（应用数学专业论文）随机神经网络的稳定性及混沌同步.pdf

摘要 近年来，随机神经网络的理论和应用研究受到了广泛的关注，噪声干扰下的混沌同步也 已成为一个新的研究热点本文基于随机微分方程的l y a p u n o v 稳定性理论，研究了随机神 经网络的p 阶矩指数稳定性和随机扰动的神经网络的混沌同步 主要工作如下： 一、基于常数变易法和线性矩阵不等式( l m i ) 技巧，分别研究了随机变延时递归神经网 络的p 阶矩指数稳定性和均方指数稳定性，给出了若干全新的充分性判据所得结果去掉了 对连接权矩阵对称性和激活函数单调可微性的限制，大大推广了已有文献的工作 二，利用线性矩阵不等式技巧，讨论了两个恒同混沌神经网络在随机扰动下的混沌同步 策略，给出了判定均方指数同步的充分准则所得结果并不要求连接权矩阵的对称性和激活 函数的单调可微性，推广和改进了现有的结果 三，借助随机微分方程的l a s a l l e 不变原理和自适应控制方法，在系统参数未知的情况 下，研究了两个结构不同的混沌系统在随机扰动下的自适应同步问题，提出了随机扰动的参 数自适应律和一般的控制器设计方案数值仿真结果显示了所得结论的有效性 关键词：随机神经网络，p 阶矩指数稳定，均方指数稳定，l y a p u n o v 泛函，混沌神经 网络，随机扰动，线性矩阵不等式( l m i ) ，均方指数同步，h a l a n a y 不等式，l a s a l l e 不变原 理，自适应同步，均方渐近稳定，参数自适应律 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，i n v e s t i g a t i o n si nb o t ht h e o r ya n da p p l i c a t i o no f s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k s h a v er e c e i v e dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o n ，a n dc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nw i t hn o i s ep e r t u r b a t i o nh a s b e c o m ea ni n t e r e s t i n gr e s e a l r e ht o p i c i nt h i sp a p e r ，b a s e do nt h el y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r yf o r s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i c a le q u a t i o n ，w es t u d i e dt h ep t hm o m e n te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fs t o c h a s - t i cn e u r a ln e t w o r k sa n dt h ec h a o ss y c n h r o n z a i t i o no fc h a o t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hs t o c h a s t i c p e r t u r b a t i o n t h em a i nr e s u l t sa r e 鹪f o l l o w s ： f i r s t l y , b ya p p l y i n gt h em e t h o do f v a r i a t i o np a r a m e t e ra n dl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) a p p r o a c h ，w ei n v e s t i g a t e dp t hm o m e n te x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dm e a ns q u a r ee x p o n e n t i a ls t a - b i l i t yo fs t o c h a s t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s r e s p e c t i v e l y , s e v e r a l n o v e lc o n d i t i o n sw e r ed e r i v e d t h ed e r i v e dc r i t e r i ar