（概率论与数理统计专业论文）测度值流：girsanov变换.pdf

摘要 关于摘要中出现的数学符号，请参看论文第1 章的第1 页。 固定常数p ( 0 ，1 ) ，对每个自然数k ，定义如下的微分算 a k f ( z l ，z k ) = 、1 弋- 、 ，魂) + 石pl 1 l j 七 子： 否磊0 2 f ( 钆，) ， 砌钆) 呐m ”一确) + 妻c ( 钙o 筋f z 矧， v f 诺( r 七) ， 对每个k 1 ，用 ( z 1 ，z k ) r 七 y k = ( ( k 1 ( z t ) ，跆( 张) ) 。) ( 钆觎) 舻 ( r e s p f k = ( ( e 1c z ，玩七c z 七，) 。) 。；。，名。，r 。) 表示唯一的a ( r e s p 五) 扩散过程，其中 ( k 1 ( z - ) ，世( ) ) ( r e s p ( 彰1 ( z ，) ，话( ) ) ) 表示从z 1 一，) 出发的y k ( r e s p i k ) 在t 时刻的位置。注意 y k r e s p p 0 是相容的可交换族。记 时) 脚r e s p 话) 脚) 是y 南( r e s p 存在两个尬( r 1 ) 值的扩散过程x = ( x t ) 础和文= ( 文t ) 伽 群 正b 和 。分别 被如下的式子唯一决定： 正巧，n ( p ) = ( 矿，嵋n 元乃，。( p ) = 。 鑫 七汹 的分布之间存在g i r s a n o v 变换。设兄( r e s p 茸) 是初始值为p 尬( r 1 ) 的x ( r e s p 文) 的分布。注意【正) o 和 o 是( r ，) 上的坐标过程x = ( x 。) 伽的自然伊代数流，q i 五是 q m 1 ( c r - ) 在兀上的限制。则有如下的 定理。若c ( ) ( 关于l e b e s g u e 测度几乎处处) 是非零常数c ，则对任意的p 舰( 冗1 ) ，存f f = c m 。( r ) 上的关于( 五) 。 o 的正的连续的丘鞅( 钒) 。2 0 和茸一鞅慨) t o ， 使得对任意的t 【0 ，) 及任意的r ( 0 ，o 。) ， 糍一，糍= 展习1 眯州耽t 3 t cl ( 耳) 进一步，若厶。吲p ( 如) 0 ( 3 ，则 兄b 小ix 删 o 。 a n d 盂) t 0 a r ed e t e r m i n e du n i q u e l yb yt h ef o l l o w i n gf o r m u l a er e s p e c t i v e l y ： 正乃，。( p ) = ( 旷，v t n f ) ，磊f ，n ( p ) = 。 i i i 袅 奄湖 1 2 = z 、，、 l e t 昂( r e s p 茸) b e t h el a w 。f x ( r e s p 又) w i t h i n i t i a lv a l u ep m 1 ( r 1 ) n 0 t i c e t h ee x p r e s s i 。i l s0 f 正，t 0a n d t 。t h ef o l l o w i n gq u e s t i 。ni sn a t u r a l ：f o r a n yp m 1 ( r 1 ) ，i st h e r eag i r s a n o vt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n 兄a n d 茸? l e t ( 五) t ob et h en a t u r a lf i l t r a t i o nf o rt h ec o o r d i n a t ep r o c e s sx = ( x t ) t oo n c m i ( r 1 ) ，a n dq i 氕t h er e s t r i c t i o no fq 尬( 1 ) t o 五 t h e o r e m i fc ( ) i san o n z e r oc o n