（概率论与数理统计专业论文）系统随机共振的最佳耦合矩阵.pdf

摘要 随机共振的概念最早是在古气候变化规律的发现中提出的即对许多 非线性系统来说，适当的噪声干扰反而可以提高系统信号输出的能力 这类非线性现象称为随机共振( s r ) 在现代随机共振理论中，耦合振 子系是最吸引人的研究对象之一，它广泛应用于物理、化学、生物等领 域一些最初的结论由b e n z i 以及他的合作伙伴得出随后，l i n d e r 将s r 推广到2 维，甚至n 维，发现s r 的发生是周期驱动力，自噪声和系统耦 合作用的结果特别是近几年，文献1 2 5 】对非线性耦合振子系进行了深 入细致的研究，发现耦合振子会发生比单个振子更强的随机共振效应， 并且会出现单个振子系很难出现的现象 本文首先利用数值模拟深入了解了无周期驱动一阶l a n g e v i n 方程分 别在没有随机扰动力作用、有随机扰动力作用、耦合三种情况下的轨道 性质与共振现象发现适当的随机力干扰可以增强系统的随机共振，并 且耦合后，系统能表现出更强的随机共振现象 接下来，本文着重研究了不同的耦合矩阵对随机共振的影响矩阵的 不同对系统能量有着明显的影响但是矩阵元素不能太大，否则会覆盖 随机力的调节作用当矩阵元素之间相差较大时，系统共振的效果好很 多接着，利用遗传算法找到了3x3 、5 x 5 最佳耦合矩阵，并且随意选 了各种同阶矩阵，将它们的功率谱图与最佳矩阵的功率谱图进行比较， 结果表明，最佳耦合矩阵让系统输出能量是最高的 关键词：随机共振，功率谱，遗传算法，耦合矩阵，波峰值 a b s t r a c t t h ec o n c e p to fs t o c h a s t i cr e s o n a n c ew a sf i r s tp u tf o r w a r dd u r i n gt h ep r o c e s so f r e v e a l i n gt h ec h a n g i n gr e g u l a t i o n so fc l i m a t e si na n c i e n tt i m e s i nc e r t a i nn o n l i n e a r s y s t e m s ，t h ep h e n o m e n o nt h a ta p p r o p r i a t ed i s t u r b a n c eo fn o i s e sc a ns t r e n g t h e nt h e s y s t e ms i g n a lo u t p u t sw a sd e f i n e da ss t o c h a s t i cr e s o n a n c e ( s r ) i nm o d e ms rt h e - o r y , c o u p l e ds y s t e m ，o n eo ft h em o s tp o p u l a rs u b j e c t s ，h a sf o u n di t sa p p l i c a t i o n si n m a n yf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , a n de t c s o m ep r i m i t i v et h e o r i e s w e r eo b t a i n e db yb e n z ia n dh i sc o o p e r a t o r s t h e n ，s rw a ss t u d i e di nt w od i m e n - s i o n a l ，o rm o r ei ng e n e r a l ，nd i m e n s i o n a lc a s e sb yl i n d e re ta 1 i tw a sd i s c o v e r e d t h a tt h eo c c u r r i n go fs rw a st h er e s u l to ft h ei n t e r a c t i o n so fp e r i o d i cf o r c e ，w h i t e n o i s ea n dc o u p l e ds y s t e m i tw a ss t a t e di nt h el i t e r a t u r e1 2 5 t h a ts ri nc o u p l e ds y s - t e r nw o u l db es t r o n g e rt h a nt h a ti ns i n g l es y s t e ma n ds o m ei n t e r e s t i n gp h e n o m e n a c o u l da l s oo c c u ri nc o u p l e ds y s t e m b a s e du p o nt h ea b o v es t