e m o v et h er e s t r i c t i o no nt h ed i f f e r e n t i a b i l - i t ya n dm o n o t o n i c i t yo ft h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n sa n dt h es y m m e t r yo ft h ec o n n e c t i o nm a t r i c e s ， w h i c hg e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m ee x i s t i n gr e s u l t s s e c o n d l y , u t i l i z i n gl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t yt e c h n i q u e s ，w ed i s c u s s e dt h ee x p o n e n t i a ls y n - c h r o n i z a t i o no fi d e n t i c a lc h a o t i cd e l a y e dn e u r a ln e t w o r k s ( d n n s ) w i t hs t o c h a s t i cp e r t u r b s t i o n s e v e r a lc r i t e r i ag u a r a n t y i n ge x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o no fc h a o t i cd n n sw i t hs t o c h a s - t i cp e r t u r b a t i o nw e r ed e v e l o p t e d t h eg i v e nc r i t e r i ad on o tr e q u i r et h ed i f f e r e n t i a b i l i t ya n d m o n o t o n i c i t yo ft h ea c t i v a t i o nf u n c t i o n sa n dt h es y m m e t r yo ft h ec o n n e c t i o nm a t r i c e s ，w h i c h i m p r o v ea n dg e n e r a l i z es o m ee x i s t i n gr e s u l t s t h i r d l y , b a s e do nl a s a l l ei n v a r i a n e ep r i n c i p l eo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o na n d a d a p t i v ec o n t r o lt e c h n i q u e s ，w ec o n s i d e r e dt h ea d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o np r o b l e mb e t w e e n t w od i f f e r e n tn o i s e - p e r t u r b e dc h a o t i cs y s t e m sw i t h o u tt h ep a r a m e t e r sk n o w ni np r i o r n o i s e - p e r t u r b e du p d a t el a w so fp a r a m e t e r sa n das i m p l ea n dg e n e r a la d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o na p - p r o a c hw e r ep r o p o s e dt os y n c h r o n i z et w od i f f e r e n tu n k n o w nn o i s e - p e r t u r b e dc h a o t i cs y s t e m s t h es i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e da d a p t i v es c h e m e k e y w o r d s ：s t o c h a s t i cn e u r a ln e t w o r k s ，p t hm o m e n te