s t a n tc ( a e w i t hr e s p e c tt ot h el e b e s g u em e a - s u r e ) ，t h e nf o ra n yp 舰( r 1 ) ，t h e r ea r eap o s i t i v ec o n t i n u o u s 丘一m a r t i n g a l e ( o t t ) t oa n dap o s i t i v ec o n t i n u o u s 兄m a r t i n g a l e 慨) t oo nc m l ( r 1 ) w i t hr e s p e c tt o t h ef i l t r a t i o n ( 五) t os u c ht h a tf o ra n yt 0 ，o 。)a n da n yr ( 0 ，o 。) ， 糍一，糍= 屈习1 眯州耽f l t cl r ( 茸) f u r t h e r ，i f 厶1hp ( d x ) 0 0 ，t h e n e b 上。x s ( 出) 。，若诸 谚) 伽是岛( e 奄) 上的f e l l e r 半 群，则由 2 4 】知，该相容的可交换族能( 按分布) 唯一决定一核的随机流( k ) t 0 ( r e s p 可测映射的随机流( 也) t o ) 。显然p m i ( e ) 在流下的演化由( p 虬) 伽 ( r e s p ( ( 也) + p ) 脚) 给出，其中 ( # k t ) ( d y ) = k ( z ，d y ) p ( d x ) ， ，e ( 也) 。p ( ) = po 酊1 ( ) 注意测度值过程( 肛虬) 。o 是m i ( e ) 值的右连左极的马尔可夫过程，且它的 半群 正k o 满足 正巧，七( ，z ) = 嘶，知( ，t ) = ( ，卢，时f ) ，v 毋，七b p ( m i ( e ) ) ，0 ( 1 1 ) 2 测度值流：g i r s a n o v 变换 如下很自然的问题具有理论上的意义：给定任- - p o l i s h 空间e 和其上 任意相容的可交换的右连左极马尔可夫过程族 y 知) 知 。概率测度在此族 下如何“演化 ? 即是否存在唯一的m i ( e ) 值马尔可夫过程x = ( x 。) 幽使 得其半群 正) 脚由( 1 1 ) 决定? 若存在，则研究其有趣的性质。 实际上，前述马尔可夫过程x 是存在唯一且右连左极的：若诸y 七是强 马尔可夫的，则x 亦是强马尔可夫的；若诸y 知是连续的，则x 亦是连续的。 参见 3 6 】( f e l l e r 情形见【2 4 】、【2 6 】) 。x 被称为测度值流。 对可测映射随机流( 也) 伽，研究过程( ( ( 也) 。p ) 创) p m ( e ) 的动机如下： 在确定情形，有限或无限的测度在光滑( 可测) 映射流下的演化在遍 历论中被广泛研究( 7 】、 1 】) 。对于e ( 不必局部紧) 上的可测映射随机 流( 也) 舢，由 ( ( ) + p ，) = ( p ，fo 西) ，v ，b b ( e ) ，v t 0 ，v p m 1 ( e ) ，( 1 2 ) 知( ( ( 也) 。肛) 脚) p m ( e ) 是流( 也) t o 的对偶。因此所论测度值过程有其自身的 理论意义( 关于此过程的某些意义可参看 2 2 1p 1 3 5 1 4 7 ) ，可视之为测度值 流。此外在描述复杂( 随机) 动力系统时，相关性衰减( 一个概率论的概念) 在刻划系统的敏感性方面十分重要( 【3 5 】) 。这里敏感性是指随着t 0 0 ，系 统的轨道与初始状态无关。即对某连续函数空间厂中的任意两函数门口9 ， 当t _ 时， 钟( ，夕) = 丘，( 州夕。蚴( z ) p ( d z ) 一eid p 上9 舡jeje 迅速收敛于0 ，其中p m i ( e ) ( 随机或非随机) 是s i n a i - r u e l l e b o w e n ( s r b ) 测 度( 【! | 】使对随机动力系统，s r b 测度可以是非随机的，参见 2 】) 。