u d i e s ，t h i sp a p e ra i m st oi n v e s t i g a t eo r b i tt r a i t sa n ds r o ft h el a n g e v i ne q u a t i o nw i t hn o i s ed i s t u r b a n c e s ，w i t h o u tn o i s ed i s t u r b a n c e s ，a n d i nc o u p l e ds y s t e m i ti sd i s c o v e r e dt h a ts rc a nb es t r e n g t h e n e db yt h ea p p r o p r i a t e d i s t u r b a n c eo fs t o c h a s t i cf o r c e ，e s p e c i a l l yi nc o u p l e ds y s t e m s t h ee m p h a s i so ft h i sp a p e rw a so nt h ee f f e c t so ns rc a u s e db yd i f f e r e n tc o u p l e d m a t r i c e s i tt u r n so u tt h a tt h ed i f f e r e n c e so fc o u p l i n gm a t r i xh a v eg r e a ti n f l u e n c eo n s y s t e me n e r g y h o w e v e r s t o c h a s t i cf o r c ec a n tt a k ee f f e c ti ft h em a t r i xe l e m e n t sa r e t o ob i g s rw i l lb em u c hs i g n i f i c a n ti fm a t r i xe l e m e n t sa r ed i f f e rf r o me a c ho t h e r b yu s i n gt h eg e n e t i ca l g o r i t h m ，t h eo p t i m a lc o u p l i n gm a t r i x ( 3t i m e s3a n d5t i m e s 5 1w a sf o u n di nt h i sp a p e r i ti ss h o w nt h a tt h ep e a ko ft h ep i l f e rs p e c t r u m so ft h e s y s t e mw i t ht h eo p t i m a lc o u p l i n gm a t r i xi sm u c hb i g g e r , t h a nt h es y s t e mw i t hs o m e r a n d o mi n t e r a c t i o n s i i i k e yw o r d s ：s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，p o w e rs p e c t r u m ，g e n e t i ca l g o r i t h m ，c o u p l e d m a t r i x ，w a v ep e a k i v 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名2 靠次昂每 m 产6 月p 日 j 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分 内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在：年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打q 、”) 作者签名： 覆久稚 导师签名：踢趸霉 1 日期；细矿年歹月f 驴日 日势衙多月，p 日 随机共振的最佳糯合矩阵 1 绪论 1 1 随桩共振的起源与发展 随机共振( s t o c h a s t i cr e s o n a n c e ，s r ) 的概念最旱是在1 9 8 1 年，由意大 利学者b e n z i ，r 等人在研究地球古气象问题时提出的l n 。对过去7 0 万年 的地球气候统计研究发现，地球大约以l o 万年的周期发生一次暖气期与 冰川期的交替而对气候时间序列的功率谱分析发现在相应的频率上功 率谱有一个瞬显的谱峰人们又发现由予行星力扰动面引起的地球绕太 阳转动的偏心率的变化周期也大约为王。万年。这两个事实的吻合说明太 阳对地球施加了周期变化的信号。