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摘要 关于摘要中出现的数学符号,请参看论文第1 章的第1 页。 固定常数p ( 0 ,1 ) ,对每个自然数k ,定义如下的微分算 a k f ( z l ,z k ) = 、1 弋- 、 ,魂) + 石pl 1 l j 七 子: 否磊0 2 f ( 钆,) , 砌钆) 呐m ”一确) + 妻c ( 钙o 筋f z 矧, v f 诺( r 七) , 对每个k 1 ,用 ( z 1 ,z k ) r 七 y k = ( ( k 1 ( z t ) ,跆( 张) ) 。) ( 钆觎) 舻 ( r e s p f k = ( ( e 1c z ,玩七c z 七,) 。) 。;。,名。,r 。) 表示唯一的a ( r e s p 五) 扩散过程,其中 ( k 1 ( z - ) ,世( ) ) ( r e s p ( 彰1 ( z ,) ,话( ) ) ) 表示从z 1 一,) 出发的y k ( r e s p i k ) 在t 时刻的位置。注意 y k r e s p p 0 是相容的可交换族。记 时) 脚r e s p 话) 脚) 是y 南( r e s p 存在两个尬( r 1 ) 值的扩散过程x = ( x t ) 础和文= ( 文t ) 伽 群 正b 和 。分别 被如下的式子唯一决定: 正巧,n ( p ) = ( 矿,嵋n 元乃,。( p ) = 。 鑫 七汹 的分布之间存在g i r s a n o v 变换。设兄( r e s p 茸) 是初始值为p 尬( r 1 ) 的x ( r e s p 文) 的分布。注意【正) o 和 o 是( r ,) 上的坐标过程x = ( x 。) 伽的自然伊代数流,q i 五是 q m 1 ( c r - ) 在兀上的限制。则有如下的 定理。若c ( ) ( 关于l e b e s g u e 测度几乎处处) 是非零常数c ,则对任意的p 舰( 冗1 ) ,存f f = c m 。( r ) 上的关于( 五) 。 o 的正的连续的丘鞅( 钒) 。2 0 和茸一鞅慨) t o , 使得对任意的t 【0 ,) 及任意的r ( 0 ,o 。) , 糍一,糍= 展习1 眯州耽t 3 t cl ( 耳) 进一步,若厶。吲p ( 如) 0 ( 3 ,则 兄b 小ix 删 o 。 a n d 盂) t 0 a r ed e t e r m i n e du n i q u e l yb yt h ef o l l o w i n gf o r m u l a er e s p e c t i v e l y : 正乃,。( p ) = ( 旷,v t n f ) ,磊f ,n ( p ) = 。 i i i 袅 奄湖 1 2 = z 、,、 l e t 昂( r e s p 茸) b e t h el a w 。f x ( r e s p 又) w i t h i n i t i a lv a l u ep m 1 ( r 1 ) n 0 t i c e t h ee x p r e s s i 。i l s0 f 正,t 0a n d t 。t h ef o l l o w i n gq u e s t i 。ni sn a t u r a l :f o r a n yp m 1 ( r 1 ) ,i st h e r eag i r s a n o vt r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n 兄a n d 茸? l e t ( 五) t ob et h en a t u r a lf i l t r a t i o nf o rt h ec o o r d i n a t ep r o c e s sx = ( x t ) t oo n c m i ( r 1 ) ,a n dq i 氕t h er e s t r i c t i o no fq 尬( 1 ) t o 五 t h e o r e m i fc ( ) i san o n z