假设 肛，( d x ) = f ( x ) p ( d x ) m i ( e ) 贝0 甜( ，g ) = 9 ( z ) ( 也) 。# y ( d z ) 一g 咖， 3 硕士学位论文 过程( ( 如) 。j u a o 进入了我们的视野。 另一方面，当e 是体积元( 测度) 为p ( 不必是概率) 的黎曼流形时，( 也) 伽的 不可压缩性由 ( 也) 。p = p ，v t 0 ，a 8 来定义。从物理学角度( 1 4 1 、 2 7 1 ) 与遍历论角度来看，不可压缩性对湍流 是重要的。随机流往往被视为湍流模型。因此测度或概率在随机流下的 演化是有其研究价值的。 随机流的1 一点运动往往是一马尔可夫过程。但由于“奇异性”，并不 是每个马尔可夫过程都能对应一随机流。用随机流来表示马尔可夫过程 是一十分重要的研究论题，参看 2 1 1 第一章及【2 2 j 、f 3 0 】、 1 0 】、 1 2 】。对于某 些马尔可夫过程，存在十分有趣的相容的可交换的诸k 点运动族使得1 点 运动是给定的马尔可夫过程，但此相容的可交换族不对应可测映射( r e s p 核的) 流( 【3 6 】) 。 综上，为研究概率在“流”下的演化，我们必须研究前面论及的尬( e ) 值 随机过程。注意( 1 2 ) 。满足( 1 1 ) 的半群 正) t o 对应的尬( e ) 值马尔可夫过程 被称为关于相容的可交换族 y 七) 七，( 或 o ) 七 。) 的测度值流，简 称为测度值流。3 - 5 研究了与随机流相联系的随机合并过程( 概率值马尔 可夫过程) ， 3 】中被视为广义f l e m i n g - v i o t 过程的重要辅助测度值过程是一 测度值流。 4 测度值流：g i r s a n o v 变换 2 g i r s a n o v 变换定理 设e n 部紧，g ( e ) 上的f e l l e r 半群 v d t o 对应一右连左极的保守马尔可 夫过程。记a 为( g ( e ) ，”i i ) 上的f e l l e r 半群 v d t o 的生成元。注意a m 定义 域d ( a ) 在( g ( e ) ，1 1 i i ) q 口稠密。 回t 乙f l e m i n g - v i o t ( f v ) 过程、b ( a ，1 ) 一超过程( 一种d a w s o n - w a t a n a b e 超 过程) 以及相关的g i r s a n o v 变换( 【9 】) 。 令 d = f | f ( p ) = ，( ( p ，咖) ) ，c 伊( r 1 ) ，d ( a ) ，p m ( e ) ； l f ( p ) = 丢，( ( p ，咖) ) ( z ) ( 可) p ( d x ) ( 5 z ( d y ) 一肛( d 可) ) + ，7 ( ( p ，咖) ) ( p ，a ) ，跏m 1 ( e ) ，v f d ； f ( t t ) = 三r 八似，荆她) 2p ( d x ) + 八钆，荆似，删，乩m ( 砚v f d 贝i j f v 过程x = ( x 。) 脚( r e s p b ( a ，1 ) 超过程疋= ( 疋) 。o ) 是m i ( e ) ( r e s p m ( e ) ) 上 的唯一的满足如下条件的l 扩散( r e s p c 一扩散) 过程：对任意的d ( a ) ， 舰( ) ：= ( x t ，) 一( p ，) 一g ( x 。，a 砂) d s ，t 0 ，是兄一鞅， 且其平方变差过程为( m ( 咖) ) t ：后【( x 。，2 ) 一( x 。，) 2 】d s ，t 0 ( r e s p m 。( 矽) ：= ( 疋，) 一( p ，矽) 一石t 、x , 。，1 咖) d s ，t o ，是砟一鞅， 且其平方变差过程为( m ( ) ) 产( 咒护) d s ，t o ) 其中名( r e s p r ) 是c m l ( e ) ( r e s p ( e ) ) 上初值为p m ( e ) ( r e s p m ( e ) ) 的x ( r e s p 疋) 的分布。 