x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , m e a ns q u a r e e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , l y a p u n o vf u n c t i o n ，c h a o t i cn e u r a ln e t w o r k s ，s t o c h a s t i cp e r t u r b a t i o n ， l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) ，e x p o n e n t i a ls y n c h r o n i z a t i o n ，h a l a n a yi n e q u a l i t y , l a s a l l ei n - v a r i a n c ep n n d p l e ，a d a p t i v e 盯n c k o n i z a t i o n ，m e a ns q u a r ea s y m p t o t i cs t a b i l i t y , u p d a t el a w s o fp 踞a m e t e m u 1 符号和注记 a ! b 一矩阵a 和b 的每个对应元素都满足! ； a 三0 - a 是非负矩阵； ”卜向量或者矩阵泛数，例如俐l 一= k i ，； p ( ) 一矩阵的谱半径； a 0 c a o ) a 是( 半) 正定阵； 以卜对随机变量取期望； t 一矩阵的转置； a 。( a ) 一矩阵a 的最大特征值； x m i n ( a ) 一矩阵a 的最小特征值； “t r a c e ( a ) ”一矩阵a 的迹； 卜单位矩阵； d 十一d i n i 导数； u ( t ) m 维的布朗运动 注记；矩阵的维数，在没有特别说明的情况下，满足代数运算 一学位论文独创性声明 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过 的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名；豳! 垒埠日期t 丛：! i ：! 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊 登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名；到! 垂终导师签名 期：丛：! i ：i ! 第一章绪论 1 1 引言 人工神经网络( a r i t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k ) 是在人类对其大脑的组织结构和工作机理认 识理解的基础之上，人工模拟其结构和智能行为而建立起来的一种信息处理系统，是理论化 的人脑神经网络的数学模型它是由大量简单元件相互连接而成的复杂网络，具有高度的非 线性，能够进行复杂的逻辑操作和非线性关系实现 人类对人工神经网络研究始于2 0 世纪4 0 年代，至今已有半个多世纪的历史1 9 4 3 年， 心理学家m m c c u l l o c h 和数学家w h p i t t s 采用数理模型的方法首先提出了一种人工神 经网络模型，简称m - p 模型，迈出了人类研究神经网络的第一步1 9 5 8 年，f r o s e n b l a t t 提出了第一个智能型的人工神经网络系统，即感知机( p e r c e p t r o n ) 模型网络虽然该模型比 较简单，但已具有神经网络的一般性质，如可学习性，并行处理、分布式存贮等，这些性质与 当时流行的串行，离散符号处理的电子计算机和人工智能技术完全不同，从而引起了研究人 员的极大关注然而，人工智能的刨始人之一一m m i n s k y 和s p a r p e r t 于1 9 6 9 年出版的 感知机一书中提出了感知机网络的局限性，从而大大影响了人们对神经网络研究的兴 趣，使人工神经网络的研究在7 0 年代处于低潮但在神经网络研究处于低潮的这一时期，仍 有学者不遗余力地致力于神经网络的研究( 见【3 1 一【8 】) 1 9 8 2 年，美国加州大学物理学家h o p f i e l d 基于磁场的结构特征提出了一类新的神经网络 模型【1 ，2 1 ，即著名的h o p f i e l d 神经网络( h n n s ) ，掀起了神经网络发展的高潮该模型可由如 下的常微分方程来描述： 劬c i 面d u i 一差+ t i j v t + h ，i = 1 ，2 ， ” 呵 j = l 其中k = 矶池) 为连续可微的严格单调递增函数，t = ( t q ) 为对称矩阵，忍和a 分别表示 电阻和电容，电压他为第i 个神经元的状态变量，五为外部输入h o p f i e l d 神经网络在结构、 