e r oc o n s t a n tc ( a e w i t hr e s p e c tt ot h el e b e s g u em e a - s u r e ) ,t h e nf o ra n yp 舰( r 1 ) ,t h e r ea r eap o s i t i v ec o n t i n u o u s 丘一m a r t i n g a l e ( o t t ) t oa n dap o s i t i v ec o n t i n u o u s 兄m a r t i n g a l e 慨) t oo nc m l ( r 1 ) w i t hr e s p e c tt o t h ef i l t r a t i o n ( 五) t os u c ht h a tf o ra n yt 0 ,o 。)a n da n yr ( 0 ,o 。) , 糍一,糍= 屈习1 眯州耽f l t cl r ( 茸) f u r t h e r ,i f 厶1hp ( d x ) 0 0 ,t h e n e b 上。x s ( 出) 。,若诸 谚) 伽是岛( e 奄) 上的f e l l e r 半 群,则由 2 4 】知,该相容的可交换族能( 按分布) 唯一决定一核的随机流( k ) t 0 ( r e s p 可测映射的随机流( 也) t o ) 。显然p m i ( e ) 在流下的演化由( p 虬) 伽 ( r e s p ( ( 也) + p ) 脚) 给出,其中 ( # k t ) ( d y ) = k ( z ,d y ) p ( d x ) , ,e ( 也) 。p ( ) = po 酊1 ( ) 注意测度值过程( 肛虬) 。o 是m i ( e ) 值的右连左极的马尔可夫过程,且它的 半群 正k o 满足 正巧,七( ,z ) = 嘶,知( ,t ) = ( ,卢,时f ) ,v 毋,七b p ( m i ( e ) ) ,0 ( 1 1 ) 2 测度值流:g i r s a n o v 变换 如下很自然的问题具有理论上的意义:给定任- - p o l i s h 空间e 和其上 任意相容的可交换的右连左极马尔可夫过程族 y 知) 知 。概率测度在此族 下如何“演化 ? 即是否存在唯一的m i ( e ) 值马尔可夫过程x = ( x 。) 幽使 得其半群 正) 脚由( 1 1 ) 决定? 若存在,则研究其有趣的性质。 实际上,前述马尔可夫过程x 是存在唯一且右连左极的:若诸y 七是强 马尔可夫的,则x 亦是强马尔可夫的;若诸y 知是连续的,则x 亦是连续的。 参见 3 6 】( f e l l e r 情形见【2 4 】、【2 6 】) 。x 被称为测度值流。 对可测映射随机流( 也) 伽,研究过程( ( ( 也) 。p ) 创) p m ( e ) 的动机如下: 在确定情形,有限或无限的测度在光滑( 可测) 映射流下的演化在遍 历论中被广泛研究( 7 】、 1 】) 。对于e ( 不必局部紧) 上的可测映射随机 流( 也) 舢,由 ( ( ) + p ,) = ( p ,fo 西) ,v ,b b ( e ) ,v t 0 ,v p m 1 ( e ) ,( 1 2 ) 知( ( ( 也) 。肛) 脚) p m ( e ) 是流( 也) t o 的对偶。因此所论测度值过程有其自身的 理论意义( 关于此过程的某些意义可参看 2 2 1p 1 3 5 1 4 7 ) ,可视之为测度值 流。此外在描述复杂( 随机) 动力系统时,相关性衰减( 一个概率论的概念) 在刻划系统的敏感性方面十分重要( 【3 5 】) 。这里敏感性是指随着t 0 0 ,系 统的轨道与初始状态无关。即对某连续函数空间厂中的任意两函数门口9 , 当t _ 时, 钟( ,夕) = 丘,( 州夕。蚴( z ) p ( d z ) 一eid p 上9 舡jeje 迅速收敛于0 ,其中p m i ( e ) ( 随机或非随机) 是s i n a i - r u e l l e b o w e n ( s r b ) 测 度( 【! | 】使对随机动力系统,s r b 测度可以是非随机的,参见 2 】) 。