b ( t 一诹) ) + p ( c ( u 一讯) ) d r l i o 。 j 0 i 0 茎c ( i p l l i + i l u 一诹i l + f ti | u 一吼i l 打) i i g 2 i l j 0 + i i _ i i l o ，o 。+ 1 1 u 2 i i o ，。o 十( i i u i i i o o o + l i u 2 1 1 0 ，。) d t ) ( 1 3 3 7 ) j 0 而 厂r 1 1 “1 1 1 。，o o = i j c “打i i o , 。s 。上l i u l ，t o 。打 ， c ( ( 1 l p l l l + i i t 上一诹i i ) i i g + 1 1 u 1 1 1 0 ，o o + i i u 2 i i o ，o 。) 打， j 0 联合引理1 , 3 2 ，( 1 - 1 i 3 ) ，c i 3 3 5 ) ，利用g r o n w m l l 引理有 i i u 1 1 1 0 ，一sc ( ( 1 l p l l l + | | u 一爸h 1 1 ) l l a ? l i + i l “2 i i o ，。) d r j 0 s c h i t n h i ，。( 1 i p i l l + i i t 1 1 1 。) d t j o | | u 一石h l l o ，。l | u p “i l o ，。十i i u l i l o 。 曲 t n h u + z ( 1 l p l l l + 删l ，。) 州 ( 1 3 - 3 8 ) ，r e j0 由( 1 1 1 3 ) ，( 1 3 3 7 ) ，c 1 3 3 8 ) 和引理1 3 2 可以看出 i i t 一讯，1 l o ，o 。5i f “一p h “, l l o ，。+ i l “l ，t l i o ，o 。， c h 酬椰t | l l ，m + 删1 , o 。+ i l p l l l + 上( 1 l p l l l + 删1 ，m ) 打) t，c 当k 1 时，应用拟估计：对2 0 有 l l p h u 一诹ds 乩；一；i i m u 一魂。，0 3 。3 9 ) i l p h t 一诹j i i o ，口c ；一；t l p h u t 一讯，t l i o 月，( 1 3 4 0 ) 并注意到( 1 1 1 3 ) ，( 1 3 2 9 ) 和( 1 3 3 9 ) ，则有 | i 舅慷t 一诹i l o ，o osc h 一1 i l p h t 上一荭h i i ， l l u 一矗h l l o ，0 01 | | u p h u l l o ，。+ i i p h “一诹i l o ，。 坐查竖薹盍堂塑圭堂笪垫塞 1 7 si i u p h u l 【o ，+ c h 一1 i l p h t , 一戤i i 茎c h 7 ( 1 1 t 1 1 ，。+ ( i l p l i r + l i t , 1 1 r ) d r ) ，2s r + 1 ( 1 3 4 1 ) 注意到( 1 1 1 3 ) ，( 1 , 3 3 0 ) 和( 1 3 4 0 ) 则有 u 一诹，t l l 。，一sc h r ( ll 毗l i n = + l l p l l r + i l u i r + j o ( 1 l p l l r + l u i i r ) d t ) ，2 墨rs 。+ 1 ( 2 ) 估计旧一蚕h l l o 。因为d i v g 2 = 0 和( 1 3 1 2 ) ，可以从( 1 3 3 2 ) 和( 1 3 1 3 ) 得 出 ( h a p 一蚕 ，磅) = ( y i h p 一蟊 ，a g 2 + v a 2 ) = ( i i h p 一蟊 ，a ( g 2 一g 2 ) ) + ( i i h p 蚕 ，a g 2 ) + ( i i p 一百 ，v a 2 ) = 一( d i v ( i i n p 一蟊h ) ，砖) + ( q ( p 一1 h p + h p p h ) ，g ) 一( a ( p 一h p ) ，c o ) = 一( 卢( u 一 ) + 一r ( t 一面a ) d r + o ( p h a p ) ，g 2 ) ， c ( 1 i u 一砺i i o ，o 。+ l i u 一诹i i o ，o 。+ 1 i p 一声h l l o o 。d r ) l l a 2 l l o 1 ( 1 3 4 2 ) 由( 1 3 4 2 ) ，( 1 1 1 4 ) ，( 1 3 4 1 ) 和( 1 3 3 6 ) 可以得出， 当= 0 时 i | p p h i l o ，o 。sc h ( 1 l p l l l ，。+ i l n h l i ( i | “i i l ，o 。+ i i p l h + i i t 1 1 1 ，。d r ) ) l l n h i r c j 0 c ”叫锄，。+ u 1 、。十o 圳t + u 1 | 1 , c 。d t ) 当k 1 ，2sr 冬+ 1 时，得到 i i p 一帚h l l o ，o 。c h i m h l ( 1 l p i ，。+ i l “i i r * + | i p i i ，+ l l “| | ，d r ) 1 4 主要结果 在本节中，我们利用广义混合椭圆投影的误差估计推导出连续时间的混合有限 元逼近的误差估计记 u 一 t t h = ( t 一诹) + ( 诹一u h ) = i t 3 + t 上4 山东师范大学硕士学位论文 1 8 p p h = ( p 一蟊 ) + ( 蟊 一p h ) = p 3 + p 4 定理1 4 1 令 p ，u 和( p h ，u ) 分别是弱形式以及离散形式的解，假设p ，“，饥 充分光滑，q 是2 正则，则对0 0 ，使得 当k = 0 时 i i u 一“ l i 墨c m l l t | 1 1 + ( i l t i l l + 1 i p l h + i l u l l l ) d t ， j 0 1 i 一m t h ，t c h l l u l h + 1 1 u t l l l - t - l i p l l l + 7 ( 1 1 t 1 1 1 + l i p l h - 4 - lj u l l l ) d r ) ， j 0 l i p p h i | _ c h ( 1 l 训i l + 1 1 + i l p | 1 1 + 上( 恻1 1 + | l p l l + 1 ) d r ) ， f i d i v ( p p h ) l i = h l l u l h + i i u t l h - t - i i p l l 2 + ( i i 毗l h + i i p t h + l i u i l l ) d r ) ； ， j 0 当k 1 ，2 sr k + 1 时， ，c t 一u l i c h 7 1 1 , , 1 1 ，+