原理和功能上具有明显的动力系统特征，它以其强大的功能成功地运用于智能控制信号处 理、模式识别等领域基于h o p f i e l d 神经网络的实用性，文【1 0 】通过构造适当的l y a p u n o v 函数，讨论了h n n s 模型平衡点的全局指数稳定性；文1 1 1 】对连续反馈h n n s 的吸引域和 收敛速率作了较为精确的估计；文f 1 2 1 基于线性矩阵不等式方法研究了一类网络的全局渐近 稳定性和鲁棒稳定性 东南大学硕士学位论文 2 1 9 8 8 年，美国伯克莱加利福尼亚大学电子学家l o c h u a 与l y a n g 受h o p f i e l d 神经 网络的直接影响和细胞自动机的启发，提出了细胞神经网络( c n n s ) 【8 】它是个大规模非 线性计算机仿真系统，具有细胞自动机的动力学特征，克服了h o p f i e l d 神经网络每个神经元 要与其他神经元相连接的弊端细胞神经网络的神经元是局部互连的，而且它可以实现大规 模的并行计算，因此被广泛地应用于图象处理、视频信号处理等在实际运用中，人们总是 期望c n n s 模型的平衡点或周期解是唯一的，且是稳定的，同时由于在实际过程中图像的传 播速度有限，人们通常考虑神经网络模型中具有延时，因此延时c n n s 的平衡点或周期解的 存在唯性及稳定性得到了广泛的研究( 见【9 】 【1 3 一 19 】) 随着神经网络应用技术的发展，越来越多的研究表明，现实生活中随机因素的影响是不 能忽略的，于是有必要用随机的观点对某些实际过程进行分析h a y k i n 【3 2 】指出，在实际 的网络中，突触的传导过程是个由神经信号源和其它随机波动引起的一个繁杂过程1 9 9 6 年，廖晓听教授和毛学荣教授开始对随机神经网络的稳定性进行研究【3 3 ，3 4 】近十年来，随 机神经网络的理论和应用的研究，已成为新的研究热点，在一些学者的努力下。这方面的工 作取得了一定的进展徊| 3 】一p 9 j ，但由于研究的难度较大，因此结果比较少另外，现有的结果 总是局限于随机神经网络的均方指数稳定性，而且部分结果的稳定性判据过于复杂，且有过 多的限制条件本文将针对随机变延时递归神经网络的p 阶矩指数稳定性和均方指数稳定性 展开较深入的研究 自从2 0 世纪9 0 年代美国海军实验室的p e c o r a 和c a r r o l l 在实验室中实现混沌同步以来 f 4 2 j ，混沌同步引起了世界性的广泛关注由于它在物理学数学，电子学保密通讯密码 学激光化学生物，医学和工程技术等众多领域有着极大应用潜力，各种同步方案相继 被提出，如线性反馈方法【4 3 一1 4 6 】，脉冲方法【4 9 】，自适应方法 5 0 】一【5 2 】，等另外随着研究的 深入，不同的同步类型也陆续被提出，如完全同步，相同步，广义同步，滞后同步，问歇性滞 后同步等( 见【6 5 】) 另一方面，过去人们对神经网络的研究，大部分工作主要集中在稳定性和周期解方面l 见 【9 】一【1 9 】) 值得注意的是，神经网络作为一个复杂的非线性动力系统，当系统参数和时滞选择 适当时，延时神经网络可以表现出相当复杂的行为，甚至混沌【4 0 ，4 1 】目前，对于神经网络 混沌同步的研究还不是很多文【5 2 】借助l y a p u n o v 稳定性方法和自适应反馈控制技巧研究 了一类混沌神经网络的自适应同步 然而，随着随机系统的研究结果越来越被人们所接受，近几年来出现了很多的实验结果 发现噪声在混沌同步中起着各种作用，例如噪声诱导混沌，随机共振现象等【6 0 】一 6 7 】，激起了 东南大学硕士学位论文 3 研究人员的极大兴趣，不断有实验结果验证在噪声干扰下的混沌同步问题，科学家们也试图 从理论上解释这种现象，但是这方面的结果甚少【5 3 ，5 4 】本文将借助于线性矩阵不等式技 巧，研究两个恒同混沌神经网络在随机扰动下的均方指数同步，将以线性矩阵不等式形式给 出判定同步的充分性判据 另一方面，现实生活中两个系统的神经元是不可能相同的，而且系统的参数也不可能是 完全已知的，因此在系统参数未知的情况下，考虑两个结构不同的混沌系统的同步更具有意 义在这方面已有一部分有意义的结果【5 6 一 5 9 1 ，但是在随机扰动下的不同系统的同步问题更 复杂和也更具有挑战性文【5 1 】研究了在参数未知的情况下，两个结构不同的混沌系统的自 适应同步问题，并且实验验证了所给出的自适应方案的抗噪性，但是理论上难度依然存在 本文将基于随机微分方程的l s s a l l e 不变原理和自适应控制技巧，研究参数未知的两个结构 不同的混沌系统在随机扰动下的自适应同步问题，将提出随机扰动的参数自适应律，给出一 般的控制器设计方案，从理论上证明两个结构不同的混沌系统在随机扰动下能够达到同步 1 2 随机微分方程初步 常微分方程在物理，生物和经济等领域中得到了广搓的发展和应用，然而越来越多的研 究者发现在某些实际问题中，随机因素的影响不可忽略，例如，对于大规模集成电路来说，噪 