假设 肛,( d x ) = f ( x ) p ( d x ) m i ( e ) 贝0 甜( ,g ) = 9 ( z ) ( 也) 。# y ( d z ) 一g 咖, 3 硕士学位论文 过程( ( 如) 。j u a o 进入了我们的视野。 另一方面,当e 是体积元( 测度) 为p ( 不必是概率) 的黎曼流形时,( 也) 伽的 不可压缩性由 ( 也) 。p = p ,v t 0 ,a 8 来定义。从物理学角度( 1 4 1 、 2 7 1 ) 与遍历论角度来看,不可压缩性对湍流 是重要的。随机流往往被视为湍流模型。因此测度或概率在随机流下的 演化是有其研究价值的。 随机流的1 一点运动往往是一马尔可夫过程。但由于“奇异性”,并不 是每个马尔可夫过程都能对应一随机流。用随机流来表示马尔可夫过程 是一十分重要的研究论题,参看 2 1 1 第一章及【2 2 j 、f 3 0 】、 1 0 】、 1 2 】。对于某 些马尔可夫过程,存在十分有趣的相容的可交换的诸k 点运动族使得1 点 运动是给定的马尔可夫过程,但此相容的可交换族不对应可测映射( r e s p 核的) 流( 【3 6 】) 。 综上,为研究概率在“流”下的演化,我们必须研究前面论及的尬( e ) 值 随机过程。注意( 1 2 ) 。满足( 1 1 ) 的半群 正) t o 对应的尬( e ) 值马尔可夫过程 被称为关于相容的可交换族 y 七) 七,( 或 o ) 七 。) 的测度值流,简 称为测度值流。3 - 5 研究了与随机流相联系的随机合并过程( 概率值马尔 可夫过程) , 3 】中被视为广义f l e m i n g - v i o t 过程的重要辅助测度值过程是一 测度值流。 4 测度值流:g i r s a n o v 变换 2 g i r s a n o v 变换定理 设e n 部紧,g ( e ) 上的f e l l e r 半群 v d t o 对应一右连左极的保守马尔可 夫过程。记a 为( g ( e ) ,”i i ) 上的f e l l e r 半群 v d t o 的生成元。注意a m 定义 域d ( a ) 在( g ( e ) ,1 1 i i ) q 口稠密。 回t 乙f l e m i n g - v i o t ( f v ) 过程、b ( a ,1 ) 一超过程( 一种d a w s o n - w a t a n a b e 超 过程) 以及相关的g i r s a n o v 变换( 【9 】) 。 令 d = f | f ( p ) = ,( ( p ,咖) ) ,c 伊( r 1 ) ,d ( a ) ,p m ( e ) ; l f ( p ) = 丢,( ( p ,咖) ) ( z ) ( 可) p ( d x ) ( 5 z ( d y ) 一肛( d 可) ) + ,7 ( ( p ,咖) ) ( p ,a ) ,跏m 1 ( e ) ,v f d ; f ( t t ) = 三r 八似,荆她) 2p ( d x ) + 八钆,荆似,删,乩m ( 砚v f d 贝i j f v 过程x = ( x 。) 脚( r e s p b ( a ,1 ) 超过程疋= ( 疋) 。o ) 是m i ( e ) ( r e s p m ( e ) ) 上 的唯一的满足如下条件的l 扩散( r e s p c 一扩散) 过程:对任意的d ( a ) , 舰( ) := ( x t ,) 一( p ,) 一g ( x 。,a 砂) d s ,t 0 ,是兄一鞅, 且其平方变差过程为( m ( 咖) ) t :后【( x 。,2 ) 一( x 。,) 2 】d s ,t 0 ( r e s p m 。( 矽) := ( 疋,) 一( p ,矽) 一石t 、x , 。,1 咖) d s ,t o ,是砟一鞅, 且其平方变差过程为( m ( ) ) 产( 咒护) d s ,t o ) 其中名( r e s p r ) 是c m l ( e ) ( r e s p ( e ) ) 上初值为p m ( e ) ( r e s p m ( e ) ) 的x ( r e s p 疋) 的分布。 