但仅有偏心率这样一个小的周期信号 是不足以引起地球气候如此大的变化的实际上，地球气候除了受到偏 心率的影响，还受到宇宙中各种随机力的干扰联系蟪球本身的非线性 条件，b e n z i 。r 等提出了一个双稳态菲线性的气候模型，他们将地球的暖 气期与冰川期分别对应系统的两个稳态，地球偏心率的变化视为外部周 期驱动，随机力的干扰看成是g a u s s 白噪声这样，地球气候的周期性变 化可看作是小的周期驱动和噪声的一种协作效应：地球偏心率的周期性 变化使得地球气候在暖气期和冰川期之间的相互转换成为可能，而随机 力的扰动又使得这种转换真正成为现实，并且在某一特定的噪声强度， 两个态之间的转换呈现一种明显的周期性b e n z i 等就把这种由弱周期 驱动和随机力干扰协作而导致的强周期输出的现象称为随机共振，它很 好地解释了地球古气候的大幅度周期变动这一现象 随机共振一提出，立即引起了科学家韶的关注在这之前，人们认 力噪声总是消极的东西，它破坏功能，导致乱，抹去相和相之闻的差别 f 2 1 。丽随机共振的发现使得人们去重新挖掘噪声潜在的对系统的创造性功 1 硕士学位论文 能科学家们相信，随机共振是广泛存在于自然界的一种现象在b e n z i r 等提出这一概念后不久，随机共振现象在物理实验中也相继被观察到， 1 9 8 3 年，f a u v e 和h e s l o t 第一次在s c h m i t t 触发器电路系统中实现随机共 振i s 。后来，科学家们在电磁学( 如带j o s e p h s o n 结的超导环1 4 】，振荡电 路，光学【5 】，化学反应嘲等领域中都普遍地观察到了随机共振现象。随 机共振指非线性系统由弱周期驱动和随机力干扰相协作而导致的强周期 输出的现象，它很好地解释了地球古气候的大幅度周期变动这一现象 隧着研究的深入，9 0 年代以来g 。h u 等在文献觏中指凄单稳态无周期 驱动系统也会有随机共振现象发生，并研究了其随机共振的发生机制 对许多非线性系统来说，只要它具有一定的能量阀值和非对称性，即使 只有噪声的干扰，随机现象也是能发生的 更为有趣的是，在生命现象中比如小龙虾尾部传感器神经元到细 胞膜两侧传递僖息的离子逶遵潮以及蟋蟀的绒毛继胞强生物学家船发 现也存在着随机共振，这一发现为随机共振在细胞层面上的神经生理学 的研究及应用起了先导作用，也引起了科学家们对生物系统中随机共振 现象的极大兴趣近年来，人们猜想分子马达，量子棘轮等都和随机共振 这一现象密切耜关，并给出了一部分实验的和数值模拟的结果1 1 0 一l 擒 实验表明通过一个振荡信号和一个随机变化的信号，我们可以从看似无 序的状态中得到能控制方向的有用运动这可能会帮助人们了解肌肉是 如何把散布体内的化学能转换成动能的 在现代随机共振理论中，耦合振子系是最吸引人的研究对象之一， 它广泛应用于物理，化学，生物等领域一些最初的结论由b e n z i 以及他 的合佟伙伴得出1 1 3 l 。随詹，l i n d e r z 鹎提凄了时空秩亭和序列增强s r 理 论，并且把s r 推广到两维空间，在以上的研究中，人们发现s r 的发生 是周期驱动力，白噪声和系统耦合共同作用的结果而对无周期驱动的 耦合系统，仅有少量的文献【t 5 】一l t 8 1 讨论了全局耦合系统的类似于单振子 2 随机共振的最佳耦合矩阵 系统中出现的自随机共振现象近几年，文献1 1 7 1 对非线性耦合振子系 进行了深入细致的研究，把耦合系统的随机共振现象和单振子系的作了 比较，从功率谱来看，耦合振子系每个振子的功率谱的谱峰高度比单个 振子系的要高得多，而且宽度变窄，这说明即使没有外界的周期驱动， 耦合系统也会出现a e s r 现象。因为对每一个振子来说它出现了类似于 单振子系统的随噪声强度适当增加而出现的越来越明显的周期性，通过 耦合项的作用，这个振子的输出又可看俸它邻近振子的餍期信号输入 这相当于对每个振子来说，它受到了餍期信号的驱动；丽且数值模拟还 显示，所有振子的功率谱都有相同的谱峰频率，这说明各振子相互间达 到了同步( 或共振) 效果从这两个意义上说，无周期驱动的耦合系统也 能出现真正的随机共振在文献【1 8 】中，c h a o t 等指出，对耦合系统来 说，若有不动点，则不动点的个数为一的量级。数值模拟也表明系统 在确定性情形下在万的2 如周期内有大量的不动点文献f l7 】进一步 说明了这就是原因所在 但是如果耦合矩阵不同，随机共振会有什么变化呢? 本文就非线性 l a n g e v i n 方程的耦合，发现随着耦合矩阵的不同，系统能量变化也就不 同，随机共振现象就会有所变化利耀遗传算法可以进行最优耦合矩阵 的搜索，从丽使系统的功率谱谱峰达到最大僮。 