声的影响是不可避免的；再有，随机性的人口增长模型可以得到与实际基本相吻合的结果， 可以避免人口数量激增于是对某些实际过程的研究就势必要考虑随枕因素的影响，用随机 微分方程对这些实际系统进行描述和建模 随机微分方程的研究，是随着随机过程理论与常微分方程理论的发展而迅速发展起来的 直到1 9 5 1 年i t 5 发表了著名的i t 6 型随机微分方程的论文之后，才建立确切而又严格的数学 描述，此后，随机微分方程得到了很快的发展，成为数学中的一个非常活跃的分支f 2 7 【3 1 】 下面介绍i t 6 型随机微分方程的i t 6 公式和与之相关的l a s a l l e 不变原理t d x ( t ) = b ( t ，x ( t ) ) d t + 盯( t ，x ( t ) ) 如( t ) ，x ( t o ) = ，( 1 1 ) 其中6 ( t ，z ) ，口( t ，z ) 是二元连续函数，叫( t ) 为w i e n e r 过程且满足e 幽( t ) ) = 0 ，e 【山( t ) 】2 = 疵，如为i t a 意义下的随机微分 引理1 3 1 设x = x ( ，t ) 满足方程( 1 1 ) ，= f ( t ，) 是二元函数，且具有连续的偏 导数髻，箬，辔，令y ( t ) 皇f ( t ，x ( t ) ) ，则过程y = y ( t ) ，t o ) 也是随机过程，且对任意的 奎堕奎兰堡圭兰堡丝塞 4 0 如t 满足方程 d y ( t ) = c y ( t ) d t + y x ( t ) a ( t ，x ( t ) ) 如( t ) ，( 1 2 ) 其中算子c 为 c y ( ) = ( t ，x ) + y x ( t ，x ) b ( t ，x ) + ：t r a c e o t ( t ，x ) f x x ( t ，x ) 盯( t ，x ) 】，( 1 3 ) 其中 舭，= 掣，f x ( t , 耻( 警，警) 胁耻( 鬻) ( 1 3 ) 式即是i 公式 下面介绍随机微分方程的l a s a l e 不变原理 引理1 3 2 假设对于任给的初值 z ( p ) ：一r 目so ，= f c ( 卜7 - ，o 】；p ) ，方程在 t 0 上存在个唯一的解。( ，f ) ，( z ，t ) 和盯( 茹，玑t ) 关于( z ，g ) 局部有界，关于t 一致有 界若存在函数v 0 , 2 ( r + xr n ；r + ) ，卢l 1 ( r + ，r + ) 和u l ，岫g ( p ；r + ) 使得 y 渖，口，t ) sz ( t ) 一w l ( x ) + u 2 0 ) ，0 ，y ，t ) r ”xr 8xr + ， w l ( z ) 忱( z ) ，比0 ， l i mi n f y ( $ ，t ) = 0 0 (14)ilz l l - 0 0 0 _ o ； a = ( ) 。和b = ( b o ) n n 分别表示连接权矩阵和延时连接权矩阵；办和毋分别表 示神经元的激活函数，且，( 。( t ) ) = ( ( z 1 ( t ) ) ，2 ( z 2 ( t ) ) ，厶( z 。( t ) ) ) t r “，g c z ，( t ) ) = ( 夕l ( $ - o n ( t ) ) ) ，9 2 ( z 2 ( 亡一亿( t ) ) ) ，鲰( z 。( 亡一( ) ) ) ) t 舯，时滞勺( t ) 0 此外， u ( t ) = ( “，z ( t ) ，忱( t ) ，( t ) ) t 是定义在完备概率空间( q ，p ) 上带有自然滤波 ，) ( i e ，五= 矿扣( z ) ：0 8 t ”的n 维布朗运动口：r + 舻x p r “，口= ( ) 。 是噪声密度函数 当下列假设条件 ( - 1 ) 1 - j ( t ) 是可微函数，j = 1 ，2 ，n ，即存在常数( 使得弓( t ) e 0 ，展 0 ，使得 ( z ) 一 ( 可) i o l i 。一可i ，1 9 1 ( x ) 一吼( 掣) f 风l 。一引，v 。，y ” ( h a ) 口( t ，z ，y ) 满足l i p s c h i t z 条件，并且存在非负常数, u d ，地，使得 n t r a c e , t t ( t ，。，y ) , k t ，。