5 硕士学位论文 注意m ( ) 与m ( ) 分别能扩充成l 2 一鞅测度m ( d t d x ) 与a d ( d t d x ) 。 任给v b b ( e e ) 与p 舰( e ) ,定义如下的符号测度 r ( 弘,如) = p ( d x ) f ey ( z ,可) p ( 由) 一p ( 如) 上上y ( y ,z ) p ( 妇) p ( 如) 任给r b b ( m ( e ) e ) ,令 7 已( p ,d x ) = r ( p ,x ) p ( c k ) ,v p 订( e ) 在b ( r e s p r ) 下,任给t 0 ,定义 z ( t ) = e x p ( x 。,y ( z ,) ) m ( d s d x ) 一 丢z 。上上( x ( ”) ) ( x ( ”) ) ( 洲) 一x 刷纠x 8 ( d 州s ( r e s p z ( 幻= e x p 0 是( e ) 或c m ( e ) - j :的坐标 过程,以q t 表q 在n 盯( w “,u t ) 上的限制。则 琢叫t ) ,雾- z ( 丁m ( 0 川, 其中:= ( 磁) r ,磁r := ( 嘴) t 。 6 测度值流:g i r s a n o v 变换 问题2 1 是否存在新类型的测度值过程的g i r s a n o v 变换? g i m a n o v 变换在数理金融、随机控制和随机分析中起着重要作用( 【6 】、 1 3 、【1 5 - 1 6 】、 1 7 、 1 92 0 、【2 8 、 3 1 、 3 4 】) 。为回答问题2 1 ,考虑如下的测度值流。 固定d n 。对任意的k n ,定义如下的微分算子: ,热) + 钆m ) = 专秽( 蔬) 丽丽l ,张) + t 2 lp q 2 1 吼矧器,m ) + 妻骞,融确, v ,四( ( ) ) ,( ,魂) ( ) 知,兹= ( 霹,刁) 其中对任意的1 p ,q d , a n ( ) g ( 兄d ) ,a n ( ,) c b ( ( r d ) 2 ) ,酽( ) b b ( r d ) , a r q ( z 1 ) = a q p ( z 1 ) ,a p q ( z l , z 2 ) = a q p ( z 2 ,z 1 ) ,v ( z 1 勿) ( ) 2 ; 且存在常数7 7 o 使得对任意的七1 和任意的( z 1 ,一,) ( r d ) 七, v ( a i ,a ? ) r d ,1 i k 任给c p ( ) 晚( r d ) ,l p d 。令 对每个k 1 ,用 f i , k = a k + 占k 三d 矿( 筋) 刍,v 七1 矿( 筋) 南,v 七1 扛= 1p = 1 一。o y k = ( ( v 1 ( 矾一,跆( 孙) ) 伽) ,舰) ( 删 ( r e s p i k = = ( ( 或1c z ,玩七c z 知,) 。) 。:,:。,。r 。,。) 7 d 一 曼 硕士学位论文 表示唯一的a ( r e s p 五) 扩散过程,其中 ( k 1 ( z - ) ,跆( 魂) ) ( r e s p ( 彰1 ( 名- ) ,玩知( 魂) ) ) 表示从( 钆,钰) 出发的y k ( r e s p f k ) 在t 时刻的位置。注意 y 七) 七,( r e s p 纠 是相容的可交换族。记 喈) 伽( r e s p 话) 伽) 是y 如( r e s p i k ) 的半群。则 存在两个m ( 剧) 值的扩散过程x = ( x t ) 拙和文= ( 氯) 舢使得它们的半 群 正k 。和 磊) 伽分别被如下的式子唯一决定: 正f ,础) = ( 矿,嵋,) 元f ,n ( p ) = 。 的分布之间存在g i r s a n o v 变换。设只( r e s p 丘) 是初始值为p 尬( 印) 的 x ( r e s p 文) 的分布。注意 正k 。和 o 是( r 。) 