5 硕士学位论文 注意m ( ) 与m ( ) 分别能扩充成l 2 一鞅测度m ( d t d x ) 与a d ( d t d x ) 。 任给v b b ( e e ) 与p 舰( e ) ，定义如下的符号测度 r ( 弘，如) = p ( d x ) f ey ( z ，可) p ( 由) 一p ( 如) 上上y ( y ，z ) p ( 妇) p ( 如) 任给r b b ( m ( e ) e ) ，令 7 已( p ，d x ) = r ( p ，x ) p ( c k ) ，v p 订( e ) 在b ( r e s p r ) 下，任给t 0 ，定义 z ( t ) = e x p ( x 。，y ( z ，) ) m ( d s d x ) 一 丢z 。上上( x ( ”) ) ( x ( ”) ) ( 洲) 一x 刷纠x 8 ( d 州s ( r e s p z ( 幻= e x p 0 是( e ) 或c m ( e ) - j ：的坐标 过程，以q t 表q 在n 盯( w “，u t ) 上的限制。则 琢叫t ) ，雾- z ( 丁m ( 0 川， 其中：= ( 磁) r ，磁r ：= ( 嘴) t 。 6 测度值流：g i r s a n o v 变换 问题2 1 是否存在新类型的测度值过程的g i r s a n o v 变换? g i m a n o v 变换在数理金融、随机控制和随机分析中起着重要作用( 【6 】、 1 3 、【1 5 - 1 6 】、 1 7 、 1 92 0 、【2 8 、 3 1 、 3 4 】) 。为回答问题2 1 ，考虑如下的测度值流。 固定d n 。对任意的k n ，定义如下的微分算子： ，热) + 钆m ) = 专秽( 蔬) 丽丽l ，张) + t 2 lp q 2 1 吼矧器，m ) + 妻骞，融确， v ，四( ( ) ) ，( ，魂) ( ) 知，兹= ( 霹，刁) 其中对任意的1 p ，q d ， a n ( ) g ( 兄d ) ，a n ( ，) c b ( ( r d ) 2 ) ，酽( ) b b ( r d ) ， a r q ( z 1 ) = a q p ( z 1 ) ，a p q ( z l , z 2 ) = a q p ( z 2 ，z 1 ) ，v ( z 1 勿) ( ) 2 ； 且存在常数7 7 o 使得对任意的七1 和任意的( z 1 ，一，) ( r d ) 七， v ( a i ，a ? ) r d ，1 i k 任给c p ( ) 晚( r d ) ，l p d 。令 对每个k 1 ，用 f i , k = a k + 占k 三d 矿( 筋) 刍，v 七1 矿( 筋) 南，v 七1 扛= 1p = 1 一。o y k = ( ( v 1 ( 矾一，跆( 孙) ) 伽) ，舰) ( 删 ( r e s p i k = = ( ( 或1c z ，玩七c z 知，) 。) 。：，：。，。r 。，。) 7 d 一 曼 硕士学位论文 表示唯一的a ( r e s p 五) 扩散过程，其中 ( k 1 ( z - ) ，跆( 魂) ) ( r e s p ( 彰1 ( 名- ) ，玩知( 魂) ) ) 表示从( 钆，钰) 出发的y k ( r e s p f k ) 在t 时刻的位置。注意 y 七) 七，( r e s p 纠 是相容的可交换族。记 喈) 伽( r e s p 话) 伽) 是y 如( r e s p i k ) 的半群。则 存在两个m ( 剧) 值的扩散过程x = ( x t ) 拙和文= ( 氯) 舢使得它们的半 群 正k 。和 磊) 伽分别被如下的式子唯一决定： 正f ，础) = ( 矿，嵋，) 元f ，n ( p ) = 。 的分布之间存在g i r s a n o v 变换。设只( r e s p 丘) 是初始值为p 尬( 印) 的 x ( r e s p 文) 的分布。注意 正k 。