，) 】s ( 胁$ ；+ 地费) ， v ( t ，z ，y ) r + r ”r “ t = l ( 凰) f ( 0 ) 10 ，g ( 0 ) i0 ，盯( t ，0 ，0 ) 兰0 成立时，我们证明了下面的结果； 定理2 2 1 若p i e 一1 ( m m l k + m m 2 k + l + 2 ) 】1 ，则系统( 1 6 ) 是p 阶矩指 数稳定的，即系统( 1 6 ) 的平凡解是p 阶均方指数稳定的，其中a 是指数收敛速率 定理2 2 2 若存在常数6 ，6 ，靠，使得下面的不等式 砉鲁醋+ 半 喜鲁醋+ 等芦 s ( 4 n ) 1 1 ，f o r1 i 弼( 1 7 ) ( 4 礼) 1 一p ，f o r1 j 弼( 1 8 ) 有一个成立，则称系统( 1 6 ) 是p 阶矩指数稳定的 在随后的小节里，运用l y a p u n o v 泛函方法和线性矩阵不等式技巧，得到均方指数稳定 性的充分判据 定理2 3 1 若存在正数p 0 ，正定矩阵p r “”，q 舻“和n 舻”使得下面的 5 东南大学硕士学位论文 线性矩阵不等式 和 ：= 垂 0 謦p _ b t p 0 - ( 1 一h ) q + 霹f i e 2 + p 昭g 2 0 o p ( o i p ap b 00 一q0 0 一q o ；a = ( h 。和b = ( ) 。分别表示连接权矩阵和延时连接权矩阵； ，和g 分别表 示神经元的激活函数，且，( z ( t ) ) = ( ，l ( z 1 ( t ) ) ，2 ( 。2 ( t ) ) ，厶( 。( t ) ) ) r 孤“，( 珥( t ) ) = ( ，l ( 。，o r ) ) ，2 ( z 2 0 j r ) ) ，厶( o r ) ) ) t 舯，时滞7 - 0 随机扰动的响应系统为， d y ( t ) = 【- c y ( t ) + a f ( y ( t ) ) + b ，( f ，( f ) ) + l 1 d t + 口( t ，：( t ) ，磊0 ) ) 幽 ) ，( 1 1 2 ) 其中u = 阻l ，t 2 ，t 纠r 是控制器，其能够使得系统( 1 1 1 ) 和( 1 1 2 ) 在随机扰动下达到均 方指数同步 当下列假设条件： ( a 1 ) ( z ) 满足l i p s c h i t z 条件也就是说，对每个i = 1 ，2 ，存在常数o t i 0 ，使得 i 五扛) 一五( y ) l o k 一l ，v z ，r ( a 2 ) 盯( t ，z ，口) 满足l i p s c h i t z 条件此外，存在矩阵g l ，g 2 ，使得 t r a c e a r ( 厶，可) 盯0 ，。，y ) 】s0 g 1 茁0 2 + 0 g 2 翟0 2 ， v ( t ，z ，y ) r + r ”舻 6 东南大学硕士学位论文 7 ( a s ) y ( 0 ) i0 ，盯( t ，0 ，0 ) ；0 成立时，我们有如下结果： 定理3 2 1 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立若存在常数5 卢 0 和正定矩阵q 并且响应系统 ( 1 ，1 2 ) 中的控制增益矩阵k 和m 满足下面的矩阵不等式 f l ：= 2 g + 2 k 一2 q 一研g 1 一a l ma e0 孵 8 l 一嚷g 20 b e t a r 0 q 0 0t b r0q 0 ， ( 1 、1 3 ) 则驱动系统( 1 1 1 ) 和响应系统( 1 1 2 ) 在随机扰动下是均方指数同步的，其中 ：= d i a g ( a l ，啦，a b ) 若去掉反馈控制器u 中的时滞反馈项，我们有下面的结果z 定理3 2 2 假设( a 1 ) 一( 山) 成立若存在常数n p 0 和正定矩阵q ，并且响应系统 ( 1 f 1 2 ) 中的控制增益矩阵k 满足下面的线性矩阵不等式 q ：= 2 d + 2 k 一2 q 一研g 1 一a l 0a 0 0 b i 一镊g 20 b e 甚蟹0q0 0r b r0q 0 ，( 1 1 4 ) 则驱动系统( 1 1 1 ) 和响应系统( 1 1 2 ) 在随机扰动下是均方指数同步的，其中 e ：= d i a g ( a l ，5 2 ，5 n ) 若去掉响应系统( 1 1 2 ) 中的噪声扰动，则所考虑的模型退化成一般的混沌延时神经网 络，这时，有。 定理3 2 3 假设( a 1 ) 一( a 3 ) 成立若存在常数d p 0 和正定矩阵q ，并且响应系统 ( 1 ，1 2 ) 中的控制增益矩阵k 和m 满足下面的线性矩阵不等式 q ：= 2 d + 2 k 一2 q 一5 1ma t0 胪 甚醇 0 口，0b e 0 q0 7 b t0q 0 ，( 1 1 5 ) 则驱动和响应系统是指数同步的。其中：= d i a g ( c q ，0 2 ，) 第四章中，讨论了两个结构不同的混沌系统在随机扰动下的自适应同步问题将下面的 壅翼奎兰堡圭竺堡垒塞 8 混沌系统作为驱动系统 d x = i ，( z ) + f ( x ) a d t ， ( 1 1 6 ) 其中z q lcr “是状态向量，未知参数向量口p ，连续函数，( z ) c 1 ( 即，p ) 和 f ( 正) c 1 ( 舻，pxr m ) 随机扰动的响应系统为 d y = b ( 可) + g ( 弘) 明班+ 矿( t ，掣一。，* 一岛) 咖+ 础， ( 1 f 1 7 ) 其中y 踢c 舯是状态向量。