1 2 本文主要内容及其主要结果 本文首先讨论了两个无周期驱动一阶l a n g e v i n 方程的耦合，耦合模 型如下： 或一6 一s i n x l c + ( 妣一1 + x i + l 一2 z i ) + d 矗( t ) o = 1 ，2 ，3 ) 将这两个模型的功率谱图都与单个振予的功率谱图进行比较，可以 3 硬圭学位论文 看出，耦合时不仅功率谱的谱峰高度比相应的单个振子的要高得多，而 且谱的宽度要小得多，这是各振子进行同步的一种表现为了了解藕合 矩阵的不同对系统能量输癌的影响，本文让耦合矩阵中的元素分别服从 均匀分布、r 分布、正态分布，求出它们所对应的平均功率谱图，结果 发现：在均值和方差相同的情况下，服从均匀分布的矩阵元素相差很小 ，丽服从正态和r 分布的矩阵元素之闻相差较大，这就使得系统共振的 效栗好很多，所以谱峰高度比服从均匀分布的高的多，其中黑受从r 分布 的矩阵元素差别最明显，使得它的谱峰高度最高，宽度最窄。因此，矩阵 的不同对系统能量有着明显的影响接下来，本文任意选了大量有代表 性的耦合矩阵，将它们对应的功率谱图做比较，发现矩阵中元素都差不 多时的功率谱高度毙矩阵中元素有差别时的高度要小，丽且矩阵中元素 不能太大，否则影响噪声在系统中的作用 为了找到最优耦合矩阵，本文采用遗传算法，对3x3 、5 5 耦合 矩阵进行最优值的搜索，找到以、0 2 两个矩阵，将它们对应的功率谱图 与大量任选出来的有代表性矩阵对应的功率谱图作了比较，发现盯。、0 2 的功率谱谱峰沈其它的都要高，并且谱峰宽度也要窄所以o i 、o 2 使得 系统隧机共振的效果最好，鄂为我们所要找的最优耦合矩阵并且，本 文将各类耦合矩阵的第二特征值作了比较，发现功率谱波峰值大的所对 应的耦合矩阵的第二特征值就较大 4 随机共振的最佳藕合矩阵 2 预备知识 2 1 随机共振系统的相关理论知识 ( 一) 布朗运动 定义：一粒子在直线上随机地运动，将其在时刻t 的位置记为b ( t ，u ) ， 称随机过程b 全 b ( t ，u ) t o 为b r o w n 运动，若它满足以下条件： 1 ) 粒子在任意有限个互不相交的时间区间( s t ，t t 】上的位移b ( t t ，u ) 一 b ( s t ，u ) 是相互独立的，不妨设b ( o ) = o ； 2 ) b ( t u ) 一b ( s ，u ) 遵从正态分布n ( o ，t , - s ) ； 3 ) 可除去一零测集使每固定一条轨道u ，b c t ，u ) 对t 连续 j b ( t ，u ) ) 是一随机过程e ( b ( t ，) ) = o ，且e ( i b ( t ，u ) 一b ( s ，u ) 1 2 ) = i t s i ， 即b r o w n 运动的统计规律是空间对称的，且平均来说，b r o w n 运动在t - s 的时间内的平均位移是历阶的这大致地可以看出b r o w n 运动对时 间的不可微性 定理：对b r o w n 运动 b c t ，u ) ) t o 的几乎所有轨道，b ( t ，u ) 都是处 处连续，但又处处不可微 ( 二) 随机微分方程 随机共振机制的典型模型是如下的双稳态周期驱动的系统： 圣= - v ) + a c o s w t + d ( t ) 这里y ( z ) = x 4 1 4 一x 2 1 2 ，f ( 亡) 是g a u s s i a n 白噪声，满足： = 0 ， = 6 ( t 一) b e n z i r 也即通过此模型成功地解释了古气候发生周 5 硕士学位论文 期性变化的原因大量的文献讨论了这一双稳态系统的随机共振机制传 统的观点认为系统的双稳性是指势函数具有两个极小值；引入弱周期驱 动的目的是为了打破双势井间的对称性，但仅靠它自身又不足以把粒子从 一个势井推入到另一势井中，然而，随机扰动项( 不管其强度多么小) 的 存在总可以使粒子在某一随机的时刻发生势井间的跃迁g a m m a i t o n i 和 m a c h e s o n i 等认为当噪声诱导的这种势井间的跃迁运动和外部的弱周期驱 动达到一种统计意义上的同步时，就会有随机共振现象发生l 圳通过考 虑粒子从一个势井跳向另一势井的逃逸速率，即k r a m e r s 逃逸率他们 给出了随机共振发生的频率匹配条件：“= w 2 ( 见【1 9 】) 随着随机共振现象的进一步深入研究，人们发现双稳态和周期驱动 并不是发生随机共振所必需的条件1 9 9 3 年，l o n g t i n 2 0 l 首先在非双稳态 的可微生物系统中也发现了随机共振现象之后，文献【2 1 1 和【2 2 】等对如 下圆周上的单稳态无周期驱动的l a n g e v i n 方程： 圣：b s i 彻+ d f ( t ) ，z 伊 其中f ( t ) 是g a u s s i a n 白噪声，它是b r o w n 运动b ( t ) 关于时间t 的形 式导数：f ( t ) = d b ( t ) d t ，满足： = 0 ， = j 一t i ) 研究 了其随机共振的发生机制 ( 三) 数值模拟 在通常情况下，随机微分方程是很难求出它的精确解的所以，我 们一般用数值模拟来模拟随机微分方程的轨道： z ( t + a t ) 一z ( t ) = 6 ( z ( t ) ) t + 仃( z ( t ) ) b ( t ，u ) 考虑时间区间为【0 ，t 】，设0 = t o t l t ，则以进化 