上的坐标过程x = ( x 。) t o 的自然盯一代数流,q i 是 q m 1 ( 。) 在五上的限制。则有如下的 定理2 3 若c ( ) ( 关: := l e b e s g u e 测度几乎处处) 是非零常数c ,则列仕恧 的p 舰( 兄,) ,存在( r 。) 上的关于( 兀) 御的正的连续的。一鞅( q t ) 幽和茸一 鞅( 成) 。,使得对任意的t 【o ,0 0 ) 及任意的r ( o ,o o ) , 糍,糍= 展习1 眯州趴f i t l ( 或) 进步,若厶。p ( 如) 。,则 兄b 上。i z ix 。( 如) ,t p ,西 注2 4 若c ( ) 不满足定理2 3 的条件,则猜测在茸和兄之间不存在g i r s a n o v 定理( 目前我们还不能证明此猜测) 。即对任意的t ( o ,o o ) ,或i 矗和兄i 氕不 9 等价( 本文第四章注4 6 ) 。对任意满足厶。吲肛( 如) o ( 瑚p ( 侥) 御) 可用x 明确表示。但对任意的p m 1 ( r 1 ) 结论不成立( 本文第 一:i :l 二、 二早) o 注意 y 七) 知2 。( r ? s p i k ) 奄 ,) 是一核的随机流的肛点运动族 ( r e s p 若c ( ) c b ( r 1 ) ) 。令 z 知) 南。r e s p 艺k ) 七 ,) 中的每个z k ( r e s p z k ) 由y 七( r e s p 覃k ) 通警让任意两食粒子一旦相遇便永远呆在一起的方式所 得到。则 z 知) 纠( r e s p 粼 纠) 可以产生一可测映射随机流;且相应的 测度值流满足定理2 3 。 1 0 测度值流:g i r s a n o v 变换 3 定理2 3 的证明 回忆n 是自然数集。显然,a 七一扩散过程y 缸和a 七扩散过程y k 都是弱f e l l e r 的。 记q 钆,z 。和西钆声。分别是从( ,z 是) r 七出发的y 南和彳k 在c 渺上的 分布。则对任意的慨) 罂。r n ,k o l m o g o r o v 扩张定理知,存在上唯 一的概率q ( 蛐墨。( r e s p 百慨) 墨。) ,使得在此概率下,上的坐标过程 w = ( w n ) 。 o = ( 训;) 罂1 ) t o 的出发点为 戤) 墨,且对任意的k n , w 知= ( w 。k ) 踟= ( 叫;,伽? ) 舢 具有分布q h ,z 。( r e s p 玩舢) 。易知 ( q 协) 霆,) 矗 墨。列( r e s p ( 西协) 是。) q 墨,r n ) 是弱f e l l e r 族 对任意的p 舰( 冗1 ) ,令 q p - = q z 。,茁。p 知( 出1 d x 詹) ,茚p - = 百z 。,z 。肛知( d x l d z 七) ,k n ; j r kj r k 铀2 上n 墨,p n ( d x ,锄) ,西2 上n 国协鹄( d x t d x 2 ) 则在q p n ( r e s p 百) 下,w 是无穷可换的,其初始分布为,n w 七具有 分布q 矿( r e s p 亩矿) 。 设 d 惫= ( ) 1 撕 t 引理3 1 对任意的t ( 0 ,) 和7 ( 0 ,o o ) , 臀铀b ( s ) ) 7 。o 证明注意对任意的r ( 0 ,1 】, 鼬b ,7 pb 州5 ,肛1 1 p s u p ( 州s ) ) 2 胪 1 2 唧&o 翊皿| l 州任孙的 上 q p q 8 l 矿对 双 h叫后钆比中及其里 测度值流:g i r s a n o v 变换 不失一般性,设r ( 1 ,o 。) 。由d o o b 极大值不等式:和n o v i k o v 条件得, q b ( 叫s ) ) = ( 击) 7 铀 ( 击) r 删州枷r 】 h 南静一 唧 0 ,o s ; 口 且对任意的r ( o ,o o ) ,在( q ) 中,q 蠡( 亡) 一q ( t ) 其中( q ( t ) ) 脚是均值 为1 的( 五( w ) ) 。一鞅。 