未知参数向量p r ，连续函数9 ( ) c 1 ( 耵，舻) 和 g ( ) c 1 ( r - ，舯融) ，“是外部输入目标是要设计合适的控制器“，提出随机扰动的参数 自适应律，使得上面两个结构不同的未知系统( 1 1 0 ) 和( 1 1 7 ) 在随机扰动下达到同步 基于下列假设； ( 所) 函数f ( z ) 和g ( s ，) 是局部l i p s c h i t z 连续的，并且都满足线性增长条件，即存在常数f 使得 l f ( z ) i v i g ( 甸i f ( 1 - i - l 。j ) ，v z 舻 ( 恐) 盯( ，z ，y ) 满足l i p s c h i t z 条件另外，存在常数矩阵1 1 ，e 1 2 ，使得 t r i , , t 0 ，。，y ) 仃( t ，z ，暑，) j s f f 1 l 。f 2 + | f 1 2 掣i | 2 ，v ，暑r ) r + r nx 舻 ( ) f ( t ，0 ，0 ) 兰0 ， 有如下的控制器和随机扰动的参数自适应律的设计方案； 对于随机扰动的响应系统( 1 1 7 ) ，非线性控制器札设计成如下形式 t = 妒( 。，) 4 - f ( 。) i 量一g ( 9 ) 口， ( 1 1 8 ) 其中，( 。，y ) 是基于函数，( z ) 和g ( ) 结构的控制输入，a 和声分别是未知参数向量口和 p 的估计向量值 随机扰动的参数自适应律设计成 d 5 = - q z 陋鬯r r o + 砜屯“e r ) ) 础，( 1 1 9 ) i 叩= r 1 【g ( ) 】7 p e ( t ) d t + 淝e ( t ) ，岛( t ) ) 砒 、7 东南大学硕士学位论文 9 其中 ：r + x 舻舯_ r 一。”和：r + 舯x 鼢一舻。”为噪声密度函数，并且存在 矩阵2 1 ，e 2 2 ，e 3 1 ，3 2 使得满足假设( 娲) p ( t ) 和( ) 是两个相互独立的 切维和m 3 维的 布朗运动矩阵p 0 ，q 0 和r 0 是可选择的 定理4 2 1 在非线性控制器( 1 1 8 ) 和随机扰动的参数自适应律( 1 1 9 ) 的选取下，若存在 矩阵p 0 ，q 0 ，r 0 和耳使得a m i 。( ) a 。( q ) ，则随机扰动的响应系统( 1 1 7 ) 和驱 动系统( 1 1 6 ) 是均方渐近同步的，其中n = 胪p p ( p ) 跖e 1 1 一p ( q ) 五2 l p ( r ) e 五e 3 l 和q = p ( p ) 己1 2 + p ( q ) e t 2 2 2 + p ( r ) 丕3 2 若不考虑响应系统( 1 1 8 ) 和参数自适应律( 1 1 9 ) 中的随机扰动，我们得到下面的结果： 定理4 2 2 若非线性控制器设计成 t = 妒 ，y ) + f ( z ) a c ( y ) z ，( 1 2 0 ) 同时参数的自适应律设计成 d 5 一q - 1 i f ( z ) 】丁n ( 。) 出，( 1 2 1 、i、i l 龋= r - 1 f g ( ) 1 7 p e ( t ) d t ， 、 并且存在正定矩阵p q ，r 和耳，则响应系统( 1 1 7 ) 和未受随机扰动的驱动系统( 1 1 6 ) 是同 步的，其中a 和口分别是未知参数向量口和口的估计值 本文部分结果已被国际s c i 刊物p h y s i c aa ，n e u r o c o m p u t i n g ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ：r e a l w o r l da p p l i c a t i o n s 接受，详见作者发表和撰写论文清单 第二章随机神经网络的稳定性 2 1 模型及预备知识 2 0 世纪8 0 年代，随着h o p f i e l d 神经网络( h n n ) 1 ，2 】和细胞神经网络( c n n ) 【8 】的相 继被提出，掀起了人类对人工神经网络研究的高潮由于神经网络在智能控制模式识别， 图像处理非线性优化计算传感技术与机器人，生物医学等方面的成功应用，神经网络理 论引起了国内外学者的极大兴趣，形成了世界性的研究热点 众所周知，稳定性是神经网络应用和设计的前提然而信号在神经网络中的传递需要时 间，加之在神经网络的硬件实现时放大器的转换速度有限，因而时滞是不可避免的，而时滞 意味着阿络模型应该与过去时间的神经元状态有关，这也在一定意义上反映了大脑本身的特 点。所以应该在神经网络中引入轴突信号传输时滞近年来，大量关于延时神经网络的稳定 性准则已被提出【1 0 卜【19 】 然而。