过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出，终止运算 2 2 荤个无周期驱动的l a n g e v i n 方程的随机共振嘲 首先，我们来讨论单个无周期驱动的l a n g e v i n 方程： 童= b s i n x + d e ( t ) ，zes 1 1( 2 - 1 ) ， 其中f ( t ) 是g a u s s i a n 白噪声，满足； = 0 ， 一6 ( t 一) 由于b s i n ；x 的周期性，方程( 扣1 ) 可看成是一过阻尼粒子在圆周上 受到常驱动力和随机力共同作用的运动方程 对应系统( 弘1 ) 的确定性方程为 癣= b s i n x ，zes 1 ( 2 - 2 ) 毒文献 5l 可以知道，当0 b 1 时，平衡点和阀值消失，粒子在圆 周上作属期性的旋转运动。 如果我们引入噪声，就成为系统( 2 圭) ，它有以下的随机动力学行为； ( 1 ) 0 o 的平均功率谱) 。我们可以 看到在某一非零频率上出现一定高度的谱峰这说明噪声对系统起了推 进作用但是，随着噪声强度的增加，( 2 1 ) 达到一定的值以后，噪声就 主要起破坏作用 ( 2 ) b = 1 时，系统是临界稳定的，而且由于系统阕值大大变小，随机 共振的效果相比b 1 时，系统不可能发生随机共振现象。 硬毒学鬣论文 3 系统随机共振的最佳耦合矩阵 3 1 3 个无周期驱动一阶l a n g e v i n 方程的耦合 上面所讲的只是一个l a n g e v i n 方程的动力系统我们发现通过噪声 的干扰，2 个方程( 2 _ 吨) 耦合后的非线性系统会发生比单个振子更强的 随机共振效应f 2 5 1 。 我们把一个无周期驱动的一阶l a n g e v i n 方程看成一个振子，将两个 这样的振子进行耦合，耦合模型如下； 或= 蕊一s i n x + ( 戤一1 + z i + l 一2 x i ) + 璐( ) g = 王，2 ，3 )( 3 一1 ) 其中魂0 是第1 个振子的常驱动力，k 0 是耦合系数，d 为噪 声强度，乐( ) 0 是g a u s s i a n 自噪声， 满足 = 0 ， = 文母冀一) 相互作用矩阵为： 1 吨 秽= l l i | 王 l 11 j l ? 二j 我们取d = 0 5 ，取各格点上振予所受的常驱动力均相等，即b l 一0 9 8 ， 耦合系数k = i ，噪声强度d = 0 5 类似单个振子的情况，对时间序列 s i n z t ( t ) ) 作2 0 0 次的功率谱平均如图3 - 1 ，可以看出，耦合时不仅功率 谱的谱峰高度比相应的单个振子的要高，而且谱峰宽度也比不耦合时的 要窄得多。从匿孓l 的上圈；我们还可以看出耦合时各振予有枢圊的谱峰 频率，甚至功率谱图基本上是重合的，这是各振子同步的一种表现 1 0 随机共振的最佳耦合矩阵 - _ _ _ - _ _ - - - - - _ _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - i 一i i i _ _ - - _ - _ _ _ - - _ _ _ - - - _ - _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - - - - _ _ _ _ _ _ 一 图3 - 1 ：上图。k 0 时第个扳子黑线) 和第= 个强子( 绿线) 的功率谱圈，下豳，k = 0 时单个扳子的功率 谱圈 1 l e，b口&zg口 暑了krx邑l，墨 硬毒学位论文 3 2 n 个无周期驱动一阶l a n g e v i n 方程的耦合 这一节，我们进一步来看n 个振子耦合翦情况嘲，方程如下s 癍= 6 t s i n x i + k ( a i x l + 啄2 2 2 + + a i n x n ) + d 最( z ) ( ；1 ，2 ，)( 3 - 2 ) 其中蕊0 是第 个振子受到的常驱动力，k 0 是耦合系数，d 为噪声 强度，& ( 亡) 是g a u s s i a n 自噪声，满足 = 0 ， - - - - - 瞻( t - - t ) 相互作用矩阵为； 我们仍取d = 0 5 ，取备格点上振子所受的常驱动力均相等，即b i ? 0 9 8 ，耦合系数k = i ，以n = 1 0 ，相互作用力矩阵。为例，类似单个振子 的情况，对时间序列 s l 嗽( t ) 作1 0 0 次的功率谱平均。如图3 - 2 ，容易看 出，类似三个振予的耦合，l o 个振子耦合时不仅功率谱的谱峰高度比单 个振子对应的功率谱谱峰高度要高得多，而且谱峰宽度也比不耦合时的 要窄得多从图3 2 上图( 蓝线) ，我们也可以看出耦合时各振子有相同 的谱峰频率，甚至功率谱图基本上是重合的，这是各振予进行同步的一 种表现 一 1 2 、，l， w 鲫蚴； 蛳 2 2 h蚴? ：咖 l 1 n 蚍锄； 咖 ，f。