证明对任意的t 0 ,o o ) ,k 歹,b 五( w y ) , 么q a 南( t ) i 五( 舻) d q 2 上q 七( ) d q 5 上q 七( ) d q i 五( w t )jb jbjb 、 = 百l 五( w 。) ( b ) = 百i 五( w j ) ( b ) = q l 五( 训) 【如哟( 亡) 】 = z 吼) 嘶n ; 0 七( 亡) ) 七,是正的( w 知) ) 一鞅。由引理3 1 ,当七_ 。时,n 奄( t ) 收敛于五( w ) 可 测随机变量a ( t ) ,伽;且对任意的r ( 0 ,) ,在l r ( q p n ) 中, q 七( ) 收敛于a ( t ) 注意当后_ 时,南叁( 畦一碥) 一币者南弱收敛于玩2 p - i t - - 兰址2 ,其 中b 。:p _ l 是均值为o 、方差为c 2 p 一1 的高斯随机变量。因此 q ( ) 0 ,n s 1 3 硕士学位论文 任给0 s t 二。在舰( 础中的极限,若它存在, 【脚m 1 ( 冗1 ) ,其它, 其中磊m 1 ( c r - ) 和肋舰( r 1 ) 是任意固定的。则由 3 6 】引理4 7 ,- e 和e 是 可测的。若令 z = z ( w ) = 互( w ) ,v w c r n , x t = x t ( w ) = ( 7 r ) 。z ( w ) ,v w c n n ,v t 0 ,。) ; 则在q p n ( r e s p 百p n ) 下,x = ( x t ) 。具有分布昂( r e s p 茸) ( 3 6 】第4 节) 。 引理3 4 对任意的t 0 ,0 0 ) , q r e s u p i 一加严z c 卸) ,国 厶,s 艘u p i - - 7 0 1 2 z ( 折) o o 证明对任意的t 【0 ,) , j i j d o o b 极大值不等式, q p nl s 。u s p 。1 w :一叫j 1 2 4 q p n 1 叫;一伽6 1 2 = 4 t 由 3 6 】引理4 6 知, 铀阪渺刊嘲折,卜 同理可证余下的部分。 口 1 6 测度值流:g i r s a n o v 变换 由引理3 4 知,在q ( r e s p 西p n ) 下,下式几乎处处成立: s u p1 一加1 2z ( 嘶) ,v t 0 ,) j c r , 5 s t 设q o = q 1nq 2 ,其中 q = w nl 厶。凹卜计孙) ( 蚓 o 。,印川) , q 2 = w p 硝i ( 7 r o ) + z ( w ) = p ) 显然q 2 是n 的可测子集。由 q - = 亘 w nj 上m :兰i 一舶1 2 z c w ,c 折, ) 知q 。是n 的可测子集。因此q o 是n 的可测子集。定义如下的上的 映射: z = z w n ,= 丢翳高善詈 其中瓦是p 在映射 z r 1 _ ( m ( z ) ) o c k ,m ( z ) = z ,t 【0 ,) 下的像。则z 是可测的:且对任意的w n , s u pi 一加1 2z ( w ) ( d - y ) o 。,v t 0 ,o o ) ,( 丌0 ) + - 2 ( w ) = p ( 3 1 ) ,c r l8 茎t 令 叉t = _ t ( w ) = ( 7 r t ) 。z ( w ) ,v t 【0 ,o 。) ,v w c r n 注意 q p n w gq 】_ 百p n w gq _ 0 ,q p n w gq 。 _ 西p n w gq z _ 0 则在q 肛n ( r e s p 百p n ) 下,叉= ( 瓦) 。2 。具有分布兄( r e s p 或) 。 1 7 硕士学位论文 乃( 叉) = n 盯( ( 死) 。z ,乱s ) ,v t o ; 设西i 五( x ) ( r e s p q i 五( 叉) ) 是国( r e s p q ) 在五( 叉) 上的限制。则 国p nl 五。丈,q p n l 五。x ,乏 善兰 三粤:q 肛n c q ,i 磊c 叉,:石c t , 引理3 5 在q 下,( 西( ) ) 脚是( 五( 又) ) 。