和 o 是( r 。) 上的坐标过程x = ( x 。) t o 的自然盯一代数流，q i 是 q m 1 ( 。) 在五上的限制。则有如下的 定理2 3 若c ( ) ( 关： ：= l e b e s g u e 测度几乎处处) 是非零常数c ，则列仕恧 的p 舰( 兄，) ，存在( r 。) 上的关于( 兀) 御的正的连续的。一鞅( q t ) 幽和茸一 鞅( 成) 。，使得对任意的t 【o ，0 0 ) 及任意的r ( o ，o o ) ， 糍，糍= 展习1 眯州趴f i t l ( 或) 进步，若厶。p ( 如) 。，则 兄b 上。i z ix 。( 如) ，t p ，西 注2 4 若c ( ) 不满足定理2 3 的条件，则猜测在茸和兄之间不存在g i r s a n o v 定理( 目前我们还不能证明此猜测) 。即对任意的t ( o ，o o ) ，或i 矗和兄i 氕不 9 等价( 本文第四章注4 6 ) 。对任意满足厶。吲肛( 如) o ( 瑚p ( 侥) 御) 可用x 明确表示。但对任意的p m 1 ( r 1 ) 结论不成立( 本文第 一：i ：l 二、 二早) o 注意 y 七) 知2 。( r ? s p i k ) 奄 ，) 是一核的随机流的肛点运动族 ( r e s p 若c ( ) c b ( r 1 ) ) 。令 z 知) 南。r e s p 艺k ) 七 ，) 中的每个z k ( r e s p z k ) 由y 七( r e s p 覃k ) 通警让任意两食粒子一旦相遇便永远呆在一起的方式所 得到。则 z 知) 纠( r e s p 粼 纠) 可以产生一可测映射随机流；且相应的 测度值流满足定理2 3 。 1 0 测度值流：g i r s a n o v 变换 3 定理2 3 的证明 回忆n 是自然数集。显然，a 七一扩散过程y 缸和a 七扩散过程y k 都是弱f e l l e r 的。 记q 钆，z 。和西钆声。分别是从( ，z 是) r 七出发的y 南和彳k 在c 渺上的 分布。则对任意的慨) 罂。r n ，k o l m o g o r o v 扩张定理知，存在上唯 一的概率q ( 蛐墨。( r e s p 百慨) 墨。) ，使得在此概率下，上的坐标过程 w = ( w n ) 。 o = ( 训；) 罂1 ) t o 的出发点为 戤) 墨，且对任意的k n ， w 知= ( w 。k ) 踟= ( 叫；，伽? ) 舢 具有分布q h ，z 。( r e s p 玩舢) 。易知 ( q 协) 霆，) 矗 墨。列( r e s p ( 西协) 是。) q 墨，r n ) 是弱f e l l e r 族 对任意的p 舰( 冗1 ) ，令 q p - = q z 。，茁。p 知( 出1 d x 詹) ，茚p - = 百z 。，z 。肛知( d x l d z 七) ，k n ； j r kj r k 铀2 上n 墨，p n ( d x ，锄) ，西2 上n 国协鹄( d x t d x 2 ) 则在q p n ( r e s p 百) 下，w 是无穷可换的，其初始分布为，n w 七具有 分布q 矿( r e s p 亩矿) 。 设 d 惫= ( ) 1 撕 t 引理3 1 对任意的t ( 0 ，) 和7 ( 0 ，o o ) ， 臀铀b ( s ) ) 7 。o 证明注意对任意的r ( 0 ，1 】， 鼬b ，7 pb 州5 ，肛1 1 p s u p ( 州s ) ) 2 胪 1 2 唧&o 翊皿| l 州任孙的 上 q p q 8 l 矿对 双 h叫后钆比中及其里 测度值流：g i r s a n o v 变换 不失一般性，设r ( 1 ，o 。) 。由d o o b 极大值不等式：和n o v i k o v 条件得， q b ( 叫s ) ) = ( 击) 7 铀 ( 击) r 删州枷r 】 h 南静一 唧 0 ，o s ； 口 且对任意的r ( o ，o o ) ，在( q ) 中，q 蠡( 亡) 一q ( t ) 其中( q ( t ) ) 脚是均值 为1 的( 五( w ) ) 。一鞅。 