1 图孓2 ：上圈，k o 时相苴俸甩矩阵为口l ( 较低魄线 和棚薹作用矩纬隽c r 2i 较高曲线) 的功宰港圈下蟹； k - - 0 时单个扳子的功率谱嘲 1 3 ，t：台i_kt，五 -cj蓉b五叁鑫4 硬毒学键论文 0 12 0 22 如果我们变化系统( 弘2 ) 的相互作用盯。矩阵为o 2 ，得到图3 2 上圈 ( 较高曲线) ，可以看出随着相互矩阵的不同，功率谱酶高度和宽度都有 相应的变化，进一步的数值模拟发现，矩阵中元素都差不多时的功率谱 高度比矩阵中元素有差别时的高度要小，并且矩阵中元素不能太大，否 则影响噪声在系统中的作用 接下来，我们假设相互作用矿矩阵分别服从均匀分布、r 分布、正态 分布，然后求出它们裙应的功率谱发现对于服从不同分布的仃矩阵， 功率谱高度和宽度都有相应的变化。即使是服从圃一分布的拶矩阵，功 率谱高度和宽度也会随着所取参数的不同丽有相应的变化。为了比较出 1 4 l 1 l l l l l l l 卅 l 1 王l l l l l以l l 1 王l l王l曲王1 l 1 王l l l以l l l - l 1 薹l l l l l 1 土l羔l埘l 1 l l 1 l 1 l 田l l l l l l _ l l q l l l l l l 1 l c p 王l l l 1 l l 1 c p l l l ，l 1 l 王1 o o o o o o o 5 o 曲 o o 良o o 5 o o 棚o 4 o 5 o g o 5 曲o 4 o o o 5 5 o 以o o o o 5 o o o 曲o g o g o o o o 皤o o o 5 o 5 o o 曲o o o 碡o o o毒曲4 o 4 o o o 5 q 曲o o o o 4 o o o 曲o 4 o 垂o o g 4 o 随机共振的最佳耦合矩阵 三种分布中哪一种是最优，我们把r 分布的两个参数肛、t ，放到平面坐 标中，p 为横坐标，z ，为纵坐标，分别在横纵坐标上从1 个单位开始取 十个点，每个点之间长度为1 ，这样就得到平面上1 0 0 个坐标点，将每个 点中的那对值作为r 分布的参数，再对这1 0 0 个r 分布求平均值，就得 到功率谱图3 - 3 右上图同样地，对均匀分布、正态分布求平均，得到它 们相应的功率谱图，如图3 - 3 左上图、中图 可以看出，口矩阵服从均匀分布时谱峰高度最高，宽度最窄，当仃 矩阵服从r 分布时谱峰高度最低，宽度最大实验过程中的数据显示， 在均值和方差相同的情况下，服从均匀分布的矩阵元素相差很小，而服 从正态和r 分布的矩阵元素之间相差较大，这就使得系统共振的效果好 很多，所以谱峰高度比服从均匀分布的高的多，其中服从r 分布的矩阵 元素差别最明显，使得它的谱峰高度最高，宽度最窄因此，矩阵的不同 对系统能量有着明显的影响 3 3 随机共振的最佳耦合矩阵 为了找到最优的相互作用仃矩阵，使功率谱波峰达到它的最高点， 我们采用遗传算法，对3x3 ，5 5 相互作用仃矩阵进行最优值的搜索 在搜索过程中，设定求功率谱谱峰值的函数为目标函数，盯矩阵中除对 角线以外的各个元素为目标函数的变量因为矩阵中元素太大会影响噪 声在系统中的作用，所以我们把目标函数的变量控制【0 , 1 】之间在求系 统( 3 - 2 ) 的动力解时，我们采用迭代法，迭代2 1 5 次，根据遍历性，足够让 系统最后处于一个非常稳定的状态但是，由于计算机采用的是精度计 算，让目标函数对同二组变量所得的值有很小的差别，这就使得遗传算 法不能收敛到某一个值，而是围绕那个值的周围上下波动，所以我们搜 索到的最优盯矩阵与波峰值都是一种近似值，结果如下： 1 5 硕士学位论文 图孓3 ：左上图。瓤台矩阵服从均匀分布的平均功率谱图右上圉。藕合矩阵服从r 分布的平均功率谱图中图，瓤 合矩阵服从正态分布的平均功率谱图 1 6 ctx譬-tivcci叠-tr五 #si鲁t吾 随机共振的最佳耦合矩阵 0 3 3 矩阵，将矩阵元素控制在【0 , 1 】之间，遗传2 0 0 代后，如图3 - 4 所示： c r s = ( - 3 5 篡4 搜索到的最优矩阵为0 3 ，它对应的功率谱图如图3 - 4 下图，波峰值为 3 5 5 2 1 9 9 7 9 7 3 5 5 2 5 0 e + 0 0 3 它的第一、二特征值分别是0 0 0 0 0 0 3 5 和一o 1 6 9 ， 正定我们拿最优矩阵分别与以下任意三个矩阵c r 4 、0 5 、0 6 相加，得到 的新的矩阵对应的功率谱图如图3 - 5 ，可以看出，不但新的矩阵对应的功 率谱的高度小很多，并且波峰宽度明显大些，所以，系统的能量输出远 不如最优矩阵系统的能量输出同时，我们任意选了以下三个矩阵田、 0 8 、卿，画出它们的矩阵对应的功率谱图如图3 - 6 ，我们发现，跟最优 矩阵的功率谱图比起来，波峰的高度和宽度都远没有最优矩阵的理想， 所以，最优矩阵让系统产生了随机共振，使得系统的功率谱最高值以及 系统输出能量达到最高 一0 0 4 1 巩= l o 2 f 0 0 0 3 l 心 0 5 = l 2 l 篡1 1 引09 00 60 6 3 一1 i 一0 2j 5 4 o ，) 1 8 叭撼独 7 8 h篓m弱6删彻啪 1 一】 埘4 m 、l-、 2 5 4 1 o 3 l o 3 ， 以2 l l 、 l 一5 = 磺士学位论文 图孓4 ：e 露，3x3 藕会矩阵越2 0 0 嗵传申每代最谯勰以厦磐豹均毽下嚣。