在真实的神经系统中，突触连接是由来自神经传递素的释放以及其它概率因素产 生的随机扰动形成的噪声过程【3 2 】，因此考虑噪声干扰对神经网络系统的影响具有重要的意 义关于随机神经网络的稳定性已有一些结果【3 3 【3 8 】，其中文【3 6 】借助于半鞅收敛定理，研 究了随机延时神经网络的几乎必然指数稳定性；文f 3 8 】讨论了一类随机神经网络的均方指数 稳定性据作者所知，研究随机变延时神经网络的结果并不是很多，而且现有的很多结果总 是局限于随机神经阿络的均方指数稳定性，部分结果的稳定性判据过于复杂，且有过多的限 制条件 本章将借助于常数变易法和随机分析及线性矩阵不等式技巧，研究随机变延时神经网络 的p 阶矩指数稳定性和均方指数稳定性，去掉神经元激活函数的单调性和可微性，连接权矩 阵的对称性等限制，得到一系列易于验证的稳定性判据 考虑下面的随机变延时神经网络： n“ d x t ( t ) = 【一g ( ) + a i j l a z a o ) + b i j g j ( x j ( t 一勺( t ) ) ) 】出 j = lj = l n + 乏二a j ( t ，x a t ) ，巧0 一乃( t ) ) ) 6 锄( t ) ，i = 1 ，2 ， ( 2 1 ) j = l 或 d x ( o = 【一c z ( t ) + a ， ( t ) ) + b g ( z ，( t ) ) 出+ 口( t ，。( t ) ，z ，( t ) ) d ) ， ( 2 2 ) 1 0 东南大学硕士学位论文 其中z ( f ) = ( 。1 ( t ) ，现( t ) ，x n ( ) ) t r ”是状态向量；c = d i a g ( c l ，c 2 ，岛) 0 ，q o ； a = ( h 。和b = ( ) n 。分别表示连接权矩阵和延时连接权矩阵；厶和毋分别表 示神经元的激活函数，且，( z ( ) ) = ( 。1 ( t ) ) ，丘( z 2 ( ) ) ，厶( ( t ) ) ) r 4 ，口( z ，( t ) ) = ( g , c 。l ( t n ( t ) ) ) ，虫( 现辑一吃( t ) ) ) ，鲰( z 。弘一h ( t ) ) ) ) t 鼢，时滞乃( t ) 0 此外， u ( t ) = 1 ( t ) ，忱( t ) ，( ) ) 。r 是定义在完备概率空间( q ，p ) 上带有自然滤波( ， 踟 ( i , e ，五= 盯p ( z ) ：0 s ) 的佗维布朗运动盯：p p r n 一豫“”，口= ( ) 。 是噪声密度函数 系统( 2 , 2 ) 的初始条件为， z ( s ) = ( 8 ) ，一r s 0( 2 3 ) 其中0 勺( ) 7 - ，j = 1 ，2 ，m 对任意z 乞( f - lo 】，r ”) ，这里z ( 【一r ，o 】，p ) 是蜀 可测的具有c ( - r ，0 】；r “) 值的随机过程，并且满足s u pe i 庐( s ) i p 0 ，使得 五0 ) 一五( 矽) l o t 陋一掣l ，b ( z ) 一班0 ) l 展l z 一引，v z ，y r n ( 岛) 口( t ，z ，v ) 满足l i p s c h i t z 条件，并且存在非负常数m ，地，使得 t r a c e a t ( ，毛y ) 盯( t ，q 暑，) 】乏二( p i 霹+ 地砰) ，v ( t ，善，掣) r + 舻x p i = 1 ( n o ) ，( o ) 兰0 ，g ( 0 ) 三o ，矿瓴0 ，o ) 兰0 假设条件( 凰) ，( 凰) 和( 矾) 成立，由【2 4 ，2 5 】知系统( 2 2 ) 存在唯一的解z ( t ，t o ，毋) 或 者。( ) ，且对任意t 0 和p 0 ，有e ( s u pi x ( s ，t o ，) i ) 1 ，则下面的不等式成立； ( f ，( 。) g ( z ) j d zs ( ( 1 ，( ) 1 9 ) 5 ( zi 。( z ) l a ) 。 ( 2 5 ) 引理2 1 2 2 1 1 若存在常数吼0 ，= 1 ，2 ，扎，对任意p20 ，q 0 ，p 和q 满足 ；1 + ；1 = 1 ，若p 1 ，劂下面的不等式成立； ( 2 6 ) 证明：由h 5 1 d e r 不等式， 壹b k ( 壹。2 ) ；( 妻6 羔) ；，令h ；1 ，对任意后： l ，2 ，n ，贝4 容易得到( 瓴) 矿一1 引理2 1 3 1 2 q ( b u r k h o l d e r - d a v i s - g u n d y 不等式) 对于任意在零时刻或者任意的停时r 消失的连续局部半鞅m ，存在一致的常数，对任意的0 p o o ，使得 e ( s u pi m , i p ) k p e ( ( m , m ) ，) l ， 其中( m ，必) f 是半鞅m 的协方差，特别地 = ( 辨 让峋 z ； 绵= 4 ， i f p = 2 ； 砟= ( 芒长) 5 ， 讧删 引理2 1 4 1 2 2 2 3 1 对于矩阵m10 ，若p ( 膨) 1 ，则( j m ) 一1 艺0 成立，其中f 是单 位矩阵，p ( m ) 是方阵m 的谱半径 注2 1 1 在本章中，主要讨论当p 之2 时，系统( 2 1 ) 或者( 2 2 ) 的p 阶矩指数稳定性 2 2p 阶矩指数稳定 在这一节中，基于假设条件( -