证明对任意的t 0 ，o o ) ，k 歹，b 五( w y ) ， 么q a 南( t ) i 五( 舻) d q 2 上q 七( ) d q 5 上q 七( ) d q i 五( w t )jb jbjb 、 = 百l 五( w 。) ( b ) = 百i 五( w j ) ( b ) = q l 五( 训) 【如哟( 亡) 】 = z 吼) 嘶n ； 0 七( 亡) ) 七，是正的( w 知) ) 一鞅。由引理3 1 ，当七_ 。时，n 奄( t ) 收敛于五( w ) 可 测随机变量a ( t ) ，伽；且对任意的r ( 0 ，) ，在l r ( q p n ) 中， q 七( ) 收敛于a ( t ) 注意当后_ 时，南叁( 畦一碥) 一币者南弱收敛于玩2 p - i t - - 兰址2 ，其 中b 。：p _ l 是均值为o 、方差为c 2 p 一1 的高斯随机变量。因此 q ( ) 0 ，n s 1 3 硕士学位论文 任给0 s t 二。在舰( 础中的极限，若它存在， 【脚m 1 ( 冗1 ) ，其它， 其中磊m 1 ( c r - ) 和肋舰( r 1 ) 是任意固定的。则由 3 6 】引理4 7 ，- e 和e 是 可测的。若令 z = z ( w ) = 互( w ) ，v w c r n ， x t = x t ( w ) = ( 7 r ) 。z ( w ) ，v w c n n ，v t 0 ，。) ； 则在q p n ( r e s p 百p n ) 下，x = ( x t ) 。具有分布昂( r e s p 茸) ( 3 6 】第4 节) 。 引理3 4 对任意的t 0 ，0 0 ) ， q r e s u p i 一加严z c 卸) ，国 厶，s 艘u p i - - 7 0 1 2 z ( 折) o o 证明对任意的t 【0 ，) ， j i j d o o b 极大值不等式， q p nl s 。u s p 。1 w ：一叫j 1 2 4 q p n 1 叫；一伽6 1 2 = 4 t 由 3 6 】引理4 6 知， 铀阪渺刊嘲折，卜 同理可证余下的部分。 口 1 6 测度值流：g i r s a n o v 变换 由引理3 4 知，在q ( r e s p 西p n ) 下，下式几乎处处成立： s u p1 一加1 2z ( 嘶) ，v t 0 ，) j c r , 5 s t 设q o = q 1nq 2 ，其中 q = w nl 厶。凹卜计孙) ( 蚓 o 。，印川) ， q 2 = w p 硝i ( 7 r o ) + z ( w ) = p ) 显然q 2 是n 的可测子集。由 q - = 亘 w nj 上m ：兰i 一舶1 2 z c w ，c 折， ) 知q 。是n 的可测子集。因此q o 是n 的可测子集。定义如下的上的 映射： z = z w n ，= 丢翳高善詈 其中瓦是p 在映射 z r 1 _ ( m ( z ) ) o c k ，m ( z ) = z ，t 【0 ，) 下的像。则z 是可测的：且对任意的w n ， s u pi 一加1 2z ( w ) ( d - y ) o 。，v t 0 ，o o ) ，( 丌0 ) + - 2 ( w ) = p ( 3 1 ) ，c r l8 茎t 令 叉t = _ t ( w ) = ( 7 r t ) 。z ( w ) ，v t 【0 ，o 。) ，v w c r n 注意 q p n w gq 】_ 百p n w gq _ 0 ，q p n w gq 。 _ 西p n w gq z _ 0 则在q 肛n ( r e s p 百p n ) 下，叉= ( 瓦) 。2 。具有分布兄( r e s p 或) 。 1 7 硕士学位论文 乃( 叉) = n 盯( ( 死) 。z ，乱s ) ，v t o ； 设西i 五( x ) ( r e s p q i 五( 叉) ) 是国( r e s p q ) 在五( 叉) 上的限制。则 国p nl 五。丈，q p n l 五。