攘传算法撬索劐黪3x3 囊健 台嫩阵的功率谱圈 1 8 ：bu量o：，va 随机共振的最佳耦合矩阵 垆- 2 1 1 2 ) 焉- 2 1 1 2 ) 一- 0 8 2 赫0 0 2 0 8 ) i i ) 5 5 矩阵，也是将矩阵元素控制在【0 , 1 】之间，遗传4 5 0 代后，如 图孓7 所示，搜索到的最优矩阵为： 一匮 它对应的功率谱图如图3 - 7 下图，波峰值为3 6 8 8 1 9 4 6 3 1 4 2 5 2 1 6 e + 0 0 3 它的第一、二特征值分别是一0 0 0 0 0 0 1 和一o 0 6 4 ，正定我们拿最优矩阵分 别与以下任意三个矩阵d r t 。、0 1 2 、仃，。相加，得到的新的矩阵对应的功 率谱图如图3 - 8 ，可以看出，不但功率谱的高度小很多，并且波峰宽度明 显大些，所以，系统的能量输出远不如最优矩阵同时，我们任意选了以 下三个矩阵u 1 4 、a 1 5 ，口。，画出它们的矩阵对应的功率谱图如图3 - 9 ， 我们发现，跟最优矩阵的功率谱图比起来，波峰的高度和宽度都远没有 最优矩阵的理想，所以，最优矩阵让系统产生了共振现象，使得系统的输 出能量达到最高 1 9 0 5 9 1 雹 1 2 3 o 匝 l 8 6 1 口 0 8 o o 一一一一一 5 8 5 翻4 3 4 l 矿1 4 o 1 田1 o 8 0 u 0 一一一一一 吣l蓍萋们|耋 吼n 加n n 一一一一一 硕士学佼论文 _ _ _ _ - - i _ _ i _ _ _ _ _ _ - - _ - _ - i _ _ _ _ - - i ii nn i i i i i _ - l _ - _ _ - i _ _ _ _ _ - - - _ _ _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ - - i _ _ - - 硝 。 、 垂2345l h 掣- q 圈3 - 5 ：左上嘲。相加艇阵为“的功率谱团右上圈，鞭加矩黪为0 5 的功率谱圉中豳，相加矩阵为d r 6 的功率 誊帮。 cc*z-孽t_晶 cfvot置 ct，口，ktrt丑 随机共振的最佳耦龠矩陴 八 季 l 八 每 毛， ，。j 图孓6 ：左上幽；栩合矩阵为o 7 的功率谮图右上圈。藕合矩阵为o r 8 的功率谱蹦中闰。辆合矩摔为0 9 的功率 誊酉 2 1 cc矗警kz量口磊二罄叠e，置 ct吾暑rf呈 硬圭学位论文 图孓7 ：j ：t l l ，5 5 豢合怒阵在4 5 0 我遗传孛每我聂键舞以爱瓣瓣垮簦- f e i ，遗稽算法整素翻鹩5 5 囊德 期合矩阵的功宰港禹 随机共振的最佳藕合矩阵 - - l _ _ _ _ _ l _ - _ _ l _ _ _ _ _ _ l _ _ _ _ - _ _ _ - l l i l l l ll l i i i i i1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8i l li i l l _ _ _ l - _ _ _ - _ - _ _ _ - - - _ _ - l - - - - f 一1 0 l 3 0 1 2 一l l l 3 、 5 、 壤3 一丢( 。 。毒。呈 0 1 42 gi 雪名弧奄汹眦& 似筑加2固愆；g e n o加o ，上l i l 6 4 o 3毗呲她一吣 7 ， 3 3 4 眈l瞄删叫嘁毗 6 0 奄9 l 3 明 钺油眦鸺似 ，fff1。i。illt。- | | 吣 3 簇】2 曲 d 1 2 3 以l 5王胡4王 b 2 o 4 1 2 羔l l l 以 l 1 l 以l l l以l l 王以l l l 4 l l l l 、，夕 l l 1 l 41王ll l 王4 l l 1 l l 王 始 以l 1 王l ，j-iillll。lli。 l i 。 | l 5组 镁圭学位论文 以。3 6 l 0 2 l 0 。0 1 l l 0 5 | 0 9 、 o 1 一o 9 4 5 8 。4 o 0 4 0 3 0 3 0 0 4 - i 3 毒 0 1 o 0 2 可以看出，正如前面所说，矩阵中的元素有差别时功率谱的高度和 宽度更加理想，并且系统能量输出能达到最大，最大值都在3 5 0 0 左右 为了找出藕合矩阵与功率谱最大值之闻的关系，我们计算出矩阵既 到缒第一、第二特征值，将除零以外的各个矩阵的第二特征僮( 即第 二大的特征值) 进行比较，如图3 - 1 0 ，可以看出，随着矩阵第二特征值 的变化，功率谱最大值也相应的发生变化，并且功率谱波峰值大的，耦 合矩阵的第二特征值就较大因此，耦合矩阵的第二特征值与波峰值是 有一定联系的。 