一鞅,且对任意的r 【1 ,) ,每一瓦( t ) 是可积的。 证明由引理3 2 和条件期望的性质即得。 引理3 6 若p m 1 ( 冗1 ) 满足厶,hp ( 如) 0 0 ,则对任意的w c r - , z 又。( w ) ( 如) 关于t 连续,s u p h 叉。( w ) ( 如) 。,【0 ,。) ; j r l8 s j r l 此外q 肛n s u p f r 。又。( 如) o 关于t o ,o 。) 连续( 见( 3 1 ) ) 。因为 当o o 时,去善( 小叫;) _ 厶。( m 刊酗m s , 所以 ( ) 是- 可测的,其中元是五( w ) 关于q p n 的完备化。由引理3 2 知, ( ( t ) ) 伽是正的连续的( 瓦) 。鞅。注意 文= ( 托),其中文t = 文。( w ) = o ( w y ) = o ( 叫舟罂。) , t 0 、7、。 在q p n ( r e s p 百p n ) 下具有分布耳( r e s p 豆) 。易知 西肛ni 兀。文,q p n l 五。又,三专耄三; 三嘉:q p n 九c z ,l 五( 文) := 苟c t , 引理3 7 任给肛m 1 ( r 1 ) 则对任意的r 1 ,) ,( ( t ) ) 伽是鞅;且 在吼n 下,此鞅有正的连续( 五( 文) ) 。适应修正。 1 9 硕士学位论文 证明类似于引理3 5 ,司证引理第一部分。 第一步给定任意t ( 0 ,o o ) 。则对任意的t 【o ,t 】, ( t ) = q p n ( t ) l 仃( 氯,s _ t - t - 1 ) ,q 一n s ( 3 3 ) 事实上,对任意的夕玩( 尬( 冗1 ) 知) ,k n f ( - 0 u 1 u 七t + 1 一t , 令 b ( 墨,) := 煽p ”一,文t 。) ,v 鐾。; 则由对任意的n n ,( 叫口) 罂,) 。o 在q 协,罄。下具有分布q 协+ 。墨。,以及 x 一。= o ( 伽:) 兰。) = o ( 计。) 三。) ,v s o ,o o ) , 我们有 玛( 鼢,茎,) = q 戤) 墨。囟( o ( t l w u 件1 8 ) 墨,) ,o ( 加嚣口) 罄,) ) = q 砧+ 。 墨,囟( 0 ( 叫:。) 墨,) ,e ( 以。 罂- ) ) = b ( 戤+ 口) 墨- ) 由m a r k o v 性知, q p n g ( 文,x ) i 瓦 = q 9 ( 文,x m 。) i 五( w ) = b ( w ;! v ) = b 。( w y ) ,v a n ,q p n o s , 其中是r n 上的推移算子:( 祝) 罂1 ) = 孔+ 口】墨l ,v 亿) 墨l r n 由【1 8 】第1 章 推论1 6 知,存在n 上有界仃( 文t ) 可测函数岛满足 b ( w y ) = 毫( w y ) ,q p n o s 由存在露b b ( m , ( r 1 ) ) 满足岛( w f ,) = 昂( 文t ) ,我们有 b ( w y ) = 昂( 文t ) ,吼n 一 2 0 因此对 由单调 第二步 的正则 由d o o b 这蕴含 测度值流:g i r s a n o v 变换 任意的,玩( m i ( r 1 ) ) ,f n 和任意的o s , s l , 上r n 坤) 睢刚9 ( ,1 2 t + u k ) d q 一 2 z c r nh ( t ) ,( ,剐q 夕( 文,文m - ) i 元p n 2 z r n 俐( k 一耳( 文t ) d q 2 上r n q u n 卜( t ) i 五( 文) ,( 文s - ,文却) 昂( 文t ) d q 。f o r 5 ( t ) ,( 文,文刚) q p n 9 ( 文件,文件t ) i 歹刁d q p n 2 五r n 酢) 睢刚9 ( ,1 2 t + u k ) d q 类定n f n ( 3 3 ) 成立。 注意n 是p o l i s h 空间,设q t + 1 条件概率。则由第一步知, ( t ) ( w ,赫n ) 是q 关于盯( 文。