x ，乏 善兰 三粤：q 肛n c q ，i 磊c 叉，：石c t ， 引理3 5 在q 下，( 西( ) ) 脚是( 五( 又) ) 。一鞅，且对任意的r 【1 ，) ，每一瓦( t ) 是可积的。 证明由引理3 2 和条件期望的性质即得。 引理3 6 若p m 1 ( 冗1 ) 满足厶，hp ( 如) 0 0 ，则对任意的w c r - ， z 又。( w ) ( 如) 关于t 连续，s u p h 叉。( w ) ( 如) 。，【0 ，。) ； j r l8 s j r l 此外q 肛n s u p f r 。又。( 如) o 关于t o ，o 。) 连续( 见( 3 1 ) ) 。因为 当o o 时，去善( 小叫；) _ 厶。( m 刊酗m s ， 所以 ( ) 是- 可测的，其中元是五( w ) 关于q p n 的完备化。由引理3 2 知， ( ( t ) ) 伽是正的连续的( 瓦) 。鞅。注意 文= ( 托)，其中文t = 文。( w ) = o ( w y ) = o ( 叫舟罂。) ， t 0 、7、。 在q p n ( r e s p 百p n ) 下具有分布耳( r e s p 豆) 。易知 西肛ni 兀。文，q p n l 五。又，三专耄三； 三嘉：q p n 九c z ，l 五( 文) ：= 苟c t ， 引理3 7 任给肛m 1 ( r 1 ) 则对任意的r 1 ，) ，( ( t ) ) 伽是鞅；且 在吼n 下，此鞅有正的连续( 五( 文) ) 。适应修正。 1 9 硕士学位论文 证明类似于引理3 5 ，司证引理第一部分。 第一步给定任意t ( 0 ，o o ) 。则对任意的t 【o ，t 】， ( t ) = q p n ( t ) l 仃( 氯，s _ t - t - 1 ) ，q 一n s ( 3 3 ) 事实上，对任意的夕玩( 尬( 冗1 ) 知) ，k n f ( - 0 u 1 u 七t + 1 一t ， 令 b ( 墨，) ：= 煽p ”一，文t 。) ，v 鐾。； 则由对任意的n n ，( 叫口) 罂，) 。o 在q 协，罄。下具有分布q 协+ 。墨。，以及 x 一。= o ( 伽：) 兰。) = o ( 计。) 三。) ，v s o ，o o ) ， 我们有 玛( 鼢，茎，) = q 戤) 墨。囟( o ( t l w u 件1 8 ) 墨，) ，o ( 加嚣口) 罄，) ) = q 砧+ 。 墨，囟( 0 ( 叫：。) 墨，) ，e ( 以。 罂- ) ) = b ( 戤+ 口) 墨- ) 由m a r k o v 性知， q p n g ( 文，x ) i 瓦 = q 9 ( 文，x m 。) i 五( w ) = b ( w ；! v ) = b 。( w y ) ，v a n ，q p n o s ， 其中是r n 上的推移算子：( 祝) 罂1 ) = 孔+ 口】墨l ，v 亿) 墨l r n 由【1 8 】第1 章 推论1 6 知，存在n 上有界仃( 文t ) 可测函数岛满足 b ( w y ) = 毫( w y ) ，q p n o s 由存在露b b ( m , ( r 1 ) ) 满足岛( w f ，) = 昂( 文t ) ，我们有 b ( w y ) = 昂( 文t ) ，吼n 一 2 0 因此对 由单调 第二步 的正则 由d o o b 这蕴含 测度值流：g i r s a n o v 变换 任意的，玩( m i ( r 1 ) ) ，f n 和任意的o s ， s l ， 上r n 坤) 睢刚9 ( ，1 2 t + u k ) d q 一 2 z c r nh ( t ) ，( ，剐q 夕( 文，文m - ) i 元p n 2 z r n 俐( k 一耳( 文t ) d q 2 上r n q u n 卜( t ) i 五( 文) ，( 文s - ，文却) 昂( 文t ) d q 。f o r 5 ( t ) ，( 文，文刚) q p n 9 ( 文件，文件t ) i 歹刁d q p n 2 五r n 酢) 睢刚9 ( ，1 2 t + u k ) d q 类定n f n ( 3 3 ) 成立。 