宝7 鸥吆m m 0 c ；09g啦5吣|耋雌州泌 随机共振的最佳藕合矩阵 图3 - 8 ：左上翻。相加矩阵为o n 的功率潜番耆七圉。相加矩阵为口1 2 的功率瞥豳中田。相加矩陴为1 3 的功 奉翳图 2 5 莓，皇o五ktv蠡董己甚强6鑫 e】l_dt-事ot 嗫圭学位论文 八 多 图孓9 ：庄上圈，精禽矩阵为0 1 4 的功率谱黼右上豳。耦台矩阵为扩1 5 的功率谱翻中圈。耦合矩阵为g 1 6 的功 事谨篷 c芑*u塞kt，i口矗 随机共振的最佳耦合矩阵 图3 - 1 0 ：上图。a 坐标依秩序代表伊矩阵7 5 6 3 4 8 9 d 代表对应矩阵的第= 特征值 下圉。a 生标依筏序代表d r 矩阵1 2 1 4 1 3 、i i 1 5 ，i 0 1 6 d 代表对应矩阵的第二特征值 2 7 髓视共振的最镶藕合矩阵 结语 本文主要讨论了系统经过耦合后在噪声作用下发生的随机共振现象。 随着耦合矩阵的不同，系统的能量输出也相应地发生着变化本文利用 遗传算法搜索到最优耦合矩阵，使得系统能量输出达到最大值，这让我 们对随机共振有了更进一步的了解随机共振现象处处都存在，近年来， 对随枧共振现象盼发生及相应机制的研究受到各个领域科学家门越来越 多的关注，增进对它的了解，可能会帮助我们更好的控制微小机制的运 作 参考文献 【1 】 r b e n z i a s u t e r a ，a n da v 试p i a n i ，t h em e c h a n i s m 【2 1 【3 】 ，j p h y s ，a 1 4 ，4 5 3 ( 1 9 8 1 ) ，r b e n z i ，g p a x i s i ，a s u t e r a ，a n d n a n c ei nc l i m a t i c - c h a n g e j ，t e l l u s3 4 ，1 0 ( 1 9 8 2 ) o fs t o c h a s t i c r e s o n a n c e j a v m p i a n i ，s t o c h a s t i cs e s o = 胡岗，随机力与非线性系统瞪硼，上海科技教育出版社，1 9 9 4 s f a u v e ，a n df h e l s l o t ，s e s o n a n c ei nab i s t a b l es y s t e m j ，p h y s l e t t a 9 7 ，s ( 1 9 8 3 ) 【4 】i k k a u f m a n ，a n dm c c l i n t o c k ，z e r o - d i s p e r s i o ns t o c h a s t i cr e s o n a n c ei nn e u t r o ns c a t - t e r i n g j ，p h y s r e v e ，6 0 ，r 3 4 6 7 ( 1 9 9 9 ) 【5 】f v a u d e l l e ，j g a z e n g e l ，e t a l ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c ea n dn o i s e - e n h a n c e dt r a n s m i s s i o n o fs p a t i a l s i g n a l si no p t i c s ：t h ec a s eo fs c a t t e r i n g ，j o u r n a lo ft h eo p t i c a ls o c i e t yo f a m e r i c a j 】b ，1 5 ，2 6 7 4 ( 1 9 9 8 ) ， 1 6 】h q i a n ，x j z h a n g ，s t o c h a s t i cr e s o n a n c ev i as w i t d r u gb e t w e e nt w ol i m i tc y c l e s o nac y l i n d e r j ，p h y s r e v e6 5 ，0 1 1 1 0 1 ( 2 0 0 2 ) 【7 l a l p a n k r a 乞0 ，m s a l e r n o ，a c l i a b a t i ca p p r o x i m a t i o na n dp a r a m e t r i cs t o c h a s t i cr e s - o n a n c ei nab i s t a b l es y s t e mw i t hp e r i o d i c a l l yd r i v e nb a 耐e r 【j 】，p h y s r e v e 6 1 ，1 2 0 6 ( 2 0 0 0 ) 。 f 8 】8j k d o u g l a s s ，l w i l k e 璐，e p a n t a z e l o u ， a n df m o s s ，n o i