,s t + 1 ) = ( t ) ( 葡n ) q t + 1 ( w ,c f 面n ) ,q p n o s j c r n 极大值不等式 铀 8 外s u p 。h ( s ) 2 4 q - 咿+ 1 ) 2 = 4 铀陋+ 1 ) 2 】 , n 8 外s u p ,( 蜘) ( ) 2 ( w ,捕n ) o 的自然盯代数流。对任意t o ,显然存在( 冗- ) 上的正的五可测函数o l t 使 得瓦( ) = a 。( 或石( ) = a 。( 文) ) 注意定义在n 上的叉和文在q p n ( r e s p 亩) 下具有分布巳( r e s p 茸) 。由引理3 5 - 3 7 知, 五i 五兄i 五,糍= q 。,q 。l r ( 丘) ,v o r o 证明由【3 6 】引理4 6 ,q “n o s ,当尼_ o 。时, 兰k 豺c ( 蝴2 一乙,c ( ) 2 d s z ( w ) ( 咖 回忆 3 6 】第四章: ( x 。,c 2 ) d s 当n _ o 。时,熹喜_ z ( w ) ( 弱收敛) ,q p n a 8 w n 注意对任意的t ,7 1 t :,y c n - 一m r 1 是连续的从而当n _ o o 时, ,x 。( w ) ( 弱收敛) ,v t 【o ,o o ) ,q p n o s w 易知引理的第一部分成立。设 则 c 8 2 ( z l ,z 2 ) = c ( x 1 ) c ( 茁2 ) ,v ( x 1 ,z 2 ) r 2 铀 z 0 ( x 。,c 2 ) 一( x s ,c ) 2 ) d s = 瓜( p ,w c 2 ) 一( p 2 ,曙 c 。2 ) ) d s ; 曙 c ( z z ) i = f e c ( h ( z ) ) c ( 蜉( z z ) ) 】 e c 2 ( f ( z 。) ) 】) ; epf i r ( z 2 ) ) ) : w c 2 ( z ,) ) w 翻( z 。) ) 互1 ( 若c 关于l e f ,e s 夕u e 测度几乎处处为常数,则等式成立) , ( p 2 ,曙 c 固2 ) 2 ( p ,w 翻) ,s o 因此对非常数c ( ) c b ( r 1 ) , 阶( x s ,c ( ) 2 ) _ ( x s ,c ( ) ) 2 ) d s 。, 2 4 知:l l 一后 ,ji一, 厂,加 氏 件:l 1 一佗 测度值流:g i r s a n o v 变换 这蕴含q k ( x 。,c ( ) 2 ) 一( x 。,c ( ) ) 2 ) d s o o 口 引理4 3 设 磁) 墨。是如下的实随机变量序列:对任意的后n ,( 磁) 伽 是从。出发的( 砰) 。适应的l 一维布朗运动,死是( 砰) 。停时;r p a o l o ,其 中q o = 当七_ ( 3 0 时,_ 】。则 当七一o 。时,e x p b 关一三仉卜。( 依概率) 证明任给a ( 0 ,o 。) 和e 0 ,取n n 使得几 2 a 且 p t a 一n ) n 亿 一。m 恻州帆】 斜喜讯m 蚓a x + 。痧丢一。) n _ 出 o ,q p ni y d w n ) 【q o 】 o , 百p n l 五( w ) f q 吡n 】上q p ni 五( w ) f t o , tn 】 铀 t c ( ) 2 ) _ ( x ( ) ) 2 ) d s ,t = ( p ,w c 2 ( ) ) 一( p 2 ,曙【c ( ,) ) ) d s ,0 = q p n z 。 c 2 ( 叫:) 一c ( 枷:) c ( 叫;) ) d s 。; 珏 一t ( x s c ( ) 2 ) - ( x ( ) ) 2 ) d s r ,o = q m c 2 ( 以)一c ( 伽:) c ( 叫;) ) d sl 1 j 铀陋, o 。川以) 一c ( 叫:) c ( 谚) )d s 因此百p n
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