注意n 是p o l i s h 空间，设q t + 1 条件概率。则由第一步知， ( t ) ( w ，赫n ) 是q 关于盯( 文。，s t + 1 ) = ( t ) ( 葡n ) q t + 1 ( w ，c f 面n ) ，q p n o s j c r n 极大值不等式 铀 8 外s u p 。h ( s ) 2 4 q - 咿+ 1 ) 2 = 4 铀陋+ 1 ) 2 】 ， n 8 外s u p ，( 蜘) ( ) 2 ( w ，捕n ) o 的自然盯代数流。对任意t o ，显然存在( 冗- ) 上的正的五可测函数o l t 使 得瓦( ) = a 。( 或石( ) = a 。( 文) ) 注意定义在n 上的叉和文在q p n ( r e s p 亩) 下具有分布巳( r e s p 茸) 。由引理3 5 - 3 7 知， 五i 五兄i 五，糍= q 。，q 。l r ( 丘) ，v o r o 证明由【3 6 】引理4 6 ，q “n o s ，当尼_ o 。时， 兰k 豺c ( 蝴2 一乙，c ( ) 2 d s z ( w ) ( 咖 回忆 3 6 】第四章： ( x 。，c 2 ) d s 当n _ o 。时，熹喜_ z ( w ) ( 弱收敛) ，q p n a 8 w n 注意对任意的t ，7 1 t ：，y c n - 一m r 1 是连续的从而当n _ o o 时， ，x 。( w ) ( 弱收敛) ，v t 【o ，o o ) ，q p n o s w 易知引理的第一部分成立。设 则 c 8 2 ( z l ，z 2 ) = c ( x 1 ) c ( 茁2 ) ，v ( x 1 ，z 2 ) r 2 铀 z 0 ( x 。，c 2 ) 一( x s ，c ) 2 ) d s = 瓜( p ，w c 2 ) 一( p 2 ，曙 c 。2 ) ) d s ； 曙 c ( z z ) i = f e c ( h ( z ) ) c ( 蜉( z z ) ) 】 e c 2 ( f ( z 。) ) 】) ； epf i r ( z 2 ) ) ) ： w c 2 ( z ，) ) w 翻( z 。) ) 互1 ( 若c 关于l e f ，e s 夕u e 测度几乎处处为常数，则等式成立) ， ( p 2 ，曙 c 固2 ) 2 ( p ，w 翻) ，s o 因此对非常数c ( ) c b ( r 1 ) ， 阶( x s ，c ( ) 2 ) _ ( x s ，c ( ) ) 2 ) d s 。， 2 4 知：l l 一后 ，ji一， 厂，加 氏 件：l 1 一佗 测度值流：g i r s a n o v 变换 这蕴含q k ( x 。，c ( ) 2 ) 一( x 。，c ( ) ) 2 ) d s o o 口 引理4 3 设 磁) 墨。是如下的实随机变量序列：对任意的后n ，( 磁) 伽 是从。出发的( 砰) 。适应的l 一维布朗运动，死是( 砰) 。停时；r p a o l o ，其 中q o = 当七_ ( 3 0 时，_ 】。则 当七一o 。时，e x p b 关一三仉卜。( 依概率) 证明任给a ( 0 ，o 。) 和e 0 ，取n n 使得几 2 a 且 p t a 一n ) n 亿 一。m 恻州帆】 斜喜讯m 蚓a x + 。痧丢一。) n _ 出 o ，q p ni y d w n ) 【q o 】 o ， 百p n l 五( w ) f q 吡n 】上q p ni 五( w ) f t o , tn 】 铀 t c ( ) 2 ) _ ( x ( ) ) 2 ) d s ，t = ( p ，w c 2 ( ) ) 一( p 2 ，曙【c ( ，) ) ) d s ，0 = q p n z 。 c 2 ( 叫：) 一c ( 枷：) c ( 叫；) ) d s 。； 珏 一t ( x s c ( ) 2 ) - ( x ( ) ) 2 ) d s r ，o = q m c 2 ( 以)一c ( 伽：) c ( 叫；) ) d sl 1 j 铀陋, o 。川以) 一c ( 叫：) c ( 谚) )d s 因此百p n